Aula 1 Gravitacao Universal para imprimir

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Nesta aula
vamos bater um
papo sobre
Gravitação
Universal.
Física Geral II – Aula 1
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Gravitação Universal
No curso de Física Geral I vimos
as Leis do Movimento dos Corpos
proposta por Newton, hoje vamos
estudar uma das quatro forças da
natureza, a força gravitacional.
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Gravitação Universal
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Qual a motivação para o estudo da
força gravitacional?
A gravidade é a mais fraca das forças
fundamentais do Universo. É desprezível
nas interações de partículas elementares e
não tem qualquer papel nas propriedades
das moléculas, dos átomos ou dos núcleos
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Gravitação Universal
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atômicos. A atração gravitacional entre
corpos de dimensões comuns, por
exemplo entre um automóvel e um
edifício, é muito pequena para ser
percebida. Entre corpos muito grandes,
como as estrelas, os planetas, os satélites,
porém, a gravidade tem uma importância
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Gravitação Universal
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de primeiro plano. A força gravitacional
da Terra sobre os corpos que nos rodeiam
é a parte fundamental da nossa
experiência. É a gravidade que nos
mantém sobre o solo e mantém a Terra e
os outros planetas nas suas respectivas
órbitas do sistema solar. A força
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Gravitação Universal
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gravitacional tem um papel importante na
história das estrelas e no comportamento
das galáxias. Numa escala muito grande, é
a gravidade que controla a evolução do
Universo.
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Gravitação Universal
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Como evoluiu na história as
concepções do Universo?
Desde tempos imemoriais o homem
sempre esteve fascinado pelo movimento
dos corpos celestes e das possíveis
consequências destes movimentos na
nossa vida aqui na Terra. Por questões de
s
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Gravitação Universal
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fundo religioso, durante muito tempo
supôs-se que o movimento desses corpos
aconteciam de modo que a Terra tinha
uma posição privilegiada neste concerto.
Os religiosos acreditavam que o homem
era o único ser vivo inteligente no
Universo e o criador naturalmente o
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Gravitação Universal
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colocou num local especial, num planeta
especial. Era difícil aceitar o tamanho
diminuto do homem frente às dimensões
do Universo. Por esse motivo, todos
aqueles que consideravam alguma ideia
diferente deste geocentrismo era
considerado herege. A ciência era
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considerada uma mera comprovação das
crenças religiosas.
Especifique melhor essas crenças religiosas?
Algumas passagens bíblicas dão suporte para
o geocentrismo, como por exemplo: Está
escrito em Eclesiastes 1, 5: O sol se levanta, o
sol se põe; apressa-se a voltar a seu lugar; em
seguida, se levanta de novo.
Pág. 11 de 90
Antigamente, antes dos telescópios serem
usados nas observações astrônomicas, o homem
conhecia pouco sobre o universo. Sabia-se da
existência de cerca de 6000 estrelas, da Lua, do
Sol, e de alguns planetas: Marte, Mercúrio,
Júpiter, Vênus e Saturno, ou seja, apenas os
planetas que podiam ser vistos a olho nu. Mesmo
assim, muito pouco ou quase nada sabia-se sobre
esses planetas, apenas que diferiam das estrelas por
se moverem no céu entre elas. A Terra na
antiguidade não era contada como planeta. Esse
desconhecimento dos astros gerou muita
superstição e acabou-se atribuindo uma divindade a
cada corpo celeste. Pág. 12 de 90Pág. 12 de 90
Como os planetas se movem em relação
às estrelas eles passaram a ser observados com
atenção e suas posições no céu determinadas
com muita precisão. Ptolomeu, no século II
d.c., desenvolveu o Sistema Geocêntrico,
onde os planetas (todos) giravam em torno
da Terra, com as estrelas estando fixas em
uma esfera, ao fundo, que também girava ao
redor da Terra. Nesse sistema, inclusive o Sol
girava em torno da Terra. Todos
acreditavam que a Terra era o centro do
Universo.
3
Pág. 13 de 90Pág. 13 de 90
Esse Sistema Geocêntrico, no
entanto, não explicava corretamente os
movimentos de todos os planetas, o que
foi percebido com observações mais
cuidadosas de seus movimentos no céu.
Percebeu-se que o planeta Marte, por
exemplo, dava estranhas “laçadas” no
céu, a medida que ia caminhando. Isso
não era explicado pela teoria geocêntrica;
alguma coisa estava errada.
Sistema Geocêntrico
( Ptolomeu, séc. II )
Esfera das 
estrelas fixas
Ter
Lua
Mer
Vên
Sol
Mar
Júp
Sat
Neste sistema, 
tudo gira em
torno da Terra
Pág. 14 de 90
Movimento aparente não 
“perfeito”
Leste Oeste
? “Laçada”
A laçada dos planetas sugeria
que eles não giravam
em torno da Terra
Pág. 15 de 90 Pág. 16 de 90Pág. 16 de 90
Para solucionar esse problema, o grego
Apolônio propôs um sistema de epiciclos, que
ainda era baseado no sistema geocêntrico de
Ptolomeu. Nesse sistema, cada planeta girava
num círculo chamado epiciclo centrado num
ponto E, que girava sobre o círculo deferente
por sua vez centrado no centro do deferente
(ponto D). A Terra situava-se levemente fora do
ponto D, mas isso não feria as convicções
filosóficas da época, que obrigavam a Terra a ser
o centro do universo, pois era considerado apenas
um artifício geométrico para se obter maior
concordância com as observações.
Sistema de Epiciclos
Terra
Planeta
E
Círculo 
Deferente
Epiciclo
D
Apolônio, 
séc. III d .C.
Pág. 17 de 90 Pág. 18 de 90Pág. 18 de 90
É fácil ver que esse sistema
explicava os movimentos de laçada
de alguns planetas, pois, visto da
Terra, o planeta as vezes está indo
numa direção, ora está vindo na
direção contrária. Embora sabemos
hoje que as órbitas dos planetas são
elipses em torno do Sol, o sistema de
Apolônio era suficientemente preciso
para a época.
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Pág. 19 de 90Pág. 19 de 90
Assim, o sistema com epiciclos passou a
ser adotado na determinação da posição do
Sol e de todos os cinco planetas
conhecidos na época. Erabastante bom
para as finalidades, essencialmente
astrológicas, religiosas ou para a
determinação de inícios das estações do
ano. Observações mais precisas, no
entanto, levaram os antigos a notarem
uma certa diferença entre a posição
prevista pelos epiciclos e a observada.
Geocentrismo
com epiciclos
Lua
Mer
Mar
Vên Júp
Sat
Céu
Ter
Pág. 20 de 90
Pág. 21 de 90Pág. 21 de 90
Para melhorar a precisão na
determinação da posição dos planetas, os
astrônomos começaram a adotar um sistema
complexo de epiciclos, ou seja, epiciclos em
epiciclos! Os astrônomos simplesmente iam
adicionando alguns pontos sobre os quais
giravam outros pontos, e outros, até os
cálculos de movimento dos planetas baterem
com as observações. Um tanto quanto
complicado, não é? Mas esse sistema tinha
uma precisão surpreendente e foi utilizado por
mais de 1400 anos.
Sistema Complexo de Epiciclos
Terra
Planeta
E
Deferente
Epiciclo
Com epiciclos, o planeta
não gira em torno da Terra
em órbitas circulares
Pág. 22 de 90
Pág. 23 de 90Pág. 23 de 90
Havia, contudo, um sério problema com
o sistema geocêntrico. Se Mercúrio e Vênus
girassem em torno da Terra eles poderiam ser
vistos em qualquer posição no céu durante a
noite, como acontece com os demais planetas. No
entanto, uma simples observação constata que
Mercúrio e Vênus não se afastam muito do Sol;
são vistos sempre acompanhando o pôr do Sol ou
o nascer do Sol. Na verdade, não vemos mercúrio
e vênus perto do Sol durante o dia devido ao
ofuscamento da luz solar. Como então resolver
esse problema?
Pág. 24 de 90Pág. 24 de 90
Para colocar Vênus e Mercúrio
girando em torno do Sol, e a Terra
continuar no centro, Heráclides
inventou o sistema Híbrido, em que o
Sol continuava girando em torno da
Terra, mas Vênus e Mercúrio
giravam em torno do Sol. Desse jeito,
tudo continuava girando ao redor da
Terra, como convinha à filosofia da
época.
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Sistema Híbrido
( Heráclides, séc. IV d .C. )
Neste sistema, 
Mercúrio e Vênus
giram em torno do Sol
e este gira em torno
da Terra
Esfera das 
estrelas fixas
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Antes dessa construção de Heráclides não
havia corpos nos centros dos epiciclos: os planetas
giravam nos epiciclos mas em torno de nada, o que
para nós hoje é inconcebível já que tudo que gira
precisa ser atraído para um centro e portanto precisa
ter um corpo nesse centro. Veja que no sistema de
Heráclides Mercúrio e Vênus giram em epiciclos mas
no centro há o Sol. Esse parece ter sido o começo de
um novo pensamento, embora podemos questionar se
os gregos assim pensavam, ou apenas estavam
sugerindo uma construção geométrica capaz de fazer
predições a respeito da posição dos planetas, sem
compromisso com as causas dos movimentos.
Pág. 26 de 90
A régua do tempo mostra alguns dos personagens responsáveis pela
revolução da astronomia desde os tempos antigos até a idade média.
Ao contrário de astrônomos Egípcios e Babilônios, que tinham a
astronomia muito ligada à religião ou à astrologia, os astrônomos
Gregos foram mais científicos tentando dar razões para o universo
ser como é.
Tales de Miletos, 624-547 a.c., era convicto que o universo era
racional e os humanos portanto poderiam entendê-lo.
Pitágoras, 570-500 a.c., tornou essa ideia de Tales concreta ao
notar que muitas coisas podiam ser expressas por relações
matemáticas (exemplo, o teorema de Pitágoras).
Aristóteles, 384-322 a.c., concluiu que a Terra é redonda baseado
na forma da sombra na Lua durante um eclipse lunar. Propôs a Terra
imóvel no centro de um universo em rotação. Sua reputação como
grande filósofo fez suas ideias em Astronomia perdurarem por quase
2000 anos.
Erastóstenes, 200 a.c., trabalhando na biblioteca de Alexandria, fez
a primeira medição do raio da Terra. Pág. 27 de 90
Hiparco, 200 a.c., um dos maiores astrônomos da
antiguidade, descobriu o movimento de precessão do
eixo da Terra e fez o primeiro catálogo estelar. Para ele os
astros não se moviam em esferas, mas em círculos ao
redor da Terra.
Ptolomeu, 140 d.C., é o grande astrônomo e matemático
da antiguidade. Deu fundamento matemático às ideias de
Aristóteles. Para ele, os corpos giravam em torno da Terra
em movimento circular uniforme, mas com epiciclos,
deferentes e equante, para prever mais corretamente a
posição dos astros e explicar as laçadas. Seu livro, hoje
conhecido por Almagesto (do Árabe, Al Magisti, o
maior), coloca em base matemática a astronomia antiga.
Por mais de 1000 anos os Árabes estudaram e adotaram
esse livro como representante da ciência Astronomia.
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Filósofos e Astrônomos
Famosos
200400 1000800600400200 1200 1400 1600
Newton
Kepler
Galileu
Tycho Brahe
Copérnico
0
Ptolomeu
Hiparcos
Eratóstenes
Aristarco
Aristóteles
Heráclides
Pitágoras
Ulugh Beg
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O observatório Ulugh Beg do século XV em Samarcanda, é
o primeiro observatório do oriente, com um sextante de 30
metros, construído por Ulugh Beg para efetuar mapas
astronáuticos exatos.
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Embora o sistema geocêntrico de
Ptolomeu, com dezenas de epiciclos,
pudesse prevêr com boa precisão a
posição dos astros por digamos um ano,
após séculos falhava e eram então
necessárias correções. No século XIII um
time de astrônomos trabalhando por dez
anos construiu a famosa tabela de
Alfonsine, a última correção ao sistema
Ptolomáico.
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Tabela de Alfonsine a última correção ao sistema
Ptolomáico. Pág. 32 de 90
Nicolau Copérnico, 1473-1543, fez uma das
maiores revoluções da Astronomia. Defendeu a
ideia que os planetas, incluindo a Terra, giravam
em torno do Sol. Era o nascimento do sistema
heliocêntrico. As ideias de Aristóteles ainda
reinavam e com o apoio da igreja que era bem
conservadora. Copérnico foi cuidadoso ao expor
suas ideias, senão teria sido vítima da Inquisição.
Seu trabalho, escrito na obra De Revolutionibus
Orbium Coelestium, Sobre a Revolução dos Corpos
Celestes, só foi publicado após sua morte. Por essa
época a autoridade da Igreja já era questionada de
forma que essas novas ideias tiveram adeptos.
Pág. 33 de 90 Pág. 34 de 90
A teoria de Copérnico, que o Sol está no centro,
se mostrou com o tempo correta, mas seu sistema
planetário ainda continha epiciclos e deferentes e
não fazia previsões melhores que as da tabela de
Alfonsine. Talvez a busca por ideias
revolucionárias, ou que simplesmente contrariavam
aquelas vigentes na época, fez com que o sistema
heliocêntrico ganhasse adeptos. Cerca de 70 anos
após a morte de Copérnico ainda se discutia a
validade de suas ideias. Um grande defensor do
sistema heliocêntrico, e que teve que se explicar
perante a Inquisição, foi Galileu Galilei, 1564-
1642.
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Em seu livro Sidereus Nuncius,
Mensageiro Sideral, de 1610,
ele relata suas observações
sistemáticas ao telescópio e
como elas condizem com o
sistema heliocêntrico. Sua
grande obra, no entanto, sai em
1629, Dialogo Dei Due
Massimi Sistemi, Diálogo
Sobre os dois Principais
sssssssssssSistemas do Mundo. É escrita na forma de uma
conversa entre três personagens debatendo sobre os
sistemas de Ptolomeu e de Copérnico.
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Pág. 37 de 90
Talvez um ponto importante a favor do
heliocentrismo, e que deve ter atraído muita
atenção pela sua beleza, é que todos os
planetas são tratados de forma semelhante:
todos giram em torno de um centro comum,
o Sol. A explicação das laçadas também fica
muito simples nesse sistema.
Quantitativamente a favor do modelo
de Copérnico foi a discrepância que ele
percebeu entre a previsão baseadano sistema
ss
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geocêntrico e a posição observada de uma
conjunção dos cinco planetas, e também da
Lua, ocorrida na constelação de Câncer.
Como o modelo heliocêntrico de
Copérnico mostrou-se correto com o tempo,
acabou sendo aceito, e é utilizado até hoje,
apenas com algumas diferenças na forma das
órbitas, que hoje sabemos não serem
perfeitamente circulares mas sim elípticas.
Outros planetas também foram descobertos
deste então.
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Modelo de Ptolomeu
Modelo de Copérnico
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A teoria heliocêntrica conseguiu dar explicações mais naturais e simples para os
fenômenos observados, porém, Copérnico não conseguiu prever as posições dos
planetas com suficiente precisão e, infelizmente, ele não alcançou uma prova
categórica de que a Terra estava em movimento.
Estudando as 
órbitas dos corpos celestes
 Johannes Kepler nasceu no dia 27 de
dezembro de 1571 em Weil (Wurttemberg),
na Alemanha, e morreu no dia 15 de
novembro de 1630 em Ratisbona.
 Kepler foi um dos mais importantes
cientistas do seu tempo e pode-se dizer que,
sem os seus trabalhos, a física desenvolvida
posteriormente por Newton talvez não
existisse. Pág. 42 de 90
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Estudando as 
órbitas dos corpos celestes
• Kepler foi um grande matemático, embora,
como era típico de sua época ele era místico,
interessado nas relações numéricas entre os
objetos do Universo.
• Descreveu a sua busca da ciência como um
desejo de conhecer a mente de Deus.
• Kepler foi para Praga trabalhar com Tycho
Brahe e pôde, assim, utilizar os seus preciosos
dados observacionais.
Pág. 43 de 90
As leis de Kepler
 Kepler pôde fazer cálculos altamente precisos das
órbitas planetárias, usando as observações de alta
qualidade, sem precedente, de Tycho Brahe.
 Os resultados observacionais de Tycho Brahe não
poderiam ser explicados se Kepler usasse órbitas
circulares.
 Ele preferiu abandonar este conceito de órbita
devido a confiança que tinha nos dados
observacionais de Brahe, modificando-o até
conseguir igualar a precisão obtida por Brahe.
Pág. 44 de 90
As leis de Kepler
 Em 1609, Johanes Kepler
publicou seu livro: Astronomia
nova - Aitologetos
 Um vasto volume de quase 400
páginas, onde apresentava uma
das maiores revoluções na
astronomia.
 Neste livro, Kepler revelava ao
mundo científico duas
importantíssimas leis
relacionadas com o movimento
planetário: a lei das órbitas
elípticas e a lei das áreas.
Pág. 45 de 90
As leis de Kepler
 A chamada terceira lei do
movimento planetário, a lei
que relaciona o período
orbital com as distâncias, foi
publicada em outro livro de
Kepler, editado em 1619 com
o título: Harmonices mundi.
Pág. 46 de 90
Assim
• Johannes Kepler (1571 – 1630)
• Propõe as 3 leis do movimento planetário, contudo faltava
uma teoria física que justificasse as causas do mesmo.
• É curioso notar a existência de uma “quarta” lei de Kepler
sobre o movimento planetário. Seria uma aproximação
simples à lei das áreas, Kepler afirma que uma linha que
passe por qualquer planeta e pelo foco vazio da elipse
descrita por ele gira uniformemente, ou o faz com elevada
precisão. Verificou-se, mais tarde, que essa proposição não
é correta.
Pág. 47 de 90
1o Lei de Kepler
• Lei das Órbitas
“As órbitas descritas
pelos planetas em torno do
Sol são elipses com o Sol
num dos seus focos”.
• Excentricidade: e = c/a
• Caso particular: e = 0: órbita
circular
Planeta e
Mercúrio 0,206
Vênus 0,007
Terra 0,017
Marte 0,093
Júpiter 0,048
Saturno 0,056
Tabela 1 - Excentricidades de
alguns planetas – Fonte: Ref. [5] Pág. 48 de 90
9
Pág. 49 de 90
Planeta e
Mercúrio 0,206
Vênus 0,007
Terra 0,017
Marte 0,093
Júpiter 0,048
Saturno 0,056
Tabela 1 - Excentricidades
de alguns planetas – Fonte:
Ref. [5]
“Note que as
órbitas descritas
pelos planetas
em torno do Sol
são quase
circular”.
Pág. 50 de 90
Na verdade as órbitas descritas por um
planeta, cometa ou asteróide em redor do Sol
pode ser qualquer cônica dependendo da
sua energia cinética e potencial gravitacional.
Pág. 51 de 90
Lembramos que eq. geral de uma cônica é
cos1 e
p
r


onde p é a corda,
perpendicular ao eixo,
passando pelo foco, e é a
excentricidade e  é o
ângulo entre o foco e o vetor
posição. A eq. é um círculo se e = 0, uma
elipse se 0 < e < 1 e uma hipérbole se e >1.
2o Lei de Kepler
• Lei das Áreas
“O vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas
iguais em tempos iguais”.
•Velocidade é maior no periélio (perto do Sol) do
que no afélio (longe do Sol).
Pág. 52 de 90
3o Lei de Kepler
• Lei dos Períodos
“A razão entre os quadrados do período de
revolução de dois planetas é igual a razão entre
os cubos de suas distâncias ao Sol”.
3
2
1
2
2
1












R
R
T
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Tabela 2 – Verificação da terceira lei de Kepler para alguns planetas (raio da Terra é definido como 1 U.A. – Fonte: Ref. [5]
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Gravitação Universal
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Explique à afirmativa: as Leis de
Kepler são leis fenomenológicas.
Tycho Brahe registrou por décadas a
posição diária dos cinco planetas visíveis
a olho nu. Johannes Kepler analisou
longamente esse banco de dados e
sintetizou todo o seu conteúdo em três
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Gravitação Universal
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regras, as chamadas leis de Kepler (os
cientistas chamam as regras do nosso jogo
imaginário de leis da Natureza). As leis de
Kepler descrevem as regras seguidas
pelos planetas em suas órbitas em torno
do Sol, sem nenhuma alusão às causas do
movimento. Hoje em dia, leis desse tipo,
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Gravitação Universal
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extraídas diretamente dos fenômenos sem
fundamentação tipo causa-efeito, são
denominadas leis fenomenológicas.
Assim, leis fenomenológicas são as regras
extraídas diretamente da observação dos
fenômenos, sem análise de seus
fundamentos. Coube a Isaac Newton
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Gravitação Universal
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descobrir as regras fundamentais do
movimento e da interação entre os corpos
celestes, a partir das quais não somente as
leis de Kepler, mas todos os fenômenos
então conhecidos envolvendo movimento
de corpos podiam ser matematicamente
deduzidos.
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ro
 e
 
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Gravitação Universal
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Em que período Newton obteve a Lei
da Gravitação Universal?
Issac Newton nasceu em 1642, no dia de
Natal. Filho póstumo de um fazendeiro,
teve de custear seus estudos trabalhando,
e foi graças à ajuda de um tio que
conseguiu entrar em Cambridge em 1661.
Formado em Cambridge
que foi fechada em 1665
devido uma epidemia de
peste em Londres (70.000
mortes). Newton, com 23
anos, voltou para a
fazenda da família em
sssss
Pág. 59 de 90
Woolthorpeonde fez inestimáveis
contribuições a ciência. A melhor descrição
do que fez nesse período foi dada por ele
próprio cinquenta anos mais tarde.
nas palavras de Newton...
“ No princípio de 1665 achei o método para aproximar séries e a regra 
para reduzir qualquer potência de um binômio a tal série ... 
(Teorema Binomial)
...No mesmo ano, em maio, achei o método das tangentes de Gregory e 
Slusius (Fórmula de interpolação de Newton)
...e em novembro o método direto das fluxões... (Cálculo diferencial)
...no ano seguinte, em janeiro, a teoria das cores... 
(Decomposição da Luz)
.. e em maio os princípios do método inverso das fluxões... 
(Cálculo integral)
No mesmo ano comecei a pensar na gravidade como se estendendo até 
a órbita da lua, e na lei de Kepler sobre os planetas ... deduzi que as 
forças que mantêm os planetas em suas órbitas devem variar com o 
inverso do quadrado de suas distâncias, tendo então comparado a força 
necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade 
na superfície da Terra e encontrado que concordavam bastante bem. 
(Lei da Gravitação Universal)
Tudo isto foi feito nos dois anos da peste, 1665 e 1666, pois naqueles 
dias eu estava na flor da idade para invenções e me ocupava mais de 
matemática e filosofia que em qualquer outra época posterior. Pág. 60 de 90
11
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Gravitação Universal
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Como Newton concluiu que a forças que
mantêm os planetas em suas órbitas devem
variar com o inverso do quadrado de suas
distâncias?
Newton usou as Leis de Kepler para obter tal
resultado. Ele considerou uma orbita circular o
que é uma boa aproximação, vide a tabela 1, o
que pela 2ª Lei de Kepler leva à um MCU.
Lei da Gravitação
r
T
R
rRa ˆ4ˆ
2
22  
r
T
R
mamF ˆ4
2
2 

Vamos analisar o caso mais simples de órbita 
circular, que é apropriado para vários planetas.
Para uma orbita circular a 2a lei de Kepler nos
conduz à um Movimento Circular Uniforme.
A aceleração centrípeta para tal movimento é
Pela 2a lei de Newton (m : massa do planeta ):
A FORÇA É ATRATIVA !
m : massa do planeta 
R : raio da órbita circular
: velocidade angular
T : período da órbita
M
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Lei da Gravitação
r
R
m
CF ˆ4
2
2

cteC
T
R

2
3
2R
mM
F 
Das Leis de Kepler concluímos então que...
A FORÇA GRAVITACIONAL do Sol sobre um planeta...
varia com o inverso do quadrado da distância entre o sol
e o planeta R e é proporcional à massa do planeta m.
Pela 3º. Lei de Newton...
o planeta exerce força igual e contrária sobre o Sol e esta força
deve ser proporcional a massa do Sol M.
r
T
R
mamF ˆ4
2
2 

Usando a 3a lei de Kepler
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Lei da Gravitação 
.ˆ onde ˆ
2 r
r
rr
r
GMm
F


2131 11067,6  sk gmG
G: Constante gravitacional 
FORÇA GRAVITACIONAL
Direção: linha ligando as massas
Sentido: atrativa (sentido contrário
de ȓ ).
rˆ F

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Gravitação Universal
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Alguns autores representa a fórmula para a
força gravitacional entre duas partículas com
sinal positivo. Explique qual a diferença.
Se a origem do sistema de referência for
colocado no corpo na qual atua a força
gravitacional, sua fórmula passa a ter um sinal
positivo para indicar o sentido da força.
Lei da Gravitação 
r
r
rr
r
GMm
F

 ˆ onde ˆ
2
2131 11 06 7,6  sk gmG
G : Constante gravitacional 
FORÇA GRAVITACIONAL
Direção: linha ligando as massas
Sentido: atrativa (mesmo sentido
de ȓ ).
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rˆ
F

12
A Lua e a maçã
Conta-se que em 1666, Newton em sua fazenda,
vendo uma maçã cair de uma árvore começou a
meditar sobre a causa que atrai todos os corpos
em direção ao centro da Terra e concluiu:
“...a Lua assim como a maçã está caindo
em direção a Terra.”
Naquele ano Newton realmente comparou a
força necessária para manter a Lua em sua órbita
com a gravidade na superfície da Terra.
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A maçã versus A Lua
2
T
Tm
Tm
R
Mm
GF 
 2
TL
TL
TL
R
Mm
GF 

2
T
T
m
R
GM
ga 
Módulos das forças: 
Da expressão F = m a obtemos as acelerações:
2
TL
T
L
R
GM
a 
A relação entre as acelerações é:
2







TL
TL
R
R
g
a
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A maçã versus A Lua
2







TL
TL
R
R
g
a
Usando os valores de RT e RTL conhecidos na época,
Newton obteve:
Em boa concordância com a estimativa da razão
entre a aceleração da Lua (calculada pelo período e
raio de sua órbita) e a aceleração da gravidade
próxima da superfície da Terra (conhecida).
3600
1

g
aL
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Outros resultados da
gravitação são:
Cometas: Órbitas
elípticas bastante
alongadas. O mais
célebre é o cometa
Halley identificado
sss por Halley em 1682
com período de
aparição de ~ 75
anos. Sua aparição
mais recente foi em
1986.
Pág. 71 de 90
Segundo Jan Hendrik Oort
(1900-1992), existe uma imensa
“nuvem” de núcleos cometários
orbitando o Sol, em órbitas
aproximadamente circulares, a
distâncias que variam de 30.000
UA a mais de 60.000 UA do Sol.
Basicamente, cometas
são “pedras de gelo sujo”.
O gelo dessas pedras é
formado principalmente
por material volátil (passa
diretamente do estado
sólido para o estado
gasoso).
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Forma da Terra: Só considerando o efeito
da gravidade, a Terra seria esférica. Mas,
a força centrífuga devida à rotação leva
ao achatamento dos pólos tornando a
terra um esferóide oblato. Newton
estimou a razão dos diâmetros polar /
equatorial em ~229/230.
13
Pág. 73 de 90
•Precessão dos equinócios:
O eixo de rotação da Terra
mantém um ângulo constante
de 23,50 com a normal ao
plano de movimento. O
período de precessão deste
eixo é de 26.000 anos.
Precessão
Hoje
PN
PN
Daqui a
13 mil anos
PN
PS
Observe o 
bamboleio 
do eixo de rotação
23.5
Polar
Vega
Hiparco, 130 a.c.
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Sol
Sol
Efeitos da precessão sobre as 
estações do ano
Inverno Austral
Inverno Austral
Verão Austral
Verão Austral
Dez
Dez
Jun
Jun
Atualidade
Daqui a 13.000 anos
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Precessão
A inclinação do eixo de rotação
da Terra, em relação ao plano
da elíptica, varia de 22 a 28
graus num período de 44.000
anos. Atualmente essa
inclinação é de 23,5 graus.
Pág. 76 de 90
Mas, qual o valor da constante universal G da
Força Gravitacional? Apesar da constante gravitacional 
ser um conceito desconhecido na época de Cavendish, seu 
experimento permitiu determinar o valor de G com uma
diferença menor que 1% do valor aceito atualmente. 
A Experiência de Cavendish, 
realizada em 1797–1798 por Henry 
Cavendish, teve como objetivo 
determinar o valor da 
densidade da Terra. 
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A constante universal da gravitação
2131 11 06 7,6  sk gmG
• BALANÇA DE TORÇÃO
Henry Cavendish (1798)
r
r
G Mm
F

2

Experimento:1798
Teoria: 1666
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14
O experimento de Cavendish
Par de esferas de massa m
nas extremidades de barra
suspensa por fibra leve.
Par de esferas de massa M
colocadas próximas das
massas m produzem torque
sobre a barra suspensa.
Equilíbrio: o torque da força
gravitacional é compensado
por torque da torsão da fibra.
G calculado a partir do
ângulo de torção medido pela
deflexão de feixe de luz.
“Pesagem da Terra”
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Massa da Terra
Valores já conhecidos
Raio da Terra - medidas de Erastótenes (276 aC – 197 aC): 
rTerra = 6,364 x10
6 m
Aceleração da gravidade: 
g = 9,8 m s-2
Constante gravitacional medida por Cavendish:
G = 6,67 x 10-11m3kg-1s-2
gm
r
mM
G
Terra
Terra


2
k gM Te r r a
2 41 09 7,5 
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Densidade da Terra
T = 5,5 g/cm
3 ~ 5,5 x água >> rochas na superfície da Terra
Núcleo da Terra: material com alta densidade. É
interessante comentar que Newton fez a célebre
estimativa, como a matéria comum da Terra é duas vezes
mais densa que a água e nas minas 3, 4 ou 5 vezes mais
densa, é provável que T é 5 vezes mais densa que a água.
3
3
4
Terra
Terra
T
r
M

 
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Massa do Sol – Ano terrestre
TS
TS
T
TS
T
TS
TS
rT
r
m
r
v
m
r
mM
G










12
22
2

S
TS
GM
r
T
2
3
2 

Msol = 1,989 x 10
30 kg
rS-T = 1,496 x 10
11 m
T = 3.16 x107 s = 365,3 dias.
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3o Lei de Kepler
GM
r
T
2
3
2

Lei das Períodos
Expressão obtida para o período de uma órbita circular 
usando a força gravitacional:
Reescrevendo…
!
4 2
3
2
cte
GMr
T


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Plano do movimento
Plano do movimento  Plano da figura
p

r

O
prL

 sinprLL 


L

r

p


L

p

r


L

L
 – momento angular
Vimos no curso de Física Geral I a 
definição de Momento Angular
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15
Também vimos a conservação do Momento Angular
 







FrFrpv
dt
pd
rp
dt
rd
dt
Ld
0
0
dt
Ld

O momento angular, relativo a qualquer
ponto, de uma partícula livre é constante;
Forças centrais, que apontam na direção 
do vetor posição.
0

r
0

F
Fr

//
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Assim, podemos ver
A famosa Lei das áreas
Como a força gravitacional é central, o momento angular da Terra 
se conserva (Sol estático, centro de atração gravitacional para a Terra)
A Força gravitacional entre dois
corpos, por exemplo, Sol e Terra é
dada por:
Sol Terrar
rdr


rd

p

 o movimento se dá num plano perpendicular ao vetor momento
angular.
r
r
GMm
rF ˆ)(
2


constante.vetor ou 00  L
dt
Ld 


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Lei das áreas
Área do triângulo colorido: 
2a Lei de Kepler: “O raio vetor que liga
um planeta ao Sol descreve áreas iguais
em tempos iguais”.
( dA = metade da área do paralelogramo, dividindo por dt e
multiplicando por 1 = m / m a expressão acima, obtemos a taxa de
variação)
Sol Terrar
rdr


rd

p

rdrAd


2
1
constante.
2
22
1


m
L
dt
Ad
m
L
dt
rd
mr
mdt
Ad



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Movimento Rotacional e 
Aplicações
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• Hooke, Wren e Halley se perguntaram qual seria a órbita
dos planetas sob a força 1 / r 2. Halley perguntou a
Newton que respondeu prontamente: “Uma elipse!”
• Halley financiou a obra que Newton escreveu em 18
meses:
“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”
(1687) considerada a obra científica mais importante já
escrita.
1a Lei de Kepler
Lei das Órbitas
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REFERÊNCIAS
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[1] Sears, F. W.; Zemansky e Young – "Física", vol. 2. Livros
Técnicos e Científicos – LTC, 1993.
[2] Tipler, P. Física. LTC. 2O.Edição, Vol.1, 2000.
[3] Hallyday, D., Resnick, R. Walker, J.; Fundamentos de
Física. Vol. 2, LTC, 1993.
[4] Chaves, A. S. Física: Mecânica. Reichmann & Affonso
Editores, 2001.
[5] Nussenzveig, H. M. Curso de Física Básica, Mecânica.
Vol.1, Ed. Edgard Blücher LTDA, 1997.
[6] Disponível http://portal.ifi.unicamp.br/br/f-228-fisica-geral-
ii?start=3 Acessado em 04 de outubro de 2011 às 09h38min.