Introdução_a_distribuição_de_probabilidades

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DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADES 
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Distribuições Discretas de 
Probabilidade 
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Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias 
relativas a dados que podem ser contados. 
 
Exemplos: 
 
Número de ocorrências de defeitos por amostra; 
 
Número de defeitos por metro quadrado de um material; 
 
Conceitos 
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UNIFORME OU RETANGULAR 
BINOMIAL 
BINOMIAL NEGATIVA OU DE PASCAL 
GEOMÉTRICA 
POISSON 
MULTINOMIAL OU POLINOMIAL 
HIPERGEOMÉTRICA 
 
Tipos de Distribuições Discretas 
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O experimento tem n provas ou testes ou tentativas; 
Cada prova tem duas possibilidades: sucesso e falha; 
Cada prova é independente da outra; 
A probabilidade de sucesso ou falhas é constante para todas as 
provas; 
 
Exemplos: 
 
A distribuição binomial é um processo de Bernoulli. 
 
A distribuição hipergeométrica não é um processo de Bernoulli. 
 
O Processo de Bernoulli 
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
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Distribuição Binomial 
Designa situações em que os resultados de uma variável aleatória 
podem ser grupados somente em duas classes ou categorias 
(prova de Bernoulli). 
 
Exemplos de eventos binomiais: 
• Reposta a um teste do tipo V ou F 
• Respostas do tipo sim ou não 
• Produtos perfeitos ou defeituosos 
• Alunos vacinados ou não vacinados 
• Urnas com bolas verdes e não verdes 
• Número de sucessos e insucessos ou falhas 
 
 
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Distribuição Binomial 
Características de Eventos Binomiais: 
1. Deve comportar um número fixo n de provas idênticas (os 
eventos devem ser testados um número fixo de vezes); 
2. As provas devem ser independentes (uma prova não afeta a 
probabilidade de outra acontecer); 
3. Cada prova deve ter seu resultado classificado em apenas duas 
categorias mutuamente excludentes (sucesso e falha); 
4. As probabilidades devem permanecer constantes para cada 
prova (as probabilidades se mantêm durante o experimento); 
5. As categorias devem ser coletivamente exaustivas (soma de 
todos resultados possíveis igual a 1); 
Se todas as regras forem satisfeitas, temos uma 
distribuição Binomial. 
 
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Distribuição Binomial 
Cálculo das Probabilidades Binomiais: 
 
 
 Fórmula Binomial 
 
Duas Formas 
 
 tabela individual 
 Tabela de probabilidades 
 binomiais tabela agrupada 
 
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Distribuição Binomial 
Notação: 
Se S e F (sucesso e falha) denotam as duas categorias possíveis 
de todos os resultados; p e q denotam as probabilidades de S e F 
respectivamente, ou seja: 
P(S) = p e P(F) = 1 – p = q 
 
n = número fixo de provas; 
x = número de sucessos nas n provas (nº inteiro entre 0 e n); 
p = probabilidade de sucesso em uma das n provas; 
q = 1 – p = probabilidade de falha em uma das n provas; 
P(x) = probabilidade de obter exatamente x sucessos em n 
provas; 
 
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Distribuição Binomial 
Exemplo: 
Dado P(S) = 0,80, logo P(F) = 0,20. 
Calcular a probabilidade de três sucessos e uma falha em quatro 
observações. 
 
 
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Distribuição Binomial 
Solução: 
Só existem 4 maneiras de obter 3S e 1F em 4 observações: 
 
 
Resultados 
Possíveis 
Probabilidades 
SSSF (0,8).(0,8).(0,8).(0,2)=0,1024 
SSFS (0,8).(0,8).(0,2).(0,8)=0,1024 
SFSS (0,8).(0,2).(0,8).(0,8)=0,1024 
FSSS (0,2).(0,8).(0,8).(0,8)=0,1024 
0,4096 
A probabilidade de 3S e 1F é a 
soma de todos os resultados 
possíveis. 
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Distribuição Binomial 
Temos: 
- 4 resultados possíveis; 
- Probabilidade de cada resultado = (0,8)3(0,2)1 (não muda); 
Logo a probabilidade total de 3 sucessos e 1 falha é 
 
4096,0)2,0.()8,0.(4)3( 13 xP
xxxnx
xnx
qp
xxn
n
qp
x
n
xP
falhapsucessop
x
n
xP
..
!)!.(
!
..)(
)](.[)](.[)(

















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Distribuição Binomial 
Exemplos: 
n x p 
 
P(x) 
 
5 3 0,30 
 
 
 
5 4 0,30 
 
 
 
5 
3 ou 
4 
0,30 
 
 
 
Probabilidades 
Individuais 
1323,07,0.3,0.
3
5
353 




 
0284,07,0.3,0.
4
5
454 




 
1607,07,0.3,0.
4
5
7,0.3,0.
3
5
454353 










 
Probabilidade Acumulada 
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Distribuição Binomial 
Tabelas: 
 
-Probabilidade Individual; 
Exemplo: 
Ter 5 sucessos em 8 observações sendo P(sucesso) = 0,30; 
 
-Probabilidade acumulada; 
Exemplo: 
Ter até 2 sucessos em 4 observações, sendo P(sucesso) = 0,50; 
Isso inclui a probabilidade de ter 0, 1 e 2 sucessos. 
 
 
 
 
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Distribuição Binomial 
Tabela de probabilidades individuais: 
1 - Procurar no topo da tabela o valor de p indicado. 
2 - Localizar o n na coluna a esquerda da tabela, e procurar o 
número x de sucessos desejados. 
3 - A probabilidade de x sucessos se encontra na interseção das 
linhas dos itens 1 e 2 acima. 
 
Exemplo (veja a tabela no próximo slide): 
 
Para n = 8, x = 5 e P(x) = 0,3, temos P(x=3) = 0,0467 
 
 
 
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Distribuição Binomial 
Tabela de probabilidades individuais: 
 
p 
n x 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 
8 0 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039 0,0017 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
1 0,2793 0,3826 0,3847 0,3355 0,2670 0,1977 0,1373 0,0896 0,0548 0,0313 0,0164 0,0079 0,0033 0,0012 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 
2 0,0515 0,1488 0,2376 0,2936 0,3115 0,2965 0,2587 0,2090 0,1569 0,1094 0,0703 0,0413 0,0217 0,0100 0,0038 0,0011 0,0002 0,0000 0,0000 
3 0,0054 0,0331 0,0839 0,1468 0,2076 0,2541 0,2786 0,2787 0,2568 0,2188 0,1719 0,1239 0,0808 0,0467 0,0231 0,0092 0,0026 0,0004 0,0000 
4 0,0004 0,0046 0,0185 0,0459 0,0865 0,1361 0,1875 0,2322 0,2627 0,2734 0,2627 0,2322 0,1875 0,1361 0,0865 0,0459 0,0185 0,0046 0,0004 
5 0,0000 0,0004 0,0026 0,0092 0,0231 0,0467 0,0808 0,1239 0,1719 0,2188 0,2568 0,2787 0,2786 0,2541 0,2076 0,1468 0,0839 0,0331 0,0054 
6 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0038 0,0100 0,0217 0,0413 0,0703 0,1094 0,1569 0,2090 0,2587 0,2965 0,3115 0,2936 0,2376 0,1488 0,0515 
7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0012 0,0033 0,0079 0,0164 0,0313 0,0548 0,0896 0,1373 0,1977 0,2670 0,3355 0,3847 0,3826 0,2793 
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0017 0,0039 0,0084 0,0168 0,0319 0,0576 0,1001 0,1678 0,2725 0,4305 0,6634 
9 0 0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0,0020 0,0008 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
1 0,2985 0,3874 0,3679 0,3020 0,2253 0,1556 0,1004 0,0605 0,0339 0,0176 0,0083 0,0035 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
2 0,0629 0,1722 0,2597 0,3020 0,3003 0,2668 0,2162 0,1612 0,1110 0,0703 0,0407 0,0212 0,0098 0,0039 0,0012 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 
3 0,0077 0,0446 0,1069 0,1762 0,2336 0,2668 0,2716 0,2508 0,2119 0,1641 0,1160 0,0743 0,0424 0,0210 0,0087 0,0028 0,0006 0,0001 0,0000 
4 0,0006 0,0074 0,0283 0,0661 0,1168 0,1715 0,2194 0,2508 0,2600 0,2461 0,2128 0,1672 0,1181 0,0735 0,0389 0,0165 0,0050 0,0008 0,0000 
5 0,0006 0,0074 0,0283 0,0661 0,1168 0,1715 0,2194 0,2508 0,2600 0,2461 0,2128 0,1672 0,1181 0,0735 0,0389 0,0165 0,0050 0,0008 0,0000 
6 0,0000 0,0008 0,0050 0,0165 0,0389 0,0735 0,1181 0,1672 0,2128 0,2461 0,2600 0,2508 0,2194 0,1715 0,1168 0,0661 0,0283 0,0074 0,0006 
7 0,0000 0,0001 0,0006 0,0028 0,0087 0,0210 0,0424 0,0743 0,1160 0,1641 0,2119 0,2508 0,2716 0,2668 0,2336 0,1762 0,10690,0446 0,0077 
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0012 0,0039 0,0098 0,0212 0,0407 0,0703 0,1110 0,1612 0,2162 0,2668 0,3003 0,3020 0,2597 0,1722 0,0629 
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0035 0,0083 0,0176 0,0339 0,0605 0,1004 0,1556 0,2253 0,3020 0,3679 0,3874 0,2985 
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Distribuição Binomial 
Tabela de Probabilidades acumuladas: 
 
Esta tabela pode ser utilizada para obter: 
 
 A probabilidade de x sucessos ou menos; 
 A probabilidade de x sucessos (prob. individual); 
 A probabilidade x sucessos ou mais; 
 
 
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Distribuição Binomial 
Exemplo: 
Considere P(sucesso) = 0,50 e n = 4, use a tabela para 
determinar P(x=3). 
P(x ≤ 3) inclui 0 1 2 3 e é igual a 0,9375 
P (x ≤ 2) inclui 0 1 2 e é igual a 0,6875 
P( x = 3) inclui 3 e é igual a 0,2500 
 
 
Usamos a subtração para 
determinar a probabilidade 
individual 
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Distribuição Binomial 
Exemplo: 
Considerando P(Sucesso)=0,3 e n=10, temos: 
 
 P(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Ler na 
Tabela 
Resultado 
P(x≤6) 0 1 2 3 4 5 6 P(6) 0,9894 
P(x<6) 0 1 2 3 4 5 P(5) 0,9527 
P(x≥6) 6 7 8 9 10 1 – P(5) 1 – 0,9527 = 0,0473 
P(x>6) 7 8 9 10 1 – P(6) 1 – 0,9894 = 0,0106 
P(x=6) 6 P(6) – P(5) 0,9894 – 0,9527 = 0,0367 
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Distribuição Binomial 
Tabela de Probabilidades Acumuladas: 
 
p 
n x 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 
1 0 0,9500 0,9000 0,8500 0,8000 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000 0,4500 0,4000 0,3500 
1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 
2 0 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500 0,2025 0,1600 0,1225 
1 0,9975 0,9900 0,9775 0,9600 0,9375 0,9100 0,8775 0,8400 0,7975 0,7500 0,6975 0,6400 0,5775 
2 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 
3 0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 0,0911 0,0640 0,0429 
1 0,9928 0,9720 0,9393 0,8960 0,8438 0,7840 0,7183 0,6480 0,5748 0,5000 0,4253 0,3520 0,2818 
2 0,9999 0,9990 0,9966 0,9920 0,9844 0,9730 0,9571 0,9360 0,9089 0,8750 0,8336 0,7840 0,7254 
3 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 
4 0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625 0,0410 0,0256 0,0150 
1 0,9860 0,9477 0,8905 0,8192 0,7383 0,6517 0,5630 0,4752 0,3910 0,3125 0,2415 0,1792 0,1265 
2 0,9995 0,9963 0,9880 0,9728 0,9492 0,9163 0,8735 0,8208 0,7585 0,6875 0,6090 0,5248 0,4370 
3 0,9995 0,9963 0,9880 0,9728 0,9492 0,9163 0,8735 0,8208 0,7585 0,6875 0,6090 0,5248 0,4370 
4 1,0000 0,9999 0,9995 0,9984 0,9961 0,9919 0,9850 0,9744 0,9590 0,9375 0,9085 0,8704 0,8215 
5 0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0313 0,0185 0,0102 0,0053 
1 0,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,6328 0,5282 0,4284 0,3370 0,2562 0,1875 0,1312 0,0870 0,0540 
2 0,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8965 0,8369 0,7648 0,6826 0,5931 0,5000 0,4069 0,3174 0,2352 
3 1,0000 0,9995 0,9978 0,9933 0,9844 0,9692 0,9460 0,9130 0,8688 0,8125 0,7438 0,6630 0,5716 
4 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9976 0,9947 0,9898 0,9815 0,9688 0,9497 0,9222 0,8840 
5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 
Slide 22 
Distribuição Binomial 
Dada uma distribuição podemos representá-la graficamente. 
 
 
 
 
 
 
A média uma distribuição é a média a longo prazo ou o valor 
esperado. 
Diagrama de barras 
percentagem de sucessos 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 
Histograma 
0 1 2 3 4 5 
número de sucessos 
p = 0,5 
n = 5 
Média Desvio Padrão 
Número de sucessos n.p 
Percentagem de 
Sucessos 
p 
 
 
 
qpn ..
n
qp.
Slide 23 
Distribuição Binomial 
Exemplo: 
Numa distribuição de probabilidade de sucesso de 0,10 e 100 
observações, determine a média e o desvio padrão. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
A longo prazo, em amostras de 100 observações, esta distribuição 
terá em média 10 sucessos tendo um desvio padrão 3 sucessos 
em torno da média. 
 
Média Desvio Padrão
Número de sucessos 100.0,10=10
Percentagem de Sucessos 0,1039,0.1,0.100 
3,0
100
9,0.1,0

Slide 24 
Distribuição Binomial 
Variação da forma da distribuição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição binomial é simétrica para p = 0,50 , desviada à direita 
para p < 0,50 e desviada à esquerda para p > 0,50. 
 
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 
p = 0,30 p = 0,50 p = 0,60 p = 0,80 
Para n = 4 
0 1 2 3 4 
p = 0,10