Unidade II - Oscilações 1ª parte - Movimento Harmônico Simples (slide)

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Departamento de Física e Química
Física Geral II
Fluidos, Oscilações e Calor 
Prof. Flávio de Jesus Resende
fjresende@pucminas.br
Prédio 34 – sala 217
3319-4180
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Física Geral II - Unidade I - Fluidos
Unidade II - Oscilações
Movimento Harmônico Simples - MHS
 MHS no Sistema Massa-Mola
 Velocidade e Aceleração no MHS
 Energia no MHS
 Pêndulos
MHS e o Movimento Circular Uniforme
Movimento Harmônico Amortecido
Oscilações Forçadas e Ressonância
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HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física - volume 2 : gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2012. Capítulo 15
Referência Bibliográfica
2
Física Geral II - Unidade I - Fluidos
Unidade II – Oscilações 
Diversos sistemas físicos apresentam comportamento oscilatório desde átomos em uma estrutura cristalina, passando por vibrações em motores até modos de vibração em pontes. 
A descrição matemática do problema é relativamente simples e os resultados podem ser verificados experimentalmente
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Unidade II – Oscilações 
Os sistemas físicos mais próximos e simples que podemos estudar são o sistema massa-mola e o pêndulo simples. A característica comum destes sistemas reside em que ao deslocarmos o corpo da posição de equilíbrio, ele é levado de volta a ela por uma força restauradora. 
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O sistema Massa-mola consiste de uma massa m conectada a uma mola ideal de constante elástica k em uma superfície horizontal sem atrito.
O Pêndulo Simples é um objeto de massa m preso a um fio de comprimento L
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MHS no Sistema Massa-Mola
Vamos analisar matematicamente oscilações em um sistema massa-mola. 
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Condição inicial (CI):
-O corpo de massa m é deslocado de uma quantidade x para a direita, a mola é esticada de uma quantidade Δx e o objeto é liberado do repouso (posição inicial: x0 e velocidade inicial v0=0). 
-O Objeto pode ser deslocado para a esquerda (a mola então é comprimida) e liberado do repouso (posição inicial: -x0 e velocidade inicial v0=0). 
. Existem outras possibilidades de CI? Como a CI afeta o movimento do objeto?
0 x
 x0 x
O sistema é posto a oscilar e analisamos a posição x do objeto como função do tempo
x=f(t)
 
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MHS no Sistema Massa-Mola
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Δx
F
 0 x0 x 
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MHS no Sistema Massa-Mola
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F
F
F
F
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MHS no Sistema Massa-Mola
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 Considerando como condição inicial (CI) : Diagrama de Corpo Livre - DCL
posição inicial: x0 e velocidade inicial v0=0
 0 x0 x 
x
N
P
F
y
mas
e
assim
e
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MHS no Sistema Massa-Mola
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 As soluções desta EDO são funções tipo senos ou cossenos ou combinações lineares destas funções.
 Posição do objeto x = f(t)
0 x0 x
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MHS no Sistema Massa-Mola
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 A velocidade do objeto é a taxa de variação da posição no tempo:
 x0 x
assim
mas
e
assim
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MHS no Sistema Massa-Mola
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 x0 x
0 π 2 π
0 π 2 π
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MHS no Sistema Massa-Mola
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 A aceleração do objeto é a taxa de variação
 da velocidade no tempo:
assim
Considerando como condição inicial (CI) : em t= 0 posição inicial: x0 e velocidade inicial v0=0 
aceleração como função do tempo
0 π 2 π
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MHS no Sistema Massa-Mola
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 posição x
Velocidade v
Aceleração a
0 π 2 π
0 π 2 π
0 π 2 π
Considerando como condição inicial (CI) : em t= 0 posição inicial: x0 e velocidade inicial v0=0 
 posição x
Velocidade v
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MHS no Sistema Massa-Mola
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temos
e
e
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MHS no Sistema Massa-Mola
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O Período T e a frequência f não dependem da condição inicial. No sistema massa mola o Período T e a frequência f dependem apenas dos valores da constante elástica da mola k e da massa m.
t
e
Assim 
e
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MHS no Sistema Massa-Mola
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t
t
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MHS no Sistema Massa-Mola
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Quando o movimento é na direção vertical como as oscilações mudam?
No equilíbrio (sem oscilação): 
Mas 
assim 
Nas oscilações: 
então 
e
Exatamente como no MHS Horizontal!
No equilíbrio 
Nas oscilações
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Exemplo 2. A figura abaixo mostra a posição de um bloco de 20g oscilando em um MHS na extremidade de uma mola. A escala do eixo horizontal é definida por ts=40ms. Determine:
(a) O período, (b) A frequência, (c) A frequência Angular (d) A amplitude do movimento (e) A equação de movimento do bloco, (f)A velocidade máxima (g) A aceleração Máxima (h) As funções velocidade e aceleração.
Máximo em t=0s
Xm= 7 cm
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Exemplo 3. Um bloco cuja massa m é 680 g está preso a uma mola (k=65 N/m). O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância x=11 cm a partir da posição de equilíbrio em x=0 e liberado a partir do repouso no instante t=0. Determine(a) ω, f e T; (b) a amplitude xm , (c) a velocidade máxima, (d) a aceleração máxima e (e) a constante de fase φ do movimento (f) Escreva x(t)
Exemplo 4. Em t=0, a posição de um bloco preso em uma mola com constante elástica k= 65 N/m é -8,50 cm. A velocidade do bloco neste instante inicial é v(0) = -0,920 m/s e a aceleração é a(0)=+ 47,0 m/s2 (a)Determine
a frequência angular ω do sistema (b) Determine a amplitude xm e (c) a constante de fase φ das oscilações, (d) Desenhe os gráficos de posição, velocidade e aceleração versus o tempo.
MHS no Sistema Massa-Mola
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 x0 x
 Condição inicial (CI): em t= 0 posição inicial: x0 e velocidade inicial v0=0 
Energia como função do tempo t
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MHS no Sistema Massa-Mola
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 x0 x
A Energia Mecânica total no MHS é conservada, ou seja, constante. 
Energia como função da posição x
no sistema Massa-Mola 
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Exemplo 5. Para o problema do exemplo 2 determine o valor das energias cinética, potencial e total a cada 10 ms e desenhe um gráfico das energias versus o tempo. 
Exemplo 6. Para o problema do exemplo 3 determine os valores das energias cinética, potencial e total em x=0 e em x= 11cm. Desenhe um gráfico das Energias em função da posição.
Exemplo 7. Para o problema do exemplo 4 determine os valores das energias cinética, potencial e total no instante inicial e determine (a) a amplitude do movimento e (b) a velocidade máxima do bloco.
MHS no Pêndulo-Simples
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 Pêndulo Simples: Objeto de massa m preso a um fio de comprimento L
 Condição inicial (CI) Diagrama de
 Corpo Livre - DCL
e
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