Calculo I II

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Ensino Superior 
Cálculo 1 
1.4- Limites Tendendo ao Infinito 
Amintas Paiva Afonso 
Cálculo 1 - Limites 
 Infinito e Limite (Sutil e profundo) 
 O conceito de limite está intimamente atrelado ao 
conceito de infinito. Trata-se de um dos conceitos mais 
fecundos da matemática e o principal para o 
desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral. 
 Ele primeiro surgiu sob a forma de processos 
convergentes ilimitados. 
 O primeiro testemunho literário encontra-se nos 
paradoxos de Zenão de Eléa, matemático e discípulo de 
Parmênides. 
Cálculo 1 - Limites 
 O Paradoxo da Dicotomia 
 O argumento desse paradoxo consiste basicamente na 
idéia de que aquilo que se move tem que chegar na 
metade de seu percurso antes de chegar ao fim. 
 O raciocínio é o seguinte: antes de percorrer todo o 
percurso, o objeto que se move deve percorrer metade 
do percurso. Antes de percorrer a metade que falta, 
deve percorrer a metade deste, ou seja, a metade da 
metade (um quarto do percurso inicial), e assim 
sucessivamente, o objeto deverá percorrer um conjunto 
infinito de intervalos. 
 
M1 M2 M3 
2
1
4
1
8
1
... 
Cálculo 1 - Limites 
 O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga 
 O paradoxo de Aquiles e a Tartaruga possui o mesmo 
argumento que o paradoxo da dicotomia, porém em vez 
de um objeto, temos dois objetos em movimento com 
velocidades diferentes. 
 Ele é assim enunciado: Numa corrida entre Aquiles e a 
Tartaruga em que a Tartaruga sai com uma certa 
vantagem, mesmo sendo mais lenta que Aquiles, este 
jamais a alcança; pois aquele que persegue tem primeiro 
de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento 
começou, e o mais lento tem necessariamente de já 
estar a alguma distância à frente. 
 
Cálculo 1 - Limites 
...
100
1
10
1
110100 
 O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga 
 Suponha que Aquiles é 10 vezes mais rápido que a Tartaruga 
e que esta parte com uma vantagem de 1000 m. Quando 
Aquiles percorre os 1000 m, a Tartaruga já está 100 m a sua 
frente. Aquiles percorre os 100 m que o separa da Tartaruga, 
mas, nesse tempo, a Tartaruga já percorreu 10 m, mantendo a 
vantagem. Aquiles percorre os 10 m, mas, nesse tempo, a 
Tartaruga está 1 m a sua frente e assim sucessivamente. Isto 
quer dizer que Aquiles nunca alcança a Tartaruga? 
Cálculo 1 - Limites 
 Infinito e Limite 
 Considere que o intervalo AB do primeiro paradoxo é igual a 
1. O ponto M1 divide o intervalo ao meio, portanto a primeira 
metade equivale a ½. O segundo ponto, M2, divide a metade 
restante ao meio, portanto equivale a ¼ do comprimento 
original. Logo, o intervalo pode ser expresso como uma 
soma de intervalos que cresce ilimitadamente por partes que 
sempre são menores que a imediatamente anterior: 
 
 O paradoxo está no fato de a série não crescer até ao 
infinito, pois a sua soma sempre permanece menor que 1, 
por mais intervalos que por ventura viermos a adicionar. 
1...
16
1
8
1
4
1
2
1

Cálculo 1 - Limites 
Zenão de Eléa 
(*501 - † 425 a. C.) 
 
 
Bertrand Russell 
*18/05/1872 – †02/02/1970 
Cálculo 1 - Limites 
 Conceito intuitivo de Limite 
 Vamos supor que temos que preencher um quadrado de 
lado L, hachurando sempre a metade da área restante: 
 
Cálculo 1 - Limites 
 Conceito intuitivo de Limite 
 A próxima área a ser hachurada seria a metade daquela 
que restou, portanto: 
 
Cálculo 1 - Limites 
 Conceito intuitivo de Limite 
 A próxima área a ser hachurada seria a metade daquela 
que restou, portanto: 
 
Cálculo 1 - Limites 
 Conceito intuitivo de Limite 
 A próxima área a ser hachurada seria a metade daquela 
que restou, portanto: 
 
Cálculo 1 - Limites 
 A solução dos paradoxos 
 A solução dos paradoxos têm a ver com o conceito de limite 
e convergência de séries numéricas. 
 Para o pensamento ingênuo da Antiguidade, o entendimento 
puramente quantitativo segundo o qual quando alguma 
coisa sempre aumenta acabará por ultrapassar todos os 
limites é que conduz ao erro. 
 O erro está em supor, intuitivamente, que a soma de infinitos 
intervalos deve ser necessariamente infinita. 
 Tanto no caso do paradoxo da dicotomia quanto no de 
Aquiles a soma da série tende a convergir para um valor 
finito. É nesse ponto que Aquiles encontra a Tartaruga! 
Cálculo 1 - Limites 
 Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito” 
 Considere, por exemplo, a função 
 
 Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce 
 indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se 
 aproximar cada vez mais de 0. 
 
x
xf
1
)( 
0
1
lim 
 xx
Cálculo 1 - Limites 
 Os símbolos +  e -  , não representam números reais, não 
 podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de 
 cálculo algébrico. 
 
 Dado b  IR, teremos as seguintes igualdades simbólicas: 
 b + (+  ) = +  
 b + ( -  ) = -  
 (+  ) + (+  ) = +  
 (-  ) + (-  ) = -  
 (+  ) + (-  ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo  - , 
 é dito um símbolo de indeterminação. 
 (+  ) . (+  ) = +  
 (+  ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. 
 É uma indeterminação. 
  /  = nada se pode afirmar inicialmente. 
 É uma indeterminação. 
Cálculo 1 - Limites 
 No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a 
expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor 
do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas 
algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são: 
 -  
 . 0 
 /  
0 
0  0 
1 
1- 
Cálculo 1 - Limites 
 Exemplo: 
 Calcule o limite, se existir, de: 
 
 
 
Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto, 
teria uma indeterminação do tipo 
 
14
13
lim


 x
x
x


Cálculo 1 - Limites 
Portanto, o método aqui consiste em dividir o numerador e o 
denominador por x: 
 
 
 
 
 Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito, 
 o raciocínio é análogo. 
4
3
04
03
1
lim4lim
1
lim3lim
)
1
4(lim
)
1
3(lim
1
4
1
3
lim
14
13
lim 































x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
xx
 Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, existe uma rocha. 
Possui 100 Km de altura, 100 Km de largura e 100 Km de 
comprimento. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. 
Assim, quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do 
pássaro, um dia na eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon) 
 
Noção Intuitiva 
Sucessões 
numéricas 
Dizemos que: 
1, 2, 3, 4, 5, .... Os termos tornam-se 
cada vez maiores, sem 
atingir um limite 
x  +  
Os números 
aproximam-se cada vez 
mais de 1, sem nunca 
atingir esse valor 
x  1 
1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos tornam-se 
cada vez menor, sem 
atingir um limite 
x  -  
Os termos oscilam sem 
tender a um limite 
,.....
6
5
,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
,...7,
7
6
,5,
4
5
,3,
2
3
,1
Limites Intuitivos 
 
= 
0)(lim)(
0)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
0
0










xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b

)(a
)(d

)(c

< 










)(lim)(
)(lim)(
1)(lim)(
0)(lim)(
0
0
xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b

)(a

)(d

)(c

< 
 > 
]1,1[)(lim)(
)(lim)(
]1,1[)(lim)(
0)(lim)(
0
0










entrexfd
xfc
entrexfb
xfa
x
x
x
x
)(b

)(a

)(d

)(c

Limites Intuitivos 



 
)(lim)(
0)(lim)(
1
xfb
xfa
x
x
)(b

)(a

Limites Infinitos 
2 2
x 1 x 1
2
x 1
2 2
lim e lim
(x 1) (x 1)
2
lim
(x 1)
  

   
 
  

2
2
y
(x 1)


Limites Infinitos 
xtg
xtgextg
x
xx
2
22
lim
limlim







existenão
y = tg x 
Limites no Infinito 
x x
lim f(x) 1 e lim f(x) 1
   
 
Limites Infinitos 
Limites nos extremos do domínio da 
função exponencial 
Limites Infinitos 
Limites nos extremos do domínio da 
função logarítmica 
Limite Trigonométrico Fundamental 
 
x 0
senx
lim 1
x

Consideremos um círculo de raio unitário e 0 < x < /2. 
Verificamos que: 
Área OPH  Área do setor OAP  Área do OAT 
Demonstração 
Limite Trigonométrico Fundamental 
Limite Trigonométrico Fundamental 
 Como PH = sen x; OA = 1 e AT = tg x, temos que: 
 Área OPH = cos x.sen x ; Área setor OAP = x.1 
 2 2 
 e Área OAT = 1.tg x . 
 2 
 Logo, cos x.sen x < x < 1.tg x . 
 2 2 2 
 Dividindo todos os membros por (sen x)/2 (>0), vem: 
Limite Trigonométrico Fundamental 
 
cos x < x < _1_ . 
 sen x cos x 
 
 Como todos os termos são positivos, podemos 
escrever 1/cosx >(sen x)/x > cos x. 
 
 Visto que 1/cosx e cos x tendem a 1 quando x 
tende a 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que 
(sen x)/x também tende a 1 quando x  0. 
 
 De maneira análoga, provamos também para x < 0. 
Limite Exponencial Fundamental 
 
x
x
1
lim 1 e
x
 
   
Limite – Cálculo 1 
Uma função f é contínua em um número x0 se 
)()(lim 0
0
xfxf
xx


Nenhuma destas funções é contínua em x = xo. 
Continuidade de uma função em um número 
a) b) c) 
Limite – Cálculo 1 
 Uma função f é contínua em um intervalo aberto 
se for contínua em todos os pontos desse intervalo. 
 ba,
Continuidade de uma função em um intervalo aberto 
Limite – Cálculo 1 
 Se f é uma função contínua num intervalo 
fechado e N é um número qualquer entre f(a) e 
f(b), então existe um número x0  para o qual 
f(xo) = N. 
 ba,
 ba,
Teorema do valor intermediário