EC 1 Aula 11 2018 1S

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E
S
T
R
U
T
U
R
A
S
 
D
E
 C
O
N
C
R
E
T
O
 
1
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DE SÃO PAULO
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
PROF. ALEXANDRE AUGUSTO MARTINS
7º PERÍODO
2018 /1S
AULA 11
05.JUNHO.2018
L A J E S A R M A D A S E M U M A D I R E Ç Ã O
2
E X E R C Í C I O
EXERCÍCIO 3 (AULA PASSADA...)
▪ DIMENSIONAR ESTRUTURALMENTE UM TRECHO DE 7,5m DE COMPRIMENTO LONGITUDINAL,
REFERENTE A UMA LAJE DE PISO SITUADA NO CORREDOR DE UMA ESCOLA. CONSIDERAR QUE A
PAREDE DA SALA DE AULA À ESQUERDA ESTÁ DIRETAMENTE APOIADA SOBRE A REFERIDA LAJE
3
DADOS DO PROBLEMA:
▪ PÉ-DIREITO DO CORREDOR: 3,3m
▪ PARA O TRECHO DE LAJE CONSIDERADO NESTE CÁLCULO:
▪ ÁREA TOTAL = 26,25m² (3,5 X 7,5m)
▪ PISO:
▪ CONTRAPISO (OU CAMADA DE REGULARIZAÇÃO): 0,04m
▪ REVESTIMENTO DA FACE INFERIOR DA LAJE DE PISO: 0,02m
▪ REVESTIMENTO DA FACE SUPERIOR: LÂMINAS DE MADEIRA CABREÚVA
▪ PARA A PAREDE À ESQUERDA, DA SALA DE AULA, APOIADA DIRETAMENTE SOBRE A LAJE:
▪ BLOCOS DE TIJOLO MACIÇO, DE 10,0cm x 5,0cm x 21,0cm
▪ ESPESSURA FINAL DA PAREDE, ACABADA (E) = 0,15m
▪ COMPRIMENTO TOTAL (L) = 7,5m
DADOS DO PROBLEMA:
▪ COMPOSIÇÃO ESTRUTURAL DA LAJE DE PISO:
▪ CONDIÇÕES DE BORDO (OU SITUAÇÃO ESTÁTICA): LAJE BI-ENGASTADA, CONSTRUÍDA SOBRE
DUAS VIGAS LONGITUDINAIS PRINCIPAIS, DE BW = 0,2m (CADA)
▪ AÇO: CA.25
▪ CIMENTO: CP IV
▪ fck = 50 MPa
▪ CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA):
▪ AGRESSIVIDADE: FORTE
▪ RISCO DE DETERIORAÇÃO DA ESTRUTURA: GRANDE
4
1 . D E T E R M I N A Ç Ã O D O T I P O D E A R M A Ç Ã O D A L A J E
L X
=
 3
,5
m
LY = 7,5m  =
LY
LX
 2,0
  =
7,5
3,5
 2,0
  = 2,14 LAJE ARMADA EM UMA DIREÇÃO
5
LY = 7,5m
M
X
X
L X
=
 3
,5
m
q [kN / m]
LX = 3,5m
MMÁXDMF
q . L2
12
q . L
2
q . L
2
DFC
q . L2
12
FLECHA MÁXIMA:
fmáx = 
1
384
q . L4
E . I
.
MMÁX =
q . L2
24,00
MOMENTO MÁXIMO 
NO VÃO:
XMÁX =
q . L2
12,00
MOMENTO MÁXIMO 
NOS APOIOS:
6
2 . E S P E S S U R A E A L T U R A Ú T I L D A L A J E
ONDE:
▪ H = ESPESSURA DA LAJE [cm] = 
▪ d = ALTURA ÚTIL INICIAL PARA A LAJE [cm] = 
▪ L = DIÂMETRO DA BARRA LONGITUDINAL DA LAJE (VALOR INICIAL ADOTADO: 5,0mm)
▪ CNOM = COBRIMENTO NOMINAL DA ARMADURA (TABELAS 6.1 + 7.2 – NBR 6118)
▪ PARA LAJES RETANGULARES COM BORDAS APOIADAS OU ENGASTADAS, A ESPESSURA PODE
SER ESTIMADA POR MEIO DA SEGUITE EXPRESSÃO:
H = di + (L / 2) + CNOM [cm] 
7
ONDE:
▪ di = ALTURA ÚTIL INICIAL PARA A LAJE [cm]
▪ LX = LEF = VÃO EFETIVO MENOR, CONSIDERANDO A DISTÂNCIA DE EIXO A EIXO ENTRE VIGAS
DE APOIO DA LAJE
▪ ψ2 = VALOR QUE DEPENDE DAS CONDIÇÕES DE BORDO (OU DE APOIO DA LAJE)
▪ ψ3 = VALOR DERIVADO DO AÇO EMPREGADO
a. PARA LAJES RETANGULARES COM BORDAS APOIADAS OU ENGASTADAS, A ALTURA ÚTIL
INICIAL “di” PODE SER ESTIMADA POR MEIO DA SEGUITE EXPRESSÃO:
di  ψ2 . ψ3
LX [cm] 
VALORES DE “ψ2” PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
CONDIÇÃO DE BORDO (SITUAÇÃO ESTÁTICA) VALOR DE ψ2
1,70
1,20
1,00
0,50
8
VALORES DE “ψ2” PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
CONDIÇÃO DE BORDO (SITUAÇÃO ESTÁTICA) VALOR DE ψ2
1,70
1,20
1,00
0,50
VALORES DE “ψ3” PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
AÇO UTILIZADO
ψ3
LAJE MACIÇA LAJE NERVURADA
CA-25 35,0 25,0
CA-32 33,0 22,0
CA-40 30,0 20,0
CA-50 25,0 17,0
CA-60 20,0 15,0
9
VALORES DE “ψ3” PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
AÇO UTILIZADO
ψ3
LAJE MACIÇA LAJE NERVURADA
CA-25 35,0 25,0
CA-32 33,0 22,0
CA-40 30,0 20,0
CA-50 25,0 17,0
CA-60 20,0 15,0
LOGO,
ONDE:
▪ di = ALTURA ÚTIL INICIAL PARA A LAJE [cm]
▪ LX = LEF = VÃO EFETIVO, CONSIDERANDO A DISTÂNCIA DE EIXO A EIXO ENTRE VIGAS DE
APOIO DA LAJE = 3,5m (= 350,0cm)
▪ ψ2 = VALOR QUE DEPENDE DAS CONDIÇÕES DE BORDO = 1,7
▪ ψ3 = VALOR DERIVADO DO AÇO EMPREGADO = 35,0
di  ψ2 . ψ3
LX [cm] 
10
ASSIM, PARA ESTE CASO, A ALTURA ÚTIL INICIAL ADOTADA DA LAJE SERÁ:
di = 5,88cm
di  ψ2 . ψ3
LX
di  1,7 . 35,0
350,0
NBR 6118, TABELA 6.1: CLASSES DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
CLASSE DE 
AGRESSIVIDADE 
AMBIENTAL
AGRESSIVIDADE
CLASSIFICAÇÃO GERAL 
DO TIPO DE AMBIENTE 
PARA EFEITO DE 
PROJETO’
RISCO DE DETERIORAÇÃO 
DA ESTRUTURA
I FRACA
RURAL
INSIGNIFICANTE
SUBMERSA
II MODERADA URBANA PEQUENO
III FORTE
MARINHA
GRANDE
INDUSTRIAL
IV MUITO FORTE
INDUSTRIAL
ELEVADO
RESPINGOS DE MARÉ
b. COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 1/2]
11
NBR 6118, TABELA 6.1: CLASSES DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
CLASSE DE 
AGRESSIVIDADE 
AMBIENTAL
AGRESSIVIDADE
CLASSIFICAÇÃO GERAL 
DO TIPO DE AMBIENTE 
PARA EFEITO DE 
PROJETO
RISCO DE DETERIORAÇÃO 
DA ESTRUTURA
I FRACA
RURAL
INSIGNIFICANTE
SUBMERSA
II MODERADA URBANA PEQUENO
III FORTE
MARINHA
GRANDE
INDUSTRIAL
IV MUITO FORTE
INDUSTRIAL
ELEVADO
RESPINGOS DE MARÉ
b. COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 1/2]
NBR 6118, TABELA 7.2:
CORRESPONDÊNCIA ENTRE CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL E COBRIMENTO NOMINAL PARA ΔC = 10,0mm
TIPO DE 
ESTRUTURA
COMPONENTE 
(OU ELEMENTO)
CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
I II III IV(2)
COBRIMENTO NOMINAL (mm)
CONCRETO 
ARMADO
LAJE 20,0 25,0 35,0 45,0
VIGA / PILAR 25,0 30,0 40,0 50,0
ELEMENTOS 
ESTRUTURAIS EM 
CONTATO COM O 
SOLO
30,0 40,0 50,0
b. COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 2/2]
12
NBR 6118, TABELA 7.2:
CORRESPONDÊNCIA ENTRE CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL E COBRIMENTO NOMINAL PARA ΔC = 10,0mm
TIPO DE 
ESTRUTURA
COMPONENTE 
(OU ELEMENTO)
CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
I II III IV(2)
COBRIMENTO NOMINAL (mm)
CONCRETO 
ARMADO
LAJE 20,0 25,0 35,0 45,0
VIGA / PILAR 25,0 30,0 40,0 50,0
ELEMENTOS 
ESTRUTURAIS EM 
CONTATO COM O 
SOLO
30,0 40,0 50,0
b. COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 2/2]
H = di + (L / 2) + CNOM
ONDE, PARA ESTE CASO:
▪ H = ESPESSURA DA LAJE [cm]
▪ d = ALTURA ÚTIL PARA A LAJE [cm] = 5,88cm
▪ L = DIÂMETRO DA BARRA LONGITUDINAL DA LAJE (VALOR ADOTADO: 5,0mm = 0,5cm)
▪ CNOM = COBRIMENTO NOMINAL DA ARMADURA = 3,5cm (TABELAS 6.1 + 7.2 – NBR 6118)
c. CÁLCULO DA ESPESSURA DA LAJE, A PARTIR DA ALTURA ÚTIL INICIAL E DO COBRIMENTO
NOMINAL
13
ASSIM,
H = di + (L / 2) + CNOM
H = 5,88 + (0,5 / 2) + 3,5 
H = 9,63cm H = 10,0cm
▪ PORÉM, A NBR 6118/2004 (ITEM 13.2.4.1) ESTABELECE QUE A ESPESSURA MÍNIMA PARA AS LAJES
MACIÇAS DEVE RESPEITAR:
▪ 7,0cm: PARA LAJES DE COBERTURA NÃO EM BALANÇO
▪ 8,0cm: PARA LAJES DE PISO NÃO EM BALANÇO
▪ 10,0cm: PARA LAJES EM BALANÇO
▪ 10,0cm: PARA LAJES QUE SUPORTEM VEÍCULOS DE PESO TOTAL MENOR OU IGUAL A 30,0kN
▪ 12,0cm: PARA LAJES QUE SUPORTEM VEÍCULOS DE PESO TOTAL MAIOR QUE 30,0kN
▪ 15,0cm: PARA LAJES COM PROTENSÃO APOIADA EM VIGAS, COM O MÍNIMO DE L/42 PARA
LAJES DE PISO BIAPOIADAS E L/50 PARA LAJES DE PISO CONTÍNUAS
▪ 16,0cm: PARA LAJES LISAS E 14,0cm PARA LAJES COGUMELO FORA DO CAPITEL
H = 10,0cm = OK !
14
▪ LOGO, A ALTURA ÚTIL (d) PRECISA SER RECALCULADA, EM FUNÇÃO DE A ESPESSURA DA LAJE TER
SIDO, ELA TAMBÉM, MODIFICADA (DE 9,63cm PARA 10,0cm)
dF = HF – CNOM – (L / 2)
H
CNOM
L
d
ONDE:
▪ dF = ALTURA ÚTIL FINAL DA LAJE [cm]
▪ HF = ESPESSURA FINAL DA LAJE = 10,0cm
▪ L = DIÂMETRO DA BARRA LONGITUDINAL DA LAJE (VALOR ADOTADO: 5,0mm = 0,5cm)
▪ CNOM = COBRIMENTO NOMINAL DA ARMADURA: 3,5cm (DADO DO EXERCÍCIO)
LOGO,
dF = H – CNOM – (L / 2)
dF = 10,0 – 3,5 – (0,5 / 2)
dF = 6,25cm
15
3 . A Ç Õ E S E C A R R E G A M E N T O S
3 . 1 . C A R G A S P E R M A N E N T E S
16
L1 = 1,0m
L2 = 1,0m
H = 0,10m
ONDE:
▪ gPP.LJ = PESO PRÓPRIO DA LAJE [kN / m²]
▪ CONCRETO = PESO ESPECÍFICO DO CONCRETO ARMADO = 25,0 kN / m³▪ H = ALTURA DA LAJE [m]
gPP.LJ = CONCRETO . H = 25,0 . H
a. PESO PRÓPRIO DA LAJE
gPP.LJ = CONCRETO . H
gPP.LJ = 25,0 . 0,10
gPP.LJ = 2,5 kN / m²
PORTANTO ...
17
L1 = 1,0m
L2 = 1,0m
H = 0,04m
gPP.CONTR = CONTRAPISO . H = 21 . H
ONDE:
▪ gPP = PESO PRÓPRIO DO CONTRAPISO [kN / m²]
▪ CONTRAPISO = PESO ESPECÍFICO DO CONTRAPISO = 21,0 kN / m³
▪ H = ESPESSURA DO CONTRAPISO [ 0,03m]
b. CONTRAPISO
gPP.CONTR = CONTRAPISO . H
gPP.CONTR = 21,0 . 0,04
gPP.CONTR = 0,84 kN / m²
LOGO ...
18
L1 = 1,0m
L2 = 1,0m
H = 0,02m
ONDE:
▪ gPP = CARGA PERMANENTE DO REVESTIMENTO DO TETO [kN / m²]
▪ REVESTIMENTO.TETO = PESO ESPECÍFICO DO REVESTIMENTO DO TETO = 19,0 kN / m³
▪ H = ESPESSURA DO REVESTIMENTO DO TETO [0,015m  x  0,02m]
gPP.TETO = REVESTIMENTO.TETO . H = 19,0 . H
c. REVESTIMENTO DE TETO
gPP.TETO = REVESTIMENTO.TETO . H
gPP.TETO = 19,0 . 0,02
gPP.TETO = 0,38 kN / m²
ASSIM ...
19
NBR 6120 / 1980, TABELA 1: PISO FINAL SOBRE A LAJE
[PESO ESPECÍFICO DOS PRINCIPAIS MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO / m² DE LAJE]
MATERIAIS
PESO ESPECÍFICO APARENTE
(kN / m³)
REVESTIMENTOS E 
CONCRETOS
ARGAMASSA DE CAL, CIMENTO E AREIA 19,0
ARGAMASSA DE CIMENTO E AREIA 21,0
ARGAMASSA DE GESSO 12,5
CONCRETO SIMPLES 24,0
CONCRETO ARMADO 25,0
MADEIRAS
PINHO; CEDRO 5,0
LOURO; IMBUIA; PAU-ÓLEO 6,5
GUAJUVIRÁ; GUATAMBU; GRÁPIA 8,0
ANGICO; CABREÚVA; IPÊ RÓSEO 10,0
d. REVESTIMENTO DE PISO
NBR 6120 / 1980, TABELA 1: PISO FINAL SOBRE A LAJE
[PESO ESPECÍFICO DOS PRINCIPAIS MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO / m² DE LAJE]
MATERIAIS
PESO ESPECÍFICO APARENTE
(kN / m³)
REVESTIMENTOS E 
CONCRETOS
ARGAMASSA DE CAL, CIMENTO E AREIA 19,0
ARGAMASSA DE CIMENTO E AREIA 21,0
ARGAMASSA DE GESSO 12,5
CONCRETO SIMPLES 24,0
CONCRETO ARMADO 25,0
MADEIRAS
PINHO; CEDRO 5,0
LOURO; IMBUIA; PAU-ÓLEO 6,5
GUAJUVIRÁ; GUATAMBU; GRÁPIA 8,0
ANGICO; CABREÚVA; IPÊ RÓSEO 10,0
20
e. ALVENARIA
E L
H
ONDE:
▪ gPP.ALV = CARGA PERMANENTE DA ALVENARIA
SOBRE A LAJE [kN / m²]
▪ ALV = PESO ESPECÍFICO DA PAREDE
▪ E = ESPESSURA DA PAREDE
▪ H = ALTURA DA PAREDE
▪ L = COMPRIMENTO DA PAREDE
▪ ALAJE = ÁREA DA LAJE CONSIDERADA
gPP.ALV =
ALV . E . H . L
ALAJE
NBR 6120 / 1980, TABELA 1: PISO FINAL SOBRE A LAJE
[PESO ESPECÍFICO DOS PRINCIPAIS MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO / m² DE LAJE]
MATERIAIS
PESO ESPECÍFICO APARENTE
(kN / m³)
ROCHAS
ARENITO 26,0
BASALTO 30,0
GNEISS 30,0
GRANITO 28,0
MÁRMORE E CALCÁREO 28,0
BLOCOS ARTIFICIAIS
BLOCOS DE ARGAMASSA 22,0
CIMENTO DE AMIANTO 20,0
LAJOTAS CERÂMICAS 18,0
TIJOLOS FURADOS 13,0
TIJOLOS MACIÇOS 18,0
TIJOLOS SÍLICO-CALCAREOS 20,0
21
NBR 6120 / 1980, TABELA 1: PISO FINAL SOBRE A LAJE
[PESO ESPECÍFICO DOS PRINCIPAIS MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO / m² DE LAJE]
MATERIAIS
PESO ESPECÍFICO APARENTE
(kN / m³)
ROCHAS
ARENITO 26,0
BASALTO 30,0
GNEISS 30,0
GRANITO 28,0
MÁRMORE E CALCÁREO 28,0
BLOCOS ARTIFICIAIS
BLOCOS DE ARGAMASSA 22,0
CIMENTO DE AMIANTO 20,0
LAJOTAS CERÂMICAS 18,0
TIJOLOS FURADOS 13,0
TIJOLOS MACIÇOS 18,0
TIJOLOS SÍLICO-CALCAREOS 20,0
gPP.ALV = 2,55 kN / m²
ENTÃO ...
gPP.ALV =
ALV . E . H . L
ALAJE
gPP.ALV =
18,0 . 0,15 . 3,3 . 7,5
26,25
22
3 . 2 . C A R G A S V A R I Á V E I S
NBR 6120 / 1980, TABELA 2: USO DO AMBIENTE
[VALORES MÍNIMOS DAS CARGAS VERTICAIS VARIÁVEIS / m² DE LAJE]
LOCAL
CARGA
(kN / m²)
ESCOLAS
ANFITEATRO COM ASSENTOS FIXOS 5,0
CORREDOR E SALA DE AULA 3,0
OUTRAS SALAS 2,0
ESCRITÓRIOS SALAS DE USO GERAL E BANHEIRO 2,0
FORROS SEM ACESSO A PESSOAS 0,5
GALERIA DE ARTE
A SER DETERMINADA EM CADA CASO, PORÉM, 
COM O MÍNIMO
3,0
GARAGENS E 
ESTACIONAMENTOS
PARA VEÍCULOS DE PASSAGEIROS OU 
SEMELHANTES, COM CARGA MÁXIMA DE 25 kN
POR VEÍCULO. VALORES DE Φ INDICADOS EM 
2.2.1.6
3,0
23
NBR 6120 / 1980, TABELA 2: USO DO AMBIENTE
[VALORES MÍNIMOS DAS CARGAS VERTICAIS VARIÁVEIS / m² DE LAJE]
LOCAL
CARGA
(kN / m²)
ESCOLAS
ANFITEATRO COM ASSENTOS FIXOS 5,0
CORREDOR E SALA DE AULA 3,0
OUTRAS SALAS 2,0
ESCRITÓRIOS SALAS DE USO GERAL E BANHEIRO 2,0
FORROS SEM ACESSO A PESSOAS 0,5
GALERIA DE ARTE
A SER DETERMINADA EM CADA CASO, PORÉM, 
COM O MÍNIMO
3,0
GARAGENS E 
ESTACIONAMENTOS
PARA VEÍCULOS DE PASSAGEIROS OU 
SEMELHANTES, COM CARGA MÁXIMA DE 25 kN
POR VEÍCULO. VALORES DE Φ INDICADOS EM 
2.2.1.6
3,0
3 . 3 . A Ç Õ E S E C A R R E G A M E N T O S T O T A I S
24
CARGAS FINAIS SOBRE A LAJE
(QUADRO-RESUMO)
ORIGEM DO CARREGAMENTO
VALOR
(kN / m²)
PESO PRÓPRIO DA LAJE 2,50
CONTRAPISO 0,84
REVESTIMENTO DE TETO 0,38
REVESTIMENTO DE PISO 10,0
PAREDE DE ALVENARIA 2,55
CARGAS VARIÁVEIS 3,00
CARREGAMENTO TOTAL (QT) 19,27
4 . C A R G A S N A S V I G A S P R O V O C A D A S P E L A S L A J E S
25
LY = 7,5m
M
X
X
L X
=
 3
,5
m
q [kN / m]
LX = 3,5m
MMÁXDMF
q . L2
12
q . L
2
q . L
2
DFC
q . L2
12
FLECHA MÁXIMA:
fmáx = 
1
384
q . L4
E . I
.
MMÁX =
q . L2
24,00
MOMENTO MÁXIMO 
NO VÃO:
XMÁX =
q . L2
12,00
MOMENTO MÁXIMO 
NOS APOIOS:
26
3,5m
QT = 19,27 kN/m
A B
MOMENTO MÁXIMO NO VÃO (MMÁX):
MMÁX = (QT . L²) / 24
MMÁX = (19,27 . 3,5²) / 24
MMÁX = 9,84 kN . m
MOMENTO MÁXIMO DE CÁLCULO (NO VÃO) (MD MÁX)
MD MÁX = MMÁX . 1,4
MD MÁX = 9,84 . 1,4
MD MÁX = 13,78 kN . m
MOMENTO MÁXIMO NOS APOIOS (XMÁX):
XMÁX = (QT . L²) / 12
XMÁX = (19,27 . 3,5²) / 12
XMÁX = 19,67 kN . m
MOMENTO MÁXIMO DE CÁLCULO (NOS APOIOS) (XD MÁX)
XD MÁX = XMÁX . 1,4
XD MÁX = 19,67 . 1,4
MD MÁX = 27,54 kN . m
5 . D I M E N S I O N A M E N T O D A S A R M A D U R A S − [ M E I O D O V Ã O ]
27
5 . 1 . C O E F I C I E N T E S K C E K S − [ M E I O D O V Ã O ]
KC =
bW . dF²
MD MÁX
[cm² / kN]
ONDE:
▪ KC = ÍNDICE DE CÁLCULO DE ARMADURA À FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES RETANGULARES
[cm² / kN]
▪ bW = SEÇÃO PADRÃO DE ANÁLISE DA LAJE = 1,0m (= 100,0cm)
▪ dF = ALTURA ÚTIL FINAL DA LAJE = 6,25cm
▪ MD MÁX = MOMENTO MÁXIMO DE CÁLCULO (OU MAJORADO) = 13,78 kN . m = 1.378,0 kN . cm
28
KC =
bW . dF²
MD MÁX
KC =
100,0 . 6,25²
1.378,0
KC = 2,83 cm² / m
LOGO,
F L E X Ã O S I M P L E S E M S E Ç Ã O R E T A N G U L A R – A R M A D U R A S I M P L E S
V A L O R E S D E K C E K S P A R A O S A Ç O S C A - 2 5 , C A - 5 0 E C A - 6 0
( P A R A C O N C R E T O S D O G R U P O I D E R E S I S T Ê N C I A – f C K ≤ 5 0 M P A , γ C = 1 , 4 , γ S = 1 , 1 5 )

(X / d)
KC [cm² / kN] Ks [cm² / kN]
DOM.
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50 CA-25 CA-50 CA-60
0,01 103,355 82,684 68,903 59,060 51,677 45,935 41,342 0,046 0,023 0,019
2
0,02 51,886 41,509 34,590 29,649 25,943 23,060 20,754 0,046 0,023 0,019
0,03 34,730 27,784 23,154 19,846 17,365 15,436 13,892 0,047 0,023 0,019
0,04 26,154 20,923 17,436 14,945 13,077 11,624 10,462 0,047 0,023 0,019
0,05 21,008 16,807 14,006 12,005 10,504 9,337 8,403 0,047 0,023 0,020
0,06 17,579 14,063 11,719 10,045 8,789 7,813 7,032 0,047 0,024 0,020
0,07 15,130 12,104 10,086 8,645 7,565 6,724 6,052 0,047 0,024 0,020
0,08 13,293 10,634 8,862 7,596 6,647 5,908 5,317 0,048 0,024 0,020
0,09 11,865 9,492 7,910 6,780 5,933 5,273 4,746 0,048 0,024 0,020
0,10 10,723 8,578 7,149 6,127 5,362 4,766 4,289 0,048 0,024 0,020
29
F L E X Ã O S I M P L E S E M S E Ç Ã O R E T A N G U L A R – A R M A D U R A S I M P L E S
V A L O R E S D E K C E K S P A R A O S A Ç O S C A - 2 5 , C A - 5 0 E C A - 6 0
( P A R A C O N C R E T O S D O G R U P O I D E R E S I S T Ê N C I A – f C K ≤ 5 0 M P A , γ C = 1 , 4 , γ S = 1 , 1 5 )
(X / d)
KC [cm² / kN] Ks [cm² / kN]
DOM.
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50 CA-25 CA-50 CA-60
0,11 9,789 7,831 6,526 5,594 4,895 4,351 3,916 0,048 0,024 0,020
2
0,12 9,011 7,209 6,007 5,149 4,505 4,005 3,604 0,048 0,024 0,020
0,13 8,353 6,682 5,569 4,773 4,176 3,712 3,341 0,049 0,024 0,020
0,14 7,789 6,231 5,193 4,451 3,895 3,462 3,116 0,049 0,024 0,020
0,15 7,301 5,841 4,867 4,172 3,650 3,245 2,920 0,049 0,024 0,020
0,16 6,874 5,499 4,582 3,928 3,437 3,055 2,789 0,049 0,025 0,020
0,17 6,497 5,198 4,331 3,713 3,249 2,888 2,599 0,049 0,025 0,021
0,18 6,163 4,930 4,108 3,522 3,081 2,739 2,465 0,049 0,025 0,021
0,19 5,864 4,691 3,909 3,351 2,932 2,606 2,345 0,050 0,025 0,021
0,20 5,595 4,476 3,730 3,197 2,797 2,487 2,238 0,050 0,025 0,021
C O N T I N U A . . .
F L E X Ã O S I M P L E S E M S E Ç Ã O R E T A N G U L A R – A R M A D U R A S I M P L E S
V A L O R E S D E K C E K S P A R A O S A Ç O S C A - 2 5 , C A - 5 0 E C A - 6 0
( P A R A C O N C R E T O S D O G R U P O I D E R E S I S T Ê N C I A – f C K ≤ 5 0 M P A , γ C = 1 , 4 , γ S = 1 , 1 5 )

(X / d)
KC [cm² / kN] Ks [cm² / kN]
DOM.
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50 CA-25 CA-50 CA-60
0,11 9,789 7,831 6,526 5,594 4,895 4,351 3,916 0,048 0,024 0,020
2
0,12 9,011 7,209 6,007 5,149 4,505 4,005 3,604 0,048 0,024 0,020
0,13 8,353 6,682 5,569 4,773 4,176 3,712 3,341 0,049 0,024 0,020
0,14 7,789 6,231 5,193 4,451 3,895 3,462 3,116 0,049 0,024 0,020
0,15 7,301 5,841 4,867 4,172 3,650 3,245 2,920 0,049 0,024 0,020
0,16 6,874 5,499 4,582 3,928 3,437 3,055 2,789 0,049 0,025 0,020
0,17 6,497 5,198 4,331 3,713 3,249 2,888 2,599 0,049 0,025 0,021
0,18 6,163 4,930 4,108 3,522 3,081 2,739 2,465 0,049 0,025 0,021
0,19 5,864 4,691 3,909 3,351 2,932 2,606 2,345 0,050 0,025 0,021
0,20 5,595 4,476 3,730 3,197 2,797 2,487 2,238 0,050 0,025 0,021
C O N T I N U A . . .
30
5 . 2 .
A R M A D U R A P R I N C I P A L [ A S , P R I N C ] − [ M E I O D O V Ã O ]
AS,PRINC =
KS . MD MÁX
dF
[cm² / kN]
ONDE:
▪ AS,PRINC = ARMADURA PRINCIPAL PARA CONTROLE DA FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES
RETANGULARES [cm² / kN]
▪ KS = ÍNDICE DE CÁLCULO DE ARMADURA À FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES RETANGULARES,
ATRELADO AO TIPO DE AÇO UTILIZADO (AQUI, CA-50) [cm² / kN] = 0,049
▪ MD MÁX = MOMENTO MÁXIMO DE CÁLCULO (OU MAJORADO) = 13,78 kN . m = 1.378,0 kN . cm
▪ dF = ALTURA ÚTIL FINAL DA LAJE = 6,25cm
31
PORTANTO,
AS,PRINC =
KS . MD MÁX
dF
AS,PRINC = 10,80 cm² / m
AS,PRINC =
0,049 . 1.378,0
6,25
5 . 3 .
A R M A D U R A M Í N I M A [ A S , M Í N ] − [ M E I O D O V Ã O ]
32
AS,MÍN = S,MÍN . bW . H [cm² / m]
ONDE:
▪ AS,MÍN = ARMADURA MÍNIMA PARA CONTROLE DA FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES
RETANGULARES [cm² / kN]
▪ S,MÍN = TAXA MÍNIMA DE ARMADURA DE FLEXÃO [%]
▪ bW = SEÇÃO RETANGULAR ADOTADA, PARA CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO = 100,0cm
▪ H = ESPESSURA DA LAJE = 10,0cm
TAXAS MÍNIMAS DE ARMADURAS DE FLEXÃO
FORMA DA SEÇÃO
VALORES DE S,MÍN [% = VALORES ABAIXO DEVEM SER DIVIDIDOS POR 100]
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50
RETANGULAR 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
33
TAXAS MÍNIMAS DE ARMADURAS DE FLEXÃO
FORMA DA SEÇÃO
VALORES DE S,MÍN [% = VALORES ABAIXO DEVEM SER DIVIDIDOS POR 100]
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50
RETANGULAR 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
ASSIM,
AS,MÍN = (0,288/100) . 100 . 10,0
AS,MÍN = s,mín . bW . H
AS,MÍN = 2,88 cm² / m
34
CONCLUI-SE ENTÃO, PELOS CÁLCULOS DAS ARMADURAS, QUE ....
AS,PRINC = 10,80 cm² / m
AS,MÍN = 2,88 cm² / m
X
PORTANTO, AS,PRINC OK !
5 . 4 .
A R M A D U R A D E D I S T R I B U I Ç Ã O [ A S , D I S T R ] − [ M E I O D O V Ã O ]
35
ONDE:
▪ AS,DISTR = ARMADURA CUJO OBJETIVO É SOLIDARIZAR AS FAIXAS DE LAJE NA DIREÇÃO
PRINCIPAL, PREVENDO-SE, POR EXEMPLO, UMA EVENTUAL CONCENTRAÇÃO DE ESFORÇOS
▪ As,PRINC = ARMADURA PRINCIPAL DA LAJE = 10,80cm²/m
▪ AS,MÍN = ARMADURA MÍNIMA PARA CONTROLE DA FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES
RETANGULARES [cm² / kN] = 2,88cm²/m
AS,DISTR 
AS,PRINC / 5
0,9
AS,MÍN / 2 [cm² / m]
LOGO,
AS,DISTR  2,16 cm² / m
AS,DISTR 
AS,PRINC / 5
0,9
AS,MÍN / 2 [cm² / m]
AS,DISTR 
AS,PRINC / 5 = 10,80 / 5 = 2,16 cm² / m
0,9 cm² / m
AS,MÍN / 2 = 2,88 / 2 = 1,44 cm² / m
36
5 . 5 .
A R M A D U R A P R I N C I P A L :
E S P A Ç A M E N T O M Á X I M O [ S P R I N C , M Á X ]
[ M E I O D O V Ã O ]
ONDE:
▪ SPRINC,MÁX = ESPAÇAMENTO MÁXIMO UTILIZADO NA ARMADURA PRINCIPAL [cm]
▪ H = ESPESSURA DA LAJE [cm] = 10,0cm
SPRINC,MÁX 
2,0 . H [cm]
20,0 cm
37
ENTÃO,
SPRINC,MÁX 
2,0 . H [cm]
20,0 cm
SPRINC,MÁX 
2,0 . 10,0 = 20,0 cm 
20,0 cm
SPRINC,MÁX  20,0 cm
5 . 6 .
A R M A D U R A D E D I S T R I B U I Ç Ã O :
E S P A Ç A M E N T O M Á X I M O [ S D I S T R , M Á X ]
[ M E I O D O V Ã O ]
38
SDISTR,MÁX  33,0 [cm]
5 . 7 . Q U A N T I D A D E D E B A R R A S F I N A L :
P A R A A A R M A D U R A P R I N C I P A L [ A S , P R I N C ] − [ M E I O D O V Ã O ]
Q U A N T I D A D E D E B A R R A S F I N A L ( Q A S , P R I N C , F )
E S P A Ç A M E N T O F I N A L ( S A S , P R I N C , F )
B I T O L A F I N A L (  A S , P R I N C , F )
39
ONDE:
▪ QAS,PRINC,F = QUANTIDADE FINAL DE BARRAS UTILIZADAS NA ARMADURA PRINCIPAL
(SEMPRE COM VALOR ARREDONDADO PARA CIMA)
▪ AS,PRINC = ARMADURA PRINCIPAL CALCULADA = 10,80 cm²/m
▪ ABITOLA = ÁREA OCUPADA POR UMA BARRA (VARIA CONFORME O DIÂMETRO DA BARRA
CONSIDERADA)
QAS,PRINC,F =
AS,PRINC [cm² / m]
ABITOLA [cm²]
ONDE:
▪ SAS,DISTR,F = ESPAÇAMENTO FINAL DA ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO [cm]
▪ 100 [cm] = SEÇÃO PADRÃO DA ESTRUTURA (bW) = EQUIVALE A 1,00m
▪ QAS,PRINC,F = QUANTIDADE FINAL DE BARRAS UTILIZADAS NA ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO
(SEMPRE COM VALOR ARREDONDADO PARA CIMA)
SAS,DISTR,F =
100 [cm]
QAS,DISTR,F
[cm]
40
ARMADURA PRINCIPAL [AS,PRINC]
QUANTIDADE DE BARRAS FINAL (QF) + ESPAÇAMENTO FINAL (SF) + BITOLA FINAL (F)
BITOLA
AS,PRINC
[cm² / m]
QF
(AS,PRINC / ABITOLA)
SEÇÃO 
PADRÃO
[cm]
SF
(SEÇÃO PADRÃO / QF REAL) 
[cm]
 [mm] ÁREA [cm²] CALCULADO REAL CALCULADO REAL
3,2 0,080425 10,80 134,29 135,00 100,0 0,74 1,00 
4,0 0,125664 10,80 85,94 86,00 100,0 1,16 2,00 
5,0 0,196350 10,80 55,00 56,00 100,0 1,79 2,00 
6,3 0,3117250 10,80 34,65 35,00 100,0 2,86 3,00 
8,0 0,502655 10,80 21,49 22,00 100,0 4,55 5,00 
10,0 0,785398 10,80 13,75 14,00 100,0 7,14 8,00 
12,5 1,2271850 10,80 8,80 9,00 100,0 11,11 12,00 
ASSIM, A AS,PRINC PODE SER ATENDIDA POR QUALQUER DAS SEGUINTES 3 OPÕES:
AS,PRINC = 22  8,0 c/ 5,0cm
AS,PRINC = 14  10,0 c/ 8,0cm
AS,PRINC = 9  12,5 c/ 12,0cm
41
5 . 8 . Q U A N T I D A D E D E B A R R A S F I N A L :
P A R A A A R M A D U R A D E D I S T R I B U I Ç Ã O [ A S , D I S T R ]
[ M E I O D O V Ã O ]
Q U A N T I D A D E D E B A R R A S F I N A L ( Q A S , D I S T R , F )
E S P A Ç A M E N T O F I N A L ( S A S , D I S T R , F )
B I T O L A F I N A L (  A S , D I S T R , F )
ONDE:
▪ QAS,DISTR,F = QUANTIDADE FINAL DE BARRAS UTILIZADAS NA ARMADURA DE
DIDSTRIBUIÇÃO (SEMPRE COM VALOR ARREDONDADO PARA CIMA)
▪ AS,DISTR = ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO CALCULADA = 1,50 cm²/m
▪ ABITOLA = ÁREA OCUPADA POR UMA BARRA (VARIA CONFORME O DIÂMETRO DA BARRA
CONSIDERADA)
QAS,DISTR,F =
AS,DISTR [cm² / m]
ABITOLA [cm²]
42
ONDE:
▪ SAS,PRINC,F = ESPAÇAMENTO FINAL DA ARMADURA PRINCIPAL [cm]
▪ 100 [cm] = SEÇÃO PADRÃO DA ESTRUTURA (bW) = EQUIVALE A 1,00m
▪ QAS,PRINC,F = QUANTIDADE FINAL DE BARRAS UTILIZADAS NA ARMADURA PRINCIPAL
(SEMPRE COM VALOR ARREDONDADO PARA CIMA)
SAS,PRINC,F =
100 [cm]QAS,PRINC,F
[cm]
ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO [AS,DISTR]
QUANTIDADE DE BARRAS FINAL (QF) + ESPAÇAMENTO FINAL (SF) + BITOLA FINAL (F)
BITOLA
AS,DISTR
[cm² / m]
QF
(AS,DISTR / ABITOLA)
SEÇÃO 
PADRÃO
[cm]
SF
(SEÇÃO PADRÃO / QF REAL) 
[cm]
 [mm] ÁREA [cm²] CALCULADO REAL CALCULADO REAL
3,2 0,080425 1,5 18,65 19,00 100,0 5,26 6,00 
4,0 0,125664 1,5 11,94 12,00 100,0 8,33 9,00 
5,0 0,196350 1,5 7,64 8,00 100,0 12,50 13,00 
6,3 0,3117250 1,5 4,81 5,00 100,0 20,00 20,00 
8,0 0,502655 1,5 2,98 3,00 100,0 33,33 34,00 
10,0 0,785398 1,5 1,91 2,00 100,0 50,00 50,00 
12,5 1,2271850 1,5 1,22 2,00 100,0 50,00 50,00 
ACIMA DO ESPAÇAMENTO MÁXIMO [SDISTR,MÁX  33,0cm]
43
ENTÁO, A AS,DISTR PODE SER ATENDIDA POR QUALQUER DAS SEGUINTES 2 OPÕES:
AS,PRINC = 8  5,0 c/ 13,0cm
AS,PRINC = 5  6,3 c/ 20,0cm
6 . D I M E N S I O N A M E N T O D A S A R M A D U R A S − [ N O S A P O I O S ]
44
6 . 1 . C O E F I C I E N T E S K C E K S − [ N O S A P O I O S ]
KC =
b . dF²
MD MÁX
[cm² / kN]
ONDE:
▪ KC = ÍNDICE DE CÁLCULO DE ARMADURA À FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES RETANGULARES
[cm² / kN]
▪ b = VÃO LIVRE DA LAJE (= L0) = 1,0m (= 100,0cm)
▪ dF = ALTURA ÚTIL FINAL DA LAJE = 6,25cm
▪ MD MÁX = MOMENTO MÁXIMO DE CÁLCULO (OU MAJORADO) = 27,54 kN . m = 2.754,0 kN . cm
45
KC =
b . dF²
MD MÁX
KC =
100,0 . 6,25²
2.754,0
KC = 1,42 cm² / m
LOGO,
F L E X Ã O S I M P L E S E M S E Ç Ã O R E T A N G U L A R – A R M A D U R A S I M P L E S
V A L O R E S D E K C E K S P A R A O S A Ç O S C A - 2 5 , C A - 5 0 E C A - 6 0
( P A R A C O N C R E T O S D O G R U P O I D E R E S I S T Ê N C I A – f C K ≤ 5 0 M P A , γ C = 1 , 4 , γ S = 1 , 1 5 )

(X / d)
KC [cm² / kN] Ks [cm² / kN]
DOM.
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50 CA-25 CA-50 CA-60
0,01 103,355 82,684 68,903 59,060 51,677 45,935 41,342 0,046 0,023 0,019
2
0,02 51,886 41,509 34,590 29,649 25,943 23,060 20,754 0,046 0,023 0,019
0,03 34,730 27,784 23,154 19,846 17,365 15,436 13,892 0,047 0,023 0,019
0,04 26,154 20,923 17,436 14,945 13,077 11,624 10,462 0,047 0,023 0,019
0,05 21,008 16,807 14,006 12,005 10,504 9,337 8,403 0,047 0,023 0,020
0,06 17,579 14,063 11,719 10,045 8,789 7,813 7,032 0,047 0,024 0,020
0,07 15,130 12,104 10,086 8,645 7,565 6,724 6,052 0,047 0,024 0,020
0,08 13,293 10,634 8,862 7,596 6,647 5,908 5,317 0,048 0,024 0,020
0,09 11,865 9,492 7,910 6,780 5,933 5,273 4,746 0,048 0,024 0,020
0,10 10,723 8,578 7,149 6,127 5,362 4,766 4,289 0,048 0,024 0,020
46
F L E X Ã O S I M P L E S E M S E Ç Ã O R E T A N G U L A R – A R M A D U R A S I M P L E S
V A L O R E S D E K C E K S P A R A O S A Ç O S C A - 2 5 , C A - 5 0 E C A - 6 0
( P A R A C O N C R E T O S D O G R U P O I D E R E S I S T Ê N C I A – f C K ≤ 5 0 M P A , γ C = 1 , 4 , γ S = 1 , 1 5 )

(X / d)
KC [cm² / kN] Ks [cm² / kN]
DOM.
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50 CA-25 CA-50 CA-60
0,11 9,789 7,831 6,526 5,594 4,895 4,351 3,916 0,048 0,024 0,020
2
0,12 9,011 7,209 6,007 5,149 4,505 4,005 3,604 0,048 0,024 0,020
0,13 8,353 6,682 5,569 4,773 4,176 3,712 3,341 0,049 0,024 0,020
0,14 7,789 6,231 5,193 4,451 3,895 3,462 3,116 0,049 0,024 0,020
0,15 7,301 5,841 4,867 4,172 3,650 3,245 2,920 0,049 0,024 0,020
0,16 6,874 5,499 4,582 3,928 3,437 3,055 2,789 0,049 0,025 0,020
0,17 6,497 5,198 4,331 3,713 3,249 2,888 2,599 0,049 0,025 0,021
0,18 6,163 4,930 4,108 3,522 3,081 2,739 2,465 0,049 0,025 0,021
0,19 5,864 4,691 3,909 3,351 2,932 2,606 2,345 0,050 0,025 0,021
0,20 5,595 4,476 3,730 3,197 2,797 2,487 2,238 0,050 0,025 0,021
F L E X Ã O S I M P L E S E M S E Ç Ã O R E T A N G U L A R – A R M A D U R A S I M P L E S
V A L O R E S D E K C E K S P A R A O S A Ç O S C A - 2 5 , C A - 5 0 E C A - 6 0
( P A R A C O N C R E T O S D O G R U P O I D E R E S I S T Ê N C I A – f C K ≤ 5 0 M P A , γ C = 1 , 4 , γ S = 1 , 1 5 )

(X / d)
KC [cm² / kN] Ks [cm² / kN]
DOM.
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50 CA-25 CA-50 CA-60
0,21 5,351 4,281 3,568 3,058 2,676 2,378 2,141 0,050 0,025 0,021
0,22 5,131 4,105 3,420 2,932 2,565 2,280 2,052 0,050 0,025 0,021
0,23 4,929 3,943 3,286 2,817 2,465 2,191 1,972 0,051 0,025 0,021
0,24 4,745 3,796 3,163 2,711 2,372 2,109 1,898 0,051 0,025 0,021
0,25 4,575 3,660 3,050 2,614 2,288 2,033 1,830 0,051 0,026 0,021
0,26 4,419 3,535 2,946 2,525 2,209 1,964 1,768 0,051 0,026 0,021
0,27 4,274 3,419 2,850 2,442 2,137 1,900 1,710 0,052 0,026 0,021
0,28 4,140 3,312 2,760 2,366 2,070 1,840 1,656 0,052 0,026 0,022
0,29 4,015 3,212 2,677 2,295 2,008 1,785 1,606 0,052 0,026 0,022
0,30 3,899 3,119 2,600 2,228 1,950 1,733 1,560 0,052 0,026 0,022
47
F L E X Ã O S I M P L E S E M S E Ç Ã O R E T A N G U L A R – A R M A D U R A S I M P L E S
V A L O R E S D E K C E K S P A R A O S A Ç O S C A - 2 5 , C A - 5 0 E C A - 6 0
( P A R A C O N C R E T O S D O G R U P O I D E R E S I S T Ê N C I A – f C K ≤ 5 0 M P A , γ C = 1 , 4 , γ S = 1 , 1 5 )

(X / d)
KC [cm² / kN] Ks [cm² / kN]
DOM.
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50 CA-25 CA-50 CA-60
0,31 3,791 3,033 2,527 2,166 1,895 1,685 1,516 0,053 0,026 0,022
3
0,32 3,689 2,951 2,459 2,108 1,845 1,640 1,476 0,053 0,026 0,022
0,33 3,594 2,875 2,396 2,054 1,797 1,597 1,438 0,053 0,026 0,022
0,34 3,504 2,803 2,336 2,002 1,752 1,557 1,402 0,053 0,027 0,022
0,35 3,420 2,736 2,280 1,954 1,710 1,520 1,368 0,053 0,027 0,022
0,36 3,341 2,672 2,227 1,909 1,670 1,485 1,336 0,054 0,027 0,022
0,37 3,265 2,612 2,177 1,866 1,633 1,451 1,306 0,054 0,027 0,022
0,38 3,195 2,556 2,130 1,825 1,597 1,420 1,278 0,054 0,027 0,023
0,39 3,127 2,502 2,085 1,787 1,564 1,390 1,251 0,055 0,027 0,023
0,40 3,064 2,451 2,042 1,751 1,532 1,362 1,225 0,055 0,027 0,023
C O N T I N U A . . .
F L E X Ã O S I M P L E S E M S E Ç Ã O R E T A N G U L A R – A R M A D U R A S I M P L E S
V A L O R E S D E K C E K S P A R A O S A Ç O S C A - 2 5 , C A - 5 0 E C A - 6 0
( P A R A C O N C R E T O S D O G R U P O I D E R E S I S T Ê N C I A – f C K ≤ 5 0 M P A , γ C = 1 , 4 , γ S = 1 , 1 5 )

(X / d)
KC [cm² / kN] Ks [cm² / kN]
DOM.
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50 CA-25 CA-50 CA-60
0,31 3,791 3,033 2,527 2,166 1,895 1,685 1,516 0,053 0,026 0,022
3
0,32 3,689 2,951 2,459 2,108 1,845 1,640 1,476 0,053 0,026 0,022
0,33 3,594 2,875 2,396 2,054 1,797 1,597 1,438 0,053 0,026 0,022
0,34 3,504 2,803 2,336 2,002 1,752 1,557 1,402 0,053 0,027 0,022
0,35 3,420 2,736 2,280 1,954 1,710 1,520 1,368 0,053 0,027 0,022
0,36 3,341 2,672 2,227 1,909 1,670 1,485 1,336 0,054 0,027 0,022
0,37 3,265 2,612 2,177 1,866 1,633 1,451 1,306 0,054 0,027 0,022
0,38 3,195 2,556 2,130 1,825 1,597 1,420 1,278 0,054 0,027 0,023
0,39 3,127 2,502 2,085 1,787 1,564 1,390 1,251 0,055 0,027 0,023
0,40 3,064 2,451 2,042 1,751 1,532 1,362 1,225 0,055 0,027 0,023
C O N T I N U A . . .
48
6 . 2 .
A R M A D U R A P R I N C I P A L [ A S , P R I N C ] − [ N O S A P O I O S ]
AS,PRINC =
KS . MD MÁX
dF
[cm² / kN]
ONDE:
▪ AS,PRINC = ARMADURA PRINCIPAL PARA CONTROLE DA FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES
RETANGULARES [cm² / kN]
▪ KS = ÍNDICE DE CÁLCULO DE ARMADURA À FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES RETANGULARES,
ATRELADO AO TIPO DE AÇO UTILIZADO (AQUI, CA-50) [cm² / kN] = 0,053
▪ MD MÁX = MOMENTO MÁXIMO DE CÁLCULO (OU MAJORADO) = 27,54 kN . m = 2.754,0 kN . cm
▪ dF = ALTURA ÚTIL FINAL DA LAJE = 6,25cm
49
PORTANTO,
AS,PRINC =
KS . MD MÁX
dF
AS,PRINC = 23,35 cm² / m
AS,PRINC =
0,053 . 2.754,0
6,25
6 . 3 .
A R M A D U R A M Í N I M A [ A S , M Í N ] - [ N O S A P O I O S ]
50
AS,MÍN = S,MÍN. bW . H [cm² / m]
ONDE:
▪ AS,MÍN = ARMADURA MÍNIMA PARA CONTROLE DA FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES
RETANGULARES [cm² / kN]
▪ S,MÍN = TAXA MÍNIMA DE ARMADURA DE FLEXÃO [%]
▪ bW = SEÇÃO RETANGULAR ADOTADA, PARA CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO = 100,0cm
▪ H = ESPESSURA DA LAJE = 10,0cm
TAXAS MÍNIMAS DE ARMADURAS DE FLEXÃO
FORMA DA SEÇÃO
VALORES DE S,MÍN [% = VALORES ABAIXO DEVEM SER DIVIDIDOS POR 100]
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50
RETANGULAR 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
51
TAXAS MÍNIMAS DE ARMADURAS DE FLEXÃO
FORMA DA SEÇÃO
VALORES DE S,MÍN [% = VALORES ABAIXO DEVEM SER DIVIDIDOS POR 100]
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50
RETANGULAR 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
ASSIM,
AS,MÍN = (0,150/100) . 100 . 10,0
AS,MÍN = s,mín . bW . H
AS,MÍN = 1,5 cm² / m
52
CONCLUI-SE ENTÃO, PELOS CÁLCULOS DAS ARMADURAS, QUE ....
AS,PRINC = 23,35 cm² / m
AS,MÍN = 1,5 cm² / m
X
PORTANTO, AS,PRINC OK !
6 . 4 .
A R M A D U R A D E D I S T R I B U I Ç Ã O [ A S , D I S T R ] − [ N O S A P O I O S ]
53
ONDE:
▪ AS,DISTR = ARMADURA CUJO OBJETIVO É SOLIDARIZAR AS FAIXAS DE LAJE NA DIREÇÃO
PRINCIPAL, PREVENDO-SE, POR EXEMPLO, UMA EVENTUAL CONCENTRAÇÃO DE ESFORÇOS
▪ As,PRINC = ARMADURA PRINCIPAL DA LAJE = 23,35cm²/m
▪ AS,MÍN = ARMADURA MÍNIMA PARA CONTROLE DA FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES
RETANGULARES [cm² / kN] = 1,50cm²/m
AS,DISTR 
AS,PRINC / 5
0,9
AS,MÍN / 2 [cm² / m]
LOGO,
AS,DISTR  4,67 cm² / m
AS,DISTR 
AS,PRINC / 5
0,9
AS,MÍN / 2 [cm² / m]
AS,DISTR 
AS,PRINC / 5 = 23,35 / 5 = 4,67 cm² / m
0,9 cm² / m
AS,MÍN / 2 = 1,50 / 2 = 0,75 cm² / m
54
6 . 5 .
A R M A D U R A P R I N C I P A L :
E S P A Ç A M E N T O M Á X I M O [ S P R I N C , M Á X ]
[ N O S A P O I O S ]
ONDE:
▪ SPRINC,MÁX = ESPAÇAMENTO MÁXIMO UTILIZADO NA ARMADURA PRINCIPAL [cm]
▪ H = ESPESSURA DA LAJE [cm] = 10,0cm
SPRINC,MÁX 
2,0 . H [cm]
20,0 cm
55
ENTÃO,
SPRINC,MÁX 
2,0 . H [cm]
20,0 cm
SPRINC,MÁX 
2,0 . 10,0 = 20,0 cm 
20,0 cm
SPRINC,MÁX  20,0 cm
6 . 6 .
A R M A D U R A D E D I S T R I B U I Ç Ã O :
E S P A Ç A M E N T O M Á X I M O [ S D I S T R , M Á X ]
[ N O S A P O I O S ]
56
SDISTR,MÁX  33,0 [cm]
6 . 7 . Q U A N T I D A D E D E B A R R A S F I N A L :
P A R A A A R M A D U R A P R I N C I P A L [ A S , P R I N C ] − [ N O S A P O I O S ]
Q U A N T I D A D E D E B A R R A S F I N A L ( Q A S , P R I N C , F )
E S P A Ç A M E N T O F I N A L ( S A S , P R I N C , F )
B I T O L A F I N A L (  A S , P R I N C , F )
57
ONDE:
▪ QAS,PRINC,F = QUANTIDADE FINAL DE BARRAS UTILIZADAS NA ARMADURA PRINCIPAL
(SEMPRE COM VALOR ARREDONDADO PARA CIMA)
▪ AS,PRINC = ARMADURA PRINCIPAL CALCULADA = 23,35 cm²/m
▪ ABITOLA = ÁREA OCUPADA POR UMA BARRA (VARIA CONFORME O DIÂMETRO DA BARRA
CONSIDERADA)
QAS,PRINC,F =
AS,PRINC [cm² / m]
ABITOLA [cm²]
ONDE:
▪ SAS,DISTR,F = ESPAÇAMENTO FINAL DA ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO [cm]
▪ 100 [cm] = SEÇÃO PADRÃO DA ESTRUTURA (bW) = EQUIVALE A 1,00m
▪ QAS,PRINC,F = QUANTIDADE FINAL DE BARRAS UTILIZADAS NA ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO
(SEMPRE COM VALOR ARREDONDADO PARA CIMA)
SAS,DISTR,F =
100 [cm]
QAS,DISTR,F
[cm]
58
ARMADURA PRINCIPAL [AS,PRINC]
QUANTIDADE DE BARRAS FINAL (QF) + ESPAÇAMENTO FINAL (SF) + BITOLA FINAL (F)
BITOLA
AS,PRINC
[cm² / m]
QF
(AS,PRINC / ABITOLA)
SEÇÃO 
PADRÃO
[cm]
SF
(SEÇÃO PADRÃO / QF REAL) 
[cm]
 [mm] ÁREA [cm²] CALCULADO REAL CALCULADO REAL
3,2 0,080425 23,35 290,33 291,00 100,0 0,34 1,00 
4,0 0,125664 23,35 185,81 186,00 100,0 0,54 1,00 
5,0 0,196350 23,35 118,92 119,00 100,0 0,84 1,00 
6,3 0,3117250 23,35 74,91 75,00 100,0 1,33 2,00 
8,0 0,502655 23,35 46,45 47,00 100,0 2,13 3,00 
10,0 0,785398 23,35 29,73 30,00 100,0 3,33 4,00 
12,5 1,2271850 23,35 19,03 20,00 100,0 5,00 5,00 
ASSIM, A AS,PRINC PODE SER ATENDIDA POR QUALQUER DAS SEGUINTES 3 OPÕES:
AS,PRINC = 47  8,0 c/ 3,0cm
AS,PRINC = 30  10,0 c/ 4,0cm
AS,PRINC = 20  12,5 c/ 5,0cm
59
6 . 8 . Q U A N T I D A D E D E B A R R A S F I N A L :
P A R A A A R M A D U R A D E D I S T R I B U I Ç Ã O [ A S , D I S T R ]
[ N O S A P O I O S ]
Q U A N T I D A D E D E B A R R A S F I N A L ( Q A S , D I S T R , F )
E S P A Ç A M E N T O F I N A L ( S A S , D I S T R , F )
B I T O L A F I N A L (  A S , D I S T R , F )
ONDE:
▪ QAS,DISTR,F = QUANTIDADE FINAL DE BARRAS UTILIZADAS NA ARMADURA DE
DIDSTRIBUIÇÃO (SEMPRE COM VALOR ARREDONDADO PARA CIMA)
▪ AS,DISTR = ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO CALCULADA = 4,67 cm²/m
▪ ABITOLA = ÁREA OCUPADA POR UMA BARRA (VARIA CONFORME O DIÂMETRO DA BARRA
CONSIDERADA)
QAS,DISTR,F =
AS,DISTR [cm² / m]
ABITOLA [cm²]
60
ONDE:
▪ SAS,PRINC,F = ESPAÇAMENTO FINAL DA ARMADURA PRINCIPAL [cm]
▪ 100 [cm] = SEÇÃO PADRÃO DA ESTRUTURA (bW) = EQUIVALE A 1,00m
▪ QAS,PRINC,F = QUANTIDADE FINAL DE BARRAS UTILIZADAS NA ARMADURA PRINCIPAL
(SEMPRE COM VALOR ARREDONDADO PARA CIMA)
SAS,PRINC,F =
100 [cm]
QAS,PRINC,F
[cm]
ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO [AS,DISTR]
QUANTIDADE DE BARRAS FINAL (QF) + ESPAÇAMENTO FINAL (SF) + BITOLA FINAL (F)
BITOLA
AS,DISTR
[cm² / m]
QF
(AS,DISTR / ABITOLA)
SEÇÃO 
PADRÃO
[cm]
SF
(SEÇÃO PADRÃO / QF REAL) 
[cm]
 [mm] ÁREA [cm²] CALCULADO REAL CALCULADO REAL
3,2 0,080425 4,67 58,07 59,00 100,0 1,69 2,00 
4,0 0,125664 4,67 37,16 38,00 100,0 2,63 3,00 
5,0 0,196350 4,67 23,78 24,00 100,0 4,17 5,00 
6,3 0,3117250 4,67 14,98 15,00 100,0 6,67 7,00 
8,0 0,502655 4,67 9,29 10,00 100,0 10,00 10,00 
10,0 0,785398 4,67 5,95 6,00 100,0 16,67 17,00 
12,5 1,2271850 4,67 3,81 4,00 100,0 25,00 25,00 
61
ENTÁO, A AS,DISTR PODE SER ATENDIDA POR QUALQUER DAS SEGUINTES 3 OPÕES:
AS,DISTR = 10  8,0 c/ 10,0cm
AS,DISTR = 6  10,0 c/ 17,0cm
AS,DISTR = 4  12,5 c/ 25,0cm
L A J E S A R M A D A S E M D U A S D I R E Ç Õ E S
62
LX
LY
▪ LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES (OU EM CRUZ)
▪ NAS LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES (NAS QUAIS A RELAÇÃO ENTRE OS LADOS É MENOR
OU IGUAL A DOIS), OS ESFORÇOS SOLICITANTES SÃO CONSIDERADOS SEGUNDO AS DUAS
DIREÇÕES PRINCIPAIS DA LAJE, TAL QUE:
ONDE:
LY = MAIOR VÃO
LX = MENOR VÃO
  =
LY
LX
 2,0
▪ VÃO EFETIVO
▪ OS VÃOS EFETIVOS DAS LAJES NAS DIREÇÕES PRINCIPAIS (DE ACORDO COM A NBR 6118, ITEM
14.6.2.4), CONSIDERANDO QUE OS APOIOS SÃO SUFICIENTEMENTE RÍGIDOS NA DIREÇÃO
VERTICAL, DEVEM SER CALCULADOS PELA SEGUINTE EXPRESSÃO:
L0t1 t2
h
LEF = L0 + A1 + A2
A1 
0,3 . H
t1 / 2
A2 
0,3 . H
t2 / 2
63
▪ VÃO EFETIVO
▪ LOGO ....
L0BW1 BW2
H
LTOTAL
LEF = LX
BW1 / 2 BW2 / 2
ONDE:
▪ H = ESPESSURA DA LAJE [cm]
▪ BW1 + BW2 = LAGURA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DA VIGA SOB A LAJE
▪ L0 = VÃO LIVRE DA LAJE
▪ LEF = LX = VÃO EFETIVO, CONSIDERADO DE EIXO A EIXO DAS VIGAS DE APOIO
▪ LTOTAL = VÃO TOTAL (DE FACE EXTERNA A FACE EXTERNA DAS VIGAS)
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
L1 L2
L3 L4
V1
V2
V3
V
4
V
5
V
6
CONDIÇÃO: A  2.B
A
B
64
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ EM TEORIA E PARA FINS DE DIMENSIONAMENTO, ENTENDE-SE QUE CADA LAJE SEJA
COMPOSTA POR UMA GRELHA DE VIGAS ESTRUTURAIS INDEPENDENTES, QUE INTERCORTAM-
SE PERPENDICULARMENTE, COMO O QUE OCORRE COM A LAJE L1 A SEGUIR
▪ SEGUINDO TAL RACIOCÍNIO, CADA UMA DAS LAJES É SUBSTITUÍDA POR UM RETICULADO DE
VIGAS NAS DIREÇÕES X E Y
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ PELOS CRITÉRIOS ADOTADOS NO MÉTODO DE CZERNY (IDEAIS PARA LAJES EM CRUZ), DEVE-SE
DIVIDIR AS CARGAS ATUANTES E ACIDENTAIS “q” EM DUAS CARGAS “qx” E “qy”,
RESPECTIVAMENTE DISTRIBUÍDASNAS VIGAS NAS DIREÇÕES X E Y
▪ PROCEDENDO DESSA MANEIRA, CALCULAR A LAJE L1 É, NA PRÁTICA, CALCULAR AS VIGAS NAS
DIREÇÕES X E Y, COM AS CARGAS ATUANTES qx E qy. ALÉM DISSO, CONSIDERA-SE TAMBÉM O
ENGASTAMENTO PREVISTO DE LAJE COM LAJE
65
V
4
V
5
V1
V2
L1
A
B
C
C
D D
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ TEM-SE, ENTÃO, PARA L1, OS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES COMO MOSTRADOS NOS
ESQUEMAS ABAIXO (SEMPRE LEVANDO EM CONTA OS ENGASTAMENTOS INDICADOS COMO
DECORRENTES DO CONTATO DIRETO ENTRE LAJES CONTÍGUAS):
V1 V2
A
+
DMF
V4 V5
B
+
DMF
CORTE C-C CORTE D-D
66
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ O MÉTODO DE BARËS-CZERNY CONSISTE EM EXECUTAR A DIVISÃO DE LAJE POR UMA GRELHA
DE VIGAS, E NELA APLICAR COEFICIENTES DE CORREÇÃO ADEQUADOS – OS QUAIS LEVAM EM
CONSIDERAÇÃO EXATAMENTE ESSE ASPECTO NAS LAJES (DE SOLIDARIEDADE CONJUNTA,
INTEGRADA E TOTAL), EM FUNÇÃO DE TODA A MALHA ESTRUTURAL
▪ AS TABELAS DE BARËS-CZERNY JÁ PROVIDENCIAM, AUTOMATICAMENTE, OS CÁLCULOS
NECESSÁRIOS, PERMITINDO FACILMENTE A DETERMINAÇÃO TANTO DOS MOMENTOS
FLETORES POSITIVOS (E CONSEQUENTEMENTE O DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS
SITUADAS NA ÁREA CENTRAL DO VÃO) QUANTO DOS MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS
(CUJOS RESULTADOS LEVAM À DEFINIÇÃO DAS ARMADURAS LOCALIZADAS NOS APOIOS)
SIMBOLOGIA: TABELAS DE CÁCULO BARËS-CZERNY
SÍMBOLO DEFINIÇÃO
MX
MOMENTO FLETOR POSITIVO QUE ACONTECE NO MEIO DO VÃO. COM MX E A
ESPESSURA DA LAJE, É POSSÍVEL CALCULAR POSTERIORMENTE A ARMADURA
POSITIVA (SITUADA NA FACE INFERIOR DA VIGA), NA DIREÇÃO X
MY
MOMENTO FLETOR POSITIVO QUE ACONTECE NO MEIO DO VÃO. COM MY E A
ESPESSURA DA LAJE, É POSSÍVEL CALCULAR POSTERIORMENTE A ARMADURA
POSITIVA (SITUADA NA FACE INFERIOR DA VIGA), NA DIREÇÃO Y
XX
MOMENTO FLETOR NO APOIO, NA DIREÇÃO X. TAL MOMENTO SOMENTE ACONTECE
QUANDO NESSE LADO E NESSA DIREÇÃO A LAJE É ENGASTADA EM OUTRA LAJE. COM
XX E A ESPESSURA DA LAJE, PODE-SE DIMENSIONAR A ARMADURA NEGATIVA
(DISTRIBUÍDA NA FACE SUPERIOR DA VIGA), NA DIREÇÃO X
XY
MOMENTO FLETOR NO APOIO, NA DIREÇÃO Y. TAL MOMENTO SOMENTE ACONTECE
QUANDO NESSE LADO E NESSA DIREÇÃO A LAJE É ENGASTADA EM OUTRA LAJE. COM XY E
A ESPESSURA DA LAJE, PODE-SE DIMENSIONAR A ARMADURA NEGATIVA (DISTRIBUÍDA NA
FACE SUPERIOR DA VIGA), NA DIREÇÃO Y
67
SIMBOLOGIA: TABELAS DE CÁCULO BARËS-CZERNY
SÍMBOLO DEFINIÇÃO
q
(= qx + qy)
CARREGAMENTO TOTAL ATUANTE SOBRE A LAJE (CARGAS ACIDENTAIS + PESO
PRÓPRIO).
qx
PARCELA DO PESO PRÓPRIO E DAS CARGAS ACIDENTAIS QUE ATUAM NA DIREÇÃO X E
QUE SERÃO USADAS PARA O CÁLCULO DO MOMENTO FLETOR NEGATIVO DA
ESTRUTURA DIMENSIONADA
qy
PARCELA DO PESO PRÓPRIO E DAS CARGAS ACIDENTAIS QUE ATUAM NA DIREÇÃO Y E
QUE SERÃO UTILIZADAS PARA O CÁLCULO DO MOMENTO FLETOR NEGATIVO DA
ESTRUTURA DIMENSIONADA
mx E my COEFICIENTES DE CÁLCULO
v COEFICIENTES DE CÁLCULO DE CARGAS NAS VIGAS
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ CONCLUSÃO:
▪ O CÁLCULO DE LAJES, PELO PROCESSO DE CZERNY É, NA PRÁTICA, UM CÁLCULO DE
MOMENTOS NO MEIO DA LAJE (DIREÇÃO X E DIREÇÃO Y) E NOS APOIOS (DIREÇÃO X E
DIREÇÃO Y)
▪ AS TABELAS DE BARËS-CZERNY REPRESENTAM UMA QUANTIFICAÇÃO DO CÁLCULO DAS
LAJES MACIÇAS RETANGULARES, SUPONDO-AS COMO UMA GRELHA DE VIGAS, MAS
LEVANDO EM CONTA O EFEITO DE RESISTÊNCIA DO FATO DE A LAJE SER INTEIRIÇA E
CONTÍNUA E, PORTANTO, MAIS RESISTENTE
68
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ)
▪ IMPORTANTE:
▪ CONHECIDOS OS MOMENTOS FLETORES NO MEIO DO VÃO (MX E MY) E TENDO JÁ PRÉ-
DETERMINADA UMA ESPESSURA DE LAJE, AS LAJES PASSAM ENTÃO A SER CALCULADAS
COMO SE FOSSEM VIGAS DE UM METRO DE LARGURA
▪ UMA VEZ DEFINIDOS OS MOMENTOS E AS ESPESSURAS DAS LAJES, CALCULAM-SE AS
ARMADURAS POSITIVAS E NEGATIVAS DA ESTRUTURA
▪ A PARTIR DAÍ, AS CARGAS PASSAM A SER AUTOMATICAMENTE TRANSFERIDAS ÀS VIGAS
L A J E S C O N J U G A D A S
69
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ), CONJUGADAS
L1 L2
L3
V1
V2
V
4
V
5
V
6
L4 L5
V3
V
7
E E
▪ CONCEITUAÇÃO
▪ NESTE CASO, O LIVRE GIRAR DA BORDA ESQUERDA DA LAJE L2 É BLOQUEADO PELA LAJE L1
▪ SE AS LAJES FOSSEM FUNDIDAS E CONSTRUÍDAS SEPARADAMENTE UMAS DAS OUTRAS,
ENTÃO, NÃO HAVERIA ENGASTAMENTO MÚTUO ENTRE ELAS
▪ NA PRÁTICA, AS LAJES SÃO SEMPRE CONSTRUÍDAS JUNTAS E SOLIDÁRIAS, O QUE
PROPORCIONA MAIOR ESTABILIDADE AOS EDIFÍCIOS DOS QUAIS FAZEM PARTE
▪ LOGO, HÁ REAIS E NECESSÁRIOS VÍNCULOS ENTRE AS LAJES: (L1 x L3); (L1 x L2); (L2 x L4); (L2 x L5);
(L4 x L5); (L3 x L4)
▪ CONCLUSÃO: DUAS LAJES CONTÍGUAS SE INTERENGASTAM NOS SEUS PONTOS EM COMUM
70
ESQUEMAS DO TRABALHO DE DEFORMAÇÃO DAS LAJES L1 + L2:
ESQUEMA ESTRUTURAL ASSOCIADO AO CÁLCULO DE LAJES L1 + L2:
V4 V5 V6
L1 L2
V4 V5 V6
L1 L2
CORTE E-E
CORRETO:
CONTINUIDADE DE LAJES
V4 V5 V6
L1 L2
INCORRETO:
DESCONTINUIDADE DE LAJES
V4 V5 V6
L1 L2
CORRETO:
BORDAS INTERNAS DAS LAJES ENGASTADAS
V4 V5
L1 L2
V6
INCORRETO:
BORDAS INTERNAS DAS LAJES COMO APOIOS MÓVEIS
V4
V5
L1 L2
V6
▪ ARMADURA NEGATIVA NO APOIO COMPARTILHADO
▪ EM FUNÇÃO DA OCORRÊNCIA DE MOMENTO FLETOR NEGATIVO NO APOIO COMUM ÀS DUAS
LAJES CONTÍGUAS, DEVE SER PROVIDENCIADA, NAS LAJES E NAS SUAS PARTES SUPERIORES,
ARMADURAS NEGATIVAS JUSTAMENTE PARA QUE TAL MOMENTO FLETOR NEGATIVO
(TAMBÉM NEGATIVO) POSSA SER SATISFATORIAMENTE VENCIDO
▪ IMPORTANTE:
▪ O ENGASTAMENTO NOS APOIOS DAS LAJES CONTÍGUAS NÃO ACONTECE CASO UMA DELAS
SEJA REBAIXADA. EM CASOS ASSIM, AMBAS AS ESTRUTURAS DEVEM SER ENTENDIDAS
COMO LIVREMENTE APOIADAS
71
REGIÕES VIRTUAIS DE TRABALHO À
TRAÇÃO E À COMPRESSÃO
CORTE ESQUEMÁTICO DAS LAJES L1 + L2
ESQUEMA DE TRABALHO DA ESTRUTURA,
GERADO PELAS CARGAS APLICADAS E
PELO PESO PRÓPRIO TOTAL
V1 V2 V3
L1 L2
V1 V2 V3
TRAÇÃO COMPRESSÃO
LINHA NEUTRA: SEM TRAÇÃO E SEM COMPRESSÃO !
ESQUEMA 
ESTRUTURAL
(L-1 + L-2)
DIAGRAMA DE 
MOMENTOS FLETORES 
(DMF)
(L-1 + L-2)
q [kN / m]
V1 V2 V3
+
+
72
▪ RESUMINDO ...
▪ CONSIDERANDO QUE NO MEIO DOS VÃOS OCORREM MOMENTOS FLETORES POSITIVOS E NOS
APOIOS INTERMEDIÁRIOS MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS – E LEMBRANDO SEMPRE QUE O
CONCRETO NÃO RESISTE À TRAÇÃO – NAS LAJES CONTÍGUAS, ALÉM DE LANÇAR AÇO NA ÁREA
CENTRAL DO VÃO, DEVE-SE PREVER UMA ARMADURA SUPERIOR, ESPECÍFICA PARA OS APOIOS
INTERMEDIÁRIOS
T A B E L A S D E D I M E N S I O N A M E N T O : B A R Ë S - C Z E R N Y
73
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ) – TABELAS BARËS & CZERNY
▪ PARA UTILIZAR AS TABELAS:
a. VERIFICAR PRIMEIRAMENTE EM QUAL DOS SEIS CASOS ESTRUTURAIS SEGUINTES SE
ENCAIXA O PROBLEMA ESTUDADO
b. ORIENTAR A QUESTÃO DOS EIXOS ESTRUTURAIS DE CÁLCULO
c. CALCULAR A RELAÇÃO ε = ly / lx, QUE SERÁ A ÚNICA CHAVE DE ENTRADA, RESULTANDO
NOS COEFICIENTES : mx; my; v1; v2; ...; vn
d. CONHECIDOS mx; my; kx, CALCULAR:
▪ LAJES ARMADAS DUAS DIREÇÕES (OU LAJES ARMADAS EM CRUZ) – TABELAS BARËS & CZERNY
CARGA TOTAL (q) = CARGA ACIDENTAL + REVESTIMENTO + PESO PRÓPRIO [kN / m²]
MX = [q . (L²x / mX)] = MOMENTO POSITIVO DO MEIO DO VÃO NA DIREÇÃO X CONSIDERADA NO CASO
MY = [q . (L²x / mY)] = MOMENTO POSITIVO DO MEIO DO VÃO NA DIREÇÃO X CONSIDERADA NO CASO
R1; R2; ...; Rn = CARGAS NAS VIGAS DE APOIO DA LAJE [R = V . q . LX]
XX = [q . (L²x / nX)] = MOMENTO NEGATIVO DO APOIO NA DIREÇÃO X CONSIDERADA NO CASO
XY = [q . (L²x / nY)] = MOMENTO NEGATIVO DO APOIO NA DIREÇÃO Y CONSIDERADA NO CASO
W = COEFICIENTE PARA CÁLCULO DA FLECHA, NO MEIO DO VÃO
V = COEFICIENTE PARA CÁLCULO DE CARGAS NAS VIGAS
74
C A S O 1 : L A J E S I S O L A D A S
LX
LY
mX
mY
R1 R1
R2
R2
75
 =
LY
LX
 1,0
MX = qT .
L²X
mX
R1 = V1 . qT . LX
R2 = V2 . qT . LXf = QT .
L4x
ECS . h³ . W
MY = qT .
L²X
mY
C A S O 1 :
L A J E S I S O L A D A S ( S E M E N G A S T A M E N T O C O M O U T R A S L A J E S )
ε = LY / LX mX mY V1 V2 W
1,0 27,2 27,2 0,250 0,250 20,534
1,1 22,4 27,9 0,250 0,273 17,118
1,2 19,1 29,1 0,250 0,292 14,748
1,3 16,8 30,9 0,250 0,308 13,064
1,4 15,0 32,8 0,250 0,321 11,779
1,5 13,7 34,7 0,250 0,333 10,794
1,6 12,7 36,1 0,250 0,344 10,039
1,7 11,9 37,2 0,250 0,353 9,428
1,8 11,3 38,5 0,250 0,361 8,903
1,9 10,8 39,6 0,250 0,368 8,526
2,0 10,4 40,3 0,250 0,375 8,224
76
C A S O 2 : L A J E S E N G A S T A D A S E M U M D O S L A D O S
LX
LY
mY
R1 R1
R2
R3
mX
IMPORTANTE:
LY SERÁ SEMPRE O LADO ENGASTADO DA LAJE
77
MX = q .
L²X
mX
R1 = V1 . q . LX
R2 = V2 . q . LX
MY = q .
L²X
mY
ε =
LY
LX
≤ 2,00,5 ≤
R3 = V3 . q . LX
f = QT .
ECS . h³ . W
L4x
C A S O 2 :
L A J E S C O M U N S ( E N G A S T A M E N T O E M U M D O S L A D O S )
ε = LY / LX mx mY nX V1 V2 V3 W
0,50 156,3 45,6 32,8 0,165 0,216 0,125 143,880
0,55 126,6 41,8 27,6 0,172 0,238 0,138 108,847
0,60 99,0 39,3 23,8 0,177 0,260 0,150 85,639
0,65 78,7 37,7 20,9 0,181 0,281 0,163 69,677
0,70 63,7 36,9 18,6 0,182 0,303 0,175 58,332
0,75 53,5 36,7 16,8 0,183 0,325 0,187 50,008
0,80 45,7 36,9 15,4 0,183 0,344 0,199 43,831
0,85 39,8 37,6 14,2 0,183 0,361 0,208 39,096
0,90 35,5 38,6 13,3 0,183 0,376 0,217 35,363
0,95 32,2 39,7 12,5 0,183 0,390 0,225 32,394
1,00 29,3 41,2 11,9 0,183 0,402 0,232 29,940
78
C A S O 2 :
L A J E S C O M U N S ( E N G A S T A M E N T O E M U M D O S L A D O S ) [ C O N T I N U A Ç Ã O ]
ε = LY / LX mx mY nX V1 V2 V3 W
1,10 27,3 45,2 10,9 0,183 0,423 0,244 26,371
1,20 24,5 48,9 10,2 0,183 0,441 0,254 23,874
1,30 22,5 51,9 9,7 0,183 0,456 0,263 22,021
1,40 21,0 54,3 9,3 0,183 0,466 0,270 20,659
1,50 19,8 55,6 9,9 0,183 0,479 0,277 19,558
1,60 19,0 56,6 8,8 0,183 0,489 0,282 18,838
1,70 18,3 57,7 8,6 0,183 0,498 0,287 18,420
1,80 17,8 58,2 8,4 0,183 0,505 0,292 17,974
1,90 17,4 58,9 8,3 0,183 0,512 0,295 17,439
2,00 17,1 59,5 8,2 0,183 0,518 0,299 16,892
C A S O 3 : L A J E S E N G A S T A D A S E M D O I S L A D O S O P O S T O S
79
IMPORTANTE:
LY ESTARÁ SEMPRE NA DIREÇÃO 
COM OS DOIS ENGASTES DA LAJE
LX
LY
mY
R2 R2
R1
R1
mX
MX = q .
L²X
mX
R1 = V1 . q . LX
R2 = V2 . q . LX
MY = q .
L²X
mY
ε =
LY
LX
≤ 2,00,5 ≤
f = QT .
ECS . h³ . W
L4x
80
C A S O 3 :
L A J E S E N G A S T A D A S E M D O I S L A D O S O P O S T O S
ε = LY / LX mX mY nX V1 V2 W
0,50 169,5 50,0 33,7 0,216 0,144 157,947
0,55 123,5 47,4 28,6 0,238 0,144 122,514
0,60 95,2 46,1 25,0 0,259 0,144 99,306
0,65 76,9 45,8 22,2 0,278 0,144 83,364
0,70 64,5 46,2 20,1 0,299 0,144 72,058
0,75 55,6 47,4 18,5 0,308 0,144 63,848
0,80 49,3 49,4 17,3 0,320 0,144 57,580
0,85 44,4 52,0 16,3 0,330 0,144 52,774
0,90 40,5 55,1 15,5 0,340 0,144 48,851
0,95 37,5 58,9 14,8 0,348 0,144 45,811
1,00 35,1 61,7 14,3 0,356 0,144 43,478
C A S O 3 :
L A J E S E N G A S T A D A S E M D O I S L A D O S O P O S T O S [ C O N T I N U A Ç Ã O ]
ε = LY / LX mX mY nX V1 V2 W
1,10 31,7 67,2 13,0 0,369 0,144 39,942
1,20 29,4 71,6 12,6 0,380 0,144 37,384
1,30 27,8 74,0 12,3 0,389 0,144 35,727
1,40 26,7 75,0 12,3 0,397 0,144 34,708
1,50 25,8 75,3 12,3 0,404 0,144 34,057
1,60 25,2 76,6 12,1 0,410 0,144 33,600
1,70 24,7 76,9 12,0 0,415 0,144 33,200
1,80 24,4 77,0 12,0 0,420 0,144 33,033
1,90 24,2 77,0 12,0 0,424 0,144 32,964
2,00 24,1 77,0 12,0 0,428 0,144 32,895
81
C A S O 4 : L A J E S E N G A S T A D A S E M D O I S L A D O S C O N T Í G U O S
LX
LY
R1 R2
R3
R4
mX
mY
82
ε =
LY
LX
≥ 1,0
MX = q .
L²X
mX
R1 = V1 . q . LX
R2 = V2 . q . LX
f = QT .
L4x
ECS . h³ . W
MY = q .
L²X
mY
R3 = V3 . q . LX
R4 = V4 . q . LX
C A S O 4 :
L A J E S E N G A S T A D A S E M D O I S L A D O S C O N T Í G U O S
ε = LY / LX mX mY nX nY V1 V2 V3 V4 W
1,0 40,2 40,2 14,3 14,3 0,317 0,183 0,317 0,183 39,683
1,1 35,1 41,3 12,7 13,6 0,317 0,183 0,346 0,200 33,156
1,2 30,0 44,0 11,5 13,1 0,317 0,183 0,370 0,214 28,706
1,3 26,5 47,7 10,7 12,8 0,317 0,183 0,390 0,225 25,745
1,4 24,0 51,0 10,1 12,6 0,317 0,183 0,414 0,232 23,451
1,5 22,2 52,9 9,6 12,4 0,317 0,183 0,423 0,244 21,707
1,6 20,9 55,0 9,2 12,3 0,317 0,183 0,436 0,252 20,620
1,7 19,8 56,6 9,0 12,3 0,317 0,183 0,447 0,258 19,955
1,8 19,0 57,7 8,7 12,2 0,317 0,183 0,458 0,264 19,441
1,9 18,4 59,1 8,6 12,2 0,317 0,183 0,467 0,270 18,716
2,0 17,9 60,2 8,4 12,2 0,317 0,183 0,475 0,275 17,857
83
C A S O 5 : L A J E S E N G A S T A D A S N O S Q U A T R O L A D O S
LX
LY
R1 R1
R2
R2
mY
mX
84
ε =
LY
LX
 1,0
MX = q .
L²X
mX
MY = q .
L²X
mY
R1 = V1 . q . LX
R2 = V2 . q . LX
f = QT .
L4x
ECS . h³ . W
C A S O 5 :
L A J E S E N G A S T A D A S N O S Q U A T R O L A D O S
ε = LY / LX mX mY Nx nY V1 V2 W
1,0 56,8 56,8 19,4 19,4 0,250 0,250 65,400
1,1 46,1 60,3 17,1 18,4 0,250 0,273 55,082
1,2 39,4 66,1 15,6 17,9 0,250 0,292 48,225
1,3 35,0 74,0 14,5 17,6 0,250 0,308 43,766
1,4 31,8 83,6 13,7 17,5 0,250 0,321 40,047
1,5 29,6 93,5 13,2 17,5 0,250 0,333 37,987
1,6 28,0 98,1 12,8 17,5 0,250 0,344 36,330
1,7 26,8 101,1 12,5 17,5 0,250 0,353 35,215
1,8 26,0 103,3 12,3 17,5 0,250 0,361 34,021
1,9 25,4 104,6 12,1 17,5 0,250 0,368 33,362
2,0 25,0 105,0 12,0 17,5 0,250 0,375 32,895
85
C A S O 6 : L A J E S E N G A S T A D A S E M T R Ê S L A D O S
LX
LY
R3 R1
R2
R2
mX
mY
IMPORTANTE:
LY SERÁ SEMPRE O LADO 
COM DOIS ENGASTES
86
ε =
LY
LX
 1,0
MX = q .
L²X
mX
R1 = V1 . q . LX
R2 = V2 . q . LX
f = q .
q . L4x
ECS . h³ . W
MY = q .
L²X
mY
R3 = V3 . q . LX
C A S O 6 :
L A J E S E N G A S T A D A S E M T R Ê S L A D O S
ε = LY / LX mX mY nX nY V1 V2 V3 W
0,50 400,0 74,8 49,3 35,2 0,125 0,159 0,217 296,296
0,55 250,0 66,9 40,5 30,7 0,131 0,174 0,227 218,564
0,60 175,4 61,5 34,4 27,2 0,136 0,190 0,236 167,740
0,65 133,3 57,7 29,8 24,6 0,140 0,206 0,242 133,065
0,70 105,3 55,3 26,2 22,5 0,143 0,222 0,247 109,030
0,75 85,5 54,2 23,4 21,0 0,144 0,238 0,249 91,875
0,80 70,9 53,9 21,2 20,0 0,144 0,254 0,250 79,525
0,85 61,3 55,3 19,5 19,2 0,144 0,268 0,250 70,430
0,90 54,3 55,4 18,1 18,7 0,144 0,281 0,250 63,243
0,95 48,5 55,7 17,1 18,4 0,144 0,293 0,250 57,371
1,00 44,1 55,9 16,2 18,3 0,144 0,303 0,250 53,191
87
C A S O 6 :
L A J E S E N G A S T A D A S E M T R Ê S L A D O S [ C O N T I N U A Ç Ã O ]
ε = LY / LX mX mY nX V1 V2 V3 W
1,10 37,9 60,3 14,8 0,144 0,321 0,250 47,104
1,20 33,8 63,2 13,9 0,144 0,336 0,250 42,677
1,30 31,0 69,0 13,2 0,144 0,348 0,250 39,787
1,40 29,0 71,9 12,8 0,144 0,359 0,250 37,187
1,50 27,6 75,2 12,5 0,144 0,369 0,250 35,915
1,60 26,6 78,7 12,3 0,144 0,377 0,250 34,679
1,70 25,8 82,9 12,2 0,144 0,384 0,250 34,209
1,80 25,3 86,9 12,1 0,144 0,391 0,250 34,021
1,90 24,8 91,5 12,0 0,144 0,396 0,250 33,362
2,00 25,4 96,2 12,0 0,144 0,402 0,250 32,895
E X E R C Í C I O S
88
EXERCÍCIO 1
▪ DIMENSIONAR ESTRUTURALMENTE UMA DAS LAJES DO PISO SUPERIOR DESTE RESTAURANTE.
CONSIDERAR QUE ESTA LAJE É ENGASTADA EM DOIS LADOS OPOSTOS, E QUE A MURETA DE
SUSTENTAÇÃO DO BALCÃO DE ATENDIMENTO APOIA-SE DIRETAMENTE SOBRE ELA.
DADOS DO PROBLEMA:
▪ PÉ-DIREITO DO AMBIENTE: 3,7m
▪ PARA O TRECHO DE LAJE CONSIDERADO NESTE CÁLCULO:
▪ ÁREA TOTAL = 65,0m² (6,5 X 10,0m)
▪ PISO:
▪ CONTRAPISO (OU CAMADA DE REGULARIZAÇÃO): 0,04m
▪ REVESTIMENTO DA FACE INFERIORDA LAJE DE PISO: 0,02m
▪ REVESTIMENTO DA FACE SUPERIOR: LAJOSTAS SINTÉTICAS DE ARDÓSIA CERÂMICA
▪ PARA A MURETA DO BALCÃO DE ATENDIMENTO, APOIADA DIRETAMENTE SOBRE A LAJE:
▪ BLOCOS DE TIJOLO MACIÇO, DE 10,0cm x 5,0cm x 21,0cm
▪ ALTURA FINAL, ACABADA: 1,10m
▪ ESPESSURA FINAL, ACABADA (E) = 0,15m
▪ COMPRIMENTO TOTAL (L) = 7,5m
89
DADOS DO PROBLEMA:
▪ COMPOSIÇÃO ESTRUTURAL DA LAJE DE PISO:
▪ CONDIÇÕES DE BORDO (OU SITUAÇÃO ESTÁTICA): LAJE BI-ENGASTADA, EM LADOS
OPOSTOS, CONSTRUÍDA SOBRE DUAS VIGAS LONGITUDINAIS PRINCIPAIS, DE BW = 0,2m
(CADA)
▪ AÇO: CA.50
▪ CIMENTO: CP IV
▪ fck = 25 MPa
▪ CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA):
▪ AGRESSIVIDADE: FORTE
▪ RISCO DE DETERIORAÇÃO DA ESTRUTURA: GRANDE
1 . D E T E R M I N A Ç Ã O D O T I P O D E A R M A Ç Ã O D A L A J E
90
10,0m
6
,5
m SENTIDOS DA
ARMAÇÃO PRINCIPAL
L Y
=
 6
,5
m
LX = 10,0m
  = 0,65 LAJE ARMADA EM DUAS DIREÇÕES
0,5   =
LY
LX
 2,0
0,5   =
6,5
10,0
 2,0
POR DEFINIÇÃO, LY ESTARÁ SEMPRE NA DIREÇÃO COM OS DOIS ENGASTES DA LAJE
91
2 . E S P E S S U R A E A L T U R A Ú T I L D A L A J E
ONDE:
▪ H = ESPESSURA DA LAJE [cm] = 
▪ d = ALTURA ÚTIL INICIAL PARA A LAJE [cm] = 
▪ L = DIÂMETRO DA BARRA LONGITUDINAL DA LAJE (VALOR INICIAL ADOTADO: 5,0mm)
▪ CNOM = COBRIMENTO NOMINAL DA ARMADURA (TABELAS 6.1 + 7.2 – NBR 6118)
▪ PARA LAJES RETANGULARES COM BORDAS APOIADAS OU ENGASTADAS, A ESPESSURA PODE
SER ESTIMADA POR MEIO DA SEGUITE EXPRESSÃO:
H = di + (L / 2) + CNOM [cm] 
92
ONDE:
▪ di = ALTURA ÚTIL INICIAL PARA A LAJE [cm]
▪ l = MENOR VÃO DA LAJE (MAS NÃO NECESSARIAMENTE LX!)
▪ ψ2 = VALOR QUE DEPENDE DAS CONDIÇÕES DE BORDO (OU DE APOIO DA LAJE)
▪ ψ3 = VALOR DERIVADO DO AÇO EMPREGADO
a. PARA LAJES RETANGULARES COM BORDAS APOIADAS OU ENGASTADAS, A ALTURA ÚTIL
INICIAL “di” PODE SER ESTIMADA POR MEIO DA SEGUITE EXPRESSÃO:
di  ψ2 . ψ3
l
[cm] 
SENTIDOS DA
ARMAÇÃO PRINCIPAL
LX = 10,0m
L Y
=
 6
,5
m
93
VALORES DE “ψ2” PARA LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
SITUAÇÃO DE BORDO DAS LAJE (RELAÇÃO ENTRE LADOS)
MENOR VÃO
( l )
MAIOR VÃO
( L )
1,0 1,90 1,70 1,50 1,10 1,00
1,2 1,76 1,55 1,42 1,08 1,00
1,4 1,62 1,46 1,34 1,06 1,00
1,6 1,48 1,34 1,26 1,04 1,00
1,8 1,34 1,22 1,16 1,02 1,00
 2,0 1,20 1,10 1,10 1,00 1,00
 =
L
l
10,0
6,5
= 1,54
VALORES DE “ψ2” PARA LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
SITUAÇÃO DE BORDO DAS LAJE (RELAÇÃO ENTRE LADOS)
MENOR VÃO
( l )
MAIOR VÃO
( L )
1,0 1,90 1,70 1,50 1,10 1,00
1,2 1,76 1,55 1,42 1,08 1,00
1,4 1,62 1,46 1,34 1,06 1,00
1,6 1,48 1,34 1,26 1,04 1,00
1,8 1,34 1,22 1,16 1,02 1,00
 2,0 1,20 1,10 1,10 1,00 1,00
 =
L
l
10,0
6,5
= 1,54
94
VALORES DE “ψ3” PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
AÇO UTILIZADO
ψ3
LAJE MACIÇA LAJE NERVURADA
CA-25 35,0 25,0
CA-32 33,0 22,0
CA-40 30,0 20,0
CA-50 25,0 17,0
CA-60 20,0 15,0
VALORES DE “ψ3” PARA LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
AÇO UTILIZADO
ψ3
LAJE MACIÇA LAJE NERVURADA
CA-25 35,0 25,0
CA-32 33,0 22,0
CA-40 30,0 20,0
CA-50 25,0 17,0
CA-60 20,0 15,0
95
LOGO,
ONDE:
▪ di = ALTURA ÚTIL INICIAL PARA A LAJE [cm]
▪ l = MENOR VÃO DA LAJE = 6,5m (= 650,0cm)
▪ ψ2 = VALOR QUE DEPENDE DAS CONDIÇÕES DE BORDO = 1,48
▪ ψ3 = VALOR DERIVADO DO AÇO EMPREGADO = 1,25
di  ψ2 . ψ3
l
[cm] 
ASSIM, PARA ESTE CASO, A ALTURA ÚTIL INICIAL ADOTADA DA LAJE SERÁ:
di = 17,57cm
di  ψ2 . ψ3
LX
di 
1,48 . 25,0
650,0
96
NBR 6118, TABELA 6.1: CLASSES DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
CLASSE DE 
AGRESSIVIDADE 
AMBIENTAL
AGRESSIVIDADE
CLASSIFICAÇÃO GERAL 
DO TIPO DE AMBIENTE 
PARA EFEITO DE 
PROJETO’
RISCO DE DETERIORAÇÃO 
DA ESTRUTURA
I FRACA
RURAL
INSIGNIFICANTE
SUBMERSA
II MODERADA URBANA PEQUENO
III FORTE
MARINHA
GRANDE
INDUSTRIAL
IV MUITO FORTE
INDUSTRIAL
ELEVADO
RESPINGOS DE MARÉ
b. COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 1/2]
NBR 6118, TABELA 6.1: CLASSES DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
CLASSE DE 
AGRESSIVIDADE 
AMBIENTAL
AGRESSIVIDADE
CLASSIFICAÇÃO GERAL 
DO TIPO DE AMBIENTE 
PARA EFEITO DE 
PROJETO’
RISCO DE DETERIORAÇÃO 
DA ESTRUTURA
I FRACA
RURAL
INSIGNIFICANTE
SUBMERSA
II MODERADA URBANA PEQUENO
III FORTE
MARINHA
GRANDE
INDUSTRIAL
IV MUITO FORTE
INDUSTRIAL
ELEVADO
RESPINGOS DE MARÉ
b. COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 1/2]
97
NBR 6118, TABELA 7.2:
CORRESPONDÊNCIA ENTRE CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL E COBRIMENTO NOMINAL PARA ΔC = 10,0mm
TIPO DE 
ESTRUTURA
COMPONENTE 
(OU ELEMENTO)
CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
I II III IV(2)
COBRIMENTO NOMINAL (mm)
CONCRETO 
ARMADO
LAJE 20,0 25,0 35,0 45,0
VIGA / PILAR 25,0 30,0 40,0 50,0
ELEMENTOS 
ESTRUTURAIS 
EM CONTATO 
COM O SOLO
30,0 40,0 50,0
b. COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 2/2]
NBR 6118, TABELA 7.2:
CORRESPONDÊNCIA ENTRE CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL E COBRIMENTO NOMINAL PARA ΔC = 10,0mm
TIPO DE 
ESTRUTURA
COMPONENTE 
(OU ELEMENTO)
CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
I II III IV(2)
COBRIMENTO NOMINAL (mm)
CONCRETO 
ARMADO
LAJE 20,0 25,0 35,0 45,0
VIGA / PILAR 25,0 30,0 40,0 50,0
ELEMENTOS 
ESTRUTURAIS 
EM CONTATO 
COM O SOLO
30,0 40,0 50,0
b. COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 2/2]
98
H = di + (L / 2) + CNOM
ONDE, PARA ESTE CASO:
▪ H = ESPESSURA DA LAJE [cm]
▪ di = ALTURA ÚTIL INICIAL PARA A LAJE [cm] = 17,57cm
▪ L = DIÂMETRO DA BARRA LONGITUDINAL DA LAJE (VALOR ADOTADO: 5,0mm = 0,5cm)
▪ CNOM = COBRIMENTO NOMINAL DA ARMADURA = 3,5cm (TABELAS 6.1 + 7.2 – NBR 6118)
c. CÁLCULO DA ESPESSURA DA LAJE, A PARTIR DA ALTURA ÚTIL INICIAL E DO COBRIMENTO
NOMINAL
ASSIM,
H = di + (L / 2) + CNOM
H = 17,57 + (0,5 / 2) + 3,5 
H = 21,32cm H = 22,0cm
99
▪ PORÉM, A NBR 6118/2004 (ITEM 13.2.4.1) ESTABELECE QUE A ESPESSURA MÍNIMA PARA AS LAJES
MACIÇAS DEVE RESPEITAR:
▪ 7,0cm: PARA LAJES DE COBERTURA NÃO EM BALANÇO
▪ 8,0cm: PARA LAJES DE PISO NÃO EM BALANÇO
▪ 10,0cm: PARA LAJES EM BALANÇO
▪ 10,0cm: PARA LAJES QUE SUPORTEM VEÍCULOS DE PESO TOTAL MENOR OU IGUAL A 30,0kN
▪ 12,0cm: PARA LAJES QUE SUPORTEM VEÍCULOS DE PESO TOTAL MAIOR QUE 30,0kN
▪ 15,0cm: PARA LAJES COM PROTENSÃO APOIADA EM VIGAS, COM O MÍNIMO DE L/42 PARA
LAJES DE PISO BIAPOIADAS E L/50 PARA LAJES DE PISO CONTÍNUAS
▪ 16,0cm: PARA LAJES LISAS E 14,0cm PARA LAJES COGUMELO FORA DO CAPITEL
H = 22,0cm = OK !
▪ LOGO, A ALTURA ÚTIL (d) PRECISA SER RECALCULADA, EM FUNÇÃO DE A ESPESSURA DA LAJE TER
SIDO, ELA TAMBÉM, MODIFICADA (DE 21,32cm PARA 22,0cm)
dF = HF – CNOM – (L / 2)
H
CNOM
L
d
ONDE:
▪ dF = ALTURA ÚTIL FINAL DA LAJE [cm]
▪ HF = ESPESSURA FINAL DA LAJE = 22,0cm
▪ L = DIÂMETRO DA BARRA LONGITUDINAL DA LAJE (VALOR ADOTADO: 5,0mm = 0,5cm)
▪ CNOM = COBRIMENTO NOMINAL DA ARMADURA: 3,5cm (DADO DO EXERCÍCIO)
100
LOGO,
dF = HF – CNOM – (L / 2)
dF = 22,0 – 3,5 – (0,5 / 2)
dF = 18,25cm
3 . A Ç Õ E S E C A R R E G A M E N T O S
101
3 . 1 . C A R G A S P E R M A N E N T E S
L1 = 1,0m
L2 = 1,0m
H = 0,22m
ONDE:
▪ gPP.LJ = PESO PRÓPRIO DA LAJE [kN / m²]
▪ CONCRETO = PESO ESPECÍFICO DO CONCRETO ARMADO = 25,0 kN / m³
▪ H = ALTURA DA LAJE [m] = 0,22m
gPP.LJ = CONCRETO . H = 25,0 . H
a. PESO PRÓPRIO DA LAJE
102
gPP.LJ = CONCRETO . H
gPP.LJ = 25,0 . 0,22
gPP.LJ = 5,5 kN / m²
PORTANTO ...
L1 = 1,0m
L2 = 1,0m
H = 0,04m
gPP.CONTR = CONTRAPISO . H = 21 . H
ONDE:
▪ gPP = PESO PRÓPRIO DO CONTRAPISO [kN / m²]
▪ CONTRAPISO = PESO ESPECÍFICO DO CONTRAPISO = 21,0 kN / m³
▪ H = ESPESSURA DO CONTRAPISO [ 0,03m]
b. CONTRAPISO
103
gPP.CONTR = CONTRAPISO . H
gPP.CONTR = 21,0 . 0,04
gPP.CONTR= 0,84 kN / m²
LOGO ...
L1 = 1,0m
L2 = 1,0m
H = 0,02m
ONDE:
▪ gPP = CARGA PERMANENTE DO REVESTIMENTO DO TETO [kN / m²]
▪ REVESTIMENTO.TETO = PESO ESPECÍFICO DO REVESTIMENTO DO TETO = 19,0 kN / m³
▪ H = ESPESSURA DO REVESTIMENTO DO TETO [0,015m  x  0,02m]
gPP.TETO = REVESTIMENTO.TETO . H = 19,0 . H
c. REVESTIMENTO DE TETO
104
gPP.TETO = REVESTIMENTO.TETO . H
gPP.TETO = 19,0 . 0,02
gPP.TETO = 0,38 kN / m²
ASSIM ...
d. REVESTIMENTO DE PISO
NBR 6120 / 1980, TABELA 1: PISO FINAL SOBRE A LAJE
[PESO ESPECÍFICO DOS PRINCIPAIS MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO / m² DE LAJE]
MATERIAIS
PESO ESPECÍFICO APARENTE
(kN / m³)
ROCHAS
ARENITO 26,0
BASALTO 30,0
GNEISS 30,0
GRANITO 28,0
MÁRMORE E CALCÁREO 28,0
BLOCOS ARTIFICIAIS
BLOCOS DE ARGAMASSA 22,0
CIMENTO DE AMIANTO 20,0
LAJOTAS CERÂMICAS 18,0
TIJOLOS FURADOS 13,0
TIJOLOS MACIÇOS 18,0
TIJOLOS SÍLICO-CALCAREOS 20,0
105
NBR 6120 / 1980, TABELA 1: PISO FINAL SOBRE A LAJE
[PESO ESPECÍFICO DOS PRINCIPAIS MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO / m² DE LAJE]
MATERIAIS
PESO ESPECÍFICO APARENTE
(kN / m³)
ROCHAS
ARENITO 26,0
BASALTO 30,0
GNEISS 30,0
GRANITO 28,0
MÁRMORE E CALCÁREO 28,0
BLOCOS ARTIFICIAIS
BLOCOS DE ARGAMASSA 22,0
CIMENTO DE AMIANTO 20,0
LAJOTAS CERÂMICAS 18,0
TIJOLOS FURADOS 13,0
TIJOLOS MACIÇOS 18,0
TIJOLOS SÍLICO-CALCAREOS 20,0
e. MURETA DE ALVENARIA SOB O BALCÃO DE ATENDIMENTO
E L
H
ONDE:
▪ gPP.MUR = CARGA PERMANENTE DA ALVENARIA SOB
O BALCÃO DE ATENDIMENTO [kN / m²]
▪ ALV = PESO ESPECÍFICO DA PAREDE
▪ E = ESPESSURA DA PAREDE
▪ H = ALTURA DA PAREDE
▪ L = COMPRIMENTO DA PAREDE
▪ ALAJE = ÁREA DA LAJE CONSIDERADA
gPP.MUR =
ALV . E . H . L
ALAJE
106
NBR 6120 / 1980, TABELA 1: PISO FINAL SOBRE A LAJE
[PESO ESPECÍFICO DOS PRINCIPAIS MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO / m² DE LAJE]
MATERIAIS
PESO ESPECÍFICO APARENTE
(kN / m³)
ROCHAS
ARENITO 26,0
BASALTO 30,0
GNEISS 30,0
GRANITO 28,0
MÁRMORE E CALCÁREO 28,0
BLOCOS ARTIFICIAIS
BLOCOS DE ARGAMASSA 22,0
CIMENTO DE AMIANTO 20,0
LAJOTAS CERÂMICAS 18,0
TIJOLOS FURADOS 13,0
TIJOLOS MACIÇOS 18,0
TIJOLOS SÍLICO-CALCAREOS 20,0
NBR 6120 / 1980, TABELA 1: PISO FINAL SOBRE A LAJE
[PESO ESPECÍFICO DOS PRINCIPAIS MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO / m² DE LAJE]
MATERIAIS
PESO ESPECÍFICO APARENTE
(kN / m³)
ROCHAS
ARENITO 26,0
BASALTO 30,0
GNEISS 30,0
GRANITO 28,0
MÁRMORE E CALCÁREO 28,0
BLOCOS ARTIFICIAIS
BLOCOS DE ARGAMASSA 22,0
CIMENTO DE AMIANTO 20,0
LAJOTAS CERÂMICAS 18,0
TIJOLOS FURADOS 13,0
TIJOLOS MACIÇOS 18,0
TIJOLOS SÍLICO-CALCAREOS 20,0
107
gPP.ALV = 0,34 kN / m²
ENTÃO ...
gPP.ALV =
ALV . E . H . L
ALAJE
gPP.ALV =
18,0 . 0,15 . 1,1 . 7,5
65,0
3 . 2 . C A R G A S V A R I Á V E I S
108
NBR 6120 / 1980, TABELA 2: USO DO AMBIENTE
[VALORES MÍNIMOS DAS CARGAS VERTICAIS VARIÁVEIS / m² DE LAJE]
LOCAL
CARGA
(kN / m²)
GINÁSIOS DE 
ESPORTES
5,0
HOSPITAIS
DORMITÓRIOS, ENFERMARIAS, SALAS DE 
RECUPERAÇÃO, SALAS DE CIRURGIA, SALAS DE 
RAIO X E BANHEIRO
2,0
CORREDOR 3,0
LABORATÓRIOS
INCLUINDO EQUIPAMENTOS, A SER 
DETERMINADO EM CADA CASO, PORÉM, COM O 
MÍNIMO
3,0
LAVANDERIAS INCLUINDO EQUIPAMENTOS 3,0
LOJAS 4,0
RESTAURANTES 3,0
NBR 6120 / 1980, TABELA 2: USO DO AMBIENTE
[VALORES MÍNIMOS DAS CARGAS VERTICAIS VARIÁVEIS / m² DE LAJE]
LOCAL
CARGA
(kN / m²)
GINÁSIOS DE 
ESPORTES
5,0
HOSPITAIS
DORMITÓRIOS, ENFERMARIAS, SALAS DE 
RECUPERAÇÃO, SALAS DE CIRURGIA, SALAS DE 
RAIO X E BANHEIRO
2,0
CORREDOR 3,0
LABORATÓRIOS
INCLUINDO EQUIPAMENTOS, A SER 
DETERMINADO EM CADA CASO, PORÉM, COM O 
MÍNIMO
3,0
LAVANDERIAS INCLUINDO EQUIPAMENTOS 3,0
LOJAS 4,0
RESTAURANTES 3,0
109
3 . 3 . A Ç Õ E S E C A R R E G A M E N T O S T O T A I S
CARGAS FINAIS SOBRE A LAJE
(QUADRO-RESUMO)
ORIGEM DO CARREGAMENTO
VALOR
(kN / m²)
PESO PRÓPRIO DA LAJE 5,50
CONTRAPISO 0,84
REVESTIMENTO DE TETO 0,38
REVESTIMENTO DE PISO 18,00
MURETA SOB O BALCÃO DE ATENDIMENTO 0,34
CARGAS VARIÁVEIS 3,00
CARREGAMENTO TOTAL (QT) 28,06
110
4 . C A R G A S N A S V I G A S P R O V O C A D A S P E L A S L A J E S :
M O M E N T O S F L E T O R E S
R E A Ç Õ E S D E A P O I O
LY
LX
R1 R1
R2
R2
TABELAS DE BÄRES-CZERNY:
CASO 3:
LAJES ENGASTADAS EM DOIS 
LADOS OPOSTOS
mY
IMPORTANTE:
LY ESTARÁ SEMPRE NA DIREÇÃO 
COM OS DOIS ENGASTES DA LAJE
mX
111
0,5   =
LY
LX
 2,0
MX = QTOTAL .
L²X
mX
MY = QTOTAL .
L²X
mY
R1 = V1 . QTOTAL . LX
f = QTOTAL .
L4x
ECS . H³ . W
R2 = V2 . QTOTAL . LX
112
L Y
=
 6
,5
m
LX = 10,0m
  = 0,65 LAJE ARMADA EM DUAS DIREÇÕES
0,5   =
LY
LX
 2,0
0,5   =
6,5
10,0
 2,0
POR DEFINIÇÃO, LY ESTARÁ SEMPRE NA DIREÇÃO COM OS DOIS ENGASTES DA LAJE
C A S O 3 :
L A J E S E N G A S T A D A S E M D O I S L A D O S O P O S T O S
ε = LY / LX mX mY nX V1 V2 W
0,50 169,5 50,0 33,7 0,216 0,144 157,947
0,55 123,5 47,4 28,6 0,238 0,144 122,514
0,60 95,2 46,1 25,0 0,259 0,144 99,306
0,65 76,9 45,8 22,2 0,278 0,144 83,364
0,70 64,5 46,2 20,1 0,299 0,144 72,058
0,75 55,6 47,4 18,5 0,308 0,144 63,848
0,80 49,3 49,4 17,3 0,320 0,144 57,580
0,85 44,4 52,0 16,3 0,330 0,144 52,774
0,90 40,5 55,1 15,5 0,340 0,144 48,851
0,95 37,5 58,9 14,8 0,348 0,144 45,811
1,00 35,1 61,7 14,3 0,356 0,144 43,478
113
C A S O 3 :
L A J E S E N G A S T A D A S E M D O I S L A D O S O P O S T O S
ε = LY / LX mX mY nX V1 V2 W
0,50 169,5 50,0 33,7 0,216 0,144 157,947
0,55 123,5 47,4 28,6 0,238 0,144 122,514
0,60 95,2 46,1 25,0 0,259 0,144 99,306
0,65 76,9 45,8 22,2 0,278 0,144 83,364
0,70 64,5 46,2 20,1 0,299 0,144 72,058
0,75 55,6 47,4 18,5 0,308 0,144 63,848
0,80 49,3 49,4 17,3 0,320 0,144 57,580
0,85 44,4 52,0 16,3 0,330 0,144 52,774
0,90 40,5 55,1 15,5 0,340 0,144 48,851
0,95 37,5 58,9 14,8 0,348 0,144 45,811
1,00 35,1 61,7 14,3 0,356 0,144 43,478
4 . 1 M O M E N T O S F L E T O R E S
114
C A S O 3 :
L A J E S E N G A S T A D A S E M D O I S L A D O S O P O S T O S
ε = LY / LX mX mY nX V1 V2 W
0,50 169,5 50,0 33,7 0,216 0,144 157,947
0,55 123,5 47,4 28,6 0,238 0,144 122,514
0,60 95,2 46,1 25,0 0,259 0,144 99,306
0,65 76,9 45,8 22,2 0,278 0,144 83,364
0,70 64,5 46,2 20,1 0,299 0,144 72,058
0,75 55,6 47,4 18,5 0,308 0,144 63,848
0,80 49,3 49,4 17,3 0,320 0,144 57,580
0,85 44,4 52,0 16,3 0,330 0,144 52,774
0,90 40,5 55,1 15,5 0,340 0,144 48,851
0,95 37,5 58,9 14,8 0,348 0,144 45,811
1,00 35,1 61,7 14,3 0,356 0,144 43,478
MX = QTOTAL .
L²X
mX
a. MOMENTO FLETOR EM X:
ONDE:
▪ MX = MOMENTO FLETOR POSITIVO, NO MEIO DO VÃO, EM RELAÇÃO AO EIXO ESTRUTURAL
“X” CONSIDERADO NESTE CASO [kN . m]
▪ QTOTAL = TOTAL DE AÇÕES E CARREGAMENTOS FINAIS ATUANTES SOBRE A LAJE = 28,06 kN
/ m²
▪ LX = VÃO NÃO ENGASTADO DA LAJE = 10,0m
▪ mX = ÍNDICE PARA O MOMENTO FLETOR, NA DIREÇÃO “X” [TABELA “CASO 4”] = 76,9
115
MY = QTOTAL .
L²X
mY
b. MOMENTO FLETOR EM Y:
ONDE:
▪ MY = MOMENTO FLETOR POSITIVO, NO MEIO DO VÃO, EM RELAÇÃO AO EIXO ESTRUTURAL
“Y” CONSIDERADO NESTE CASO [kN . m]
▪ QTOTAL = TOTAL DE AÇÕES E CARREGAMENTOS FINAIS ATUANTES SOBRE A LAJE = 28,06 kN
/ m²
▪ LX = VÃO NÃO ENGASTADO DA LAJE = 10,0m
▪ mY = ÍNDICE PARA O MOMENTO FLETOR, NA DIREÇÃO “Y” [TABELA “CASO 4”] = 45,8
C A S O 3 :
L A J E S C O M U N S ( E N G A S T A M E N T O E M D O I S L A D O S O P O S T O S )
DADOS DE ENTRADA
MOMENTOS NO
MEIO DO VÃO (M+)
QTOTAL LX L²X mX mY MX.TOTAL MY.TOTAL
28,06 10,0 100,0 76,9 45,8 36,49 61,27
M... = QTOTAL .
L²X
m...
▪ FÓRMULA GENÉRICA PARA O CÁLCULO DOS MOMENTOS POSITIVOS NO MEIO DO VÃO:116
4 . 2 R E A Ç Õ E S D E A P O I O
c. REAÇÕES DE APOIO PROVOCADAS PELA LAJE
R1 = V1 . QTOTAL . LX
R2 = V2 . QTOTAL . LX
ONDE:
▪ R1 E R2= AÇÕES PROVOCADAS PELA LAJE EM SEUS QUATRO DIFERENTES LADOS (OU
APOIOS, QUANDO O CASO) [kN]
▪ V1 E V2= ÍNDICES DE CÁLCULO PARA AS REAÇÕES DE APOIO, PROVOCADOS PELOS
DIFERENTES LADOS DA LAJE
▪ QTOTAL = TOTAL DE AÇÕES E CARREGAMENTOS FINAIS ATUANTES SOBRE A LAJE = 28,06 kN
/ m²
▪ LX = MENOR VÃO DA LAJE = 10,0m
117
C A S O 3 :
L A J E S E N G A S T A D A S E M D O I S L A D O S O P O S T O S
ε = LY / LX mX mY nX V1 V2 W
0,50 169,5 50,0 33,7 0,216 0,144 157,947
0,55 123,5 47,4 28,6 0,238 0,144 122,514
0,60 95,2 46,1 25,0 0,259 0,144 99,306
0,65 76,9 45,8 22,2 0,278 0,144 83,364
0,70 64,5 46,2 20,1 0,299 0,144 72,058
0,75 55,6 47,4 18,5 0,308 0,144 63,848
0,80 49,3 49,4 17,3 0,320 0,144 57,580
0,85 44,4 52,0 16,3 0,330 0,144 52,774
0,90 40,5 55,1 15,5 0,340 0,144 48,851
0,95 37,5 58,9 14,8 0,348 0,144 45,811
1,00 35,1 61,7 14,3 0,356 0,144 43,478
C A S O 3 :
L A J E S E N G A S T A D A S E M D O I S L A D O S O P O S T O S
ε = LY / LX mX mY nX V1 V2 W
0,50 169,5 50,0 33,7 0,216 0,144 157,947
0,55 123,5 47,4 28,6 0,238 0,144 122,514
0,60 95,2 46,1 25,0 0,259 0,144 99,306
0,65 76,9 45,8 22,2 0,278 0,144 83,364
0,70 64,5 46,2 20,1 0,299 0,144 72,058
0,75 55,6 47,4 18,5 0,308 0,144 63,848
0,80 49,3 49,4 17,3 0,320 0,144 57,580
0,85 44,4 52,0 16,3 0,330 0,144 52,774
0,90 40,5 55,1 15,5 0,340 0,144 48,851
0,95 37,5 58,9 14,8 0,348 0,144 45,811
1,00 35,1 61,7 14,3 0,356 0,144 43,478
118
C A S O 3 :
L A J E S C O M U N S ( E N G A S T A M E N T O E M D O I S L A D O S O P O S T O S )
DADOS DE ENTRADA
REAÇÕES DE APOIO
(kN)
QTOTAL LX V1 V2 R1.TOTAL R2.TOTAL
28,06 10,0 0,278 0,144 78,01 40,41
R... = V... . QTOTAL . LX
▪ FÓRMULA GENÉRICA PARA O CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO:
5 . D I M E N S I O N A M E N T O D A S A R M A D U R A S
119
5 . 1 . C O E F I C I E N T E S K 6 E K 3
K6 =
105 . bW . dF²
M?.TOTAL
ONDE:
▪ K6 = COEFICIENTE DE CÁLCULO DE ARMADURA À FLEXÃO SIMPLES PARA LAJES ARMADAS
EM DUAS DIREÇÕES
▪ bW = SEÇÃO TRANSVERSAL PADRÃO DA LAJE = 1,0m (= 100,0cm)
▪ dF = ALTURA ÚTIL FINAL DA LAJE = 18,25cm = 0,1825m
▪ M?.TOTAL = MAIOR MOMENTO FLETOR CALCULADO PELAS TABELAS ANTERIORES, DEFINIDO
ENTRE MX.TOTAL E MY.TOTAL = MY.TOTAL = 61,27 kN . m
120
K6 = 54,36
ENTÃO,
K6 =
105 . bW . dF²
MY.TOTAL
K6 =
105 . 1,0 . 0,1825²
61,27
fck = 25,0 MPa
CA.50
D I M E N S I O N A M E N T O D E L A J E S M A C I Ç A S A R M A D A S E M C R U Z
  = X / D
VALORES DE K6 PARA CONCRETO VALORES DE K3 PARA AÇO
fck = 20,0MPa fck = 25,0MPa fck = 30,0MPa CA.25 CA.50 CA.60B
0,01 1447,0 1158,0 965,0 0,647 0,323 0,269
0,02 726,0 581,0 484,0 0,649 0,325 0,271
0,03 486,0 389,0 324,0 0,652 0,26 0,272
0,04 366,0 293,0 244,0 0,655 0,327 0,273
0,05 294,0 235,0 196,0 0,657 0,329 0,274
0,06 246,0 197,0 164,0 0,660 0,330 0,275
0,07 212,0 169,0 141,0 0,663 0,331 0,276
0,09 186,0 149,0 124,0 0,665 0,333 0,277
0,09 166,0 133,0 111,0 0,668 0,334 0,278
121
D I M E N S I O N A M E N T O D E L A J E S M A C I Ç A S A R M A D A S E M C R U Z
  = X / D
VALORES DE K6 PARA CONCRETO VALORES DE K3 PARA AÇO
fck = 20,0MPa fck = 25,0MPa fck = 30,0MPa CA.25 CA.50 CA.60B
0,01 1447,0 1158,0 965,0 0,647 0,323 0,269
0,02 726,0 581,0 484,0 0,649 0,325 0,271
0,03 486,0 389,0 324,0 0,652 0,26 0,272
0,04 366,0 293,0 244,0 0,655 0,327 0,273
0,05 294,0 235,0 196,0 0,657 0,329 0,274
0,06 246,0 197,0 164,0 0,660 0,330 0,275
0,07 212,0 169,0 141,0 0,663 0,331 0,276
0,09 186,0 149,0 124,0 0,665 0,333 0,277
0,09 166,0 133,0 111,0 0,668 0,334 0,278
2 . 5 . 2
A R M A D U R A P R I N C I P A L [ A S , P R I N C ]
122
AS,PRINC =
K3 . M?.TOTAL
10 . dF
[cm² / m]
ONDE:
▪ AS,PRINC = ARMADURA PRINCIPAL PARA CONTROLE DA FLEXÃO SIMPLES EM LAJES
ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES [cm² / m]
▪ K3 = COEFICIENTE DE CÁLCULO DE ARMADURA À FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES
RETANGULARES, ATRELADO AO TIPO DE AÇO UTILIZADO (AQUI, CA-25) = 0,334
▪ M?.TOTAL = MAIOR MOMENTO FLETOR CALCULADO PELAS TABELAS ANTERIORES (PARA
LANCES INCLINADOS), DEFINIDO ENTRE MX.TOTAL E MY.TOTAL = MY.TOTAL = 61,27 kN . m
▪ dF = ALTURA ÚTIL FINAL DA LAJE = 18,25cm = 0,1825m
COM ISSO,
AS,PRINC =
K3 . MY.TOTAL
10 . dF
[cm² / m]
AS,PRINC =
0,334 . 61,27
10 . 0,1825
AS,PRINC = 11,21 cm² / m
123
2 . 5 . 3 .
A R M A D U R A M Í M I N A [ A S , M Í N ]
AS,MÍN = S,MÍN . bW . H [cm² / m]
ONDE:
▪ AS,MÍN = ARMADURA MÍNIMA PARA CONTROLE DA FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES
RETANGULARES [cm² / kN]
▪ S,MÍN = TAXA MÍNIMA DE ARMADURA DE FLEXÃO [%]
▪ bW = SEÇÃO RETANGULAR ADOTADA, PARA CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO = 100,0cm
▪ H = ESPESSURA MÉDIA DA LAJE INCLINADA = 22,0cm
124
TAXAS MÍNIMAS DE ARMADURAS DE FLEXÃO
FORMA DA SEÇÃO
VALORES DE S,MÍN [% = VALORES ABAIXO DEVEM SER DIVIDIDOS POR 100]
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50
RETANGULAR 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
TAXAS MÍNIMAS DE ARMADURAS DE FLEXÃO
FORMA DA SEÇÃO
VALORES DE S,MÍN [% = VALORES ABAIXO DEVEM SER DIVIDIDOS POR 100]
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50
RETANGULAR 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
125
ASSIM,
AS,MÍN = (0,150/100) . 100 . 22,0
AS,MÍN = s,mín . bW . HM
AS,MÍN = 3,30 cm² / m
CONCLUI-SE ENTÃO, PELOS CÁLCULOS DAS ARMADURAS, QUE ....
AS,PRINC = 11,21 cm² / m
AS,MÍN = 3,30 cm² / m
X
PORTANTO, AS,PRINC OK !
126
2 . 5 . 4 .
A R M A D U R A D E D I S T R I B U I Ç Ã O [ A S , D I S T R ]
ONDE:
▪ AS,DISTR = ARMADURA CUJO OBJETIVO É SOLIDARIZAR AS FAIXAS DE LAJE NA DIREÇÃO
PRINCIPAL, PREVENDO-SE, POR EXEMPLO, UMA EVENTUAL CONCENTRAÇÃO DE ESFORÇOS
▪ As,PRINC = ARMADURA PRINCIPAL DA LAJE. NESTE CASO = AS,MÍN = 11,21cm²/m
▪ AS,MÍN = ARMADURA MÍNIMA PARA CONTROLE DA FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES
RETANGULARES [cm² / kN] = 3,30 cm²/m
AS,DISTR 
AS,PRINC / 5
0,9 cm² / m
AS,MÍN / 2 [cm² / m]
127
LOGO,
AS,DISTR  2,24 cm² / m
AS,DISTR 
AS,PRINC / 5
0,9
AS,MÍN / 2 [cm² / m]
AS,DISTR 
AS,PRINC / 5 = 11,21 / 5 = 2,24 cm² / m
0,9 cm² / m
AS,MÍN / 2 = 3,30 / 2 = 1,65 cm² / m
2 . 5 . 5 .
A R M A D U R A P R I N C I P A L :
E S P A Ç A M E N T O M Á X I M O [ S P R I N C , M Á X ]
128
ONDE:
▪ SPRINC,MÁX = ESPAÇAMENTO MÁXIMO UTILIZADO NA ARMADURA PRINCIPAL [cm]
▪ H = ESPESSURA DA LAJE [cm] = 22,0cm
SPRINC,MÁX 
2,0 . H [cm]
20,0 cm
ENTÃO,
SPRINC,MÁX 
2,0 . H [cm]
20,0 cm
SPRINC,MÁX 
2,0 . 22,0 = 44,0 cm 
20,0 cm
SPRINC,MÁX  20,0 cm
129
2 . 5 . 6 .
A R M A D U R A D E D I S T R I B U I Ç Ã O :
E S P A Ç A M E N T O M Á X I M O [ S D I S T R , M Á X ]
SDISTR,MÁX  33,0 [cm]
130
2 . 5 . 7 .
Q U A N T I D A D E D E B A R R A S F I N A L :
P A R A A A R M A D U R A P R I N C I P A L [ A S , P R I N C ] :
Q U A N T I D A D E D E B A R R A S F I N A L ( Q A S , P R I N C , F )
E S P A Ç A M E N T O F I N A L ( S A S , P R I N C , F )
B I T O L A F I N A L (  A S , P R I N C , F )
ONDE:
▪ QAS,PRINC,F = QUANTIDADE FINAL DE BARRAS UTILIZADAS NA ARMADURA PRINCIPAL
(SEMPRE COM VALOR ARREDONDADO PARA CIMA)
▪ AS,PRINC = ARMADURA PRINCIPAL CALCULADA = 11,21 cm²/m
▪ ABITOLA = ÁREA OCUPADA POR UMA BARRA (VARIA CONFORME O DIÂMETRO DA BARRA
CONSIDERADA)
QAS,PRINC,F =
AS,PRINC [cm² / m]
ABITOLA [cm²]
131
ONDE:
▪ SAS,DISTR,F = ESPAÇAMENTO FINAL DA ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO [cm]
▪ 100 [cm] = SEÇÃO PADRÃO DA ESTRUTURA (bW) = EQUIVALE A 1,00m
▪ QAS,PRINC,F = QUANTIDADE FINAL DE BARRAS UTILIZADAS NA ARMADURA