Aula 06 Analise Nodal

Prévia do material em texto

TÉCNICAS DE ANÁLISE NODAL 
3.1- ANÁLISE NODAL 
(técnica para determinar todas as tensões e 
correntes em um circuito) 
• Circuitos contendo apenas fontes de corrente independentes; 
• Circuitos contendo fontes de corrente dependentes; 
• Circuitos contendo fontes de tensão independentes; 
• Circuitos contendo fontes de tensão dependentes. 
1 
MOTIVAÇÃO: 
COMO CALCULAR AS CORRENTES E TENSÕES NESTE 
CIRCUITO? 
ANÁLISE NODAL 
SE TODAS AS TENSÕES DE NÓ EM RELAÇÃO A UMA 
REFERÊNCIA SÃO CONHECIDAS, ENTÃO QUALQUER OUTRA 
VARIÁVEL ELÉTRICA PODE SER DETERMINADA. 
2 
PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE NODAL: 
1. IDENTIFIQUE TODOS OS NÓS E 
 SELECIONE O NÓ DE REFERÊNCIA 
 (TERRA). 
2. IDENTIFIQUE AS TENSÕES 
 CONHECIDAS. 
3. EM CADA NÓ COM TENSÃO 
 DESCONHECIDA ESCREVA A LKC. 
 
0321  III:aNó 4. SUBSTITUA AS CORRENTES 
 USANDO A LEI DE OHM. 
0
369




k
VV
k
V
k
VV baasa 5. CALCULE AS TENSÕES DE NÓ E 
 LOGO AS CORRENTES DE RAMO. 
REFERÊNCIA 
S
V
a
V
b
V
c
V
0543  III:bNó
065  II:cNó
0
943




k
VV
k
V
k
VV cbbab
0
39


k
V
k
VV cbc










































0
0
9
12
3
1
9
1
9
1
0
9
1
3
1
4
1
9
1
3
1
0
3
1
3
1
6
1
9
1
k
V
V
V
kkk
kkkkk
kkkk
c
b
a
I6 
3 
Circuito utilizado para ilustrar a lei de Ohm em um circuito 
com múltiplos nós 
SE O SENTIDO DA CORRENTE FOR ESCOLHIDO ... 
NmR vvv 
R
vv
i Nm

 OHM DE LEI

R
v
4 
O SENTIDO DA CORRENTE É IRRELEVANTE 
'i
 Rv
R
vv
i Nm

 OHM DE LEI
SE FOR ESCOLHIDO UM SENTIDO DE CORRENTE 
INVERSO ... 
 'Rv
ENTÃO DEVIDO À CONVENÇÃO PASSIVA DE 
SINAIS ... 
R
vv
i mN

'OHM DE LEI
5 
NÓ 1 (CORRENTES SAINDO): 
NÓ 2 (CORRENTES SAINDO): 
0
3
12
4
12
2 




R
vv
R
vv
i
VISUALIZANDO AS CORRENTES CHEGANDO AO NÓ 2: 
CIRCUITOS COM FONTES DE CORRENTE INDEPENDENTES 
6 
mA15
A
B
C
k8 k8k2 k2
SELECIONE O NÓ 
DE REFERÊNCIA 
AV
BV
MARQUE OS NÓS 
OUTRO EXEMPLO 
ESCREVA A LKC USANDO AS TENSÕES 
DOS NÓS 
015
82
:  mA
k
V
k
V
A AA
015
28
:  mA
k
V
k
V
B BB
7 
NÓ 1 
0 :ASRESISTÊNCI USANDO
2
21
1
1 


R
vv
R
v
iA
0)( :ASCONDUTÂNCI COM 21211  vvGvGiA
REORDENANDO 
NÓ 2 
REORDENANDO 
EXEMPLO 
8 


kRRkR
mAimAi BA
6,12
4,1
321
SUBSTITUINDO 
EQUAÇÕES 
USANDO A ELIMINAÇÃO GAUSSIANA 
ALTERNATIVAMENTE 
k12*
k6*
242
1223
21
21


VV
VV
][122 1 VV 
SOMANDO 
9 
SOLUÇÃO USANDO MATRIZ 
FORMA MATRICIAL 
ESCREVENDO DE OUTRA FORMA 
||
)(1
A
AAdj
A 
Adj(A): Matriz adjunta é 
a transposta da matriz 
dos cofatores. 
Cofator: 
Cij = (-1)i+j*det(Mij) 
RESOLVENDO 
10 
Método dos cofatores 
• Cálculo dos cofatores: 
 
• Mij é a sub-matriz obtida removendo-se a i-ésima 
linha e a j-ésima coluna da matriz A 
 
)adj(
)det(
11 A
A
A 
T)adj( CA 











nmnn
m
m
CCC
CCC
CCC
C




21
22221
11211
)det()1( ij
ji
ij MC

Onde: 
Matriz dos cofatores: 
11 
• Resolve o sistema sem calcular a matriz inversa 
– Dispensa a multiplicação de matriz 
– Resolve para cada incógnita independentemente 
 
 ; 
 
 
 
– Determinante do denominador: tem os elementos da matriz de 
condutâncias; 
– Determinante do numerador: tem os elementos da matriz de 
condutâncias exceto na coluna i, onde os elementos numéricos 
do vetor após o sinal de igual são inseridos. 
Regra de Cramer 
12 
Regra de Cramer 
 
 
• Sistema com 2 equações: 
13 
Regra de Cramer: 3 equações 
14 
MATRIZ DE CONDUTÂNCIAS PARA CIRCUITO COM FONTES DE CORRENTE INDEPENDENTES 
1 NÓ
2 NÓ
3 NÓ
 2 E 1 NÓS ENTRE ASCONDUTÂNCI
 3 E 1 NÓS ENTRE ASCONDUTÂNCI
 3 E 2 NÓS ENTRE ASCONDUTÂNCI
 NÓ REFERIDO AO CONECTADAS ASCONDUTÂNCI
15 
• Montagem direta da equação nodal na forma matricial 
em circuitos contendo apenas fontes de corrente 
independentes: 
 
1. Escolhe um nó como referência (terra); 
2. De um lado da igualdade coloca-se o vetor das correntes das 
fontes; 
3. Do outro lado da igualdade coloca-se a matriz de condutâncias 
multiplicada pelo vetor de tensões nos nós; 
4. A matriz de condutâncias é formada fazendo: 
• Elemento da diagonal principal  soma das condutâncias ligadas ao nó; 
• Elemento fora da diagonal principal  soma das condutâncias entre os 
nós com sinal negativo. 
16 
EXEMPLO 
PARA CIRCUITOS COM FONTES INDEPENDENTES 
APENAS, A MATRIZ É SIMÉTRICA EM RELAÇÃO 
À DIAGONAL PRINCIPAL. 
OS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL SÃO 
POSITIVOS. 
OS ELEMENTOS QUE ESTÃO FORA DA DIAGONAL 
PRINCIPAL SÃO NEGATIVOS. 
CORRENTES NOS RAMOS DE R1 E R2? 
17 
PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE NODAL 
•ESCREVA AS EQUAÇÕES DE NÓ USANDO AS FONTES 
 DEPENDENTES COMO INDEPENDENTES. 
•PARA CADA FONTE DEPENDENTE INCLUA UMA 
 EQUAÇÃO ADICIONAL PARA EXPRESSAR A VARIÁVEL 
 DE CONTROLE EM TERMOS DE TENSÕES DE NÓ. 
0
2
21
1
1 


R
vv
R
v
io
0
2
12
3
2 


R
vv
R
v
iA
VARIÁVEL DE CONTROLE: 
3
2
R
v
io 
EXEMPLO NUMÉRICO: 
mAv
kk
v
k
v
kk
v
kk
2
3
1
12
1
6
1
0
6
1
3
2
6
1
12
1
21
21




















0
111
2
23
1
21












 v
RR
v
RR

SUBSTITUINDO E ORDENANDO: 
Aiv
RR
v
R






 2
32
1
2
111
k4*
k6*
][123
02
21
21
VVV
VV


SOMANDO: ][125 2 VV 
VV
5
24
1 
CIRCUITOS COM FONTES DE CORRENTE DEPENDENTES 
EXEMPLO 1: 
18 
EXEMPLO 2: CIRCUITO COM FONTE DE CORRENTE CONTROLADA POR TENSÃO 
ESCREVA AS EQUAÇÕES DE NÓ CONSIDERANDO À 
FONTE DEPENDENTE COMO INDEPENDENTE 
EXPRESSE A VARIÁVEL DE CONTROLE EM FUNÇÃO 
DAS TENSÕES DE NÓ: 
FINALMENTE: 
SUBSTITUA E ORDENE: 
NÃO HÁ SIMETRIA EM RELAÇÃO 
À DIAGONAL PRINCIPAL. 
19 
USANDO MATLAB PARA ENCONTRAR AS TENSÕES DOS NÓS: 
]/[
,,,
,,
VmA
mAimAikR
kRRkR
BA
2
424
21
4
321



» R1=1; R2=2; R3=2; R4=4; 
 % resistências em ohms 
» iA=2; iB=4; % fontes em ampères 
» alpha=2; % ganho da fonte dependente 
DEFINA OS COMPONENTES DO CIRCUITO: 
DEFINA A MATRIZ G: 
» G=[(1/R1+1/R3), -1/R1, 0; %primeira linha da matriz 
-1/R1, (1/R1+alpha+1/R2), -(alpha+1/R2); %segunda linha 
0, -1/R2, (1/R2+1/R4)] % terceira linha 
 
G = 
 1.5 -1 0 
 -1 3.5 -2.5 
 0 -0.5 0.75 
Os elementos são 
separados por vírgulas 
ou espaços. 
Linhas são separadas por 
ponto e vírgula. 
DEFINA O VETOR DE CORRENTES: » I=[iA;-iA;iB]; 
RESOLVA A EQUAÇÃO: 
» V=inv(G)*I 
V = 
 8.5714 
 10.8571 
 12.5714 20 
EXEMPLO 3: ENCONTRE AS TENSÕES DO NÓ 
0
10
4
10
1 211 


k
VV
mA
k
V
NÓ :
EQUAÇÕES DE NÓ: 
0
10
2
10
2 212 

k
V
I
k
VV
NÓ O:
VARIÁVEL DE CONTROLE EM FUNÇÃO DE TENSÃO DE NÓ: 
k
V
IO
10
1
SUBSTITUINDO-SE:0
1010
2
10
0
10
4
10
2112
211





k
V
k
V
k
VV
k
VV
mA
k
V
ORDENANDO E MULTIPLICANDO POR 10k: 
02
][402
21
21


VV
VVV
VVVV 16805 11 
VV
V
V 8
2
2
1
2 
2*
21 
OV ENCONTRE
EXERCÍCIO: 
0
63
2 
k
V
k
V
mA xx
0
12126

k
V
k
V
k
V OOx
k6*
k12*
][4022
][4][123
VVVV
VVVV
OxO
xx


22 
Aparentemente necessitamos 3 
equações. 
Mas dois nós estão conectados 
à referência através de fontes 
de tensão. Nestes nós as tensões 
são conhecidas! 
0
12126
12322 




k
VV
k
VV
k
V
[V]5,1[V64
0)()(2
Então,
22
12322


VV
VVVVV
]
CIRCUITOS COM FONTES DE TENSÃO INDEPENDENTES: 
][6
][12
3
1
VV
VV


23 
+
-
2SI
3SI 1SV
1SI 1R
2R
3R
4R
EXEMPLO: ENCONTRE Vo R1 = 1k; R2 = 2k, R3 = 1k, R4 = 2k 
Is1 =2mA, Is2 = 4mA, Is3 = 4mA, 
Vs1 = 12 V 
1-IDENTIFIQUE OS NÓS 
2- ESCREVA AS EQUAÇÕES DE NÓS 
][: VVVNÓ S 123
CONHECIDA NÓ DE TENSÃO
13 
0
21
2
01
121
4
1
1
21
1






k
V
k
VV
mA
R
V
R
VV
INÓ S
][
:
0
21
12
1
4
02
42212
2
42
3
32
1
12
3














k
VV
k
V
k
VV
mA
R
VV
R
VV
R
VV
INÓ S
][
:
0
2
42
04
24
2
24
21






k
VV
mAmA
R
VV
IINÓ SS
][][
:
3- CACULE V0. OBSERVE QUE: 
210 VVV 
1V
2V
3V
4V
 OV


24 
0
21
][2 121 


k
V
k
VV
mA
0
21
12
1
][4 42212 






k
VV
k
V
k
VV
mA
0
2
][4][2 24 


k
VV
mAmA
ELIMINANDO DENOMINADORES: 
][423 21 VVV 
*2k 
*2k 
][3252 421 VVVV 
*2k 
][442 VVV 
(2)+(3): 
][3642 21 VVV 
][10][404 11 VVVV 
][14][564 22 VVVV 
FINALMENTE: 
][4210 VVVV 


































4
32
4
110
152
023
4
2
1
V
V
V
ALTERNATIVA: 
(1) 
(2) 
(3) 
][423 21 VVV 
anterior 
àsomando e 2*
25 
NÓ 1: 
0
6
6 1  SI
k
V
mA
NÓ 2: 
0
12
4 2 
k
V
mAIS
2 equações e 3 incógnitas! 
O que fazer? 
 
Opção 1: 
][621 VVV 
Opção 2 (melhor): Inclua a fonte 
dentro de uma superfície e 
aplique LKC a essa superfície! 
04
126
6 21  mA
k
V
k
V
mA
Ou seja, necessitamos somente 
uma equação para os dois nós. 
Adicionalmente, 
][621 VVV 
Então temos 2 eqs. e 2 
incógnitas! 
SUPERNÓS: 
SI
][6
][242
21
21
VVV
VVV


V101 V
V42 V
26 

1V 2V
1sI
2sI
1R 2R
3R
SV
][6],[10],[20
4,10
21
321
mAImAIVV
kRkRR
ssS 

20
12
VV
010
1010
21  mA
k
V
k
V V10021 VV
V2021  VV
V
V
40100
60
21
2


VV
V
PARA CALCULAR A POTÊNCIA NA FONTE DE TENSÃO, 
É NECESSÁRIA A CORRENTE ATRAVÉS DELA: 
V
I



k
VV
mA
k
V
I
V
10
6
10
211 mA8
POTÊNCIA ABSORVIDA PELA FONTE. 
mWP 160820 
1- Defina o supernó 
(isolando a fonte e os 
dois nós) 
2- Escreva a equação que 
define a relação entre a 
fonte e os dois nós. 
3- Aplique a LKC 
EXEMPLO 1: ENCONTRE V1, V2 
e a potência da fonte Vs. 
10kΩ 
27 
+
-
+ -
+
-1R
2R
3R
4R
5R
6R
7R
EXEMPLO 2: 
Identifique todos os nós: 
1- Nós conectados ao nó de referência 
através de fonte de tensão. 
2- Possíveis supernós. 
Aplique a LKC: 
Nó_3: 
0
7
3
5
43
4
23 



R
V
R
VV
R
VV
SUPERNÓ : 
0
4
32
5
34
6
4
3
5
2
15
1
12 







R
VV
R
VV
R
V
R
V
R
VV
R
VV
RESTRIÇÕES DEVIDOS ÀS FONTES DE 
TENSÃO: 
11 SVV 
252 SVVV 
345 SVVV 
5 EQUAÇÕES E 5 INCÓGNITAS. 
supernó 
1
V
2
V
3
V
4
V
5
V
ESCREVA AS EQUAÇÕES DE NÓ: 
28 
EXEMPLO 3: ESCREVA AS EQUAÇÕES DE NÓS 
Avvv  32
:restrição de Equação
29 
SUPERNÓ 
12
3
V
EXEMPLO 4: ENCONTRE Io 
30 
CIRCUITOS COM FONTES DEPENDENTES 
NÃO APRESENTAM UMA COMPLEXIDADE 
ADICIONAL SIGNIFICANTE. 
SOMENTE É NECESSÁRIO INCREMENTAR 
UMA EQUAÇÃO PARA CADA VARIÁVEL DE 
CONTROLE. 
CIRCUITOS COM FONTES DEPENDENTES 
31 
EXEMPLO 1 (SUPERNÓ COM FONTE DEPENDENTE): ENCONTRE Io 
FONTE DE TENSÃO CONECTADA À REFERÊNCIA: 
VV 6
3

RESTRIÇÃO DEVIDO À FD: 
x
VVV 2
21

LKC NO SUPERNÓ: 
k12*
062)6(2
2211
 VVVV
VARIÁVEL DE CONTROLE: 
2
VV
x

21
3VV 
1833
21
 VV 184
1
 V
32 
EXEMPLO 2: ENCONTRE Io 
RESTRIÇÃO DEVIDO À FD: 
x
kIVV 2
12

LKC NO SUPERNÓ: 
0
2
2
2
4 21 
k
V
mA
k
V
mA
VARIÁVEL DE CONTROLE: 
k
V
I
x
2
1
12 2VV 
][4
21
VVV 
02
21
 VV
2*
][83
2
VV 
mA
k
V
I
O
3
4
2
2 
33 
EXEMPLO 3: ENCONTRE Vo 
IDENTIFIQUE NÓS E SUPERNÓS 
SUPERNÓ: 
1 2
2
X
V V V 
2 3 1 32 1
4
2 0
1 1 1 1
V V V VV V V
mA
k k k k
  
     
3 2 3 1
3
@ : 2 0
1 1
V V V V
V mA
k k
 
   
4 4
@ : 4V V V
VARIÁVEL DE CONTROLE: 
2X
V V
1k 
1k 
EQUAÇÕES: 
1
1 3
1 3
3
2 2 6
2 2
X
X
X
V V
V V V V
V V V V

  
   
1 3O
V V V 
34 
EXEMPLO 4: ENCONTRE Io 
NÓS E SUPERNÓS 
2 2
@ : 12V V V
3 3
@ : 2
X
V V V
5 4 5
5
@ : 2 0
1 1
X
V V V
V I
k k

   
7 eqs e 7 variáveis 
5
1
O
V
I
k

35 
Análise nodal: resumo 
• Escolha um nó como nó de referência 
– Suponha: potencial no nó = zero 
– Tensão nos outros nós em relação ao nó de referência 
 
• Somente fontes de corrente: 
– Escreva a LKC para os demais nós (montagem direta 
da equação matricial para circuitos com fontes 
independentes apenas) 
– Fontes dependentes: 
• Trate como fonte independente, escrevendo LKC 
• Escreva a equação que controla a fonte 
36 
Análise nodal: resumo (cont.) 
• Com fontes de tensão: 
– Ligada entre nó de referência e outro nó: 
• Fonte independente: tensão no outro nó é conhecida 
• Fonte dependente: trate como fonte independente e 
escreva equação que controla a fonte 
– Ligada entre dois nós “não-referência” 
• Escreva equação que relaciona as tensões nos nós e a 
tensão da fonte 
• Escreva LKC para o supernó 
(superfície fechada contendo a fonte e os dois nós) 
• Fonte dependente: trate como fonte independente e 
escreva equação que controla a fonte 
37 
EXERCÍCIO PARA CASA: ENCONTRE Vo 
38 
Sugestão 
39 
Resolver os exercícios presentes nesta aula e 
conferir com a solução proposta. 
 
 Lembrei dos conceitos? 
 
 Forma de resolver foi igual à apresentada? (Há várias 
formas com diferentes esforços.) 
 
 Errei nas contas? Saberia resolver na forma literal? 
(“Musculação” na resolução algébrica.) 
 
 Exercícios extras: 
 - Lista de Exercícios 
 - Irwin (9ed. Ou 10ed.) Cap. 2 
 - Nilsson (8ed.) Cap. 4 
 - Johnson (4ed.) Cap. 4 
APRENDIZADO = ESFORÇO (EXERCÍCIOS) 
TEMPO DE RESOLUÇÃO É ITEM DE PROVA!