Aula 21 - Medidas de Tendência Central - Menor

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Unidade 2 ± Tópicos de Estatística Descritiva 
Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 
Estatística I 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 1 
Tópicos de Estatística Descritiva 
Unidade 2 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 2 
‡ Interpretar os resultados das medidas de posição de 
um conjunto de dados; 
‡ Calcular a média aritmética, mediana e moda de um 
conjunto de dados; 
‡ Determinar as separatrizes (quartis, decis e 
percentis) de um conjunto de dados; 
‡ Interpretar os resultados das medidas de dispersão, 
variabilidade, assimetria e curtose de um conjunto 
de dados; 
‡ Determinar as medidas de dispersão, variabilidade, 
assimetria e curtose de um conjunto de dados. 
Objetivo da Unidade 2 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 3 
‡ Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central. 
‡ Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade. 
‡ Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose. 
Aulas da Unidade 2 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 4 
Medidas de Tendência Central 
Aula 2.1 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 5 
‡ Ao final desta aula você deverá ser capaz de: 
± Interpretar os resultados das medidas de posição de 
um conjunto de dados; 
± Calcular a média aritmética, mediana e moda de um 
conjunto de dados; 
± Calcular a média aritmética, mediana e moda de 
dados agrupados; 
± Determinar as separatrizes (quartis, decis e 
percentis) de um conjunto de dados. 
Objetivo 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 6 
‡ Introdução 
‡ Medidas de Tendência Central 
± Média Aritmética 
± Mediana 
± Moda 
‡ Medidas de Tendência Central para Dados Agrupados 
± Média 
± Mediana 
± Moda 
‡ Separatrizes de um conjunto de dados: 
± Quartis 
± Decis 
± Percentis 
‡ Exercícios 
Roteiro 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 7 
Introdução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 8 
-- moda 
-- mediana 
-- média 
‡ O estudo das distribuições de frequências nos 
permite descrever os grupos dos valores que 
uma variável pode assumir. 
Introdução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 9 
‡ Podemos localizar a maior concentração de 
valores de uma dada distribuição, isto é, se ela 
se localiza no início, no meio ou no final; ou 
ainda, se há uma distribuição por igual. 
Introdução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 10 
‡ Para ressaltar as tendências características de 
cada distribuição, temos conceitos que se 
expressam através de números, traduzindo 
estas tendências. 
Introdução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 11 
‡ Esses conceitos são denominados elementos 
típicos da distribuição e são: 
± Medidas de posição 
± Medidas de variabilidade ou dispersão 
± Medidas de assimetria 
± Medidas de curtose 
Introdução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 12 
‡ As medidas de posição mais importantes são as 
medidas de tendência central, as quais recebem 
tal denominação pelo fato dos dados 
observados tenderem, em geral, a se agrupar 
em torno dos valores centrais. 
Introdução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 13 
‡ Dentre as medidas de 
tendência central, 
destacamos: 
± A média aritmética 
± A mediana 
± A moda 
Introdução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 14 
‡ As outras medidas de posição são as 
separatrizes que englobam: 
± A própria mediana 
± Os quartis 
± Os decis 
± Os percentis 
Introdução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 15 
Média Aritmética Simples 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 16 
ܾ ൌ ܽ ൅ ܿʹ 
‡ Média Aritmética Simples 
± É o quociente da soma dos valores da variável pelo 
número de valores. 
‡ Fórmula: Ȃ ݔҧൌ σ ௫௡ 
± onde: 
9 ݔҧ ± média aritmética. 
9 x ± valores da variável. 
9 n ± número de valores. 
Média Aritmética Simples 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 17 
‡ Determine a média aritmética simples dos 
seguintes valores: 
± 8, 9, 7, 6 e 10 
Média Aritmética Simples 
Exemplo 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 18 
‡ Determine a média aritmética dos seguintes 
valores: 
± 8, 9, 7, 6 e 10 
‡ Aplicando a fórmula da média aritmética 
simples: 
± x = 8, 9, 7, 6 e 10 
± n = 5 Ȃ ݔҧൌ σ ௫௡ ൌ ଼ାଽା଻ା଺ାଵ଴ହ ֜ ݔҧൌ ͺ 
Média Aritmética Simples 
Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 19 
Média Aritmética Ponderada 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 20 
ܾ ൌ ݉ܽ ൅ ݊ܿ݉ ൅ ݊ 
‡ Média Aritmética Ponderada 
± É a média aritmética de dados que se repetem; 
‡ Fórmula: Ȃ ݔҧൌ σ ௫௙σ ௙ 
± onde: 
9 ݔҧ ± média aritmética. 
9 x ± valores da variável. 
9 f ± frequência dos valores da variável. 
Média Aritmética Ponderada 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 21 
‡ Determinar a média aritmética ponderada dos 
valores abaixo: 
± 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 10, 10 e 10. 
Média Aritmética Ponderada 
Exemplo 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 22 
‡ Determinar a média aritmética ponderada dos 
valores abaixo: 
± 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 10, 10 e 10. 
‡ Aplicando a fórmula da média aritmética 
simples: 
± primeiro valor: 8 frequência: 3 
± segundo valor: 6 frequência: 5 
± terceiro valor: 10 frequência: 4 Ȃ ݔҧൌ σ ௫௙σ ௙ ൌ ଼כଷ ା ଺כହ ାሺଵ଴כସሻଷାହାସ ൌ ଽସଵଶ ֜ ݔҧൌ ସ଻଺ ൌ ͹ǡͺ͵ 
Média Aritmética Ponderada 
Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 23 
Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 24 
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 
‡ O valor central de um conjunto de valores 
ordenados, isto é, dispostos segundo uma 
ordem crescente. 
‡ A mediana é o valor que divide um conjunto de 
valores ordenados em dois subconjuntos de 
igual tamanho. 
Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 25 
3 8 9 12 17 21 28 30 31 33 36 40 42 45 48 
Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 26 
3 8 9 12 17 21 28 30 31 33 36 40 42 45 48 
8º 
Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 27 
7 7 
Me 
3 8 9 12 17 21 28 30 31 33 36 40 42 45 48 
8º 
Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 28 
Eme = 8 
Me = 30 
7 7 
posição da mediana 
Me 
‡ Conjunto com um nº ímpar de elementos: 
± O elemento mediano que dá a posição (ou posto) da 
mediana é dado por: 
± Eme = (N + 1) / 2, 
± onde: 
9 Eme: elemento mediano 
9 N: nº de elementos 
± A mediana (Me) é o elemento que ocupa a posição 
dada pelo elemento mediano. 
Mediana 
Determinação 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 29 
‡ Determinar a mediana dos valores abaixo 
± 8, 20, 4, 12 e 22. 
Mediana 
Exemplo 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 30 
‡ Determinar a mediana dos valores abaixo 
± 8, 20, 4, 12 e 22. 
‡ 1º passo: colocar os valores em ordem 
± 4, 8, 12, 20 e 22 
‡ 2º passo: determinar o número de valores 
± N = 5 (ímpar) 
‡ 3º passo: determinar o elemento mediano (Eme) 
± Eme = (N + 1)/2 = (5 + 1) / 2 = 3 
‡ 4º passo: determinar a mediana (Me) 
± Me = 3º elemento ֜ Me = 12 
Mediana 
Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 31 
3 8 9 12 17 21 28 31 33 36 40 42 45 48 
Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 32 
3 8 9 12 17 21 28 31 33 36 40 42 45 48 
Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 33 
7 7 
Me 
3 8 9 12 17 21 28 31 33 36 40 42 45 48 
7º 8º 
Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 34 
7 7 
ܯ௘ ൌ ʹͺ ൅ ͵ͳʹ ൌ ͷͻʹ ൌ ʹͻǡͷ 
Me 
‡ Conjunto com um número par de elementos: 
± O elemento mediano é dado por:± ܧ݉݁ ൌ ቐ ேଶேଶ ൅ ͳ 
± onde: 
9 Eme: elemento mediano 
9 N: nº de elementos 
± A mediana é o elemento dado pela média dos 
elementos que ocupam as posições dadas pelo 
elemento mediano. 
Mediana 
Determinação 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 35 
‡ Determinar a mediana dos valores abaixo: 
± 15, 8, 12, 4, 20 e 22. 
 
Mediana 
Exemplo 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 36 
‡ Determinar a mediana dos valores abaixo: 
± 15, 8, 12, 4, 20 e 22. 
‡ 1º passo: colocar os valores em ordem 
± 4, 8, 12, 15, 20 e 22 
‡ 2º passo: determinar o número de valores 
± N = 6 (par) 
‡ 3º passo: determinar o elemento mediano (Eme) 
Ȃ ܧ݉݁ ൌ ቐ ேଶ ൌ� ଺ଶ ൌ ͵ேଶ ൅ ͳ ൌ ଺ଶ൅ ͳ ൌ Ͷ� 
‡ 4º passo: determinar a mediana (Me) 
± Me = (3º elemento + 4º elemento)/2 ֜ Me = (12 + 15)/2 ֜ Me = 13,5 
Mediana 
Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 37 
Moda 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 38 
1 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 5 , 7 
‡ A Moda (Mo) é o valor que ocorre com maior 
frequência em uma série de valores. 
‡ Observações: 
± Uma série pode ser amodal, isto é, não existe valor 
que apareça mais vezes que outro. 
± Uma série pode ser multimodal, isto é, a série possui 
dois ou mais valores de mesma concentração. 
Moda 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 39 
‡ Qual a moda da série de dados: 
± 6, 8, 4, 4, 4, 4, 8 e 10. 
‡ Qual a moda da série de dados: 
± 6, 8, 4, 3 e 10. 
‡ Qual a moda da série de dados: 
± 6, 8, 8, 8, 4, 3, 10, 10 e 10. 
Moda 
Exemplos 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 40 
‡ Qual a moda da série de dados: 
± 6, 8, 4, 4, 4, 4, 8 e 10 ֜ Mo = 4 
‡ Qual a moda da série de dados: 
± 6, 8, 4, 3 e 10 ֜ não existe Mo 
‡ Qual a moda da série de dados: 
± 6, 8, 8, 8, 4, 3, 10, 10 e 10 ֜ Mo = 8 ou 10 
Moda 
Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 41 
Média Aritmética para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 42 
Média 
‡ Média aritmética para dados agrupados em classes 
de frequência 
± É a média aritmética de um conjunto de dados que já 
passou por um tratamento estatístico e está apresentado 
por classes de frequência. 
‡ Fórmula: Ȃ തܺ ൌ σ ௑௙σ ௙ 
± onde: 
9 തܺ = média aritmética. 
9 X = ponto médio da classe. 
9 f = frequência da classe. 
Média Aritmética para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 43 
‡ Determinar a média aritmética da distribuição: 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 
5 10 14 8 3 
Média Aritmética para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência: Exemplo 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 44 
‡ Aplicando a fórmula da média aritmética para 
dados agrupados em classes de frequência: Ȃ തܺ ൌ σ ௑௙σ ௙ ൌ ଷכହ ା ହכଵ଴ ା ଻כଵସ ା ଽכ଼ ାሺଵଵכଷሻହାଵ଴ାଵସା଼ାଷ ൌ ଶ଺଼ସ଴ ֜ തܺ ൌ ͸ǡ͹Ͳ 
± Logo a média é 6,70 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 
5 10 14 8 3 
Ponto médio 
da classe 
3 5 7 9 11 
Média Aritmética para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência: Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 45 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 46 
Mediana 
50% 50% 
1 3 5 7 9 12 
1 3 6 7 9 13 
2 4 6 8 9 14 
2 4 7 8 10 14 
2 4 7 8 10 15 
3 5 7 8 11 17 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 47 
1 3 5 7 9 12 
1 3 6 7 9 13 
2 4 6 8 9 14 
2 4 7 8 10 14 
2 4 7 8 10 15 
3 5 7 8 11 17 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 48 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 49 
36 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 50 
18 18 
36 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 51 
18 18 
36 Eme = 18 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 52 
18 18 
Eme = 18 
Me = 7,36
36 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 53 
36 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 54 
18 Eme 
Me = 7,36 
36 
‡ Mediana para dados agrupados em classes de 
frequência 
± É a mediana de um conjunto de dados que já passou 
por um tratamento estatístico e está apresentado por 
classes de frequência. 
‡ O elemento mediano é dado por: 
± Eme = N / 2, 
± onde 
9 Eme = elemento mediano 
9 N = nº de elementos 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 55 
‡ A mediana é dada por: Ȃ ܯ௘ ൌ ݈௜ ൅ ா೘೐ିிೌ ೙೟௙೔ כ ݄௜ 
± onde 
9 Me = mediana 
9 li = limite inferior da classe mediana 
9 Eme = elemento mediano 
9 Fant = frequência acumulada da classe anterior à mediana 
9 fi = frequência simples da classe mediana 
9 hi = amplitude do intervalo de classe 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 56 
‡ Determinar a mediana da distribuição: 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência: Exemplo 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 57 
‡ 1º passo: calcular o elemento mediano 
± dos dados do problema: N = 5 + 8 + 11 + 6 + 4 + 2 = 36 
± Eme = N / 2 = 36 / 2 = 18 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência: Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 58 
‡ 2º passo: determinar a classe do Eme 
± Eme = 18 
± F1 = 5 < 18 
± F2 = 5 + 8 = 13 < 18 
± F3 = 13 + 11 = 24 > 18 
± Logo, a classe 3 é a classe do elemento mediano. 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Freq. 
Acum. 
5 13 24 30 34 36 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência: Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 59 
‡ 3º passo: determinar a mediana 
± Dos dados do problema: 
9 l3 = 6 
9 Eme = 18 
9 Fant = F2 = 13 
9 f3 = 11 
9 h3 = 3 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Freq 
Acum 
5 13 24 30 34 36 
Mediana para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência: Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 60 
‡ 3º passo: determinar a mediana 
± Dos dados do problema: 
9 l3 = 6 
9 Eme = 18 
9 Fant = F2 = 13 
9 f3 = 11 
9 h3 = 3 
± Cálculo da mediana 
9 ܯ௘ ൌ ݈ଷ ൅ ா೘೐ିிೌ ೙೟௙య כ ݄ଷ ൌ ͸ ൅ ଵ଼ିଵଷଵଵ כ ͵ ൌ ͹ǡ͵͸ 
9 Logo, a mediana é 7,36 
Mediana para Dados Agrupados em Classes de 
Frequência: Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 61 
Eme 
ۻ܍ 
Moda para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 62 
Moda 
Classe Modal 
‡ Moda para dados agrupados em classes de 
frequência 
± É a moda de um conjunto de dados que já passou 
por um tratamento estatístico e está apresentado por 
classes de frequência. 
‡ Para determinar a moda, neste caso, seguem-se 
os passos das próximastransparências. 
Moda para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 63 
‡ 1º passo: indica-se a classe modal 
± A classe modal é aquela que possui a maior frequência 
simples; 
‡ 2º passo: aplica-se a fórmula abaixo: Ȃ ܯ௢ ൌ ݈௜ ൅ οభοభାοమ כ ݄௜ ± onde: 
9 Mo = moda 
9 li = limite inferior da classe modal 
9 '1 = diferença entre a frequência da classe modal e a da classe 
imediatamente anterior 
9 '2 = diferença entre a frequência da classe modal e a da classe 
imediatamente posterior 
9 hi = amplitude do intervalo de classe 
Moda para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 64 
‡ Determinar a moda da distribuição: 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Moda para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência: Exemplo 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 65 
‡ 1º passo: indica-se a classe modal 
± Classe modal: classe 3 (6 |---- 9) 
 
Moda para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência: Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 66 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
‡ 2º passo: determinar a moda 
± Dados do problema: 
9 l3 = 6 
9'1 = f3 ± f2 = 11 ± 8 = 3 
9'2 = f3 ± f4 = 11 ± 6 = 5 
9h3 = 3 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Moda para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência: Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 67 
‡ 2º passo: determinar a moda 
± Dados do problema: 
9 l3 = 6 
9 '1 = f3 ± f2 = 11 ± 8 = 3 
9 '2 = f3 ± f4 = 11 ± 6 = 5 
9 h3 = 3 
± Cálculo da moda 
9 ܯ௢ ൌ ݈ଷ ൅ οభοభାοమ כ ݄ଷ ൌ ͸ ൅ ଷଷାହ כ ͵ ൌ ͹ǡͳʹͷ 
9 Logo a moda é 7,125 
Moda para Dados Agrupados em 
Classes de Frequência: Solução 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 68 
Separatrizes: Quartis, Decis e Percentis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 69 
‡ A mediana caracteriza uma série de valores 
devido a sua posição central. 
‡ Apresenta ainda uma outra característica, tão 
importante quanto a primeira, que é a separação 
da série em dois grupos que apresentam o 
mesmo nº de valores. 
Separatrizes: Quartis, Decis e Percentis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 70 
‡ Existem outras medidas de posição ligadas a 
mediana relativamente a sua segunda 
característica. 
‡ Essas medidas são os quartis, os decis e os 
percentis, conhecidas pelo nome de 
separatrizes. 
Separatrizes: Quartis, Decis e Percentis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 71 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 72 
‡ São os valores de uma série que a dividem em 4 
partes iguais. 
‡ Há, portanto, três quartis: 
± O primeiro quartil (Q1) é o valor que está situado de 
tal modo na série que separa 25% dos dados. 
± O segundo quartil (Q2) é o valor que coincide com a 
mediana. 
± O terceiro quartil (Q3) é o valor que separa 75% dos 
dados. 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 73 
3 8 9 12 17 21 28 30 31 33 36 40 42 45 48 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 74 
3 8 9 12 17 21 28 30 31 33 36 40 42 45 48 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 75 
3 8 9 12 17 21 28 30 31 33 36 40 42 45 48 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 76 
3 3 3 3 
3 8 9 12 17 21 28 30 31 33 36 40 42 45 48 
4º 8º 12º 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 77 
3 3 3 3 
3 8 9 12 17 21 28 30 31 33 36 40 42 45 48 
4º 8º 12º 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 78 
3 3 3 3 
Q1 Q2 Q3 
3 8 9 12 17 21 28 30 31 33 36 40 42 45 48 
4º 8º 12º 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 79 
3 3 3 3 
Eq1 = 4 
Q1 = 12 
Eq2 = 8 
Q1 = 30 
Eq3 = 12 
Q1 = 40 
Q1 Q2 Q3 
1 3 5 7 9 12 
1 3 6 7 9 13 
2 4 6 8 9 14 
2 4 7 8 10 14 
2 4 7 8 10 15 
3 5 7 8 11 17 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 80 
1 3 5 7 9 12 
1 3 6 7 9 13 
2 4 6 8 9 14 
2 4 7 8 10 14 
2 4 7 8 10 15 
3 5 7 8 11 17 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 81 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 82 
36 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 83 
36 9 9 9 9 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 84 
36 9 9 9 9 
Eq1=9 Eq2 Eq3=27 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 85 
36 9 9 9 9 
Eq1=9 Eq2 Eq3=27 
Q3 = 9,30 
Q1 = 3,92 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 86 
36 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 87 
36 
9 
27 
Eq1 
Eq3 
Q3 = 9,30 Q1 = 3,92 
‡ O elemento quartil é dado por: 
± Eqk = (k * N) / 4, 
± onde 
9 k = número de ordem do quartil (k = 1, 2 ou 3) 
9 Eqk = elemento quartil k 
9 N = nº de elementos (somatório das frequências) 
‡ Classe quartil: é a classe que contém o 
elemento quartil. 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 88 
‡ O Quartil é dado por: Ȃ ܳ௞ ൌ ݈௜ ൅ ா௤ೖିிೌ ೙೟௙೔ כ ݄௜ 
± onde 
9 Qk = Quartil 
9 li = limite inferior da classe que contém o quartil. 
9 Eqk = elemento quartil k 
9 Fant = frequência acumulada anterior a da classe quartil. 
9 hi = intervalo de classe. 
9 fi = frequência simples da classe quartil. 
Os Quartis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 89 
‡ Determinar o primeiro e o terceiro quartil da 
distribuição de classes de frequência abaixo: 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Os Quartis: Exemplo 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 90 
‡ 1º passo: calcular o elemento quartil 1 
± dos dados do problema: N = 5 + 8 + 11 + 6 + 4 + 2 = 36 
± Eq1 = (1 * N) / 4 = 36 / 4 = 9 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Os Quartis: Solução 
Cálculo do 1º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 91 
‡ 2º passo: determinar a classe do Eq1 
± Eq1 = 9 
± F1 = 5 < 9 
± F2 = 13 > 9 
± Logo, a classe 2 é a classe do elemento quartil 1. 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Freq. 
Acum. 
5 13 24 30 34 36 
Os Quartis: Solução 
Cálculo do 1º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 92 
‡ 3º passo: determinar o 1º quartil 
± Dos dados do problema: 
9 l2 = 3 
9 Eq1 = 9 
9 Fant = F1 = 5 
9 f2 = 8 
9 h2 = 3 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Freq 
Acum 
5 13 24 30 34 36 
Os Quartis: Solução 
Cálculo do 1º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 93 
‡ 3º passo: determinar o 1º quartil 
± Dos dados do problema: 
9 l2 = 3 
9 Eq1 = 9 
9 Fant = F1 = 5 
9 f2 = 8 
9 h2 = 3 
± Cálculo do 1º quartil 
9 ܳଵ ൌ ݈ଶ ൅ ா௤భିிೌ ೙೟௙మ כ ݄ଶ ൌ ͵ ൅ ଽିହ଼ כ ͵ ൌ Ͷǡͷ 
9 Logo, o 1º quartil é 4,5 
Os Quartis: Solução 
Cálculo do 1º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 94 
‡ 1º passo: calcular o elemento quartil 3 
± dos dados do problema: N = 5 + 8 + 11 + 6 + 4 + 2 = 36 
± Eq1 = (3 * N) / 4 = 36 / 4 = 27 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Os Quartis: Solução 
Cálculodo 3º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 95 
‡ 2º passo: determinar a classe do Eq3 
± Eq3 = 27 
± Por inspeção: F3 = 24 < 27 < F4 = 30. 
± Logo, a classe 4 é a classe do elemento quartil 3. 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Freq. 
Acum. 
5 13 24 30 34 36 
Os Quartis: Solução 
Cálculo do 3º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 96 
‡ 3º passo: determinar o 3º quartil 
± Dos dados do problema: 
9 l4 = 9 
9 Eq3 = 27 
9 Fant = F3 = 24 
9 f4 = 6 
9 h4 = 3 
Renda 
Familiar 
0 |-- 3 3 |-- 6 6 |-- 9 9 |-- 12 12 |-- 15 15 |-- 18 
Nº de 
Famílias 
5 8 11 6 4 2 
Freq 
Acum 
5 13 24 30 34 36 
Os Quartis: Solução 
Cálculo do 3º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 97 
‡ 3º passo: determinar o 3º quartil 
± Dos dados do problema: 
9 l4 = 9 
9 Eq3 = 27 
9 Fant = F3 = 24 
9 f4 = 6 
9 h4 = 3 
± Cálculo do 3º quartil 
9 ܳଵ ൌ ݈ସ ൅ ா௤యିிೌ ೙೟௙ర כ ݄ସ ൌ ͻ ൅ ଶ଻ିଶସ଺ כ ͵ ൌ ͳͲǡͷ 
9 Logo, o 3º quartil é 10,5 
Os Quartis: Solução 
Cálculo do 3º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 98 
Os Decis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 99 
Cada decil possui 
60 quadrados 
‡ São os valores de uma série que a dividem em 
10 partes iguais. 
‡ Há, portanto, nove decis. 
 
Os Decis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 100 
‡ O elemento decil é dado por: 
± Edk = (k * N) / 10, 
± onde 
9 k = número de ordem do decil (k = 1, 2 até 9) 
9 Edk = elemento decil k 
9 N = nº de elementos (somatório das frequências) 
‡ Classe decil: é a classe que contém o elemento 
decil. 
Os Decis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 101 
‡ O Decil é dado por: Ȃ ܦ௞ ൌ ݈௜ ൅ ாௗೖିிೌ ೙೟௙೔ כ ݄௜ 
± onde 
9 Dk = Decil 
9 li = limite inferior da classe que contém o decil. 
9 Edk = elemento decil k 
9 Fant = frequência acumulada anterior a da classe decil. 
9 hi = intervalo de classe. 
9 fi = frequência simples da classe decil. 
Os Decis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 102 
‡ Determinar o terceiro e o sétimo decil da 
distribuição de classes de frequência abaixo: 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 
5 10 14 8 3 
Os Decis: Exemplo 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 103 
‡ 1º passo: calcular o elemento Decil 3 
± dos dados do problema: N = 5 + 10 + 14 + 8 + 3 = 40 
± Ed3 = (3 * N) / 10 = (3 * 40) / 10 = 12 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 
5 10 14 8 3 
Os Decis: Solução 
Cálculo do 3º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 104 
‡ 2º passo: determinar a classe do Ed3 
± Ed3 = 12 
± F1 = 5 < 12 
± F2 = 5 + 10 = 15 > 12 
± Logo, a classe 2 é a classe do elemento decil 3. 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 5 10 14 8 3 
Freq 
Acum 5 15 29 37 40 
Os Decis: Solução 
Cálculo do 3º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 105 
‡ 3º passo: determinar o 3º decil 
± Dos dados do problema: 
9 l2 = 4 
9 Ed3 = 12 
9 Fant = F1 = 5 
9 f2 = 10 
9 h2 = 2 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 
5 10 14 8 3 
Freq Acum 5 15 29 37 40 
Os Decis: Solução 
Cálculo do 3º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 106 
‡ 3º passo: determinar o 3º decil 
± Dos dados do problema: 
9 l2 = 4 
9Ed3 = 12 
9Fant = F1 = 5 
9 f2 = 10 
9h2 = 2 
± Cálculo do 3º decil 
9ܦଷ ൌ ݈ଶ ൅ ாௗయିிೌ ೙೟௙మ כ ݄ଶ ൌ Ͷ ൅ ଵଶିହଵ଴ כ ʹ ൌ ͷǡͶ 
9Logo, o 3º decil é 5,4 
Os Decis: Solução 
Cálculo do 3º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 107 
‡ 1º passo: calcular o elemento Decil 7 
± dos dados do problema: N = 5 + 10 + 14 + 8 + 3 = 40 
± Ed7 = (7 * N) / 10 = (7 * 40) / 10 = 28 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 
5 10 14 8 3 
Os Decis: Solução 
Cálculo do 7º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 108 
‡ 2º passo: determinar a classe do Ed7 ± Ed7 = 28 ± F1 = 5 < 28 ± F2 = 5 + 10 = 15 < 28 ± F3 = 15 + 14 = 29 > 28 ± Logo, a classe 3 é a classe do elemento decil 7. 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 5 10 14 8 3 
Freq 
Acum 5 15 29 37 40 
Os Decis: Solução 
Cálculo do 7º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 109 
‡ 3º passo: determinar o 7º decil 
± Dos dados do problema: 
9 l3 = 6 
9 Ed7 = 28 
9 Fant = F2 = 10 
9 f3 = 14 
9 h3 = 2 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 
5 10 14 8 3 
Freq Acum 5 15 29 37 40 
Os Decis: Solução 
Cálculo do 7º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 110 
‡ 3º passo: determinar o 7º decil 
± Dos dados do problema: 
9 l3 = 6 
9Ed7 = 28 
9Fant = F2 = 10 
9 f3 = 14 
9h3 = 2
± Cálculo do 7º decil 
9ܦ଻ ൌ ݈ଷ ൅ ாௗళିிೌ ೙೟௙య כ ݄ଷ ൌ ͸ ൅ ଶ଼ିଵ଴ଵସ כ ʹ ൌ ͺǡ͸ 
9Logo, o 7º decil é 8,6 
Os Decis: Solução 
Cálculo do 7º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 111 
Os Percentis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 112 
‡ Denominamos percentis os 99 valores que 
separam uma série em 100 partes iguais. 
Indicamos: P1, P2, P3, ... , P99. 
Os Percentis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 113 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 5 10 14 8 3 
Freq 
Acum 5 15 29 37 40 
Os Percentis 
Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 114 08/09/2013 
Epk 
‡ O elemento percentil é dado por: 
± Epk = (k * N) / 100, 
± onde 
9 k = número de ordem do percentil (k = 1, 2 até 99) 
9 Epk = elemento percentil k 
9 N = nº de elementos (somatório das frequências) 
‡ Classe percentil: é a classe que contém o 
elemento percentil. 
Os Percentis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 115 
‡ O Percentil é dado por: Ȃ ௞ܲ ൌ ݈௜ ൅ ா௣ೖିிೌ ೙೟௙೔ כ ݄௜ 
± onde 
9 Pk = Percentil k 
9 li = limite inferior da classe que contém o quartil. 
9 Epk = elemento decil k 
9 Fant = frequência acumulada anterior a da classe quartil. 
9 hi = intervalo de classe. 
9 fi = frequência simples da classe quartil. 
Os Percentis 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 116 
‡ Determinar o 93 percentil da distribuição de 
classes de frequência abaixo: 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 
5 10 14 8 3 
Os Percentis: Exemplo 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 117 
‡ 1º passo: calcular o elemento Percentil 93 
± dos dados do problema: N = 5 + 10 + 14 + 8 + 3 = 40 
± Ep93 = (93 * N) / 100 = (93 * 40) / 100 = 37,2 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 
5 10 14 8 3 
Os Percentis: Solução 
Cálculo do 93º Percentil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 118 
‡ 2º passo: determinar a classe do Ep93 ± Ep93 = 37,2 ± F1 = 5 < 37,2 ± F2 = 5 + 10 = 15 < 37,2 ± F3 = 15 + 14 = 29 < 37,2 ± F4 = 29 + 8 = 37 < 37,2 ± Logo, a classe 5 é a classe do elemento percentil 93. 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 5 10 14 8 3 
Freq 
Acum 5 15 29 37 40 
Os Percentis: Solução 
Cálculo do 93º Percentil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 119 
‡ 3º passo: determinar o 93º percentil 
± Dos dados do problema: 
9 l5 = 10 
9 Ep93 = 37,2 
9 Fant = F4 = 37 
9 f5 = 3 
9 h5 = 2 
Renda 
Familiar 
2 |----4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 
5 10 14 8 3 
Freq Acum 5 15 29 37 40 
Os Percentis: Solução 
Cálculo do 93º Percentil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 120 
‡ 3º passo: determinar o 93º percentil 
± Dos dados do problema: 
9 l5 = 10 
9Ep93 = 37,2 
9Fant = F4 = 37 
9 f5 = 3 
9h5 = 2 
± Cálculo do 93º percentil 
9 ଽܲଷ ൌ ݈ହ ൅ ா௣వయିிೌ ೙೟௙ఱ כ ݄ହ ൌ ͳͲ ൅ ଷ଻ǡଶିଷ଻ଷ כ ʹ ൌ ͳͲǡͳ 
9Logo, o 93º percentil é 10,1 
Os Percentis: Solução 
Cálculo do 93º Percentil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 121 
Exercícios 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 122 
‡ Ler Capítulo 3.1 do livro ³(VWDWtVWLFD Aplicada à 
Administração e (FRQRPLD´ - Anderson. 
‡ Fazer exercícios da Lista 2.1. 
Exercícios 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 123 
‡ Determine a média aritmética simples, média 
aritmética ponderada, mediana e moda do 
conjunto de dados abaixo: 
10 15 7 5 8 
12 3 8 14 10 
6 10 7 12 9 
11 3 6 11 10 
Exercício 1 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 124 
‡ Determinação da Média Aritmética Simples 
‡ Aplicando a fórmula da média aritmética simples: 
± x = valores da tabela abaixo 
± n = 20 Ȃ ݔҧൌ σ ௫௡ ൌ ଵ଻଻ଶ଴ ֜ ݔҧൌ ͺǡͺͷ 
10 15 7 5 8 
12 3 8 14 10 
6 10 7 12 9 Soma 
11 3 6 11 10   
Soma ֜ 39 31 28 42 37 177 
Solução 1 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 125 
‡ Determinação da Média Aritmética Ponderada 
‡ Aplicando a fórmula da média aritmética simples: Ȃ ݔҧൌ σ ௫௙σ ௙ ൌ ଷכଶ ା ହכଵ ା ଺כଶ ା ଻כଶ ା ଼כଶ ା ଽכଵ ା ଵ଴כସ ା ଵଵכଶ ା ଵଶכଶ ା ଵସכଵ ାሺଵହכଵሻଶାଵାଶାଶାଶାଵାସାଶାଶାଵାଵ ֜ݔҧൌ ଵ଻଻ଶ଴ ൌ ͺǡͺͷ 
3 6 8 10 12 
3 7 9 10 12 
5 7 10 11 14 
6 8 10 11 15 
Solução 1 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 126 
‡ 3º passo: determinar o elemento mediano 
(Eme) 
Ȃ ܧ݉݁ ൌ ቐ ேଶ ൌ � ଶ଴ଶ ൌ ͳͲேଶ ൅ ͳ ൌ ଶ଴ଶ ൅ ͳ ൌ ͳͳ� 
‡ 4º passo: determinar a mediana (Me) 
± Me = (10º elemento + 11º elemento) / 2 
± Me = (9 + 10)/2 ֜ Me = 9,5 
‡ Determinação da Mediana 
‡ 1º passo: colocar os valores em 
ordem 
± vide tabela abaixo 
‡ 2º passo: determinar o número 
de valores 
± N = 20 (par) 
3 6 8 10 12 
3 7 9 10 12 
5 7 10 11 14 
6 8 10 11 15 
Solução 1 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 127 
‡ Determinação da Moda 
± como o número 10 ocorre 4 vezes (mais que 
qualquer outro número neste conjunto), então ele é a 
moda. 
± Mo = 10 
3 6 8 10 12 
3 7 9 10 12 
5 7 10 11 14 
6 8 10 11 15 
Solução 1 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 128 
‡ Determine a média aritmética, mediana e moda 
da tabela de classes de frequências abaixo: 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Exercício 2 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 129 
‡ Aplicando a fórmula da média aritmética para dados 
agrupados em classes de frequência: Ȃ തܺ ൌ σ ௑௙σ ௙ ൌ ଺כଶ ା ଵହכସ ା ଵ଼כ଺ ା ଵସכ଼ ା ଵଵכଵ଴ ା ଼כଵଶ ାሺଶכଵସሻ଺ାଵହାଵ଼ାଵସାଵଵା଼ାଶ ൌ ହଶ଺଻ସ ֜തܺ ൌ ͹ǡͳ 
± Logo, a média é 7,1 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Ponto 
médio 
2 4 6 8 10 12 14 
Exercício 2: Solução 
Cálculo da Média Aritmética 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 130 
‡ 1º passo: calcular o elemento mediano 
± dos dados do problema: 
9 N = 6 + 15 + 18 + 14 + 11 + 8 + 2 = 74 
± Eme = N / 2 = 74 / 2 = 37 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Exercício 2: Solução 
Cálculo da Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 131 
‡ 2º passo: determinar a classe do Eme ± Eme = 37 ± F1 = 6 < 37 ± F2 = 6 + 15 = 21 < 37 ± F3 = 21 + 18 = 39 > 37 ± Logo, a classe 3 é a classe do elemento mediano. 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Freq 
Acum 6 21 39 53 64 72 74 
Exercício 2: Solução 
Cálculo da Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 132 
‡ 3º passo: determinar a mediana 
± Dos dados do problema: 
9 l3 = 5 
9 Eme = 37 
9 Fant = F2 = 6 + 15 = 21 
9 f3 = 18 
9 h3 = 2 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Freq 
Acum 
6 21 39 53 64 72 74 
Exercício 2: Solução 
Cálculo da Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 133 
‡ 3º passo: determinar a mediana 
± Dos dados do problema: 
9 l3 = 5 
9Eme = 37 
9Fant = F2 = 6 + 15 = 21 
9 f3 = 18 
9h3 = 2 
± Cálculo da mediana 
9ܯ௘ ൌ ݈ଷ ൅ ா೘೐ିிೌ ೙೟௙య כ ݄ଷ ൌ ͷ ൅ ଷ଻ିଶଵଵ଼ כ ʹ ൌ ͸ǡͺ 
9Logo, a mediana é 6,8 
Exercício 2: Solução 
Cálculo da Mediana 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 134 
Eme 
ۻ܍ 
‡ 1º passo: indica-se a classe modal 
± Classe modal: classe 3 (5 |---- 7) 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Exercício 2: Solução 
Cálculo da Moda 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 135 
‡ 2º passo: determinar a moda 
± Dados do problema: 
9 l3 = 5 
9'1 = 18 ± 15 = 3 
9'2 = 18 ± 14 = 4 
9h3 = 2 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Exercício 2: Solução 
Cálculo da Moda 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 136 
‡ 2º passo: determinar a moda 
± Dados do problema: 
9 l3 = 5 
9 '1 = 18 ± 15 = 3 
9 '2 = 18 ± 14 = 4 
9 h3 = 2 
± Cálculo da moda 
9 ܯ௢ ൌ ݈ଷ ൅ οభοభାοమ כ ݄ଷ ൌ ͷ ൅ ଷଷାସ כ ʹ ൌ ͷǡ9 
9 Logo a moda é 5,9 
Exercício 2: Solução 
Cálculo da Moda 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 137 
‡ Determine os seguintes parâmetros da tabela de 
classes de frequências abaixo: 
± primeiro quartil 
± primeiro decil 
± primeiro percentil 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Exercício 3 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 138 
‡ 1º passo: calcular o elemento quartil 1 
± dos dados do problema: 
9 N = 6 + 15 + 18 + 14 + 11 + 8 + 2 = 74 
± Eq1 = (1 * N) / 4 = 74 / 4 = 18,5 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 139 
‡ 2º passo: determinar a classe do Eq1 
± Eq1 = 18,5 
± F1 = 6 < 18,5 
± F2 = 6 + 15 = 21 > 18,5 
± Logo, a classe 2 é a classe do elemento quartil 1. 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Freq 
Acum 6 21 39 53 64 72 74 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 140 
‡ 3º passo: determinar o 1º quartil 
± Dos dados do problema: 
9 l2 = 3 
9 Eq1 = 18,5 
9 Fant = F1 = 6 
9 f2 = 15 
9 h2 = 2 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Freq 
Acum 
6 21 39 53 64 72 74 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 141 
‡ 3º passo: determinar o 1º quartil
± Dos dados do problema: 
9 l2 = 3 
9Eq1 = 18,5 
9Fant = F1 = 6 
9 f2 = 15 
9h2 = 2 
± Cálculo do 1º quartil 
9ܳଵ ൌ ݈ଶ ൅ ா௤భିிೌ ೙೟௙మ כ ݄ଶ ൌ ͵ ൅ ଵ଼ǡହି଺ଵହ כ ʹ ൌ Ͷǡ͸͸ 
± Logo, o 1º quartil é 4,66 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Quartil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 142 
Eme 
ۻ܍ 
‡ 1º passo: calcular o elemento Decil 1 
± dos dados do problema: 
9 N = 6 + 15 + 18 + 14 + 11 + 8 + 2 = 74 
± Ed1 = (1 * N) / 10 = (1 * 40) / 10 = 4 
 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 143 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11|-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
‡ 2º passo: determinar a classe do Ed1 
± Ed1 = 4 
± F1 = 5 > 4 
± Logo, a classe 1 é a classe do elemento decil 1. 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Freq 
Acum 6 21 39 53 64 72 74 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 144 
‡ 3º passo: determinar o 1º decil 
± Dos dados do problema: 
9 l1 = 1 
9 Ed1 = 4 
9 Fant = 0 
9 f1 = 6 
9 h1 = 2 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Freq 
Acum 
6 21 39 53 64 72 74 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 145 
‡ 3º passo: determinar o 1º decil 
± Dos dados do problema: 
9 l1 = 1 
9Ed1 = 4 
9Fant = 0 
9 f1 = 6 
9h1 = 2 
± Cálculo do 3º decil 
9ܦଵ ൌ ݈ଵ ൅ ாௗభିிೌ ೙೟௙భ כ ݄ଵ ൌ ͳ ൅ ସି଴଺ כ ʹ ൌ ʹǡ͵͵ 
9Logo, o 1º decil é 2,33 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Decil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 146 
‡ 1º passo: calcular o elemento Percentil 1 
± dos dados do problema: 
9 N = 6 + 15 + 18 + 14 + 11 + 8 + 2 = 74 
± Ep1 = (1 * N) / 100 = (1 * 40) / 100 = 0,4 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Percentil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 147 
‡ 2º passo: determinar a classe do Ep1 
± Ep1 = 0,4 
± F1 = 5 > 0,4 
± Logo, a classe 1 é a classe do elemento percentil 1. 
Renda 
Familiar 
2 |---- 4 4 |---- 6 6 |---- 8 8 |---- 10 10 |---- 12 
Nº de 
Famílias 5 10 14 8 3 
Freq 
Acum 5 15 29 37 40 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Percentil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 148 
‡ 3º passo: determinar o 1º percentil 
± Dos dados do problema: 
9 l1 = 1 
9 Ep1 = 0,4 
9 Fant = 0 
9 f1 = 6 
9 h1 = 2 
Classe 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9 9 |-- 11 11 |-- 13 13 |-- 15 
Freq. 6 15 18 14 11 8 2 
Freq 
Acum 
6 21 39 53 64 72 74 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Percentil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 149 
‡ 3º passo: determinar o 1º percentil 
± Dos dados do problema: 
9 l1 = 1 
9Ep1 = 0,4 
9Fant = 0 
9 f1 = 6 
9h1 = 2 
± Cálculo do 1º percentil 
9 ଵܲ ൌ ݈ଵ ൅ ா௣భିிೌ ೙೟௙భ כ ݄ଵ ൌ ͳ ൅ ଴ǡସି଴଺ כ ʹ ൌ ͳǡͳ͵ 
9Logo, o 1º percentil é 1,13 
Exercício 3: Solução 
Cálculo do 1º Percentil 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 150 
Fechamento 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 151 
‡ Nesta aula você aprendeu três coisas muito 
importantes: 
± Medidas de Tendência Central; 
± Medidas de Tendência Central para Dados 
Agrupados; e 
± Separatrizes: Quartis, Decis e Percentis. 
‡ Na Aula 2.2 vamos estudar as medidas de 
dispersão e variabilidade dos dados coletados. 
‡ Até a Aula 2.2! 
Fecho da Aula 2.1 
08/09/2013 Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central 152