Aula 23 - Medidas de Assimetria e Curtose - Menor

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Unidade 2 ± Tópicos de Estatística Descritiva 
Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 
Estatística I 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 1 
Tópicos de Estatística Descritiva 
Unidade 2 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 2 
‡ Interpretar os resultados das medidas de posição de um 
conjunto de dados; 
‡ Calcular a média aritmética, mediana e moda de um 
conjunto de dados; 
‡ Determinar as separatrizes (quartis, decis e percentis) de 
um conjunto de dados; 
‡ Interpretar os resultados das medidas de dispersão, 
variabilidade, assimetria e curtose de um conjunto de 
dados; 
‡ Determinar as medidas de dispersão, variabilidade, 
assimetria e curtose de um conjunto de dados. 
Objetivo da Unidade 2 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 3 
‡ Aula 2.1 ± Medidas de Tendência Central. 
‡ Aula 2.2 ± Medidas de Dispersão e Variabilidade. 
‡ Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose. 
Aulas da Unidade 2 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 4 
Medidas de Assimetria e Curtose 
Aula 2.3 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 5 
‡ Ao final desta aula você deverá ser capaz de: 
± Interpretar os resultados das medidas de assimetria 
e curtose de um conjunto de dados; 
± Determinar as medidas de assimetria e curtose de 
um conjunto de dados. 
Objetivo 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 6 
‡ Introdução 
‡ Medidas de Assimetria 
‡ Medidas de Curtose 
‡ Exercícios 
Roteiro 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 7 
Introdução - Assimetria 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 8 
‡ Conceito: 
± Uma distribuição de frequência é simétrica quando a 
média, a mediana e a moda são iguais. 
± Quando os valores são diferentes a distribuição é 
assimétrica, podendo ser positiva e negativa. 
Introdução - Assimetria 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 9 
Introdução - Assimetria 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 10 
Média 
Mediana 
Moda 
Moda 
Mediana 
Média Média 
Mediana 
Moda 
Assimetria 
Positiva 
Assimetria 
Negativa 
Simétrica 
Mo < Me < തܺ തܺ < Me < Mo തܺ = Me = Mo 
Medidas de Assimetria 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 11 
Coeficiente de Assimetria 
Ȉ ܣ௦ ൌ ௑തିெ೚ఙ 
‡ onde: Ȃ തܺ: média aritmética 
± Mo: moda 
± V: desvio padrão da 
população 
Ȉ ܣ௦ ൌ ଷ ௑തିெ೐ఙ 
‡ onde: Ȃ തܺ: média aritmética 
± Me: mediana 
± V: desvio padrão da 
população 
Medidas de Assimetria 
Assimetria Populacional (dois métodos) 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 12 
Ȉ ܣ௦ ൌ ௑തିெ೚௦ 
‡ Onde Ȃ തܺ: média aritmética 
± Mo: moda 
± s: desvio padrão da 
amostra 
Ȉ ܣ௦ ൌ ଷ ௑തିெ೐௦ 
‡ Onde Ȃ തܺ: média aritmética 
± Me: mediana 
± s: desvio padrão da 
amostra 
Medidas de Assimetria 
Assimetria Amostral (dois métodos) 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 13 
‡ Em função dos resultados de (As), é possível 
determinar o comportamento da curva de cada 
distribuição. 
‡ Assim, se: 
± As = 0 a distribuição é simétrica 
± As > 0 a distribuição é assimétrica positiva 
± As < 0 a distribuição é assimétrica negativa 
Medidas de Assimetria 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 14 
Introdução - Curtose 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 15 
‡ Conceito: 
± Curtose é o grau de achatamento da curva de uma 
distribuição de frequências. 
± Uma curva pode apresentar-se mais achatada ou 
mais afilada em relação a uma curva considerada 
curva-padrão ou curva normal. 
Introdução - Curtose 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 16 
Introdução - Curtose 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 17 
Mesocúrtica 
(curva Normal) 
Platicúrtica Leptocúrtica 
Medidas de Curtose 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 18 
Coeficiente de Curtose 
‡ O cálculo do coeficiente de curtose é dado por: ܥ ൌ ܳଷ െ ܳଵʹ ଽܲ଴ െ ଵܲ଴ 
± Onde: 
9 Q3 ± Terceiro Quartil 
9 Q1 ± Primeiro Quartil 
9 P90 ± Nonagésimo Percentil 
9 P10 ± Décimo Percentil 
Coeficiente de Curtose 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 19 
‡ Uma curva normal deve apresentar um 
coeficiente de curtose igual a 0,263 
(Mesocúrtica), e, se for maior que 0,263, a curva 
será mais achatada (Platicúrtica), e se for menor 
do que 0,263, a curva se apresenta mais aguda 
que o normal (Leptocúrtica). 
Coeficiente de Curtose 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 20 
Exercícios 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 21 
‡ Fazer exercícios da Lista 2.3. 
Exercícios 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 22 
‡ Uma determinada amostra possui as seguintes medidas 
de posição: 
± Média: 10 
± Mediana: 9 
± Moda: 8 
± Desvio padrão: 5 
‡ Informe se a distribuição é simétrica ou assimétrica; 
‡ Neste último caso, determine a assimetria amostral e 
informe se ela é positiva ou negativa. 
Exercício 1 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 23 
‡ A amostra é assimétrica pois: 
± moda < mediana < média 
‡ Em função do resultado acima, a assimetria é 
positiva. 
‡ Determinação de As: Ȃ ܣ௦ ൌ ௑തିெ೚௦ ൌ ଵ଴ି଼ହ ൌ ଶହ ൌ ͲǡͶ Ȃ ܣ௦ ൌ ଷ ௑തିெ೐௦ ൌ ଷሺଵ଴ିଽሻହ ൌ ଷହ ൌ Ͳǡ͸ 
Resposta 1 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 24 
‡ Uma determinada população possui as seguintes 
medidas de posição: 
± Média: 10 
± Mediana: 11 
± Moda: 12 
± Desvio Padrão: 5 
‡ Informe se a distribuição é simétrica ou assimétrica; 
‡ Neste último caso, determine a assimetria 
populacional e informe se ela é positiva ou negativa. 
Exercício 2 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 25 
‡ A amostra é assimétrica pois: 
± média < mediana < moda 
‡ Em função do resultado acima, a assimetria é 
negativa. 
‡ Determinação de As: Ȃ ܣ௦ ൌ ௑തିெ೚ఙ ൌ ଵ଴ିଵଶହ ൌ െ ଶହ ൌ െͲǡͶ Ȃ ܣ௦ ൌ ଷ ௑തିெ೐ఙ ൌ ଷሺଵ଴ିଵଵሻହ ൌ െ ଷହ ൌ െͲǡ͸ 
Resposta 2 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 26 
‡ Dada a distribuição de 
frequência ao lado 
determine: 
± O seu histograma; 
± O seu coeficiente de 
curtose. 
‡ Indique se a curva é 
platicúrtica, mesocúrtica 
ou leptocúrtica. 
Exercício 3 
Classes fi 
300 |-- 400 10 
400 |-- 500 30 
500 |-- 600 50 
600 |-- 700 70 
700 |-- 800 96 
800 |-- 900 70 
900 |-- 1000 50 
1000 |-- 1100 30 
1100 |-- 1200 10 
Total 416 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 27 
Resposta 3 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 28 
‡ Determinação do coeficiente de curtose: 
± A partir dos dados do problema: 
9 Q3 = 880 
9 Q1 = 620 
9 P90 = 997 
9 P10 = 503 
± Cálculo do coeficiente de curtose: ܥ ൌ ܳଷ െ ܳଵʹ ଽܲ଴ െ ଵܲ଴ ൌ ͺͺͲ െ ͸ʹͲʹ ͻͻ͹ െ ͷͲ͵ ൌ Ͳǡʹ͸͵ 
± Deste modo, a distribuição é mesocúrtica. 
Resposta 3 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 29 
‡ Dada a distribuição de 
frequência ao lado 
determine: 
± O seu histograma; 
± O seu coeficiente de 
curtose. 
‡ Indique se a curva é 
platicúrtica, mesocúrtica 
ou leptocúrtica. 
Exercício 4 
Classes fi 
300 |-- 400 5 
400 |-- 500 20 
500 |-- 600 40 
600 |-- 700 78 
700 |-- 800 130 
800 |-- 900 78 
900 |-- 1000 40 
1000 |-- 1100 20 
1100 |-- 1200 5 
Total 416 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 30 
Resposta 4 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 31 
‡ Determinação do coeficiente de curtose: 
± A partir dos dados do problema: 
9 Q3 = 850 
9 Q1 = 650 
9 P90 = 959 
9 P10 = 542 
± Cálculo do coeficiente de curtose: ܥ ൌ ܳଷ െ ܳଵʹ ଽܲ଴ െ ଵܲ଴ ൌ ͺͷͲെ ͸ͷͲʹ ͻͷͻ െ ͷͶʹ ൌ ͲǡʹͶͲ 
± Deste modo, a distribuição é leptocúrtica. 
Resposta 4 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 32 
‡ Dada a distribuição de 
frequência ao lado 
determine: 
± O seu histograma; 
± O seu coeficiente de 
curtose. 
‡ Indique se a curva é 
platicúrtica, mesocúrtica 
ou leptocúrtica. 
Exercício 5 
Classes fi 
300 |-- 400 18 
400 |-- 500 41 
500 |-- 600 54 
600 |-- 700 61 
700 |-- 800 68 
800 |-- 900 61 
900 |-- 1000 54 
1000 |-- 1100 41 
1100 |-- 1200 18 
Total 416 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 33 
Resposta 5 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 34 
‡ Determinação do coeficiente de curtose: 
± A partir dos dados do problema: 
9 Q3 = 917 
9 Q1 = 583 
9 P90 = 1042 
9 P10 = 458 
± Cálculo do coeficiente de curtose: ܥ ൌ ܳଷ െ ܳଵʹ ଽܲ଴ െ ଵܲ଴ ൌ ͻͳ͹ െ ͷͺ͵ʹ ͳͲͶʹ െ Ͷͷͺ ൌ Ͳǡʹͺͷ 
± Deste modo, a distribuição é platicúrtica. 
Resposta 5 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 35 
Fechamento 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 36 
‡ Nesta aula você aprendeu sobre as medidas de 
assimetria e curtose, as quais também dão uma 
ideia de como os dados se distribuem ao redor 
da média. 
‡ Na Aula 3.1 vamos iniciar o estudo de 
probabilidades e análise combinatória. 
‡ Até a Aula 3.1! 
Fecho da Aula 2.3 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 37 
‡ Nesta Unidade você aprendeu a caracterizar os 
dados coletados e tratados (vide Unidade 1) 
através de diversos parâmetros: 
± Medidas de tendência central; 
± Medidas de dispersão e variabilidade; e 
± Medidas de assimetria e curtose. 
‡ Na Unidade 3 vamos passar ao cálculo de 
probabilidades, que é o primeiro passo para 
sistematizar o estudo de variáveis aleatórias. 
‡ Até a Unidade 3! 
Fecho da Unidade 2 
31/08/2013 Aula 2.3 ± Medidas de Assimetria e Curtose 38