Forças ficticias

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORÇAS FICTÍCIAS EM REFERENCIAS NÃO INERCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOLEDO- PARANÁ 
6 DE JUNHO DE 2017 
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BRUNA THAIS STUANI 
CARLOS MASCARELLO 
FRANCIELI NAROK 
LAIS PEGO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORÇAS FICTÍCIAS EM REFERENCIAS NÃO INERCIAIS 
 
 
Trabalho entregue ao Prof Dr. Fernando 
Rodolfo Espinoza-Quiñones como avaliação 
da disciplina de Física Geral e Experimental II 
do curso de Engenharia Química da 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná – 
Campus Toledo. 
 
 
 
 
TOLEDO- PARANÁ 
6 DE JUNHO DE 2017 
3 
 
 
RESUMO 
 
As Leis de Newton só se aplicam a fenômentos observados de um referencial em 
repouso ou em movimento retilínio uniforme, conhecido como referencial inercial. Já 
em situações em que o referencial está acelerado, diz-se que o referencial é não 
inercial. Geralmente, referenciais não inerciais são acelerados, isto implica , que se 
um referencial está em movimento circular, ele é não inercial, visto que tal corpo (ou 
referencial) está sob ação da força centrípeta que é chamada força de inércia. Disso 
resulta que verdadeiramente, a Terra é um referencial não inercial, devido ao seu 
movimento de rotação. Uma das forças de inércia produzidas pelo movimento 
terrestre, é a força de Coriolis, proporcional à velocidade de rotação da Terra, e à 
velocidade do corpo, que se movimenta próximo à superfície terrestre. Outro exemplo 
de força inercial é quando um carro faz uma curva e uma força o empurra para fora 
da curva, sendo definida como força Centrífuga. A aplicação da Segunda Lei de 
Newton a um referencial acelerado, leva a que as forças de inércia ou fictícias estão 
sempre no sentido contrário ao movimento. Tudo se passa como se fosse forças 
adicionais estivessem atuando sobre objetos no referencial não inercial. 
 
Palavras chave: Referenciais não inerciais, segunda lei de Newton, forças fictícias. 
 
 
 
 
 
4 
 
 
SUMÁRIO 
 
1.INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 6 
2.DESENVOLVIMENTO ............................................................................................. 7 
2.1Forças de inércia ......................................................................................... 7 
2.2 Aspectos históricos ................................................................................... 8 
2.2.1 Força Centrífuga .................................................................................... 8 
2.2.2 Força de Coriolis .................................................................................... 9 
2.3 Aplicações e consequências das forças de inércia ................................ 9 
2.4 Translação e rotação de referenciais ...................................................... 10 
2.5 A experiência do balde de Newton .......................................................... 15 
2.6 Exemplos de pseudo-força ...................................................................... 19 
2.7 A Terra como sistema não-inercial ......................................................... 21 
3.CONCLUSÃO ........................................................................................................ 26 
4.REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 01. Representação do movimento da bola para observador externo ................ 7 
Figura 02. Representação da trajetória da bola para referencial não-inercial .............. 8 
Figura 03. Localização da massa m nos dois referenciais. ........................................... 10 
Figura 04. Vetor genérico 𝐵 de módulo constante girando com velocidade angular 
instantânea 𝑤.. ....................................................................................................................... 12 
Figura 05. Experiência dos baldes de Newton ................................................................. 15 
Figura 06. Ilustração de uma pseudo-força ...................................................................... 19 
Figura 07. Ponto P representado sobre a superfície da Terra ...................................... 22 
Figura 08. Representação angular ..................................................................................... 22 
Figura 09. Componente radial ............................................................................................ 23 
Figura 10. Esboço das forças ............................................................................................. 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Para o aceitamento de estudos, analises e de suas conclusões, estabeleceu-
se alguns parâmetros para o método cientifico, dentre esses requisitos, estipulou-se 
que os experimentos deveriam ser observáveis, o que asseguraria veracidade e uma 
melhor exatidão nos trabalhos realizados (SINGH, 2006). 
Contudo, nesse contexto, observou-se uma peculiaridade na física, essa 
singularidade evidencia que as observações feitas dependem de um referencial, isto 
é, dependo do ponto em que se observa um fenômeno pode se tirar diferentes 
conclusões como verdadeiras. Sendo que, ao se mudar o referencial para outro ponto, 
os julgamentos feitos anteriormente podem já não aparentar coerência. 
(NUSSENZVEIG, 2004) 
Por isso, para se evitar essas discrepâncias, o adequado é se tomar referencias 
inercias, isto é, em que as leis de Newton são válidas e, portanto, o referencial está 
em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Em oposição, existe uma classe que 
está em função de uma referência não inercial, ou seja, com a referência acelerada, 
e assim aparentam estarem sendo afetados com as chamadas forças fictícias, neste 
grupo, o espectador pode dizer que existem forças atuantes que modificam a 
trajetória, porém, o que ocorre na verdade é um efeito resultante da perspectiva 
adotada. (NUSSENZVEIG, 2004) 
Esse contraste pode ser inclusive verificado e distinguido pela definição do que 
é força, pelo significado, força é resultado de interações entre dois corpos. Portanto, 
para que exista uma força, é necessário que um corpo atue sobre outro. Por exemplo, 
a força centrífuga não é uma força pela definição, porém ela é do tipo força fictícia. 
(HALLIDAY, 2014) 
Dentre esses efeitos, um dos mais conhecidos é o efeito Coriolis, onde que, 
devido a rotação da Terra, um deslocamento em que se necessite percorrer uma 
grande distância no globo terrestre, pode ter uma estranha perspectiva caso não aja 
uma correção ou na análise mais minuciosa e em consequência haverá uma variação 
de deslocamento em relação ao destino almejado. (HALLIDAY, 2014) 
 Este trabalho tem como objetivo tratar de forças fictícias e referenciais não 
inerciais, onde a segunda lei de Newton não toma a forma descrita pela segunda lei, 
mas deve ser ainda uma equação diferencial de segunda ordem. 
7 
 
2. DESENVOLVIMENTO 
 
2.1 Forças de inércia 
 
Um corpo em um referencial em rotação, portanto não-inercial, estará sujeito à 
ação de dois tipos de força de inércia, a Força Centrífuga que atuará na direção do 
raio para fora da curva e outra força que tenderá a desviar lateralmente o movimentodo corpo, sendo esta denominada de Coriolis. 
 Para exemplificar a atuação da força de Coriolis, pode-se imaginar um carrossel 
girando no sentido anti-horário e duas pessoas dentro dele. Considera-se, um homem 
no centro do carrossel e uma mulher na periferia do carrossel, um de frente para o 
outro. Em certo instante, o homem faz deslizar uma bola pela superfície 
completamente sem atrito, em direção à mulher. Neste caso, um observador externo 
verá a bolinha sair do centro e se deslocar em linha reta para a periferia do carrossel, 
obedecendo a Primeira Lei de Newton, a Lei da Inércia. Mas enquanto isso, ele verá 
também a mulher se deslocar acompanhando o movimento giratório do carrossel. 
Assim, quando a bolinha chegar à borda, ela estará a um ponto à esquerda da mulher. 
 
 
Figura 01. Representação do movimento da bola para observador externo 
 
 Entretanto, do ponto de vista dos dois que estão dentro do carrossel, a 
observação será diferente. Como eles permanecem de frente durante todo o tempo, a 
bolinha seguirá uma trajetória que encurva para a esquerda da mulher e para a direita 
do homem. Este comportamento curvo da bola é exatamente resultado da 
manifestação da Força de Coriolis. 
 
8 
 
 
Figura 02. Representação da trajetória da bola para referencial não-inercial 
 
2.2 Aspectos históricos 
 
2.2.1 Força Centrífuga 
 
 Segundo o teorema de Galileu, geometricamente, o quanto uma curva desvia 
da tangente é medido pela curvatura; o raio de curvatura é igual ao raio do círculo 
osculador (o círculo tangente à curva). Ao mover em uma órbita curva, para que o 
corpo permaneça na órbita, a tangente (velocidade) tem de se “enrolar” em torno do 
círculo osculador. Como o processo de “enrolar” acontece em cada ponto da curva, 
individual e independentemente de qualquer outro ponto, é suficiente considerar o 
“puxão” para o centro do círculo em cada ponto, isolada e independentemente do 
“puxão” em outro ponto. Para usar o teorema de Galileu, tem-se de considerar 
movimentos “instantâneos”, ou processos virtuais. Esses processos permitem 
considerar a validade “instantânea” do teorema e o amálgama da geometria com a 
física, formando uma dinâmica geral (DIAS, 2013). 
 Em relação à descoberta da participação da força centrifuga, tem-se a atuação 
de Cristiaan Huygens, o qual associa a medição da força centrifuga pelo peso que a 
equilibra, no caso, o peso do corpo em rotação. Para Huygens, a igualdade das forças 
só vale no instante em que o movimento começa, o que justifica o teorema de Galileu 
e a interpretação da “tendência centrífuga” como “queda gravitacional” do círculo para 
a tangente. 
 Huygens demonstrou o teorema de Galileu, apresentando-o na segunda parte 
do Horollogium Oscillatorium em notação e palavreados modernos. Na quinta parte do 
Horollogium Oscillatorium , Huygens enunciou teoremas sobre a tendência dos corpos 
em rotação, de se afastarem do centro de rotação e criou a “força centrífuga”. 
9 
 
De acordo com Huygens, se considerar uma roda com certa velocidade e se, 
uma pessoa que estiver em pé segurar um barbante, do qual pende uma esfera 
pequena, ao escapar da mão, a esfera se moverá ao longo da tangente com a mesma 
velocidade da roda. Logo, distâncias movidas no mesmo tempo pela pessoa, ao longo 
da roda, e pela esfera, na tangente, são iguais. Huygens argumenta que a trajetória 
da esfera, no referencial da pessoa, após abandonar a mão, é uma curva tangente ao 
raio vetor no ponto em que a esfera escapa. Porém segundo ele, a força centrífuga 
existe, com de fato deve existir, somente no referencial em rotação, o da pessoa. 
Um exemplo moderno dessas ressalvas pode ser visualizado nas curvas 
realizadas pelos automóveis, onde devido à aceleração centrípeta do carro, os corpos 
em seu interior ficam sujeitos a uma força centrífuga, que parece puxá-los para fora, 
quando na realidade, para os observadores em um referencial inercial, aqueles corpos 
dentro do carro, não estão sujeitos a nenhuma força, portanto, todavia estão apenas 
tentando continuar em movimento retilíneo uniforme. 
 
2.2.2 Força de Coriolis 
 
A força de Coriolis, como o próprio nome indica, foi descoberta em 1835 pelo 
físico e matemático francês Gaspard Gustave de Coriolis. 
Esta força é uma força fictícia por vezes usada para simplificar cálculos que envolvam 
sistemas rotativos, tais como o movimento do ar, da água e de projéteis acima da 
superfície da Terra em rotação. A força de Coriolis é uma força de inércia que atua 
juntamente com a força de arrastamento e a força centrífuga, sobre um corpo cujo 
sistema de referência se encontre em rotação. É perpendicular ao plano definido pelo 
eixo de rotação e pelo vetor velocidade. 
 
2.3 Aplicações e consequências das forças de inércia 
 
No início do século XX, o termo força de Coriolis começa a ser usado em 
meteorologia. Os efeitos da força de Coriolis são hoje bem conhecidos no movimento 
dos ventos em centros de baixa pressão. Isto é, quando uma área de baixa pressão 
se forma na atmosfera, o ar tende a fluir em sua direção movido pelos gradientes de 
pressão, mas será defletido perpendicularmente à sua velocidade pela força de 
10 
 
Coriolis. Um sistema de equilíbrio pode então se estabelecer, criando um movimento 
circular e dando origem a uma formação tipo campo de spin, característica dos fluxos 
ciclônicos. Também em escala microscópica os efeitos da força de Coriolis estão 
presentes e podem ser observados. Por exemplo, em moléculas poliatômicas, o 
movimento da molécula pode ser descrito como o movimento de rotação de um corpo 
rígido, superposto ao movimento de vibração interna dos átomos, entorno de sua 
posição de equilíbrio. Os espectros destas moléculas apresentam, 
consequentemente, uma mistura de modos rotacionais e vibracionais. 
 
2.4 Translação e rotação de referenciais 
 
A segunda lei de Newton só é válida para referenciais inerciais. O objetivo é 
obter uma equação que tenha a mesma forma que a segunda lei de Newton e que 
possa ser usada em referenciais não inerciais. 
Seja {O∗, xˆ∗, yˆ∗, zˆ∗} um referencial inercial e {O, xˆ, yˆ, zˆ} um referencial não 
inercial. O esquema da Figura ,1 exibe os dois referenciais e uma massa m: 
 
x∗ 
Figura 03. Localização da massa m nos dois referenciais. 
 
O ∗ 
y ∗ 
z ∗ 
O 
 
𝑅
 x 
y 
z 
m 
𝑟
 
∗ 
𝑟
 
11 
 
�⃗� localiza o referencial não inercial a partir do inercial, 𝑟 ∗⃗⃗⃗⃗ ⃗ localiza a massa m a 
partir do referencial inercial e 𝑟 localiza a massa m a partir do referencial não inercial. 
Sendo 𝑟 ∗⃗⃗⃗⃗ ⃗ e �⃗� definidos a partir do referencial inercial, é apenas lógico escreve-
los como combinação linear dos vetores deste referencial e 𝑟 escreveremos como 
combinação linear dos vetores do referencial não inercial1. 
 
𝑟 ∗⃗⃗⃗⃗ ⃗= x∗xˆ∗ + y∗yˆ∗ + z∗zˆ∗ 
R
 = Xxˆ∗ + Y yˆ∗ + Zzˆ∗ 
r
 = xxˆ + yyˆ+ zzˆ 
Da figura 1 é fácil ver que: 
(1.1) 
𝑟 ∗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
R
 + 
 r
 (1.2) 
Como 𝑟 ∗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ é medido a partir do referencial inercial, a segunda lei de Newton 
vale na forma usual: 
 ∑ 𝐹𝑖⃗⃗ ⃗𝑖 = 𝑚𝑟 ∗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (1.3) 
em que 𝐹𝑖⃗⃗ ⃗ representa a iésima força de interação que a massa sofre. 
Deve-se agora tomar a segunda derivada de 𝑟 ∗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ na equação (1.2) com auxílio 
das equações (1.1) e substituir a equação (1.3), obtendo assim algo parecido com a 
segunda lei de Newton. 
As derivadas de 𝑟 ∗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e �⃗� são triviais já que os versores do referencial inercial 
são fixos. Para generalizar,faremos o desenvolvimento para um vetor qualquer 
 𝑢⃗⃗⃗ = uxxˆ + uyyˆ+ uzzˆ: 
 (1.4) 
O primeiro parênteses mede como 𝑢⃗⃗⃗ muda em relação ao referencial não 
inercial, enquanto o segundo par de parênteses está relacionado variação do 
referencial não inercial em relação ao inercial. Chamemos o que está à esquerda da 
igualdade (1.4) de (derivada de 𝑢⃗⃗⃗ no referencial inercial) e o primeiro par de 
parênteses à direita de (derivada de 𝑢⃗⃗⃗ no referencial não inercial). 
 
¹Pode-se escrever qualquer vetor em qualquer base. A escolha é feita de maneira a obter resultados para 
referenciais não inerciais. 
12 
 
Resta agora determinar como os versores xˆ, yˆ e zˆ variam no tempo. Como 
qualquer movimento infinitesimal pode ser descrito como uma translação infinitesimal 
mais uma rotação infinitesimal em relação a um eixo instantâneo.2 Como a translação 
do referencial não inercial já está inclusa na derivada de �⃗� , basta ver como tal 
referencial rotaciona. 
A Figura 2. ilustra um vetor de módulo constante girando: 
 
Figura 04. Vetor genérico �⃗� de módulo constante girando com velocidade angular 
instantânea �⃗⃗� . (O ângulo dᵠ e o vetor d�⃗� estão exagerados). 
 
Como o módulo de �⃗� é constante ( ) (assim como acontece com 
os vetores xˆ, yˆ e zˆ), temos, pela denição do ângulo medido em radianos (d�⃗� é 
infinitesimal, ou seja, é tão pequeno quanto quisermos): 
dB = Bdᵠsinθ (1.5) 
na qual B sinθ é o “raio” e dB é o “arco” descrito pelo ângulo dᵠ. 
Se considerarmos a derivada temporal ao em vez da diferencial na equação 
(1.5), teremos (B e θ não variam): 
 (1.6) 
Através da definição de velocidade angular, , a equação (1.6) lembra o 
módulo de um produto vetorial: 
 (1.7) 
 
 
ω~ 
~ �⃗� ~ �⃗� + d ~ �⃗� 
d ~ �⃗� dᵠ 
θ 
ω
~ 
~ �⃗�
 
 
~ B + d ~ B 
d ~ B dᵠ 
θ 
 
 
13 
 
e, pela figura 2 vê-se que a equação (1.7) nos da também a direção certa de . 
Observe que a equação (1.7) é válida para qualquer vetor que gire com módulo 
constante. Munidos dela, estamos prontos para interpretar o segundo parêntese da 
equação (1.4): 
 
A equação (1.4) fica: 
 (1.8) 
A equação (1.8) é a relação de que precisamos para calcular a derivada de 𝑟 
na equação (1.2). Mas antes de tudo, ela nos diz que a derivada de �⃗⃗� é igual nos dois 
referenciais: 
 
Voltando para a equação (1.2) e lembrando que 𝑟 ∗⃗⃗⃗⃗ ⃗ e �⃗� estão escritos no 
referencial inercial, podemos avanar calculando a primeira e a segunda derivada, 
usando duas vezes a equação (1.8): 
 
 
(1.9) 
Tudo é justificado pelo fato de que precisamos calcular as derivadas em relação 
ao refencial inercial, pois sabe-se que a segunda lei de Newton só funciona neste 
referencial. Multiplicando a equação (1.9) por m, podemos rearranjá-la, substituir 
m𝑟 ∗⃗⃗⃗⃗ ⃗ usando a segunda lei (1.3) e, a partir de agora, denotar as derivadas em relação 
ao referencial não inercial apenas com pontos: 
 (1.10) 
Pode parecer estranho o fato de ser usado dois referenciais em uma equação 
só, afinal �⃗� estava escrito no referencial inercial e 𝑟 estava escrito no referencial não 
14 
 
inercial. Porém, a equação (1.10) não deixa de estar certa: os vetores existem 
independentemente da representação usada para descrevê-los. Entretanto, é 
importante escrever todos os vetores em relação a um único referencial ao usar a 
equação (1.10). 
A equação (1.10) é a segunda lei de Newton atualizada para ser usada por 
qualquer referencial23. Fica claro que se estivermos trabalhando com um referencial 
inercial, tanto �⃗� ¨ quanto �⃗⃗� são nulos e a equação volta a sua forma usual. Os últimos 
quatro termos que aparecem do lado direito da equação são chamados de foras 
fictícias, já que não são forças de interação como a gravitacional ou a eletromagnética, 
mas sim forças que devem ser consideradas por alguém que se encontra em um 
referencial inercial para obter a resposta certa ao tentar calcular sua trajetóoria. Muitos 
dizem que o nome “forças fictícias” não faz juz aos termos da equação (1.10) já que 
elas são muito reais para um observador não inercial, então preferem chamar de 
pseudo-forças ou até forças inerciais. Os nomes mais aceitos para as forças fictícias 
que aparecem na equação (1.10) são, da esquerda para a direita, respectivamente: 
força translacional (−m�⃗� ¨¨), força centrífuga (−m�⃗⃗� ×(�⃗⃗� 𝑥 𝑟 )) , força de Coriolis 
(−2m𝑤 ⃗⃗⃗⃗ 𝑥 𝑟 .) e força azimutal (−m�⃗⃗� 𝑥 𝑟 . ). 
Por exemplo: um referencial gira em relação a um referencial inercial com 
velocidade angular constante, porém com mesma origem (�⃗� = 0⃗ ). Se uma pessoa 
dista b da origem dos referenciais e rotaciona com mesma velocidade angular que o 
referencial não inercial, ela está em repouso em relação a esse referencial, logo 
e 𝑟 .. = 0⃗ . Para o referencial inercial, existe apenas uma fora centrpeta de interação de 
mdulo mbω2, que aponta radialmente para dentro. Essa força resulta num movimento 
circular uniforme. Porém, o referencial não inercial recebe, além da fora centrípeta de 
interação, uma força fictícia −m�⃗⃗� × (�⃗⃗� × 𝑟 ), de módulo mbω2 que aponta radialmente 
para fora. Assim, no referencial não inercial, a força resultante é zero, o que explica a 
pessoa afirmar que está em equilíbrio em seu referencial. 
 
 
 
 
2Gaspard Gustave de Coriolis foi o primeiro a chegar nesse resultado, publicado em 1835, e atualmente 
ele é homenageado através do nome (Força de Coriolis) que é dado ao termo −2mω’× r ‘da equação. 
15 
 
2.5 A experiência do balde de Newton 
 
Trata-se de uma experiência em que inicialmente considera-se um balde com 
água em seu interior, ambos em repouso em relação à Terra, caso em que se verifica 
que a superfície da água apresenta um formato plano (Balde 1). Em seguida, numa 
segunda situação, considera-se a água e o balde girando juntos com uma 
velocidade angular constante, novamente em relação à Terra, verificando-se agora 
que a superfície da água apresenta um formato côncavo (Balde 2). 
 Balde 1 Balde 2 
Figura 05. Experiência dos baldes de Newton 
 
Procurando analisar esta experiência de acordo com os pontos de vista da 
Mecânica Newtoniana, algumas perguntas que surgem são: Por que a superfície da 
água é plana em uma situação e côncava em outra? O que causa essa mudança de 
formato? Quem interage com a água quando o balde está girando? Pode-se pensar 
em três possíveis causas responsáveis pela concavidade da água: sua rotação em 
relação ao balde, em relação à Terra ou em relação às estrelas fixas34. 
Que a rotação em relação ao balde não é responsável pela mudança no formato 
da superfície da água pode ser compreendido imediatamente observando que não há 
movimento relativo entre a água e o balde nas duas situações citadas anteriormente. 
Assim, qualquer que seja a força exercida pelo balde sobre a água na primeira 
situação, ela será a mesma na segunda situação, já que a água estará em repouso 
em relação ao balde nos dois casos. 
 
 3Para simplificar a análise, as estrelas fixas estarão representando aqui o restante do Universo, 
compreendendo o conjunto de todas as estrelas que compõem a Via Láctea e todas as outras galáxias que 
se encontram ao redor do balde e da Terra. 
16 
 
A rotação da água em relação à Terratambém não pode ser responsabilizada 
pelo resultado da experiência, já que a força exercida pela Terra sobre os corpos que 
se encontram em sua superfície é atrativa para baixo em direção ao seu centro e não 
centrífuga em direção às paredes do recipiente em rotação, como se verifica com a 
água do balde. Ou seja, estando a água em repouso ou em rotação, a Terra só a puxa 
para baixo. 
Com relação às estrelas fixas, sabe-se que, ao relatar a experiência do balde 
nos Principia, Newton disse: De início, quando o movimento relativo da água no 
recipiente era máximo, não havia nenhum esforço para afastar-se do eixo; a água não 
mostrava nenhuma tendência à circunferência, nem nenhuma subida na direção dos 
lados do recipiente, mas mantinha uma superfície plana, e, portanto, seu movimento 
circular verdadeiro ainda não havia começado. Mas, posteriormente, quando o 
movimento relativo da água havia diminuído, a subida em direção aos lados do 
recipiente mostrou o esforço dessa para se afastar do eixo; e esse esforço mostrou o 
movimento circular real da água aumentando continuamente, até ter adquirido sua 
maior quantidade, quando a água ficou em repouso relativo no recipiente. E, portanto, 
esse esforço não depende de qualquer translação da água com relação aos corpos 
do ambiente, nem pode o movimento circular verdadeiro ser definido por tal 
translação. 
Além disso, na Proposição XIV, Teorema XIV do livro III do Principia, Newton 
afirmou: “E como estas estrelas não estão sujeitas a nenhuma paralaxe perceptível 
devido ao movimento anual da Terra, elas não podem ter nenhuma força, devido a sua 
imensa distância, para produzir qualquer efeito perceptível em nosso sistema. Sem 
mencionar que as estrelas fixas, dispersas em todo lugar no céu de forma 
desordenada, destroem suas ações mútuas devido a suas atrações contrárias.”4 
Newton sabia mais do que qualquer outra pessoa que utilizando a sua Lei da 
Gravitação Universal para calcular a força que uma casca esférica5 exerce sobre um 
corpo que se encontra em seu interior, o resultado era igual a zero, 
 
4Como ao olhar para o céu, percebemos a existência de estrelas e galáxias distribuídas mais ou menos 
uniformemente por todos os lados, pode-se entender todas essas estrelas e galáxias como sendo 
aproximadamente um conjunto de cascas esféricas com densidade constante de matéria. 
17 
 
independentemente de o corpo estar em rotação ou não em seu interior6, já que a Lei 
da Gravitação Universal não depende da velocidade ou da aceleração entre os corpos 
interagentes. 
Deste modo, a rotação em relação às estrelas fixas também não pode ser 
apontada como a causa do surgimento de qualquer força centrífuga exercida sobre a 
água do balde em rotação. Isto mostra que, na Mecânica Newtoniana, a superfície 
côncava da água não pode ser explicada pela rotação entre a água e o balde, nem 
entre a água e a Terra, e nem entre a água e as estrelas fixas. 
Para Newton, a mudança no formato da superfície da água era devida à rotação 
da água em relação ao espaço absoluto8. 
Com a introdução deste novo conceito, parece que Newton estava querendo 
diferenciar entre referenciais ditos inerciais, ou seja, aqueles que se encontrassem 
em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação ao espaço absoluto, 
daqueles referenciais ditos não-inerciais, ou seja, aqueles que se encontrassem 
acelerados em relação a esse ente abstrato chamado de espaço absoluto. 
Isto porque ao se estudar o movimento dos corpos do ponto de vista de um 
referencial não-inercial, percebia-se o surgimento de efeitos dinâmicos que passavam 
a invalidar o Princípio Fundamental da Dinâmica, pois evidenciavam a presença de 
outras forças que aparentemente não apresentavam causa, agindo sobre os corpos 
materiais apenas pelo fato de o referencial em questão estar acelerado em relação ao 
espaço absoluto. 
Assim, para Newton, referencial inercial é qualquer sistema de referência que 
se encontra em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação ao espaço 
absoluto e portanto, qualquer sistema em que não se pode constatar quaisquer efeitos 
produzidos por forças sem agente causador aparente, as quais foram chama das 
posteriormente de forças inerciais5. 
Sendo assim, pode-se afirmar que as três leis de Newton são válidas apenas 
em referenciais inerciais, por definição, pois não é necessário introduzir as forças 
inerciais para explicar qualquer fenômeno, já que todos os efeitos podem ser 
 
5“Se para cada ponto de uma superfície esférica tenderem forças centrípetas iguais, que diminuem com o 
quadrado das distâncias a partir desses pontos, afirmo que um corpúsculo localizado dentro daquela 
superfície não será atraído de maneira alguma por aquelas forças.” 
18 
 
intendidos através de interações físicas reais do ponto de vista de um referencial 
inercial (o que aliás, foi o procedimento utilizado por Newton durante toda a sua vida). 
Caso queiramos estudar o movimento de um corpo do ponto de vista de um 
referencial não-inercial, ou seja, que se encontra acelerado em relação ao espaço 
absoluto, então deveremos levar em consideração os efeitos causados pelas forças 
inerciais. 
Portanto, a concavidade da água não surgia devido à interação do balde com 
ela, nem devido à sua rotação em relação à Terra e nem mesmo devido à sua rotação 
em relação ao Universo distante (conjunto das estrelas fixas). A forma côncava 
assumida pela superfície da água só podia ser entendida pelo movimento de rotação 
dela em relação ao espaço absoluto. 
No entanto, devido à função atribuída ao espaço absoluto, Newton foi muito 
criticado, inicialmente pelo bispo anglicano G. Berkeley (1685-1753) e pelo filósofo 
alemão G. W. Leibniz (1646-1716) e mais fortemente no século passado pelo físico 
austríaco Ernst Mach (1838-1916) que afirmava ser inconcebível corpos interagirem 
com espaço, pois para ele, matéria só poderia interagir com matéria. Em seu trabalho 
The Science of Mechanics (A Ciência da Mecânica), cuja 1a edição é de 1883, ele diz: 
“Para mim, só existem movimentos relativos. Não vejo, neste ponto, nenhuma 
diferença entre translação e rotação. Obviamente não importa se pensamos na Terra 
como em rotação em torno de seu eixo, ou em repouso enquanto as estrelas fixas 
giram em torno dela. O Princípio da Inércia deve ser concebido de tal forma que a 
segunda suposição leve exatamente aos mesmos resultados que a primeira. Torna-
se então evidente que, na sua formulação, é preciso levar em conta as massas 
existentes no Universo” 
Na Mecânica Newtoniana, se o balde e a água ficarem em repouso em relação 
à Terra e se o conjunto de estrelas que se encontram ao redor do balde forem giradas 
em relação à Terra, a superfície da água continuará plana. Para Mach, a água deverá 
ficar côncava, como na experiência original de Newton, já que do ponto de vista 
cinemático, as duas situações são equivalentes. 
Portanto, forças inerciais seriam aquelas que surgem em referenciais não-
inerciais devido ao fato de eles se encontrarem acelerados em relação ao espaço 
absoluto e que recebem os nomes de força centrífuga, força de Coriolis e uma outra 
que não tem nome específico e que aparece quando a velocidade angular do 
19 
 
referencial em rotação não é constante. Genericamente, essas três forças são mais 
conhecidas por forças fictícias. 
 
2.6 Exemplos de pseudo-força 
 
Um exemplo de força fictícia é aquele que é frequentemente chamado "força 
centrífuga". Um observador num sistema de coordenadas girantes, por exemplo, 
numa caixa girante, encontrará forças misteriosas, não "justificadas"por qualquer 
origem conhecida de forças, arremessando coisas para fora, contra as paredes. Estas 
forças são devidas meramente ao fato que o observador não tem um sistema de 
coordenadas de Newton; que é o mais simples sistema de coordenadas. 
Forças fictícias podem ser ilustradas por um experimento interessante em que 
empurramos um jarro de água ao longo de uma mesa, com aceleração. A gravidade, 
é claro, atua para baixo na água, mas por causa da aceleração horizontal existe 
também uma força fictícia atuando horizontalmente e na direção oposta à aceleração. 
A resultante da gravidade e da pseudo-força faz um ângulo com a vertical e, durante 
a aceleração, a superfície da água será perpendicular à força resultante, isto é, 
inclinada de um ângulo com relação à mesa, com a água permanecendo mais alta na 
parte de trás do jarro. Quando o empurrar do jarro cessa e o jarro desacelera por 
causa do atrito, a pseudo-força é invertida, e a água fica mais alta no lado da frente 
do jarro Figura 3. 
 
 
Figura 06. Ilustração de uma pseudo-força 
 
Uma característica muito importante das pseudo-forças é que elas são sempre 
proporcionais às massas; o mesmo é verdadeiro para a gravidade. Existe a 
possibilidade além disso, que a gravidade seja por si mesma uma pseudo-força. Não 
 
20 
 
é possível que talvez a gravitação seja devido simplesmente ao fato que nós não 
estamos no sistema de coordenadas correto? Após tudo, podemos sempre obter uma 
força proporcional à massa se imaginamos que um corpo está acelerando. Por 
exemplo, um homem enfia-se numa caixa que está em repouso na terra e encontra-
se preso ao fundo da caixa com uma certa força que é proporcional a sua massa. Mas 
se não existisse a terra por ali e a caixa estivesse em repouso, o homem dentro dela 
flutuaria no espaço. 
Por outro lado, se não existisse a terra ali e alguma coisa estivesse puxando a 
caixa com uma aceleração g, então o homem na caixa, analisando fisicamente, 
encontraria uma pseudo-força que o empurraria para o fundo, tal como a gravidade o 
faz. 
Einstein propôs a famosa hipótese que acelerações dão uma imitação da 
gravitação, e que as forças de aceleração (as pseudo-forças) não podem ser 
distinguidas daquelas da gravidade; não é possível dizer o quanto de uma dada força 
é gravidade e quanto é pseudoforça. 
Deveria parecer correto considerar a gravidade como sendo uma pseudo-força, 
para dizer que somos todos puxados para baixo porque estamos nos acelerando para 
cima, mas acerca das pessoas em Madagascar, do outro lado da terra - elas estão 
acelerando também? Einstein encontrou que a gravidade poderia ser considerada 
uma pseudo-força somente naquele ponto e naquele instante, e foi guiado por suas 
considerações a sugerir que a geometria do mundo é mais complicada que a 
geometria de Euclides ordinária. A presente discussão é somente qualitativa, e não 
pretende comunicar qualquer coisa mais que a idéia geral. Para dar uma idéia 
grosseira de como a gravitação poderia ser o resultado de pseudoforças, 
apresentamos uma ilustração que é puramente geométrica e não representa a 
situação real. Suponhamos que vivêssemos todos em duas dimensões, e não 
sabemos nada de uma terceira. Pensaremos que estamos num plano, mas 
suponhamos que estamos realmente na superfície de uma esfera. E suponhamos que 
chutamos um objeto ao longo do chão, com nenhuma força sobre ele. Onde ele irá? 
Parece ir numa linha reta, mas ele tem que permanecer sobre a superfície de uma 
esfera, onde a distância mais curta entre dois pontos é ao longo de um grande círculo; 
assim ele vai ao longo de um grande círculo. Se nós chutarmos um outro objeto da 
mesma maneira, mas numa outra direção, ele vai ao longo de um outro grande círculo. 
21 
 
Porque pensamos que estamos sobre um plano, esperamos que estes dois corpos 
continuariam a divergir linearmente com o tempo, mas observações cuidadosas 
mostrarão que se eles afastarem o bastante eles se moverão aproximando-se 
novamente, como se estivessem atraindo um ao outro. Mas eles não atraem um ao 
outro - existe alguma coisa "misteriosa" acerca desta geometria. Esta ilustração 
particular não descreve corretamente o modo em que a geometria de Euclides é 
"misteriosa", mas ela ilustra que se nós distorcermos a geometria suficientemente é 
possível que toda a gravitação seja relacionada de algum modo à pseudo-forças; esta 
é a idéia geral da teoria da Einstein da gravitação. 
 
2.7 A Terra como sistema não-inercial 
 
Uma aplicação interessante de sistemas não-inerciais é o estudo do movimento 
de um corpo (partícula) em relação à Terra. 
Inicialmente, a Força de Coriolis é uma das consequências mais espetaculares 
da na atmosfera da Terra, pois é o movimento giratório dos furacões que costumam 
perturbar a vida dos habitantes do hemisfério norte. As grandes massas de ar que se 
deslocam nesses furacões, às vezes em grandes velocidades, formam enormes 
círculos em torno de uma região de baixa pressão, o chamado "olho" do furacão. No 
hemisfério norte esses movimentos são no sentido contrário ao dos ponteiros do 
relógio. Quando os ventos se deslocam na direção da região de baixa pressão a força 
de Coriolis faz com eles se desviem para a direita. No hemisfério sul um furacão 
deveria girar no sentido horário. Mas, por alguma razão meteorológica, quase não 
existem furacões neste hemisfério. 
Se a Terra não girasse, o movimento atmosférico seria muito simples. A 
convecção térmica faria subir o ar quente acima do Equador, e esse ar quente se 
dirigiria pela alta atmosfera para os pólos, onde desceria para voltar para as regiões 
equatoriais pela baixa atmosfera. Mas a Terra gira! Essa rotação provoca a existência 
da força de Coriolis que tende a curvar as trajetórias de móveis que se desloquem à 
velocidade vrel sobre a superfície da Terra, por exemplo as moléculas do ar, balas de 
canhão, mísseis balísticos intercontinentais. Devido às suas altas velocidades e aos 
tempos mais longos que a aceleração de Coriolis tem para atuar, se deve tomar em 
conta a relativamente pequena força de Coriolis. 
22 
 
 Na figura 4 vemos um ponto P sobre a superfície da Terra. O ângulo λ que Ro faz 
com o Equador é a latitude do lugar. O eixo-z do sistema girante (x, y, z) está vertical 
ao plano tangente à Superfície da Terra no Ponto P. O eixo-y coincide com a linha 
NorteSul. 
 
 
Figura 07. Ponto P representado sobre a superfície da Terra 
 
Na figura 4 vemos o sistema (x,y,z) preso ao ponto P da superfície da Terra. O 
sistema (x,y,z) gira com a velocidade angular ωr em torno do eixo-z local que fica 
vertical à superfície da Terra. ωr é a componente radial de ω, e ωy é a componente 
segundo o eixo-y (a linha Norte-Sul). ωr é a projeção da velocidade angular de rotação 
da Terra sobre a vertical do lugar considerado. ωr é, portanto, máximo nos pólos, onde 
o eixo de rotação coincide com a vertical, e nulo no Equador, onde a vertical é 
perpendicular ao eixo de rotação da Terra. 
 
Figura 08. Representação angular 
 
23 
 
O sistema (x,y,z) faz em 𝑇 = 
2𝜋
𝜔𝑟
 segundos uma volta completa com respeito às 
estrelas fixas. 
Já que a Terra faz uma volta (2π radianos) em torno a seu eixo em 
aproximadamente 24 horas = 86 400 segundos, a velocidade angular ι 𝜔 = 
2𝜋
86
 
400𝑠 = 7,27 · 10 − 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠. 
O valor exato será mais perto do 𝜔 = 7,29 · 10 − 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠, pois T é, na realidade, 86 
164 s. 
A componente de ω devido ao movimento da Terra em torno ao Sol é 
desprezável, pois esta contribuição é 365 vezes menor do que o valor anterior. 
Segundo à figura 5, temos para a velocidade angular local: 
𝝎𝒓 = 𝝎𝒚 + 𝝎𝒓= 𝜔𝑐𝑜𝑠𝜆 𝒋 + 𝜔𝑠𝑒𝑛𝜆 𝒌 
Assim, temos para a componente radial num lugar com λ = 40o do hemisfério 
norte o valor ωr = 7,29·10-5 rad/s · sen 40o = 4.69-5 rad/s. 
 
 
Figura 09. Componente radial 
 
A figura 6 mostra um sistema (x, y, z) preso a um ponto P da superfície da Terra. 
Na origem de (x, y, z) encontra-se uma partícula em repouso com respeito ao sistema. 
A partícula de massa m está ligada a uma das extremidades de uma corda, cuja 
outra extremidade está presa num ponto de suspensão, por exemplo, à mão de um 
pedreiro utilizando o pêndulo como fio de prumo. 
24 
 
As forças que agem sobre a partícula são a força radial Fr da gravitação e a 
tensão T no fio. Supomos que ω = const. ou seja, Dω/Dt =0. Já que também r = 0 e 
vrel = 0, obtem-se: 
𝑚 𝒂𝒂𝒃𝒔 − 𝑚 𝒂𝒐 = 𝑭𝒓 + 𝑻 − 𝑚𝒂𝒐 = 𝟎 (10) 
ao é apenas a aceleração centrípeta da origem de (x, y, z) com respeito ao sistema 
inercial (x, y, z) (𝒂𝒐 = 𝝎 𝑥 (𝝎 𝑥 𝑹𝒐)). 
O módulo deste vetor no Equador é (raio da Terra = 6,37·106 m) 
𝑅𝑜 𝜔2 = 6,37 · 106 𝑚 · (7,29 · 10 − 5)2 𝑠 − 2 = 0.0338 𝑚 · 𝑠 − 2 
Este valor é somente (0.0338/9.81) · 100% = 0.345% 𝑑𝑒 𝑔 =
9.81 𝑚/𝑠2. Em um lugar com latitude λ temos |𝒂𝒐| = 𝑅𝑜 𝜔2 · 𝑐𝑜𝑠 𝜆. 
Voltando a equação: 𝑭𝒓 + 𝑻 − 𝑚 · 𝝎 𝑥 (𝝎 𝑥 𝑹𝒐) = 𝟎 
Para a força do fio sobre a partícula podemos escrever -mg. Escrevendo 
𝑭𝒓 = 𝑚𝒈𝒐, onde o vetor go aponta para o centro da Terra, obtemos 𝑚𝒈𝒐 − 𝑚𝒈 −
 𝑚 · 𝝎 𝑥 (𝝎 𝑥 𝑹𝒐) = 𝟎. Como se vê, a força − 𝑚 · 𝝎 𝑥 (𝝎 𝑥 𝑹𝒐), uma força centrífuga, 
faz com que T e Fr estão colineares somente no Equador, em outros lugares da Terra 
formam um pequeno ângulo ε, que depende da latitude λ. 
O vetor 𝒈 = 𝒈𝒐 − 𝝎 𝑥 (𝝎 𝑥 𝑹𝒐), que é ligeiramente desviado do vetor radial 
go, tem a direção indicada pelo fio de prumo. g é o vetor aceleração da gravidade 
"normal", ele que se observa na superfície da Terra. Este vetor chama-se também de 
aceleração efetiva da gravidade. 
A direção de g é chamada de vertical. A direção de go, que é radial, é a direção 
da força gravitacional, que aponta para o centro da Terra. 
O módulo desta força é 𝐹𝑟 = 𝐺 · 𝑚 · 𝑀/𝑅𝑜2. 
 
Figura 10. Esboço das forças 
 
25 
 
Este esboço quer mostrar que as três forças 𝑇 = −𝑚𝑔, 𝐹𝑟 𝑒 − 𝑚𝜔𝑥(𝜔𝑥𝑅𝑜) não 
são colineares. T e Fr formam um pequeno ângulo ε cujo valor pode ser calculado 
aplicando o teorema dos senos: 𝑠𝑒𝑛 𝜀 /(𝑚𝑅𝑜𝜔2𝑐𝑜𝑠𝜆) = 𝑠𝑒𝑛𝜆/𝑚𝑔 
Ou seja, 𝜀 ≈ 𝑠𝑒𝑛 𝜀 = 𝑅𝑜𝜔2 · 𝑠𝑒𝑛(2𝜆)/(2𝑔) ≈ 0,1º para λ = 45o. A figura 7 
deveria indicar, também, a verdadeira forma da Terra, que é um elipsoide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
3. CONCLUSÃO 
 
Mediante as informações coletas e apresentadas, percebe-se que na realidade 
não existe um referencial que seja completamente inercial, contudo podem ser feitas 
considerações que o tornem inercial para a facilitação das operações físicas e 
matemáticas. 
Além disso, caso não houvesse sido realizada a distinção entre observações 
feitas tendo por base referências inerciais e não inerciais, grande parte da construção 
da cinemática estaria equivocada, tornando assim inviável um consenso entre 
observadores e observados, deixando assim dificultoso a execução de 
deslocamentos de forma segura. 
Ainda se ressalta que o compreendimento dessas forças fictícias a qual estão 
submetidos os corpos vistos por referenciais não inerciais, é de notável importância, 
pois, a exemplo, viagens de avião não seriam possíveis caso não houvesse uma 
correção neste efeito. Por isso, busca-se cada vez mais conhecer o assunto de forma 
profunda para se obter resoluções de problemas ocasionados por esse gênero de 
fatores. 
 
 
27 
 
4. REFERÊNCIAS 
 
Halliday, Resnick, Walker. Fundamentos de Física. Vol. 1. 9 ed. Editora LTC, 2014. 
H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica 1: Mecânica. 4 ed. Editora Edgard 
Blücher, 2002. 
Singh, Simon. Big Bang. Rio de Janeiro; São Paulo: Editora Record, 2006 
A Terra como sistema não-inercial. Disponível em 
<http://www.bertolo.pro.br/fisica_cosmologia/Feynmann_12.5.pdf> Acesso em: 28 de 
maio de 2017. 
Exemplos de pseudo-forças. Disponível em 
<http://site.dfi.uem.br/wp-content/uploads/2016/12/Artur-Soriani-Alves.pdf> Acesso 
em: 28 de maio de 2017. 
Translação e rotação de referenciais Disponível em 
<http://www.ifi.unicamp.br/~assis/Acta-Scientiarum-V21-p817-822(1999).pdf> Acesso 
em: 28 de maio de 2017. 
Força de coriolis. Disponível em <http://www.fisica.ufc.br/coriolis/tintim11.htm> 
Acesso em: 26 de maio de 2017. 
Forças de inércia. Disponível em <http://fisicabr.org/mecanica/fis19.html> Acesso 
em: 26 de maio de 2017. 
Forças de inércia. Disponível em 
<http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/malu/Antigo/referenciais.PDF> Acesso 
em: 26 de maio de 2017. 
Força de coriolis. Disponível em 
<http://www.mat.ufrgs.br/~betta/textos_files/F_Coriolis.pdf> Acesso em: 26 de maio 
de 2017. 
Força Centrífuga. Disponível em <http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/351602.pdf> 
Acesso em: 26 de maio de 2017.