11. AmpOp - Integ e Difer

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6669 – CIRCUITOS 
ELETRÔNICOS I 
Departamento de Engenharia Química 
Universidade Estadual de Maringá 
Rubens Zenko Sakiyama 
rubens@deq.uem.br 
 
Resposta em frequência das redes CTS (com 
constante de tempo simples) 
Curvas de Bode para rede passa-baixas 
Curvas de Bode para rede passa-altas 
Integradores e Diferenciadores 
• Aplicações com Amp Op -> resistores na malha de 
realimentação -> operação independente da 
frequência. 
• Exceção: utilização de capacitor para minimizar o 
efeito das imperfeições cc dos Amp Ops. 
• Utilização de capacitores juntamente com 
resistores nas malhas de realimentação e de 
entrada dos Amp Ops: integradores e 
diferenciadores 
A configuração inversora com 
impedâncias generalizadas 
• Trocando-se s por jw, obtém-se a função de 
transferência em regime permanente senoidal. 
)(
)(
)(
)(
1
2
sZ
sZ
sV
sV
i
O 
• Configuração inversora de malha fechada: trocar 
R1 e R2 por Z1(s) e Z2(s). 
Exemplo 2.6 – pág 67 (Sedra/Smith) 
Para o circuito abaixo, obtenha a expressão da função de 
transferência VO(s)/Vi(s). Mostre que a função de transferência 
obtida é semelhante àquela obtida para o circuito passa-baixas 
CTS. Expressando a função de transferência na forma padrão, 
obtenha a expressão do ganho cc e a frequência de corte (ou de 
3 dB). 
Projete um circuito de forma a 
ter ganho cc de 40 dB, 
frequência de corte de 1 kHz e 
resistência de entrada de 1 kW. 
Em que frequência o ganho 
torna-se unitário? Qual a fase do 
sinal de saída nessa frequência? 
)(
)(
)(
)(
1
2
sZ
sZ
sV
sV
i
O 
11 RZ 







2
22
1
||
sC
RZ
12
2
1
1
)(
)(
RsC
R
RsV
sV
i
O


Exemplo 2.6 
Função de transferência de 1ª ordem 
• Ganho cc finito (-R2/R1) para s = 0. 
• Ganho zero para frequências infinitas. 
• Corresponde à função de transferência de uma rede 
passa-baixas com constante de tempo simples (CTS) 
22
1
2
1)(
)(
RsC
R
R
sV
sV
i
O



1
2
R
R
K 
22
0
1
RC
w
Ganho: 
Frequência de corte: 
Constante de tempo da rede CTS: 
22RC
Para R1 = 1 kW, e ganho cc de 40dB (100V/V) -> R2 = 100 kW. 
Exemplo 2.6 
Para fo = 1 kHz 
3
2
3
10.100.
1
10.2
C

C2 = 1,59 nF 
Como o ganho decresce a uma taxa de -
20dB/década, alcançará 0 dB após duas 
décadas, isto é, em f = 100.f0 = 100 kHz. 
 
Nessa frequência, que é muito maior que f0 a fase é 
aproximadamente -90o. 
 
A esse valor, devemos adicionar 180o em razão da 
natureza inversora do amplificador. 
 
Portanto, para 100 kHz, o desvio total da fase 
será -270o, ou seja, 90o. 
Exemplo 2.6 
O circuito integrador inversor 
Realiza a 
operação 
matemática de 
integração. 
R
tv
ti I
)(
)(1 
A corrente i1 flui através do capacitor C, 
resultando em carga que se acumula em C. 
Se o circuito começa a operar em um instante t = 0, então em 
um instante arbitrário, a corrente i(t) terá depositado em C 
uma carga igual a 

t
dtti
0
1 )(
O circuito integrador inversor 

t
c dtti
C
tv
0
1 )(
1
)(
A tensão no capacitor mudará de 
Se a tensão inicial no capacitor (em t = 0) for indicada por VC, então 

t
Cc dtti
C
Vtv
0
1 )(
1
)(
A tensão de saída vO(t) é igual a –vC(t), logo: 
C
t
IO Vdttv
CR
tv  0 )(
1
)(
Portanto, esse circuito fornece uma tensão de saída que é 
proporcional à integral temporal da entrada, em que VC é a 
condição inicial de integração e CR é a constante de tempo de 
integração. 
O circuito integrador inversor 
Este circuito é conhecido como integrador Miller 
em homenagem a seu inventor. 
A operação do circuito integrador inversor pode ser 
descrita no domínio da frequência, substituindo 
Z1(s) = R e Z2(s) = 1/sC: 
sCRsV
sV
i
O 1
)(
)(

O circuito integrador inversor 
Em regime permanente senoidal, s = jw: 
CRjjV
jV
i
O
ww
w 1
)(
)(

Módulo: 
Fase: 
CRV
V
i
O
w
1

O
90
O circuito integrador inversor 
Se w dobra, o 
módulo da função 
de transferência 
cai a metade (6 
dB). 
CRV
V
i
O
w
1

A linha dB x w intercepta a linha de 0 dB em: 
conhecida como frequência do integrador. 
CR
1
int w
O circuito integrador inversor 
• O integrador comporta-se como uma rede passa-
baixas com frequência de corte nula. 
• Em w = 0, o ganho da função de transferência é 
infinito (em cc o Amp Op está operando em malha 
aberta). 
• Qualquer componente cc muito pequeno no sinal de 
entrada produzirá teoricamente uma saída infinita . 
• Na prática, ocorrerá a saturação na saída do Amp Op. 
• Portanto, o circuito integrador sofrerá efeitos 
danosos em virtude da presença de corrente ou 
tensão de offset cc na entrada do Amp Op. 
Efeito da tensão de offset cc na entrada VOS 
• Se no instante t = 0 a tensão no capacitor seja zero, a 
tensão de saída em função do tempo será dada por: 
 
 
• vo aumenta linearmente com o tempo até o Amp Op 
saturar. 
t
CR
V
Vv OSOSO 
Efeito da corrente de offset cc na entrada VOS 
• Uma resistência R foi adicionada no terminal de 
entrada positivo do Amp Op. 
• A corrente de offset IOS fluirá através de C e 
provocará uma variação linear com o tempo em v0 
até que o Amp Op sature. 
O circuito integrador inversor 
• O problema cc do circuito integrador pode ser 
atenuado conectando-se um resistor RF em paralelo 
com o capacitor C do integrador. 
Este resistor proporciona um 
caminho cc pelo qual as correntes 
cc (VOS/R) e IOS possam circular, 
resultando em um vO com uma 
componente cc de: 
 
 
 
em vez de crescer linearmente. 
FOS
F
OS RI
R
R
V 




 1
O circuito integrador inversor 
• Para manter uma tensão de offset cc pequena na saída, 
RF deveria ser um valor baixo. 
• Mas quanto menor o valor de RF, menos ideal se torna o 
circuito integrador. 
F
F
I
O
sCR
RR
sV
sV


1
/
)(
)(
• Portanto, na hora de selecionar RF, o projetista terá o 
compromisso entre o desempenho cc e o 
desempenho de sinal. 
Exemplo 2.7 – pág 70 (Sedra/Smith) 
Ache o sinal de saía produzido por um integrador Miller em 
resposta a um pulso de entrada com amplitude de 1 V e largura 
de 1 ms. Seja R = 10 kW e C = 10 nF. Se o capacitor C estiver em 
paralelo com um resistor de 1 MW, como se modificará a 
resposta de saída? O Amp Op satura em ±13V. 
Em resposta ao pulso com 1 V de amplitude e 1 ms de largura e 
considerando a tensão inicial do capacitor igual a zero:: 
Exemplo 2.7 

t
O dt
CR
tv
0
.1
1
)( mst 10 
Para C = 10 nF e R = 10 kW, CR = 0,1 ms, e: 
ttvO 10)( 
mst 10 
O pulso de 1 V resulta em uma corrente constante (1 V/ 10 kW = 
0,1 mA) através do capacitor. 
Essa corrente constante carrega o capacitor provocando um 
aumento linear na tensão em seus terminais até o tempo de 1 
ms, duração do pulso do sinal de entrada. 
Caso o pulso tivesse uma duração maior, a tensão no capacitor 
continuaria a aumentar linearmente até atingir a tensão de 
saturação do Amp Op (-13V). 
Exemplo 2.7 
RF = 1MW em paralelo com o capacitor 
Exemplo 2.7 
O pulso de 1 V resulta em uma corrente constante (1 V/ 10 kW = 
0,1 mA) através da rede composta pelo capacitor em paralelo 
com o resistor RF. 
Exemplo 2.7 
  FCR
t
OOOO evvvtv

 .)0()()()(
VIRv FO 10010.110.1,0)(
63  
Onde: 
VvO 0)0( 
O sinal de saída será uma exponencial tendendo a -100 V com 
uma constantede tempo de CRF = 10 ms. 










101100)(
t
O etv
mst 10 
Exemplo 2.7 
A exponencial será interrompida no tempo t = 1 ms e a tensão 
de saída neste momento será: 
VemsvO 5,91100)1(
10
1










Os integradores podem ser empregados para geração de 
ondas triangulares a partir de onda quadrada aplicada à sua 
entrada. 
Exercício 2.27 – pág 72 (Sedra/Smith) 
Considere uma onda quadrada simétrica de 20V pico a 
pico, com valor médio nulo e 2 ms de período aplicada 
em um integrador Miller. Calcule o valor da constante 
de tempo CR, tal que a onda triangular na saída tenha 
uma tensão de 20 V pico a pico. 
 
 
 
 
 
Resposta: 0,5 ms 
Exercício 2.28 – pág 72 (Sedra/Smith) 
Utilizando um Amp Op ideal, projete um integrador 
inversor com uma resistência de entrada de 10 kW e 
uma constante de tempo de integração de 10-3 s. Qual 
é o valor do módulo do ganho e o ângulo de fase desse 
circuito em 10 rad/s? E em 1 rad/s? Qual é a frequência 
na qual o valor do ganho é unitário? 
 
 
Resposta: R = 10kW, C = 0,1 mF; 
em w = 10 rad/s: |VO/Vi| = 100 V/V e  = +90
o; 
em w = 1 rad/s: |VO/Vi| = 1.000 V/V e  = +90
o; 
1.000 rad/s 
Exercício 2.29 – pág 72 (Sedra/Smith) 
Considere um integrador Miller com constante de 
tempo de 1 ms e uma resistência de entrada de 10 kW. 
Suponha que o Amp Op tenha VOS = 2 mV e a tensão de 
saturação de saída seja ±12 V. (a) Supondo que, ao ser 
ligada a fonte de alimentação, a tensão no capacitor 
seja zero, quanto tempo leva para o amplificador 
saturar? (b) Determine o maior valor possível para o 
resistor de realimentação RF de modo que o sinal de 
saída possa variar dentro de pelo menos ±10 V. Qual a 
frequência de corte da rede CTS resultante? 
 
Resposta: (a) 6 s; (b) 10 MW, 0,16 Hz 
O circuito diferenciador com Amp Op 
Intercambiando a posição do capacitor com a do 
resistor no circuito integrador: 
 
 
 
 
que realiza a função matemática de 
diferenciação. 
O circuito diferenciador com Amp Op 
• Seja uma entrada vI(t) 
• Esta tensão aparecerá sobre o capacitor C. 
• A corrente através de C será: 
dt
dv
CI IC 
dt
tdv
CRtv IO
)(
)( 
• que também fluirá 
sobre o resistor de 
realimentação. 
• Portanto, a tensão 
na saída será: 
O circuito diferenciador com Amp Op 
• A função de transferência no domínio da frequência 
será: 
 
• Em regime permanente senoidal: 
sCR
sV
sV
I
O 
)(
)(
CRj
sV
sV
I
O w
)(
)(
Módulo: Fase: 
CR
V
V
I
O w
O
90
O circuito diferenciador com Amp Op 
• Diagrama de Bode para o circuito diferenciador: 
Para um aumento de 
uma oitava em w, o 
módulo do ganho 
dobra de valor 
(aumenta 6 dB). 
• Quando w = 1/CR, o ganho é unitário (0dB) e o produto 
CR é constante de tempo do circuito diferenciador. 
O circuito diferenciador com Amp Op 
• A resposta em frequência de um circuito 
diferenciador pode ser entendida como um filtro 
passa-altas CTS e frequência de corte infinita. 
• As características deste circuito se apresenta como 
um “ampliador de ruídos”, pois mudanças bruscas na 
entrada provocam grandes variações na saída. 
• Por esta razão e devido a problemas de estabilidade 
estes circuitos são geralmente evitados na prática. 
• Para minimizar estes efeitos, pode-ser utilizar 
resistores de pequeno valor em série com o 
capacitor, descaracterizando o circuito de um 
diferenciador ideal. 
 
 
Exercício 2.30 – pág 72 (Sedra/Smith) 
Projete um diferenciador que tenha uma constante de 
tempo de 10-2 s e uma capacitância de entrada de 0,01 
mF. Qual é o módulo e qual é a fase do ganho desse 
circuito em 10 rad/s e em 103 rad/s? A fim de limitar o 
ganho de alta frequência do circuito diferenciador em 
100, um resistor é associado em série com o capacitor. 
Obtenha o valor do resistor necessário. 
 
 
Resposta: C = 0,01 mF; R = 1 MW; 
em w = 10 rad/s: |VO/Vi| = 0,1 V/V e  = -90
o; 
em w = 1.000 rad/s: |VO/Vi| = 10 V/V e  = -90
o; 
10 kW. 
Lista de Exercícios 
 2.1 
 2.5 
 2.6 
 2.8 
 2.14 
 2.15 
 2.18 
 2.19 
 2.21 
 2.26 
 2.29 
 2.34 
 2.37 
 2.38 
 2.44 
 2.46 
 2.48