FS4420 P2 1s2017 gabarito

Prévia do material em texto

FS4420 – Princípios de Física Moderna Prova P2 1º Sem./2017 
 
FS4420 P2 – Amarela 02 / 06 / 2017 N
o Turma 
de Teoria: 
Os espaços abaixo são 
reservados para as notas 
NOME: 1) 
ASSINATURA: 2) 
Instruções Gerais: Prova sem consulta. Permitido o uso de 1 calculadora não alfa numérica. 
Respostas desacompanhadas de suas resoluções ou resoluções confusas NÃO serão consideradas. 
Respostas SEM justificativas plausíveis, quando solicitadas, NÃO serão consideradas. 
Responda as questões nos locais indicados. NÃO serão consideradas respostas fora desses locais. 
As unidades das grandezas DEVEM ser indicadas corretamente EM TODOS os valores calculados. 
Penalização de 0,2 ponto por unidade incorreta ou faltando em qualquer valor calculado. Duração: 80 min 
3) 
4) 
 
NOTA 
 
 
𝑐 =  𝑓 =
𝜔
𝑘
= 3 𝑥 108 
𝑚
𝑠
 
 
𝜇𝑜 = 4 𝜋 𝑥 10
−7 
𝐻
𝑚
 
 
𝜀𝑜 = 8,85 𝑥 10
−12 
𝐹
𝑚
 
 
𝑒 = 1,60 𝑥 10− 19 𝐶 
 
𝑚𝑒 = 9,11 𝑥 10
−31 𝑘𝑔 
 
𝑚𝑝 = 𝑚𝑛 = 1,67 𝑥 10
−27 𝑘𝑔 
 
 
1 𝑒𝑉 = 1,60 𝑥 10− 19 𝐽 
 
ℎ = 6,63 𝑥 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 
 
ℎ = 4,14 𝑥 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠 
 
 = 
ℎ
2 𝜋
= 1,06 𝑥 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 
 
 = 
ℎ
2 𝜋
= 0,659 𝑥 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠 
 
ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 𝑥 10−25 𝐽 ∙ 𝑚 
 
ℎ ∙ 𝑐 = 1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉 ∙ 𝑚 
 
 
𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙ 𝜆 
 
𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙ 𝜆 
 
𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = (𝑚 +
1
2
) ∙ 𝜆 
 
 
𝑦  𝑚 ∙
𝜆 ∙ 𝑥
𝑎
 
 
𝑦  𝑚 ∙
𝜆 ∙ 𝑥
𝑑
 
 
𝑦  (𝑚 +
1
2
) ∙ 
𝜆 ∙ 𝑥
𝑑
 
 
 
𝑇 = 𝐺 ∙ 𝑒−2∙𝑘∙𝐿 
 
𝐺 = 16 ∙
𝐸
𝑈𝑜
 (1 −
𝐸
𝑈𝑜
) 
 
𝑘 = 
√2 𝑚 ∙ (𝑈𝑜 − 𝐸)

 
 
∆𝑥 ∙ ∆𝑝 ≥  
 
 ∆𝐸 ∙ ∆𝑡 ≥  
 
 𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑣 =
ℎ

 
 
𝐿 = 𝑛 

2
; (𝑥) = √
2
𝐿
 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
) ; 𝐸𝑛 = 
𝑛2 ∙ ℎ2
8 𝑚 𝐿2
; 𝐸 = 
𝑝2
2 𝑚
= 
ℎ2
2 𝑚 2
; 𝐸𝑛 = − 
13,6
𝑛2
; ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ∙ 𝑑𝜃 = 
𝜃
2
−
1
4
𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 
 
 
𝐸 = 𝑛 ℎ 𝑓; 𝐾𝑚𝑎𝑥 = ℎ 𝑓 − 𝜙; 𝜙 = ℎ 𝑓𝑐; 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑉𝑜 =
1
2
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2 
 
O espaço abaixo é reservado para rascunhos. Cálculos e anotações feitas neste local não serão considerados na correção; 
 
Nº 
 Nº sequencial 
 
Faça as contas com todos os algarismos; 
Apresente as respostas finais com 3 algarismos significativos. 
FS4420 – Princípios de Física Moderna Prova P2 1º Sem./2017 
1) Suponha que um elétron esteja “preso” em uma dimensão e possa se mover apenas em uma região com 
∆𝑥 = 2,5 ∙ 10−10𝑚. 
(a) (1,0 ponto). Estime a incerteza mínima no 
componente 𝑥 da medida do momento linear do 
elétron. 
 
 
 
∆𝑥 ∙ ∆𝑝 ≥  
 
 
 
∆𝑝 ≥
1,06 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠
2,5 𝑥 10−10 𝑚 
 
 
 
 
∆𝒑𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 = 𝟒, 𝟐𝟒 𝒙 𝟏𝟎
−𝟐𝟓 𝑵. 𝒔 (𝑜𝑢 𝑘𝑔.
𝑚
𝑠
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) (1,0 ponto). Se o elétron possui um momento 
linear cujo módulo é igual ao valor calculado no item 
anterior, qual é sua energia cinética? Dê a resposta 
em 𝑒𝑉. 
 
 
𝐸 = 
𝑝2
2 𝑚
 
 
 
 
𝐸 = 
(4,24 𝑥 10−25 𝑁. 𝑠)2
2 ∙ 9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔
= 𝟗, 𝟖𝟕 𝒙 𝟏𝟎−𝟐𝟎 𝑱 
 
 
 
𝑬 = 𝟎, 𝟔𝟏𝟕 𝒆𝑽 
 
 
 
2a) (1,0 ponto). Um feixe de elétrons é acelerado a partir do repouso por um diferença de potencial de 0,100 𝑘𝑉 
e então passa por uma fenda estreita. O feixe difratado apresenta seu segundo mínimo de difração com um 
ângulo de 21,5𝑜 com a direção original do feixe quando visto a uma longa distância da fenda. Calcule a largura 
da fenda. 
 
 
● Calculando o comprimento de onda do feixe de elétrons 
 
 = 
ℎ
√2 𝑚 ∙ 𝐸
= 
ℎ
√2 𝑚 ∙ 𝑒 ∙ 𝑉
= 
6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠
√2 ∙ 9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔 ∙ 1,6 𝑥 10−19 𝐶 ∙ 0,100 𝑥 103 𝑉
= 𝟏, 𝟐𝟑 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝒎 
 
 
 
● Calculando a largura da fenda: 𝑚 = 2 → 𝜃 = 21,5𝑜 
 
𝑚 ∙  = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) → 𝑎 = 
2 ∙ 1,23 𝑥 10−10 𝑚
𝑠𝑒𝑛(21,50)
 
 
 
𝒂 = 𝟔, 𝟕𝟎 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FS4420 – Princípios de Física Moderna Prova P2 1º Sem./2017 
Continuação da questão 2) 
 
2b) (1,0 ponto). Se o feixe de elétrons do item anterior incide em uma barreira de potencial de largura 100 𝑝𝑚 
e energia 0,200 𝑘𝑒𝑉, calcule a probabilidade de tunelamento do elétron. 
 
𝑮 = 16 ∙
𝐸
𝑈𝑜
(1 − 
𝐸
𝑈𝑜
) = 16 ∙
0,100 𝑘𝑒𝑉
0,200 𝑘𝑒𝑉
(1 − 
0,100 𝑘𝑒𝑉
0,200 𝑘𝑒𝑉
) = 𝟒, 𝟎𝟎 
 
 
𝒌 = 
√2 𝑚 ∙ (𝑈𝑜 − 𝐸)

= 
√2 ∙ 9,11 𝑥 10−31(0,200 − 0,100) 𝑥 103 𝑒𝑉 ∙ 1,6 𝑥 10−19
1,06 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠
= 𝟓, 𝟎𝟗 𝒙 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝒎−𝟏 
 
 
𝑇 = 𝐺 ∙ 𝑒−2∙𝑘∙𝐿 = 4,00 ∙ 𝑒−2∙5,09 𝑥 10
10 𝑚−1∙100 𝑥 10−12 𝑚 
 
 
𝑻 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟒 
 
3) Um átomo de hidrogênio se encontra, inicialmente, no segundo estado excitado. A partir deste estado 
excitado, pedem-se: 
(a) (1,0 pontos). Qual o maior comprimento de onda 
do fóton que pode ser emitido pelo átomo? 
 
● Átomo de Hidrogênio: 𝑬𝒏 = 
𝑬𝟏
𝒏𝟐
 : 
 
𝐸1 = −13,6 𝑒𝑉; 𝐸2 = −3,40 𝑒𝑉; 𝐸3 = −1,51 𝑒𝑉 
 
● 𝒏𝒊 = 𝟑 (2º estado excitado): 
 
Emissão → 𝐸𝑓 < 𝐸𝑖 → 𝑛𝑓 < 𝑛𝑖 
 
↑ 𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛 ↓ |∆𝐸| 
 
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
ℎ ∙ 𝑐
|∆𝐸|
= 
ℎ ∙ 𝑐
|𝐸𝑓 − 𝐸𝑖|
= 
ℎ ∙ 𝑐
|𝐸2 − 𝐸3|
 
 
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉. 𝑚
|−3,40 − (−1,51)| 𝑒𝑉
 
 
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 = 𝟔, 𝟓𝟕 𝒙 𝟏𝟎
−𝟕 𝒎 
 
(b) (1,0 pontos). Qual o maior comprimento de onda 
do fóton que pode ser absorvido pelo átomo? 
 
● 𝒏𝒊 = 𝟑 (2º estado excitado): 
 
𝐸3 = −1,51 𝑒𝑉; 𝐸4 = −0,850 𝑒𝑉; 𝐸5 = −0,544 𝑒𝑉 
 
Absorção → 𝐸𝑓 > 𝐸𝑖 → 𝑛𝑓 > 𝑛𝑖 
 
↑ 𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛 ↓ |∆𝐸| 
 
 
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
ℎ ∙ 𝑐
|∆𝐸|
= 
ℎ ∙ 𝑐
|𝐸𝑓 − 𝐸𝑖|
= 
ℎ ∙ 𝑐
|𝐸4 − 𝐸3|
 
 
 
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉. 𝑚
|−0,850 − (−1,51)| 𝑒𝑉
 
 
 
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 = 𝟏, 𝟖𝟖 𝒙 𝟏𝟎
−𝟔 𝒎 
(c) (1,0 pontos). Se o átomo é atingido por um fóton de comprimento de onda 0,582 𝜇𝑚, qual será a energia 
de ionização do átomo? 
 
● Calculando a energia do fóton: 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = |∆𝐸| = 
ℎ∙𝑐
𝑓ó𝑡𝑜𝑛
= 
1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉.𝑚
0,582 𝑥 10−6 𝑚
= 2,134 𝑒𝑉 
 
● Calculando a energia final do elétron, sabendo que 𝑛𝑖 = 3 𝑒 𝐸𝑖 = 𝐸3 = −1,51 𝑒𝑉: 
 
𝐸𝑓 = 𝐸𝑖 + ∆𝐸 = −1,51 𝑒𝑉 + 2,134 𝑒𝑉 = 0,624 𝑒𝑉 > 0 
 
Quando 𝐸 > 0, o elétron não está ligado ao núcleo e o átomo está ionizado 
 
● Calculando a energia de ionização: 𝐸𝑖𝑜𝑛𝑖𝑧𝑎çã𝑜 + 𝐸𝑖 (𝑑𝑜 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 𝑛𝑜 á𝑡𝑜𝑚𝑜) = 0 → |𝐸𝑖𝑜𝑛𝑖𝑧𝑎çã𝑜| = |𝐸𝑖| = |𝐸3| 
 
𝑬𝒊𝒐𝒏𝒊𝒛𝒂çã𝒐 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒆𝑽 
 
FS4420 – Princípios de Física Moderna Prova P2 1º Sem./2017 
4a) (1,0 ponto). Qual deve ser a largura de um poço 
de potencial infinito unidimensional para que o 
elétron no segundo estado excitado tenha energia de 
8,40 𝑒𝑉? 
 
● Para 𝒏 = 𝟑 (2º estado excitado), 𝑬𝟑 = 𝟖, 𝟒𝟎 𝒆𝑽: 
 
 
𝐸𝑛 = 
𝑛2 ∙ ℎ2
8 𝑚 ∙ 𝐿2
 → 𝐿 = 
𝑛 ∙ ℎ
√8 𝑚 𝐸𝑛
 
 
 
𝐿 = 
3 ∙ 6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠
√8 ∙ 9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔 ∙ 8,40 𝑒𝑉 ∙ 1,6 𝑥 10−19
 
 
 
 
𝑳 = 𝟔, 𝟑𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝒎 
 
 
 
4b) (1,0 ponto). Para o mesmo estado excitado do 
item anterior, calcule a probabilidade de encontrar o 
elétron na posição 𝑥 = 2,17 × 10−10 𝑚, dentro de 
um intervalo 𝑑𝑥. 
 
 
●A probabilidade pedida é dada por: 
 
𝑃(𝑥) = |(𝑥)|2 ∙ 𝑑𝑥 =
2
𝐿
 𝑠𝑒𝑛2 (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
) ∙ 𝑑𝑥 
 
 
 
● Para 𝑛 = 3, 𝐿 = 6,36 𝑥 10−10𝑚 e 𝑥 = 2,17 × 10−10 𝑚 
tem-se: 
 
𝑃(𝑥) =
2
6,36 𝑥 10−10𝑚
 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 (
3 ∙ 𝜋 ∙ 2,17 𝑥 10−10
6,36 𝑥 10−10
) ∙ 𝑑𝑥 
 
 
𝑷(𝒙) = 𝟏, 𝟕𝟐 𝒙 𝟏𝟎𝟕(𝒎−𝟏) ∙ 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
4c) (1,0 ponto). Ainda com o elétron no mesmo estado excitado dos itens anteriores, calcule a probabilidade 
de encontrá-lo entre 
𝑳
𝟑
 ≤ 𝒙 ≤
𝑳
𝟐
. 
 
 
● Para n = 3 (segundo estado excitado), a função densidade de probabilidade |(𝑥)|2 tem a seguinte forma: 
 
 
 
 
● A probabilidade é numericamente igual à área sob a curva. Conforme a figura acima mostra, a área entre 
𝐿
3
 ≤ 𝑥 ≤
𝐿
2
 
representa 
1
6
 da área total sob a curva. Portanto: 
 
𝑃 (
𝐿
3
≤ 𝑥 ≤
𝐿
2
) = ∫ |(𝑥)|2 𝑑𝑥 = 
1
6
𝐿/2
𝐿/3
 
 
 
𝑷 (
𝑳
𝟑
≤ 𝒙 ≤
𝑳
𝟐
) = 
𝟏
𝟔
= 𝟎, 𝟏𝟔𝟕 
 
 
 
 
 
FS4420 – Princípios de Física Moderna Prova P2 1º Sem./2017 
 
FS4420 P2 – Rosa 02 / 06 / 2017 N
o Turma 
de Teoria: 
Os espaços abaixo são 
reservados para as notas 
NOME: 1) 
ASSINATURA: 2) 
Instruções Gerais: Prova sem consulta. Permitido o uso de 1 calculadora não alfa numérica. 
Respostas desacompanhadas de suas resoluções ou resoluções confusas NÃO serão consideradas. 
Respostas SEM justificativas plausíveis, quando solicitadas, NÃO serão consideradas. 
Responda as questões nos locais indicados. NÃO serão consideradas respostas fora desses locais. 
As unidades das grandezas DEVEM ser indicadas corretamente EM TODOS os valores calculados. 
Penalização de 0,2 ponto por unidade incorreta ou faltando em qualquer valor calculado. Duração: 80 min 
3) 
4) 
 
NOTA 
 
 
𝑐 =  𝑓 =
𝜔
𝑘
= 3 𝑥 108 
𝑚
𝑠
 
 
𝜇𝑜 = 4 𝜋 𝑥 10
−7 
𝐻
𝑚
 
 
𝜀𝑜 = 8,85 𝑥 10
−12 
𝐹
𝑚
 
 
𝑒 = 1,60 𝑥 10− 19 𝐶 
 
𝑚𝑒 = 9,11 𝑥 10
−31 𝑘𝑔 
 
𝑚𝑝 = 𝑚𝑛 = 1,67 𝑥 10
−27 𝑘𝑔 
 
 
1 𝑒𝑉 = 1,60 𝑥 10− 19 𝐽 
 
ℎ = 6,63 𝑥 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 
 
ℎ = 4,14 𝑥 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠 
 
 = 
ℎ
2 𝜋
= 1,06 𝑥 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 
 
 = 
ℎ
2 𝜋
= 0,659 𝑥 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠 
 
ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 𝑥 10−25 𝐽 ∙ 𝑚 
 
ℎ ∙ 𝑐 = 1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉 ∙ 𝑚 
 
 
𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙ 𝜆 
 
𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙ 𝜆 
 
𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = (𝑚 +
1
2
) ∙ 𝜆 
 
 
𝑦  𝑚 ∙
𝜆 ∙ 𝑥
𝑎
 
 
𝑦  𝑚 ∙
𝜆 ∙ 𝑥
𝑑
 
 
𝑦  (𝑚 +
1
2
) ∙ 
𝜆 ∙ 𝑥
𝑑
 
 
 
𝑇 = 𝐺 ∙ 𝑒−2∙𝑘∙𝐿 
 
𝐺 = 16 ∙
𝐸
𝑈𝑜
 (1 −
𝐸
𝑈𝑜
) 
 
𝑘 = 
√2 𝑚 ∙ (𝑈𝑜 − 𝐸)

 
 
∆𝑥 ∙ ∆𝑝 ≥  
 
 ∆𝐸 ∙ ∆𝑡 ≥  
 
 𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑣 =
ℎ

 
 
𝐿 = 𝑛 

2
; (𝑥) = √
2
𝐿
 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
) ; 𝐸𝑛 = 
𝑛2 ∙ ℎ2
8 𝑚 𝐿2
; 𝐸 = 
𝑝2
2 𝑚
= 
ℎ2
2 𝑚 2
; 𝐸𝑛 = − 
13,6
𝑛2
; ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ∙ 𝑑𝜃 = 
𝜃
2
−
1
4
𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 
 
 
𝐸 = 𝑛 ℎ 𝑓; 𝐾𝑚𝑎𝑥 = ℎ 𝑓 − 𝜙; 𝜙 = ℎ 𝑓𝑐; 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑉𝑜 =
1
2
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2 
 
O espaço abaixo é reservado para rascunhos. Cálculos e anotações feitas neste local não serão considerados na correção; 
 
Nº 
 Nº sequencial 
 
Faça as contas com todos os algarismos; 
Apresente as respostas finais com 3 algarismos significativos. 
FS4420 – Princípios de Física Moderna Prova P2 1º Sem./2017 
1) Suponha que um elétron esteja “preso” em uma dimensão e possa se mover apenas em uma região com 
∆𝑥 = 5,2 ∙ 10−10𝑚. 
(a) (1,0 ponto). Estime a incerteza mínima no 
componente 𝑥 da medida do momento linear do 
elétron. 
 
 
 
∆𝑥 ∙ ∆𝑝 ≥  
 
 
 
∆𝑝 ≥
1,06 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠
5,2 𝑥 10−10 𝑚 
 
 
 
 
∆𝒑𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 = 𝟐, 𝟎𝟒 𝒙 𝟏𝟎
−𝟐𝟓 𝑵. 𝒔 (𝑜𝑢 𝑘𝑔.
𝑚
𝑠
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) (1,0 ponto). Se o elétron possui um momento 
linear cujo módulo é igual ao valor calculado no item 
anterior, qual é sua energia cinética? Dê a resposta 
em 𝑒𝑉. 
 
 
𝐸 = 
𝑝2
2 𝑚
 
 
 
 
𝐸 = 
(2,04 𝑥 10−25 𝑁. 𝑠)2
2 ∙ 9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔
= 𝟐, 𝟐𝟖 𝒙 𝟏𝟎−𝟐𝟎 𝑱 
 
 
 
𝑬 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟑 𝒆𝑽 
 
 
 
2a) (1,0 ponto). Um feixe de elétrons é acelerado a partir do repouso por um diferença de potencial de 0,200 𝑘𝑉 
e então passa por uma fenda estreita. O feixe difratado apresenta seu segundo mínimo de difração com um 
ângulo de 11,5𝑜 com a direção original do feixe quando visto a uma longa distância da fenda. Calcule a largura 
da fenda. 
 
 
● Calculando o comprimento de onda do feixe de elétrons 
 
 = 
ℎ
√2 𝑚 ∙ 𝐸
= 
ℎ
√2 𝑚 ∙ 𝑒 ∙ 𝑉
= 
6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠
√2 ∙ 9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔 ∙ 1,6 𝑥 10−19 𝐶 ∙ 0,200 𝑥 103 𝑉
= 𝟖, 𝟔𝟖 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝒎 
 
 
 
● Calculando a largura da fenda: 𝑚 = 2 → 𝜃 = 11,5𝑜 
 
𝑚 ∙  = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) → 𝑎 = 
2 ∙ 8,68 𝑥 10−11 𝑚
𝑠𝑒𝑛(11,50)
 
 
 
𝒂 = 𝟖, 𝟕𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FS4420 – Princípios de Física Moderna Prova P2 1º Sem./2017 
Continuação da questão 2) 
 
2b) (1,0 ponto). Se o feixe de elétrons do item anterior incide em uma barreira de potencial de largura 15,0 𝑝𝑚 
e energia 0,400 𝑘𝑒𝑉, calcule a probabilidade de tunelamento do elétron. 
 
𝑮 = 16 ∙
𝐸
𝑈𝑜
(1 − 
𝐸
𝑈𝑜
) = 16 ∙
0,200 𝑘𝑒𝑉
0,400 𝑘𝑒𝑉
(1 − 
0,200 𝑘𝑒𝑉
0,400 𝑘𝑒𝑉
) = 𝟒, 𝟎𝟎 
 
𝒌 = 
√2 𝑚 ∙ (𝑈𝑜 − 𝐸)

= 
√2 ∙ 9,11 𝑥 10−31(0,400 − 0,200) 𝑥 103 𝑒𝑉 ∙ 1,6 𝑥 10−19
1,06 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠
= 𝟕, 𝟐𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝒎−𝟏 
 
𝑇 = 𝐺 ∙ 𝑒−2∙𝑘∙𝐿 = 4,00 ∙ 𝑒−2∙7,20 𝑥 10
10 𝑚−1∙15,0 𝑥 10−12 𝑚 
 
𝑻 = 𝟎, 𝟒𝟔𝟏 
 
3) Um átomo de hidrogênio se encontra, inicialmente, no segundo estado excitado. A partir deste estado 
excitado, pedem-se: 
(a) (1,0 pontos). Qual o maior comprimento de onda 
do fóton que pode ser emitido pelo átomo? 
 
● Átomo de Hidrogênio: 𝑬𝒏 = 
𝑬𝟏
𝒏𝟐
 : 
 
𝐸1 = −13,6 𝑒𝑉; 𝐸2 = −3,40 𝑒𝑉; 𝐸3 = −1,51 𝑒𝑉 
 
 
● 𝒏𝒊 = 𝟑 (2º estado excitado): 
 
Emissão → 𝐸𝑓 < 𝐸𝑖 → 𝑛𝑓 < 𝑛𝑖 
 
↑ 𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛 ↓ |∆𝐸| 
 
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
ℎ ∙ 𝑐
|∆𝐸|
= 
ℎ ∙ 𝑐
|𝐸𝑓 − 𝐸𝑖|
= 
ℎ ∙ 𝑐
|𝐸2 − 𝐸3|
 
 
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉. 𝑚
|−3,40 − (−1,51)| 𝑒𝑉
 
 
 
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 = 𝟔, 𝟓𝟕 𝒙 𝟏𝟎
−𝟕 𝒎 
 
(b) (1,0 pontos). Qual o maior comprimento de onda 
do fóton que pode ser absorvido pelo átomo? 
 
● 𝒏𝒊 = 𝟑 (2º estado excitado): 
 
𝐸3 = −1,51 𝑒𝑉; 𝐸4 = −0,850 𝑒𝑉; 𝐸5 = −0,544 𝑒𝑉 
 
 
Absorção → 𝐸𝑓 > 𝐸𝑖 → 𝑛𝑓 > 𝑛𝑖 
 
↑ 𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛 ↓ |∆𝐸| 
 
 
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
ℎ ∙ 𝑐
|∆𝐸|
= 
ℎ ∙ 𝑐
|𝐸𝑓 − 𝐸𝑖|
= 
ℎ ∙ 𝑐
|𝐸4 − 𝐸3|
 
 
 
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉. 𝑚
|−0,850 − (−1,51)| 𝑒𝑉
 
 
 
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 = 𝟏, 𝟖𝟖 𝒙 𝟏𝟎
−𝟔 𝒎 
(c) (1,0 pontos). Se o átomo é atingido por um fóton de comprimento de onda 0,582 𝜇𝑚, qual será a energia 
de ionização do átomo? 
 
● Calculando a energia do fóton: 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = |∆𝐸| = 
ℎ∙𝑐
𝑓ó𝑡𝑜𝑛
= 
1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉.𝑚
0,582 𝑥 10−6 𝑚
= 2,134 𝑒𝑉 
 
● Calculando a energia final do elétron, sabendo que 𝑛𝑖 = 3 𝑒 𝐸𝑖 = 𝐸3 = −1,51 𝑒𝑉: 
 
𝐸𝑓 = 𝐸𝑖 + ∆𝐸 = −1,51 𝑒𝑉 + 2,134𝑒𝑉 = 0,624 𝑒𝑉 > 0 
 
Quando 𝐸 > 0, o elétron não está ligado ao núcleo e o átomo está ionizado 
 
● Calculando a energia de ionização: 𝐸𝑖𝑜𝑛𝑖𝑧𝑎çã𝑜 + 𝐸𝑖 (𝑑𝑜 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 𝑛𝑜 á𝑡𝑜𝑚𝑜) = 0 → |𝐸𝑖𝑜𝑛𝑖𝑧𝑎çã𝑜| = |𝐸𝑖| = |𝐸3| 
 
𝑬𝒊𝒐𝒏𝒊𝒛𝒂çã𝒐 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒆𝑽 
 
FS4420 – Princípios de Física Moderna Prova P2 1º Sem./2017 
4a) (1,0 ponto). Qual deve ser a largura de um poço 
de potencial infinito unidimensional para que o 
elétron no segundo estado excitado tenha energia de 
4,80 𝑒𝑉? 
 
 
● Para 𝒏 = 𝟑 (2º estado excitado), 𝑬𝟑 = 𝟒, 𝟖𝟎 𝒆𝑽: 
 
 
𝐸𝑛 = 
𝑛2 ∙ ℎ2
8 𝑚 ∙ 𝐿2
 → 𝐿 = 
𝑛 ∙ ℎ
√8 𝑚 𝐸𝑛
 
 
 
𝐿 = 
3 ∙ 6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠
√8 ∙ 9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔 ∙ 4,80 𝑒𝑉 ∙ 1,6 𝑥 10−19
 
 
 
 
𝑳 = 𝟖, 𝟒𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝒎 
 
 
4b) (1,0 ponto). Para o mesmo estado excitado do 
item anterior, calcule a probabilidade de encontrar o 
elétron na posição 𝑥 = 1,25 × 10−10 𝑚, dentro de 
um intervalo 𝑑𝑥. 
 
 
● A probabilidade pedida é dada por: 
 
𝑃(𝑥) = |(𝑥)|2 ∙ 𝑑𝑥 =
2
𝐿
 𝑠𝑒𝑛2 (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
) ∙ 𝑑𝑥 
 
 
 
● Para 𝑛 = 3, 𝐿 = 8,41 𝑥 10−10𝑚 e 𝑥 = 1,25 × 10−10 𝑚 
tem-se: 
 
𝑃(𝑥) =
2
8,41 𝑥 10−10𝑚
 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 (
3 ∙ 𝜋 ∙ 1,25 𝑥 10−10
8,41 𝑥 10−10
) ∙ 𝑑𝑥 
 
 
𝑷(𝒙) = 𝟐, 𝟑𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟗(𝒎−𝟏) ∙ 𝒅𝒙 
 
 
 
 
 
 
4c) (1,0 ponto). Ainda com o elétron no mesmo estado excitado dos itens anteriores, calcule a probabilidade 
de encontrá-lo entre 
𝑳
𝟔
 ≤ 𝒙 ≤
𝑳
𝟑
. 
 
 
● Para n = 3 (segundo estado excitado), a função densidade de probabilidade |(𝑥)|2 tem a seguinte forma: 
 
 
 
 
● A probabilidade é numericamente igual à área sob a curva. Conforme a figura acima mostra, a área entre 
𝐿
6
 ≤ 𝑥 ≤
𝐿
3
 
representa 
1
6
 da área total sob a curva. Portanto: 
 
𝑃 (
𝐿
6
≤ 𝑥 ≤
𝐿
3
) = ∫ |(𝑥)|2 𝑑𝑥 = 
1
6
𝐿/3
𝐿/6
 
 
 
𝑷 (
𝑳
𝟑
≤ 𝒙 ≤
𝑳
𝟐
) = 
𝟏
𝟔
= 𝟎, 𝟏𝟔𝟕