EXECIRCIOS DE COMPUTACAO GRAFICA

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CARIOCA COMPUTAÇÃO GRÁFICA 
 
Catiúscia A. B. Borges 1 
Lista de Exercícios de Coordenadas Homogêneas - Gabarito 
 
1) Determine a configuração das seguintes operações em coordenadas em homogêneas: 
 
a) Translado em duas unidades para esquerda e uma para baixo: 
𝑇(−2; −1) = [
1 0 0
0 1 0
−2 −1 1
] 
 
b) Translado em uma unidade para direita e uma para cima: 
𝑇(2; 1) = [
1 0 0
0 1 0
2 1 1
] 
 
c) Escala que triplica o objeto: 
𝑆(3; 3) = [
3 0 0
0 3 0
0 0 1
] 
 
d) Escala que da a terça parte do objeto: 
𝑆(1 3⁄ ;
1
3⁄ ) = [
1
3⁄ 0 0
0 1 3⁄ 0
0 0 1
] 
 
e) Rotação em 90º para esquerda: 
𝑅𝐴𝐻(90°) = [
cos 90° sen 90° 0
−sen 90° cos 90° 0
0 0 1
] = [
0 1 0
−1 0 0
0 0 1
] 
 
f) Rotação em 90º para direita: 
𝑅𝐻(90°) = [
cos 90° −sen 90° 0
sen 90° cos 90° 0
0 0 1
] = [
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
] 
 
g) Reflexão no Eixo x: 
𝐸𝑥 = [
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
] 
 
h) Reflexão no Eixo y: 
𝐸𝑦 = [
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
i) Reflexão no Quadrante oposto: 
𝐸𝑥𝑦 = [
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
] 
 
 
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j) Mostre por associação de matrizes que as operações descritas em a) e b), se aplicadas juntas 
fazem com que o objeto se mantenha na mesma localização geométrica. 
 
Para determinar matriz operação por associação de Matrizes (𝑂𝑝) basta realizarmos 
𝑇(−2−; 1) ∗ 𝑇(2; 1) 
𝑂𝑝 = 𝑇(−2−; 1) ∗ 𝑇(2; 1) = [
1 0 0
0 1 0
−2 −1 1
] ∗ [
1 0 0
0 1 0
2 1 1
] = 
= [
1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0
−2 + 0 + 2 0 − 1 + 1 1 + 0 + 0
] = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
Observe que a matriz 𝑂𝑝 é a matriz identidade (elemento neutro do produto entre matrizes). 
 
k) Mostre por associação de matrizes que as operações descritas em c) e d), se aplicadas juntas 
fazem com que o objeto se mantenha na mesma localização geométrica. 
 
Para determinar matriz operação por associação de Matrizes (𝑂𝑝) basta realizarmos 
𝑆(3; 3) ∗ 𝑆(1 3⁄ ;
1
3⁄ ) 
𝑂𝑝 = 𝑆(3; 3) ∗ 𝑆(1 3⁄ ;
1
3⁄ ) = [
3 0 0
0 3 0
0 0 1
] ∗ [
1
3⁄ 0 0
0 1 3⁄ 0
0 0 1
] = 
= [
1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 0 + 1 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 1 + 0 + 0
] = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
Observe que a matriz 𝑂𝑝 é a matriz identidade (elemento neutro do produto entre matrizes). 
 
l) Mostre por associação de matrizes que as operações descritas em e) e f), se aplicadas juntas 
fazem com que o objeto se mantenha na mesma localização geométrica. 
 
Para determinar matriz operação por associação de Matrizes (𝑂𝑝) basta realizarmos 
𝑅𝐴𝐻(90°) ∗ 𝑅𝐻(90°) 
𝑂𝑝 = 𝑅𝐴𝐻(90°) ∗ 𝑅𝐻(90°) = [
0 1 0
−1 0 0
0 0 1
] [
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
] = 
= [
0 + 1 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 1 + 0 + 0
] = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
Observe que a matriz 𝑂𝑝 é a matriz identidade (elemento neutro do produto entre matrizes). 
 
m) Mostre por associação de matrizes que as operações descritas em g), h) e i), se aplicadas 
juntas fazem com que o objeto se mantenha na mesma localização geométrica. 
 
Para determinar matriz operação por associação de Matrizes (𝑂𝑝) basta realizarmos 
𝐸𝑥 ∗ 𝐸𝑦 ∗ 𝐸𝑥𝑦 
 
 
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𝑂𝑝 = 𝐸𝑥 ∗ 𝐸𝑦 ∗ 𝐸𝑥𝑦 = [
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
] [
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
] [
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
] = 
= [
−1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 −1 + 0 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 1 + 0 + 0
] [
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
] = [
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
] ∗ [
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
] = 
= [
1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 1 + 0 + 0
] = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
Observe que a matriz 𝑂𝑝 é a matriz identidade (elemento neutro do produto entre matrizes). 
 
2) Determine a configuração das operações para um objeto 3D: 
a) Translado em duas unidades para esquerda e uma para baixo e três pra frente: 
𝑇(−2; −1; 3) = [
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
−2 −1
1 0
3 1
] 
 
b) Escala que mantem o objeto em x, dobra em y e triplica em z: 
𝑆(1; 2; 3) = [
1 0
0 2
0 0
0 0
0 0
0 0
3 0
0 1
] 
 
c) Rotação e 90° no eixo z: 
𝑅𝑧(90°) = [
0 1
−1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
] 
 
3) Dadas as seguintes equações das retas, 𝑦1 = 2, 𝑦2 = 𝑥 + 5, 𝑦3 = −𝑥 + 5, os pontos definidos 
entre as retas determinam um objeto. Determine estes pontos, e monte uma matriz objeto em 
coordenadas homogêneas: 
 
Interseção dois a dois: 
i) 𝑦1 = 2 & 𝑦2 = 𝑥 + 5 => (−3; 2) 
ii) 𝑦1 = 2 & 𝑦3 = −𝑥 + 5 => (3; 2) 
iii) 𝑦2 = 𝑥 + 5 & 𝑦3 = −𝑥 + 5 => (0; 5) 
 
𝑂 = [
−3 2 1
3 2 1
0 5 1
] 
 
4) Seja um triangulo determinado em ℜ3, cujos pontos são (2,0,5) , (3,3,1) e (1,0,0). Neste objeto 
é feito um redimensionamento em função do seu centro geométrico, que dobra o tamanho do 
objeto. Determine a matriz operação que associa todas as operações: 
 
 
Pivô: 𝐴 = 
1
3
(2,0,5) + 
1
3
(3,3,1) +
1
3
(1,0,0) = 
1
3
(6,3,6) = (2,1,2) 
 
 
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𝑇(−2, −1, −2) ∗ 𝑆(2,2,2) ∗ 𝑇(2,1,2) = [
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
−2 −1
1 0
−2 1
] ∗ [
2 0
0 2
0 0
0 0
0 0
0 0
2 0
0 1
] ∗ [
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
2 1
1 0
2 1
] = 
 
= [
2 0
0 2
0 0
0 0
0 0
−4 −2
2 0
−4 1
] ∗ [
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
2 1
1 0
2 1
] = [
2 0
0 2
0 0
0 0
0 0
−2 −1
2 0
−2 1
] 
 
5) A circunferência definida por x² + y² = 9, deve ser exibida em uma janela no formato de um 
quadrado (12 x 12) com um vértice na origem e situado no primeiro quadrante. Que tipo de 
operação, ou operações devem ser realizadas para que o objeto possua seus extremos na 
janela? 
 
O diâmetro da circunferência dada é de 6 unidades, logo é necessário dobrar o objeto. 
𝑆(2; 2) = [
2 0 0
0 2 0
0 0 1
] 
 
Em seguida efetuar um translado de 6 unidade pra cima e 6 para direita 
𝑇(6; 6) = [
1 0 0
0 1 0
6 6 1
]