Cap 6 FS Cálculo Tabelas

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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: TABELAS – CAPÍTULO 6 
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos, Artur L. Sartorti 
13 março 2016 
 
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: TABELAS 
O emprego de tabelas facilita muito o cálculo de flexão simples em seção 
retangular. 
Neste capítulo será revisto o equacionamento na flexão simples, com o 
objetivo de mostrar a obtenção dos coeficientes utilizados nas tabelas, além de 
mostrar o uso dessas tabelas. 
6.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
Para o dimensionamento de peças na flexão simples, considera-se que as 
barras que constituem a armadura estão agrupadas, e se encontram concentradas 
no centro de gravidade dessas barras (Figura 6.1). 
d
h
d'
d"
A
A 's
s
bw
c =3,5‰
Md
3
2
1
Corte da seção transversal
Rs '
Vista lateral
s
s '
deformação
Diagrama de
tensão
Diagrama de
x
y=0,8x
cd
Rc
Rs
y/2
y/2
d
 
Figura 6.1 - Resistências e deformações na seção 
No Capítulo 5 foram deduzidas as equações para o dimensionamento 
conforme quatro situações. 
Situação i) Concretos C20 a C50 com seções onde a borda comprimida tem 
largura crescente ou constante 
068,0 ''  sssscdxw AAfdb  (1i) 
  )'(4,0168,0 ''
2 ddAfdbM ssxcdxwd   (2i) 
y = x 
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6.2 
Situação ii) Concretos C20 a C50 com seções onde a borda comprimida tem 
largura decrescente 
0612,0 ''  sssscdxw AAfdb  (1ii) 
  )'(4,01612,0 ''
2 ddAfdbM ssxcdxwd   (2ii) 
Situação iii) Concretos C55 a C90 com seções onde a borda comprimida tem 
largura crescente ou constante 
0
200
)50(
185,0
400
)50(
8,0 '' 











 





 
 ssss
ckck
cdxw AA
ff
fdb  (1iii) 
)'(
800
)50(
4,01
200
)50(
185,0
400
)50(
8,0
''
2
ddA
fff
fdbM
ss
x
ckckck
cdxwd













 












 





 



 (2iii) 
Situação iv) Concretos C55 a C90 com seções onde a borda comprimida tem 
largura decrescente 
0
200
)50(
1765,0
400
)50(
8,0 '' 











 





 
 ssss
ckck
cdxw AA
ff
fdb  (1iv) 
)'(
800
)50(
4,01
200
)50(
1765,0
400
)50(
8,0
''
2
ddA
fff
fdbM
ss
x
ckckck
cdxwd













 












 





 



 (2iv) 
6.1.1 Armadura Simples 
No caso de armadura simples, considera-se A’s = 0; portanto, as equações 
1i a 2iv se reduzem a: 
Situação i 
068,0  sscdxw Afdb 
 (1i*) 
 xcdxwd fdbM   4,0168,0 2 (2i*) 
Situação ii 
0612,0  sscdxw Afdb 
 (1ii*) 
 xcdxwd fdbM   4,01612,0 2 (2ii*) 
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6.3 
Situação iii 
0
200
)50(
185,0
400
)50(
8,0 











 





 
 ss
ckck
cdxw A
ff
fdb  (1iii*) 











 












 





 
 x
ckckck
cdxwd
fff
fdbM 
800
)50(
4,01
200
)50(
185,0
400
)50(
8,02
 (2iii*) 
Situação iv 
0
200
)50(
1765,0
400
)50(
8,0 











 





 
 ss
ckck
cdxw A
ff
fdb  (1iv*) 











 












 





 
 x
ckckck
cdxwd
fff
fdbM 
800
)50(
4,01
200
)50(
1765,0
400
)50(
8,02
 (2iv*) 
6.1.2 Armadura Dupla 
Para armadura dupla tem-se A’s  0, sendo válidas as equações 1i a 2iv. 
Quando, por razões construtivas, se tem uma peça cuja seção não pode ser 
aumentada, e seu dimensionamento não é possível nos domínios 2 e 3, resultando 
portanto no domínio 4, torna-se necessária a utilização de armadura dupla, uma 
parte da qual se posiciona na zona tracionada, e outra parte, na zona comprimida da 
peça, ajudando o concreto a resistir compressão. O objetivo da armadura dupla, 
neste caso, e fazer com que a seção permaneça no domínio 3. 
Portanto, para o cálculo dessa armadura, limita-se o valor de x em x34 e 
calcula-se o momento fletor máximo (M1) que a peça resistiria com armadura 
simples. Com este valor, calcula-se a correspondente área de aço tracionado (As1). 
Como este valor do momento (M1) é ultrapassado, calcula-se uma seção 
fictícia com armadura dupla e sem concreto, parte comprimida e parte tracionada, 
para resistir o restante do momento (M2), obtendo-se a parcela As2 da armadura 
tracionada e a armadura A’s comprimida. No final, somam-se as duas armaduras 
tracionadas, calculadas separadamente. 
 
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6.4 
6.2 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE 
Para a resolução das equações de equilíbrio de forças e de momentos, 
necessita-se de equações que relacionem a posição da linha neutra e as 
deformações no aço e no concreto. Tais relações podem ser obtidas com base na 
Figura 6.2. 
c
'
s
d
x
d'
s
 
Figura 6.1 – Deformações no concreto e no aço 
)'dx(
'
)xd(x
ssc







 
)d/'d(
'
)1( x
s
x
s
x
c








 (3) 
sc
c
x



 (3a) 
x
xc
s
)1(



 (3b) 
x
xc
s
)d/'d(
'



 (3c) 
6.3 TABELAS PARA ARMADURA SIMPLES 
Para facilitar o cálculo feito manualmente, pode-se desenvolver tabelas com 
coeficientes que reduzirão o tempo gasto no dimensionamento. Esses coeficientes 
serão vistos a seguir. 
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6.5 
6.3.1 Coeficiente kc 
Por definição: 
d
c
M
bd
k
2

 
Situação i 
 xcdxd
c
fM
bd
k   4,01.68,0
12
 (4) 
Situação ii 
 xcdxd
c
fM
bd
k   4,01.612,0
12
 (5) 
Situação iii 











 












 





 


x
ckckck
cdx
d
c
fff
f
M
bd
k

800
)50(
4,01
200
)50(
185,0
400
)50(
8,0
12 
(6) 
Situação iv 











 












 





 


x
ckckck
cdx
d
c
fff
f
M
bd
k

800
)50(
4,01
200
)50(
1765,0
400
)50(
8,0
12 
(7) 
 
Portanto, kc = f (x, fcd), sendo fcd = fck / c 
6.3.2 Coeficiente ks 
Este coeficiente é definido pela expressão: 
d
s
s
M
dA
k 
 
Situação i 
sscdxw Afdb  68,0
 
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6.6 
 xssd dAM   4,01
 
 xsd
s
s
M
dA
k   4,01
1
 
Como nos domínios 2 e 3 
yds f
 em todas as quatro situações. 
 xydd
s
s
fM
dA
k

4,01
1
 (8) 
Situação ii 
sscdxw Afdb  612,0
 
 xssd dAM   4,01
 
 xydd
s
s
fM
dA
k  4,01
1
 (9) 
Situação iii 
ss
ckck
cdxw A
ff
fdb  











 





 

200
)50(
185,0
400
)50(
8,0
 











 
 x
ck
ssd
f
dAM 
800
)50(
4,01
 











 


x
ck
yd
d
s
s
f
f
M
dA
k

800
)50(
4,01
1 (10) 
Situação iv 
ss
ckck
cdxw A
ff
fdb  











 





 

200
)50(
1765,0
400
)50(
8,0
 











 
 x
ck
ssd
f
dAM 
800
)50(
4,01
 











 


x
ck
yd
d
s
s
f
f
M
dA
k

800
)50(
4,01
1 
Portanto, ks = f (x, s); nos domínios 2 e 3. 
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6.7 
Os valores de kc e de ks encontram-se no Capítulo 6a. 
6.4 TABELAS PARA ARMADURA DUPLA 
Assim como para armadura simples, também foram desenvolvidas tabelas 
para facilitar o cálculo de seções com armadura dupla. 
De acordo com a decomposição da seção (Figura 6.3), tem-se: 
d'
b
A A
A'
M = M + M1 2
 +
Seção 1 Seção 2
dh d - d'
A
A's
s
d
s1 s2
s
 
Figura 6.2 – Decomposição da seção para cálculo com armadura dupla 
Seção 1: Resiste ao momento máximo com armadura simples. 
M1 = b d² / kclim, em que kclim é o valor de kc para x = x34 
As1 = kslim M1 / d 
Seção 2: Seção sem concreto que resiste ao momento restante. 
M2 = Md – M1 
M2 = As2 fyd (d – d’) = A’s ’s (d – d’) 
6.4.1 Coeficiente ks2 
Da equação de equilíbrio da seção 2, resulta: 
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6.8 
d'd
M
f
1
A 2
yd
s2


 
Fazendo 
yd
s2
f
1
k 
, tem-se: 
d'd
M
kA 2s2s2


, com ks2 = f (fyd) 
6.4.2 Coeficiente k’s 
De modo análogo ao do item anterior, obtém-se: 
'dd
M
'
1
'A 2
s
s


 
Fazendo 
s
s
'
1
k'


, tem-se: 
'dd
M
'k'A 2ss


, com k’s = f (’s) 
Nota-se que k’s depende da tensão que se desenvolve na armadura A’s. 
Seja a Figura 6.4 na qual é representado o diagrama de deformações da 
seção transversal no limite dos domínios 3-4. 
As'
As
 cu
 s'
0
xL
im
34
 yd s =
d'
d h
 
Figura 6.4 – Deformações na seção transversal no limite 3-4 
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6.9 
Observa-se que a deformação 
's
 pode ser obtida por relação de triângulos 
em função de 
cu
. 
A Tabela 6.1 apresenta os valores de 
cu
 para os diversos concretos. 
Tabela 6.1 – Valores de 
cu
. 
ckf
 (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
)( 000cu
 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,1 2,9 2,7 2,7 2,6 2,6 2,6 2,6 
 
34
34
'
34
'
34
)'(
' Lim
Limcu
s
Lim
s
Lim
cu
x
dx
dxx





 
Sendo 
d
xLim
xLim
34
34 
 tem-se: 
d
d
d
dd
xLim
cu
cu
xLim
xLimcu
s






3434
34
'
')'(



 
6.4.3 Armadura Total 
As tabelas com os coeficientes 
s2k
 e 
sk'
 encontram-se no Capítulo 6a. 
Armadura tracionada: As = As1 + As2 
Armadura comprimida: A’s 
6.5 EXEMPLOS 
Apresentam-se alguns exemplos sobre o cálculo de flexão simples. 
6.5.1 EXEMPLO 1 
Calcular a área de aço (As) para uma seção retangular. Dados: 
Concreto C25, aço CA-50, b = 30 cm, h = 45 cm, Mk = 170 kN.m, 
h – d = 4 cm 
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6.10 
Solução: 
d = 45 – 4 = 41 cm 
kc = bd² = 30 . 41² _ = 2,1  ks = 0,029 
Md 1,4 . 17000 
ks = As 
 Md 
As = 0,029 . 1,4 . 17000 / 41 As = 16,83 cm² 
6.5.2 EXEMPLO 2 
Mesma seção do exemplo anterior, para Mk = 309 kN.m e armadura dupla. 
Dados: d’ = 4 cm, x = x34 
cmkN
k
bd
M
c
.28017
8,1
4130 2
lim
2
1 


 
21
1 18,21
41
28017
031,0 cm
d
M
kA ss 
 
M2 = Md – M1 = 1,4 . 30900 – 28017 = 15243 kN.cm 
22
22 48,9
441
15243
023,0
'
cm
dd
M
kA ss 




 
248,9'023,0'09,0
45
4'
cmsAk
h
d
s 
 
As = As1 + As2 = 21,18 + 9,48 = 30,66 cm² 
As : 6 Ø 25 (Ase = 30 cm²) 2 camadas 
 8 Ø 22,2 (Ase = 31,04 cm²) 2 camadas 
A’s : 2 Ø 25 (Ase = 10 cm²) 
 3 Ø 20 (Ase = 9,45 cm²) 
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6.11 
 
Solução adotada (Figura 6.5): 
 
Figura 6.5 – Detalhamento da seção retangular 
QUESTIONÁRIO 
1) Quais as equações de equilíbrio para armadura simples em seção retangular? 
2) Como se determinam as expressões de kc e ks para elaboração das tabelas? 
3) Como se decompõe uma seção retangular com armadura dupla para cálculo 
usando tabelas? Qual o significado das seções 1 e 2? 
4) Como se determina o momento na seção 1 e a correspondente armadura As1? 
5) Como se calcula M2? 
6) Como são obtidos os valores de ks2 e As2? 
7) E de k’s e A’s? 
8) Como se obtém a armadura total, tracionada e comprimida? 
 
REFERÊNCIA 
PINHEIRO, L. M. (2004). Tabelas gerais. Disponíveis no site: 
www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto. Acesso em 19 abril 2012.