Apostila Cálculo II

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NOTAS DE AULA – CÁLCULO II
ÍNDICE
1. Funções Vetoriais
1.1 - Cálculo Vetorial: funções a valores vetoriais
1.2 - Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais
1.3 - Coordenadas polares
1.3.1. Definição
1.3.2. Equação polar de uma reta
1.4 - Curvas no espaço: vetor tangente, vetor normal, velocidade, aceleração e curvatura
1.5 - Exercícios
2. Funções de várias variáveis e suas derivadas
2.1 - Diferenciação parcial
2.1.1 – Considerações Importantes
2.1.2 – Significado geométrico da derivada parcial
2.2 - Diferenciação total ou exata
2.3 - Diferenciação da função composta (Regra da cadeia) 
2.4 - Derivadas de ordem superior
2.5 - Exercícios
ÍNDICE
3. Integrais Múltiplas
3.1 - Integrais duplas
3.2 - Integrais duplas na forma polar
3.3 - Integrais triplas
3.4 - Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas
3.5 - Integrais de Linha de campos escalares.
3.6 - Exercícios
4. Campos Vetoriais
4.1 - Integrais de linha para campos vetoriais
4.2 - Operadores Diferenciais
4.2.1 - Derivada Direcional
4.3 – Teorema de Green
4.4 - Exercícios
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Unidade 1. Funções Vetoriais
1.1 - Cálculo Vetorial: funções a valores vetoriais
1.2 - Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais
1.3 - Coordenadas polares
1.3.1. Definição
1.3.2. Equação polar de uma reta
1.4 - Curvas no espaço: vetor tangente, vetor normal, velocidade, aceleração e curvatura
1.5 - Exercícios
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1. Funções Vetoriais
1.1 - Funções Vetoriais e Curvas no Espaço
Em geral uma função é uma regra que associa a cada elemento de seu domínio um único
elemento de sua imagem.
Estabelecendo que, para cada valor do parâmetro t, exista um único vetor posição r(t) que
determina a posição da partícula em cada instante, podemos entender essa correspondência como
uma função cujo domínio é um conjunto de números reais (os valores permitidos para t) e cuja
imagem é um conjunto de vetores. Uma função deste tipo é dita uma função vetorial ou uma função
de valor vetorial.
O conceito de função vetorial pode ser empregado para estudar movimentos de partículas
no espaço. Como sabemos, para determinar a posição de um ponto no espaço, precisamos de um
terno ordenado de números reais (x, y, z) que são as suas coordenadas. Da mesma forma, a posição
de uma partícula que se desloca no espaço será determinada por três funções coordenadas x = f(t) , y
= g(t) e z = h(t) que definem a posição da partícula em cada instante de tempo t. Chamando de i , j ,
k os vetores unitários nas direções dos respectivos eixos coordenados x , y e z , i.e., i = < 1, 0, 0 >, j
= < 0, 1, 0 > e k = < 0, 0, 1 >, o vetor posição é determinado pela equação vetorial (t) = f(t) i + g(t)
j + h(t) k.
1. Funções Vetoriais
Se uma partícula se desloca no espaço com trajetória descrita por este
vetor, então o caminho percorrido por ela durante o seu movimento define uma curva
no espaço ou uma curva espacial cuja parametrização é dada pela equação anterior.
Se considerarmos a função vetorial r(t) = < f(t), g(t), h(t) > , então r(t) é um vetor de
posição do ponto P = (f(t), g(t), h(t)) sobre uma curva C. Assim, qualquer função
vetorial define uma curva espacial C que é traçada pela ponta do vetor r(t) em
movimento, como é ilustrado na figura no próximo slide.
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1.2 - Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais q
ação Vetorial e Equações Paramétricas da Reta
No plano, uma reta pode ser determinada sendo conhecidos um de seus
pontos e a sua inclinação (direção). A equação da reta pode então ser escrita
utilizando-se a forma ponto-inclinação.
Da mesma maneira, uma reta no espaço fica determinada quando
conhecemos um de seus pontos e a sua direção. O problema nesse caso é como
determinar a direção da reta. Esse problema é facilmente resolvido usando-se o que
aprendemos sobre vetores: a direção de uma reta, em duas ou três dimensões, pode ser
descrita de uma forma muito conveniente por um vetor, como faremos a seguir.
Considere uma reta L, um ponto Po = (xo, yo, zo) pertencente a L e um
vetor v , paralelo a L. Determinar a equação da reta L é equivalente a determinar as
coordenadas de um ponto arbitrário P de coordenadas ( x , y , z ) em L. Para isso,
vamos considerar os vetores ro e r , como os vetores posição de Po e de P,
respectivamente. Isto é, se O é a origem do sistema de coordenadas tridimensionais
considerado, ro = OPo e r = OP.
Se a é o vetor com representante PoP, como mostra a figura do próximo
slide, pela regra do trapézio para subtração de vetores temos a = r - ro , isto é, r = ro +
a . Mas, como a e v são vetores paralelos, então a é um múltiplo escalar de v , isto é, a
= tv onde t é um número real. Assim, r = ro + tv , que é a equação vetorial da reta L.
Repare que dessa maneira, obtemos as coordenadas do vetor r e, conseqüentemente,
as coordenadas do ponto P sobre a reta, em função das coordenadas do ponto Po, cujo
vetor posição é ro , e do vetor v , que determina a direção da reta L. Cada valor do
parâmetro t fornece um vetor posição r de um ponto de L.
1.2 - Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais q
ação Vetorial e Equações Paramétricas da Reta
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1.2.1. Equações paramétricas
Podemos escrever a equação vetorial r = ro + t v em termos das
coordenadas dos vetores r , ro e v . Assim, como r = < x , y , z >, ro = < xo , yo , zo >,
se v = < a , b , c >, a equação vetorial se torna:
< x, y , z > = < xo + ta , yo + tb , zo + tc >
Como a igualdade de vetores implica na igualdade de seus correspondentes
componentes, da equação vetorial acima resulta três equações escalares:
x = xo + at ; y = yo + bt ; z = zo + tc , onde t é um número real.
As equações escalares acima são chamadas equações paramétricas da reta
L que passa pelo ponto Po = (xo , yo , zo) e é paralela ao vetor v = < a , b , c > . Cada
valor do parâmetro t fornece um ponto P ( x , y , z ) da reta L.
EXERCÍCIOS 1 a 3
1.2.2 - Derivadas de funções vetoriais
Definição: Seja uma função vetorial, ela é derivável ou tem derivada, se as derivadas
das componentes x(t),y(t),z(t) estão bem definidas para todo t do domínio de r(t)
1.2.2.1. Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial.
1.2.2.1.1. Vetor tangente à trajetória e velocidade
Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3 . A
função r’(t) é a velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória
espacial descrita pela partícula (para cada instante do tempo t).
Em outras palavras, dada uma equação y = f(x), a reta tangente à f(x) no
ponto x = x0, será dada por:
y – f(x0) = (x – x0)f’(x0) ou y = ax + b, onde a = f’(x0) e b = f(x0) -
x0f’(x0)
Sendo a curva descrita da forma r(t) = (x(t), y(t)) sua reta tangente em t =
t0 é dada da forma
y – y(t0) = (x – x(t0))y’(t0) ou y = ax + b, onde a = y’(t0) e b = y(t0) –
x(t0)y’(t0)
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Se a equação da reta estiver da forma paramétrica, a equação da reta
tangente será:
x(t) = x(t0) + tdx(t0) y(t) = y(t0) + tdy(t0)
dt dt
1.2.2.1.2. Vetor normal à trajetória
Seja f(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3,
logo T(t) = f’(t) / |f’(t)| é vetor unitário tangente à f(t) . A função N(t) = T’(t) / |T’(t)|
representa um vetor normal à trajetória espacial descrita pela partícula (para
cada instante do tempo t).
1.2.2.1.3. Vetor tangente e normal à curva
Concluindo, dada uma curva parametrizada r(t), temos:
- T(to) = r’(to) / |r’(to) |, tangente a r(t) em t = to;
- N(to) = T’(to) / |T(to)|, normal a r(t) em t = to;
EM OUTRAS PALAVRAS, O VETOR NORMAL A
UMA CURVA É O VERSOR DA DERIVADA DO VERSOR DO
VETOR TANGENTE A ESSA CURVA (resolver exercício 1.6)
1.2.2.2 – Regras de derivação de funções vetoriais
Seja u,v funções vetoriais de variável real t; a e b são números reais,e f(t),g(t) são
funções reais de variável real t.
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1.2.3 - Integral de uma função vetorial
Seja f(t) =(x(t),y(t),z(t)) uma função vetorial, se as componentes de f são integráveis 
sobre I=[a,b], então:
��������	
���
���	�	��������	��	�
����	�����	����	������	���������
 �!"#$#�
1.2.3.1 - Comprimento de arco para curvas lisas
Quando uma partícula percorre uma determinada trajetória no espaço, ela
descreve uma curva, o comprimento desta curva entre dois instantes dado t0 e t1 se
denomina comprimento de arco, esse comprimento “L” será determinado através da
seguinte fórmula:
O comprimento “L” de uma curva r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t
[a,b] é
EXERCÍCIOS 7 e 8
∈
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1.3 - Coordenadas polares
1.3.1. Definição: Um sistema de coordenadas polares Oρθ no plano consiste de um ponto O,
denominado pólo ou origem, de uma semi-reta OA, com origem em O, denominada eixo-
polar, e de uma unidade de comprimento utilizada para medir a distância de O a um ponto
qualquer do plano.
Dado um ponto P do plano, suas coordenadas nesse sistema são dois valores ρ e θ, sendo
ρ a distância de P a O e θ a medida do ângulo do eixo-polar (OA) para a semi-reta OP.
Escrevemos então (Figura 1):
P = (ρ; θ)
Comentários
I. A primeira coordenada polar ρ, de um ponto distinto do pólo, é sempre maior que zero,
pois representa a distância do ponto ao pólo. Mas podemos tomar também valores negativos
para ρ, convencionando-se, neste caso, marcar a distância |ρ| na semireta oposta, ou seja, o
ponto P = (ρ, θ), com ρ < 0, corresponde ao ponto P = (-ρ, θ + pi).
II. Se a primeira coordenada polar de um ponto é zero então esse ponto é o pólo. O ângulo
do pólo não está definido.
III. Podemos também usar a medida radianos para os ângulos.
IV. O par (ρ, θ) determina, de maneira única, um ponto do plano. No entanto, um ponto no
plano pode ser determinado por meio de várias coordenadas polares distintas, pois, de
acordo com a construção acima, as medidas θ e θ + 2kpi, onde k é inteiro, estão associadas ao
mesmo ângulo e, portanto, (ρ, θ) e (ρ, θ + 2kpi) representam o mesmo ponto do plano.
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1.3.2. Equação polar de uma reta
Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano. Sejam r uma reta que não
passa pelo pólo O, λ a distância de r ao pólo e α o ângulo que o eixo-polar forma
com a semi-reta de origem no pólo que é perpendicular a r. Então um ponto P de
coordenadas polares (ρ; θ) pertence a r se, e somente se:
1.4 - Curvas no espaço: vetor tangente, velocidade e aceleração,
curvatura e vetor normal
1.4.1. Vetor tangente, velocidade e aceleração (ver 1.2.2.1. Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial)
Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3 . A função r’(t) é a
velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula
(para cada instante do tempo t). E a função r’’(t) é a aceleração da partícula (para cada
instante do tempo t)
1.4.2. Vetor normal à curva
Dada uma curva plana parametrizada da forma r(t) = (x(t); y(t)), sua tangente unitária será
dada por T(t) = r’(t) / |r’(t)|. O vetor unitário normal a r(t) será dado por n(t) = T’(t) / |T’(t)|
1.4.3. Curvatura
Dada uma curva plana parametrizada por (x(t); y(t)), o seu vetor velocidade v = x’i + y’j
forma um certo ângulo θ(t) com a horizontal (eixo Ox). Definimos a curvatura desta curva
plana num determinado ponto como a taxa de variação deste ângulo por unidade de
comprimento medida na curva, isto é,
Exercício 9 e 10
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1.5. Exercícios
1. Determine a equação vetorial e paramétrica de uma reta que passa pelo ponto (−2,
3, 1) e é paralela ao vetor v = < 1,− 3, 2 >.
2. Determine outros dois pontos pertencentes à reta acima. 
3. Determine se as retas L1 e L2 dadas são paralelas, reversas ou concorrentes. Se 
forem concorrentes, determine o ponto de interseção das mesmas.
4. Determine a derivada de cada função vetorial
a) f(t) = (t2, cos(t),4 t)
b) f(t) = (2t-3sin(2t), 3-3cos(2t)) 
5. De������� � %��������� %��� � � ���������� ���� �� 
�� ����&�
�� '
� ������%� �
���
���� �
�%� ����(��)����
���������	*+,���,��-��.
1.5. Exercícios
6. Seja uma ����&�
�� ����
�� '
� ���
� 
�� ���(��)��� ���� ���� �
�%�� ��������
������
α:t -> α(t) =(Rt -Rsin(t), R-Rcos(t)),
��	/��������	�	��������	%���������	�	����������	��	��������	��0��	�	��,12�.
3�	/��������	�	�'
����	��	����	��������	�	�
�%�	4	��	��������	��,12�.
��	/��������	�	%���� ������	�	���� �
�%� �� �	�	,12�
7. Determine o comprimento de arco da ciclóide r(t)=(2t-2 sin(t), 2-2 cos(t)) entre t=0
e t= 2pi
8. Determine o comprimento de arco da função f(t)=(2t3,3t2,3t+4) em um instante de
tempo qualquer
9. Sendo uma possível parametrização de um círculo de raio R, dada por x(t)=Rcoswt;
y(t)=Rsinwt, calcule sua curvatura
10. Determine o comprimento de arco da espiral logarítmica φ: [0; + [ > R2 definida
φ(t) = (etcos(t); etsen(t)) a partir do ponto (1;0)
- Calcule a curvatura do citado arco no ponto (1;0)
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Unidade 2
2. Funções de várias variáveis e suas derivadas
2.1 - Diferenciação parcial
2.1.1 – Considerações Importantes
2.1.2 – Significado geométrico da derivada parcial
2.2 - Diferenciação total ou exata
2.3 - Diferenciação da função composta (Regra da cadeia) 
2.4 - Derivadas de ordem superior
2.5 - Exercícios
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2. Funções de várias variáveis e suas derivadas
2.1 - Diferenciação parcial
5�(� 6����� 
�� �
�� �� 
�� %���á%�� ����. 5
� ����%��� �������� é�
e pode ser interpretada como a taxa instantânea de variação de y em relação à x. Para uma
função z=f(x,y) de duas variáveis, necessita-se de uma interpretação análoga da taxa à qual z
varia quando x e y variam (isolada ou simultaneamente). Vejamos:
Começa-se mantendo y fixo e fazendo x variar. A taxa de variação de z em relação à x
é então denotada por e tem o valor
O valor desse limite, se existir, é chamado DERIVADA PARCIAL DE f EM
RELAÇÃO À x. Da mesma forma pode-se manter x fixo e fazer y variar. A taxa de variação
de z em relação a y é então a DERIVADA PARCIAL DE f EM RELAÇÃO À y, definida
como:
2.1.1 – Considerações Importantes
- Notações usadas para derivadas parciais:
/�%�+�� �3���%�� '
� �� ���� ����
��� ������� ���� 
�� ����%��� ������� �� �����
à �� ������������ ������������+�� 6 ���� 
�� ��������� �
����� � �������� ��
�����������. $������������ ����+�� ����
��� ����������� 
�� ����%��� �����������������+�� 6 ���� � ú���� %���á%�� � � ���� 
�� ��������� �
����� � ��
��.
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2.1.2. Significado geométrico da derivada parcial
- Significado Geométrico de fx(x,y)
O valor fx (a,b) é o coeficiente angular da reta tangente, em P(a,b,c) à seção paralela ao
eixo x (ou seja, y = constante) no ponto P da superfície z=f(x,y)
- Significado Geométrico de fy(x,y)
O valor fy (a,b) é o coeficiente angular da reta tangente, em P(a,b,c) à seção paralela ao
eixo y (ou seja, x = constante) no ponto P na superfície z=f(x,y)
2.1.2.1. Plano tangente a curva no R3.
Dada a curva z = f(x,y), a equação do plano tangente a curva em (x0, y0, f(x0, y0)) será
dada por:
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2.2. Diferenciação total ou exata
A diferencial total de uma função f(x,y) é dada por:
2.3 - Diferenciação da função composta (Regra da cadeia)
Seja uma função x = g(t) definida no espaço T � Rk, g: T → Rn, denotamos por X =
g(t) a imagem do conjunto T sobre transformação g (X � Rn).
Seja a função y = f(x), f: Rn → R definida no conjunto X. Se a função g(t) é
diferenciável no ponto t0 � T e a função f(x) é diferenciável no ponto x0 = g(t0) , então a
função composta w = h(t) = f(g(t)) é função diferenciável no ponto t0, sendo calculada das
seguintes formas:
- Possibilidade 1: Suponha uma função y = f(x)de uma variável real, diferenciável de x.
Suponha x = g(t) uma função de variável real t, diferenciável de t. Então y é diferenciável de
t e:
- Possibilidade 2: Suponha uma função z = f(x,y) de duas variáveis reais, diferenciável de x
e de y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então z é diferenciável de t e:
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- Possibilidade 3: Suponha uma função z = f(x,y) de duas variáveis reais,
diferenciável de x e de y, onde x = g(s,t) e y = h(s,t) são funções diferenciáveis de
s e de t. Então z é diferenciável de t e:
- Possibilidade 4: Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis x1,
x2, x3, ..., xn, onde cada xj é uma função diferenciável de m variáveis t1, t2, ..., tn e:
2.4 - Derivadas de ordem superior
Uma derivada é dito de ordem superior quando o resultado de uma diferenciação
relativamente a uma variável é novamente diferenciada em relação a mesma ou outra
variável.
Se a função inicial for diferenciada relativamente a diferentes variáveis, ela é dita
DERIVADA MISTA
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2.5. Exercícios
1. Dado f(x,y) = x2+2xy2-y3, calcule e 
2. 
���
��	��	����%����	��	���
���	�����	��	f(x,y) = x2y + cos(x+y)
3. /��� 
� ���� ����
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3� �� ���� ��� ���������
=. /��������� �� ����%���� �������� �� ���
��� ����� ��� �
�ç>�� ����� ����
2.5. Exercícios
Nos exercícios abaixo, para cada função dada, calcule nos pontos (1,4) e (-3,2): 
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
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2.5. Exercícios
14. Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z = 4x2y - xy3, com o
plano y=2, no ponto (3, 2, 48)
2.5. Exercícios
17. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
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2.5. Exercícios
18. Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de no ponto de
abscissa 2.
19. Sendo u uma função de x, isto é, u=u(x), exprima cada uma das seguintes derivadas em
termos de u e de du / dx:
20. Determine uma função y=f(x) tal que
2.5. Exercícios
21. 
22. Escreva a equação do plano tangente ao parabolóide z=x²+y² no ponto P(2,-1,5) 
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Unidade 3. Integrais Múltiplas
3.1 - Integrais duplas
3.2 - Integrais duplas na forma polar
3.3 - Integrais triplas
3.4 - Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas
3.5 - Integrais de Linha de campos escalares.
3.6 - Exercícios
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3. Integrais Múltiplas
3.1 - Integrais duplas
Sabe-se do cálculo que a integral simples , é definida como
a área delimitada pelo eixo x, pelas retas x = a e x=b e pelo gráfico da função y =
f(x). Este conceito de integral simples pode ser estendido a uma função real de
duas variáveis reais f: D �R2→ R contínua na região compacta D, por exemplo,
no retângulo
Dividindo-se o retângulo formado na região acima em infinitos pedaços em x
e infinitos pedaços em y, temos que a volume do sólido delimitado por f(x) e pelos
valores do retângulo, ou seja, pelo plano xy vale:
S =
Sendo o presente limite definido por 
onde dA = dxdy
Logo S = 
Propriedades
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Teorema de Fubini: Seja f:D�R2→R contínua no retângulo
são as integrais iteradas ou repetidas de f(x,y) sobre o retângulo D, e nelas são
especificadas a ordem de integração. Por exemplo na integral iterada
primeiro calculamos a integral parcial , mantendo y constante,
e o resultado integramos com respeito a variável y no intervalo [c,d]
Exemplo: Calcular a integral dupla
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3.1.1. Aplicações da Integral dupla:
a. Cálculo de volume: dada uma função f(x,y) o volume do sólido delimitado pela 
função e pelo plano xy será dado por:
b. Área delimitada por curvas do R2
c. Áreas de superfície de z = f(x,y) no R3
∫∫ ++= R yx dydxffÁrea 122
3.2 - Integrais duplas na forma polar
3.2.1. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Através de uma mudança de variáveis x = x(u, v) e y = y(u, v) uma integral dupla
sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma
região D ’ do plano uv.
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Considerando que as funções são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e
D, respectivamente, temos:
Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por
A transformação que leva pontos (x, y) do plano xy a pontos (r, θ) do plano r θ é dada
por
r2 = x2 + y2 q = arctg(y/x)
x = r.cos θ y = r.sen θ
z = z
E seu determinante é dado por:
Portanto, a fórmula pode ser expressa por:
Exemplo:
Calcular , onde R é a região semicircular, x2 + y2 = 1, onde y é
positivo. (RESOLUÇÃO AO FINAL DO CAPÍTULO)
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3.3 - Integrais triplas
O cálculo de integrais triplas se reduz ao cálculo de uma integral dupla
seguida de uma integral simples e, dependendo da região de integração, a
integral pode ser calculada de forma iterada como três integrais simples.
Pode-se dizer que, semelhante a mudança ocorrida da integral simples
para dupla, quando o diferencial passa de linear para área, da integral
dupla para tripla, a diferencial da integral passa de uma área para volume.
A integral tripla pode se apresentar em uma das seguintes formas:
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Portanto, seja f : W � R3→ R contínua.
Exemplos:
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3.3.1. Cálculo de volume utilizando a integração tripla
Seja T uma região qualquer no plano xyz. Projetamos a região T sobre o
plano xy e obtemos a região plana R limitada por
R =
Se a região T é limitada por z1 = g1(x,y) e z2 = g2(x,y), então o volume da
região T é dado por
V =
ou
V =
3.4. Mudança de coordenadas
Consideremos uma transformação (mudança de coordenadas) T : R3
> R3 com jacobiano diferente de zero:
<> 0
Representemos por D* a imagem da região D pela transformação T,
como sugere a figura abaixo.
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Consideremos dois casos especiais:
3.4.1. Coordenadas Cilíndricas
Nesse caso a transformação T é definida por: x = r cos α; y = r sen α e
z = z; 0 < α <= 2pi, com jacobiano J = r: Assim, a fórmula de mudança de
coordenadas fica:
3.4.2. Coordenadas Esféricas
Nesse caso a transformação T é definida por: x = ρsenβcosα; y =
ρsenβsenα e z = ρcosβ; 0 < α <= 2pi e 0 < β <= pi; com jacobiano |J| = ρ2
senβ. Assim, a fórmula de mudança de coordenadas fica:
3.5 - Integrais de Linha de campos escalares.
Vamos iniciar nosso estudo com as integrais de linha de uma função de duas
variáveis. Denominamos de integral de linha escalar, a integral de uma função f(x,
y) ao longo de uma curva C e a denotamos por,
onde ds é uma quantidade infinitesimal da curva C. A curva C é chamada o
caminho da integração
Para se entender melhor o conceito de integral de linha. Iremos utilizar a
notação, para denotar um caminho (uma curva) no plano cartesiano R2. Podemos
pensar em P(t) como sendo um ponto (em movimento), como função do tempo t,
descrevendo uma curva C no plano, para a <= t <= b.
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Para calcularmos uma integral de linha escalar ∫f(x,y)ds, podemos
transforma-lá em uma integral simples de uma função de uma variável. Para isso,
basta restringirmos os valores de f (x, y) aos pontos da curva C, e encontrarmos
uma expressão adequada para ds.
Para acharmos ds devemos observar que, sendo ds uma quantidade
infinitesimal (muito pequena) do comprimento da curva C, podemos supor que ela
é a hipotenusa do triângulo retângulo, cujos catetos são dx e dy.
Aplicando o Teorema de Pitágorasnesse triângulo, obtemos:
Aqui, temos dois casos a considerar:
1o Caso: A curva C é o gráfico de uma função y = g(x)
Nesse caso, temos que:
Ex.: Calcule a integral sobre a curva do ponto ao ponto 
- Resolver esta integral simples fazendo u2 = 1 + x2
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2º caso: A curva C é dada na forma paramétrica. 
Portanto:
Calcule a integral onde C é a parte da circunferência unitária
percorrida no sentido anti-horário.
---
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3.6. Exercícios
1. Calcular o volume do sólido delimitado pelos valores x = [0,1]; y = [0,1] e pela 
superfície x + y + z = 2
2. Calcular o volume do sólido delimitado no plano x,y pelo retângulo [-1,1]x[0,1] 
e pelo cilindro z = 1- x2
3. Calcule a integral de f(x) = xy2 sobre o 1o quadrante de um círculo com centro
na origem do plano xy e raio = 1
5. Calcule o volume do tetraedro formado pelo plano x + y + z = 1 e pelos planos
coordenados
6. Calcule a área delimitada pelas curvas x2 + 2y = 16 e x + 2y = 4
7. Calcule , onde R = [1,2] x [0,pi] 
8. Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 +
2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
9.
10.
11.
12.
∫∫
R
dA)xysen(y
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13.
14. Resolver a integral dupla
15. Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2.
16. Em cada caso, calcule o volume do sólido gerado por integração tripla.
(a) é delimitado por z + x2 = 9, z + y = 4, y = 0 e y = 4;
(b) é delimitado pelos cilindros z = 3x2 e z = 4 - x2 e pelos planos x + y = 6 e y = 0;
(c) é a interseção da bola x2 + y2 + z2 <= 6 com o parabolóide z >= x2 + y2;
∫∫ +
D
dA)y2x(
17. Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro z2+y2 = 4 e pelo
plano x + y = 2
18. Ache o volume do sólido limitado pelo parabolóide x2+y2+z= 12 e pelo plano z= 8
19 - Ache o volume do sólido interno `a esfera x2+y2+z2= 4 e acima do cone x2+y2 = z2
20 – Calcule o volume do sólido delimitado pela esfera de raio R
21 – Calcule o volume do elipsóide x2 / a2 + y2 / b2 + z2 / c2 <= 1
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22.
do ponto P(1,0,0) até o ponto q(1,0,2pi)
23. Calcule a massa total de um arame no formato de uma parábola y = x2 ao longo de 1 <=
x <= 4. Considere a densidade de massa dada por ρ(x,y) = x / y em unidades de grama por
centímetro.
Os.:
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
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Unidade 4. Campos Vetoriais
4.1 - Integrais de linha para campos vetoriais
4.2 - Operadores Diferenciais
4.2.1 - Derivada Direcional
4.3 – Teorema de Green
4.4 - Exercícios
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4. Campos Vetoriais
4.1 - Integrais de linha para campos vetoriais
Dada uma função vetorial iremos calcular sua integral de linha ao longo de uma curva 
C, denotada por: 
Antes, porém, é necessário observar que existe uma diferença importante entre uma 
integral de linha escalar e uma integral de linha vetorial: para determinar uma integral de 
linha vetorial, devemos primeiramente escolher um sentido de percurso ao longo da curva C. 
Isso é necessário porque as grandezas físicas, obtidas por este procedimento, ficam afetadas 
de um sinal algébrico. 
),( yxF
ρ
Observe que podemos percorrer uma curva C em um de dois sentidos. Ou
seja, em cada curva existem duas orientações possíveis correspondendo aos dois
sentidos de percurso. Quando escolhemos um desses sentidos de percurso,
dizemos que a curva C está orientada e este é considerado o sentido positivo de
percurso ao longo da curva. Escrevemos então, –C para denotar a curva C com a
orientação oposta.
Assim,
Vejamos então como calcular uma integral de linha
vetorial dada por:
onde C é definida como o gráfico de uma função y = g (x) de x = a até x = b.
Nesse caso, primeiramente devemos escrever o integrando em função de x. Para isso,
substituímos y por g(x) e dy por g '( x)dx na integral
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Exemplo 1:
(a) Ache o valor da integral de linha vetorial sobre o caminho C
(ver figura) para M( x, y) = −y e N( x, y) = xy quando o caminho C
vai de A até B.
(b) Ache o valor da integral sobre o caminho C (ver figura) para
M( x, y) = −y e N( x, y) = xy , quando o caminho C vai de B até A.
Solução
(a) Considerando y = 1-x (equação da reta que vai de A até B) a função que define o
caminho C, com 1 <= x <= 0, temos que dy = -dx e, portanto,
(b) Considerando y = 1-x (equação da reta) com 0 <= x <= 1 temos que dy = -dx e, portanto,
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Observe que no exemplo 1, invertendo a orientação da curva C, o sinal da integral de
linha mudou. Se C for uma curva lisa orientada, denotamos por –C a curva orientada que
consiste dos mesmos pontos de C, mas com orientação contrária.
De uma maneira geral, o valor de uma integral de linha depende do caminho de
integração, como mostra o próximo exemplo.
Exemplo 2: Ache o valor da integral de linha vetorial sobre o caminho C (ver figura)
para M( x, y) = −y e N(x, y) = xy de A até B.
Exemplo 3: Calcule a integral do exemplo 2, agora utilizando equações paramétricas para a
curva C.
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4.1.1. Conclusões e considerações
Observando que o resultado obtido no exemplo 3 foi o mesmo do exemplo 2, podemos
chegar ao seguinte:
1. O valor da integral de uma função ou uma forma diferenciável, sobre uma curva C,
será sempre o mesmo, independentemente da expressão matemática que utilizamos para
representá-la (forma cartesiana ou paramétrica).
2. O valor da integral de uma função ou uma forma diferenciável, sobre uma curva C,
poderá ser diferente sobre caminhos (curvas) diferentes.
3. Se uma curva C é formada pela união disjunta de n curvas C1, ... , Cn, ou seja, C = C1
+ ... + Cn então, a integral de linha ao longo de C é igual a uma soma de integrais de linha
dada por:
4. A exceção à regra apresentada no item 2 forma a classe das funções diferenciáveis
exatas, que são funções vetoriais da forma F(x,y) = (M(x,y), N(x,y)), onde
��
�� =
��
�� �	para
essa classe de funções, suas integrais entre os pontos A e B é constante, independente do
caminho C adotado
4.2. Operadores Diferenciais
Basicamente, existem quatro operadores diferenciais relevantes: o gradiente,
divergência e rotacional
1. Gradiente
Seja um f : R3 → R campo escalar nas coordenadas cartesianas usuais. Define-se
gradiente ( ) de como sendo um vetor tal que:
2. Divergência
Seja f : R3 → R3 um campo vetorial definido nas coordenadas cartesianas usuais, tal
que f(x,y,z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)). Define-se divergência de F ( ) como
sendo:
f∇
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3. Rotacional
Seja f : R3 → R3 um campo vetorial definido nas coordenadas cartesianas usuais, tal
que f(x,y,z) = (Fx(x, y, z), Fy(x, y, z), Fz(x, y, z)). Define-se rotacional ( ) como sendo:
Definições:
Diz-se que um fluxo ou fluido é incompressível quando o divergente
da função que o define é nulo
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4.2.1. Derivadas Direcionais
Seja u = (ux, uy, uz) um vetor constante que caracteriza a direção da derivada. O
correspondente versor é dado por
em que
E seja s um múltiplo do versor u, LOGO:
Ex.: Calcular a derivada parcial de f na direção de u, dados f =
4.3. Teorema de Green
Sejam C uma curva fechada do R2 orientada positivamente (por definição, uma
curva é orientada positivamente quando percorre o sentido anti-horário), D região
contida em C (conforme figura abaixo) e F : A → R2 da forma F = (F1(x,y), F2(x,y)), o
teorema de Green estabelece que:
1.
2.
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4.3.1. Exemplos
4.4. Exercícios
- Dado dz = yexydx + xexydy
2.
3.
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9. Um objeto percorre uma elipse 4x2 +25y2 = 100 no sentido anti-horário e se
encontra submetido à força F(x,y) = (−3y, 3x). Ache o trabalho realizado.10. Calcule para F (x, y) = (x2, x + y) onde C é a fronteira do triângulo de vértices
(0, 0), (1, 0) e (1, 1), orientada no sentido anti-horário.
11.
12. Calcular o gradiente da função .
13. Sabendo-se que � ���� � � ������	 � ��� ����	
�� ���� é função campo
elétrico, determinar o potencial elétrico que satisfaz P(-1,0,2) = 3.
14. Sabendo-se que � �� �� � � �	
� � ���� ������ ��² é função campo elétrico,
encontrar o potencial elétrico que satisfaz
15. Calcular o rotacional do campo vetorial � ���� � � ����� �� � ���� ���� � �
������	�	��	�
��	��	�
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29. Para os seguintes campos vetoriais, encontre o
rotacional no campo indicado
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30. Pelo teorema de Green, determine a área de uma elipse descrita por x2 / a2 + y2 /
b2 = 1
31. Pelo teorema de Green, determine a área de uma circunferência descrita por x2 +
y2 = R2
32. Determine a área da região limitada pelas curvas 4x2 + y2 = 4 e x2 / 9 + y2 / 4 = 1.
(dica: pela simetria, calcular a área no 1º quadrante e multiplicar por 4, sendo a
região fechada simples D tal que ∂D = γ1 � γ2 � γ3, onde γ1 é o arco da elipse 4x2 +
y2 = 4 , γ2 é o segmento de reta que liga os pontos (1, 0) e (3, 0) e γ3 é o arco da
elipse x2 / 9 + y2 / 4 = 1.
33. Usando o Teorema de Green, transforme a integral de linha sobre γ de (x4 −y3 )dx
+ (x3 + y5)dy numa integral dupla e calcule, sendo γ(t) = (cost,sent) com t � [0, 2pi].
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