Primeira Lista de Exercícios

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Universidade Federal do Cariri - UFCA
Centro de Cieˆncias e Tecnologia - CCT
Curso de Engenharia Civil
Disciplina de A´lgebra Linear
Prof. Francisco Pereira Chaves
Primeira Lista de Exerc´ıcios
1. Calcule os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais.
(a) A =
[
8 15n
12 + m 3
]
e B =
[
8 75
6 3
]
.
(b) A =
[
7 n
4 m2
]
e B =
[
7 8
4 10m− 25
]
.
2. Dadas as matrizes
A =
[
2 0
6 7
]
, B =
[
0 4
2 −8
]
, C =
[
−6 9 −7
7 −3 −2
]
,
D =
 −6 4 01 1 4
−6 0 6
, E =
 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1
,
calcule, ou diga que na˜o e´ poss´ıvel calcular
(a) A + B.
(b) AB −BA.
(c) (AB)C.
(d) 2C −D.
(e) 3D − 2E.
(f) B(CD).
(g) (2Dt − 3Et)t.
(h) D2 −DE.
3. Efetue a multiplicac¸a˜o das matrizes A e X.
(a) A =
[
2 6
−5 4
]
e X =
[
x
y
]
.
(b) A =
 1 2 3−2 −5 7
3 9 −8
 e X =
 xy
z
.
(c) A =

−3 4 2 8
0 1 3 −6
−2 4 5 −7
9 −9 −8 6
 e X =

x1
x2
x3
x4
.
4. Encontre um valor de x tal que ABt = 0, onde
A =
[
x 4 −2
]
e B =
[
2 −3 5
]
1
5. Verifique se a matriz B e´ inversa da matriz A.
(a) A =
 −2 −4 −6−4 −6 −6
−4 −4 −2
 e B =
 −1, 5 2 −1, 52 −2, 5 1, 5
−1 1 −0, 5

(b) A =
 4 5 02 3 0
−6 −1 −2
 e B =
 9 3 4−7 2 5
1 6 8

6. Se poss´ıvel, encontre a inversa da matriz dada, usando operac¸o˜es elementares.
(a) A =
 1 2 31 1 2
0 1 2

(b) B =

1 1 1 1
1 2 −1 2
1 −1 2 1
1 3 3 2

(c) C =
 1 2 31 1 2
0 1 1

(d) D =

1 1 1 1
1 3 1 2
1 2 −1 1
5 9 1 6

7. Encontre os valores de a para os quais a matriz
A =
 1 1 01 0 0
1 2 a

tem inversa.
8. Se
A−1 =
[
3 2
1 3
]
e B−1 =
[
2 5
3 −2
]
,
encontre (AB)−1.
9. Determine o nu´mero de inverso˜es da permutac¸a˜o dada.
(a) (1 2 3 4 5)
(b) (2 1 4 3 5)
(c) (5 4 3 2 1)
(d) (1 5 4 2 3)
10. Dada a matriz
A =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
,
calcule
(a) A23.
(b) D23, isto e´, o menor complementar da entrada a23.
(c) Cij, isto e´, o cofator da entrada a23.
(d) det(A).
2
11. Calcule o determinante da matriz dada, usando operac¸o˜es elementares para transforma´-
la em uma matriz triangular superior.
(a) A =

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
 (b) B =

2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3

12. Considere as matrizes
A =
 3 4 1−5 −2 −9
7 8 6
, B =
 4 −1 33 0 1
7 2 −4
 e C =
 2 6 83 9 12
−1 −2 −3
.
(a) Calcule det(A).
(b) Calcule det(B).
(c) Calcule det(A + B).
(d) Calcule det(2A− 3B + 4C).
(e) Calcule det(BC).
(f) Calcule det(ACt).
(g) Calcule det[(CB)A].
(h) Verifique se det(A + B) = det(A) + det(B).
13. Dada a matriz
A =
 2 1 −30 2 1
5 1 3
,
calcule
(a) adj(A).
(b) det(A).
(c) A−1.
14. Escreva na forma matricial os seguintes sistemas.
(a)

x− y + z = 2
−x + 2y + 2z = 5
5x− y + 5z = 1
(b)

√
2x− 3y + 2z = 7
7y − z = 0
4x +
√
3y + 2z = 5
(c)

3x− 5y + 4z − t = 8
−x− 2y + z − 3t = 1
2x + y − 2z = −3
−5x− y + 6t = 4
(d)
{
ax− by + 2z = 1
a2x− by + z = 3
3
15. Encontre a matriz completa de cada um dos seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares.
(a)

3x− 2 = −1
4x + 5y = 3
7x + 3y = 2
(b)

2x + 2z = 1
3x− y + 4z = 7
6x + y − z = 0
(c)

x1 + 2x2 − x4 + x5 = 1
3x2 + x3 − x5 = 2
x3 + 7x4 = 1
(d)

x = 1
y = 2
z = 3
16. Encontre o sistema de equac¸o˜es lineares correspondente a` matriz completa dada.
(a)
 3 0 −2 57 1 4 −3
0 −2 1 7

(b)
 2 0 03 −4 0
0 1 1

(c)
[
7 2 1 −3 5
1 2 4 0 1
]
(d)

1 0 0 0 7
0 1 0 0 −2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4

17. Resolva, usando o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas.
(a)

x + y + 2z = 8
−x− 2y + 3z = 1
3x− 7y + 4z = 10
(b)

2x− 3y = −2
2x + y = 1
3x + 2y = 1
(c)

4x− 8y = 12
3x− 6y = 9
−2x + 4y = −6
(d)

x− 2y + z − 4t = 1
x + 3y + 7z + 2t = 2
x− 12y − 11z − 16t = 5
18. Resolva, usando o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss, os seguintes sistemas.
(a)

2x + 2y + 2z = 0
−2x + 5y + 2z = 1
8x + y + 4z = −1
(b)

−2y + 3z = 1
3x + 6y − 3z = −2
6x + 6y + 3z = 5
(c)

3x + 2y − z = −15
5x + 3y + 2z = 0
3x + y + 3z = 11
−6x− 4y + 2z = 30
(d)
{
7x + 2y + z − 3t = 5
x + 2y + 4z = 1
19. Resolva, usando a regra de Cramer, o sistema
x− 2y + z = 1
2x + y = 3
y − 5z = 4
20. Classifique o sistema de equac¸o˜es lineares e resolva-o, aplicando qualquer um me´todo.
(a)
{
5x + 8y = 34
10x + 16y = 50
(b)

4x− y − 3z = 15
3x− 2y + 5z = −7
2x + 3y + 4z = 7
(c)
{
6x + 2y + 4z = 0
−9x− 3y − 6z = 0
(d)

x− y = 0
2y + 4z = 6
x + y + 4z = 6
4