Aulas FT 2014_2

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Fenômenos de Transporte 
 1 
AULAS 01 E 02 
DISCIPLINA: Fenômenos de Transporte 
PROFESSOR: André Guimarães Ferreira 
 
REFERÊNCIAS 
1. Fox, et. al. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 
2. Incropera, et. al. Fundamentos de Transferência de 
Calor e de Massa. 
3. Moran et. al. Intodução à Engenharia de Sistemas 
Térmicos. 
4. Notas de aula e apostila de exercícios. 
 
AVALIAÇÃO: 
Prova 1 (25pts): 22/10/2014 
Prova 2 (25pts): 13/11/2014 
Prova 3 (25pts): 11/12/2014 
Prova 4 (25pts): 28/01/2015 
Substitutiva: 04/02/2015 
Exame Especial: 09/02/2015 
- Frequência/assiduidade/substitutiva/horário da aula. 
 
A) MECÂNICA DOS FLUIDOS 
DEFINIÇÃO DE FLUIDO 
Fluido é a substância que se deforma continuamente sob a 
ação de um esforço (tensão) tangencial, não importando quão 
diminuto seja este esforço. 
Tensão normal x tangencial. 
 = Ft / A (cisalhamento) 
 = FN/A (normal ou pressão) 
 
Fluidos: Líquidos x Gases 
 
SISTEMAS DE UNIDADES 
Sistema Internacional de Unidades. (SI) 
4 unidades básicas e demais derivadas. 
Unidades Básicas Grandezas Básicas 
segundo (s) Tempo [t] 
kilograma (kg) Massa [m] 
metro (m) Comprimento [L] 
Kelvin (K) Temperatura [T] 
Fatores Multiplicativos de Unidades 
 
 
Transformação de Sub-unidades para Unidades 
       mmmcmcmcmcm 2223 1010101111  
363 101 mcm  
 
CONVERSÃO DE UNIDADES 
 
HIPÓTESE DO CONTÍNUO 
Fluido: conjunto de moléculas em constante movimentação. 
m/ 
Se  for de dimensões moleculares,  apresenta flutuações 
no tempo e no espaço. 
Para dimensões estudadas, utiliza-se a hipótese do contínuo, 
onde todas as propriedades podem ser descritas como: 
),,,( tzyxf 
 
PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS 
PRESSÃO (P) 
É a tensão normal sobre uma partícula fluida. 
Diferenças de pressão geram geralmente os escoamentos. 
Unidades: Pa (N/m2), kgf/cm2, psi (lbf/in2), psf (lbf/ft2), atm, 
bar, mmHg, mca. 
 
TEMPERATURA (T) 
É a medida do nível de energia interna do fluido. 
Quantifica quente e frio. 
T  geram transferência de calor. 
Lei 0 da Termodinâmica: 2 substâncias com diferentes T 
em contato, atingem equilíbrio térmico. 
 
DENSIDADE () 
Massa específica de um fluido. 


m [kg/m3] 
Relação de estado: relaciona  com P e T. 
GASES PERFEITOS 
TR
P
gás
gás 
, onde 
gás
gás M
RR  
K.kmol/JR 8314 
Ar: 
T
P
ar .287
 
LÍQUIDOS 
)(),( TfTPf   
Comportamento tabelado nos apêndices do Fox. 
 
ENERGIA DE UM SISTEMA 
pcu EEEE  
Energia Interna: ),(. PTfuumE iiu  
 1212 TTcuu Vii  
Energia Cinética: 2
2
1 mVEc  
Energia Potencial: mghE p  
 
DEMAIS PROPRIEDADES 
Volume específico 
m
v  [m
3/ kg] 
Entalpia:  1212 TTchhPvuh pi  
Calor específico à pressão constante: cP 
Calor específico à volume constante: cv 
 
MÉTODOS DE ANÁLISE DE FLUIDOS 
Sistema: certa quantidade fixa e definida de matéria. 
Volume de controle: região volumétrica arbitrária do espaço 
através do qual o fluido escoa. 
 
Fox: 1.1; 1.2; 1.3; 1.4; 1.5; 1.6; 2.1 
Moran: 2.1; 2.2; 2.3; 2.4; 2.5; 3.1; 4.1; 4.2; 4.3; 4.5 
Fenômenos de Transporte 
 2 
AULAS 03 E 04 
EQUILÍBRIO COM A FRONTEIRA 
Partícula Fluida: elemento fluido de dimensões diferenciais. 
 
Condição de Não Deslizamento: u=0 e v=0. 
Condição de Impermeabilidade: w=0. 
Condição de Equilíbrio térmico: Lei Zero da Termodinâmica. 
 
PROPRIEDADES DIFUSIVAS 
Viscosidade (): propriedade difusiva de transporte de 
quantidade de movimento linear. 
Condutividade Térmica (k): propriedade difusiva de 
transporte de energia. 
 
VISCOSIDADE DINÂMICA () 
Indicação da dificuldade de um fluido em escoar. 
 
Partícula fluida em contato com superfície: parada 
Surgimento de tensões tangenciais (). 
Definição de  = FT/A (comparar com P) 
Cisalhamento entre as partículas fluidas: escoamento. 
Viscosidade: dificuldade em cisalhar. 
Partículas com velocidades diferentes. {u(y)} 
Cisalhamento: perda de carga (<P) 
Conversão: Epotencial em Calor 
Campo tensorial de tensões. 
Tabela CNTP: apostila de exercícios 
 
FLUIDOS NEWTONIANOS 
Apresentam uma relação proporcional entre a tensão de 
cisalhamento () e o gradiente de velocidades (du/dy). 
dy
du
  
sm
kg
m
s
s
mkgs
m
N
sm
mPadeunidade
.
.
222 
 
Viscosidade Cinemática (): 







s
m2



 
Variações da viscosidade: 
)(),( TfTPf   
T
eT líquidogás
1
  
Exemplo: aquecendo mel, ou óleo (flui mais fácil) 
 
FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS 
1
Newtonianonão dy
du

 





 
Pseudoplásticos: maioria dos não-newtonianos.   du/dy. 
Exemplos  suspensões coloidais, polpa de papel em 
água, soluções de polímeros. 
Dilatantes: suspensões de amido e areia.   du/dy. 
Plástico Bingham: suspensões de argila, lama e creme dental. 
 
Newtoniano 2: maior inclinação, maior viscosidade. 
 
CAMADA LIMITE 
 
Fluido viscoso: formação da camada limite. 
Camada Limite: 
 - região do escoamento afetada pela parede. 
 - u<0,99U 
- fora da sub-camada:  diminui e u aumenta com y. 
Sub-camada viscosa: 
- próxima da parede; 
- perfil linear de V  u =ay+b 
- du/dy=a e b velocidade da placa inferior 
- 
dy
du
   constante = a 
Corrente livre: 
 - u constante (U>u>0,99U) 
 - =0. 
- Região não afetada pela parede. 
 
ESCOAMENTO ENTRE PLACAS 
Problema clássico de escoamento entre placas planas com 
velocidades diferentes (e constantes). 
Espaçamento entre placas pequeno: sub-camada viscosa  
u(y) = ay+b. 
Fluido Newtoniano: 
dy
du

 
 
F=1N, A=1m2, h=0,001m, u=1m/s. 
 
Fox: 2.3 e 2.4 
Moran: 12.1; 14.8 
 
Fenômenos de Transporte 
 3 
AULAS 05 E 06 
CAMPO DE VELOCIDADES (V: u, v e w) 
Partícula Fluida: volume infinitesimal de massa fluida. 
Velocidade instantânea de um fluido em um ponto P é a 
velocidade do centro de gravidade da partícula fluida que 
envolve o ponto em questão. 
Coordenadas cartesianas: 
),,,( tzyxfV

 
kwjviuV ˆˆˆ 

 
     ktzyxwjtzyxvitzyxuV ˆ,,,ˆ,,,ˆ,,, 

 
 
Escoamentos: 
Expressos em outros sistemas de coordenadas. 
Classificação Uni- , Bi- ou Tridimensionais. 
 iˆz/y4x5V 2  (3D) 
 kˆx1jˆxiˆx3V 3 

(1D) 
 
CLASSIFICAÇÃO DE ESCOAMENTOS 
PERMANENTES X TRANSIENTES 
Permanente: quando o escoamento não apresenta variação de 
nenhuma propriedade com o tempo. 
Transiente: o escoamento apresenta variação de uma ou mais 
propriedades com o tempo. 
 
VISCOSOS X INVÍSCIDOS 
Escoamentos Invíscidos (ideais): 0. 
Simplifica modelos e permite soluções. No entanto, estas 
soluções se afastam da realidade. 
Escoamentos viscosos são aqueles que apresentam 
viscosidade. 
 
COMPRESSÍVEIS X INCOMPRESSÍVEIS 
Incompressíveis:  não varia com P. 
Compressíveis:  varia com P. 
Líquidos: incompressíveis. 
 Exceção: golpe de aríete. (prédios) 
Gases: no entanto só são compressíveis a altas velocidades. 
O número de Mach (M): adimensional que relaciona a 
velocidade média do escoamento (V ) e a velocidade do 
som no fluido analisado (Vsom). 
somV
VM  
M > 0,3  Compressível 
M  0,3  Incompressível 
 
VELOCIDADE DO ESCOAMENTO 
Subsônicos (M<1); Supersônicos (M>1); Sônicos (M=1) 
 
FRONTEIRAS DO ESCOAMENTO 
Internos: completamente confinados por paredes (dutos) 
Externos: todos os outros casos. 
 
LAMINAR X TURBULENTO 
Laminar: - estrutura suave 
 - cisalhamento em camadas (lâminas) 
 - não apresenta misturação de camadas 
 - pequenas velocidades 
 - forças viscosas significativas 
 - perfil parabólicos de velocidades em tubos. 
Turbulento: - movimentação caótica 
 - Transiente e Tridimensional 
 - Presença de recirculações(turbilhões) 
 - Aumento de difusividade e misturação 
 - Perfil achatado de V em tubos 
 - Forças de inércia preponderam sobre viscosas 
 - Grandes velocidades 
 
TENSÃO SUPERFICIAL 
Um líquido confinado com superfície livre forma interface 
com um gás ou outro líquido. Moléculas mais profundas 
repelem as outras, devido ao arranjo fechado. Moléculas 
superficiais são menos densas e atraem as outras. Como 
metade das moléculas vizinhas da película superficial está 
faltando, é observado o efeito de tensão superficial. 
O contato deste líquido com um sólido pode gerar diferentes 
ângulos de contato. O ângulo de contato de mercúrio com 
vidro é de aproximadamente 130º, enquanto que com a 
água é de aproximadamente 0o. 
 
 
Fox: 2.2, 2.5, 2.6 
 
EXERCÍCIO 
1) Um eixo maciço de =5cm gira com rotação constante de 
n=120rpm, dentro de um mancal. Sabendo que a folga 
entre o mancal e o eixo é de 0,2mm, lubrificada por óleo 
(=0,29kg/ms) e que o comprimento de 15cm de eixo em 
contato com o mancal, determine o torque de frenagem do 
eixo pelo lubrificante. 
sradn /4
60
1202
60
2


  
smmsradu /314,0
2
05,0/4
2
 

 
Hipótese: sub-camada viscosa 
  byayu  
Mancal: y=0  b = 0 
Eixo: y=0,0002m  u=0,314m/s 
00002,0/314,0  masm 
18,1570
0002,0
/314,0  sa
dy
du
m
sma 
Fluido Newtoniano: 18,1570.29,0  ssPa
dy
du
 
Pa5,455 (para todo o óleo) 
Área de contato: cilindro  LA  
202356,015,005,0 mmmA  
Força tangencial: 
 NmPaAFT 73,1002356,05,455
2  
Torque: 
NmmNFT T 268,0025,073,102

 
 
 
 
Fenômenos de Transporte 
 4 
AULAS 07 E 08 
VAZÃO 
A vazão volumétrica ( ) é definida como o volume de fluido 
que escoa por uma área, por unidade de tempo. 
A.V 
  dAVdAnVAdV n
 .. 
A vazão mássica ( m ) é definida como a massa de fluido que 
escoa por uma área, por unidade de tempo. 
  dAVAdVm n

 . 


 

mm  A.V.m  
Onde 
4
RA
2
2  
PERFIS DE VELOCIDADE EM TUBOS 
O escoamento em tubos a partir de uma distância da entrada 
torna-se unidimensional. 
Perfil: V das partículas com mesmo valor de x e diferentes r. 
Escoamentos Laminares: perfil parabólico 















2
máx R
r1U)r(uondeiˆ.uV

 
 
 
Escoamentos Turbulentos: perfil achatado 
n
máx R
r1U)r(u 





 
 
n é determinado empiricamente. Um valor usual é de 7
1 . 
 
VELOCIDADE MÉDIA EM DUTOS 
Sabemos que V = u(r) î {tubos} 
 
perfilmédia mm     A AdVAV

 
ível)incompress,1(1 DdAu
A
V
A 
Tubos: 2R.A  e rdr2dA  

R
drru
R
V
02
.2 
Laminares: V2U máx  ou 
2
máxUV  
Turbulento: 
 23
.2
2 

nn
UV máx e VU máx 22,1 
 
DESENVOLVIMENTO DE PERFIS DE V EM TUBOS 
 
Equações Empíricas: 
Laminar Re..06,0 LamL 
Turbulento .80TurbL 
 
NÚMERO DE REYNOLDS 



VRe (Adimensional: Inércia x viscosas) 
     
 
 
  1s.m/kg
s.m/kg
s.m/kg
ms/mm/kgRe
3
 








)(10000Re
)(10000Re2300
)(2300Re
Turbulento
Transição
narLam
 
 
PRESSÃO: ESTÁTICA, DINÂMICA E ESTAGNAÇÃO 
A pressão estática é a pressão absoluta termodinâmica. Seria 
medida por um instrumento movendo-se com o 
escoamento. Pode ser medida em uma tomada de pressão 
(orifício com eixo perpendicular à parede). Longe da 
parede ou em curvas: utilizar sonda com orifícios de 
pressão estática. 
A pressão de estagnação é obtida quando o escoamento é 
desacelerado até velocidade nula. Desprezando diferenças 
de elevação: 
22
2
11
2
22 VPVP 

  
2
2
1VPP estáticaestag

 
A pressão dinâmica é o termo de energia cinética da equação 
de pressão de estagnação: 
2
2
1VPdin

 
Tubo de Pitot (cálculo através da pressão dinâmica): 
 
 
 
Fox: 6.3.3 (Pressões Estática,...), 7.5, 8., 8.1, 8.3, 8.5 
Moran: 12.4.2; 14.1; 14.2; 14.3; 14.4 
Fenômenos de Transporte 
 5 
AULAS 09 E 10 
EXERCÍCIOS 
1) Uma placa de 1m2 move-se para a direita com velocidade 
de 2m/s. Uma placa inferior de mesmo tamanho, separada 
por uma película de 5mm de um líquido com =1,5Pa.s, 
move-se para a esquerda com velocidade de 1m/s. Calcule as 
forças tangenciais atuantes nas placas e a distância da placa 
inferior em que o fluido fica parado. 
u(y)=a.y+b  b=-1m/s (placa inferior) 
  1600
005,0
/1/2  s
m
smsm
dy
dua 
u(y) = 600y-1 
fluido parado: u(ho) = 600.ho-1=0 
mm
s
smho 67,1600
/1
1   
PassPa
dy
du 900600.5,1 1   
NmPaAFt 9001900
2   
Desenho do perfil e das forças. 
 
2) Calcule u2 e h. 
 
Sistema glicerina: 2 incógnitas 
Sistema água: 1 incógnita. 
Solução Água: 
Pa
m
N
A
Ft
OH 502
100
22  
12
2 000.50.001,0
50  s
sPa
Pa
dy
du
dy
du OH
OH 

 
  250000 uyyu  
Ponto: y=0,0001m  u1=8m/s 
2
1 0001,050000/8 umssm   
2/5/8 usmsm  
smu /32  
Balanço na Placa: 
Velocidade constante  a=0 
  0Fx 
ANAFx GOH   200 2 
NmPaNAA OHG 2025020
2
2   
 
Pa
m
NN
G 602
20100
2 

 
Solução Glicerina: 
140
.5,1
60  s
sPa
Pa
dy
du
dy
du G
G 

 
  040  yyu 
Ponto: y=h  u=u2=3m/s 
hsm 40/3  
h=0,075m 
 
3) Um escoamento de água em uma tubulação de =2cm 
sofre expansão para =12cm. Considerando os escoamentos 
desenvolvidos nos trechos, determine a velocidade máxima 
após a expansão, sabendo que antes da expansão esta 
velocidade vale 0,72m/s. 
Trecho 1 (antes da expansão): 
Hipótese de escoamento laminar 
smuV máx /36,0
2
1
1  
2300186.7
/001,0
02,0/36,0/998
Re
3

mskg
msmmkgV

 
Hipótese falsa 
Hipótese de escoamento é turbulento 
smsmUV máx /588,0
22,1
/72,0
22,11
 
4
3
10737.11
/001,0
02,0/588,0/998Re 
mskg
msmmkgV

 
Hipótese verdadeira 
smV /588,01  
  skgmsmmkgm /1844,002,0
4
./588,0./998 231 
 
Continuidade: 
skgmm /1844,012   
 
s/m,
m,.m/kg
s/kg,V 01630
120
4
998
18440
23
2  
 
23001956
/001,0
12,0/0163,0/998Re
3
22
2  mskg
msmmkgV


Laminar 
smVumáx /0163,022 12  
Logo: smumáx /0326,02  
Fenômenos de Transporte 
 6 
AULAS 11 E 12 
ANÁLISE DIFERENCIAL 
Balanços em um volume de controle de dimensões 
infinitesimais dxdydz. 
 
Conservação da Massa: 
0











z
w
y
v
x
u
t
 
Operador gradiente: k
z
j
y
i
x
ˆˆˆ








 
0. 

 V
t


 
 
Conservação da Quantidade de Movimento Linear: 
Aceleração da partícula: 
local
aceleraçãoconvectivaaceleraçãopartículada
aceleração
p t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vu
Dt
VDa













 
Derivada substantiva: “D” 
Direção x: 



































2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
Pg
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
x 

 

















 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
Pg
Dt
Du
x  
Direção y: 

















 2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
y
Pg
Dt
Dv
y  
Direção z: 
















 2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
Pg
Dt
Dw
z  
 
EQUAÇÃO DE EULER 
Desprezando efeitos viscosos, chaga-se à Equação de Euler: 
Pg
Dt
VD



 
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Equação de Energia para volume de controle: 
 
entraentra12 QWEE   
Onde 



 zgV
2
1umE 2i 
Logo, 
entraprodii QWzgVumzgVum  


 


  1
2
1112
2
222 2
1
2
1 
 
Mas, 
eixoPprod WWW   
eixoprod W
PPmW  







12 
entraeixoii QW
PPmzgVumzgVum  








 


 

21
1
2
1112
2
222 2
1
2
1 
Continuidade: 21 mmm   
Incompressíveis: 
m
Q
m
WPP
zgVuzgVu entraeixoii 












 


 

21
1
2
112
2
22 2
1
2
1 
Ou 



















m
Q
uu
m
W
zgV
P
zgV
P entraeixo




211
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1

 
Significado: 








12 PP : diferença de energia potencial de pressão 
 









22
2
1
2
2 VV : diferença de energia cinética 
  12 zzg  : diferença de energia potencial 








m
W eixo

 : trabalho de eixo produzido ao sistema (Bomba<0) 
  






m
Q
euu entraii 

21
: energia interna e calor fornecido 
 1212 TTcuu Vii  
 
A equação de Bernoulli foi deduzida para analisar trechos de 
escoamento invíscidos sem máquinas de fluxo e sem 
variações térmicas. Por isto, os termos de trabalho de eixo e 
de calor específico da equação da energia são removidos. A 
equação de Bernoulli é dada então por 
constzgVPzgVP 











 1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1

 
 
CUIDADOS NA APLICAÇÃO DE BERNOULLI 
A equação de Bernoulli não é indicada para: 
- Aumento brusco de seção ( brusco de P); 
- Escoamentos em ressaltos (turbilhonamento); 
- Máquinas de fluxo; 
- Gases compressíveis; 
- Escoamentos sujeitos à mudança de temperatura. 
 
 
Fox: 5.1.1, 5.3.1, 5.4.1, 5.4.2, 5.4.3, 6.1, 6.3.5, 6.4 
Moran: 12.4; 12.5 
Fenômenos de Transporte 
 7 
AULAS 13 E 14 
BERNOULLI 












 1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1 zgV
P
zgV
P

 
 
CASOS CLÁSSICOS 
 
 
 
 
Dois Circuitos bomba. 
 
Cuidados: escolha adequada dos 2 pontos em que será 
aplicado Bernoulli. 
 
VENTURI 
 












 1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1 zgVPzgVP

 
(D1>D2  P1>P2  V1<V2) 12 zz  












 21
12
2
2
2
1
2
1 VPVP

 








212
1
2
2 2
PPVV 
Continuidade: 1122 AVAV    
2
11
2
22 DVDV  
  
2
2
2
1
12 D
DVV   4
2
4
12
1
2
2 D
DVV  
 
Bernoulli: 








212
14
2
4
12
1 2
PPV
D
DV  













21
4
2
4
12
1 21
PP
D
DV 









1/
2
4
2
4
1
212
1 DD
PPV

  








1/
2
4
2
4
1
21
1 DD
PPV

 
Como, 
4
2
1
1
DV  
41/
2 21
4
2
4
1
21 D
DD
PP 
 






 
 
Fox: 6.3.4 (Aplicações), 8.10 
Moran: 12.6; 12.9; 14.7 
 
EXERCÍCIO 
1) Determine o diâmetro de saída do bocal. Escoamento de 
H2O com 3kg/s, h=2m, P1=180kPa, Patm=92kPa e 1=5cm. 
 
4
...
2
111

 VAVm  
 
sm
mmkg
skgmV /531,1
05,0/998
/344
232
1
1 



 
Bernoulli: 

















 1
2
11
2
2
22
22
zg
VP
zg
VP

 
Dados: z1=0; z2=2m; P1=180kPa; P2=92kPa; V1=1,531m/s 
2
2
121
2
2
22
zgVPPV 

 
22
22
2 /735,6928066,9
2
531,1
998
92000180000
2
sm
V



smVsmV /81,11/47,139 2
222
2  
4
...
2
2
22221

 VAVmm   
smmkg
skg
V
m
/81,11./998
/34
.
4
3
2
1
2 




 
cm8,12  
 
2) Determine a altura máxima que uma bomba de 100W 
consegue recalcar água em uma tubulação de diâmetro 
constante. O escoamento de H2O com 1kg/s, Po=60kPa e 
Patm=92kPa. 
 
Bomba: 
m
w
zgV
P
zgV
P eixo
oo
o














 21
2
1
1
2
1
2
1

 
Dados: Vo=V1; e zo=z1 
Logo:  
skg
Wmkg
Pa
m
w
PP eixoo /1
100/998
60000
3
1



 
PaP 1598001  
Tubulação: 












 1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1 zgVPzgVP

 
Dados: V2=V1; z2=h; z1=0; P2=Patm 
g
PP
h
P
hg
P atmatm


 11 
m
g
PP
h atm 93,6
8066,9998
920001598001 






 
Fenômenos de Transporte 
 8 
AULAS 15 E 16 
EXERCÍCIOS 
1) Um escoamento de 1kg/s de água em um tubo de =1cm 
desce a altura de 3m e sofre expansão para uma seção 
retangular de 4cm x 2cm. Calcule a pressão nesta nova seção, 
sabendo que a pressão na entrada é de 92kPa. 
Solução: 
 
sm
mmkg
skgmV /76,12
01,0/998
/144
2321




 
s/m,
m,m,m/kg
s/kg
hb
mV 2531
040020998
1
32 




 












 1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1 zgVPzgVP

 
Dados: z1=3m; z2=0m 
  1222112 2
1 zgVVPP 

 
  


  1
2
2
2
112 2
1 zgVVPP  
  


  mP 38066,9253,176,12
2
199892000 222 
PaP 2017982  
 
2) Calcule a potência de eixo da bomba. Saiba que a vazão 
mássica de água é de 2kg/s e que o diâmetro da tubulação 
vale 2cm. Patm=92kPa. 
 
Numeração correta dos pontos. 
 
Tubulação: 
 
sm
mmkg
skgmV /38,6
02,0/998
/244
232




 
 
Aspiração: 












 1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1 zgVPzgVP

 
Dados: V1=0m/s; V2=6,38m/s; z1=0m; z2=2m; P1= Patm 
2
2
212
2
zgVPP 

 








 2
2
2
2 2
zg
V
PP atm  






 mP 28066,9
2
38,699892000
2
2
 
PaP 2,521212  
 
Recalque: 












 3
2
3
3
4
2
4
4
2
1
2
1 zgVPzgVP

 
Dados: V4=6,38m/s; V3=6,38m/s; z3=2m; z4=12m; P4= Patm 
34
43 zgzg
PP


 
 343 zzgPP atm   
 mmsmmkgkPaP 212/8066,9/99892000 233  
PaP 1898703  
 
Bomba: 
m
w
zgV
P
zgV
P eixo














 2
2
2
2
3
2
3
3
2
1
2
1

 
Mesmas cotas e velocidades 

32 PPmweixo

  
 
3/998
1898702,52121/2
mkg
Paskgweixo

 
Wweixo 276 
 
Desafio: Calcule a vazão mássica e a velocidade média da 
água nas tubulações desta instalação, se for instalada uma 
bomba de 200W. 
 
 
Fenômenos de Transporte 
 9 
AULAS 17 E 18 
LEIS DE CONSERVAÇÃO PARA SISTEMAS 
A) Conservação da Massa 
Por definição: 
0


sistemadt
dm
 
   sistemasistema ddmm Msistema  
 
B) Segunda Lei de Newton 
sistema
ext dt
PdF 



Quantidade de movimento linear: 
   sistemasistema dVdmVP Msistema 

 
 
C) Conservação da Energia 
sistemadt
dEWQ 

  
   sistemasistema dedmeE Msistema  
gzVue i  2
2
 
 
RELAÇÃO ENTRE PROPRIEDADES 
Extensiva: N e Intensiva:  
 
 
 
TEOREMA DO TRANSPORTE DE REYNOLDS 
Método de conversão de análise de sistema para volume de 
controle. 
Serve para volumes fixos, movendo ou se deformando. 
Análise na forma integral: resultados médios. 
AdVd
tdt
dN
SCC
sist

  





 



sistdt
dN
 
taxa de variação de uma propriedade extensiva do sistema. 
 



 dt C  
taxa de variação da propriedade extensiva dentro do volume 
de controle. 
 AdVSC

 
taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva através da 
superfície de controle. 
PRODUTO ESCALAR AdV

. 
O vetor dA será normal à área da superfície de controle, 
apontando externamente ao volume de controle 
 
Dica: escolher a superfície de controle mais adequada. 
 
CONSERVAÇÃO DA MASSA 
N=m; =1 
 




 SCC
sist
AdVd
tdt
dm 
 
 


 SCC
AdVd
t

0 
 
Casos especiais 
Regime permanente: 
 SC AdV

0 
Escoamento incompressível: 



SC
AdV
t

0 
Fox: 4.1; 4.2; 4.3 
Moran: 5.1 
 
EXERCÍCIO 
1) Para escoamento permanente, invíscido de água, determine 
V2. 
 
Solução: 
 SC AdV

0 
  4 43 32 21 10 AAAA AdVAdVAdVAdV

 
Lembrando a convenção de sinais: 
43112 2
  

 mAVAdV
A
 
02832,0998624,5602,0
4
0488,3998 222 

 AV
 
smAVskgAV /10746,2/405,27 322222



Produto escalar negativo: fluxo entrando. Vetor para cima. 
 
smjjsmV /ˆ0,14ˆ
4/05,0
/10746,2
2
32
2 




 
Fenômenos de Transporte 
 10 
AULAS 19 E 20 
EXERCÍCIOS 
1) Um tanque com =0,05m3 possui ar a P=800kPa e 
T=15oC. No instante inicial (t=0s) o ar começa a escapar por 
uma válvula com velocidade uniforme V1=311m/s e 
1=6,13kg/m3, através de uma área de 65mm2. Determine a 
taxa de variação da densidade do ar, no instante inicial. 
Solução: 
 


 SCC
AdVd
t

0 
Em t=0s =constante. Portanto: 
0
1




 


 AC AdVdt

 
  0111 
 AV
t
 
Volume constante: 



 111 AV
t

 
A Eq. é válida para todos os instantes, inclusive t=0s: 
0
111
0  



tt
AV
t
 
3
263
0 05,0
1065/311/13,6
m
msmmkg
t t






smkg
t t
3
0
/48,2



 
 
2) Um escoamento incompressível permanente de ar sobre 
uma placa plana possui =1,24kg/m3, u=30m/s, =0,005m. 
Calcule m2, sabendo que a largura da placa é w=0,5m. 
 
iyyuVeiuV ˆ2ˆ
2
31













  

 
Solução: 
Regime permanente:  SC AdV

0 
  3 32 21 10 AAA AdVAdVAdV

 
113 32 2
AVAdVAdV
AA
  

 
Incompressível 
113
2
2 2 AVAd
yyum
A


 





















  

 
110
2
2 2 AVwdy
yyum 

























  
11
0
2
32
2 3
AVyywum
y
y













 
112
32
2 3
AVwum 




 





  
112 3
AVwum  


   
wuwum   



3
2
2 
3
5,0/30005,0/24,1
3
3
2
msmmmkgwum  
 
skgm /031,02  (saindo do C) 
 
3) Água escoa em regime permanente através de um tubo de 
comprimento L e de raio R=3in. Calcule a velocidade 
uniforme na entrada U1 se a distribuição de velocidades na 
saída é dada por 






 2
2
1
R
rUu máx onde Umáx=10ft/s 
Solução: 
Regime permanente:  SC AdV

0 
  2 21 10 AA AdVAdV

 
22 RAerdrdA   
 













R
máx rdrR
rURU
0 2
2
2
1 210  
 













R
máx rdrR
rURU
0 2
2
2
1 12 
 






R
máx rdrR
rURU
0 2
2
2
1 12 
 






R
máx drR
rrURU
0 2
3
2
1 2 
R
máx R
rrURU
0
2
42
2
1 42
2 





 






 2
42
2
1 42
2
R
RRURU máx 













4
2
42
2
222
2
1
RURRURU máxmáx 
2
2
2
1
RU
RU máx 
2
/10
21
sftUU máx  
sftU /51  
Fenômenos de Transporte 
 11 
AULAS 21 E 22 
CONSERVAÇÃO DA VARIAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO LINEAR 
Propriedades: VPN

  
Equação integral: 
 




 SCC
sist
AdVVdV
tdt
Pd 

 
Da 2ª Lei de Newton: 
sistema
extext dt
VdmFamF 


 
 
Sistema: massa constante 
 
sistema
ext dt
VmdF 




 
Momentum linear: VmP

 
sistema
ext dt
PdF 




 
Logo: 
 


 SCCext
AdVVdV
t
F

 
 
  SBext FFF

 
Forças de corpo: 
   CB dgF 

 
Forças de superfície: 
  AS dAPF

 
 
Decompondo a equação integral nos três eixos cartesianos: 
 


 SCCBxSx
AdVudu
t
FF

 
 


 SCCBySy
AdVvdv
t
FF

 
 


 SCCBzSz
AdVwdw
t
FF

 
 
Fox: 4.4 
Moran: 12.2; 12.3 
 
EXERCÍCIO 
1) Um escoamento permanente de água é dirigido contra uma 
placa plana. Determine a força que o escoamento exerce 
sobre a placa. A1=0,01m2 e V1=15i m/s 
 
Solução: 
 


 SCCBxSx
AdVudu
t
FF

 
Regime permanente e ausência de forças de corpo 
horizontais: 
  SCSx AdVuF

 
Balanço de forças externas horizontais: 
 
Rx  reação da placa ao escoamento 
xatmxatmSx RAPRAPF  
Logo 
  3 32 21 1 AAAx AdVuAdVuAdVuR

 
Como u2=u3=0m/s (apesar de m2 e m3  0) 
 1 1Ax AdVuR

 
Assumindo perfil uniforme de velocidades 
  111 AuuRx  
Sinal positivo devido à direção de u1 e negativo de fluxo 
entrando 
  2231
2
1 01,0/15/998 msmmkgAuRx   
NRx 5,2245 
Analisando o vetor: 
NiRx ˆ5,2245

 
Pela terceira lei de Newton (ação e reação), a força que o 
escoamento exerce na placa é igual e contrária ao que a placa 
exerce no escoamento (Rx). 
Portanto: 
NiFescoamento ˆ5,2245

 
 
Fenômenos de Transporte 
 12 
AULAS 23 e 24 
EXERCÍCIOS 
1) Determine a leitura da balança, sabendo que o recipiente 
possui Wr =22,2411N, A1=A2=A3=0,00929m2, At=0,0929m2, 
h=0,57912m, V1=1,524m/s. 
 
Hipóteses: escoamento incompressível, permanente, com 
perfil uniforme de velocidades. 
Solução: 
A equação da conservação da massa permitiria calcular as 
velocidades 2 e 3, que deverão ter a mesma magnitude e 
sentidos opostos. 
Conservação do momentum linear: 
 


 SCCBySy
AdVvdv
t
FF

 
Regime permanente: 
  SCBySy AdVvFF

 
yyatmatmSy RRAPAPF  
gmWF OHrBy  2 
  321 AAASC AdVvAdVvAdVvAdVv

 
Perfis uniformes de velocidade: 
        333222111 AuvAuvAvvAdVvSC  

 
Mas v2=v3=0, logo001
2
1  AvAdVvSC 

 
Finalmente: 
1
2
12 AvRgmW yOHr  
gmWAvR OHry 21
2
1   
gWAvR ry   1
2
1 
hgAWAvR try   1
2
1 
 
223
223
/8066,957912,00929,0/998
2411,22
00929,0/524,1/998
smmmmkg
N
msmmkgRy



 
NRy 32,570 
Em termos vetoriais: 
NjRy ˆ32,570

 
Já a força igual e contrária realizada sobre a balança: 
NjFy ˆ32,570

 
 
2) Escoamento de água ocorre por um cotovelo redutor. 
P1=221kPa, P2=101,3kPa, V2=-16jm/s, A1=0,01m2, 
A2=0,0025m2. Determine as resultantes atuantes sobre o 
bocal horizontal. 
 
Hipótese: perfil uniforme de velocidade, regime permanente, 
escoamento incompressível. 
Solução: 
Continuidade em regime permanente:  SC AdV

0 
  2 21 10 AA AdVAdV

 
22110 AVAV   
22112211 AVAVAVAV   
s/m
m,
m,s/m
A
AVV 4
010
0025016 2
2
1
2
21  
Momentum linear x em regime permanente: 
  SCBxSx AdVuFF

 
Bocal horizontal  0 BxF 
  '2 22'1 11 AASx AdVuAdVuF

 
Como u2=0: 
  '1 11ASx AdVuF

 
Anulando forças atmosféricas idêntica dos dois lados 
externos: 
  111111 AuuRAPAP xatm  
1111
2
1 APAPAuR atmx   
 2111 uPPAR atmx  
  22 4.99822100010130001,0 3 smmkgx PaPamR 
NiRNR xx ˆ13571357 

 
Momentum linear y em regime permanente: 
  SCBySy AdVvFF

 
Bocal horizontal  0 ByF 
  '2 22'1 11 AASy AdVvAdVvF

 
Como v1=0: 
  '2 22ASy AdVvF

 
Anulando forças atmosféricas idêntica dos dois lados 
externos: 
   2
2
2222 AvAvvRy   
  22 0025,016998 3 mR smm
kg
y  
NjRNR yy ˆ7,6387,638 

 
 
Fenômenos de Transporte 
 13 
AULAS 25 e 26 
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
Propriedades: eEN   
Equação integral: 
 




 SCC
sist
AdVede
tdt
dE 
 
Para um sistema: 
WQ
dt
dE
sistema
 


 
Onde o trabalho produzido pelo sistema é positivo. 
Portanto 
 


 SCC
AdVede
t
WQ
  
Entretanto, o trabalho produzido pode ser decomposto em 
outrostocisalhamenpressãoeixo WWWWW   
Escolhendo SC com V // a dA: 
0tocisalhamenW 
Desprezando também outras fontes de trabalho 
Logo: 
 


 SCCpressãoeixo
AdVede
t
WWQ
  
Mas 
  SCSCpressão AdV.PAdV
PW
 

 
Então 
  


 SCCeixo
AdVpede
t
WQ
  
Mas a energia pode ser decomposta em 
gzVue i  2
2
 




















SC i
C ieixo
AdVgzVpu
dgzVu
t
WQ




2
2
2
2
 
No caso de líquidos (incompressíveis) a equação em regime 
permanente permite deduzir facilmente a equação de 
Bernoulli. 
No caso de gases, pode ser interessante em muitos problemas 
utilizar as relações termodinâmicas: 
  1212 TTchhPvuh pi  
Neste caso, a equação da energia em regime permanente se 
torna 
 






SCeixo
AdVgzVhWQ
 
2
2
 
 
Fox: 4.8 
Moran: 5.2; 5.3 
 
EXERCÍCIO 
1) Um compressor aspira o escoamento de ar com vazão de 
0,1kg/s através de uma abertura de 1=10cm e descarrega em 
um tubo de 2=2cm conecatado a um tanque de 
armazenamento. Para uma potência de 6hp, determine o calor 
liberado, se na entrada T1=30oC e P1=92kPa e na saída 
T2=60oC e P2=300kPa. 
Hipóteses: regime permanente, perfis uniformes de 
velocidade, gás ideal, z1=z2. 
Solução: 
Conservação da massa permanente:  SC AdV

0 
  2 221 110 AA AdVAdV

 
Perfis uniformes: 2221110 AVAV   
222111 AVAVm   
3
1
1
1 /057,115,303287
92000
.287
mkg
K
Pa
T
P


 
 
smm
A
mV /126,12
1,0057,1
1,044
22
1111
1 



 
3
2
2
2 /1376,315,333287
300000
.287
mkg
K
Pa
T
P


 
 
smmV /45,101
02,01376,3
1,044
22
22
2 



 
Conservação da energia em regime permanente para gás: 
 






SCeixo
AdVgzVhWQ
 
2
2
 
Desprezando variação de Ep 
 















2 22
2
2
21 11
2
1
1 22 AAeixo
AdVVhAdVVhWQ
  
   2
2
2
21
2
1
1 22
mVhmVhWQ eixo  














 
eixoW
VVhhmQ  





 

2
2
1
2
2
12
 
  eixoP W
VVTTcmQ  







 

2
2
1
2
2
12
 
kWhpWeixo 474,46  
  4474
2
126,1245,101306010041,0
22





 
Q 
WQ 955 
 
 
 
Fenômenos de Transporte 
 14 
AULAS 27 e 28 
EXERCÍCIO 
1) Ar na condição padrão entra em um compressor a 75m/s, 
101,3kPa e 15oC e sai à pressão e temperatura de 200kPa e 
345K, respectivamente, e com velocidade V=125m/s. A 
vazão em massa é 1kg/s. A água de refrigeração que circula 
em volta da carcaça do compressor remove 18kJ/kg de ar. 
Determine a potência requerida pelo compressor. 
Hipóteses: regime permanente, perfis uniformes de 
velocidade, gás ideal, z1=z2. 
Solução: 
Conservação da massa permanente:  SC AdV

0 
Perfis uniformes: 2221110 AVAV   
222111 AVAVm   
3
1
1
1 /225,115,288287
101300
.287
mkg
K
Pa
T
P


 
3
2
2
2 /02,2345287
200000
.287
mkg
K
Pa
T
P


 
Em regime permanente para gases: 
 






SCeixo
AdVgzVhWQ
 
2
2
 
Desprezando variação de Ep 
 















2 22
2
2
21 11
2
1
1 22 AAeixo
AdVVhAdVVhWQ
  
   2
2
2
21
2
1
1 22
mVhmVhWQ eixo  














 







 

2
2
1
2
2
12
VVhhmQWeixo  
 







 

2
2
1
2
2
12
VVTTcmQW Peixo  
kW
s
kg
kg
kJmqQ 18118   
  




 

2
75125152883451004118000
22
,Weixo 
kWWeixo 80 
 
 
 
 
 
 
 
DÚVIDAS SOBRE EXERCÍCIOS DA PROVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULAS 29 e 30 
1ª Prova (25 pontos) 
Fenômenos de Transporte 
 15 
AULAS 31 e 32 
FLUIDOESTÁTICA 
Fluidos em repouso. 
Definição de fluido: se deforma sob ação de esforço 
tangencial. 
Conclusão: fluido parado está sujeito apenas a esforços 
normais. 
Fluido em repouso: corpo rígido. 
Propriedades novas: Peso específico ():  = .g e 
 Densidade relativa (D): D = /H2O 
 
LEI DE PASCAL 
A Lei de Pascal estabelece que a pressão aplicada em um 
ponto de um fluido em repouso transmite-se integralmente 
a todos os pontos do fluido. 
 
TEOREMA DE STEVIN 
Realizando um balanço de forças em um elemento fluido 
infinitesimal em repouso 
 
g
dz
dP
dy
dP
dx
dP .,0,0  
Líquidos (incompressíveis) 
.. constg
dz
dP
   
sup
inf
sup
inf
.
h
h
P
P
dzgdP  
 infsupsupinf . hhgPP   
Gases Perfeitos (compressíveis): 
g
RT
Pg
dz
dP





 .  



 sup
inf
sup
inf
1 h
h
P
P
dz
RT
gdP
P
 
     infsupinfsup lnln hhRT
gPP  
 infsup
sup
infln hh
RT
g
P
P







 
 infsup.supinf
hh
RT
g
ePP

 
Pequenos h: supinf PP  
 
PRESSÃO ABSOLUTA E RELATIVA 
Apressão é uma grandeza que necessita de um valor de 
referência para ser expressa. 
Pressão absoluta: em relação ao vácuo. 
Pressão relativa (manométrica ou Pg): em relação a Patm. 
Patm=101,3 kPa (nível do mar) 
atmabsg PPP  
CNTP  Patm  101,3kPa; T=15oC (nível do mar) 
BH  Patm  92 kPa (840m) 
Patm = f (Altitude, T, ) 
 
MANOMETRIA 
Utiliza como princípio físico a diferença de pressão entre 
pontos de uma coluna líquida em alturas diferentes. 
 
 
A) Tanque de Decantação 
 
Metodologia: nomear interface e álgebra. 
 2112 . zzgPP O   {1} 
 32223 . zzgPP OH   {2} 
 4334 . zzgPP G   {3} 
 5445 . zzgPP Hg   {4} 
Somando as equações de {1} a {4} 
   
   5443
3222115
..
..
zzgzzg
zzgzzgPP
HgG
OHO




 
Formato Padrão. 
Determinar Px. 
B) Manômetro Simples de Coluna 
 
Objetivo: medir pressão em A. 
P1 é a mesma em ambos os lados. 
   121 .. zzgPzzgP liqatmAAA   
Manipulando,    121 .. zzgzzgPP liqAAatmA   
Caso o fluido A seja um gás, a equação se reduz a 
 12. zzgPP liqatmA   
{gases a pequenas alturas: isobáricos} 
 
BARÔMETRO DE MERCÚRIO 
 
{Medidor de Patm} 
0supinf  vácuoatm PPePP 
 infsup. hhgPP Hgvácuoatm   
hgP Hgatm .. (761 mm de Hg  atmosfera padrão) 
Fox: 3.1; 3.2; 3.3; 3.4 
Moran: 11.1; 11.2; 11.3; 11.4 
Fenômenos de Transporte 
 16 
AULAS 33 e 34 
APLICAÇÕES 
1) Determine a pressão no ponto “o” do mecanismo abaixo, 
supondo que o atrito entre o bloco e a parede é desprezível. 
 
Solução: 
Aplicando a 2a Lei de Newton na direção z, no bloco, 
FZ = 0 
0.  APAPW Óleoatm gmW . 
atmÓleo PA
MP  atmÓleo PA
gmP  . 
101300
1,0
8066,9.100
ÓleoP kPaPÓleo 1,111 
Pelo teorema de Stevin: 
 infsupÓleosupinf hhg.PP  
h.g.PP ÓleoÓleoo  
2,0.8066,9.891111100Po  kPa85,112Po  
atmoog PPP  kPa55,11Pog  
 
2) Determine uma equação para calcular a pressão 
manométrica PAg (reservatório A) em função das alturas das 
colunas (hn), das densidades dos fluidos (fluidos) e da 
aceleração da gravidade (g). 
 
Solução: 
A partir da equação:  infsupfluidosupinf hhg.PP  
 2oalcoolA1 hhg.PP  
 32glicerina12 hhg.PP  
 2hhg.PP 35Hgatm2  
Logo    35Hgatm32glicerina1 hhg.Phhg.P  
Substituindo P1 
     35Hgatm32glicerina2oalcoolA hhg.Phhg.hhg.P  
     32glicerina2oalcool35HgatmA hhg.hhg.hhg.PP  
     32glicerina2oalcool35HgatmA hhg.hhg.hhg.PP  
     32glicerina2oalcool35HggA hhg.hhg.hhg.P  
     ]hhhhhh[gP 23glicerina02alcool35HggA 
 
3) Determine a diferença de pressão entre os pontos B e C do 
escoamento de água. 
 
Solução: 
 infsupsupinf . hhgPP   
Portanto, 
12 .. hgPP OHAB  (1) 
2.. hgPP HgDA  (2) 
  3212 . hhhgPP OHDC   
Ou melhor:   3212 . hhhgPP OHCD   (3) 
Substituindo (2) em (1): 
  122 .... hghgPP OHHgDB   
  122 .... hghgPP OHHgDB   
Substituindo (3) nesta última equação: 
    1223212 ..... hghghhhgPP OHHgOHCB   
  1223212 ..... hghghhhgPP OHHgOHCB   
  1223212 ..... hghghhhgPP OHHgOHCB   
  2232 ... hghhgPP HgOHCB   
Fenômenos de Transporte 
 17 
AULAS 35 E 36 
EMPUXO HIDROSTÁTICO 
Sólido dentro de um líquido: 
 
Se o corpo ficar completamente submerso: 
Princípios: CORPO=LÍQUIDO DESLOCADO 
LCLC mmgmgmEW 
. 
LCCLCCLC mm   
 
Corpo boiando: 
CORPO SUBMERSO=LÍQUIDO DESLOCADO 
LÍQUIDOCORPO   
 
FORÇAS RESULTANTES EM PLACAS VERTICAIS 
 
A força resultante (FR) que o líquido exerce sobre a placa 
pode ser calculada por: 
 
A
atmatm
A
R AdPFeAPdF

 
O vetor área é normal à superfície. 
FR possui mesma direção e sentido oposto ao da área. 
Pela equação da hidrostática (assumindo h=-z) 
g
dh
dP . 
Solução: hgPP atm .. 
Portanto,   
A
atmR AdhgPF

.. 
Analisando efeitos atmosféricos externo, a resultante total é 

A
atmRTot AhdgFFF

.. 
Em caso de superfície não articulada, a reação normal 
horizontal necessária para mantê-la fixa é 
TotX FR

 
Além disso, é interessante observar que FR não atua no centro 
geométrico da área, pois a força não é uniformemente 
distribuída. 
Portanto, para placas verticais, a posição vertical de atuação 
de FR, denominada h’ é dada por 

AR
dAhP
F
h ..1' 
Sendo assim, para superfícies articuladas é necessário um 
balanço de momentum. Na articulação: 
0 oM 
Fox: 3.5; 3.6 
Moran: 11.5; 11.6 
EXERCÍCIO 
1) Determine a força resultante total sobre a comporta. 
 
Solução:   
A
atmR AdhgPF

.. 
Varredura: h: Ho até Ho+H  iwdhAdeiwHA ˆ.ˆ. 

 
Portanto:   


HHo
Ho
atmR wdhihgPF ˆ..

 
 
HHo
Ho
atm
HHo
Ho
atmR h
ghPwidhhgPwiF






   2.2
.ˆ..ˆ 

 
    



 22.
2
.ˆ HoHHogHoHHoPwiF atmR
 
 



 HoHHgHPwiF atmR .2.2
.ˆ 2 
  








 mmmmPamiF s
m
m
kg
R 2.3.23.2
8066,9.998
3.1013005ˆ 2
23
ikNFR ˆ3,2033

 
mmPawHPAdPF atm
A
atmatm 53101300..  

 
ikNFatm ˆ5,1519

 
ikNFFF atmRTot ˆ8,513

 
2) Se a comporta acima é articulada na parte inferior, calcule 
F1, para mantê-la fechada. 
LFHFFM RHatmo  120 
Mas, L=H+Ho-h’ 
   


HHo
Ho
atm
RA
atm
R
dhwghhP
F
dAhghP
F
h .1.1' 2
HoH
Ho
atm
R
hghP
F
wh







 3
2
32
'  
     






 3322
32
' HoHHogHoHHo
P
F
wh atm
R
 
    






 332
3
2
2
' HoHHogHHoH
P
F
wh atm
R
 
    





  332 232
3
8066,9.9982.3.23
2
101300
2033300
5'h 
mmmmh'-HoHL3,554mh' 4458,1554,323  
Portanto 
H
FLF
F
H
atmR 2
1

 
kN
m
mkNmkNF 2,220
3
5,15,15194458,13,2033
1 


Fenômenos de Transporte 
 18 
AULAS 37 e 38 
ESCOAMENTOS REAIS EM TUBOS 
Bernoulli despreza perda de carga. 
Para que exista qualquer escoamento é necessário que ele 
vença esta perda de carga. 
 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA TUBOS 




















m
Quu
m
W
zgVPzgVP
entra
ii
eixo




21
1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
 
Problema: perfil real de Velocidades não é uniforme. 
Solução:  fator de correção de Ec 




















m
Quu
m
W
zgVPzgVP
entra
ii
eixo




21
1
2
1
1
2
2
2
2
22



 
22
22 VmVmEc   . Logo, 2
3
Vm
dAV
A




 
0,2lam  e 06,1turb 
Não existe trabalho de eixo ao longo de uma tubulação. 
Então: 
 m/Quu entra2i1i  : diferença entre a energia mecânica de 
entrada e saída da tubulação. 
Representa: conversão irreversível de energia em forma de 
calor. (perda de carga total: hT) 












 2
2
222
1
2
111
22
zgVPzgVPhT




 
hT possui unidades de m2/s2 [L2/t2]. 
hT x m : potência (W) dissipada na forma de calor. 
 
PERDA DE CARGA TOTAL 
LCT hhh  
Perda de carga contínua (hC), devido ao atrito do escoamento 
com as paredes ao longo detubulação. 
Perda de carga local (hL), devido à perda de pressão pelo 
atrito do escoamento com acessórios e conexões. 
PERDA DE CARGA CONTÍNUA 
2
VLfh
2
C 
 
Fator de atrito: 







 Re,eff 
Onde e é a rugosidade da tubulação (m). 
Escoamento Laminar 
Re < 2300, 
Re
64fLam  
Escoamento Turbulento 
Re >10 000, 
2
9,0o Re
74,5
7,3
/elog25,0f















 
2
5,0
o
Turb f.Re
51,2
7,3
/elog2f

















 
Regime de Transição 
2300 < Re < 10 000 
Não modelável. 
 
 
ÁBACO DE MOODY 
Conjunto de gráficos. 
Permite avaliar f graficamente, em função de Re e de e/. 
 
RUGOSIDADE DE TUBOS (e) 
 
 
PERDAS DE CARGA LOCAIS 
Para alguns acessórios existem valores tabelados de k e para 
outros de Le/. 
Observadas todas as perdas localizadas: 
 
2
VLefkh
2
L 












  
 
PERDAS DE ENTRADA E SAÍDA 
 
Saída: expansão brusca. 
0,1ksaída  (submersa) e 0ksaída  (jato livre) 
 
PERDAS EM EXPANSÕES E CONTRAÇÕES 
 
AR é a relação entre as áreas de seção. 
 
PERDAS EM VÁLVULAS E CONEXÕES 
 
Válvulas: posição completamente aberta. 
 
Fox: 8.6; 8.7; 8.8 
Moran: 14.5 
Fenômenos de Transporte 
 19 
AULAS 39 E 40 
EXERCÍCIOS 
1) Calcule a perda de carga na tubulação de PVC e LH, de 
forma que a vazão de água seja 1kg/s. (Patm=92kPa) 
 
 
sm
m
mVAVm
m
kg
s
kg
/19,3
02,0998
1.44
2
3
22222  

 
smV /01  (tanque) 
63662
0010
020193998 3 
ms
kg
s
m
m
kg
,
m,,VRe

 (turbulento) 
z1=7m; z2=0m; P1=P2=Patm=92000Pa 
Equação da Energia para escoamentos reais: 












 2
2
222
1
2
111
22
zgVPzgVPhT




 
 
22
2
1
2
22
1
VzgVzghT










 
 
2
22
2 25632
193061
780669
s
m,
,,
m,h s
m
s
m
T  
Fator de atrito (PVC  tubo liso, e=0): 
2
90
2
90 63662
745250745
73
250























  ,,o
,log,
Re
,
,
/elog,f  
01970,fo  
2
50
512
73
2















 ,
of.Re
,
,
/elogf  
01980
0197063662
5122
2
50 ,,.
,logf , 













 
Perdas Localizadas: 
Entrada borda viva: k=0,5; saída jato livre: k=0; 
Válvula gaveta: Le/=8; Cotovelo 90o: Le/=30. 
 
2
2VLefkhL 











  
 
     22
2
409
2
193
30280198050 s/m,
,
,,h s
m
L  
Equação de perda de carga: 
LTCLCT hhhhhh  
22
2
2
2
2 85534092563 s/m,,,h smsmC  
Perda contínua: 
 
22
22 VLLfVLfh VHC 

 
 
m,m
,,
,.m,.L
Vf
hL
s
m
s
m
V
C
H 77319301980
855302022
2
2
2
2 
 
 
1) Calcule a potência da bomba operando com tubulação de 
=5cm feita em aço (e=46m), de forma que a vazão de água 
seja 1kg/s. (Patm=92kPa) 
 
 
s/m,
m,
.mV
m
kg
s
kg
510
050998
144
2
3
2


 
25465
0010
050510998 3 
ms
kg
s
m
m
kg
,
m,,VRe

 
s/m,VVes/mVV 5100 2341  
m,z;m,zz;mz 58500 4321  
2
90
6
25465
745
73
0501046250
















 ,o
,
,
m,/mlog,f 
02670,fo  
2
50
6
0267025465
512
73
05010462
















 ,,.
,
,
m,/mlogf 
02650,f  
Perdas Localizadas: 
Entrada reentrante: k=0,78; saída submersa: k=1; 
Válvula globo: Le/=340; Cotovelo 90o: Le/=30; válvula 
pé com crivo guiado: Le/=420. 
      
2
510
340303420026501780
2
s
m
L
,
,,h  
22163 s/m,hL  
Contínua: 
   
2
510
050
215050802650
2
s
m
C
,
m,
mmm,m,m,h  
228270 s/m,hC  
22993 s/m,hhh LCT  
Energia: 
m
W
zg
VP
zg
VP
h eixoT 



















 4
2
444
1
2
111
22




 
m
Wzg.P.g.Ph eixoatmatmT 













 4
2
4
2
1
2
0
0
2
0 



 Teixo hzgmW  4 
 222 99358806691 smsmskgeixo ,m,,W  
W,Weixo 387 
 
a) Calcular P2 (aspiração). 
b) Calcular P2 se bomba está instalada na saída da tubulação, 
uma vez que aposição da bomba não altera a potência. 
 
 
Fenômenos de Transporte 
 20 
AULAS 41 E 42 
EXERCÍCIOS 
1) Calcule a potência da bomba operando com tubulação de 
=2cm feita em aço (e=46m), de forma que a vazão de água 
seja 1kg/s. (Patm=92kPa) 
 
 
s/m,
m,
.mV
m
kg
s
kg
1893
020998
144
2
3
2  
 
63662
0010
0201893998 3 
ms
kg
s
m
m
kg
,
m,,VRe

 (turbulento) 
s/m,VVes/mVV 18930 3241  
m,z;m,zz;mz 58500 3321  
2
90
6
63662
745
73
0201046250
















 ,o
,
,
m,/mlog,f 
02690,fo  
2
50
6
0269063662
512
73
02010462
















 ,,.
,
,
m,/mlogf 
02660,f  
Perdas Localizadas: 
Entrada reentrante: k=0,78; saída submersa: k=1; 
Válvula globo: Le/=340; Cotovelo 90o: Le/=30; válvula 
pé com crivo guiado: Le/=420. 
      
2
1893
340303420026601780
2
s
m
L
,
,,h  
2202124 s/m,hL  
Contínua: 
   
2
1893
020
215050802660
2
s
m
C
,
m,
mmm,m,m,h  
221581 s/m,hC  
2218205 s/m,hhh LCT  
Energia: 
m
W
zg
VP
zg
VP
h eixoT 



















 4
2
444
1
2
111
22




 
m
Wzg.P.g.Ph eixoatmatmT 













 4
2
4
2
1
2
0
0
2
0 



 Teixo hzgmW  4 
 222 1820558806691 smsmskgeixo ,m,,W  
W,Weixo 5288 
 
Em relação ao exercício da última aula: 
2,5x  V6,25x  Weixo3,3x 
 
2) Refaça o problema, dividindo-o em 3 partes (aspiração, 
recalque e bomba). Substitua a água por óleo. Utilize =5cm. 
Solução: 
 
 
s/m,
m,
.mV
m
kg
s
kg
5720
050891
144
2
3
2  
 
8187
290
0505720891 3 ,
,
m,,VRe
ms
kg
s
m
m
kg


 (laminar) 
s/m,VVes/mVV 57200 2341  
m,z;m,zz;mz 58500 3321  
72890
8187
6464 ,
,Re
f  
Aspiração 
Perdas Localizadas: Entrada reentrante: k=0,78; Cotovelo 
90o: Le/=30; válvula pé com crivo guiado: Le/=420. 
      22
2
7153
2
5720
30142072890780 sm
s
m
LA ,
,
,,h 
Contínua: 
   
2
2
2
764
2
5720
050
1505072890 sm
s
m
C ,
,
m,
mm,m,,h
A


 
224758 s/m,hhh LACATA  

















 2
2
222
1
2
111
22
zgVPzgVPhTA




 






 2
2
2 2
zgVhPP TAatm

 






 5,0.8066,9
2
572,0247,5889192000
2
2P 
PaP 352432  
Recalque 
Perdas Localizadas: saída submersa: k=1; Válvula globo: 
Le/=340; Cotovelo 90o: Le/=30. 
       22
2
7947
2
5720
302340728901 sm
s
m
LR ,
,
,h  
Contínua: 
   
2
2
2
8523
2
5720
050
2872890 sm
s
m
CR ,,
m,
mm,h  
22771 s/m,hhh LRCRTR  

















 4
2
444
3
2
333
22
zgVPzgVPhTR




 
  






2
2
343
VzzghPP TRatm

 







2
572,028.8066,97,7189192000
2
3P 
PaP 2254953  
Bomba: 
  WPaPPmW
m
kgs
kg
eixo 214891
225495352431
3
32 





 
 
 
 
 
Desafio: verificar P2, para =2cm. 
Fenômenos de Transporte 
 21 
AULAS 43 E 44 
EXERCÍCIOS 
1) Uma bomba, com Weixo= -500W, bombeia água através de 
uma tubulação lisa (e=0) Determine a vazão mássica. 
Patm=92kPa e =5cm. 
 
Perda Localizada: 
Entrada borda viva: k=0,5; saída submersa: k=1; 
Válvula gaveta: Le/=8; Cotovelo 90o: Le/=30. 
    
2
3048150
2Vf,hL  
22 64750 VfV,hL  
Perda Contínua: 
  22 380
2050
82208 VfV
m,
mmmmfhC 

 
22 444750 VfV,hhh LCT  
 
m
W
zg
VP
zg
VP
h eixoT 



















 2
2
222
1
2
111
22




 
Dados: P1=P2=Patm; z1=3m; z2=9m; V1=V2=0m/s 
    TeixoeixoT hzzgmWm
W
zzgh  1221 

 
  Teixo hzzg
VW  12
2
4
 
  Teixo hzzgV
W


122
4

 
    222 4447503980669050998
5004 VfV,,V
,



 
 22 444750845816255 VfV,,V,  
  0162558458750444 3  ,V,V,f 
Processo Iterativo: 
a) Estimativa do valor de fi (0,025) 
b) Calcular V: 
  0162558458750444 3  ,V,V,f 
c) Calcular Re: 
V
,
,VVRe 49900
0010
050998


 
d) Calcular fo e f: 
2
90
745
73
250












 
,o Re
,
,
/elog,f  
2
50
512
73
2















 ,
of.Re
,
,
/elogf  
e) Conferir o erro de f: 
%
f
fifErf 100 
f) Se Erf<1%, finalizar. Caso contrário, partir para a próxima 
iteração. Neste caso, fi = f. 
 
 
Solução iterativa: 
1ª Iteração: 
fi=0,025 
  01625584587500250444 3  ,V,V,, 
01625584588511 3  ,V,V, 
Solução numérica: s/m,V 22 
1097802249900  s/m,Re 
01750
109780
7450250
2
90
,,log,f
,o











 

 
01770
01750109780
51202
2
50 ,,.
,logf , 













 
%%
,
,,Erf 41100
01770
025001770


 
2ª Iteração: 
fi=0,0177 
  016255845875001770444 3  ,V,V,, 
01625584586098 3  ,V,V, 
Solução numérica: s/m,V 382 
11876238249900  s/m,Re 
01720
118762
7450250
2
90 ,
,log,f ,o 










 

 
01740
01720118762
51202
2
50 ,,.
,logf , 













 
%,%
,
,,Erf 71100
01740
0177001740


 
3ª Iteração: 
fi=0,0174 
  016255845875001740444 3  ,V,V,, 
0162558458488 3  ,V,V, 
Solução numérica: s/m,V 3842 
118962Re 
01720
118962
7450250
2
90 ,
,log,f ,o 










 

 
01740
01720118962
51202
2
50 ,,.
,logf , 













 
%%
,
,,Erf 0100
01740
0174001740


 
 
Portanto: s/m,V 3842 
  s/kg,m,s/m,Vm m
kg 74
4
0503842998
4
2
3
2


 
 
Na impossibilidade de solução direta do polinômio: 
01625584588511 3  ,V,V, 
3
8511
845816255
,
V,,V
*
 
Processo iterativo interno: 
s/m,Vs/mV * 2622  
s/m,Vs/m,V * 182262  
s/m,Vs/m,V * 202182  
s/m,Vs/m,V * 202202  
 
 
 
Fenômenos de Transporte 
 22 
AULAS 45 e 46 
EQUAÇÃO EM ALTURA MANOMÉTRICA 
A perda de carga total pode ser dada em metros, dividindo-a 
por g. 
Logo: 
g
h
H TT  
Portanto: 

















 2
2
222
1
2
111
22
z
g
V
g
Pz
g
V
g
PHT




 
Todos os componentes da Eq. são dados em m. 
 
RENDIMENTO DE BOMBAS () 
Nem toda a energia que é fornecida a uma bomba na forma 
de trabalho de eixo é convertida em energia hidráulica. 
Fontes de Perdas de Energia: 
1. Fugas de massa: fluido penetra nas folgas e labirintos da 
máquina promovendo perda de energia. 
2. Camada Limite: camada limite ao longo das pás. 
3. Atrito Lateral do Rotor: camada limite ao longo entre rotor 
e estator. 
 
POTÊNCIAS 
Bomba acoplada a motor. 
Potência Nominal ( NomW ): potência que o motor fornece ao 
rotor de uma bomba. 
Potência Disponível ( DispW ): parte da potência nominal que 
é transformada em energia hidráulica. 
Potência de Projeto ( eicoW ): potência hidráulica que fluido 
deverá receber, definida no projeto. 
O rendimento de uma bomba é dado por: 
Nom
Disp
W
W


 
Funcionamento da bomba: Dispeixo WW   
 
CURVAS DE RENDIMENTOS EM BOMBAS 
Uma bomba com NomW fixa, apresenta variação da DispW para 
o fluido em função de n e de m . 
Portanto:  n,m,Wf Disp  
 
 
Cada bomba possui uma curva característica diferente. 
 
Projeto: definida a vazão mássica ( m ) e a potência (
eixoW ) 
em que a bomba deve operar. 
 
m e 
eixoW  catálogo de bomba (escolha da bomba) 
Curva de rendimento: determinar n,  e DispW . 
n e Cálculo de NomW  selecionar motor 
 
ALTURA DE INSTALAÇÃO DE BOMBAS 
Bombas instaladas em um nível acima do reservatório 
(aspiração): 
 
Possibilidade de problemas: cavitação e pressão mínima de 
aspiração. 



















 hg
2
VPPh
2
2221
T 
A pressão mínima de aspiração (PM-ASP) é definida pelo 
fabricante da bomba. Se P2 for inferior, a bomba não 
funciona. 
A pressão de vaporização do fluido à temperatura máxima 
que o escoamento pode alcançar (PVAP) pode ser verificada 
em uma simples tabela de vaporização do líquido 
bombeado. 
VAP2ASPM2 PPePP   
Tabela de vaporização da água 
 
g2
V
g
h
g
PP
he
g2
V
g
h
g
PP
h
2
22TVAP1
2
22TASPM1 







 
 
INSTALAÇÕES DE BOMBEAMENTO 
1) Equações: usar i (e, Nom) 
2) Incrustações: fator de segurança: =i/2 
3) Escorvar uma bomba: encher de líquido sua carcaça e toda 
a tubulação de aspiração, de modo que ela entre em 
funcionamento sem possibilidade de bolhas de ar em seu 
interior. Opção: válvula de pé. 
4) Dutos não circulares:
P
A4
h  (diâmetro hidráulico) 
 
 
 
 
 
DÚVIDAS SOBRE EXERCÍCIOS DA PROVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULAS 47 e 48 
2ª Prova (25 pontos) 
 
 
Fenômenos de Transporte 
 23 
AULAS 49 e 50 
B) TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 Condução: transferência de calor através de um meio 
estacionário; 
 Convecção: transferência de calor entre superfície e fluido 
adjacente em movimento; 
 Radiação: transferência de calor entre superfícies na forma 
de ondas eletromagnéticas ou fótons. 
 
Conceitos 
Quantidade Significado Símbolo Unidades 
Energia 
Interna 
Energia associada ao comportamento 
microscópico da matéria 
u J/kg 
Temperatura Medida de quantidade de energia 
térmica armazenada na matéria 
T K ou C 
Calor Quantidade de energia térmica 
transferida em um intervalo de tempo 
Q J 
Taxa de Calor Energia térmica transferida por 
unidade de tempo 
q W 
Fluxo de 
Calor 
Energia térmica transferida por 
unidade de tempo e de área normal 
de superfície 
q” W/m2 
 
Condução 
Transferência devido a atividade atômicae molecular, de 
partículas mais energéticas para menos energéticas, 
devido a interações. 
Gases: 
• temperatura local está associada à energia das 
moléculas (movimento aleatório de translação, 
rotação interna e vibração molecular); 
• Colisão molecular: freqüente e promove 
transferência de energia de moléculas de maior 
para de menor energia; 
• Transferência por condução ocorre da maior para a 
menor temperatura. 
Líquidos: 
• condução ocorre de forma similar a dos gases, mas 
de forma mais forte, devido à proximidade 
molecular. 
Sólidos: 
• Energia transferida através de ondas nas estruturas 
dos retículos induzidas por movimento atômico. 
• Nos condutores, além destas ondas, a condução se 
dá através de translação de elétrons livres. 
Taxa de transferência por condução (Lei de Fourier): 
 
Condução unidimensional permanente através de uma parede 
plana de condutividade constante: 
 
 
Convecção 
Mecanismos da convecção: 
• Difusão: movimento molecular aleatório; 
• Advecção: movimento global do fluido. 
Troca de calor entre superfície e escoamento com 
temperaturas diferentes: formação de camadas-limite. 
 
 
Difusão predominante próximo à parede, baixas velocidades. 
Não-deslizamento: nas partículas fluidas em contato com a 
parede o transporte exclusivo por difusão. 
Tipos: natural (ou livre), forçada ou mista. 
Lei de Resfriamento de Newton: 
 
Se Ts < T, trocar sinal dentro dos parênteses. 
 
Radiação 
Radiação: energia emitida por matéria a uma temperatura não 
nula. 
Emissão: associada à mudança nas configurações eletrônicas 
dos átomos. 
A radiação é emitida ou absorvida na forma de fótons e se 
propaga como ondas eletromagnéticas. 
Não é necessário de meio para propagação. 
Poder Emissivo (radiação emitida por emissor perfeito  
corpo negro): 
 
 
Uma superfície real emite apenas fração de Eb: 
 (0    1) 
Irradiação (G): incidente sobre uma superfície; 
A radiação absorvida (Gabs) pode ser calculada por: 
Gabs= G (0    1) 
onde  é a absortividade da superfície. 
Troca líquida por radiação: pequena superfície (Ts), com 
superfície isotérmica que envolve a pequena superfície 
(Tviz). O fluxo líquido de radiação é calculado por: 
 
Para hipótese de superfície cinzenta:  =  
 
 
Para transferência combinada: 
 
 
Incropera: 1,1; 1.2 
Moran: 15.1; 15.2; 15.3 
Fenômenos de Transporte 
 24 
AULAS 51 e 52 
EXERCÍCOS 
1) Uma tubulação de vapor sem isolamento térmico está 
instalada no interior de uma sala com escoamento e 
paredes a Tviz=25oC. Sabendo que o diâmetro externo do 
tubo é =7cm e L=10m, que sua temperatura superficial é 
Ts=200oC e que a emissividade é 0,8, calcule o poder 
emissivo e a irradiação na superfície do tubo. Qual a troca 
líquida por radiação entre parede e tubo? Se o coeficiente 
convectivo entre tubo e ar é de h=15W/m2K, calcule a 
transferência total de calor. 
Considerações: 
a) regime permanente; 
b) paredes circundam tubo completamente; 
c) temperatura do escoamento igual à da parede; 
d) tubo com superfície cinzenta ==80%. 
K,TTeK,T vizambS 1529815473  
Radiação emitida pela tubulação: 
4
STE  
  242 2273154731067580 48 mWKmW K,,,E 
 
Irradiação sobre o tubo: 
4
vizTG  
  242 4481529810675 48 mWKmW K,,G 
 
Fluxo líquido de radiação: 
44
vizS
"
rad TTq   
 44 vizS"rad TTq   
    448 15298154731067580 42 K,K,,,q KmW"rad   
21915 m
W"
radq  
Taxa líquida de radiação: 
Aqq "radrad  
Lqq "radrad  
mm,q
m
W
rad 100701915 2   
Wqrad 4210 
Taxa calor por convecção do tubo para o ambiente da sala: 
  TThAq sconv 
  TTLhq sconv  
 CCmm,q oo
Km
W
conv 252001007015 2   
W,qconv 75772 
 
PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA 
A condutividade térmica é uma medida da capacidade do 
material em transferir calor por condução. 
dxdT
qk x" (W/mK) 
Os sólidos são compostos por elétrons livres e por átomos 
ligados a um arranjo periódico em forma de rede. 
O transporte de calor ocorre através da migração de elétrons 
livres e por ondas vibracionais na rede. 
rel kkk  
kel é inversamente proporcional à resistividade elétrica, sendo 
bastante elevado para metais. 
Para não metais, kr é mais significativo que kel. Materiais 
cristalinos (quartzo) possuem arranjo de rede mais 
ordenado que sólidos amorfos (como o vidro). 
Podem inclusive superar metais: kDiamante > kAlumínio 
Isolamentos térmicos podem ser obtidos com materiais de 
baixa condutividade térmica. 
A criação de espaços ocos na estrutura do sólido forma um 
isolamento celular (espumas). 
O isolamento refletivo é criado por lâminas de materiais 
dispostas em camadas múltiplas paralelas. 
 Nos fluidos, a transferência de calor ocorre de forma 
predominante por colisões moleculares. Em geral, as 
condutividades térmicas de gases são inferiores às dos 
líquidos que, por sua vez, são geralmente inferiores às dos 
sólidos. 
Capacidade Calorífica Volumétrica (.cp): mede a 
capacidade de um material em armazenar energia térmica. 
Difusividade Térmica (): relação entre a capacidade de um 
material conduzir calor e a capacidade deste material 
armazenar calor. 
pc
k
.
  
Materiais com pequenos valores de  responderão lentamente 
às variações de calor e poderão ser utilizados para 
armazenamento de calor. 
 
 
Incropera: 2.1; 2.2 
Moran: 16.1 
 
 
 
Fenômenos de Transporte 
 25 
AULAS 53 e 54 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL PERMANENTE 
A Lei de Fourier é empírica. 
Observações: xq;Tq;kq;Aq  1 . 
A condução de calor ocorre no sentido da temperatura 
decrescente. 
dx
dTkAqx  
O fluxo térmico é uma grandeza direcional, normal à área da 
seção reta (A). 
A Lei de Fourier pode ser escrita de forma vetorial: 






 k
dz
dTj
dy
dTi
dx
dTkTkq ˆˆˆ" 
onde  representa o operador vetorial gradiente em 
coordenadas cartesianas. 
O fluxo de calor é perpendicular às isotermas (linhas de 
temperatura constante). 
 
Equação da Difusão de Calor 
Equação diferencial, em que sua solução permite determinar 
o campo de temperaturas em um meio estacionário. 
Coordenadas cartesianas: 
 
Condução unidimensional em um meio, sem geração e com 
propriedades constantes: 
 
Condições Iniciais e de Contorno 
Para condução transiente, a equação de calor requer 
distribuição inicial de temperaturas. 
Como a equação da energia é de primeira ordem no tempo, 
apenas uma condição inicial deve ser estabelecida para esta 
coordenada. 
Em relação às condições de fronteira, duas condições de 
contorno devem ser estabelecidas para cada coordenada 
espacial necessária para descrever o sistema (pois a 
equação é de segunda ordem no espaço). 
 
 
Em coordenadas cilíndricas: 
 
Condição unidimensional permanente sem geração: 
01 









r
Tkr
rr
 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL PERMANENTE 
PAREDE PLANA 
 
Equação de Calor (unidimensional, permanente, sem 
geração): 0





dx
dTk
dx
d 
Solução (para k constante): 
    2120
0
0
CxCxTCx
k
CxT
k
C
dx
dTC
dx
dTk

 
Aplicação de condições de contorno: 
    210 ,s,s TLTeTT  
Substituindo: 
 
 
    112
12
111
1221 00
,s,s,s
,s,s
,s
,s
T
L
xTTxT
L
TT
CTL.CLT
TCC.CT




 
Taxa e Fluxo de Calor (Lei de Fourier), constantes: 
)TT(
L
k
dx
dTkq
)TT(
L
kA
dx
dTkAq
,s,s
"
x
,s,sx
21
21


 
 
 
Incropera: 2.3; 2.4; 3.1.1 
Moran: 16.1; 16.2; 
Fenômenos de Transporte 
 26 
AULAS 55 e 56 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONALPERMANENTE 
ANALOGIA DE CIRCUITOS TÉRMICOS 
A resistência térmica é definida por: 
I
VR
q
TR
ialogana
x
t



 
 W/K
Ah
R;
hA
R;
kA
LR
r
rad,tconv,tcond,t
11
 
Resistência à convecção e à radiação são paralelas. 
 
Circuito em Série 
A corrente elétrica é constante: 
TotR
VI  
Resistência equivalente: 321 RRRRTot  
A tensão é o somatório da tensão em cada resistência: 
IRVIRVIRV 332211 ;;  ; 321 VVVV  
Circuito em Paralelo 
A tensão elétrica é constante: TotRIV . 
Resistência equivalente: 
321
1111
RRRRTot
 
A corrente é o somatório das correntes em cada resistência: 
3
3
2
2
1
1 ;; R
VI
R
VI
R
VI  ; 321 IIII  
 
PAREDE COMPOSTA 
 
     
...
Ak/L
TT
Ak/L
TT
Ah/
TT
q
AhAk
L
Ak
L
Ak
L
Ah
R
R
TT
q
BBAA
,s,s,
x
C
C
B
B
A
A
t
t
,,
x














3221
1
11
41
41
1
11 
 
Materiais compostos: 
 
Solução real entre os circuitos (seções transversais 
isotérmicas ou seções longitudinais adiabáticas): 
 
 
TUBOS 
Condução unidimensional permanente com k constante sem 
geração: 
0001 
























dr
dTr
dr
d
r
Tr
rr
k
r
Tkr
rr
  21
111
1
C)rln(CrT
r
drCdT
r
C
dr
dTC
dr
dTr

  
Solução:   2
221
21
,s
,s,s T
r
rln
)r/rln(
TT
rT 





 
Fourier: 
)r/rln(
TT
Lk
dr
dTkAqrLA ,s,sr
12
2122

  
)r/rln(
TT
r
kq ,s,s"r
12
21  
Taxa é fixa e fluxo variável. 
rL.hhA
Re
Lk
)r/rln(R conv,tcond,t  2
11
2
12  
 
TUBO COM PAREDES COMPOSTAS 
 
LrhLk
)r/rln(
Lk
)r/rln(
Lk
)r/rln(
Lrh
R
R
TT
q
CBA
t
t
,,
r
44
342312
11
41
2
1
2222
1



 
Lrh
TT
...
Lk
)r/rln(
TT
Lrh
TT
q s
A
ss,
r
44
44
12
21
11
11
2
1
22
1

 



 
Incropera: 3.1.2; 3.1.3; 3.3.1 
Moran: 16.2 
 
 
Fenômenos de Transporte 
 27 
 
 
AULAS 57 e 58 
EXERCÍCIOS 
1) Um forno utiliza uma janela de 0,5m2 composta para 
separar o interior do forno do ar ambiente. Esta janela 
possui dois plásticos (A e B), com espessuras LA e LB 
(LA=2LB) e condutividades kA=0,15W/mK e 
kB=0,08W/mK. As temperaturas do ar no interior do forno 
e das paredes internas valem T1=TP=400oC. Determine a 
espessura da janela (LA+LB), sabendo que a temperatura 
ambiente externa vale T2=25oC e que a temperatura 
externa de segurança da janela é de T3=50oC. Considere 
os coeficientes convectivos internos e externos de 
hi=he=25W/m2K. Analisar a janela como corpo cinzento 
de =0,8. 
Considerações: Regime estacionário, unidimensional, 
ausência de geração, propriedades constantes, radiação 
externa desprezível. 
 
Fora do forno: 
  W,m,
CC
Ah
TT
q
Km
W
oo
e
,
x 531250251
2550
1 2
23
2




  
Dentro do forno: 
Ah
TT
Ah
TT
qqq
r
P
i
,
radconvx 11
111 

  
Como TP=T,1 
  AhAhTTq riPx  1 
   ri
x
P
ri
x
P hhA
qTT
hhA
qTT



 11 
Portanto, forma-se um sistema não linear 2 x 2: 
 
  






2
1
2
1
1
TTTTh
hhA
qTT
PPr
ri
x
P

 
Solução iterativa: 
 
  






 2
1
2
1
8
1
15673156731067580
2550
531215673
T,T,,.,h
h,
,,T
r
r
 
1ª iteração: Estimativa: hr=25W/m2K 
T1=660,65K 
hr=53,8W/m2K 
2ª iteração: Estimativa: hr=53,8W/m2K 
T1=665,22K 
hr=54,4W/m2K 
3ª iteração: Estimativa: hr=54,4W/m2K 
T1=665,28K 
hr=54,4W/m2K 
Portanto: T1=665,28K=392,13oC 
Na janela do forno: 
 
xB
B
A
A
BBAA
x q
ATT
k
L
k
L
AkLAkL
TT
q 3131




 
Como LA=2LB 
   
 BAx
B
xB
B
A
B
kkq
ATTL
q
ATT
k
L
k
L
12
2 3131




 
 
  mm,,,W,
m,CC,L
mk
W
mk
W
oo
B 221080115025312
505013392 2



 
mm,LLLemm,LL BABA 6634422  
 
2) Um escoamento de vapor a T=360oC no interior de um 
tubo de alumínio (kA=237W/mK) de e=7cm e i=6cm, 
possui um coeficiente convectivo de hi=100W/m2K. O 
tubo é revestido com uma camada de 1mm de cortiça 
(kC=0,039W/mK). Externamente ao revestimento, passa 
um escoamento com he=15W/m2K e Tamb=25oC. 
Determine a temperatura superficial do isolamento. 
Considerações: Regime estacionário, unidimensional, 
ausência de geração, propriedades constantes, ausência de 
radiação. 
Solução: r1=0,03m; r2=0,035m; r3=0,036m 
 
LrhLk
)r/rln(
Lk
)r/rln(
Lrh
R
R
TTq
eCAi
t
t
amb
r
3
2312
1 2
1
222
1



  
036,0152
1
039,02
)035,0/036,0ln(
2372
)03,0/035,0ln(
03,01002
1LR t 

 
m
W
K,LRt 46280 
m
W
W
K
oo
t
ambr ,
m,
CC
LR
TT
'q
L
q 78723
46280
25360




  
Temperatura superficial externa: 
  ambee
amb T
rh
'qT
rh
TT'q 
3
3
3
3
221 
 
C,C
m,
,T oo
Km
W
m
W
3223825
0360215
78723
2
3  
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte 
 28 
AULAS 59 e 60 
ALETAS 
Aleta: superfície estendida com objetivo de aumentar taxa de 
troca de calor com o ambiente por convecção (e radiação). 
Lei do resfriamento de Newton: aumentar q através de 
redução de T, ou aumento de h, ou aumento de A. 
Variação de T e h: geralmente inviável. 
Solução: aumento da A de troca por convecção (aleta). 
A aleta deve possuir a máxima k, minimizando diferenças de 
T(x) e maximizando taxas locais por convecção. 
Exemplos: cilindros de pistões (compressores e motores), 
radiadores, transformadores elétricos. 
A condução na aleta é aproximada por análise 
unidimensional. A taxa de calor por condução reduz com x. 
 
Seção reta constante: plana e cilíndrica 
  02
2
 TTkA
hP
dx
Td
SR
 
Mudança de variáveis: 
  022
2
2   

 m
dx
d
kA
hPmeTxT
SR
 
Solução exata (ED linear, homogênea, 2ª ordem, coeficientes 
constantes):   mxmx eCeCx  21 
Condições de Contorno: 
1) Base (x=0):     bbb TTTT   00 
2) Topo (x=L): 
 
a) Aleta infinita (m.L≥2,65) 
mx
bb
e
TT
TT 

 




 
SRba hPkAMq  
 
b) Extremidade Adiabática 
 
mLcosh
xLmcosh
b



 
mLtghhPkAq SRba  
onde:  
 aa
aa
eeacosh
eeasenh




2
1
2
1
 e 
aa
aa
ee
eeatgh 



 
 
c) Convecção na extremidade da aleta 
     
  mLsenhmk/hmLcosh
xLmsenhmk/hxLmcosh
b 



 
 
  mLsenhmk/hmLcosh
mLcoshmk/hmLsenhhPkAq SRba 

 
 
Aletas possuem resistência térmica condutiva. 
Não existe garantia de aumento da taxa de calor. 
Efetividade da aleta: 
bSR
a
a .A.h
q

  
O uso de aletas é justificado apenas se: a ≥ 2. 
Para o caso de aleta com L  : 
2
1







SR
a A.h
P.k
 
a pode ser aumentado por:  k (aleta),  P/ASR (aletas mais 
finas),  h (escoamentos de gases). 
Materiais sugeridos para aletas: alumínio e cobre. 
Cuidados: espaçamento pequeno pode afetar h. Reduzir h 
aumenta a, mas reduz qa. 
Parede com fluido dos dois lados: aleta no lado de menor h 
maximiza qa. 
Analisando condições de contorno. estudadas para 
extremidade da aleta: qa é