Fenômenos do Transporte-apostila

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FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE
Professora Drª. Denise Maria Malachini Miotto Bigatão
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; BIGATÃO, Denise Maria Malachini Miotto. 
 
 Fenômenos de Transporte. Denise Maria Malachini Miotto Bi-
gatão. 
 Reimpressão
 Maringá-Pr.: UniCesumar, 2018. 
 203 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Fenômenos 2. Transporte . 3. Engenharia 4. EaD. I. Título.
 ISBN 978-85-459-0744-2
CDD - 22 ed. 303
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
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Iconografia
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Projeto Gráfico
Jaime de Marchi Junior
José Jhonny Coelho
Arte Capa
Arthur Cantareli Silva
Editoração
Fernando Henrique Mendes
Qualidade Textual
Hellyery Agda
Ilustração
Gabriel Amaral da Silva, Marta Kakitani
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Diretoria Operacional 
de Ensino
Diretoria de 
Planejamento de Ensino
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quando 
investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou 
profissional, nos transformamos e, consequentemente, 
transformamos também a sociedade na qual estamos 
inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportu-
nidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de 
alcançar um nível de desenvolvimento compatível com 
os desafios que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica 
e encontram-se integrados à proposta pedagógica, con-
tribuindo no processo educacional, complementando 
sua formação profissional, desenvolvendo competên-
cias e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em 
situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal 
objetivo “provocar uma aproximação entre você e o 
conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento 
da autonomia em busca dos conhecimentos necessá-
rios para a sua formação pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cresci-
mento e construção do conhecimento deve ser apenas 
geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos 
que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. Ou 
seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente Virtual de 
Aprendizagem, interaja nos fóruns e enquetes, assista 
às aulas ao vivo e participe das discussões. Além dis-
so, lembre-se que existe uma equipe de professores 
e tutores que se encontra disponível para sanar suas 
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de aprendiza-
gem, possibilitando-lhe trilhar com tranquilidade e 
segurança sua trajetória acadêmica.
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Professora Drª. Denise Maria Malachini Miotto Bigatão
Possui graduação em Engenharia Química pela Universidade Estadual de 
Maringá (1999), mestrado (2002), doutorado (2005) e pós-doutorado 
(2010) em Engenharia Química na área de Desenvolvimento de Processos 
pela Universidade Estadual de Maringá, atuando principalmente em temas 
relacionados ao reaproveitamento de resíduos e desenvolvimento de novas 
tecnologias. Atualmente é professora de Fundamentos da Química Ambiental 
no Curso Superior de Gestão Ambiental e Química Geral e Inorgânica no Curso 
de Engenharia de Produção na Unicesumar.
SEJA BEM-VINDO(A)!
Este livro foi elaborado com o objetivo de apresentar conceitos básicos sobre os Fenô-
menos de Transporte para você, caro (a) aluno(a) de Engenharia de Produção. Diante de 
todos os assuntos a serem abordados ao longo das cinco Unidades deste livro, nosso 
maior objetivo é, além do conhecimento, ajudá-lo a responder um questionamento que 
se possa fazer a respeito dessa disciplina: por que estudar os fenômenos de transporte?
Podemos responder a esta pergunta mencionando que não há praticamente nenhum 
setor da atividade humana que não seja, de alguma forma, influenciado por problemas 
de mecânica dos fluidos, transferência de massa e troca de calor. Isso quer dizer que 
tanto em processos industriais quanto em situações diárias do nosso cotidiano há inte-
rações de massa e de energia entre os componentes envolvidos. Por esse motivo, todo 
engenheiro deve ter noções básicas sobre estas ciências.
Para tanto, os assuntos foram discutidos preferencialmente de forma teórica. Alguns tó-
picos, entretanto, tiveram uma abordagem fenomenológica, resultando em equações 
matemáticas capazes de descrever situações eventualmente observadas na atividade 
profissional de engenheiros de diversas áreas e até mesmo em nosso cotidiano.
O conteúdo deste livro foi distribuído em função da sua importância no aprendizado 
dos futuros engenheiros de produção. Por esse motivo, iniciamos o estudo pela mecâ-
nica dos fluidos, ou seja, pelo fenômeno de transporte de quantidade de movimento 
e destacamos esse tema, prolongando sua abordagem desde a UnidadeI até parte da 
Unidade 4. 
O fenômeno de transferência de quantidade de movimento estuda o comportamento 
dos fluidos. Desta forma, abordamos as principais propriedades dos fluidos, destacando 
seu comportamento de forma estática, cinemática e dinâmica.
Em seguida, introduzidos de maneira teórica e resumida conceitos fundamentais do 
fenômeno de transferência de massa. Finalmente, na Unidade 5, abordamos as diferen-
tes formas de transferência de calor e apresentamos as características dos principais 
dispositivos usados para troca térmica, os trocadores de calor. Estes equipamentos são 
amplamente empregados nas indústrias, de modo que o conhecimento de seu funcio-
namento se faz necessário para qualquer estudante de engenharia.
Convido-o a participar desta experiência de descrição e simulação da natureza e de 
processos não espontâneos observados na atividade humana. Para tanto, integramos 
ciências como a matemática, a física e a química, já estudadas em disciplinas anteriores 
do curso de Engenharia de Produção.
APRESENTAÇÃO
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
PROPRIEDADES, ESTÁTICA E CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
15 Introdução
16 Definição e Propriedades dos Fluidos 
28 Estática dos Fluidos 
40 Cinemática dos Fluidos 
49 Considerações Finais 
53 Referências 
54 Gabarito 
UNIDADE II
EQUAÇÕES DA ENERGIA E DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA 
REGIME PERMANENTE
57 Introdução
58 Equação da Energia Para Regime Permanente 
77 Equação da Quantidade de Movimento Para Regime Permanente 
85 Considerações Finais 
90 Referências 
91 Gabarito 
SUMÁRIO
10
UNIDADE III
ANÁLISE DIMENSIONAL E ESCOAMENTO DE FLUIDOS 
INCOMPRESSÍVEIS
95 Introdução
96 Análise Dimensional 
101 Escoamento Permanente de Fluidos Incompressíveis 
118 Considerações Finais 
123 Referências 
124 Gabarito 
UNIDADE IV
PROPRIEDADES E DINÂMICA DOS FLUIDOS E TRANSFERÊNCIA DE 
MASSA
127 Introdução
128 Medida das Propriedades dos Fluidos e dos Escoamentos 
137 Dinâmica dos Fluidos 
142 Transferência de Massa Por Difusão 
150 Considerações Finais 
156 Referências 
157 Gabarito 
SUMÁRIO
11
UNIDADE V
TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM REGIME PERMANENTE
161 Introdução
162 Transferência de Calor Por Condução 
181 Transferência de Calor Por Convecção 
188 Trocadores de Calor e Radiação Térmica 
194 Considerações Finais 
201 Referências 
202 Gabarito 
203 Conclusão 
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Professora Drª. Denise Maria Malachini Miotto Bigatão
PROPRIEDADES, ESTÁTICA E 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Apresentar as definições das principais propriedades dos fluidos.
 ■ Introduzir o conceito de pressão manométrica e aprender de que 
forma forças externas agem sobre um fluido estático.
 ■ Compreender, por meio do balanço de massa, as equações que 
descrevem o movimento de um fluido. 
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Definição e Propriedades dos Fluidos
 ■ Estática dos Fluidos
 ■ Cinemática dos Fluidos
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) a disciplina de Fenômenos de Transporte. 
Você deve estar se perguntando, por que é necessário estudá-los? Esta pergunta 
será respondida gradativamente nas cinco unidades deste livro, de modo que 
você poderá observar que os fenômenos de transferência de quantidade de movi-
mento, massa e calor estão presentes em situações do cotidiano.
Diversos setores da atividade humana envolvem continuamente interações 
de massa e de energia entre seus componentes. Assim, o engenheiro precisa ter 
noções básicas sobre temas como mecânica dos fluídos, troca térmica e transfe-
rência de massa, para que possa resolver problemas e tomar decisões técnicas e 
gerenciais em sua atividade profissional.
Iniciamos nosso estudo com definições sobre fluidos e suas propriedades 
fundamentais, tais como viscosidade, massa e peso específicos, além de classifi-
cá-los a partir da Lei de Newton. Em seguida, apresentamos a estática dos fluidos, 
ilustrada inicialmente pela Lei de Pascal, na qual abordamos a pressão exercida 
em um ponto de um fluido e que resulta na equação manométrica, sendo pos-
teriormente desenvolvidos os conceitos de carga de pressão e empuxo.
Na cinemática dos fluidos, os escoamentos serão classificados como per-
manente ou transiente e laminar ou turbulento, em função dos parâmetros 
considerados em sua análise. Finalmente, encontraremos a equação da continui-
dade para regime permanente, fundamental no estudo da mecânica dos fluidos.
Todos os temas introduzidos nesta unidade são necessários para compreen-
são dos fenômenos de transferência de quantidade de movimento. As definições 
apresentadas nesta unidade devem ser assimiladas, pois serão muito utilizadas na 
discussão das próximas unidades, nas quais serão realizados balanços de massa 
e energia para o escoamento de fluidos.
Boa leitura!!
Introdução
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Figura 1- Água, nosso fluido do cotidiano
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DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
Segundo Brunetti (2008), a mecânica dos fluidos é a ciência que estuda o com-
portamento físico dos fluidos, assim como as leis que regem esse comportamento. 
Muitos ramos de aplicação da engenharia lançam mão de leis da mecânica dos 
fluidos para obter resultados de aplicação prática, de modo que o aprendizado 
dessa ciência faça parte do conhecimento básico de um engenheiro.
Antes de iniciarmos o detalhamento das definições de fluido e suas proprie-
dades, é necessário recordarmos conceitos primários relacionados aos temas de 
estudo dos engenheiros na disciplina de Fenômenos de Transporte.
De acordo com Braga Filho (2006), sistema ou corpo é definido como a quan-
tidade de matéria (massa ou volume) que estamos considerando. Por exemplo, 
um litro de água, um bloco de ferro, um balão de aniversário, até mesmo uma 
seringa pode ser considerada um sistema.
Os sistemas podem se dividir em sistema aberto ou fechado. Quando toda 
a matéria está encerrada dentro de um corpo e se mantém constante dizemos 
que se trata de um “sistema fechado”, como é o caso do litro de água e do bloco 
de ferro, que podemos verificar na imagem a seguir. 
Definição e Propriedades dos Fluidos
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Litro de água
Blocos de ferro
Balão de aniversário Seringa
Figura 2- Sistemas abertos e Sistemas fechados
Fonte: Shutterstock. 
Por outro lado, há situações nas quais a massa atravessa os limites do sistema, 
como é o caso do balão de aniversário, que recebe gás e se enche por meio de 
uma abertura do sistema e, ainda da seringa, que possui uma abertura pela qual 
é introduzido o fluido coletado como apresentado na figura acima. Esses siste-
mas são considerados “sistemas abertos”. Para estudá-los definimos o volume de 
controle, ou seja, uma região delimitada por fronteiras ou limites desse sistema 
no qual é realizada a sua análise.
Tudo aquilo que não faz parte do sistema ou do volume de controle é deno-
minado “meio” ou vizinhança. As fronteiras ou limites do sistema separam o 
sistema ou volume de controle do meio e podem ser rígidas, como em uma gar-
rafa de água, deformáveis, como no balão de aniversário, móveis, como em uma 
seringa,isoladas termicamente, como em uma garrafa térmica, ou permeáveis, 
como nos filtros.
Tanto o sistema, quanto o meio ou vizinhança são compostos por maté-
ria, que possui massa e volume. Toda matéria possui características próprias da 
sua natureza, que denominamos de propriedades. Desta forma, estudar as pro-
priedades da matéria ou de um fluido em particular representa determinar suas 
características que podem ser quantificadas quando submetemos esse fluido a 
condições físicas específicas, tais como temperatura e pressão.
PROPRIEDADES, ESTÁTICA E CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
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DEFINIÇÃO DE FLUIDO
Fluido é considerado uma substância que não possui forma definida, pois assume 
o formato do recipiente em que está inserido. A Figura 3, a seguir, ilustra a defi-
nição de fluidos, ao compará-los a um corpo sólido.
Superfície livre
Sólido Líquido
Fluídos
Gás
Figura 3- Ilustração de Fluido
Fonte: Brunetti (2008).
Segundo a figura, podemos observar que os fluidos constituem os líquidos e os 
gases. Entretanto, vemos diferenças entre os dois tipos de fluidos, pois os gases 
preenchem todo o recipiente, enquanto os líquidos possuem uma superfície 
livre. Outra forma de definirmos fluido, envolvendo uma força tangencial apli-
cada ao sistema (Ft), resultante da Experiência das Duas Placas, mostrada no 
exemplo abaixo: 
O sangue humano é um fluido impulsionado por uma bomba denominada 
coração, que percorre uma tubulação muito ramificada composta por veias 
e artérias! 
Definição e Propriedades dos Fluidos
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A D
B C
A D
B C
(a) (b)
F = Ct
tc
A D
B C
(b)
F = Ct
tc
Figura 4- Experiência das Duas Placas 
Fonte: Brunetti (2008). 
Nesta experiência, o fluido é colocado entre duas placas, sendo possível visua-
lizarmos um determinado volume ABCD do fluido. A placa inferior é mantida 
fixa, enquanto a placa superior será deslocada.
Com base no princípio da aderência, consideramos que os pontos do fluido 
indicados nas placas apresentam a velocidade da placa a qual estão aderidos, 
ou seja, os pontos B e C adquirem a velocidade da placa inferior (que será nula 
porque a placa inferior se mantém fixa), enquanto os pontos A e D terão a velo-
cidade desenvolvida pela placa superior ( ).
Analisando a figura anterior, vemos que o volume de fluido ABCD, sob 
a ação da força Ft, sofre contínua deformação, pelo tempo em que a placa for 
mantida em movimento. Desta forma, podemos definir fluido como sendo uma 
substância que, ao ser submetido a uma força tangencial constante, deforma-se 
continuamente sem atingir um equilíbrio estático.
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LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE
Para compreendermos a Lei de Newton, é necessário primeiro definir a tensão 
de cisalhamento. Para tanto, vamos considerar a próxima ilustração, na qual uma 
força está sendo aplicada sobre uma superfície de área A.
A
F
F
n
Ft
Figura 5- Tensão de Cisalhamento 
Fonte: Brunetti (2008).
A força pode ser decomposta, resultando em uma força normal 
( ) e uma força tangencial ( ). De acordo com Fox e McDonald (2001), a 
força ou tensão de cisalhamento ( ) é definida como o quociente entre o módulo 
da força tangencial e a área da superfície considerada, sendo representada por 
unidades como kgf/m2 (Sistema MKS), dina/cm2 (Sistema CGS) ou N/m2 (SI):
Considerando novamente a Experiência das Duas Placas temos que a placa supe-
rior é inicialmente acelerada pela força Ft, passando de uma velocidade nula, 
quando ainda estava fixa, para uma velocidade constante (v0). Para o equilíbrio 
dinâmico do sistema, a resultante das forças deve ser nula, de modo que a força 
Ft aplicada na placa é equilibrada por forças internas ao fluido.
E como aparecem essas forças internas ao fluido? Para compreender devemos 
considerar o princípio da aderência mencionado anteriormente, pois o fluido 
aderido à placa superior vai adquirir velocidade v0, enquanto o fluido aderido à 
placa inferior vai ter velocidade nula. 
Defi nição e Propriedades dos Fluidos
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As camadas do fl uido entre as placas, por sua vez, terão velocidades inter-
mediárias entre 0 e v0, formando um diagrama de velocidades, no qual cada 
camada do fl uido deslizará sobre a camada adjacente com uma velocidade dife-
rente da anterior. Assim, será gerada uma espécie de atrito entre as camadas do 
fl uido, que origina uma força tangencial interna ao mesmo, assim equilibrando 
a força tangencial externa aplicada.
A fi gura a seguir apresenta de forma esquemática o diagrama de velocida-
des mencionado.
(a) (b)
(c)
F t
y
B
A
v0
v0
v1
v
v2
v2
v1
(v1 é maior
que v2)
Diagrama de
velocidades
y
y
y+dy
v+dv
v
Figura 6- Diagrama de Velocidades da Experiência das Duas Placas 
Fonte: Brunetti (2008).
 Na fi gura já apresentada observamos que a força tangencial interna ao fl uido é 
resultado da tensão de cisalhamento criada pela diferença de velocidades v1-v2 
(v1 é maior do que v2) entre as camadas de fl uido.
Newton observou que a tensão de cisalhamento é proporcional ( ) ao gra-
diente de velocidades entre as camadas de fl uido, ao longo do eixo y no sistema 
cartesiano. Esta observação resultou na Lei de Newton da Viscosidade.
PROPRIEDADES, ESTÁTICA E CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
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Como resultado, dizemos que os fl uidos que obedecem à Lei de Newton da vis-
cosidade são chamados de “fl uidos newtonianos”, enquanto os fl uidos que não 
seguem essa lei são denominados “fl uidos não newtonianos”.
A grande maioria dos fl uidos como água, óleo, ar, entre outros, são consi-
derados “newtonianos”. Os fl uidos não newtonianos não serão abordados neste 
livro, em função do elevado grau de especifi cidade de suas equações e utilizações.
VISCOSIDADE ABSOLUTA
De acordo com a Lei de Newton da viscosidade, observamos que há uma cons-
tante de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento ( ) e o gradiente de 
velocidade (dv/dy) ao longo do eixo y. Essa constante de proporcionalidade é 
denominada “viscosidade dinâmica ou absoluta”, e é representada por µ. Assim, 
obtemos: dv
dy
Os fl uidos não newtonianos apresentam comportamentos distintos da sua 
viscosidade mediante variação da tensão de cisalhamento, de modo que 
podem ser divididos em fl uidos pseudoplásticos, dilatantes ou plásticos. 
Fluidos pseudoplásticos são aqueles nos quais a viscosidade decresce com 
o aumento da taxa de cisalhamento. A maioria dos alimentos, tintas e emul-
sões são pseudoplásticos. 
Já nos fl uidos dilatantes, a viscosidade aumenta com o aumento da taxa de 
cisalhamento. Este tipo de comportamento é mais raro que a pseudoplasti-
cidade, sendo observado em fl uidos contendo altos níveis de defl oculantes 
como argilas, lama, amido de milho em água e ingrediente de balas. 
Os fl uidos plásticos, por sua vez, se comportam como sólidos em condições 
estáticas ou de repouso e após aplicação de uma tensão de deformação co-
meçam a se mover, comportando-se como fl uido newtoniano, pseudoplás-
tico ou dilatante.
Fonte: Sissom e Pitts (1988).
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A viscosidade é uma propriedade que caracteriza cada fluido e depende das con-
dições a que o fluido está submetido, principalmente sua temperatura. Um mesmo 
fluido em condições de temperatura distintas apresenta viscosidades diferentes. 
Líquidos e gases variam de forma diferente ao aumento da temperatura do fluido. 
Nos líquidos, o aumento da temperatura diminui sua viscosidade, enquanto nos 
gases o aumento da temperatura resulta em aumento da viscosidade.A viscosi-
dade diminui com o aumento da temperatura para líquidos, pois para estes uma 
maior temperatura tende a diminuir a intensidade das forças de coesão existentes 
entre as moléculas, deixando-as mais livres, facilitando o escoamento, que carac-
teriza redução da viscosidade. Para os gases, o aumento da temperatura aumenta 
a agitação das moléculas, que tendem a colidir com maior frequência, prejudi-
cando no escoamento desse fluido, caracterizando um aumento da sua viscosidade.
Por definição, a viscosidade se origina da coesão e dos choques entre as 
moléculas, não sendo observável em um fluido em repouso. Entretanto, com o 
movimento do fluido, a viscosidade equilibra as forças tangenciais externas apli-
cadas. Em outras palavras, dizemos que a viscosidade consiste na propriedade que 
indica a maior ou a menor dificuldade de o fluido escoar, ou seja, se movimentar.
Partindo da definição de viscosidade e considerando as unidades das gran-
dezas consideradas, temos que:
F
L
L
L2
dv
dydv
dy
 µ= = FL-2 
 = = = =mas
Força
Área
e T
Encontramos, então, a unidade de medida da viscosidade:
Nos diferentes sistemas de unidades (Sistema MKS, Sistema Internacional (SI), 
Sistema CGS), podemos encontrar as seguintes unidades de viscosidade:
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Podemos utilizar ainda o centipoise (cpoise), que corresponde a um centésimo 
de poise, ou seja, 1 cpoise = 0,01 poise.
MASSA ESPECÍFICA
Segundo Brunetti (2008), os fl uidos representam matéria contínua e homogênea, 
de modo que suas propriedades médias calculadas representam suas proprie-
dades pontuais. Essa simplifi cação permite introduzir defi nições para diversas 
propriedades dos fl uidos, dentre elas sua massa específi ca ( ), defi nida como a 
massa de fl uido por unidade de volume.
Para encontrar sua unidade, partimos das unidades de massa e volume, da 
seguinte forma:
 =
[m] = F
Nos diferentes sistemas de unidades (Sistema MKS, Sistema Internacional (SI), 
sistema CGS), obtemos as seguintes unidades de massa específi ca:
No sistema MKS utiliza-se a unidade “utm”, que signifi ca “unidade técnica de 
massa”, que corresponde à massa que, sendo submetida a 1kgf de força, sofre uma 
aceleração de 1m/s2. Para convertê-la em kg, consideramos que 1utm = 9,8kg.
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PESO ESPECÍFICO
O peso específico ( ) é definido como o peso do fluido por unidade de volume. 
Considerando como G o peso do fluido e V o seu volume, temos:
Examinando as unidades de peso e volume, podemos obter a unidade de peso 
específico da seguinte forma:
Cujas unidades nos sistemas MKS, SI e CGS são:
Podemos relacionar a massa específica (Р) ao peso específico ( ) considerando a 
definição de peso como sendo a multiplicação entre massa e gravidade (G = mg).
Desta forma, observamos que assim como massa e peso são relacionados pela 
gravidade, para obter o peso específico de um fluido, basta multiplicar sua massa 
específica pela gravidade.
FLUIDO IDEAL
Fluido ideal é aquele que possui viscosidade nula. Isso significa que o fluido 
ideal escoa sem perdas de energia por atrito, pois sua tensão de cisalhamento 
também é nula.
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Como o próprio nome supõe, fl uido ideal é um fl uido não real. No entanto, 
apesar de não haver fl uido ideal na prática, muitas vezes consideramos essa 
hipótese simplifi cadora com objetivo didático ou quando verifi camos que a vis-
cosidade não apresenta um efeito signifi cativo no sistema considerado.
FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
Segundo Fox e McDonald (2001), um fl uido é considerado incompressível 
se o seu volume não varia quando a pressão aplicada sobre ele é modifi cada. 
Consequentemente, se o volume do fl uido incompressível não muda com a varia-
ção da pressão, então a massa específi ca ( ) desse fl uido, defi nida como a razão 
entre massa e volume de fl uido, também não mudará com a variação da pres-
são aplicada sobre esse fl uido.
Na prática, frequentemente, os líquidos são considerados fl uidos incom-
pressíveis, por apresentarem um comportamento muito próximo ao descrito. 
Até mesmo os gases, em condições nas quais a pressão do sistema sofre apenas 
pequena variação, podem ser considerados fl uidos incompressíveis.
Para fi ns didáticos e na resolução de problemas práticos de escoamento 
de fl uidos, se for observado que o fl uido se comporta proximamente ao fl uido 
incompressível, ou seja, tem seu volume e consequentemente sua massa especí-
fi ca praticamente inalterados mediante variações de pressão, o estudo do mesmo 
será realizado com base nas leis estabelecidas para fl uidos incompressíveis.
EQUAÇÃO DE ESTADO DOS GASES
Quando os gases não puderem ser considerados como fl uidos incompressíveis 
e, ao mesmo tempo, forem observados efeitos térmicos, é necessário considerar 
a variação da massa específi ca (P) (resultante da variação do seu volume) em 
função da pressão e da temperatura do sistema.
Em uma mudança de estado dos gases, usamos comumente a Equação de 
estado dos gases ideais para relacionar as suas propriedades.
Definição e Propriedades dos Fluidos
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A equação relaciona a pressão absoluta (P), a massa específica (P), a temperatura 
absoluta do sistema (T, em Kelvin) e a constante da lei dos gases (R).
Quando há mudança de estado de um gás, de um estado 1 (inicial) para um 
estado 2 (final), as propriedades do sistema se modificam, resultando na varia-
ção da massa específica do gás (P1 para P2). Considerando que a constante R 
permanece inalterada, podemos encontrar a seguinte relação.
Quando a mudança de estado do gás ocorre sem a variação da temperatura, 
dizemos que o sistema sofreu um processo isotérmico, no qual T1 é igual a T2. 
Nesse caso obtemos:
Quando a mudança de estado do gás se dá a pressão constante (p1 igual a p2), temos 
um processo isobárico e a equação de estado dos gases fica da seguinte forma:
Finalmente, se a mudança de estado do gás ocorre sem a variação do volume 
e, consequentemente, sem a variação da massa específica (P1 igual a P2), trata-
-se de um processo isocórico ou isométrico, que resulta na seguinte equação.
Os fluidos apresentam propriedades tais como viscosidade, massa específica e 
peso específico, e podem ser submetidos a condições características de pressão, 
temperatura e volume. De acordo com a influência dessas propriedades e vari-
áveis de estado no comportamento de um fluido, podemos classificá-los como 
sendo fluidos reais, ideais ou incompressíveis.Figura 7- Fluido em repouso
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ESTÁTICA DOS FLUIDOS
No estudo da estática dos fluidos, uma vez compreendidas as principais proprie-
dades que os caracterizam, podemos determinar as principais forças que agem 
sobre um fluido em repouso.
PRESSÃO
Como já vimos anteriormente, uma força (F) aplicada a uma superfície se decom-
põe em uma força tangencial (Ft), que origina a tensão de cisalhamento, e uma 
força normal (Fn), causadora da pressão exercida nessa superfície.
Para Brunetti (2008), se considerarmos que a pressão exercida ponto a ponto 
em toda a superfície é uniforme, calculamos a pressão média da seguinte forma:
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É necessário tomar cuidado para não confundir pressão com força. Por esse 
motivo, a ilustração da figura a seguir apresenta esquematicamente duas situa-
ções hipotéticas, em que a mesma força está sendo aplicada em superfícies com 
áreas diferentes, e que resultará em pressões distintas.
A1 = 10cm² A2 = 5cm²p1 p2
(a) (b)
100 N 100 N
Figura 8- Definição de pressão 
Fonte: Brunetti (2008).
Podemos calcular as pressões (p1 e p2) exercidas sobre as duas superfícies. Em 
(a) temos uma área A1 = 10cm2, enquanto em (b) temos que A2 = 5cm2. Nos dois 
casos, as placas são submetidas a uma força de 100N.
Concluímos portanto, que força e pressão são grandezas distintas, pois a pres-
são depende da superfície exposta a força aplicada.
TEOREMA DE STEVIN
O Teorema de Stevin diz que “a diferença de pressão entre dois pontos de um 
fluido em repouso é igual ao produto do peso específico do fluido pela diferença 
de cotas dos dois pontos”.
Para melhor compreender o teorema, consideremos o desenho da figura a 
seguir. Os pontos N e M formam o eixo MN, que possui um ângulo “α” com o 
plano horizontal.
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IU N I D A D E30
α
N dG
h
p M
PMdA
PN dA
dA
ZN
ZM
Plano horizontal
Figura 9- Teorema de Stevin
Fonte: Brunetti (2008).
As cotas dos pontos N e M em relação ao plano horizontal são, respectivamente, 
“zN” e “zM”. A diferença entre as cotas de N e M é representada por “h”, de modo 
que h = zM - zN.
Consideramos “g” o peso específico do fluido. De acordo com o Teorema 
de Stevin, temos que:
Podemos notar que a distância entre os dois pontos não é considerada, pois não 
há influência da distância na pressão exercida no ponto, apenas as diferenças 
de altura ou cotas, além do peso específico do fluido. Desta forma, dois pontos 
com mesma cota ou altura em relação a um mesmo plano horizontal não pos-
suem diferença de pressão.
LEI DE PASCAL
A Lei de Pascal postula que “a pressão aplicada num ponto de fluido em repouso 
é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido”. O princípio da Lei de 
Pascal se aplica em prensas hidráulicas, dispositivos de controle, freios, ou seja, 
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em dispositivos que transmitem e ampliam uma força por meio da pressão apli-
cada em um fluido, como no exemplo a seguir.
 ■ Exemplo: Uma prensa hidráulica é ilustrada. Os êmbolos (1) e (2) têm áreas 
distintas, A1=10cm2 e A2=100cm2, respectivamente. Se for aplicada uma 
força F1=200N no êmbolo (1), qual será a força F2 aplicada no êmbolo (2)? 
p2 p1
(2) (1)
F2 F1
Figura 10- Prensa hidráulica
Fonte: Brunetti (2008).
A pressão exercida pelo êmbolo (1) é igual a: 
Dessa equação temos que F1=p1.A1, e analogamente, F2=p2.A2. De acordo com a 
Lei de Pascal, a pressão do êmbolo (1) será integralmente transmitida ao êmbolo 
(2), de modo que podemos considerar p1=p2 e então:
Calculamos p1 a partir de F1=200N e A1=10cm2. Considerando que A2=100cm2, 
obtemos então F2.
Podemos observar que, como a pressão é transmitida integralmente de um 
êmbolo para o outro, no êmbolo de maior área (êmbolo 2) obtivemos uma força 
proporcionalmente maior.
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CARGA DE PRESSÃO
Segundo o teorema de Stevin, em um fluido podemos considerar que pressão 
(p) e altura (h) são diretamente proporcionais.
A altura (h) quando multiplicada pelo peso específico do fluido ( ), resulta na 
pressão exercida pelo fluido em um determinado ponto, e é denominada “carga 
de pressão”. 
A definição de carga de pressão é mais facilmente compreendida quando 
temos um fluido dentro de um recipiente, e queremos determinar a pressão exer-
cida pelo fluido (carga de pressão, h) em uma profundidade determinada, como 
apresenta na figura a seguir:
Figura 11- Carga de pressão 
hB
hA
A
B
Fonte: Brunetti (2008).
No ponto A, temos que a pressão exercida pelo fluido é pA = .hA, e a carga de 
pressão é hA. Analogamente, no ponto B temos que a pressão exercida pelo fluido 
é pB = .hB, e a carga de pressão é hB. 
Por outro lado, quando o fluido está escoando por um duto, e não há como 
medir a profundidade, a carga de pressão é visualizada de outra forma, como 
exemplificado aqui.
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(a)
p
(a)
h
p
Figura 12- Carga de pressão em um duto 
Fonte: Brunetti (2008).
Podemos observar na ilustração (a) da figura já apresentada um fluido com peso 
específico “ ” escoando por um duto à uma pressão “p”. Já na ilustração (b), por 
sua vez, consideramos que um pequeno orifício foi aberto no duto, sendo aco-
plado um tubo de vidro. 
Se a pressão interna (p) for maior do que a pressão externa, que nesse caso 
pode ser considerada a pressão atmosférica, o fluido tende a subir pelo tubo de 
vidro até alcançar uma altura “h”, quando equilibra as pressões interna e externa, 
como mostrado na ilustração (b). Nesse caso, podemos escrever: fluido.hcoluna = 
pduto, e concluímos que hcoluna é a carga de pressão obtida. 
 Portanto, é possível considerar a carga de pressão de um fluido mesmo 
se não houver profundidade. Dizemos que a carga de pressão “h” representa a 
altura a qual pode ser alcançada uma coluna de fluido quando submetido a uma 
pressão “p”.
ESCALAS E UNIDADES DE PRESSÃO
Segundo Brunetti (2008), quando medimos a pressão e a relacionamos ao vácuo, 
ou seja, pressão zero, dizemos tratar-se da “pressão absoluta”. Por outro lado, 
quando adotamos a pressão atmosférica como referência, temos a chamada 
“pressão efetiva”, pois estamos descontando a pressão exercida pelo ambiente. A 
pressão atmosférica não é um valor fixo, pois varia com a altitude.
Os manômetros são aparelhos de medida de pressão, e praticamente todos 
registram a pressão efetiva, pois marcam zero quando abertos à atmosfera. Dessa 
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forma, os manômetros determinam a pressão do fluido descontando-se a pres-
são atmosférica.
Para relacionarmos as três formas de medida de pressão fazemos: pabsoluta = 
patmosférica + pefetiva. Nos manômetros, obtemos pefetivado fluido (pabsoluta - patmosférica).
 As unidades de pressão (p) mais utilizadas são: kgf/m2, kgf/cm2, lb/pol2 
= psi, N/m2 = Pa (pascal). 
Para carga de pressão (h), as unidades mais usadas são: mmHg (milímetros 
de coluna de mercúrio), mca (metros de coluna de água), cmca (centímetros de 
coluna de água). 
A pressão atmosférica é representada por unidade atmosfera (atm), podendo 
ser relacionada às outras unidades de pressão da seguinte forma: 1atm = 760 
mmHg = 101,23 kPa = 10.330 kgf/m2 = 1,033 kgf/cm2 = 14,7 psi.
Exemplo: Consideremos a pressão efetiva de 340mmHg. Determine essa 
pressão em outras unidades: kgf/cm2, kPa, psi e atm.
Portanto, obtemos: 340mmHg = 0,461kgf/cm2 = 45,3kPa = 6,6psi = 0,447atm. 
MANÔMETROS E A EQUAÇÃO MANOMÉTRICA
Os manômetros são equipamentos de medida de pressão muito utilizados. Sua 
configuração é bastante variável, podendo ser baseado na deformação de um 
metal ou no desnível de um fluido.
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Manômetro metálico ou de Bourbon
Esses manômetros têm esse nome porque a pressão é medida pela deformação de 
um tubo metálico, como mostrado na figura de “Manômetro metálico”. Quando 
o manômetro é ligado, a pressão que está atuando no sistema deforma o tubo, 
causando um deslocamento da sua extremidade. Por um sistema de alavancas, 
a deformação do tubo é relacionada com a pressão do reservatório.
Fluído à pressão p
Tomada de
pressão
Sistema de
ampliaçãoTubo
metálico
Figura 13- Manômetro metálico 
Fonte: Brunetti (2008).
A leitura do mostrador nos fornece a pressão efetiva “p” do fluido no reservatório.
Manômetro com tubo em U
Agora apresentaremos uma figura com dois manômetros com tubo em U. Na 
ilustração (a) da figura, temos um manômetro com um dos lados aberto para a 
atmosfera e preenchido com fluido manométrico, que normalmente é o mercú-
rio. A presença do mercúrio permite a medida da pressão até mesmo de gases, 
pois o fluido impede que os gases sejam liberados para a atmosfera.
Já na ilustração (b) observamos um manômetro de tubo em U ligado a dois 
reservatórios, ilustrados por A e B, sem nenhuma saída para a atmosfera. Esses 
manômetros são denominados “manômetros diferenciais”. 
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IU N I D A D E36
h1
h2
�uído
manométrico
A
(a) (b)
A A
Figura 14- Manômetros com tubo em U 
Fonte: Brunetti (2008).
Equação manométrica
A equação manométrica representa uma expressão que permite determinar a 
pressão de um reservatório ou a diferença de pressão entre dois reservatórios 
utilizando-se um manômetro em U.
O manômetro diferencial apresentado na próxima figura, desenvolve dois 
reservatórios. Podemos calcular a diferença de pressão entre os mesmos par-
tindo do lado esquerdo ou do lado direito.
h4
h3
h1
h2
PA
PB
A
B
M
Figura 15- Cálculo da Equação manométrica
Fonte: Brunetti (2008).
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Devemos considerar que, segundo a Lei de Pascal, a pressão aplicada em um 
ponto do fl uido é transmitida integralmente a todos os pontos do fl uido. De 
acordo com o teorema de Stevin, sabemos que a diferença de pressão entre dois 
pontos de um fl uido é igual ao produto do peso específi co do fl uido pela dife-
rença de cotas dos dois pontos. 
Se quisermos tomar como base o fundo do manômetro, ou seja, a base das 
cotas (h1, h2, h3 e h4), podemos calcular a pressão do fundo pelo lado esquerdo 
(pfe), a partir do reservatório A, e a pressão do fundo pelo lado direito (pfd), par-
tindo do reservatório B, da seguinte forma:
Considerando que o fl uido está em equilíbrio, a pressão no mesmo nível (fundo) 
deve ser a mesma. Logo pfe = pfd. Igualando as duas expressões, obtemos:
Observando a expressão obtida, percebemos que o peso específi co ( ) é sem-
pre multiplicado pela altura da coluna considerada. Com base nessa observação, 
existe uma regra prática que facilita o desenvolvimento da equação manométrica. 
A regra prática estabelece que ao iniciarmos pelo lado esquerdo (do reser-
vatório A), devemos somar à pressão pA, as pressões das colunas descendentes 
e subtrair as pressões das colunas ascendentes, de acordo com a ilustração da 
fi gura apresentada a seguir.
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h4
h4h3
h3
PA
PB
h6
h6
h5
h5
h1
h1
h2 h2
2
1 4
3
5
6
PA
PB
1 1hPA PB2 2h 3 3h 4 4h 5 5h 6 6h =
Figura 16: Regra prática de cálculo da Equação manométrica
Fonte- Brunetti (2008).
SUPERFÍCIES SUBMERSAS E EMPUXO
Segundo Fox e McDonald (2001), quando uma superfície se encontra submersa 
em um fluido, existem forças que atuam nesse corpo de modo a mantê-lo em 
equilíbrio. Nesse sentido, a variação linear da pressão com a profundidade afeta 
significativamente o equilíbrio das forças que atuam nas superfícies submersas. 
Para superfícies submersas planas, se o fluido está em repouso, não existem 
forças tangenciais agindo sobre a superfície, pois todas as forças que atuam serão 
normais à superfície submersa.
Por outro lado, para superfícies reversas não planas, as forças existentes nos 
diversos elementos de área da superfície são diferentes em direção e módulo, 
tornando a determinação das forças uma tarefa bastante complexa. Nesse caso, 
podemos determinar a força resultante nas direções horizontal e vertical, desde 
que as duas componentes (vertical e horizontal) estejam em um mesmo plano.
A seguir, observamos na figura uma superfície AB qualquer, projetada sobre 
um plano vertical de modo a originar a superfície plana A´B´, representada em 
(a). Analogamente, a projeção da superfície em um plano horizontal originou a 
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superfície plana A´´B´´ apresentada em (b). 
B”
B”
A’
V
F’ Fx
Fy
B
(a) (b)
A
B
G
A
A”
Figura 17- Forças que atuam em uma superfície submersa
Fonte: Brunetti (2008).
De acordo com a ilustração (a), as únicas forças horizontais que agem no corpo 
submerso são F´e Fx, de modo que F´= Fx, ou seja, a componente horizontal que 
age sobre qualquer superfície submersa é igual à força horizontal que age em 
uma superfície plana.
A componente vertical é obtida quando o plano A´´B´´ coincide com a 
superfície livre do fl uido. Se a pressão exercida na superfície livre do fl uido for 
a pressão atmosférica, as únicas forças verticais serão o peso G e a força vertical 
Fy resultante da pressão na superfície AB. 
A diferença entre Fy e G consiste em uma força vertical para cima, denotada 
por “E” e denominada “empuxo”. Portanto, temos que E = Fy - G.
A expressão que calcula o empuxo pode ser explicada pelo princípio de 
Arquimedes: “Num corpo total ou parcialmente imerso num fl uido, age uma 
força vertical de baixo para cima, chamada empuxo, cuja intensidade é igual ao 
peso do volume de fl uido deslocado” (BRUNETTI, 2008, p. 37). 
Se um corpo estiver completamente submerso, ele somente fl utuará se o seu 
peso “G” for menor que a força que o leva para a superfície, o empuxo “E”. Ou 
seja, se GE.
A estática dos fl uidos descreve de que forma uma força que se transfere ao 
fl uido na forma de pressão age sobre as propriedades do fl uido ponto a ponto. 
Além da pressão, observamos a infl uência da força peso e de forças horizontais, 
em alguns casos.
Figura 18- Fluido em movimento
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IU N I D A D E40
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
No estudo da cinemática dos fluidos, ao contrário do que ocorre com a estática, 
consideramos o fluido em movimento, classificando o seu regime de escoamento 
em função das suas propriedades.
REGIME PERMANENTE E TRANSIENTE
De acordo com Brunetti (2008), o regime permanente descreve o escoamento 
de um fluido no qual as suas propriedades são invariáveis em cada ponto com 
o passar do tempo. Isso quer dizer que as propriedades do fluido podem variar 
de ponto a ponto, mas não há mudança em um determinado ponto com o pas-
sar do tempo. 
O regime transiente ou variado, por outro lado, corresponde ao escoamento de 
um fluido no qual suas propriedades em um dado ponto variam com o passar do 
tempo. Apresentaremos agora uma figura que ilustra as duas situações expostas.
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Reservatório de
grandes dimensões
(regime permanente)
NC
(a) (b)
t1
t1
t2
t2
t3
t3
Nível variável
(regime variado)
Figura 19- Regime permanente (a) e Regime transiente ou variado (b)
Fonte: Brunetti (2008).
Na ilustração (a) visualizamos um reservatório de grandes dimensões e com uma 
saída de fluido de pequena dimensão. Nesse caso, consideramos que apesar de 
haver uma saída de fluido no fundo do reservatório, o nível de fluido se man-
tém praticamente constante (NC, ou seja, nível constante) ao longo do tempo, 
caracterizando o escoamento em regime permanente.
Já no caso da ilustração (b), observamos que a saída de fluido no fundo do 
reservatório influi significativamente no nível de fluido que, por sua vez, se apre-
senta de forma variável nas três tomadas de tempo indicadas na ilustração (t1, t2, 
t3). Isso quer dizer que houve variação das propriedades do fluido com o tempo, 
caracterizando o escoamento em regime transiente ou variado.
ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO
De acordo com a Experiência de Reynolds, os escoamentos foram divididos 
quanto à forma de deslocamento das partículas do fluido. Escoamento laminar 
foi considerado o escoamento no qual as partículas se deslocam em lâminas indi-
vidualizadas, sem troca de massa entre elas. Por outro lado, se as partículas do 
fluido apresentarem um movimento aleatório e não ordenado, dizemos tratar-
-se de um escoamento turbulento. Na prática, é mais comum nos depararmos 
com escoamentos turbulentos. 
Reynolds, com base em sua experiência, determinou um número adimen-
sional capaz de classificar os escoamentos como sendo laminar, turbulento ou 
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de transição entre as duas formas. Esse número recebeu o nome de “número de 
Reynolds (Re)”.
O número de Reynolds (Re) relaciona as propriedades “ ” (massa específi ca), “v” 
(velocidade do escoamento), “D” (diâmetro da tubulação) e “ ” (viscosidade) . 
Para escoamentos em tubulações, podemos relacionar o tipo de escoamento 
ao número de Reynolds (Re) da seguinte forma: Escoamento laminar (Re < 2000); 
Escoamento de transição (2000 < Re < 2400); Escoamento turbulento (Re > 2400). 
TRAJETÓRIA E LINHA DE CORRENTE
Para Fox e McDonald (2001), trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupa-
dos por uma determinada partícula em tempos subsequentes (t0, t1, t2, …, tn). A 
equação da trajetória de uma partícula é função do ponto de início (t0) do tra-
jeto e do tempo, como veremos agora.
Início
t0
t1
t2 tn
Figura 20- Trajetória de uma partícula
Fonte: Brunetti (2008).
Linha de corrente consiste em linhas tangentes aos vetores da velocidade (v1, v2, 
v3, v4) de várias partículas, consideradas todas ao mesmo tempo. Nesse caso, o 
tempo não é considerado uma variável, mas sim a velocidade das diferentes par-
tículas, como é apresentada na imagem que se segue.
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V1
V2 V3
V4
Figura 21- Linha de corrente
Fonte: Brunetti (2008).
As trajetórias e as linhas de corrente coincidem geometricamente no regime 
permanente.
ESCOAMENTO UNIDIMENSIONAL
O escoamento de um fluido é considerado unidimensional quando podemos 
descrever as propriedades do fluido e, portanto, caracterizar o tipo de escoa-
mento, utilizando apenas uma única coordenada, ou seja, considerando apenas 
uma dimensão. Na Figura 22, observamos um escoamento unidimensional des-
crito apenas pela coordenada “X”, horizontal.
(1)
(2)
x1
v1
x2 x
v2
Figura 22- Escoamento unidimensional 
Fonte: Brunetti (2008).
A partir da figura, conseguimos observar que ao longo de cada seção conside-
rada (seção (1), seção (2), etc.) foi encontrada a mesma velocidade, em qualquer 
ponto. A variação da velocidade se deu apenas quando mudamos a coordenada 
x, indo de x1 para x2, por exemplo, de modo que podemos afirmar que o escoa-
mento é uniforme (velocidade constante) nas seções.
PROPRIEDADES, ESTÁTICA E CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E44
Os escoamentos podem ainda ter suas velocidades variando nas duas coorde-
nadas (eixos “x” e “y”), no caso de escoamento bidimensional, ou três coordenadas 
(eixos “x”, “y” e “z”) quando consideramos o escoamento tridimensional. 
No escoamento bidimensional temos a velocidade como uma função de x 
e y, logo v = f(x, y), apresentado na ilustração (a) da próxima figura. No escoa-
mento, no espaço, ou tridimensional, representado na ilustração (b), a velocidade 
depende das coordenadas x, y e z, ou seja, v = f(x, y, z). 
y1 v1
v = ƒ(x, y)
v = ƒ(x, y, z)
(a) (b)
(1)
(2)
x1
y
x2
x
y
z
Figura 23- Escoamentos bidimensional (a) e tridimensional (b)
Fonte: Brunetti (2008).
Podemos verificar que o aumento do número de dimensões torna as equações 
que descrevem os escoamentos bastante complexas. Dessa forma, estudaremos 
apenas os escoamentos que possam ser considerados unidimensionais, a fim 
de utilizarmos as equações de escoamento uniforme, que serão apresentadas 
posteriormente.
VAZÃO
De acordo com Brunetti (2008), vazão (Q) é definida como o volume de fluido 
(V) que atravessa uma determinada seção do escoamento por unidade de tempo 
(t), sendo representada por unidades de volume/tempo, ou seja, m3/s, L/s, L/
min, m3/h, etc.
A figura a seguir se visualiza o escoamento de um fluido em um tubo de seção 
com área (A). Dizemos que o volume (V) do fluido que atravessa a seção, será 
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igual ao produto da área da seção (A) pela distância percorrida pelo fluido (s) 
em um instante (t) considerado, ou seja, V = A.s
Figura 24- Vazão de um fluido em seção de área A
Fonte: Brunetti (2008).
Se considerarmos que a velocidade de escoamento do fluido (v) pode ser expressa 
comoa razão entre a distância(s) percorrida(s) pelo fluido no tempo (t), teremos:
Essa expressão só se aplica a escoamentos unidimensionais, nos quais a velo-
cidade é constante ao longo da seção. Na prática, entretanto, isso não ocorre 
sempre, e devemos utilizar uma velocidade média (vm) na seção. 
A
dA
v
Figura 25- Seção de área com velocidade não uniforme
Fonte: Brunetti (2008).
De acordo com a Figura 25, devemos tomar uma diferencial de área “dA” que 
possui uma velocidade “v”, e obtemos uma diferencial de vazão dQ da seguinte 
forma: dQ = v.dA. Integrando essa expressão obtemos:
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IU N I D A D E46
Essa integração resulta na velocidade média (vm) na seção, considerada como 
uma velocidade uniforme que ao substituir a velocidade real de escoamento, 
reproduziria a mesma vazão na seção. Para determinar vm fazemos:
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE
Considere o escoamento permanente ilustrado na fi gura a seguir. 
m
Qm1
Qm2
V
A2
A1
Figura 26- Escoamento em Regime permanente
Fonte: Brunetti (2008).
Na entrada da tubulação temos a vazão mássica (massa/tempo) de fl uido represen-
tada por Qm1, e na saída, a vazão mássica de fl uido é chamada Qm2. Denominamos 
a área da seção da entrada de A1 e a área da seção da saída de A2. Considerando 
o regime permanente, sabemos que as propriedades do fl uido não sofrem varia-
ção em nenhum ponto do fl uido com o tempo.
Pelo princípio da conservação da massa, podemos afi rmar que a massa que 
entra deve sair, ou seja, Qm1 = Qm2. Para transformar vazão mássica (Qm) em 
vazão volumétrica (Q), devemos multiplicá-la pela massa específi ca do fl uido (
), e sabendo que Q = A.v, obtemos as três formas de expressar a “Equação da 
Continuidade para um fl uido qualquer em Regime Permanente”.
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 ■ Exemplo: Abaixo, apresentamos uma mostra de escoamento de um gás 
em regime permanente. Na seção (1) suas propriedades são: A1 = 20 cm2, 
P1 = 4 kg/m3 e v1 = 30 m/s. Na seção (2) temos: A2 = 10 cm2 e P2 = 12 kg/
m3 . Determine a velocidade do gás na seção de saída.
(1)
(2)
gás
Figura 27- Escoamento de gás compressível
Fonte: Brunetti (2008).
Usando a equação da continuidade para fluido qualquer em regime permanente 
obtemos:
A velocidade do gás na seção de saída é de 20 m/s. Se o fluido for incompres-
sível, a massa específica deve permanecer constante na entrada e na saída (P1 
= P2 = P) da tubulação, e obtemos a “Equação da Continuidade para um fluido 
incompressível em Regime Permanente”.
Para um fluido incompressível, verificamos que a vazão volumétrica (Q) é a 
mesma em qualquer seção do escoamento permanente. Nas duas equações apre-
sentadas é importante considerar que as velocidades v1 e v2 são as velocidade 
médias nas seções (1) e (2), respectivamente.
 ■ Exemplo 4: Um fluido incompressível escoa por um tubo Venturi que pos-
sui uma estrutura convergente/divergente, como mostrado na próxima 
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figura. A seção mínima é denominada garganta e possui área (AG) de 5cm2, 
enquanto na entrada (Ae) a área é de 20cm2 e a velocidade do fluido (ve) 
é 2m/s. Determine a velocidade do fluido na garganta do tubo Venturi.
Venturi
Garganta
AG
Ae
Figura 28- Escoamento de fluido incompressível em tubo Venturi
Fonte: Brunetti (2008).
Usando a equação da continuidade para fluido incompressível em regime per-
manente (Qe = QG) temos que:
Obtemos portanto a velocidade de escoamento do fluido na garganta do tubo 
Venturi, que é de 8m/s. Podemos observar que a diminuição da área na garganta 
(de 20cm2 para 5cm2) fez com que a velocidade do fluido se tornasse maior (de 
2m/s para 8m/s). Isso ocorre porque a velocidade de escoamento do mesmo é 
inversamente proporcional à área da seção pela qual o fluido atravessa.
Na cinemática estudamos o escoamento dos fluidos, descrevendo sua trajetó-
ria e classificando os escoamentos quanto à variação das propriedades do fluido 
ao longo de uma seção e com a passagem do tempo. Com base na cinemática e 
na lei da conservação da massa encontramos a equação da continuidade para 
fluidos quaisquer e fluidos incompressíveis em regime permanente, de grande 
utilidade no estudo da mecânica dos fluidos.
Considerações Finais
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade iniciamos nosso estudo sobre os fenômenos de transporte, partindo 
de definições das principais propriedades dos fluidos, como viscosidade, massa 
específica e peso específico, além de apresentarmos os conceitos de velocidade e 
vazão de escoamento de um fluido. Para compreendermos essas definições, con-
sideramos o fluido em condições estáticas e em seguida em condições dinâmicas.
Na estática dos fluidos, segundo a Lei de Pascal, consideramos que a pressão 
exercida em um ponto de um fluido em repouso é integralmente transferida a 
todos os pontos desse fluido. A partir dessa lei, definimos conceitos como pres-
são, carga de pressão e empuxo e, finalmente, obtemos a equação manométrica, 
que descreve de que forma a pressão de um fluido em um duto fechado pode 
ser calculada.
Na cinemática dos fluidos, tratamos das formas de escoamento. Foram clas-
sificados quanto à variação das suas propriedades com o tempo, em escoamento 
permanente e transiente, quanto ao deslocamento das partículas do fluido, em 
escoamento laminar e turbulento e, finalmente, sobre a variação da velocidade 
nas coordenadas do espaço x, y e z, em escoamento unidimensional, bidimen-
sional e tridimensional. 
Ao final desta unidade, englobando todos os conceitos introdutórios, e 
com base na lei da conservação da massa, apresentamos a equação da continui-
dade para o regime permanente, enfocando a conservação da vazão mássica na 
entrada e saída de uma tubulação sem aberturas laterais. Essa equação será de 
grande utilidade nos temas das unidades seguintes que referem-se à transferên-
cia de quantidade de movimento.
Todos os temas apresentados são de extrema importância para o aprendi-
zado das unidades que seguem, nas quais serão realizados balanços de massa e 
energia para o escoamento de fluidos.
50 
1. No manômetro da fi gura abaixo, o fl uido A é água e o fl uido B é mercúrio. Qual 
a pressão p1, sabendo-se que a outra abertura do manômetro está sob a 
pressão atmosférica (patm) ? Dados: 
, sabendo-se que a outra abertura do manômetro está sob a 
água=10.000N/m
3; 
, sabendo-se que a outra abertura do manômetro está sob a 
mercúrio=136.000N/m
3.
A
B
P1
5cm
7,5cm
15cm
2. Descreva quais as diferenças entre regime laminar, regime turbulento e en-
tre escoamento permanente e escoamento transiente ou variado.
3. Uma torneira enche um tanque de 6000L com água, durante 100 minutos. De-
termine a vazão volumétrica (Q) e a vazão mássica (Qm) dessa torneira, sa-
bendo que água = 1000 kg/m
3. Lembre-se que 1m3 = 1000L. 
4. No tubo ilustrado na fi gura a seguir, o fl uido que está escoando é a água, a área 
da seção (1) é A1 = 10cm
2 e a área da seção (2) é A2 = 5cm
2. Como mostrado, a 
velocidade na seção (1) é v1 = 1 m/s. Determine a velocidade na seção (2). 
(1)
v1 = 1m/s
(2)
5. Na fi gura abaixo, observamos umtubo convergente no qual ar escoa. A seção 
maior do tubo tem área A1=20cm
2 e a área da seção menor é A2=10cm
2. A massa 
específi ca do ar ( ar) varia ao longo do tubo, na seção (1) é 1,2kg/m
3, enquanto 
na seção (2) é 0,9kg/m3, e a velocidade do ar na seção (1) é 10m/s. Calcule a 
velocidade na seção (2).
(1)
(2)
51 
COMO FUNCIONA UMA PRENSA HIDRÁULICA
A prensa hidráulica é uma máquina mecânica utilizada para elevar ou para comprimir 
ítens grandes, por meio da utilização de sistemas hidráulicos, comprimindo-os em blo-
cos reduzidos que facilitam o seu transporte, armazenamento e descarte. 
O inventor da prensa hidráulica é Joseph Bramah, motivo pelo qual algumas prensas 
hidráulicas são denominadas de prensas Bramah. A base para o desenvolvimento desse 
dispositivo foi o estudo em mecânica dos fluidos, sobretudo na ação de uma pressão 
exercida perpendicularmente ao objeto a que se deseja prensar. Quando o conhecimen-
to em hidráulica foi adicionado ao estudo das prensas, foram apresentadas ao mercado 
posteriormente diversas máquinas baseadas nesse princípio de funcionamento.
Embora tenha evoluído bastante com o passar dos anos e os avanços tecnológicos, a 
prensa hidráulica segue o mesmo princípio desde a sua criação: a Lei de Pascal, que 
diz que toda a pressão aplicada em um determinado ponto concentrado é transmitida 
igualmente em todas as direções, potencializando a força.
O funcionamento do equipamento consiste na aplicação de uma força em um peque-
no êmbolo que, por meio do deslocamento de um fluido, transmite a pressão para um 
êmbolo muito maior, originando uma força elevada. É esta força gerada que molda e 
comprime a matéria que será encaminhada para reciclagem ou para seus devidos fins. 
Esse mesmo princípio é utilizado em equipamentos como macacos de elevação e tra-
vões de veículos.
A prensa hidráulica está presente em praticamente todos os tipos de indústria, sendo 
capaz de comprimir fardos de papel, papelão, garrafas PET, latinhas de alumínio, entre 
outros materiais recicláveis. Em função da quantidade de material prensado e da sua 
aplicação, pode ser obtida na forma manual ou automatizada. É um dispositivo desen-
volvido de acordo com rigorosas normas de segurança, sendo considerado essencial 
para a preservação ambiental, uma vez que favorece a reciclagem e o descarte correto 
de resíduos industriais.
Fontes: Adaptado de Dinamicambiental (2015, on-line)1; Fragmaq ([2017, on-line)2.
MATERIAL COMPLEMENTAR
Física Geral II - Fluidos 
Este vídeo exibe uma aula do professor Peter Schulz sobre Fluidos, realizada na disciplina de Física 
Geral do Instituto de Física “Gleb Wataghin”, da Unicamp. Conforme descrição do vídeo, na aula o 
professor aborda situações que demonstram como os fluidos se comportam, além de explicar a 
Equação proposta por Daniel Bernoulli, que estudou a conservação de energia mecânica em um 
fluido ideal. Confira o vídeo e saiba mais sobre o tema:
<https://www.youtube.com/watch?v=hi2ORXrJk6k>.
BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. 1ª ed. Rio de Janei-
ro: Editora LTC, 2006.
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2ª ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2008.
FOX, R. W. e McDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 5ª ed. Rio de 
Janeiro: Editora LTC, 2001.
SISSOM, L. E. e PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. 1ª ed. Rio de Janeiro: Editora 
Guanabara S. A., 1988.
REFERÊNCIAS ON-LINE
1Em: <http://www.dinamicambiental.com.br/blog/reciclagem/funciona-prensa-hi-
draulica>.
2Em: <http://www.fragmaq.com.br/produtos/prensas-hidraulicas/>.
REFERÊNCIAS
53
GABARITO
1) Os dados do exercício são: patm = 1atm = 101.325N/m
2; hágua = 2,5cm = 0,025m; hHg 
= 10cm = 0,10m.
p1 + (0,025m).(10.000N/m
2) - (0,10m).(136.000N/m2) = patm
p1 = 114.675 N/m
2 = 114,675 kPa.
2) Regime laminar: consiste no escoamento em que as partículas do fl uido se deslo-
cam em lâminas individualizadas, sem troca de massa entre elas.
Regime turbulento: consiste no escoamento em que as partículas do fl uido apre-
sentam um movimento aleatório e não ordenado.
Escoamento permanente: ocorre quando as propriedades do fl uido se mantêm 
constantes ao longo do tempo.
Escoamento transiente: ocorre quando as propriedades do fl uido variam com o pas-
sar do tempo.
3) Dados do exercício: V = 6000L = 6m3; t = 100min
Q = V/t = 6/100 = 0,06 m3/min = 0,001 m3/s
Qm = (V.P)/t = 6.1000/100 = 60 kg/min = 1 kg/s
4) Dados do exercício: A1 = 10cm
2; A2 = 5cm
2; v1 = 1 m/s. 
Pela equação da continuidade do regime permanente temos: Q1 = Q2
Como P é constante, então: v1. A1 = v2. A2 1.(10) = v2.(5) v2 = 2m/s.
5) Dados: A1=20cm
2 ; A2=10cm
2; P1 = 1,2kg/m
3; P2 = 0,9kg/m
3; v1 = 10m/s. 
Pela equação da continuidade do regime permanente temos: Qm1 = Qm2
P1.v1.A1 = P2.v2.A2 (1,2).(10).(20) = (0,9).v2.(10)
Então: v2 = 26,7m/s. 
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Professora Drª. Denise Maria Malachini Miotto Bigatão
EQUAÇÕES DA ENERGIA 
E DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME 
PERMANENTE
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Apresentar, por meio do balanço de energia, as equações que 
relacionam as diferentes formas de energia associadas ao 
escoamento de um fluido.
 ■ Compreender de que forma são relacionadas as diferentes forças que 
atuam sobre um fluido em movimento.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Equação da Energia para Regime Permanente
 ■ Equação da Quantidade de Movimento para Regime Permanente
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), na unidade anterior foram apresentadas as definições de fluido 
e suas principais propriedades, obtendo por meio do balanço de massa a Equação 
da Continuidade para escoamento de fluidos incompressíveis em regime per-
manente. Nesta unidade, realizaremos balanços de energia e quantidade de 
movimento para o fluido em escoamento.
No balanço de energia serão definidas todas as formas de energia envolvidas 
no escoamento de um fluido, obtendo-se uma equação de energia que considera 
diversas hipóteses simplificadoras, denominada Equação de Bernoulli. Essa equa-
ção, quando escrita sob a forma de “energia por unidade de peso” obtêm termos 
que são denominados “cargas”. 
As hipóteses simplificadoras serão substituídas gradativamente por conside-
rações práticas, de modo que a equação da energia passará a considerar efeitos 
como a presença de uma bomba ou turbina, a adição ou retirada de calor, atrito 
entre o fluido e as paredes da tubulação, efeitos térmicos e até mesmo a presença 
de diversas entradas e saídas. Dessa forma, a Equação de Bernoulli será obtida 
de uma forma generalizada para escoamentos não ideais. 
Analogamente, a análise da quantidade de movimento será realizada em 
função de balanços de quantidade de movimento para fluidos em escoamento. 
Algumas hipóteses simplificadoras também serão adotadas tendo em vista a 
natureza vetorial da Equação da Quantidade de movimento.
As equações de energia e quantidade de movimento obtidas nesta unidade, 
juntamente com a equação da continuidade realizada na unidade anterior têm 
por objetivo descrever da forma mais realista possível o comportamento de flui-
dos que escoam em tubulações industriais, sistemas de distribuição e tratamento 
de água e esgoto, e até mesmo tubulações residenciais. 
Esses conhecimentos são necessários para a compreensão da estática, cine-
mática e dinâmica dos fluidos, presentes na mecânica dos fluidos. 
Boa leitura!
Introdução
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Figura 1- Escoamento de água em tubulação
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EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA 
REGIME PERMANENTE
Na equação da continuidade, apresentada na Unidade 1, consideramos que em 
regime permanente a massa, ou vazão mássica, do fluido que escoa de uma seção 
para outra de um tubo se mantém constante. Com a energia, nosso raciocínio se 
baseia na lei da conservação da energia, na qual a energia não pode ser criada 
nem destruída, apenas transformada. Nesse caso, iremos realizar um balanço 
de energia, da mesma forma que foi realizado para a massa de fluido, obtendo-
-se a equação da energia.
Em todas as ações da natureza há transformações de energia, desde a respi-
ração dos menores seres vivos até o aquecimento da terra pelo sol. 
Equação da Energia Para Regime Permanente
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ENERGIAS ASSOCIADAS AO ESCOAMENTO DE UM FLUIDO
Segundo Brunetti (2008), existem diversas formas de energia associadas ao esco-
amento de um fluido: energia potencial, energia cinética, energia de pressão e 
energia mecânica.
A energia potencial (Ep) corresponde ao estado de energia do sistema resul-
tante da sua posição no campo gravitacional com relação a um plano horizontal 
de referência. É uma energia medida pelo potencial de realização de trabalho do 
sistema. A Figura 2 ilustra a definição de energia potencial.
z
CG
G = mg
Figura 2- Energia potencial de um sistema
Fonte: adaptado de Brunetti (2008).
Analisando a figura, observamos que no centro de gravidade (CG) do sistema há 
uma força peso (G = mg) atuando verticalmente, a uma distância “z” plano hori-
zontal de referência. Partindo do conceito de trabalho “W” (Trabalho = força x 
deslocamento), temos que W = G.z. 
Por definição, energia potencial representa a capacidade do corpo em rea-
lizar trabalho (W), portanto Ep = G.z, ou ainda, Ep = mgz. 
A energia cinética (Ec) corresponde ao estado de energia resultante do movi-
mento do fluido. Se um sistema apresenta massa “m” e velocidade de escoamento 
do fluido “v”, a energia cinética é representada e calculada conforme a Figura 3.
v
m
CG mv²
2
Ec =
Figura 3- Energia cinética de um sistema
Fonte: adaptado de Brunetti ( 2008).
EQUAÇÕES DA ENERGIA E DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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A energia de pressão (Epr) corresponde à energia potencial das forças de pressão 
que atuam no escoamento do fluido, como ilustrada na Figura 4. Considerando 
que a pressão seja constante na seção, a força aplicada pelo fluido externo no 
fluido interno na seção considerada, com interface de área A, é F = pA. Em um 
intervalo de tempo “dt”, o fluido vai ser deslocado a uma distância “ds”, e sob 
a ação da força F, o trabalho produzido será dW = F.ds, ou ainda, dW = pAds. 
Se considerarmos que o produto entre área (A) e comprimento (ds) resulta em 
volume (dV), temos: dW = p.dV. Por outro lado, sabemos que dW = dEpr, logo: 
dEpr = p.dV. Integrando dos dois lados da equação obtemos: 
ds
dV
dt
A
p
F = pA
E = ∫pdV
v
pr
Figura 4- Energia de pressão de um fluido em escoamento
Fonte: adaptado de Brunetti (2008).
Ao somarmos as energias potencial, cinética e de pressão obtemos a energia 
mecânica total do fluido (E), que pode ser calculada da seguinte forma:
Equação da Energia Para Regime Permanente
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61
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
De acordo com Fox e McDonald (2001), a equação de Bernoulli representa a 
equação da energia na qual várias hipóteses são consideradas com o objetivo 
de simplificar os cálculos matemáticos. Dentre as hipóteses admitidas, pode-
mos destacar: 
a) O escoamento do fluido ocorre em regime permanente.
b) Não há adição nem retirada de energia ao longo do escoamento, de modo 
que a energia da entrada é igual à energia na saída.
c) Perdas de energia por atrito do fluido nas paredes da tubulação são con-
sideradas desprezíveis.
d) As propriedades dos fluido são constantes na seção.
e) O fluido é considerado incompressível.
f) Não há trocas de calor entre o sistema e a vizinhança.
A Figura 5 ilustra o escoamento de um fluido entre duas seções (1) e (2), nas 
quais realizamos um balanço de energia considerando as hipóteses de (a) a (f).
Um aumento da energia cinética deve ser contrabalançado por uma dimi-
nuição da energia potencial e vice-versa. Isso acontece com inúmeros siste-
mas, até mesmo com o Sistema Solar. A Terra, como sabemos, descreve uma 
trajetória elíptica, com duração de um ano, em torno do Sol. No ponto mais 
próximo, chamado de periélio, a energia potencial conferida ao Sol diminui 
e, em consequência, a energia cinética (e, portanto, a velocidade) da Terra 
aumenta. O oposto acontece no ponto mais afastado, chamado de afélio, 
quando a energia potencial do Sol aumenta e a energia cinética da Terra 
diminui, pois a Terra tem a menor velocidade de translação.
Fonte: Braga Filho (2006).
EQUAÇÕES DA ENERGIA E DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E62
dm1
dm2
dt
dV1
dV2
P1
v1
z1
z2
P2 v2
(1)
(2)
Figura 5- Equação de Bernoulli entre as seções (1) e (2)
Fonte: adaptado de Brunetti (2008).
Considerando um intervalo de tempo dt, temos que uma massa de fluido dm1, 
a montante da seção (1), atravessa a seção e percorre o trecho entre (1) e (2). 
A energia mecânica total adicionada pelo fluido ao entrar pela seção (1) será:
De modo análogo, temos que uma massa de fluido dm2, proveniente do trecho 
entre as seções (1) e (2) atravessa a seção (2) e escoa para fora, carregando ener-
gia mecânica total que será igual a: 
De acordo com as hipóteses (b), (c) e (f), não há adição nem perda de energia 
durante o escoamento do fluido entre (1) e (2). Adicionalmente, segundo a hipó-
tese (a), para o escoamento em regime permanente, não deve haver variação de 
energia entre (1) e (2), ou seja, a energia mecânica total em (1) deve ser igual à 
energia mecânica total em (2).
Equação da Energia Para Regime Permanente
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63
Considerando a massa específi ca (P) como sendo a razão entre a variação de 
massa (dm) e de volume (dV), temos que:
Substituindo dV1 e dV2, obtemos:
A hipótese (a) admite o regime permanente, no qual dm1 = dm2, e a hipótese (e) 
considera o fl uido incompressível, de modo que 1= 2= . Portanto a equação 
é simplifi cada, resultando em:
Se dividirmos todos os termos da equação por “g” (gravidade), lembrando que o 
peso específi co ( ) é defi nido como = P.g, encontramos a Equação de Bernoulli. 
Essa equação relaciona distâncias, velocidades e pressões que descrevem as for-
mas de energia que atuam no escoamento do fl uido entre duas seções (1) e (2).
Cada termo da equação representa uma forma de energia. A energia poten-
cial (Ep) por unidade de peso “G” é representada pelo primeiro termo:
O segundo termo representa a energia cinética (Ec) por unidade de peso (G), 
que é calculada por:
EQUAÇÕES DA ENERGIA E DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de