Mecânica dos Fluidos

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MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Crisley de Souza Peixoto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1 NTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS ................................................ 3 
2 ESTÁTICA DOS FLUIDOS ......................................................................... 17 
3 ANÁLISE INTEGRAL EM VOLUME DE CONTROLE E CONSERVAÇÃO DA 
MASSA ..................................................................................................... 33 
4 ANÁLISE INTEGRAL EM VOLUME DE CONTROLE: TRANSPORTE DE 
PROPRIEDADE .......................................................................................... 47 
5 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DA DINÂMICA DOS FLUIDOS .... 61 
6 EQUAÇÃO DE BERNOULLI E ESCOAMENTO EM DUTOS ......................... 76 
 
 
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3 
 
 
1 NTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
A mecânica dos fluidos é a disciplina que tem por objetivo estudar o comportamento 
de fluidos tanto em repouso, estática dos fluidos, quanto em movimento, dinâmica 
dos fluidos. Este tema de estudo é fundamento de inúmeras aplicações científicas e 
tecnológicas e sua compreensão é importante em projetos e operações industriais. 
Além disso, o entendimento do comportamento de fluidos fornece uma visão 
diferente dos fenômenos que podem ser observados no cotidiano. 
Algumas áreas de aplicação da mecânica dos fluidos são as seguintes: projeto 
aerodinâmico de aviões (desde a concepção da geometria da asa até a interação fluido 
estrutura do ar e todo o corpo do avião), aerodinâmica de carros e foguetes, sistemas 
de propulsão, projeto e operação de turbinas eólicas e hidráulicas, projeto de 
embarcações, projeto de canais e barragens, tubulações e projetos hidráulicos 
residenciais e industriais, ar-condicionado e sistemas de refrigeração, sistemas de 
ventilação, transporte de petróleo e gás, bombas e compressores, entre outras. 
Ademais, fenômenos cotidianos têm sua compreensão fornecida pelo estudo de 
fluidos. É o caso do comportamento de sistemas biológicos: escoamento de sangue, 
sistemas urinário e respiratório, por exemplo. Ou quando se mistura o café com o leite, 
a movimentação dos componentes, a formação de vórtices de diferentes tamanhos, 
que favorece a mistura através do fenômeno de turbulência. A curva realizada por 
uma bola de futebol quando o chute impõe giro nesta. Em verdade, o projeto de bolas 
de futebol e golfe, por exemplo, exigem estudos aerodinâmicos. 
É importante ressaltar que neste curso os fluidos serão tratados como homogêneos, 
isto é, a composição química não se altera ao longo do fluido. 
 
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4 
 
Neste bloco será realizada uma introdução à mecânica dos fluidos. Serão apresentados 
conceitos fundamentais como a definição de fluido, abstrações utilizadas para estudar 
o comportamento de fluidos, propriedades de fluidos e suas unidades de medida, além 
da classificação do movimento de fluidos. Os conceitos a seguir pavimentam a 
compreensão do comportamento dos fluidos e servirão como base para os blocos 
seguintes. 
1.1 Conceito de fluido e análise 
Neste subtema serão apresentados alguns conceitos iniciais e abordagens para avaliar 
o comportamento de fluidos. 
1.1.1 O que é um fluido? 
Em geral, fluidos são líquidos ou gases e têm comportamento que é facilmente 
diferenciado de sólidos. Fluidos escoam e sólidos não. Porém, quais são as 
características físicas que distinguem fluidos e sólidos? 
Imagine um sólido em repouso, como na Figura 1.1-a. Suponha que este sólido está 
entre as palmas de suas mãos, uma embaixo e outra por cima, à sua frente. Com uma 
mão você empurra a superfície deste sólido, com a outra você puxa a superfície do 
sólido. 
O comportamento exibido por um sólido é o de ser deformado, como na Figura 1.1-b. 
O material sólido permanece coeso e em equilíbrio (somatório das forças é nulo), 
portanto devem existir forças internas ao sólido que equilibram as forças externas 
aplicadas. As forças aplicadas, em direções opostas tendem a rasgar ou cisalhar o 
material, portanto são conhecidas como forças de cisalhamento (ou tangenciais). 
Forças internas definidas sobre áreas são conhecidas como tensões. Dessa maneira, no 
exemplo de deformação do sólido surgem tensões de cisalhamento internas ao 
material. 
 
 
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5 
 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
Figura 1.1 – Sólido submetido a forças tangenciais. 
Se as forças aplicadas inicialmente forem retiradas, o sólido retorna ao seu estado 
inicial (Figura 1.1-a), a não ser que as forças tenham sido tão grandes que causem uma 
deformação permanente, mas é importante se ater a forças menores do que essas 
neste momento. Se as forças forem mantidas constantes, o sólido permanece na 
condição ilustrada na Figura 1.1-b, suportando as tensões de cisalhamento internas. 
Um fluido não exibe esse tipo de comportamento. Imagine agora um tanque com 
algum líquido, água, por exemplo. Este líquido está, inicialmente, em repouso e você 
resolve colocar uma placa plana sobre o líquido. A Figura 1.2-a ilustra uma região do 
tanque em que é possível ver o líquido em contato com a placa plana e o fundo do 
tanque. 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
Figura 1.2 – Fluido submetido a forças tangenciais. 
 
, 
 
 
6 
 
Quando uma força é aplicada na placa, como na Figura 1.2-b, ela se move e arrasta o 
fluido em contato. O fluido em contato com a placa segue com a mesma velocidade da 
placa e o fluido em contato com o fundo continua com a velocidade do fundo do 
tanque, em repouso para um observador parado em frente. Isso ocorre por conta da 
condição de não deslizamento ou princípio da aderência, que afirma que a região do 
fluido em contato com o sólido assume a mesma velocidade do sólido. Essa afirmação 
é verificada experimentalmente (FOX et al., 2018; BRUNETTI, 2008). 
Neste experimento, o fluido também se deforma como pode ser visto na Figura 1.2-b 
através das setas (que indicam a velocidade do fluido). Existirão também tensões de 
cisalhamento internas que reagem aos esforços externos. Porém, se as forças forem 
retiradas, o fluido não retorna ao estado inicial. Se a força imposta na placa for 
constante o fluido não mantém forma constante, mas continua se deformando 
continuamente. Por menor que seja a força sobre a placa, o fluido continuará em 
movimento, se deformando. Por isso, diz-se que o fluido escoa e o sólido não. Em 
outras palavras o fluido não é capaz de equilibrar forças de cisalhamento ou tensões 
de cisalhamento, este tem que entrar em movimento, escoar. 
Por fim, perceba que conjuntos de sólidos em partículas de certa maneira podem 
escoar. É o caso da areia na ampulheta, escoamento de grãos, carvão e biomassa em 
silos, por exemplo. Porém, o comportamento desse escoamento é semelhante em 
alguns aspectos e muito diferente em outros, existem interações entre partículas e não 
um contínuo como no fluido. 
1.1.2 Sistema e volume de controle 
Duas formas diferentes de avaliar fluidos podem ser classificadas como análise em 
sistema e análise em volume de controle. Um sistema fechado (a partir de agora será 
conhecido como sistema) é uma porção de massa fixa selecionada para avaliação. Não 
só a quantidade de massa que está sob análise não muda, mas também a sua 
qualidade, ou seja, mantêm-se as mesmas moléculas, o que claramente é uma 
abstração. 
, 
 
 
7 
 
Já o volume de controle ou sistema aberto é um volume ou região arbitrária, fixa ou 
variável, definidapor quem está realizando a análise. Essa região representa algo real 
como um tanque, Figura 1.3, por exemplo. A superfície que delimita o volume (linha 
pontilhada) é conhecida como superfície de controle. O fluido pode entrar e/ou sair 
dessa região dependendo do fenômeno em estudo. 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
Figura 1.3 – Tanque com entrada e saídas de fluido. 
1.1.3 Fluido como um contínuo 
Todos conhecem fluidos como contínuos ao menos em escala macroscópica, porém os 
fluidos também são formados por átomos e moléculas. A mecânica dos fluidos clássica, 
estudada aqui, trata o fluido como um contínuo, ou seja, as propriedades variam de 
maneira suave de ponto a ponto e não se considera as complexas interações atômicas. 
Uma importante propriedade na mecânica dos fluidos é a massa específica que é, 
basicamente, o quanto de massa existe em um determinado volume. Ao avaliar um 
gás, por exemplo, a massa específica pode mudar não só no tempo, mas também no 
espaço. Isso ocorre, por exemplo, em uma câmara com pistão em movimento, como 
dentro de um motor a combustão interna de um carro. 
Quer-se conhecer quanto vale a massa específica em um ponto. Porém, um ponto não 
é algo físico, assim, um volume de controle pequeno 𝒅𝑽 é definido para avaliar essa 
propriedade. A massa específica no ponto é definida como massa específica média do 
pequeno volume 𝒅𝑽 e o valor deste volume deve ser tal que a massa específica 
, 
 
 
8 
 
represente bem a propriedade no ponto. O volume ideal é conhecido como volume 
representativo 𝒅𝑽∗. 
Define-se propriedades como densidade, temperatura, velocidade, pressão e outras, 
que podem variar continuamente de ponto a ponto e por isso diz-se que o fluido é 
contínuo. Essa hipótese é conhecida como hipótese do contínuo e é suficiente para a 
maior parte das aplicações de mecânica dos fluidos na engenharia (FOX et al., 2018). 
Perceba que não é preciso conhecer o tamanho do volume mencionado, desde que a 
hipótese seja verdadeira. Em todas as aplicações deste curso, a hipótese do contínuo é 
válida. Portanto, é possível definir a massa específica em qualquer ponto. Em 
coordenadas cartesianas (𝒙,𝒚, 𝒛), e em qualquer instante 𝒕 a massa específica é: 
 𝝆(𝒙,𝒚, 𝒛, 𝒕) = 𝒍𝒊𝒎
𝒅𝑽→𝒅𝑽∗
𝒅𝒎
𝒅𝑽
 
(1) 
Em que 𝒅𝒎 é a massa contida no pequeno volume 𝒅𝑽. Propriedades definidas em 
qualquer ponto no espaço muitas vezes são conhecidas como campos. Como a massa 
específica é uma quantidade escalar, é um campo escalar. 
Se a densidade é constante no espaço e no tempo pode-se definir uma densidade de 
todo o fluido em análise. A massa específica da água, por exemplo, que é constante, 
seria: 
 𝝆 =
𝒎
𝑽
 (2) 
Em que 𝒎 é a massa de fluido contida no volume 𝑽. No Sistema Internacional (SI), a 
massa específica tem unidade: 𝒌𝒈
𝒎𝟑
, no sistema CGS: 𝒈
𝒄𝒎𝟑
. 
 
 
 
 
, 
 
 
9 
 
1.2 Conceitos fundamentais 
Após uma compreensão inicial sobre fluidos, neste subtema serão apresentados mais 
propriedades e conceitos fundamentais associados aos fluidos. 
1.2.1 Campo de velocidade 
Definidos alguns conceitos iniciais é possível avançar para outras grandezas e conceitos 
importantes para a compreensão da mecânica dos fluidos. O campo de velocidade é 
um campo vetorial definido como: 
 𝑽��⃗ (𝒙,𝒚, 𝒛, 𝒕) = 𝒖 �̂� + 𝒗𝒋̂ + 𝒘𝒌� (3) 
A velocidade é uma quantidade vetorial, pois exige módulo, direção e sentido para ser 
completamente definida. Em coordenadas cartesianas, 𝒖, 𝒗, 𝒘 representam as 
componentes dessa velocidade nas direções 𝒙, 𝒚, 𝒛, respectivamente. O campo de 
velocidades define um vetor velocidade em cada ponto (𝒙,𝒚, 𝒛) e instante 𝒕. No campo 
de velocidades, não se acompanha uma partícula de fluido em toda a sua trajetória. 
Em verdade, várias partículas diferentes passam por este ponto. O que se conhece é o 
valor da velocidade nos pontos observados. 
O campo de velocidade assim como o campo de massa específica são propriedades 
avaliadas em referenciais Eulerianos. Neste referencial selecionam-se regiões 
específicas no espaço, como pontos ou volumes de controle e mede-se o valor da 
propriedade naquela região. Em referenciais Lagrageanos se acompanha a partícula e 
suas propriedades enquanto ela se movimenta, utiliza-se a noção de sistema para cada 
partícula. 
O referencial Euleriano tem mais aplicações na engenharia, pois é mais simples de se 
utilizar na prática. Referenciais Lagrangeanos são utilizados somente em situações 
mais específicas ou muitas vezes na teoria quando se imagina uma partícula de fluido 
como um volume representativo e se avalia o comportamento descrito por ela. 
, 
 
 
10 
 
Se nenhuma propriedade do fluido, seja massa específica, velocidade, temperatura e 
outras, varia no tempo, diz-se que o escoamento está em regime permanente, caso 
contrário está em regime transiente. 
1.2.1.1 Linhas de corrente 
A forma mais comum de visualização do movimento de fluidos se dá através das 
chamadas linhas de corrente. Linhas de corrente são linhas tangentes aos vetores do 
campo de velocidades em cada ponto e instante. São similares a linhas de força em 
campos eletromagnéticos, mas no movimento de fluidos se observa a velocidade. 
Em túneis de vento, onde se avalia, por exemplo, aerodinâmica de asas de aviões e 
carros, utiliza-se fumaça para identificar as linhas de corrente, Figura 4, ou fumaça e 
lasers. Ao visualizar as linhas de corrente rapidamente se tem uma descrição 
qualitativa do escoamento do fluido. 
 
Figura 1.4 – Linhas de corrente em volta de carro do tipo Fórmula 1. 
 
 
 
 
, 
 
 
11 
 
1.2.2 Forças que atuam em um fluido 
Em um fluido atuam basicamente dois tipos de forças: forças de volume ou forças de 
campo e forças de superfície. No primeiro tipo, as forças atuam em cada elemento de 
fluido. Em outras palavras atuam em cada ponto do fluido. Exemplos são: força 
gravitacional ou eletromagnética (quando o fluido está carregado, por exemplo). 
Em fluidos, muitas vezes, as grandezas são avaliadas por unidade de volume. Um 
exemplo é a massa específica que é a massa dividida pelo volume. A força gravitacional 
ou peso é avaliada como peso específico: 
 
𝜸��⃗ =
𝒎𝒈��⃗
𝑽
 = 𝝆𝒈��⃗ 
(4) 
O peso específico é uma grandeza vetorial, pois é uma força. No SI, tem unidade 𝑵
𝒎𝟑
. Se 
a massa específica varia de ponto a ponto, o peso específico também será definido 
para cada ponto. Assim, substitui-se a expressão acima pela versão de campo que 
pode variar em (𝒙,𝒚, 𝒛, 𝒕), assim como foi realizado com a massa específica em seção 
anterior. 
As forças de superfície são forças nas quais ocorre o contato de superfícies seja sólido 
sólido, sólido fluido ou mesmo fluido fluido. Exemplos comuns são forças devido 
pressão, atrito, entre outras. Forças de superfície geram tensões, que são efeito de 
forças internas geradas através da aplicação de forças externas. Como mencionado na 
definição de fluido, forças internas aplicadas em determinadas áreas (superficiais) são 
tensões. Matematicamente define-se, para cada ponto no fluido: 
 𝝉 = 𝒍𝒊𝒎
𝒅𝑨→𝟎
𝒅𝑭
𝒅𝑨
 
(5) 
 
 
 
, 
 
 
12 
 
𝒅𝑭 é uma força pequena e 𝒅𝑨 é uma área pequena. A tensão é uma grandeza escalar 
que no SI, tem unidade Pascal: Pa = 𝑵
𝒎𝟐
. Se a tensão for constante pode ser avaliada 
como força total sobre área total, simplesmente. Quando o fluido está em repouso, as 
únicas tensões não nulas são iguais a um termo já bem conhecido, a pressão. Quando 
o fluido se move, as tensões normais se tornam mais complexas e representam 
também as tensões relacionadas à deformação do fluido. As tensões de cisalhamento 
comentadas na definição de fluido são tensões tangenciais. 
1.2.3 Viscosidade dinâmica e cinemática 
Voltando à Figura 1.2-b, mostrada na seção 1.1.1, sobre a definição de fluido, é 
possível avaliar mais uma propriedade fundamental de fluidos, a viscosidade. A 
viscosidadeé uma grandeza que mede a resistência ao escoamento de fluidos, é a 
resistência do fluido a ser deformado por tensões de cisalhamento, é semelhante ao 
atrito, em fluidos. Ela está relacionada ao quão difícil é movimentar entre si camadas 
adjacentes de fluido. 
Quando forças são aplicadas, o fluido se deforma e escoa, mas com resistência, 
quantificada pela viscosidade. Em geral, a taxa de deformação de um fluido é medida 
com base em quanto a geometria do fluido se modifica. Em fluidos a quantidade que 
mede o quanto um fluido se deforma é o gradiente de velocidades, que é a taxa de 
variação da velocidade no espaço. No exemplo da Figura 1.2-b, é: 
 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂çã𝒐
=
𝒅𝒖
𝒅𝒚
 
(6) 
Cuja unidade no SI é 𝟏
𝒔
. 
Em fluidos conhecidos como Newtonianos, a viscosidade é o parâmetro de 
proporcionalidade entre tensões de cisalhamento e as taxas de deformação. Para o 
exemplo da Figura 1.2-b, a relação pode ser escrita como: 
, 
 
 
13 
 
 𝝉𝒚𝒙 = 𝝁
𝒅𝒖
𝒅𝒚
 
(7) 
Em que 𝝉𝒚𝒙é a tensão avaliada em uma área cujo vetor perpendicular a essa área tem 
a direção y, oriunda de forças na direção x, as direções podem ser visualizadas na 
Figura 1.2-b. 
Para avaliar a expressão acima, Equação (7), imagine o mesmo experimento realizado 
no tanque com a placa plana na seção 1.1.1. Suponha que ao invés de água utiliza-se 
mel, mas aplicando a mesma força, vai ser possível observar que o mel se desloca bem 
menos, se deforma menos. A taxa de deformação ou gradiente de velocidade será 
menor. Para forças iguais as mesmas tensões são geradas, portanto, segundo a 
Equação (7), a viscosidade tem que ser maior. O mel é dito ser mais viscoso do que a 
água. 
Ao realizar uma análise dimensional na Equação (7), observa-se que no SI a unidade de 
viscosidade é 𝒌𝒈
𝒎.𝒔
 ou 𝑷𝒂. 𝒔. Existem também outras unidades comuns como 𝑷𝒐𝒊𝒔𝒆. 
Muitas vezes, quando ao realizar cálculos, surge outra propriedade que é a razão entre 
a viscosidade dinâmica e a massa específica, conhecida como viscosidade cinemática. 
Medida em 𝒎
𝟐
𝒔
 no SI ou 𝑺𝒕𝒐𝒌𝒆, comumente. 
O termo viscosidade está bem presente no cotidiano e também na engenharia. Um 
exemplo é a viscosidade de óleos lubrificantes utilizados em automóveis. A viscosidade 
é um dos parâmetros mais importantes na seleção de um óleo para lubrificação 
adequada de peças mecânicas. 
É importante ressaltar que tanto a massa específica quanto a viscosidade são 
propriedades que variam com temperatura e pressão. Dependendo da situação, a 
variação é pequena e pode ser desconsiderada, porém para mudanças de pressão e/ou 
temperatura consideráveis essas propriedades se alteram e isso deve ser contabilizado 
(FOX et al., 2018). 
 
, 
 
 
14 
 
1.3 Classificação do movimento de fluidos 
Se o fluido estiver em repouso, ele é classificado como estático. Porém, se está em 
movimento, existem várias possibilidades de comportamento. A figura abaixo ilustra 
uma possível classificação da dinâmica dos fluidos. 
 
Fonte: FOX et al., 2018, p. 36 
Figura 1.5 – Possível classificação da dinâmica dos fluidos. 
Fluidos não viscosos são conhecidos como superfluidos. Porém, em termos de modelo, 
quando a viscosidade não tem muita influência no fenômeno, se considera a 
viscosidade como nula, o fluido é dito ser invíscido ou ideal. Se um fluido não é 
considerado viscoso, seu escoamento pode ser compressível ou incompressível, 
interno (dentro de um tubo, por exemplo) ou externo (em volta de uma asa de um 
avião, por exemplo). 
Um fluido incompressível é um fluido cuja massa específica pode ser considerada 
constante, pois não varia consideravelmente sob aplicação de pressão, é uma 
propriedade do material. Água, óleo, mel são exemplos de fluidos incompressíveis. Já 
em fluidos compressíveis, a massa específica varia significativamente, gases, por 
exemplo. 
 
, 
 
 
15 
 
Todo fluido incompressível gera escoamentos incompressíveis, mas fluidos 
compressíveis também podem produzir escoamentos incompressíveis (como boas 
aproximações). Isto quer dizer que fluidos compressíveis podem escoar de maneira 
incompressível. 
Isto parece confuso, mas de um lado tem-se uma propriedade do material sob 
aplicação de pressão, de outro o comportamento da massa específica durante o 
escoamento. De início, o que se pode afirmar é que a compressibilidade do 
escoamento não é uma propriedade somente da massa específica e sim do gradiente 
de velocidade, a taxa de deformação do fluido. 
Fluidos viscosos, além de poderem ser compressíveis, incompressíveis, internos e 
externos, podem ser também laminares ou turbulentos. Uma situação cotidiana em 
que esses últimos regimes de escoamento podem ser observados é quando se abre a 
torneira de casa. 
Na medida em que se abre a válvula da torneira aumenta-se a vazão de água. No início 
observa-se um fio de água bem homogêneo e suave, com camadas de fluido 
comparáveis a lâminas sobrepostas, este regime é conhecido como escoamento 
laminar. Quando se aumenta a vazão, começam a surgir flutuações no movimento do 
fluido, de comportamento aleatório, este regime é conhecido como turbulento (FOX et 
al., 2018). Muitas vezes é possível até ver uma parte laminar e outra turbulenta e uma 
região de transição. Ao diminuir a vazão e fechar a válvula, o fluido passa por um 
processo de relaminarização e volta a ser laminar. 
Conclusão 
Em geral, fluidos são tratados como substâncias contínuas que, diferentemente de 
sólidos, não suportam tensões de cisalhamento e por isso escoam. As forças atuantes 
em fluidos, que causam o seu movimento ou mantêm seu equilíbrio são divididas em 
forças de volume e forças superficiais. Quando o fluido escoa, existe resistência ao seu 
escoamento, quantificada pela viscosidade. O movimento do fluido pode ser 
visualizado através das linhas de corrente que representam de certa maneira o campo 
de velocidades do fluido. 
, 
 
 
16 
 
Um fluido pode ser avaliado através da abordagem de sistema ou de volume de 
controle, em referenciais Lagrangeanos ou Eulerianos, porém o referencial Euleriano é 
mais utilizado por ser mais simples e por ser, muitas vezes, suficiente. 
O estudo de fluidos é complexo, mas é fundamental, pois explica vários fenômenos 
presentes na natureza e possui vasta aplicação na indústria, além de ser tema bastante 
ativo em desenvolvimento científico e tecnológico. 
REFERÊNCIAS 
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
Recurso online. 
WETMORE, K. Soaring Above. Ilinois Tech Magazine, 2015. Disponível em: 
https://magazine.iit.edu/summer-2015/soaring-above. Acesso em: ago. 2019. 
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos fluidos. 9. ed. São Paulo: LTC, 2018. 
Recurso online. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
17 
 
 
2 ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
Neste bloco será discutida a estática dos fluidos, isto é, o comportamento de fluidos 
em repouso. A estática dos fluidos também é conhecida como hidrostática. O termo 
que parece dizer respeito somente à água, devido a razões históricas, está associado à 
estática dos fluidos em geral. Serão avaliados os fundamentos teóricos da hidrostática 
e diversas aplicações. 
Vários conceitos são apresentados neste bloco como a ideia de pressão em fluidos, 
balanço de forças e a equação básica da estática dos fluidos, Lei de Stevin, Princípio de 
Pascal, Princípio dos Vasos Comunicantes, Pressão atmosférica e manométrica, força 
hidrostática sobre superfícies imersas e o Princípio de Arquimedes. 
As ideias avaliadas neste bloco são importantes em diversas aplicações como prensas 
hidráulicas, elevadores hidráulicos, transporte de fluidos, medição de pressão, força 
hidrostática em barragens, projeto de embarcações, entre outras. 
2.1 Equação básica da estática dos fluidos e Lei de Stevin 
Já é conhecido do cotidiano que a pressão varia com a altura. A pressão no fundo de 
um tanqueé maior do que a pressão na sua superfície. Um mergulhador está 
submetido a pressões cada vez maiores na medida em que atinge profundidades 
maiores. Este comportamento da pressão tem algumas consequências interessantes, 
utilizadas em sistemas de engenharia. 
Na estática dos fluidos a pressão é uma força definida sobre uma área: 
 𝒑 = 𝒍𝒊𝒎
𝒅𝑨→𝟎
𝒅𝑭
𝒅𝑨
 
(1) 
 
, 
 
 
18 
 
Perceba que essa definição é bem parecida com a da tensão, tem a mesma unidade, 
porém pressões são oriundas de forças normais ou perpendiculares às faces do 
elemento de fluido, como na Figura 2.1. Já tensões podem ser também tangenciais. 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
Figura 2.1 – Forças normais aplicadas a um elemento de fluido. 
Considera-se o elemento de fluido, porção de fluido com volume infinitesimal, como 
descrito na Figura 2.1, como em equilíbrio estático. Da segunda Lei de Newton, isso 
significa que o somatório de todas as forças é nulo: 
 �𝑭��⃗ = 𝒎𝒂��⃗ = 𝟎 (2) 
Do bloco 1, sabe-se que existem dois tipos diferentes de forças que atuam em fluidos: 
forças de campo e forças de superfície. Portanto, a Equação (2) pode ser escrita como: 
 �𝑭𝒄����⃗ + �𝑭𝒔����⃗ = 𝟎 (3) 
 
 
, 
 
 
19 
 
Em que 𝑭𝒄 são forças de campo e 𝑭𝒔 são forças de superfície. A força de campo 
atuante é a força gravitacional. Observe que quanto maior o volume da porção de 
fluido em análise maior a massa e, consequentemente, maior a força. Para não ter que 
lidar com o volume em toda análise, em geral se avaliam as forças divididas pelo 
volume. A força gravitacional dividida pelo volume é o peso específico, do Bloco 1. 
Já as forças de superfície são definidas como o gradiente de pressão, que tem unidade 
de força dividida por volume, 𝑵
𝒎𝟑
: 
 �𝑭𝒔����⃗ = −𝛁𝐩 =
𝝏𝒑
𝝏𝒙
�̂� +
𝝏𝒑
𝝏𝒚
𝒋̂ +
𝝏𝒑
𝝏𝒛
𝒌� (4) 
A expressão parece complicada, mas a Equação (4) nada mais é do que o somatório 
das forças escritas em termos de pressões em todas as direções. Ela quer dizer que a 
variação da pressão nas diferentes direções ao longo do fluido é igual às forças 
superficiais. 
Utilizando as definições das forças superficiais e das forças de volume (Bloco 1) na 
segunda Lei de Newton, Equação (3), obtém-se a equação básica da estática dos 
fluidos: 
 𝝆𝒈��⃗ − 𝛁𝐩 = 𝟎 → 𝛁𝐩 = 𝝆𝒈��⃗ (5) 
A Equação (5) afirma que as forças superficiais são iguais às forças volumétricas 
quando o fluido está em equilíbrio e que as diferentes pressões ao longo do fluido são 
geradas pelas forças de campo, neste caso a força gravitacional. 
Sabe-se que a aceleração da gravidade é um vetor que atua somente na vertical, 
direção z na Figura 2.1. Portanto, o gradiente de pressão é nulo nas outras direções: 
 𝝏𝒑
𝝏𝒙
= 𝟎,
𝝏𝒑
𝝏𝒚
= 𝟎 𝒆 
𝝏𝒑
𝝏𝒛
= − 𝝆𝒈 (6) 
 
, 
 
 
20 
 
As derivadas em 𝒙 e y só tem importância quando o fluido está em movimento. Assim, 
o resultado mais interessante é encontrado na direção 𝒛. Como as outras derivadas 
são nulas, a derivada parcial em z é simplificada para uma derivada total: 
 
𝒅𝒑
𝒅𝒛
= − 𝝆𝒈 (7) 
Para um fluido incompressível, isto é, um fluido cuja densidade não varia, ao integrar a 
Equação (7) ao longo do eixo z, entre os pontos 𝒛𝟏 e 𝒛𝟐, obtém-se a Lei de Stevin: 
 𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 = −𝝆𝒈(𝒛𝟐 − 𝒛𝟏) = −𝝆𝒈𝒉 
𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 = 𝝆𝒈𝒉 
∆𝒑 = 𝝆𝒈𝒉 
(8) 
 
Em que 𝒑𝟏é a pressão em 𝒛𝟏, um ponto mais baixo, 𝒑𝟐 é a pressão em 𝒛𝟐, um ponto 
mais alto e 𝒉 é a altura entre os pontos em análise. Este é um resultado já conhecido. 
Quanto maior a profundidade no fluido, maior é a pressão e esta aumenta de maneira 
proporcional ao produto da massa específica do fluido, aceleração gravitacional e 
altura: 𝝆𝒈𝒉. A seguir serão avaliadas aplicações desse resultado. 
2.1.1 Princípio de Pascal 
Como a Lei de Stevin pode ser avaliada entre quaisquer pontos do fluido sabe-se que a 
pressão entre os pontos do fluido difere apenas por 𝝆𝒈𝒉. Em fluidos incompressíveis, 
em geral líquidos, quando se aplica pressão, a massa específica não varia. Dessa 
maneira, a diferença de pressão entre quaisquer pontos do fluido permanece 
constante e igual a 𝝆𝒈𝒉. 
Se for aplicada pressão em algum ponto do líquido, a pressão neste ponto aumenta. 
Consequentemente, todos os outros pontos do fluido sofrerão um aumento de 
pressão igual. A mesma variação de pressão em um ponto se transmite a todos os 
outros. Essa afirmação consiste no Princípio de Pascal. 
, 
 
 
21 
 
Na Figura 2.2, observa-se uma prensa hidráulica simples. Quando uma força 𝑭𝟏 é 
aplicada sobre um peso, a força se transmite ao fluido. Na região de menor área 𝑨𝟏 
produz-se uma pressão 𝑷𝟏 = 
𝑭𝟏
𝑨𝟏
 sobre o líquido. Essa variação de pressão promovida é 
transmitida igualmente através do fluido até atingir pontos da área maior 𝑨𝟐, pelo 
Princípio de Pascal. Portanto, a pressão aplicada em 𝑨𝟐, ou seja, 𝑷𝟐 = 
𝑭𝟐
𝑨𝟐
, é igual a 𝑷𝟏: 
 
𝑭𝟏
𝑨𝟏
=
𝑭𝟐
𝑨𝟐
 
𝑭𝟐 =
𝑭𝟏𝑨𝟐
𝑨𝟏
 
(9) 
A força 𝑭𝟐 seria a força que o fluido consegue suportar sobre a área 𝑨𝟐. Como 𝑨𝟐 é 
maior do que 𝑨𝟏, 𝑭𝟐 > 𝑭𝟏. Consequentemente, obtém-se uma vantagem mecânica. 
Para ficar mais factível, considere o seguinte exemplo: 
 
 Fonte: elaborado pelo autor. 
Figura 2.2 – Prensa hidráulica simples. 
 
 
, 
 
 
22 
 
Exemplo 1 
Aplica-se um peso de 1 kg sobre uma área 𝑨𝟏 = 𝟒 𝒄𝒎𝟐, equivalente a um quadrado de 
𝟐 𝒄𝒎 de lado. Qual é o peso que pode ser suportado sobre a área 𝑨𝟐 = 𝟏 𝒎𝟐? 
Dados: 
𝑭𝟏 = 𝟏 𝐤𝐠.𝟗,𝟖𝟏 
𝒎
𝒔𝟐
 = 𝟗,𝟖𝟏 𝐍 = 𝟏 𝒌𝒈𝒇 
Convertendo unidades: 
 
𝑨𝟐 = 𝟏 𝒎𝟐 
Solução: 
 
Isto quer dizer que, em uma prensa com as dimensões informadas, uma força 
equivalente ao peso de 1 kg é possível levantar uma carga de 2.500 kg através do 
Princípio de Pascal. 
 
Este princípio é utilizado em várias tecnologias como a prensa hidráulica, máquina 
utilizada na indústria para dar forma a materiais como metais, por exemplo. Outra 
aplicação é o elevador hidráulico muito utilizado na indústria de automóveis. 
2.1.2 Princípio dos vasos comunicantes 
Se um reservatório como o da Figura 2.3 é preenchido com um único líquido de 
maneira que os ramos comunicam-se entre si e as superfícies estão livres (em contato 
com a atmosfera), o líquido fica à mesma altura em todos os ramos quando o fluido 
, 
 
 
23 
 
atinge a condição estática. Este é o princípio dos vasos comunicantes e é consequência 
direta da Lei de Stevin. 
 
Figura 2.3 – Vasos comunicantes 
A Lei de Stevin afirma que a diferença de pressão entre os pontos é igual a 𝝆𝒈𝒉. A 
pressão na superfície livre é a pressão atmosférica. Portanto, a pressão nos pontos do 
fundo do recipiente, como na Figura 2.3, é igual. Se uma das ramificações tivesse um 
nível de líquido maior, a pressão no fundo do líquido neste ramo seria maior e haveria 
escoamento até atingir-se a condição estática e de mesmo nível entre os ramos do 
vaso. Mesmo nas regiões em que o fundo dos ramos tem curvatura como os das 
extremidades na Figura 2.3, a altura da coluna de líquido é igual. 
Se houverem dois líquidos diferentes, imiscíveis, os níveis não serão iguais, pois as 
massas específicas serão diferentes e, portanto, os pesos específicos também serão. 
Ao analisar a Lei de Stevin com cuidado pode ser verificado que o líquido mais denso, 
de massa específica maior, terá nível menor do que o líquido menos denso. 
O princípio dos vasos comunicantes é utilizado para transporte de líquidos de uma 
região a outra até que os ramos do vaso atinjam o mesmo nível. Quando não há mais 
diferença de nível, o transporte cessa. 
2.1.3 Pressão atmosférica e manométrica 
Vive-se em um mundo submerso em uma atmosfera composta por gases. Essa espécie 
de coluna de gases exerce pressão sobre tudo em volta. Essa pressão é conhecida 
como atmosférica ou barométrica. Ao nível do mar vale 1 atm (uma atmosfera), 
, 
 
 
24 
 
aproximadamente101325 Pa a 15°C (FOX et al., 2018). De maneira simplista, em locais 
mais altos essa pressão diminui, pois além de outros efeitos, é como se a altura da 
coluna de gases diminuísse, da Lei de Stevin, a pressão deve ser menor. 
Como visto até aqui, em geral são conhecidas apenas diferenças de pressão (Lei de 
Stevin), portanto, quando medida, a pressão deve ser indicada com relação a algo, 
uma referência. A pressão atmosférica é medida através de instrumentos conhecidos 
como barômetros e sua referência é o vácuo perfeito, pressão nula. Instrumentos que 
medem a pressão com relação à pressão atmosférica são conhecidos como 
manômetros e são os mais utilizados na engenharia. Um exemplo de manômetro é 
aquele medidor de pressão do compressor, muito utilizado para encher o pneu de 
veículos. 
 
Figura 2.4 – Manômetro 
Quando se mede a pressão de algo com relação ao vácuo, essa pressão é conhecida 
como absoluta. A relação entre a pressão absoluta e a manométrica pode ser definida 
como na equação abaixo: 
 𝒑𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒂 = 𝒑𝒂𝒕𝒎𝒐𝒔𝒇é𝒓𝒊𝒄𝒂 + 𝒑𝒎𝒂𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 (10) 
 
 
, 
 
 
25 
 
Na prática, os equipamentos utilizados em engenharia, grande parte das vezes, 
possuem indicadores em unidades de medida diferentes do SI. Por exemplo: 
𝒃𝒂𝒓, 𝒌𝒈𝒇
𝒄𝒎𝟐
, 𝒑𝒔𝒊, 𝒂𝒕𝒎, 𝒎𝒎𝑯𝒈 (milímetros de mercúrio). Outra unidade muito 
utilizada no meio da engenharia é o 𝒎𝒄𝒂 (metro de coluna d’água). A relação entre 
elas é: 
𝟏 𝒂𝒕𝒎 = 𝟏,𝟎𝟏𝟑𝟐𝟓 𝒃𝒂𝒓 = 𝟏𝟒,𝟔𝟗𝟓𝟗 𝒑𝒔𝒊 = 𝟕𝟔𝟎 𝒎𝒎𝑯𝒈 = 𝟏,𝟎𝟑𝟑𝟐𝟑 𝒌𝒈𝒇
𝒄𝒎𝟐
=
𝟏𝟎,𝟑𝟑 𝒎𝒄𝒂 (EVANGELISTA, 2019). 
Quando se utiliza a medida de pressão no SI, muitas vezes a unidade Pa é 
relativamente pequena para sistemas pressurizados. Dessa maneira, utiliza-se 
múltiplos dela como 𝟏 𝒌𝑷𝒂 = 𝟏𝟎𝟑𝑷𝒂 e 𝟏 𝑴𝑷𝒂 = 𝟏𝟎𝟔 𝑷𝒂. 
É importante ressaltar que a mecânica dos fluidos lida com vários fenômenos e 
propriedades dos fluidos e existem diversas unidades em utilização. Fabricantes de 
equipamentos de variados locais utilizam diferentes tipos de unidades e a conversão 
de unidades muitas vezes será necessária. 
2.1.4 Manômetros de tubo em U 
Manômetros de tubo em U são alguns dos sistemas mais simples para medição de 
pressão e podem ser utilizados em variadas aplicações. Suponha que exista um sistema 
em que se quer conhecer a pressão de um gás, como na Figura 2.5. O gás está em 
equilíbrio (não está escoando) dentro de uma câmara isolada e relativamente 
pequena. 
Neste caso, a pressão varia pouco com a altura, pois a massa específica de gases 
normalmente é baixa e a altura de coluna de gás é pequena. Para ilustrar, o ar tem 
massa específica 𝝆 = 𝟏,𝟐 𝒌𝒈 a 20°C e 1 atm, a água tem 𝝆 = 𝟏.𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 nas mesmas 
condições. 
 
 
, 
 
 
26 
 
Utiliza-se um manômetro em U para aferir a pressão, através da altura do nível de 
fluido no tubo. Perceba que de um lado o fluido em azul está livre e do outro está 
pressurizado, pressão do gás. Se ambos os lados estivessem livres, os ramos do tubo 
estariam no mesmo nível, pelo Princípio dos Vasos Comunicantes. 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
Figura 2.5 – Aferição de pressão através de manômetro de tubo em U. 
Exemplo 2 
Meça a pressão do gás através do manômetro de tubo em U quando o fluido no tubo é 
água, cuja massa específica é 𝝆 = 𝟏.𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈
𝒎𝟑
, com altura 𝒉 = 𝟎.𝟒 𝒎. Considerar 
pressão ambiente 1 atm = 101325 Pa. 
Dados: 
𝝆 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈
𝒎𝟑
 ; 𝒉 = 𝟎.𝟒 𝒎; 𝒑𝟐 = 𝟏 𝒂𝒕𝒎 = 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟐𝟓 𝑷𝒂 
Solução: 
𝒑𝟏 = 𝒑𝟐 + 𝝆𝒈𝒉 
𝒑𝟏 = 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟐𝟓 𝑷𝒂+ 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒌𝒈
𝒎𝟑
.𝟗,𝟖𝟏 
𝒎
𝒔𝟐
.𝟎,𝟒 𝒎 
𝒑𝟏 = 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟐𝟓 𝑷𝒂 + 𝟑𝟗𝟐𝟒 𝑷𝒂 
𝒑𝟏 = 𝟏𝟎𝟓𝟐𝟒𝟗 𝑷𝒂 (Pressão absoluta) 
, 
 
 
27 
 
𝒑𝟏 = 𝟏𝟎𝟓𝟐𝟒𝟗 𝑷𝒂 − 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟐𝟓 𝑷𝒂 = 𝟑𝟗𝟐𝟒 𝑷𝒂 (Pressão manométrica) 
 
𝒑𝟏 é a pressão no nível mais baixo, onde a água está em contato com o gás 
pressurizado: 𝒑𝟏 = 𝑷𝒈. Já 𝒑𝟐é a pressão atmosférica, pois a extremidade com nível 
mais alto está em contato com a atmosfera. Se 𝒑𝟐 = 𝟏 𝒂𝒕𝒎 a pressão medida será a 
pressão absoluta. Para medir a pressão manométrica, basta considerar 𝒑𝟐 = 𝟎 nos 
cálculos acima. 
Perceba que mesmo sem saber o valor da pressão atmosférica no local seria possível 
calcular a pressão manométrica, que é a diferença entre a pressão medida e a pressão 
atmosférica: 𝝆𝒈𝒉. 
 
2.2 Força hidrostática sobre superfícies imersas 
Em situações como o projeto e operação de barragens é importante conhecer quais 
são as forças realizadas pelo fluido sobre a estrutura. Já se conhece que a pressão do 
fluido varia ponto a ponto com base na altura da coluna de fluido. Portanto, no fundo 
da barragem a pressão é maior. 
Se o fluido puder ser considerado como estático, como na Figura (5), pode-se calcular 
a força resultante sobre a estrutura como: 
 
𝑭𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 = � 𝒑𝒅𝑨
𝑨
 
(10) 
Em que a pressão manométrica é 𝒑 = 𝝆𝒈𝒛 (Lei de Stevin) e varia de ponto a ponto na 
vertical. Sabe-se que todo o sistema está submetido à pressão atmosférica, como pode 
ser observado na Figura 2.5. Portanto, em grande parte das aplicações, inclusive esta, 
os efeitos da pressão atmosférica se anulam e pode se utilizar somente a pressão 
manométrica nos cálculos. 
 
, 
 
 
28 
 
A integral na Equação (10) é calculada de maneira diferente com base na geometria da 
barragem. Considere um exemplo simples: em que a estrutura da barragem é vertical, 
em forma de parede, como na Figura 2.5. O elemento de área na integração neste caso 
é 𝒅𝑨 = 𝑳𝒅𝒛. Em que 𝑳 é a largura da barragem e 𝒅𝒛 é uma altura diferencial, na 
vertical. Considerando o nível de água na barragem constante, a força resultante se 
torna: 
 
𝑭𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 = � 𝝆𝒈𝒛.𝑳𝒅𝒛 = 
𝒉
𝟎
𝝆𝒈𝑳�
𝒉𝟐
𝟐
 � 
(10) 
 
 
 
 
 Fonte: ÇENGEL; CIMBALA, 2007. 
Figura 2.5 – Barragem 
2.3 Princípio de Arquimedes 
Já é bastante conhecido que materiais mais densos que a água afundam e materiais 
menos densos flutuam. Além disso, alguns objetos têm uma parte submersa e outra 
parte emersa. Porque isso acontece? E como isso está relacionado ao projeto e 
operação de navios, balões de ar quente, dirigíveis e submarinos? 
 
, 
 
 
29 
 
Observe a Figura 2.6, em que é considerado um sólido em repouso. Sobre ele atuam 
forças de superfície, contato com o fluido e forças de campo, a força peso, indicada na 
figura como W. A pressão atua em todas as direções e varia com a profundidade. As 
pressões na horizontal, direções 𝒙 e 𝒚, geram forças iguais e contrárias que se 
cancelam. Já as pressões na vertical, direção z, não se anulam e podem ser avaliadas 
como na Equação (11), abaixo: 
 �𝑭𝒔 = 𝐩𝟐𝑨𝟐 − 𝐩𝟏𝑨𝟏 = (𝐩𝟐 − 𝐩𝟏)𝐀 (11) 
 
Em que 𝑭𝒔 são as forças de superfície, 𝐩𝟐 é pressão na superfície inferior 𝑨𝟐 e 𝐩𝟏 é 
pressão na superfície superior 𝑨𝟏, 𝑨 = 𝑨𝟏 = 𝑨𝟐. Lembre-se que pela Lei de Stevin, o 
diferencial de pressão entre dois níveis de fluido é dado por: 𝝆𝒇𝒈𝒉, em que 𝝆𝒇 é a 
massa específica do fluido. Assim: 
 �𝑭𝒔 = 𝝆𝒇𝒈(𝒉.𝐀) = 𝝆𝒇𝒈𝑽 = 𝝆𝒇𝑽𝒈
= 𝒎𝒇𝒈 
𝑬 = 𝒎𝒇𝒈 
(12) 
 
O produto da altura do objeto e a área é o volume 𝑽 do objeto. O produto da massa 
específica do fluido pelo volume do objeto é a massa de fluido 𝒎𝒇 que teve que ser 
deslocada para que o objeto pudesse submergir e ocupar aquela posição. 𝑬 é a força 
de empuxo. 
O Princípio de Arquimedes afirma, através da Equação (12), que a resultante das forças 
de pressão que atuam sobre um objeto completa ou parcialmente submerso é igual ao 
peso de fluido deslocado. Essa força resultante é conhecida como empuxo e atua em 
direção contrária à força gravitacional. 
 
, 
 
 
30 
 
Na dedução utilizou-se um corpo completamente submerso, mas se o corpo estiver 
parcialmente submerso, o empuxo continua sendo o peso de fluido deslocado. Neste 
caso será o produto da massa específicado fluido pelo volume da parte submersa do 
sólido e a aceleração gravitacional. 
 
Fonte: ÇENGEL; CIMBALA, 2007. 
Figura 2.6 – Bloco submerso e atuação de forças 
Conexão de ideias 
Considere agora que você fará experimentos para avaliar materiais que afundam ou 
não afundam em água. Você insere blocos de material em água, como na Figura 2.6. 
Você coloca o material, segura por um tempo e depois o solta. Além do empuxo, a 
força gravitacional também atua sobre o corpo submerso. Assim, isso pode ser 
equacionado da seguinte maneira: 
 �𝑭 = 𝒎𝒇𝒈 − 𝒎𝒔𝒈 = 𝝆𝒇𝑽𝒈 − 𝝆𝒔𝑽𝒈 
∑𝑭 = (𝝆𝒇 − 𝝆𝒔)𝑽𝒈 = 𝒎𝒔𝒂 
(13) 
𝒎𝒔 é massa do sólido, 𝝆𝒔 é a massa específica do sólido e 𝒂 é a aceleração do sólido. 
Você irá observar o seguinte: 
• Se 𝝆𝒇 > 𝝆𝒔, o somatório das forças, Equação (13), será maior do que 0 e 
positivo. Isso gera uma aceleração para cima e o sólido subirá até emergir 
, 
 
 
31 
 
parcial ou completamente, não afunda. 
• Se 𝝆𝒇 = 𝝆𝒔, a aceleração será nula e o sólido fica completamente submerso, na 
mesma posição atua. 
• Se 𝝆𝒇 < 𝝆𝒔, surgirá uma aceleração para baixo e o sólido afundará ainda mais, 
até atingir o fundo do tanque. 
 
É importante ressaltar que o Princípio de Arquimedes funciona mesmo para 
geometrias mais complexas como cascos de navios, por exemplo. Porém, o princípio 
não vale quando o objeto sólido tem uma de suas faces em contato com o fundo do 
tanque ou outra região sólida como a lateral do tanque, por exemplo. Quando isso 
acontece, as forças devem ser calculadas por integração. 
A razão de os objetos afundarem ou não pode ser avaliada com base na massa 
específica ou densidade, como observado. Sua explicação está baseada no balanço das 
forças: peso do sólido e forças de pressão do fluido sobre o sólido, empuxo. Mas surge 
a pergunta, por que o navio que é feito de metal, com massa específica maior do que a 
da água não afunda? 
No caso do navio, existe muito espaço vazio, portanto a massa específica média 
(metal, outros componentes e ar) acaba sendo menor do que a massa específica da 
água. O valor dessa massa específica deve ser controlado também para que somente 
uma parte da embarcação afunde e para que haja estabilidade (para que o navio não 
vire). 
O cálculo do empuxo também é fundamental no projeto e operação de balões, 
dirigíveis e submarinos. A altitude é controlada através do balanço das forças peso e 
empuxo, assim como a profundidade de submarinos. 
 
 
, 
 
 
32 
 
Conclusão 
Como foi avaliado neste bloco, o fluido está sujeito a forças de superfície e forças de 
campo. Forças de campo atuando sobre fluidos geram um campo de pressão no fluido, 
que nada mais é do que uma distribuição de pressão ao longo do fluido. A equação 
básica da estática dos fluidos modela como a pressão varia ao longo do fluido e sob 
algumas condições pode se deduzir a Lei de Stevin. 
A Lei de Stevin é uma equação simples, mas que possui aplicação em diversos sistemas. 
Várias análises podem ser realizadas e as ideias podem ser aplicadas para a construção 
e entendimento de tecnologias. 
As distribuições de pressão de fluidos em estruturas avaliadas na hidrostática 
permitem também a avaliação de forças em barragens e tanques que comportam 
fluidos, além do entendimento e cálculo de forças de empuxo fundamentais na área 
naval e em veículos voadores conhecidos como mais leves do que o ar (dirigíveis e 
balões). 
REFERÊNCIAS 
ÇENGEL, Y.U.; CIMBALA, J.M. Mecânica dos Fluidos: fundamentos e aplicações. Mc 
Graw Hill, 2007. 
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos fluidos. 9. ed. São Paulo: LTC, 2018. 
Recurso online. 
 
, 
 
 
33 
 
 
3 ANÁLISE INTEGRAL EM VOLUME DE CONTROLE E CONSERVAÇÃO DA 
MASSA 
 
Para descrever o movimento de fluidos deve-se escolher algum método de análise. No 
bloco 1 foram apresentados dois tipos: análise em sistemas e volumes de controles. 
Como já mencionado, a abordagem de volumes de controle é mais empregada, uma 
vez que, em geral, o equipamento ou objeto de interesse está definido em uma região 
fixa do espaço por onde o fluido escoa e os efeitos físicos ocorrem. Exemplos são: 
tanques, tubulações e válvulas, bocais e difusores, compressores e bombas, trocadores 
de calor, turbinas em geral etc. 
Os fluidos são descritos por leis físicas que já são conhecidas em algum grau de 
profundidade como a conservação da massa, a conservação da quantidade de 
movimento (Segunda Lei de Newton), conservação da energia (Primeira Lei da 
Termodinâmica) e o balanço de entropia (Segunda Lei da Termodinâmica). 
O problema é que as leis físicas foram definidas até agora somente para sistemas, 
porções fixas de massa. Um exemplo é a Segunda Lei de Newton. Aplica-se a lei para 
partículas, sistemas de partículas ou corpos sólidos, por exemplo, mas como escrever a 
segunda Lei de Newton para uma região finita do espaço em um volume de controle? 
Para isso, serão definidos os conceitos de propriedades extensivas e intensivas, e o 
teorema do Transporte de Reynolds (TTR), que propõe uma formulação de volume de 
controle para as leis físicas que são aplicadas a sistemas na forma integral. Ademais, 
neste bloco, a primeira aplicação do teorema irá definir a equação de conservação da 
massa, ou equação da continuidade e ideias importantes relacionadas serão 
apresentadas durante o material. 
 
 
, 
 
 
34 
 
3.1 Propriedades intensivas e extensivas 
Inicialmente, é importante definir o que são propriedades extensivas e intensivas, pois 
elas serão utilizadas na definição do TTR. Além disso, são conceitos importantes para 
análises tanto em mecânica dos fluidos quanto em termodinâmica. 
Imagine que é selecionada uma porção de fluido para análise. As propriedades 
extensivas são aditivas, isto é, dependem da extensão do sistema. Quanto maior a 
porção de fluido maior será o valor desta propriedade. Um exemplo é a massa. Em 
contrapartida, a temperatura é uma propriedade intensiva, pois não é aditiva, não 
depende da extensão do sistema. Se estiver em equilíbrio térmico, uma porção grande 
ou pequena de fluido terá a mesma temperatura. 
Pode-se produzir uma propriedade intensiva a partir da razão entre duas propriedades 
extensivas, utilizando a massa, como: 
 𝜼 = 
𝑵
𝒎
 (1) 
Em que 𝒎 é a massa, 𝑵 é uma propriedade extensiva e 𝜼 é uma propriedade intensiva. 
Quando são avaliadas duas porções de fluido de dimensões diferentes, uma maior e 
outra menor, ao realizar a divisão pela massa elimina-se o efeito aditivo. De maneira 
mais geral é escrito: 
 
𝑵𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = � 𝜼 𝒅𝒎
𝑴 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
= � 𝜼 𝝆𝒅𝑽
𝑴 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
 
(2) 
Como mencionado no título, este bloco lida com a análise integral, ou seja, avaliam-se 
porções finitas no espaço e não infinitesimais, como a turbina de avião da Figura 3.1. 
Porém, o valor das propriedades como massa específica, energia, quantidade de 
movimento pode mudar de ponto a ponto. Portanto, a maneira mais geral de 
relacionar a propriedade intensiva e a extensiva é através da integral. 
 
, 
 
 
35 
 
Divide-se o fluido em porções pequenas (diferenciais) e as contribuições de cada parte, 
𝜼 𝒅𝒎, são adicionadas na integral, pois a propriedade extensiva é aditiva. A integral é 
realizada sobre a massa total 𝑴 e sobre o sistema, subscritos na Equação (2). Na forma 
diferencial a massa específica é 𝝆 = 𝒅𝒎
𝒅𝑽
, portanto, 𝒅𝒎 = 𝝆𝒅𝑽, o que explica as duas 
formas de se escrever a propriedade 𝑵. 
3.2 Teorema de Transporte de Reynolds 
Define-se o Teorema de Transporte de Reynolds como: 
 �𝒅𝑵
𝒅𝒕
�
𝑺
= 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝜼 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ � 𝜼 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗
𝑺𝑪
 
(3) 
𝑺 quer dizer sistema e 𝑽𝑪 quer dizer volume de controle e 𝑺𝑪 superfície de controle. 𝑽��⃗ 
é o campo de velocidades, como definido no bloco 1. 𝒅𝑨��⃗ é uma pequena parte da área 
da superfície de controle e 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗ é o produto escalar entreo campo de velocidades e o 
elemento infinitesimal de área 𝒅𝑨��⃗ . 𝒅𝑽� é um volume infinitesimal. Utilizou-se o 
símbolo sobre o volume 𝑽� somente para diferenciá-lo da velocidade. A partir deste 
ponto, o volume será referenciado como 𝑽�. Para mais informações sobre o processo 
de dedução da Equação (3) vide Fox et al., 2018, p. 91. 
Perceba os subscritos de sistema, volume de controle e superfície de controle. A 
Equação (3) nada mais é do que uma forma de relacionar o que ocorre em um sistema 
ao que acontece em um volume de controle limitado por superfícies de controle. Ao 
longo dos blocos 3 e 4, o Teorema de Transporte de Reynolds será explorado através 
de aplicações. Na medida em que os conceitos forem aparecendo, o aluno ficará mais 
familiarizado com a abordagem e o significado físico dos termos. Para introduzir a 
discussão sobre a Equação (3) será realizada a análise de conservação da massa, que 
produz a conhecida equação da continuidade. 
 
 
 
, 
 
 
36 
 
3.3 Equação da Continuidade 
Como enunciado desde a época de Lavoisier, a massa se conserva em um sistema 
isolado. Isso quer dizer que se acompanharmos uma porção fixa de massa em 
quantidade e qualidade, esta permanecerá fixa. Isso é bem expressado na ideia de 
sistema. Utilizando 𝑵 = 𝒎, a conservação da massa afirma que a massa é constante 
no tempo e no espaço, portanto a derivada total deve ser nula: 
 �𝒅𝑵
𝒅𝒕
�
𝑺
= �
𝒅𝒎
𝒅𝒕
�
𝑺
= 𝟎 (4) 
Uma vez que 𝑵 = 𝒎, 𝜼 = 𝟏. A partir disso e da Equação (4), o TTR se torna: 
 𝝏
𝝏𝒕
� 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ � 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗
𝑺𝑪
= 𝟎 
(5) 
que é conhecida como a equação da continuidade. Ambos os termos da soma têm 
unidade de 𝒌𝒈
𝒔
, ou seja, são taxas de massa. Para ilustrar o significado da Equação (5), 
considere o tanque com entrada e saída de água, na Figura 3.1. A linha pontilhada 
indica a superfície de controle e delimita o volume de controle, que é uma região 
escolhida para analisar o escoamento. 
A escolha do volume de controle é arbitrária. Qualquer volume de controle que 
engloba as regiões de interesse deve produzir o mesmo resultado, pois a física não 
depende de sua escolha. Existem, porém, escolhas mais interessantes que facilitam a 
avaliação do problema. Após estudar os blocos 3 e 4, o aluno pode avaliar um exemplo 
interessante de como a escolha do volume de controle pode facilitar a análise, 
exemplo 4.4 no livro texto de FOX et al., 2018, p. 103. 
 
 
 
 
, 
 
 
37 
 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
Figura 3.1 – Tanque com entrada e saída de água 
O volume de controle foi selecionado de maneira a considerar a entrada, a saída e o 
fluido dentro do tanque. Alguém pode se questionar sobre o ar que há na parte 
superior. Porém, o fluido de interesse é a água e o ar não é considerado na análise. 
Outra forma de definir o volume de controle é de maneira que a superfície controle 
(pontilhado) esteja no mesmo nível da água. Ambas as abordagens produzem os 
mesmos resultados. 
Se entrar mais água do que sair, o nível do tanque começa a subir e diz-se que existe 
acúmulo. Se sair mais água do que entrar, o nível do tanque diminui. Se existe um 
regime permanente, ou seja, nenhuma propriedade varia com o tempo, o nível do 
tanque é constante e toda a quantidade de água que entra sai. Para entender como a 
Equação (5) expressa os regimes mencionados, é preciso avaliar cada um de seus 
termos: 
• 𝝏
𝝏𝒕 ∫ 𝝆𝒅𝑽
�
𝑽𝑪 = 
�𝝏𝑵
𝝏𝒕
�
𝑽𝑪
= �𝝏𝒎
𝝏𝒕
�
𝑽𝑪
: este termo é a derivada parcial da massa total, 
pela Equação (2), fazendo 𝑵 = 𝒎. É a definição do termo de acúmulo, que 
está associado à variação total da massa dentro do volume de controle no 
tempo. Se o nível do tanque na Figura 2 aumenta, este termo é positivo. Caso 
o nível diminua, este termo é negativo. Em se tratando de um regime 
permanente, este termo é nulo. 
, 
 
 
38 
 
• ∫ 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗𝑺𝑪 : este é o termo de fluxo, que caracteriza a taxa líquida de massa 
que atravessa a superfície de controle, ou seja, é a diferença entre a taxa de 
massa que entra e a taxa que sai. Para compreender como a massa específica, 
a velocidade e a área se relacionam à taxa de massa, observe o seguinte 
exemplo: 
Um tubo no qual existe o transporte de algum fluido, em estado permanente, está 
descrito na Figura 3.2. Tem-se o objetivo de conhecer a quantidade de massa que 
passa pelo tubo por unidade de tempo. Para isso, será analisado o comportamento de 
uma porção pequena de fluido que passa por um volume de controle (pontilhado). 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
Figura 3.2 – Escoamento de fluido em tubo 
 
A quantidade de massa que atravessa o tubo em um dado intervalo de tempo ∆𝒕 é ∆𝒎 
e preenche um volume ∆𝑽�. Se considerarmos que o fluido tem uma velocidade média 
𝑽, então ele percorre uma distância 𝑳 em um tempo ∆𝒕 de maneira que 𝑳 = 𝑽 ∆𝒕. O 
volume do fluido que transpõe a superfície de controle pode ser escrito como o 
produto da área do círculo pela distância 𝑳, ∆𝑽� = 𝑳𝑨. Da definição de massa 
específica, ∆𝒎 = 𝝆∆𝑽�, que pode ser escrito através das relações construídas como: 
∆𝒎 = 𝝆𝑳𝑨 = 𝝆𝑽 ∆𝒕𝑨. Obtém-se: 
 𝒎 ̇ = 
∆𝒎
∆𝒕
 = 𝝆𝑽𝑨 (6) 
 
, 
 
 
39 
 
Da Equação (6) é possível perceber que a quantidade de massa que atravessa uma 
área A por unidade de tempo pode ser relacionada à massa específica, à velocidade e à 
área. O que o termo de fluxo na Equação (5) faz é considerar vários elementos de área 
diferenciais ao longo da superfície de controle, que pode ter uma geometria arbitrária, 
para que a análise fique mais geral. Quando se integra o produto da massa específica e 
velocidade na área total, o resultado é a taxa de massa líquida que atravessa toda a 
superfície de controle. 
O produto escalar está relacionado a como o fluido entra ou sai da superfície de 
controle. Por convenção, a área é descrita como um vetor perpendicular à superfície 
de controle. O fluido pode estar entrando, saindo ou fazendo um ângulo arbitrário 
com a superfície de controle. 
Se o fluido entra na superfície de forma paralela ao vetor 𝒅𝑨��⃗ , o produto escalar 
𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗ = 𝑽𝒅𝑨𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟖𝟎°) = −𝑽𝒅𝑨 (Figura 3.3-c). Se o fluido sai pela superfície de 
maneira paralela ao vetor 𝒅𝑨��⃗ , 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗ = 𝑽𝒅𝑨𝐜𝐨𝐬(𝟎) = 𝑽𝒅𝑨 (Figura 3.3-b). Se o fluido 
entra ou sai de maneira arbitrária, o produto escalar deve ser avaliado com base no 
ângulo em cada caso (Figura 3.3-a). Perceba que, se o ângulo é de 90°, o fluido apenas 
tangencia a superfície, não entra ou sai. Quando possível, uma escolha mais simples de 
volumes de controle é aquela em que o elemento de área 𝒅𝑨��⃗ das entradas e saídas, na 
superfície de controle, seja paralelo à velocidade do fluido, como na Figura 3.3 em b e 
c. 
 
Fonte: FOX et al., 2018, p. 93 
Figura 3.3 – Produto escalar 
, 
 
 
40 
 
De maneira a utilizar a Equação (5) em aplicações práticas, muitas vezes são utilizadas 
hipóteses simplificadoras. Considera-se que o campo de velocidades na superfície de 
controle, nas saídas e entradas, pode ser representado por velocidades médias, assim 
como massas específicas médias, o que é razoável pelo teorema do valor médio para 
integrais. 
É possível separar a superfície de controle entre regiões de entrada, de saída e regiões 
em que o fluido não atravessa a superfície, como no exemplo do tanque da Figura 3.1. 
Nos locais em que o fluido não transpõe a superfície de controle, o termo de fluxo é 
nulo, pois o campo de velocidades nessa região é nulo. Logo, restam apenas os termos 
de entrada e saída e a Equação (5) pode ser reescrita da seguinte maneira: 
 𝝏
𝝏𝒕
� 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ �𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔
𝒔
−�𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆
𝒆
= 𝟎 
(7) 
 𝝏
𝝏𝒕
� 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
= �𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆
𝒆
−�𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔
𝒔
 
(8) 
 
�𝝏𝒎
𝝏𝒕
�
𝑽𝑪
= �𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆
𝒆
−�𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔
𝒔
 
 
(9) 
 
�𝒅𝒎
𝒅𝒕
�
𝑽𝑪
= ��̇�𝒆
𝒆
−��̇�𝒔
𝒔(10) 
Na Equação (7) considerou-se a massa específica e a velocidade como médias e foi 
realizada a integração sobre a área de cada entrada e saída, o que produz os termos 
𝝆𝑽𝑨. As regiões da superfície de controle em que não há entrada ou saída de fluido 
têm fluxo nulo, por isso, ficam de fora do somatório. O subíndice 𝒔 representa saída, o 
subíndice 𝒆 representa entrada. Utiliza-se o somatório porque podem existir várias 
entradas e saídas e a integral nada mais é do que uma soma. 
, 
 
 
41 
 
A Equação (8) é um rearranjo de (7). Em (9) a massa no volume de controle é reescrita 
seguindo a relação 𝒎𝑽𝑪 = ∫ 𝝆𝒅𝑽�𝑽𝑪 . 
Na Equação (10) utiliza-se a definição realizada em (6), 
𝒎 ̇ = 𝝆𝑽𝑨. Além disso, como a única derivada presente é a temporal, a derivada 
parcial equivale à derivada total no volume de controle, de maneira que �𝝏𝒎
𝝏𝒕
�
𝑽𝑪
=
 �𝒅𝒎
𝒅𝒕
�
𝑽𝑪
. 
É importante diferenciar o termo à esquerda da Equação (10) e os termos à direita. A 
derivada total à esquerda é a variação da massa dentro do volume de controle 
definido. Já as derivadas no tempo à direita estão associadas ao fluxo na superfície de 
controle, são as taxas de massa que atravessam a superfície de controle, entrando 
e/ou saindo. 
Por fim, para ampliar os horizontes, deve ser mencionado que em situações como 
fusão e fissão nuclear a massa não se conserva. Massa é convertida em energia. Outro 
caso especial ocorre quando há reações químicas. Ao considerar uma combustão, por 
exemplo, a massa total (soma das massas dos reagentes e produtos) se conserva, 
porém a massa de cada espécie química pode variar, pois há consumo de reagentes e 
geração de produtos. 
3.3.1 Vazão 
Antes de discutir um problema exemplo é importante definir uma grandeza 
importante no escoamento de fluidos, a vazão. Para ilustrar, ligue uma torneira de sua 
casa e utilize um copo de medida juntamente com um cronômetro. Meça o volume e o 
tempo em que a torneira ficou ligada. Ao dividir o volume de água pelo tempo, você 
mensurou a vazão volumétrica da torneira com a abertura de válvula imposta e 
condições hidráulicas da tubulação. A vazão volumétrica tem unidade 𝒎
𝟑
𝒔
, no SI, e pode 
ser definida como: 
, 
 
 
42 
 
 
𝑸 = 
∆𝑽�
∆𝒕
 = 𝑽𝑨 
(11) 
Já a vazão mássica é definida como a massa medida em um intervalo de tempo, de 
unidade 𝒌𝒈
𝒔
, no SI. No exemplo da torneira para medir a vazão mássica, você precisaria 
da massa de água no copo. De posse dessa informação basta dividir a massa pelo 
tempo. Ou você poderia relacionar a vazão volumétrica e a mássica da seguinte 
maneira: 
 𝒎 ̇ = 𝝆𝑸 (12) 
É importante ressaltar que as vazões definidas se baseiam em uma velocidade média, 
definida pela Equação (13). A velocidade pode ter um perfil (distribuição de 
velocidades) diverso, dependendo da geometria e condições de escoamento. Em 
tubos, quando o escoamento é laminar, a velocidade geralmente tem o perfil ilustrado 
na Figura 3.4, que mostra a diferença entre a velocidade média 𝑽𝒎 e a velocidade real 
𝑽𝒓𝒆𝒂𝒍. 
 
𝑽𝒎 =
𝟏
𝑨
� 𝑽��⃗ 𝒓𝒆𝒂𝒍.𝒅𝑨��⃗
𝑺𝑪
 
(13) 
 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 73 
Figura 3.4 – Perfil de velocidades em tubo. 
 
 
 
 
, 
 
 
43 
 
3.3.2 Escoamento incompressível e regime permanente 
Casos especiais e bastante úteis da equação da continuidade surgem quando se 
assume hipóteses como as de escoamento incompressível e regime permanente. 
Considere o tanque já apresentado no bloco 1, Figura 3.5, com escoamento de um 
fluido. Este possui uma entrada na lateral esquerda (1), e duas saídas, uma inferior (2) 
e outra na lateral direita (3). 
Utilizando todas as hipóteses discutidas na seção 1.3 pode-se partir da Equação (10): 
�𝒅𝒎
𝒅𝒕
�
𝑽𝑪
= ��̇�𝒆
𝒆
−��̇�𝒔
𝒔
 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
Figura 3.5 – Tanque com entrada e saída de fluido 
Através da definição de massa específica e considerando que o fluido é incompressível, 
tem-se: 
 �𝒅𝒎
𝒅𝒕
�
𝑽𝑪
= �
𝒅[𝝆𝑽�]
𝒅𝒕
�
𝑽𝑪
= �𝝆
𝒅𝑽�
𝒅𝒕
�
𝑽𝑪
 
(14) 
Como o volume de controle é fixo, isto é, não varia com o tempo e a câmara na Figura 
3.5 está totalmente preenchida com fluido, não existe um nível que pode variar, assim: 
 �𝒅𝑽�
𝒅𝒕
�
𝑽𝑪
= 𝟎 
(15) 
, 
 
 
44 
 
Outra hipótese que é muito utilizada é a de regime permanente, ou seja, nenhuma 
propriedade varia no tempo. Em geral, muitos equipamentos operam em regimes que 
podem ser considerados como permanentes. Em regime permanente, a massa no 
volume de controle não varia no tempo e, portanto: 
 �𝒅𝒎
𝒅𝒕
�
𝑽𝑪
= 𝟎 (16) 
As Equações (15) e (16) produzem a relação descrita em (17), que afirma que toda a 
quantidade de massa que entra no volume de controle deve sair: 
 
��̇�𝒆
𝒆
−��̇�𝒔
𝒔
= 𝟎 
��̇�𝒆
𝒆
= ��̇�𝒔
𝒔
 
(17) 
Avaliando o fluido incompressível 𝝆 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝝆𝒆 = 𝝆𝒔. Assim, utilizando a 
Equação (12) reescreve-se a Equação (17) como: 
 
�𝝆𝒆𝑸𝒆
𝒆
= �𝝆𝒔𝑸𝒔
𝒔
 
(18) 
 
𝝆�𝑸𝒆
𝒆
= 𝝆�𝑸𝒔
𝒔
 
(19) 
 
�𝑸𝒆
𝒆
= �𝑸𝒔
𝒔
 
(20) 
Ou seja, todo o volume de fluido que entra no volume de controle deve sair. 
 
 
 
, 
 
 
45 
 
Exemplo 1 
Considere a Figura 3.5. Imagine que seja conhecida a vazão volumétrica de fluido em 
(1), 𝑸𝟏 = 𝟎,𝟎𝟒𝟓 
𝒎𝟑
𝒔
, e a vazão em (2), 𝑸𝟐 = 𝟎,𝟎𝟏𝟓 
𝒎𝟑
𝒔
. Determine a vazão 
volumétrica em (3) e a velocidade média neste tubo cujo diâmetro é de duas 
polegadas. Essa velocidade é importante para cálculos de perda de carga (Bloco 6), 
muito utilizados no dimensionamento de tubulações em sistemas de bombeamento e 
ventilação, por exemplo. 
Dados: 
𝑸𝟏 = 𝟎,𝟎𝟒𝟓 
𝒎𝟑
𝒔
; 𝑸𝟐 = 𝟎,𝟎𝟏𝟓 
𝒎𝟑
𝒔
; 𝒅 = 𝟐.𝟐𝟓,𝟒 𝐦𝐦 = 𝟐.𝟐𝟓,𝟒.𝟏𝟎−𝟑𝒎 
 
Só existe uma entrada e duas saídas, substituindo os dados do exemplo da Equação 
(20), obtém-se: 
 
�𝑸𝒆
𝒆
= �𝑸𝒔
𝒔
 
𝑸𝟏 = 𝑸𝟐 + 𝑸𝟑 
𝑸𝟑 = 𝑸𝟏 − 𝑸𝟐 
𝑸𝟑 = 𝟎.𝟎𝟒𝟓 − 𝟎.𝟎𝟏𝟓 
𝑸𝟑 = 𝟎.𝟎𝟑 
𝒎𝟑
𝒔
 
 
Através da Equação (11), tem-se: 
 𝑸𝟑 = 𝑽𝟑𝑨𝟑 
𝑽𝟑 =
𝑸𝟑
𝑨𝟑
 
 
Ao substituir os dados, o resultado encontrado é: 
, 
 
 
46 
 
 𝑽𝟑 =
𝟒𝑸𝟑
𝝅𝒅𝟐
=
𝟒.𝟎,𝟑 𝒎
𝟑
𝒔
𝝅. (𝟐.𝟐𝟓,𝟒.𝟏𝟎−𝟑𝒎)𝟐
 
𝑽𝟑 = 𝟏𝟒,𝟖 
𝒎
𝒔
 
 
 
 
Conclusão 
Vários conceitos novos foram introduzidos neste bloco que inicia a avaliação da 
dinâmica dos fluidos. Muitas vezes é interessante avaliar algum fenômeno ou 
equipamento em uma região finita no espaço. A formulação integral das equações de 
conservação que pode ser realizada através do Teorema de Transporte de Reynolds 
permite conectar as leis físicas que são definidas em sistemas aos volumes de controle. 
A Equação da Continuidade descreve como a massa é transportada de uma região a 
outra e é fundamental na avaliação qualitativa e quantitativa do escoamento de 
fluidos. Grande parte das análises de transporte, inclusive de outras propriedades, 
como quantidade de movimento e energia, tem como passo inicial a avaliação da 
conservação da massa. 
 
 
REFERÊNCIAS 
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
Recurso online. 
FOX, R. W. et al. Introdução à mecânica dos fluidos. 9. ed. São Paulo: LTC, 2018. 
Recurso online. 
 
, 
 
 
47 
 
 
4 ANÁLISE INTEGRAL EM VOLUME DE CONTROLE: TRANSPORTE DE 
PROPRIEDADE 
 
No bloco 3 iniciou-se a discussão sobre a análise integral em volume de controle 
utilizando o Teorema de Transporte de Reynolds (TTR). Além disso, avaliou-se a 
conservação da massa. A Equação da Continuidade avalia o transporte de quantidade 
de matéria (massa), porém a matéria é capaz de transportar outras quantidades 
durante o escoamento. Neste bloco será analisada a conservação de quantidade de 
movimento linear (2ª Lei de Newton) e a conservação da energia (1ª Lei da 
Termodinâmica) por meio da análise integral em volume de controle. 
4.1 Equação da conservação da quantidade de movimento (2ª Lei de Newton) 
A 2ªLei de Newton é válida em sistemas de referência inerciais, isto é, em repouso ou 
com velocidade constante. Para referenciais acelerados, é preciso fazer correções. O 
tratamento será realizado para sistemas inerciais, portanto considera-se que o volume 
de controle está em repouso ou em velocidade constante com relação a um sistema de 
coordenadas absoluto. 
Considere 𝒙𝒚𝒛 o sistema de referência do volume de controle, para o qual as 
grandezas serão definidas, e 𝑿𝒀𝒁 o referencial absoluto. Portanto, 𝒙𝒚𝒛 deve estar em 
repouso ou possuir velocidade constante em comparação à 𝑿𝒀𝒁. Não é necessário 
conhecer o referencial absoluto, é importante apenas atentar-se ao fato de que o 
volume de controle não pode estar acelerado. 
Como mencionado anteriormente, o fluido transporta quantidade de movimento ou 
momento. A definição de momento linear é: 
 
 
𝑷��⃗ = 𝒎𝑽��⃗ (1) 
, 
 
 
48 
 
Em que 𝒎 é a massa total do sistema. Perceba que a quantidade de movimento linear 
𝑷��⃗ é uma grandeza extensiva. Para torná-la intensiva divide-se pela massa, como 
mencionado no bloco 3, fazendo 𝑵 = 𝑷��⃗ : 
 
𝜼 = 
𝑵
𝒎
=
𝒎𝑽��⃗
𝒎
= 𝑽��⃗ 
(2) 
A velocidade é uma quantidade intensiva. Como ela pode variar de ponto a ponto, a 
definição geral deve ser a seguinte, utilizando a Equação (2) do bloco 3: 
 
𝑷𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = � 𝑽��⃗ 𝒅𝒎
𝑴 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
= � 𝑽��⃗ 𝝆𝒅𝑽�
𝑴 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
 
(3) 
Em sua forma mais geral, a 2ª Lei de Newton afirma que o somatório das forças sobre 
o sistema é igual à derivada temporal da quantidade de movimento linear do sistema: 
 
�𝑭��⃗ = �
𝒅𝑷��⃗
𝒅𝒕
�
𝑺
 
(4) 
Desde o bloco 1, é conhecido que atuam tanto forças de corpo quanto forças de 
superfície no fluido, de maneira que: 
 �𝑭��⃗ =�𝑭𝒄����⃗ + �𝑭𝒔����⃗ (5) 
O Teorema de Transporte de Reynolds definido no bloco anterior é: 
 �𝒅𝑵
𝒅𝒕
�
𝑺
= 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝜼 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ � 𝜼 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗
𝑺𝑪
 
(6) 
Sabendo que 𝑵 = 𝑷��⃗ e 𝜼 = 𝑽��⃗ , o TTR se torna: 
 �𝒅𝑷��⃗
𝒅𝒕
�
𝑺
= 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝑽��⃗ 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ � 𝑽��⃗ 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗
𝑺𝑪
 
(7) 
 Ao combinar as Equações (4), (5), (7), e considerando que as mesmas forças que 
atuam no sistema atuam no volume de controle, obtém-se a forma final: 
, 
 
 
49 
 
 
�𝑭𝒄����⃗ + �𝑭𝒔����⃗ = 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝑽��⃗ 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ � 𝑽��⃗ 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗
𝑺𝑪
 
(8) 
A Equação (8) é a 2 ª Lei de Newton para volumes de controle e todos os termos têm 
unidade de 𝑵, no SI. Observe que os termos sublinhados são os mesmos da 
conservação da massa na Equação da Continuidade reafirmando que o significado 
desses termos está associado ao transporte de quantidade de movimento linear que se 
dá pelo próprio escoamento da matéria. As forças escritas são forças aplicadas sobre o 
volume de controle. Avaliando os termos do lado direito da Equação (8), tem-se: 
• 𝝏
𝝏𝒕 ∫ 𝑽
��⃗ 𝝆𝒅𝑽�𝑽𝑪 =
�𝝏𝑷��⃗
𝝏𝒕
�
𝑽𝑪
: este termo é a variação total da quantidade de 
movimento dentro do volume de controle no tempo; 
• ∫ 𝑽��⃗ 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗ 𝑺𝑪 : este termo quantifica a taxa líquida de quantidade de 
movimento que atravessa a superfície de controle, ou seja, é a diferença entre 
a taxa que entra e a taxa que sai. 
Para simplificar a análise através da Equação (8) serão utilizadas algumas hipóteses. A 
única força de campo considerada será a força gravitacional: 
 �𝑭𝒄����⃗ = 𝒎𝒈��⃗ (9) 
Em que 𝒎 é a massa total dentro do volume de controle e 𝒈��⃗ é a aceleração 
gravitacional. As forças de superfície mais comuns são efeitos da atuação da pressão 
sobre o fluido: 
 
�𝑭𝒔����⃗ = � 𝒑𝒅𝑨��⃗
𝑨
 
(10) 
Se a distribuição de pressão puder ser considerada constante ao longo da área da 
superfície de controle: 
 �𝑭𝒔����⃗ = 𝒑𝑨𝒏� (11) 
, 
 
 
50 
 
Em que 𝒑 é a pressão que atua sobre o fluido, 𝑨 é a área total avaliada e 𝒏� é um vetor 
unitário que fornece apenas a direção da força de superfície resultante. Além disso, 
reações de apoio são outros exemplos de forças de superfície sobre volumes de 
controle quando a superfície de controle engloba tanto o fluido quanto parte da 
estrutura. 
Considerando que somente as regiões de entrada e saída de fluido no volume de 
controle são importantes e que as propriedades são médias e uniformes nessas 
regiões, assim como o que foi realizado no bloco 3, o termo de fluxo da quantidade de 
movimento se torna: 
 ∫ 𝑽��⃗ 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗𝑺𝑪 = ∑ 𝑽��⃗ 𝒔 𝝆𝒔𝑽𝒔𝑨𝒔𝒔 − ∑ 𝑽��⃗ 𝒔𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆𝒆 
(12) 
Perceba que os termos sublinhados são taxas de massa, iguais aos deduzidos no bloco 
3. As velocidades na parte sublinhada são oriundas do produto escalar, 
diferentemente do campo de velocidades que está com o símbolo de vetor. Ao 
combinar as Equações (8) e (12), tendo em mente a definição do campo de 
velocidades, obtém-se nas direções 𝒙,𝒚 e 𝒛: 
 
�𝑭𝒄𝒙 + �𝑭𝒔𝒙 = 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝒖 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ �𝒖𝒔𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔
𝒔
−�𝒖𝒆𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆
𝒆
 
(13) 
 
�𝑭𝒄𝒚 + �𝑭𝒔𝒚 = 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝒗 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ �𝒗𝒔𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔
𝒔
−�𝒗𝒆𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆
𝒆
 
(14) 
 
�𝑭𝒄𝒛 + �𝑭𝒔𝒛 = 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝒘 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ �𝒘𝒔𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔
𝒔
−�𝒘𝒆𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆
𝒆
 
(15) 
Os subescritos 𝒙,𝒚, 𝒛 nas forças de corpo e superfície estão relacionados à direção na 
qual a análise é realizada, 𝒖,𝒗 𝒆 𝒘, que são as componentes do campo de velocidades. 
É importante mencionar que as Equações de transporte são extensas, mas em geral 
várias simplificações podem ser realizadas durante o estudo de um problema, o que as 
torna muito mais simples. 
, 
 
 
51 
 
Para realizar a análise de um volume de controle acelerado, como a análise em um 
foguete, por exemplo, que tem aceleração vertical, é preciso adicionar um termo de 
aceleração do volume de controle. Para mais detalhes vide FOX et al., 2018, p. 117. 
Exemplo 1 
Considere a Figura 4.1, na qual há um reservatório conectado a uma tubulação em formato 
de L, com cotovelo de 90°, por onde um gás é transportado. O tubo tem um diâmetro de ¼ 
de polegada. Na entrada da tubulação, seção (1), a pressão é de 𝟏 𝒃𝒂𝒓 e a massa específica 
é de 𝟐.𝟑𝟓𝟎 𝒌𝒈
𝒎𝟑
. A velocidade na saída da tubulação, seção (2), é de 𝟑𝟎 𝒎/𝒔 e a massa 
específica é de 𝟏.𝟏𝟖𝟎 𝒌𝒈
𝒎𝟑
. Determine a reação de apoio horizontal na entrada da tubulação 
(𝑹𝒙). Considere que a pressão na seção (2) é atmosférica. (Obs.: Admita regime 
permanente, que é uma boa aproximação quando o sistema opera de maneira estável). 
 
Dados: 
𝑫𝟏 =
𝟏"
𝟒
=
𝟏
𝟒
.𝟐𝟓,𝟒.𝟏𝟎−𝟑𝒎 = 𝟎,𝟎𝟎𝟔𝟑𝟓 𝒎 
 𝑨𝟏 = 𝑨𝟐 = 𝑨 =
𝝅
𝟒
. (𝟎,𝟎𝟎𝟔𝟑𝟓)𝟐 = 𝟑,𝟏𝟔𝟔𝟗.𝟏𝟎−𝟓𝒎𝟐 
𝒑𝟏 = 𝟏 𝒃𝒂𝒓 = 𝟏𝟎𝟓 𝑷𝒂; 𝝆𝟏 = 𝟐𝟑𝟓𝟎 
𝒌𝒈
𝒎𝟑
 
𝒑𝟐 = 𝟎; 𝝆𝟐 = 𝟏𝟏𝟖𝟎 
𝒌𝒈
𝒎𝟑
; 𝑽𝟐 = 𝟑𝟎
𝒎
𝒔
 
Hipóteses: 
 (1) – Propriedades uniformes 
(2) – Regime permanente: 
𝝏
𝝏𝒕 ∫ 𝑽
��⃗ 𝝆𝒅𝑽�𝑽𝑪 =0 
Sabendo que a pressão atmosférica atua em toda a estrutura, pode-
 
, 
 
 
52 
 
se considerar que o somatório dela ao longo do volume de controle 
é nulo, por isso, a análise será realizada considerando somente a 
pressão manométrica, o que faz 𝒑𝟐 = 𝟎. 
Em 𝒙, Equação (13): 
∑𝑭𝒄𝒙 + ∑𝑭𝒔𝒙 = 
𝝏
𝝏𝒕 ∫ 𝑽
��⃗ 𝝆𝒅𝑽�𝑽𝑪 + ∑ 𝒖𝒔𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔𝒔 − ∑ 𝒖𝒆𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆𝒆 
A força peso atua somente em 𝒚, portanto não é considerada em 𝒙. 
Nas forças de superfície existem as forças devido à pressão do 
fluido e como o volume de controle engloba a estrutura existem 
também as reações de apoio: 
 ∑𝑭𝒔𝒙=𝒑𝟏𝑨 + 𝑹𝒙 
 
 
Fonte: elaborado pelo 
autor. 
Figura 4.1 – 
Escoamento de gás e 
volume de controle 
A saída do fluido ocorre na vertical, direção 𝒚, portanto: 𝒖𝒔 = 𝟎, o que torna: 
𝒖𝒔𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔 = 𝟎 
A saída equivale à seção (2) e a entrada à seção (1), de maneira que a Equação (13) se reduz 
a: 
𝑹𝒙 + 𝒑𝟏𝑨 = −𝒖𝟏𝝆𝟏 𝑽𝟏𝑨 
𝑹𝒙 = −𝒑𝟏𝑨 − 𝒖𝟏𝝆𝟏 𝑽𝟏𝑨 
𝑹𝒙 = −𝑨(𝒑𝟏 + 𝝆𝟏 𝑽𝟏𝟐) 
A componentede velocidade do fluido em 𝒙 (𝒖) é igual à velocidade na entrada (𝑽), pois o 
fluido entra na horizontal: 𝒖𝟏 = 𝑽𝟏. 
A única variável desconhecida para o cálculo da reação de apoio horizontal é a velocidade 
, 
 
 
53 
 
no tubo 𝑽𝟏. 
Em regime permanente a Equação da Continuidade aplicada ao problema se torna: 
𝝆𝟏 𝑽𝟏𝑨 = 𝝆𝟐 𝑽𝟐𝑨 
𝑽𝟏 =
𝝆𝟐
𝝆𝟏
.𝑽𝟐=
𝟏𝟏𝟖𝟎
𝟐𝟑𝟓𝟎
.𝟑𝟎 = 𝟏𝟓,𝟎𝟔𝟑𝟖 𝒎
𝒔
 
Por fim: 
𝑹𝒙 = −𝟑,𝟏𝟔𝟔𝟗.𝟏𝟎−𝟓𝒎𝟐 �𝟏𝟎𝟓 𝑷𝒂 + 𝟐𝟑𝟓𝟎.𝟏𝟓,𝟎𝟔𝟑𝟖𝟐 
𝒌𝒈
𝒎𝟑
𝒎
𝒔𝟐
𝟐
� 
𝑹𝒙 = −𝟑.𝟏𝟖 𝒌𝑵 
O sinal negativo implica que a força atua em sentido contrário ao definido inicialmente. 
 
 
4.2 Equação da conservação da energia 
O fluido também transporta energia que, para um fluido, pode ser escrita de maneira 
geral como: 
 
𝑬𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = � 𝒆 𝒅𝒎
𝑴 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
= � 𝒆 𝝆𝒅𝑽�
𝑴 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
 
(16) 
Em que 𝒆 é a energia específica total do sistema, que é a razão entre a energia e a 
massa, no SI, 𝑱
𝒌𝒈
. A energia específica total pode ser definida como: 
 
𝒆 = 𝒖 +
𝑽𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛 
(17) 
Na Equação (17) 𝒖 é a energia interna específica, 𝑽
𝟐
𝟐
 é a energia cinética específica e 
𝒈𝒛, a energia potencial específica (𝒛 é o nível do fluido, a altura). De maneira similar ao 
que foi realizado na seção 4.1, escreve-se: 
 𝑵 = 𝑬; 𝜼 = 𝒆 (18) 
, 
 
 
54 
 
A lei física que quantifica a conservação da energia é a Primeira Lei da Termodinâmica. 
Para um sistema, a equação na forma de taxa, pode ser escrita da seguinte maneira: 
 �̇� − �̇� = �
𝒅𝑬
𝒅𝒕
�
𝑺
 
(19) 
�̇� quantifica a taxa de calor que é transferida ao fluido, sendo positivo se o sistema 
recebe calor. �̇� é a taxa de trabalho realizada sobre o sistema, sendo negativa quando 
trabalho é realizado sobre o sistema. A unidade de medida dos termos na Equação (19) 
é de 𝑱
𝒔
= 𝑾, no SI. 
A partir da Equação (18), o TTR se torna: 
 �𝒅𝑬
𝒅𝒕
�
𝑺
= 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝒆 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ � 𝒆 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗
𝑺𝑪
 
(20) 
 Ao combinar as Equações (19), (20) e considerando que a mesma taxa de energia 
transferida ao sistema por meio do transporte de calor e trabalho se transfere ao 
volume de controle, obtém-se a forma: 
 
�̇� − �̇� = 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝒆 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ � 𝒆 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗
𝑺𝑪
 
(20) 
Em que �̇� e �̇� são quantidades definidas no volume de controle. 
Uma abordagem comum é a de dividir as diferentes formas de taxas de trabalho na 
Equação (20). A divisão inclui taxa de trabalho devido a eixo que corta a superfície de 
controle, realizando ou recebendo trabalho do fluido. Exemplos são turbinas, hélices, 
eixos em compressores e bombas. Outra forma é devida ao deslocamento de fluido 
promovido por forças associadas a tensões de cisalhamento e normais. Além disso, há 
outras formas não exatamente mecânicas como o trabalho de forças 
eletromagnéticas, por exemplo. 
 
 
, 
 
 
55 
 
Considerando que a escolha do volume de controle é feita de maneira em que a 
velocidade 𝑽��⃗ nas entradas e saídas é perpendicular à superfície de controle, isto é, 
paralela ao elemento de área 𝒅𝑨��⃗ , elimina-se os trabalhos devido a tensões de 
cisalhamento. 
Em grande parte das análises, as taxas de trabalho mais importantes advém do 
trabalho de eixo e das tensões normais (o trabalho de pressão). Com as ideias 
mencionadas, o TTR para a conservação da energia produz a Equação: 
 
�̇� − �̇�𝒆𝒊𝒙𝒐 = 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝒆 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ � �𝒆 +
𝒑
𝝆
� 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗
𝑺𝑪
 
(21) 
A Equação (21) é a Lei de Conservação de Energia para volumes de controle em sua 
forma mais comum. Todos os termos têm unidade de 𝑱
𝒔
= 𝑾, no SI. O termo 𝒑
𝝆
 se deve 
ao trabalho de pressão e foi aderido ao termo de fluxo no lado direito da equação. 
Levando em conta propriedades médias e uniformes, produz-se a expressão: 
 
�̇� − �̇�𝒆𝒊𝒙𝒐 = 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝒆 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ ��𝒆 +
𝒑
𝝆
�
𝒔
𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔 −
𝒔
��𝒆 +
𝒑
𝝆
�
𝒆
𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆
𝒆
 
(22) 
Exemplo 2 
Considere a Figura 4.2, na qual há um bocal com regiões de isolamento superior e inferior 
(em azul). Suponha que o isolamento não está adequado e tem-se o objetivo de descobrir a 
quantidade de calor que é perdida através das paredes. As informações disponíveis são: o 
gás que entra a 𝟑𝟎𝟎°𝑪, com uma velocidade de 𝟓 𝒎/𝒔 sai com uma velocidade de 
𝟐𝟏𝟎 𝒎/𝒔 a 𝟐𝟎𝟎° 𝑪. A vazão mássica que atravessa o equipamento é de 𝟏 𝒌𝒈/𝒔. Determine 
a quantidade de calor que é perdida através das paredes do bocal. (Obs.: Admita regime 
permanente, gás ideal e 𝒄𝒑 aproximadamente constante com valor de 𝟏,𝟎𝟓 𝒌𝑱/(𝒌𝒈.𝑲)). 
, 
 
 
56 
 
 
Fonte: MORAN et al., 2014. 
Figura 4.2 – Bocal 
Dados: 
𝑻𝟏 = 𝟑𝟎𝟎°𝑪; 𝑽𝟏 = 𝟓
𝒎
𝒔
 
𝑻𝟐 = 𝟐𝟎𝟎°𝑪; 𝑽𝟐 = 𝟐𝟏𝟎
𝒎
𝒔
 
�̇� = 𝟏
𝒌𝒈
𝒔
 
𝒄𝒑 = 𝟏,𝟎𝟓 𝒌𝑱/(𝒌𝒈.𝑲) 
Hipóteses: 
 (1) – Propriedades uniformes 
 (2) – Regime permanente: 
𝜕
𝜕𝑡 ∫ 𝑒 𝜌𝑑𝑉
�
𝑉𝐶 =0 
 (3) – Gás ideal com 𝒄𝒑 constante: 
∆𝒉 = 𝒄𝒑∆𝑻 
No problema do bocal não há trabalho de eixo sendo realizado. Existe apenas trabalho de 
pressão que ocorre no próprio fluido e que é contabilizado no lado direito da Equação (22), 
que se torna: 
�̇� − �̇�𝒆𝒊𝒙𝒐 = 
𝝏
𝝏𝒕 ∫ 𝒆 𝝆𝒅𝑽
�
𝑽𝑪 + ∑ �𝒆 +
𝒑
𝝆
�
𝒔
𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔 −𝒔 ∑ �𝒆 +
𝒑
𝝆
�
𝒆
𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆𝒆 
 
Como há somente uma entrada e uma saída: 
, 
 
 
57 
 
�̇� = �𝒆 +
𝒑
𝝆
�
𝒔
𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔 − �𝒆 +
𝒑
𝝆
�
𝒆
𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆 
Pela Equação da Continuidade: 
𝝆𝒔 𝑽𝒔𝑨𝒔 = 𝝆𝒆 𝑽𝒆𝑨𝒆 = �̇� = 𝟏
𝒌𝒈
𝒔
 
Portanto: 
�̇� = �̇� ��𝒆 +
𝒑
𝝆
�
𝒔
− �𝒆 +
𝒑
𝝆
�
𝒆
� 
Através da Equação (17) obtém-se: 
�̇� = �̇� ��𝒖 +
𝑽𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛 +
𝒑
𝝆
�
𝒔
− �𝒖 +
𝑽𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛 +
𝒑
𝝆
�
𝒆
� 
A quantidade 𝒖 + 𝒑
𝝆
 é a entalpia específica do sistema definida como 𝒉 = 𝒖 + 𝒑
𝝆
= 𝒖 + 𝒑𝒗. 
Em que 𝒗 é o volume específico 𝒗 = 𝟏/𝝆. Assim: 
�̇� = �̇� ��𝒉 +
𝑽𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛�
𝒔
− �𝒉 +
𝑽𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛�
𝒆
� 
A saída equivale à seção (2) e a entrada à seção (1), de maneira que: 
�̇� = �̇� �(𝒉𝟐 − 𝒉𝟏) + �
𝑽𝟐𝟐
𝟐
−
𝑽𝟏𝟐
𝟐
� + 𝒈(𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)� 
Como não há diferença de nível de fluido considerável (diferentemente de uma situação em 
que há uma bomba hidráulica, por exemplo), considera-se 𝒈(𝒛𝟐 − 𝒛𝟏) = 𝟎. 
O gás é ideal e 𝒄𝒑 é constante, portanto: 𝒉𝟐 − 𝒉𝟏 = 𝒄𝒑(𝑻𝟐 − 𝑻𝟏). Obtém-se: 
�̇� = �̇� �𝒄𝒑(𝑻𝟐 − 𝑻𝟏) + �
𝑽𝟐𝟐
𝟐
−
𝑽𝟏𝟐
𝟐
�� 
Substituindo os dados: 
�̇� = 𝟏
𝒌𝒈
𝒔
�𝟏,𝟎𝟓.
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑱
𝒌𝒈.𝑲
. (−𝟏𝟎𝟎) 𝑲 + �
𝟐𝟏𝟎𝟐
𝟐
−
𝟓𝟐
𝟐
� 𝒎𝟐/𝒔𝟐 � 
, 
 
 
58 
 
�̇� = −𝟖𝟐𝟗𝟔𝟐,𝟓 𝑾 
�̇� = −𝟖𝟐,𝟗𝟔𝟐𝟓 𝒌𝑾 
A taxa de calor encontrada é negativa, pois o calor sai do volume de controle, é perdido. 
 
4.3 Transporte geral de propriedades 
A matéria que constitui o fluido possui velocidade durante o escoamento, tem 
quantidade de movimento. Os elementos de fluido também possuem energia 
associada, cinética, potencial, interna etc. Logo, por onde escoa o fluido transporta 
quantidade de movimento linear, angular e energia, além de outras propriedades 
como a entropia. No TTR 
 �𝒅𝑵
𝒅𝒕
�
𝑺
= 
𝝏
𝝏𝒕
� 𝜼 𝝆𝒅𝑽�
𝑽𝑪 
+ � 𝜼 𝝆 𝑽��⃗ .𝒅𝑨��⃗
𝑺𝑪
 
(23) 
𝑵 e 𝜼 podem representar propriedades arbitrárias transportadas pelo fluido seja 
contida na própria matéria ou transportada junto com o fluido, como algum 
particulado. Pode ser aplicado também a escoamento de sólidos como em partículas 
presentes em silos. 
As equações produzidas pelo TTR são equações de transporte cujo significado físico é 
de conservação de propriedade, seja qual for. Basta realizar um balanço de tudo que 
entra, sai e/ou acumula no volume de controle, isso é igual à variação total da 
propriedade no sistema. Considerando propriedades uniformes e sabendo que 
𝝏
𝝏𝒕 ∫ 𝜼 𝝆𝒅𝑽
�
𝑽𝑪 =
�𝝏𝑵
𝝏𝒕
�
𝑽𝑪
, a Equação (23) se torna: 
 
 
 
 
, 
 
 
59 
 
 
�𝒅𝑵
𝒅𝒕
�
𝑺���
= �
𝝏𝑵