M02-Transformações Geométricas 2D II

Prévia do material em texto

Adailton José Alves da Cruz 
FACET/UFGD 
 
Computação Gráfica 2D 
Computação Gráfica 
Tópicos 
 Sistemas de Coordenadas 
 Transformações de Visualização 2D 
 Transformações geométricas 2D 
 Combinação de transformações 
2 
























v
v
y
x
y
x
y
x
10
01
'
'
Translação, rotação e escala 
Transformações Geométricas 











 






y
x
y
x


cossin
sincos
'
'


















y
x
s
s
y
x
y
x
0
0
'
'
 
 
 Porque? 
Combinação de Transformações 
 Suponha a rotação de um objeto em relação a 
um ponto arbitrário P 
P P 
R
 Como? Sabemos rotacionar um ponto apenas 
em relação a origem. 
Combinação de Transformações 
1T
θ
θR
2T
1x
1y
Composição 
transformações 2D 
 Para compor 2 transformações temos: 
 Se P’ = T1 x P e P’’ = T2 x P’ , então, P’’ = T2 x T1 x P 
P P’ 
P’’ 
1T
2T
12 TT 
Produto Matricial 
























v
v
y
x
y
x
y
x
10
01
'
'
Translação, rotação e escala 
Transformações Geométricas 











 






y
x
y
x


cossin
sincos
'
'


















y
x
s
s
y
x
y
x
0
0
'
'
Não pode ser representada por uma matriz 2x2 





 


cossin
sincos






y
x
s
s
0
0
E o Produto Matricial? 
solução 
Coordenadas Homogêneas 
 Para que possamos combinar as 
transformações precisamos operá-las da 
mesma forma. 
 
 Uma abordagem consistente de tratar este 
problema é usar coordenadas homogêneas. 
 
 Em coordenadas homogêneas um ponto (x,y) 
passa a ser representado por três 
coordenadas (x, y , w) 
 
Coordenadas homogêneas e 
transformações geométricas 
 Como os pontos são representados por três 
coordenadas então devemos ter matrizes 
3x3. 
 A translação passa a ser representada por: 
































1100
10
01
1
'
'
y
x
t
t
y
x
y
x
Coordenadas homogêneas e 
transformações geométricas 
 A Rotação passa a ser representada por: 




















 











1100
0cossin
0sincos
1
'
'
y
x
y
x


Coordenadas homogêneas e 
transformações geométricas 
 A Escala passa a ser representada por: 
































1100
00
00
1
'
'
y
x
s
s
y
x
y
x
 
Voltando a questão inicial 
Combinação de Transformações 
1T












100
10
01
1
1
y
x
θ









 
100
0cossin
0sincos


θR
2T










100
10
01
y
x
1x
1y
Combinação de Transformações 
1TθR2T

































 






















1100
10
01
100
0cossin
0sincos
100
10
01
1
'
'
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x


 
 























1100
sincos1cossin
sincos1sincos
11
11
y
x
xy
yx


Combinação de Transformações 
 
 

































1100
sincos1cossin
sincos1sincos
1
'
'
11
11
y
x
xy
yx
y
x


 A matriz resultante - T2R0T1 
 Levar em conta a ordem das transformações 
transformaçoes 
Composição de 
transformações 2D 
 Para compor 2 transformações temos: 
 Se P’ = T1 x P e P’’ = T2 x P’ , então, P’’ = T2 x T1 x P 
P P’ 
P’’ 
1T
2T
12 TT 