Atividade 2 Geometria

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ALUNO: Douglas Gleyson da Conceição RA: 1710473 TURMA: 4ª FEIRAS 
 
DISCIPLINA: Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. Dr. Pedro Luiz Fagundes 
 
 
1. Determine o valor de x para que o ponto A = (x,2,−2x) diste √6 unidades do ponto B = (2,1,0). 
Vamos utilizar a seguinte fórmula para encontrar o valor de x 
d2 = (xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)² 
Aplicando na fórmula acima as coordenadas do ponto e a distância dada temos 
 
 
 
Resolvendo a equação de segundo grau, tem-se 
 
 
 
Portanto, os valores que x são 
 x = 1 ou 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE VIRTUAL DO ESTADO DE SÃO 
PAULO 
Bacharelado em Engenharia de Computação 
Campus: CEU Heliópolis 
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2. Calcule o angulo entre os vetores u = (1,2,−2) e v = (−1,0,1). 
Podemos calcular o angulo entre os vetores da seguinte maneira 
 
Aplicando as componentes dos vetores 
 
 
 Racionalizando temos 
 
 
Perceba que não queremos encontrar o cosseno do angulo e, sim, o angulo. Portanto vamos calcular 
 
 Assim, temos que 
 
 
 
 
 
 
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3. Dados os vetores u = (3,1,−2) e v = (2,−2,1) decomponha o vetor v como soma de dois 
vetores, v1 e v2 sendo o 1o paralelo a u e o 2o ortogonal a u 
Vamos representar geometricamente o que e solicitado no exercício. 
 
Na imagem acima pode-se verificar a seguinte relação 
v1 = k · u » ||v1|| = |k| · ||u|| 
Sabemos que o cosseno do angulo entre os vetores u e v é 
 
 
E, utilizando a relação cosseno no triangulo retângulo tem-se 
 
 
Assim, podemos igualar as relações que envolvem cosθ 
 
 
 
Simplificando ||v|| temos 
 
 
No entanto, sabemos que ||v1|| = |k| · ||u|| substituindo temos 
 Isolando k 
 
 
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Aplicando as componentes dos vetores conhecidos 
 
 
 
Agora substituindo na primeira relação de v1 
 
 
Para encontrar v2 basta observar que 
 
 
Aplicando os vetores 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, temos os seguintes vetores 
 
 
Portanto, v se decompõe nos seguintes vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Calcule a área do triangulo de vértices A = (1,0,−1), B = (2,1,1) e C = (3,−2,1). 
Podemos encontrar a area do triangulo utilizando o seguinte recurso 
 
 
Onde 
AB= B − A = (2,1,1) − (1,0,−1) = (1,1,2) 
AC= C − A = (3,−2,1) − (1,0,−1) = (2,−2,2) 
Calculando agora o produto vetorial 
 
Assim, temos que 
 
Agora vamos encontrar a área do triangulo 
 
 
 
 
A = √14 u.a 
5. Determine uma equação da reta perpendicular a reta 3x − y + 5 = 0 e que passe pelo ponto A = (2,−1) 
O vetor diretor da reta 3x − y + 5 = 0 é composto pelos coeficientes de x e y 
v = (3,−1) 
Dessa forma, temos que encontrar uma outra reta com equação geral ax + by + c = 0 e, podemos 
retirar o seguinte vetor diretor 
u = (a,b) 
Como as retas são perpendiculares o produto escalar dos vetores diretores é nulo 
< v,u >= 0 
< (3,−1),(a,b) = 0 
3a − b = 0 
b = 3a 
 
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Assim, temos o seguinte vetor diretor 
u = (a,3a) 
Atribuindo a = 1 tem-se u = (1,3). Portanto, aplicando u na equação geral da reta 
x + 3y + c = 0 
Para descobrir o valor de c basta substituir o ponto pelo qual essa reta tem que passar 
A = (2,−1) 
x + 3y + c = 0 
2 + 3(−1) + c = 0 
2 − 3 + c = 0 
c = 1 
Assim, obtemos a seguinte equação 
x + 3y + 1 = 0 
6. Determine as equações vetorial e paramétrica do plano π que contém os pontos não alinhados A = 
(2,1,2), B = (2,3,3) e C = (1,0,1). 
 
A equação vetorial do plano e dada por 
X = A + αu + βv 
Onde A é um ponto conhecido do plano e os vetores u e v e X é um ponto (x,y,z) qualquer do plano 
são vetores diretores do plano. A partir dos pontos dado no exercício podemos encontrar os 
vetores 
u = AB= B − A = (2,3,3) − (2,1,2) = (0,2,1) 
u = (0,2,1) 
v = AC= C − A = (1,0,1) − (2,1,2) = (−1,−1,−1) 
v = (−1,−1,−1) 
E, sabendo que A = (2,1,2) podemos exprimir a seguinte função vetorial do plano π 
π : X = A + αu + βv 
 π : (x,y,z) = (2,1,2) + α(0,2,1) + β(−1,−1,−1) 
 
 
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Já a forma paramétrica advém da equação vetorial acima, basta distribuir os coeficientes nos 
vetores e agrupar 
π : (x,y,z) = (2,1,2) + (0,2α,α) + (β,−β,−β) 
π : (x,y,z) = (2 − β,1 + 2α − β,2 + α − β) 
 
Assim, temos os seguintes parâmetros x, y e z 
 
 
 
 
7. Determine a equação da reta r perpendicular ao plano π de equação geral π : −2x + y + 2z − 7 = 0 e 
que contém o ponto P = (1,2,−1). Se Q é o ponto de interseção da reta r e ao plano π, determine as 
suas coordenadas. 
Inicialmente podemos observar que a equação do plano está na forma geral, ou seja, dessa equação 
podemos extrair o vetor normal ao plano que é ao mesmo tempo o vetor diretor de qualquer reta 
perpendicular a esse plano 
u = (a,b,c) 
ax + by + cz + d = 0 
π : −2x + y + 2z − 7 = 0 
Assim, comparando temos o seguinte vetor diretor 
u = (−2,1,2) 
Daí, podemos encontrar a equação vetorial da reta perpendicular, pois temos o vetor diretor e um 
ponto conhecido 
P = (1,2,−1) e u 
r : X = P + αu 
r : (x,y,z) = (1,2,−1) + α(−2,1,2) 
No entanto, para encontrar o ponto Q precisamos transformar a equação vetorial da reta na 
equação paramétrica 
 x = 1-2α 
r: y = 2 + α 
 z = −1 + 2α 
 
 
 
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Agora vamos substituir esses parâmetros na equação geral do plano 
π : −2x + y + 2z − 7 = 0 
−2(1 − 2α) + (2 + α) + 2(−1 + 2α) − 7 = 0 
−2 + 4α + 2 + α − 2 + 4α − 7 = 0 
9α − 9 = 0 
α = 1 
Assim, podemos substituir esse valor de α na equação paramétrica e encontrar as coordenadas do 
ponto Q 
x = 1-2 =-1 
 Q : y = 2 + 1 = 3 
 z =1 + 2 = 1 
Logo, temos que 
Q = (−1,3,1) 
8. Determine a equação vetorial da reta r que passa por P = (2,1,3) é perpendicular à reta s : X = 
(2,1,−3) + α(1,2,−1), α R. 
A reta r terá a seguinte equação vetorial 
r : X = P + βv 
Onde P é um ponto conhecido dado no enunciado e precisamos encontrar o vetor diretor 
v. Para isso, precisamos analisar a seguinte figura que representa o problema em questão 
 
Podemos perceber que o vetor v pode ser obtido da seguinte maneira 
v = u + w 
Onde 
w = AP = P − A = (2,1,3) − (2,1,−3) = (0,0,6) 
w = (0,0,6) 
E o vetor u é o diretor da reta s. Logo, podemos calcular v 
v = (1,2,−1) + (0,0,6) 
v = (1,2,5) 
Assim, temos a seguinte equação vetorial da reta r 
 r : X = (2,1,3) + β(1,2,5)