Conteúdo Matematica Computacional Aula 1 a 10

Prévia do material em texto

Aula 1: Teoria dos Conjuntos
Matemática Discreta
Na matemática, o termo discreta é o antônimo de contínua. É o ramo da matemática que estuda estruturas que não aceitam continuidade, por exemplo: números inteiros.
Introdução Aos Conjuntos
Alguns Conceitos Primitivos
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos como:
Conjunto:
Elemento:
Pertinência:
SIMBOLO DE PERTINÊNCIA:
Diagrama de Venn-Euler
Apresentação
Descrição
Alguns Conjuntos Especiais
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes:
Conjunto dos Números Irracionais (I)
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). 
Vejamos alguns exemplos:
Propriedade
Em uma mesma linha, os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais.
Par Ordenado
Produto Cartesiano
Exercício:
Encontre o conjunto B x A e compare com o conjunto A x B:
Generalização do conceito de Relação Binária
Exemplo de Relação Ternária
Classificação de uma Relação Binária
Seja R uma relação binária do conjunto A para o conjunto B.
Apresentação gráfica da classificação de uma relação binária:
Propriedades das relações binárias
Relação de equivalência
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Relação de ordem parcial
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de ordem parcial sobre A se, e somente se, R é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Exemplos:
A relação no conjunto dos números reais x R y se e só se x ≤ y é uma relação de ordem parcial:
De fato, é reflexiva (xRx), antissimétrica (se aRb e bRa então a = b) e transitiva (se aRb e bRc então aRc).
A relação no conjunto dos números reais x R y se e só se x < y não é reflexiva, logo não é uma relação de ordem parcial.
Outra relação de ordem parcial no conjunto dos inteiros positivos é descrita por: 
nRm se e somente se n divide m ou (n / m)
Reflexiva: n / n
Antissimétrica: se n / m e m / n, então n = m
Transitiva: se n / m e m / p então n / p
Por exemplo, deseja-se construir uma casa de madeira. O processo pode ser dividido em uma série de tarefas, algumas delas tendo outras tarefas como pré-requisitos. A tabela abaixo mostra as tarefas para construir a casa e os respectivos pré-requisitos.
Podemos definir uma ordem parcial no conjunto de tarefas por:
 x ≤ y  ↔ tarefa x = tarefa y ou tarefa x é pré-requisito para a tarefa y.
É fácil ver que essa relação é reflexiva e antissimétrica.  
Além disso, x < y ↔ tarefa x é pré-requisito para a tarefa y.
Relação de ordem total
Diagrama de Hasse
Elemento maximal e elemento minimal para um conjunto PO
Teorema
Aula 6: Funções: Tipos Especiais e Funções Composta
Conceito de função e domínio
Se x e y são duas variáveis tais que, para cada valor atribuído a x, existe, em correspondência, um único valor para y, dizemos que y é uma função de x.
O conjunto D de valores que podem ser atribuídos a x é chamado domínio da função. A variável x é chamada variável independente.
O valor de y, correspondente a determinado valor atribuído a x, é chamado imagem de x pela função e é representado por f(x). A variável y é chamada variável dependente, porque y assume valores que dependem dos correspondentes valores de x.
O conjunto de valores que a variável y pode assumir é definido como o contradomínio da função f.                                                
O conjunto Im(f) formado pelos valores que y realmente assume, em correspondência a x, é chamado conjunto-imagem da função f.
Tipos especiais de funções em (R x R) ou R2
Vimos que o gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a     0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Variação de sinal de uma função
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x  para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos a função do primeiro grau y = ax + b e vamos estudar o seu sinal. Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (que é a raiz). Há dois casos possíveis.
Função polinomial do 2º grau ou função quadrática
Chama-se função quadrática ou polinomial de 2° grau qualquer função f de R em R dada por:
f(x) = ax2 + bx + c
onde: a, b, c são números reais e a ≠ 0.
Exemplos:
1. f(x) = 2x2 + 3x + 5    onde    a = 2,  b = 3,  c = 5
2. f(x) = 3x2 - 4x + 1    onde    a = 23,  b = -4,  c = 1
3. f(x) = x2 -1           onde    a = 1,  b = 0,  c = -1
4. f(x) = -x2 + 2x        onde    a = -1,  b = 2,  c = 0
5. f(x) = -4x2            onde    a = -4,  b = 0,  c = 0
Gráfico da função do 2º grau
O gráfico de uma função polinomial do 2° grau y = ax2 + bx + c, onde a ≠ 0, é...
Problema prático
Um clube dispõe de um campo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando o campo e a cerca uma pista com 3 m de largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?
Funções injetoras
Funções sobrejetoras
Dizemos que a função f é sobrejetora, quando todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. Isto é, o conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.
Exemplo: f: A---> B, 
A = {abacate, caminhonete verde, alface, beterraba}; B = {verde, vermelho}.
Funções bijetoras
São funções ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva.
A figura a seguir mostra uma função bijetora:
Por exemplo: f: A---> B tal que   A = {abacate, caminhonete verde, alface}
B = {fruta, meio de transporte, hortaliça} é uma função bijetora.
Função composta das funções f(x) e g(x)
Denotada por (f o g) (x), é uma função em que o conjunto imagem da função f(x) serve de domínio para a outra função g(x) que, por sua vez, gera um conjunto imagem C. Isto é,
 
(F o g) (x) = f(g(x))
Função composta  das funções  f (x) e g(x)
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3:
A T E N Ç Ã O :
Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(g(x)), f(f(x)) etc. 
Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.
Aula 7: Tipos Especiais de Funções no Plano Cartesiano
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Definição de Função Quadrática
Um clube dispõe de um campo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando o campo e a cerca uma pista com 3 m de largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?
A área da região cercada é:
(100 + 2 . 3)(70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8 056 m2
Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria:
(100 + 2 . 4)(70 + 2 . 4) = 108 . 78 = 8 424 m2
Para cada largura x escolhida para a pista há uma área A(x) em função de x:
A(x) = (100 + 2x)(70 + 2x) = 7000 + 200x + 140x + 4 x2 =
= 4 x2 + 340x + 7000
Esta é uma função polinomial do 2° grau ou função quadrática.
Chama-se função quadrática ou polinomial de 2° grau qualquer função f de R em R dada por:
f(x) = ax2 + bx + c
onde a, b, c, são números reais e a ≠ 0.
Exemplos:
Exercícios:
- Determine m para que a função f(x) = (m-1)x2 + 2x – 3 seja do 2° grau.
- Determine o valor de p para que a função real 
                         f(x) = (p2 –5p + 4) x2 – 4x + 5 seja do 2° grau.
- Identifique os coeficientes a, b, c das seguintes funções quadráticas:
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2° grau y = ax2 + bx + c, onde a≠ 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo 1: Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x. Primeiro, atribuímos a x alguns valores; depois calculamos o valor de y e, em seguida, ligamos os pontos obtidos.
Exemplo 2: Vamos construir o gráfico da função y = -x2 + 1
Exercícios:
Esboce o gráfico de cada uma das funções reais:
Valores Máximo e Mínimo de uma função de 2° grau
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c :
é sempre uma parábola de eixo vertical .
Propriedades do gráfico  y = ax2 + bx + c :
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo e com concavidade voltada para cima.
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo e com concavidade voltada para baixo.
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:
xv = - b/2a
yv = - D /4a , onde D = b2 - 4ac, isto é, (fórmula de Bhaskara)
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação  x = - b/2a.
7) ymax = - D / 4a ( a < 0 )
8) ymin = - D /4a ( a > 0 )
9) Forma fatorada: sendo x1 e x2 as raízes de f(x) = ax2 + bx + c  Então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir:
y = a(x - x1).(x - x2)
FUNÇÃO MODULAR
1
2
3
FUNÇÃO POTÊNCIA
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Potência de expoente natural
Então: a2 = a.a, a3 = a.a.a, a4 = a.a.a.a 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Os algoritmos constituem um tema muito importante para a matemática e em outras áreas do conhecimento.
Na química, por exemplo, é utilizado quando se quer medir a acidez de uma solução. Os ácidos são substâncias que, quando dissolvidas em água, produzem íons H+. Quanto maior a quantidade desses íons num determinado volume de solução, maior será sua acidez. 
A acidez da solução é definida por uma grandeza chamada pH (potencial hidrogênio), que é simétrico ao logaritmo de H+, ou seja:
Definição de logaritmo
1ª) Logaritmo do produto
“Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois números reais e positivos é igual a soma dos logaritmos dos números”.
2ª) Logaritmo de quociente
3ª) Logaritmo de potência
Função logarítmica
A função f: R* definida por f(x) = loga x, com 1      a > 0 é chamada função logarítmica de base a.
Exemplos:
f(x) = log2 x é função logarítmica de base 2.
f(x) = log1/2 x é função logarítmica de base 1/2.
f(x) = log10 x é função logarítmica de base 10.
Gráfico da função logarítmica
Aula 8: Relações e Banco de Dados e Operações relacionais
Projeção
Propriedades do logaritmo
Junção Natural
É uma operação binária denotada por (R1     R2) onde R1 e R2 são relações com uma coluna em comum. O resultado da junção natural é uma relação com todas as linhas de R1 e de R2 que possuem a coluna em comum .
A coluna comum as relações R1 e R2 aparece uma única vez no resultado.
Exemplo
Sejam as relações
Expressões com operações Seleção e Projeção em conjunto
A combinação das operações relacionais leva a uma expressão algébrica que age sobre uma ou mais relações. Essa combinação funciona como uma linha de montagem onde o resultado de uma operação é o operando da próxima.
Exemplo:
Seja a Relação
Vamos agora fazer a operação de Projeção do atributo Número da conta   para a Relação acima.
A sintaxe da operação pode ser descrita por
Exercício para praticar:
Considere o seguinte empreendimento:
Uma biblioteca mantém um banco de dados sobre os seus livros. As informações mantidas sobre autores incluem o nome do autor, o país de origem e os títulos de seus livros. As informações sobre os livros incluem: título, ISBN, editora e assunto.
Identificar:
1)  As relações que compõem este banco de dados.
2)  As entidades.
3)  Os atributos.
4)  Alguns exemplos de possíveis tuplas.
Aula 9: Operações Relacionais de Renomeação e Interseção
Álgebra relacional: operações relacionais derivadas da teoria dos conjuntos
Uma entidade será representativa de uma classe de objetos sobre os quais se quer guardar informação. Por exemplo, em uma clínica as entidades poderão ser médicos, pacientes, especialidades etc). As entidades correspondem, ao nível do modelo relacional, a relações. Cada instância de uma entidade será caracterizada pelos valores de um conjunto de atributos (um médico tem o seu nome, morada, especialidade etc).
Entre entidades estabelecem-se um conjunto de relações:
• Relações de 1 para 1.
• Relações de 1 para muitos (1 para ∞).
• Relações de muitos para muitos (∞ para ∞).
Álgebra relacional: Conceito
A álgebra relacional é uma coleção de operações utilizadas para manipular relações. Essas operações são usadas para selecionar tuplas de uma determinada relação ou para combinar tuplas relacionadas a diversas relações com o propósito de especificar uma consulta - uma requisição de recuperação - sobre a base de dados.
As operações da álgebra relacional são normalmente divididas em dois grupos:
União
- Notação: R ∪ S.
- Entrada: Tabela (R) e Tabela (S).
- Propósito: gerar linhas de acordo com um critério.
- Saída: Contém todas as linhas de R e de S.
- Duplicidade é eliminada.
Junção
Diferença
- Notação: R – S.
- Entrada: Tabela (R) e Tabela (S).
- Propósito: gera linhas de acordo com um critério.
- Saída: Contém todas as linhas de R e que não são encontradas em S.
Interseção
Notação: R ∩ S.
Entrada: Tabela (R) e Tabela (S).
Propósito: gera linhas de acordo com um critério.
Saída: Contém todas as linhas de R que são encontradas em S também.
R – (R – S) ou S – (S – R) ou R ∩ S.
Divisão
Notação: R ÷ S.
Entrada: Tabela (R) e Tabela (S).
Seja grau a medida de atributos de mesmo nome.
R tem grau (“m”+”n”).
S tem grau “n”.
Propósito: gera linhas de acordo com um critério.
Saída: atributos de S cujos valores associam-se com todos os valores de R Grau “m”.
Relação em um banco de dados: produto cartesiano
Uma relação em um banco de dados é o subconjunto do produto cartesiano (D1 x D2 x ...x Dn ), onde Di é o domínio do atributo.
Outras operações
Renomeação
Na álgebra relacional, o operador de renomeação é utilizado para alterar o nome das colunas de uma tabela. Utilizado para relacionamentos onde possam surgir nomes iguais para as colunas, como num relacionamento da tabela com ela mesma.
Atribuição
Armazena o resultado de uma expressão algébrica em uma variável de relação permite o processamento de uma consulta complexa em etapas
 Notação:  nomeVariável ← expressãoÁlgebra
Exemplo
 r1 ← σnome=‘Roberto’ (estudante)
Aula 10: Relações, Funções e Álgebra Relacional
Introdução
Uma relação binária em um conjunto S é, formalmente, um subconjunto de S x S; a relação satisfeita pelos pares ordenados tem, muitas vezes, uma descrição verbal.
Ordens parciais e relações de equivalência
O quadro abaixo apresenta as relações de ordens parciais e relações de equivalência com suas respectivas características importantes.
Exemplo: 
Seja o conjunto A={a,b,c} então a relação R sobre A descrita por:
R = {(a, a), (b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }
é de equivalência.
Exemplo:
Para as relações definidas abaixo no conjunto S = {1, 2, 3, 4}, quais são relações de equivalência?
Sugestão: Faça o esquema de flechas
 (A) R1 = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}
 (B) R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
 (C) R3 = { (2, 4), (4, 2)}
 (D) R4 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} 
 (E) R5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
 (F) R6 = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}
Resposta: B, C, E
Funções injetoras
Dizemos que uma função f: A → B é injetora se a cada elemento do domínio A corresponde a um elemento distinto do contradomínio B. 
De modo geral, uma função  f : A → B é injetora se, e somente se, para todo   y  B existe um único x  A, tal que y = f(x).
Logo, cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, uma relaçãoum para um entre os elementos do domínio e da Imagem.
Funções sobrejetoras
Dizemos que a função f é sobrejetora quando todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. Isto é, o conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.
Funções bijetoras
São funções ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva.
O quadro abaixo apresenta um resumo informal da terminologia de funções:
Revisão
Selecione a opção correta.
A relação criada a partir da operação interseção, em duas relações “A” e “B”  é:
Resposta letra B
Selecione a opção correta.
A relação criada a partir da operação junção, em duas relações “A” e “B” é:
Resposta letra B
Selecione a opção correta.
Qual a diferença entre as operações junção e união?
Resposta letra C