Calculo 3 - Áreas e parametrização de superfície. Exercícios com resposta!

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Universidade Federal de Lavras
Departamento de Ciências Exatas
Cálculo III - GEX 108
Lista 1
1. Determine se os pontos P e Q estão na superfície dada.
r(u, v) = 〈2u+ 3v, 1 + 5u− v, 2 + u+ v〉
P (7, 10, 4), Q(5, 22, 5)
2. Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
(a) r(u, v) = (u+ v) i+ (3− v) j+ (1 + 4u+ 5v)k
(b) r(s, t) = 〈s, t, t2 − s2〉
3. Faça uma correspondência entre as equações e os gráficos identificados
por I–VI e justifique sua resposta. Determine quais famílias de curvas da
grade têm u constante e quais têm v constante.
(a) r(u, v) = u cos v i+ u sin v j+ v k
(b) r(u, v) = sin v i+ cosu sin 2v j+ sinu sin 2v k
(c) x = cos3 u cos3 v, y = sin3 u cos3 v, z = sin3 v
1
4. Determine uma representação parametrizada para a superfície.
(a) O plano que passa pela origem que contém os vetores i− j e j− k
(b) A parte do hiperboloide 4x2 − 4y2 − z2 = 4 que está em frente do
plano yz
5. Determine a área da superfície.
(a) A parte do plano 3x+ 2y + z = 6 que está no primeiro octante
(b) A parte do plano x+2y+3z = 1 que está dentro do cilindro x2+y2 = 3
(c) A superfície z = 23 (x
3/2 + y3/2), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
(d) A parte da superfície z = xy que está dentro do cilindro x2 + y2 = 1
(e) A parte da superfície y = 4x + z2 que se encontra entre os planos
x = 0, x = 1, z = 0 e z = 1
(f) A superfície com equações paramétricas x = u2, y = uv, z = 12v
2,
0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2
6. Se a equação de uma superfície S é z = f(x, y), onde x2+y2 ≤ R2, e você
sabe que |fx| ≤ 1 e |fy| ≤ 1, o que você pode dizer sobre A(S)?
2
RESPOSTAS
1. P : não; Q:sim
2. (a) Plano por (0, 3, 1) contendo os vetores 〈1, 0, 4〉, 〈1, −1, 5〉
(b) Paraboloide hiperbólico
3. (a) IV
(b) II
(c) III
4. (a) x = u, y = v − u, z = −v
(b) y = y, z = z, x =
√
1 + y2 + 1
4
z2
5. (a) 3
√
14
(b)
√
14pi
(c) 4
15
(35/2 − 27/2 + 1)
(d) 2pi
3
(2
√
2− 1)
(e) 1
2
√
21 + 17
4
[ln(2 +
√
21)− ln√17]
(f) 4
6. A(S) ≤ √3piR2
3