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18/4/2012
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Estática aplicada às MáquinasEstática aplicada às Máquinas
Curso de Engenharia Mecatrônica – 5º Período
Aulas - 7ª e 8ª
Análise Estrutural
Prof. Vilson
Cargas DistribuídasCargas Distribuídas
Cargas externas
Um corpo pode ser submetido a vários tipos
de cargas externas.
Na realidade as forças
concentradas não existem
no sentido exato.
Distribuição Linear - Quando uma
força está distribuída ao longo de
uma linha, com uma carga contínua.
Distribuição ao longo de uma
área – Quando uma força está
distribuída sobre uma área.
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Cargas DistribuídasCargas Distribuídas
Exemplos:
Podemos substituir a 
força de contato 
distribuída real, pela sua 
resultante R (Força 
concentrada).
Força exercida pelo 
pavimento sobre o pneu 
de um automóvel. Força de contato entre 
uma esfera de aço e sua 
pista de rolamento.
Aplicada sobre uma área 
finita, extremamente 
pequena.
Pressão hidráulica da 
água contra a face 
interna da seção de uma 
represa.
Cabo suspenso.
Cargas DistribuídasCargas Distribuídas
Em muitas situações, uma grande área da superfície de 
um corpo pode estar sujeita a cargas distribuídas.
Exemplo: Cargas de vento, Escoamento de líquidos ou
simplesmente pelo peso do material suportado por uma
superfície.
Uma carregamento distribuído pela pressão.
Diagrama de intensidade de carga.
]/[),( 2mNyxpp =
Caso mais comum de
carregamento distribuído
pela pressão:
Uniforme, ao longo de
um corpo de superfície
plana retangular sobre
o qual as cargas são
aplicadas.
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Cargas DistribuídasCargas Distribuídas
Intensidade da carga distribuída
Uma carregamento distribuído pela 
pressão.
Diagrama de intensidade de carga.
]/[),( 2mNyxpp =
A figura abaixo é uma medida da distribuição 
de cargas ao longo da linha y=0.
]/[)( mNxpw =
Esse sistemas de 
força pode ser 
representado por 
uma única força 
resultante FR.
∫∫ ===
==
ALR
AdAdxxwF
dAdxxwdF
)(
)(
∑=↓+ FFR
A intensidade da força resultante é igual à
área total A sob o diagrama de carga w(x).
Cargas DistribuídasCargas Distribuídas
Localização da força resultante
Aplicando a equação do momento.
ROR FxM =
∑= OOR MM
∫
∫
∫
∫
==
A
A
L
L
dA
dAx
dxxw
dxxwx
x
)(
)(
(centro geométrico ou 
centróide da área de w(x))
A força resultante (FR) tem uma
linha de ação que passa pelo
centróide C da área definida pelo
diagrama de carregamento
distribuído w(x).
Para 



=
=
;
;0
xx
y
∫=
=
LR
dxxwxFx
dxxwxdFx
)(
)(temos, 
- Equação dos momentos da forças resultante e
da distribuição de forças em relação ao ponto O.
logo, 
]/[)( mNxpw =
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Cargas DistribuídasCargas Distribuídas
Exemplo 1
Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que
atua no eixo mostrado.
Elemento diferencial de área:
dxxdxwdA 260==
N160
3
6060
2
0
32
0
2
=
=== ∫∫
R
AR
F
xdxxdAF
Força resultante:
Localização da força resultante a partir de O:
m5,1
160
4
60
160
)60(
2
0
4
2
0
2
=
===
∫
∫
∫
x
x
dxxx
dA
dAx
x
A
A
Cargas DistribuídasCargas Distribuídas
Exercício 1 (Hibbeler/4.158)
A força de sustentação ao longo da asa de uma avião a jato consiste em uma
distribuição uniforme ao longo da distância AB e uma distribuição parabólica
no trecho BC, com origem em B. Substitua esse carregamento por uma única
força resultante e especifique sua localização, medida a partir do pontoA.
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Cargas DistribuídasCargas Distribuídas
Exercício 1 (Hibbeler/4.158) - Resolução
Força Resultante (FR) 
( )
lb
xx
dxxdx
dxxwF
LR
80640
3
5288012.2880
528802880
)(
24
0
3
12
0
24
0
2
=






−+=
−+=
=
∫ ∫
∫
pés
F
dxxxdxx
dxxw
dxxxw
x
R
L
L
6,14
80640
967680207360
)52880()12(2880
)(
)(
24
0
212
0
=
+
=
−++
=
=
∫∫
∫
∫
Localização de FR
x
x x
Cargas DistribuídasCargas Distribuídas
Exercício 1I (Hibbeler/4.159)
Determine a intensidade da força resultante equivalente da distribuição de
cargas e especifique sua localização sobre a viga, medida a partir do pontoA.
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Cargas DistribuídasCargas Distribuídas
Exercícios
1. Substitua as cargas por uma única
força resultante e especifique a
localização dessa força sobre a viga,
medida a partir do ponto O.
3. Os tijolos sobre a viga e os
suportes sobre o solo geram o
carregamento distribuídos mostrado
na segunda figura. Determine a
intensidade necessária w e a
dimensão d do suporte direito de
modo que a força resultante e o
momento em relação ao ponto A do
sistema sejam ambos nulos.
2. Determine a força resultante
equivalente do carregamento distribuído
e sua localização, medida a partir do
pontoA.
EstruturasEstruturas
Estruturas em engenharia
Em análise de estruturas requer aplicação da
Terceira Lei de Newton “Ação é acompanhada por
uma reação igual e aposta”.
É qualquer sistema de elementos conectados,
construído para suportar ou transferir forças e resistir
de forma segura a cargas a ele aplicadas.
Análise
Temos que determinar as forças internas
a uma estrutura ou as forças de ação e
reação entre ao elementos conectados.
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EstruturasEstruturas
1. Treliças;
2. Suportes;
3. Máquinas.
Analisaremos as forças internas que atuam 
em três tipos de estruturas.
Condições:
1. As estruturas são estaticamente determinadas;
2. Utilizaremos as equações de equilíbrio para determinar
todas as reações desconhecidas;
3. Desenhar o diagrama de corpo Livre (DCL).
EstruturasEstruturas
É uma estrutura formada de
elementos ligados em suas
extremidades para formar
uma estrutura rígida.
Treliças
Os elementos comumente utilizados:
Madeira, Barra de Metal, unidos
por meio de placas, parafusos ou
solda.
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EstruturasEstruturas
O elemento básico de uma
treliça plana é o triângulo.
Treliças Simples
Três barras 
unidas por 
pinos, constitui 
uma estrutura 
rígida. 
Hipóteses de Projetos
Para projetar os elementos e as ligações de uma treliça, é necessário
determinar a força desenvolvida em cada elemento da treliça.
Primeira Hipótese – Todas as cargas são aplicadas nos nós (ponto de ligação entre dois elementos).
Segunda Hipótese – Os elementos são ligados por pinos,
rebites, parafusos ou solda.
Por causa dessas hipóteses – cada elemento de
treliça atua como um elemento de duas forças,
logo, as forças devem ser direcionadas ao longo
do seu próprio eixo.
Todas as forças externas são aplicadas nos nós.
Essa condição é aplicada na maioria das treliças
As duas forças são 
aplicadas nas 
extremidades do 
elemento e são 
necessariamente 
iguais, opostas e 
colineares para 
haver o equilíbrio.
EstruturasEstruturas
Primeiro - Esboça o diagrama de corpo livre;
Segundo - Determinar as reações externas;
Terceiro - Aplicar as equações de equilíbrio;
Quarto - Analisar as forças;
Métodos para análise de forças em treliças simples 
1. Método dos Nós
2. Método das Seções
Ambos os métodos acima seguem os seguintes passos:
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EstruturasEstruturas
Métodos para análise de forças em treliças simples 
1. Método dos Nós
Consiste em satisfazer as condições de equilíbrio de cada nó.
∑ ∑ == 00 yx FeF
Desenhar o diagrama de corpo livre
dos nós antes de aplicar as equações de
equilíbrio.
A análise deve começar no nó que
tem pelo mesmo uma força conhecida.
Aplicando o método dos nós:
EstruturasEstruturas
Métodos para análise de forças em treliças simples 
1. Método dos Nós
Exemplo.
)(707
0)45sin(500;0compressãoNF
FF
BC
BCx
=
=−=→+ ∑ o
Determine a força em
cada elemento da treliça.
DCL nó B – nó com uma força conhecida.
DCL nó C.
)(500
0)45cos(;0
traçãoNF
FFF
BA
BABCy
=
=−=↑+ ∑ o
DCL nó A.
)(500
0)45cos(707;0
traçãoNF
FF
CA
CAx
=
=+−=→+ ∑ o
NC
CF
y
yy
500
0)45sin(707;0
=
=−=↑+ ∑ o
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EstruturasEstruturas
Métodos para análise de forças em treliças simples 
1. Método dos Nós
Exemplo.
Análise das forças.
EstruturasEstruturas
Exercícios
1. Determine a força em cada
elemento da treliça e indique se
esses elementos estão sob tração ou
compressão. Considere que P1 = 2
kN e P2 = 1,5 kN.
2. Determine a força no elemento
BF da treliça carregada.
3. Determine as forças nos elementos
AC eAD da treliça carregada.
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EstruturasEstruturas
Métodos para análise de forças em treliças simples 
2. Método das Seções
Baseia-se no seguinte princípio: 
Se um corpo está em equilíbrio, então qualquer parte 
dele também está em equilíbrio.
∑∑ ∑ === 00;0 0MeFF yx
Aplicando o método das seções:
Desenhar o diagrama de corpo livre de
um das seções cortadas antes de aplicar as
equações de equilíbrio.
A linha de ação da força em cada
elemento é especificada a partir da geometria da
treliça.
Vantagem: A força em 
praticamente qualquer 
elemento de interesse pode 
ser determinada 
diretamente da análise da 
seção que corta o elemento.
EstruturasEstruturas
Métodos para análise de forças em treliças simples 
2. Métodos das Seções
Exemplo.
As três forças FAB,
FGC e FGF podem
ser obtidas pelas
três equações de
equilíbrio.
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EstruturasEstruturas
Métodos para análise de forças em treliças simples 
2. Método das Seções
Exemplo.
Determine a força nos elementos
GE,GC e BC da treliça.
DCL de toda a treliça.
NA
AF
y
yy
300
09001200;0
=
=+−=↑+ ∑
ND
DM
y
yA
900
012.3.4008.1200;0
=
=+−−=∑
NA
AF
x
xx
400
0400;0
=
=−=→+ ∑
Equações do equilíbrio.
EstruturasEstruturas
Métodos para análise de forças em treliças simples 
2. Métodos das Seções
Exemplo.
Determine a força nos elementos
GE,GC e BC da treliça.
DCL da seção 
esquerda da treliça.
)(500
0
5
3300;0
TraçãoNF
FF
GC
GCy
=
=−=↑+ ∑
)(800
03.8.300;0
CompressãoNF
FM
GE
GEC
=
=+−=∑
)(800
03.3.4004.300;0
TraçãoNF
FM
BC
BCG
=
=+−−=∑
Equações do equilíbrio.
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EstruturasEstruturas
Exercício 1 (Hibbeler/6.46)
Determine as forças no elemento GJ e GC da treliça e indique se ele está sob
tração ou compressão.
Entregar: 19/04
EstruturasEstruturas
Exercícios
1. Determine as forças nos
elementos GF, CF e CD da treliça de
telhado e indique se elas estão sob
tração ou compressão.
2. Calcule as forças nos elementos
CB, CG e FG da treliça carregada,
sem calcular primeiro a força em
qualquer elemento.
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EstruturasEstruturas
Treliças espacial
Consiste de elementos ligados entre si em suas
extremidades para formar uma estrutura
tridimensional estável.
Treliça espacial 
mais simples é 
o tetraedro.Hipóteses de Projetos
- Os elementos de uma treliça espacial devem ser
tratados como elementos de duas forças.
- O carregamento externo é aplicado nos nós.
- As ligações dos elementos são aparafusados,
soldados e etc.
- Os pesos dos elementos podem ser desprezados.
Para determinar as forças desenvolvidas nos
elementos da treliça espacial, podemos usar
o Método dos Nós ou das Seções.
EstruturasEstruturas
Treliças espacial
Exemplo. Análise de forças pelo método dos nós.
)(4
0
058,0;0
058,04;0
058,0;0
058,058,058,04
0;0
TraçãokNF
FF
FFF
FFF
FF
kFjFiFkFjFj
FFFPF
AB
AEAC
AEACz
AEABy
AEx
AEAEAEACAB
AEACAB
=
==
=−−=
=++−=
==
=−++−+−
=+++=
∑
∑
∑
∑
rrrrrrr
rrrrrrr
Equações do equilíbrio.
DCL nó A – nó com uma força conhecida.
Forças - Notação vetorial. 
( )kjiF
r
rFF
kFFjFFjP
AE
AE
AE
AEAE
ACACABAB
rrr
r
v
rrrrrr
−+=





=
−==−=
58,0
,,,4
Determine as forças atuantes nos
elementos conectados ao nó A e
B da treliça espacial mostrada na
figura. Indique se eles estão sob
tração ou compressão.
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EstruturasEstruturas
Treliças espacial
Exemplo.
Determine as forças atuantes nos
elementos conectados ao nó A e
B da treliça espacial mostrada na
figura. Indique se eles estão sob
tração ou compressão.
Análise de forças pelo método dos nós.
)(2
)(7,5
071,02;0
0454;0
071,045cos;0
CompressãokNF
TraçãokNbFR
FFF
senRF
FRF
BD
BEB
BEBDz
By
BEBx
=
==
=−−=
=+−=
=+−=
∑
∑
∑
o
o
Equações do equilíbrio.
DCL nó B 
Forças - Notação vetorial. 
071,071,044545cos2
02;0
rrrrrrrr
rrrrrrrr
oo
=−++−+−
=++++=∑
kFiFkFjjsenRiRk
FFFRkF
BEBEBDBB
BEBDABB
EstruturasEstruturas
Treliças espacial
Exercício.
Cada um dos elementos da estrutura de
aterrissagem de uma nave para exploração
de planetas é projetado como uma treliça
espacial simétrica em torno do plano x-z,
como mostrado. Para uma força de
aterrissagem F=2,2 kN, calcule a força
correspondente no elemento BE. A
suposição de equilíbrio estático para a
treliça é aceitável se a massa da treliça for
muito pequena. Considerando cargas iguais
nos elementos dispostos simetricamente.
Entregar: 19/04
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EstruturasEstruturas
Exercícios
1. Determine as forças em cada um
dos elementos da treliça espacial e
indique se eles estão sob tração ou
compressão. A treliça é apoiada por
juntas esféricas em C, D, E e G.
2. A treliça espacial mostrada está
presa aos suportes fixos em A, B e E
e está carregada pela força L, que
tem componentes x e y iguais mas
não tem componentes z (vertical).
Determine as forças nos elementos
CD, BC e CE.
EstruturasEstruturas
Suportes e Máquinas
Uma estrutura é denominada suporte ou máquina se
ao menos um de seus elementos individuais é um
elemento de múltiplas forças (Multiforça).
Elemento Multiforça 
É definido como aquele com duas ou mais forças e um ou mais
momentos atuando sobre ele.
Suportes – São estruturas que são projetas para sustentar cargas aplicadas e
são normalmente fixos em uma posição.
Máquinas – São estruturas que contêm partes móveis e são projetadas para
transmitir forças ou torques de entrada ou saída.
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EstruturasEstruturas
Suportes e Máquinas
Determinação das forças
Deve-se desenhar os diagramas de corpo livre de suas partes isoladamente.
Primeiro – Isole cada parte da estrutura e desenhe seu contorno.
Segundo – Indique todas as forças e/ou momentos que atuam no
elemento.
Terceiro – Indique quais dimensões utilizadas para obtenção do
momento.
Quinto – Aplique as equações de equilíbrio.
Exemplo de DCL:
EstruturasEstruturas
Suportes e Máquinas
Exemplo de DCL
CorreiaTransportadora
Analisando o cilindro
sustentado pela correia.
B
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EstruturasEstruturas
Suportes e Máquinas
Exemplo de DCL
Caçamba e da lança vertical
da retroescavadeira
Analisando as peças da
retroescavadeira.
No pino C
atuam duas
forças
No pino B
atuam três
forças
EstruturasEstruturas
Suportes e Máquinas
Exercício
Determine os componentes
horizontal e vertical da força
que o pino em C exerce no
elemento CB da estrutura.
Resolução I
DCL
NF
senFM
AB
ABC
1155
04.602.2000;0
=
=−=∑ o
Equações do equilíbrio.
NC
CFF
x
xABx
577
060cos;0
=
=−=→+ ∑ o
NC
CsenFF
y
yABy
1000
0200060;0
=
=+−=↑+ ∑ o
AB é um 
elemento de 
duas forças
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EstruturasEstruturasSuportes e Máquinas
Exercício
Determine os componentes horizontal e vertical da força que o
pino em C exerce no elemento CB da estrutura.
Resolução II
0;0
0;0
060cos.3.60.3.;0
=−=↑+
=−=→+
=−=
∑
∑
∑
yyy
xxx
yxA
BAF
BAF
BsenBM oo
Equações do equilíbrio.
DCL
AB não é 
reconhecido 
como 
elemento de 
duas forças
Elemento AB
Elemento AB
02000;0
0;0
04.2.2000;0
=−−=↑+
=−=→+
=−=
∑
∑
∑
yyy
xxx
yC
CBF
CBF
BM
Resolvendo o sistema temos:
;1000;577
;1000;577
NCNC
NBNB
yx
yx
==
==
EstruturasEstruturas
Suportes e Máquinas
Exercício
Na posição particular mostrada, a
escavadeira aplica uma força de 20 kN
paralela ao chão. Existem dois cilindros
hidráulicos AC para controlar o braço
OAB e um único cilindro DE para
controlar o braço EBIF.
a) Determine a força nos cilindros hidráulicos AC e a
pressão pAC agindo em seus pistões, que tem
diâmetros específicos de 95 mm. (despreze os pesos
dos braços.)
Resolução
NF
FF
M
AC
ACAC
O
48800
02.3,41sin268,0.3,41cos295,3.20000
;0
=
=+−−
=∑
oo
DCL
MPa
A
Fp
AC
AC
AC 89,6
4
095,0
48800
2 === pi
1,23 m
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EstruturasEstruturas
Suportes e Máquinas
Exercício
Na posição particular mostrada,
escavadeira aplica uma força de 20 kN
paralela ao chão. Existem dois cilindros
hidráulicos AC para controlar o braço
OAB e um único cilindro DE para
controlar o braço EBIF.
b) Determine a força no cilindro hidráulico DE e a
pressão pDE no seu pistão de 105 mm de diâmetro.
Resolução
NF
senFF
M
DE
DEDE
B
88100
04,0.3,1173,0.3,11cos5,3.20000
;0
=
=+−−
=∑
oo
DCL
MPa
A
Fp
DE
DE
DE 18,10
4
105,0
88100
2 === pi
0,5 m
2,5 m
EstruturasEstruturas
Suportes e Máquinas
Exercício
Os elementos da sustentação traseira de um carro com tração dianteira
estão mostrado na figura. Determine o módulo da força em cada junta, se a
força normal F exercida sobre o pneu tem um módulo de 3600 N.
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EstruturasEstruturas
Suportes e Máquinas
Resolução
NF
senFF
M
DC
DCDC
B
1898
007,0.305,0.cos165,0.3600
;0
=
=−−−
=∑
θθ
o1,12
280
601
==
−tgθ
Ângulo da força FDC
FDC
Bx
By
305 mm
70 mm DCL
y
x
Peça CB
NB
BFF
x
xDCx
1856
0cos;0
−=
=+=→+ ∑ θ
NB
BsenFF
y
yDCy
4000
03600;0
−=
=++=↑+ ∑ θ
Analisando
apenas o cubo
da roda.
A barra DC é
considerada
um elemento
de duas forças.
EstruturasEstruturas
Suportes e Máquinas
Resolução
o3,65
200
4351
==
−tgθ
Ângulo da força FFE
Peça AB
Ax
Ay
FFE
Bx
By
DCL
NF
senF
M
FE
FE
A
5920
035,0.400026,0.
;0
=
=+
=∑
θ
NA
FAF
x
FExx
4330
01856cos;0
−=
=++=→+ ∑ θ
NA
FAF
x
FEyy
1384
04000sin;0
=
=+−=↑+ ∑ θ
Analisando
apenas a barra
AB.
O amortecedor
FE é considerado
um elemento de
duas forças.
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EstruturasEstruturas
Suportes e Máquinas
Resolução
Ax
Ay
FFE
By
Bx
DCL
FDC
70 mm
y
x
Analisando a 
estrutura toda.
O amortecedor 
FE e a barra DC 
são consideradas 
elementos de 
duas forças.
EstruturasEstruturas
Exercícios 2. A viga composta é apoiada por
pinos em C e por roletes em A e B.
Existe uma articulação (pino) em D.
Determine as reações nos apoios.
Despreze a espessura da viga.
3. O guindaste de parede sustenta uma carga de
700 lb. Determine os componentes horizontais e
verticais das reações nos pinos A e D. Qual é a
força sobre o cabo no motorW?
1. Determine a força P 
necessária para 
manter a massa de 20 
kg suspensa, utilizando 
o equipamento 
espanhol Burton. 
Quais são as reações 
nos ganchos de 
sustentação A, B e C.
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EstruturasEstruturas
Exercícios
4. A caçamba da 
retroescavadeira e seu 
conteúdo têm peso de 1200 lb
e centro de gravidade em G. 
Determine as forças do 
cilindro hidráulico AB e as 
forças nos elementos de 
ligação AC e AD para que a 
carga seja mantida na posição 
mostrada. A caçamba é 
conectada por pino em E.
6. O caminhão 
mostrado é usado 
para entregar 
refeições para aviões. 
A unidade elevada 
tem uma massa de 
1000 kg, com centro 
de massa em G. 
Determine a força 
necessária no 
cilindro hidráulico 
AB.
5. Determine a 
força no cilindro 
AB devido ao peso 
combinado da 
caçamba e do 
operador. A massa 
combinada é de 
180 kg, com 
centro de massa 
em G.