PROVA 2 Kashimoto 2014

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O
SEGUNDA PROVA DE MAT 022 - EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS II
NOME: MATR: CURSO: DATA: 29/05/2014
Observac¸a˜o: na˜o sera˜o aceitas respostas sem ca´lculos e justificativas.
1a Questa˜o - 30 pt. Considere o sistema na˜o-linear{
dx
dt
= x + x2 + y2
dy
dt
= y − xy
(a) Encontre todos os pontos cr´ıticos do sistema dado.
(b) Encontre o sistema linear correspondente ao sistema na˜o linear dado, na vizinhanc¸a de cada
ponto cr´ıtico.
(c) Classifique o tipo e a estabilidade dos pontos cr´ıticos do sistema na˜o linear dado e dos
sistemas lineares correspondentes. Se existir autovalor de multiplicidade 2, verifique se o
ponto cr´ıtico e´ um no´ pro´prio ou impro´prio.
(d) Prove que o sistema autoˆnomo dado na˜o possui trajeto´rias fechadas na regia˜o
E = {(x, y) : x > −2}.
2a Questa˜o - 25 pt. Encontre uma func¸a˜o de Liapunov da forma V (x, y) = ax2 + cy2 e prove
que (0,0) e´ um ponto cr´ıtico assintoticamente esta´vel do sistema autoˆnomo
dx
dt
= −y − x3
dy
dt
= x− y3
3a Questa˜o - 25 pt. Encontre uma func¸a˜o de Liapunov da forma V (x, y) = ax2 + cy2 e prove
que (0,0) e´ um ponto cr´ıtico insta´vel do sistema autoˆnomo
dx
dt
= −y + x3
dy
dt
= x + y3
4a Questa˜o - 20 pt. Considere o sistema autoˆnomo
dx
dt
= x(y2 + 1)
dy
dt
= −y(y2 + 1)
(a) Prove que (0, 0) e´ um ponto cr´ıtico isolado.
(b) Classifique o tipo e a estabilidade do ponto cr´ıtico (0, 0) do sistema na˜o linear dado e do
sistema linear correspondente.
(c) Encontre uma equac¸a˜o da forma H(x, y) = c para as trajeto´rias.
(d) Prove que o sistema autoˆnomo dado na˜o possui trajeto´rias fechadas no plano de fase xy.