02_Sistemas_Lineares

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2020/Sem_02 
NOTAS DE AULA 
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Sistemas Lineares 
Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
ii 
Índice 
2 Sistemas de Equações Lineares ................................................................................ 1 
2.1 Definições Gerais .............................................................................................. 1 
2.2 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 2x2 .................................. 1 
2.3 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3x3 .................................. 3 
2.4 O Método do Escalonamento ............................................................................ 3 
2.5 O Método de Cramer ........................................................................................ 7 
2.6 Comparação entre o Método do Escalonamento e o Método de Cramer ......... 9 
2.7 Sistemas Homogêneos ...................................................................................... 9 
2.8 Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares ................................... 10 
2.9 Exercícios propostos ....................................................................................... 11 
Referências Bibliográficas. ........................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
Prof. Nunes 1 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
2 Sistemas de Equações Lineares 
2.1 Definições Gerais 
2.1.1 Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n 
incógnitas 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
2.1.2 Forma Matricial 
𝐴 𝑥 =𝑏 
[
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
][
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
]=[
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
]. 
Onde: 
𝐴  matriz dos coeficientes; 
𝑥  vetor das incógnitas (ou vetor solução); 
𝑏  vetor dos termos independentes. 
2.1.3 Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema 
𝐵 =[𝐴 𝑏]=[
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑏1
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
]. 
Definições: 
Diz-se que um sistema de equações lineares é incompatível (ou sistema impossível – S.I.), se 
não admite nenhuma solução. 
Um sistema de equações lineares que admite uma única solução é chamado de compatível 
determinado (ou sistema possível determinado – S.P.D.). 
Se um sistema de equações lineares tem mais de uma solução (infinitas soluções) ele recebe o 
nome de compatível indeterminado (ou sistema possível indeterminado – S.P.I.) 
Discutir um sistema de equações lineares S significa efetuar um estudo visando classificá-lo de 
acordo com as definições anteriores. 
Resolver um sistema de equações lineares significa determinar todas as suas soluções. O 
conjunto dessas soluções recebe o nome de conjunto solução do sistema. 
2.2 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 2x2 
Nesta seção são apresentados três exemplos que ilustram a interpretação geométrica para a 
solução de sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas: 
Prof. Nunes 2 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Exemplos: 
1) Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema: 
{
2𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 3𝑦 = 6
⇒Solução: x = 3 e y = −1 
Como o sistema tem solução única, esta é representada pela intersecção das retas cujas equações 
gerais são: 2𝑥 + 𝑦 = 5 e 𝑥 − 3𝑦 = 6. 
 
 
2) Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema: 
{
2𝑥 + 𝑦 = 5
6𝑥 + 3𝑦 = 15
⇒ Solução: S.P.I. {
𝑥 = −
1
2
𝑦 +
5
2
𝑦 = 𝜆 ∈ ℜ
 
Como o sistema tem infinitas soluções, estas são representadas pela intersecção das retas cujas 
equações gerais são: 2𝑥 + 𝑦 = 5 e 6𝑥 + 3𝑦 = 15 (retas coincidentes). 
 
3) Resolver e interpretar geometricamente a solução do sistema: 
{
2𝑥 + 𝑦 = 5
6𝑥 + 3𝑦 = 10
⇒ Solução: S.I. (Sistema Impossível) 
O sistema não tem solução. De fato, as retas cujas equações gerais são: 2𝑥 + 𝑦 = 5 e 6𝑥 +
3𝑦 = 10 são paralelas (não coincidentes). 
Prof. Nunes 3 
 
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2.3 Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3x3 
Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas: 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 = 𝑏3
 
cada equação representa um plano no espaço tridimensional. 
Desta forma os planos 𝜋1, 𝜋2 e 𝜋3 são os planos definidos pelas equações do sistema. Assim, 
as soluções do referido sistema pertencem à interseção 𝜋1 ∩ 𝜋2 ∩ 𝜋3 desses planos. 
Se pelo menos dois desses planos são paralelos, ou se dois deles intersectam o terceiro segundo 
retas paralelas, a interseção 𝜋1 ∩ 𝜋2 ∩ 𝜋3 é vazia e o sistema é impossível. 
Se os três planos se intersectam em uma reta r, isto é, se 𝜋1 ∩ 𝜋2 ∩ 𝜋3 = 𝑟, o sistema é 
indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema. 
O sistema é determinado (solução única), quando os três planos se encontram em um único 
ponto. 
Existem ao todo, oito posições relativas possíveis para os planos 𝜋1, 𝜋2 e 𝜋3. Quatro dessas 
posições correspondem aos sistemas impossíveis e nas outras quatro, o sistema tem solução. 
2.4 O Método do Escalonamento 
Definição: 
Diz-se que uma matriz é escalonada quando o primeiro elemento não-nulo de cada uma das 
suas linhas se situa à esquerda do primeiro elemento não-nulo da linha seguinte. Além disso, as 
linhas que tiverem todos os seus elementos iguais a zero devem estar abaixo das demais. 
Definição: 
Diz-se que um sistema de equações lineares é um sistema escalonado, quando a matriz 
aumentada associada a este sistema é uma matriz escalonada. 
O Método do Escalonamento para resolver ou discutir um sistema de equações lineares S 
consiste em se obter um sistema de equações lineares escalonado equivalente a S (equivalente 
no sentido de possuir as mesmas soluções que este). 
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Partindo do sistema S pode-se chegar a este sistema escalonado equivalente por meio de uma 
sequência de operações elementares, que são as seguintes: 
1) Trocar a ordem das equações do sistema; 
2) Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero; 
3) Substituir uma equação do sistema por sua soma com outra equação multiplicada por uma 
constante diferente de zero. 
Desta forma, se um sistema de equações foi escalonado e, retiradas as equações do tipo 0 = 0, 
então restam p equações com n incógnitas. 
Se a última das equações restantes é do tipo: 
0 ⋅ 𝑥1 + 0 ⋅ 𝑥2 + 0 ⋅ 𝑥3 +  ⋯  + 0 ⋅ 𝑥𝑛−1 + 0 ⋅ 𝑥𝑛 = 𝛽𝑝 (𝛽𝑝 ≠ 0), então o sistema de 
equações é impossível – S.I. (não admite soluções); 
Caso contrário, sobram duas alternativas: 
(i) Se p = n o sistema é possível determinado – S.P.D. (admite solução única); 
(ii) Se p < n, então o sistema é possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções). 
Observação: 
Para se escalonar um sistema S é mais prático efetuar o escalonamento da matriz aumentada 
associada ao sistema. Uma vez concluído o escalonamento dessa matriz aumentada, associamos 
a ela o novo sistema que é equivalente ao sistema original S. 
Exemplos: 
1) Discutir e resolver o sistema: {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
 
Resolução: 










−
−
1113
0212
1111 𝐿2 → 𝐿2 − 2𝐿1
⇒
𝐿3 → 𝐿3 − 3𝐿1 









−−
−
−
2220
2030
1111 𝐿2 →
1
3
𝐿2
⇒ [
1 −1 1 1
0 1 0 −
2
3
0 2 −2 −2
]

−→ 233 2LLL
[
1 −1 1 1
0 1 0 −
2
3
0 0 −2 −
2
3
] cujo sistema equivalente é 
{
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑦 = −
2
3
−2𝑧 = −
2
3
  Como o número de equações restantes é igual ao 
número de incógnitas, o sistema é possível e determinado (S.P.D.). Resolvendo este sistema de 
baixo para cima, obtemos 𝑧 =
1
3
, 𝑦 = −
2
3
 e finalmente 𝑥 = 0. Desta forma, a solução pode serdada pela única tripla ordenada (𝑥,  𝑦,  𝑧) = (0, −
2
3
, 
1
3
). 
Resposta: (𝑥,  𝑦,  𝑧) = (0, −
2
3
,  
1
3
) 
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2) Discutir e resolver o sistema: {
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0
𝑥 − 7𝑦 = 3
 
Resolução: 
[
1 −2 −1 1
2 1 −3 0
1 −7 0 3
] 
𝐿2 → 𝐿2 − 2𝐿1
⇒
𝐿3 → 𝐿3 − 𝐿1
 [
1 −2 −1 1
0 5 −1 −2
0 −5 1 2
] 
𝐿3 → 𝐿3 + 𝐿2
⇒ [
1 −2 −1 1
0 5 −1 −2
0 0 0 0
] 
cujo sistema equivalente é {
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 1
5𝑦 − 𝑧 = −2
 Como o número de equações 
restantes é menor que o número de incógnitas, o sistema é possível, mas indeterminado (S.P.I.). 
Desta forma, para cada valor de 𝑧 ∈ ℜ, pode-se encontrar 𝑦 = −
2
5
+
1
5
𝑧 e 𝑥 =
1
5
+
7
5
𝑧. Assim, 
a solução pode ser dada por uma tripla ordenada (𝑥,  𝑦,  𝑧) = (
1
5
+
7
5
𝑧, −
2
5
+
1
5
𝑧,  𝑧), sendo 
𝑧 ∈ ℜ. 
Resposta: (𝑥,  𝑦,  𝑧) = (
1
5
+
7
5
𝑧, −
2
5
+
1
5
𝑧,  𝑧) 
3) Discutir e resolver o sistema: {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 0
 
Resolução: 
[
1 −1 1 1
2 −1 1 4
1 −2 2 0
] 
𝐿2 → 𝐿2 − 2𝐿1
⇒
𝐿3 → 𝐿3 − 𝐿1
 [
1 −1 1 1
0 1 −1 2
0 −1 1 −1
] 
𝐿3 → 𝐿3 + 𝐿2
⇒ [
1 −1 1 1
0 1 −1 2
0 0 0 1
] 
cujo sistema equivalente é {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
0𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 1
 Como esta última equação não 
possui solução, o sistema é impossível (S.I.). 
Resposta: S.I. 
4) Determinar o valor de a para que o sistema linear S admita uma única solução e determiná-
la: 
𝑆 = {
𝑥 + 𝑦 = 1
2𝑥 + 𝑦 = 2
3𝑦 = 𝑎
 
Resolução: 
[
1 1 1
2 1 2
0 3 𝑎
] 
−→ 122 2LLL
[
1 1 1
0 −1 0
0 3 𝑎
] 
+→ 233 3LLL
[
1 1 1
0 −1 0
0 0 𝑎
] que é uma matriz 
ampliada de um sistema que somente será possível se a = 0. Assim, o sistema equivalente é 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
−𝑦 = 0
 
Desta forma, a solução pode ser dada pelo único par ordenado (𝑥,  𝑦) = (1,  0) 
Resposta: a = 0, (𝑥,  𝑦) = (1,  0) 
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5) Discutir o sistema de acordo com os parâmetros a e b: {
2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 9
6𝑥 + 7𝑧 = 13
4𝑥 + 2𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑏
 
Resolução: 










ba24
13706
9342 𝐿2 → 𝐿2 − 3𝐿1
⇒
𝐿3 → 𝐿3 − 2𝐿1 









−−−
−−−
18660
142120
9342
ba
𝐿2 → −
1
2
𝐿2
⇒ 
[
2 4 3 9
0 6 1 7
0 −6 𝑎 − 6 𝑏 − 18
] 
𝐿3 → 𝐿3 + 𝐿2
⇒ [
2 4 3 9
0 6 1 7
0 0 𝑎 − 5 𝑏 − 11
] cujo sistema equivalente é: 
{
2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 9
6𝑦 + 𝑧 = 7
(𝑎 − 5)𝑧 = 𝑏 − 11
 {
Se 𝑎 = 5  𝑒  𝑏 ≠ 11 ⇒ 𝑆. 𝐼.
Se 𝑎 = 5  𝑒  𝑏 = 11 ⇒ 𝑆. 𝑃. 𝐼.
Se 𝑎 ≠ 5  𝑒  𝑏  qualquer ⇒ 𝑆. 𝑃. 𝐷.
 
Resposta: {
Se 𝑎 = 5  𝑒  𝑏 ≠ 11 ⇒ 𝑆. 𝐼.
Se 𝑎 = 5  𝑒  𝑏 = 11 ⇒ 𝑆. 𝑃. 𝐼.
Se 𝑎 ≠ 5  𝑒  𝑏  qualquer ⇒ 𝑆. 𝑃. 𝐷.
 
6) Discutir o sistema de acordo com os parâmetros a e b: {
𝑥 − 4𝑦 + 𝑎2𝑧 = 𝑎2
2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑎𝑧 = 𝑎𝑏
4𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 𝑏2
 
Resolução: 
[
1 −4 𝑎2 𝑎2
2 2 −2𝑎 𝑎𝑏
4 −1 4 𝑏2
] 
𝐿2 → 𝐿2 − 2𝐿1
⇒
𝐿3 → 𝐿3 − 4𝐿1
 










+−−
+−+−
−
222
22
22
444150
2)22(100
41
baa
abaaa
aa
⇒
𝐿3 → 𝐿3 −
15
10
𝐿1
 














+−−
+−−
+−+−
−
10
101510
4300
2)22(100
41
22
2
22
22
baba
aa
abaaa
aa
⇒
𝐿3 → 2𝐿3
 
[
1 −4 𝑎2 𝑎2
0 10 −(2𝑎2 + 2𝑎) −2𝑎2 + 𝑎𝑏
0 0 −2𝑎2 + 6𝑎 + 8 −2𝑎2 − 3𝑎𝑏 + 2𝑏2
] 
i) Para −2𝑎2 + 6𝑎 + 8 ≠ 0 ⇒ 𝑎2 − 3𝑎 − 4 ≠ 0 ⇒ 𝑎 ≠ 4  𝑒  𝑎 ≠ −1 ⇒S.P.D. 
ii) Para 𝑎 = 4 ⇒ 0 = −32 − 12𝑏 + 2𝑏2 ⇒ 𝑏2 − 6𝑏 − 16 = 0 
𝑏 = 8  ou  𝑏 = −2 ⇒ 𝑆. 𝑃. 𝐼. 
𝑏 ≠ 8  𝑒  𝑏 ≠ −2 ⇒ 𝑆. 𝐼. 
iii) Para 𝑎 = −1 ⇒ 0 = −2 + 3𝑏 + 2𝑏2 ⇒ 2𝑏2 + 3𝑏 − 2 = 0 
𝑏 = −2  ou  𝑏 =
1
2
⇒ 𝑆. 𝑃. 𝐼. 
𝑏 ≠ −2  𝑒  𝑏 ≠
1
2
⇒ 𝑆. 𝐼. 
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Resposta: A discussão se divide em 3 casos: 
i) Para 𝑎 ≠ 4  𝑒  𝑎 ≠ −1 ⇒ 𝑆. 𝑃. 𝐷. 
ii) Para a = 4: 
𝑏 = 8  ou  𝑏 = −2 ⇒ 𝑆. 𝑃. 𝐼. 
𝑏 ≠ 8  𝑒  𝑏 ≠ −2 ⇒ 𝑆. 𝐼. 
iii) Para a =−1 
𝑏 = −2  ou  𝑏 =
1
2
⇒ 𝑆. 𝑃. 𝐼. 
𝑏 ≠ −2  𝑒  𝑏 ≠
1
2
⇒ 𝑆. 𝐼. 
7) Utilizando o método do escalonamento, discuta o sistema de equações lineares seguinte, 
em função do parâmetro k. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 𝑘2
𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 𝑘
𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −𝑘
 
Resolução: 










−−−−
−−−→










−






−=++
=++
=++
−=
−=
)()1()1(0
)()1()1(0
11
11
11
11
32
2
222
122
133
kkkk
kkkk
kk
kk
kk
kk
kzykx
kzkyx
kkzyx
LLL
kLLL
→
𝐿3=𝐿3+𝐿2
[
1 1 𝑘 𝑘2
0 (𝑘 − 1) (1 − 𝑘) (𝑘 − 𝑘2)
0 0 (2 − 𝑘 − 𝑘2) (−𝑘2 − 𝑘3)
] ⇒
{
2 − 𝑘 − 𝑘2 = 0 → 𝑘2 + 𝑘 − 2 = 0 → {
𝑘 = 1
𝑘 = −2
−𝑘2 − 𝑘3 = 0 → 𝑘2(𝑘 + 1) = 0 → {
𝑘 = 0
𝑘 = −1
 
Respostas: 
Sistema Possível e Determinado (S.P.D.) para 𝑘 ≠ 1 e 𝑘 ≠ −2 
Sistema Impossível (S.I.) para 𝑘 = 1 ou 𝑘 = −2 
2.5 O Método de Cramer 
O método de Cramer se aplica para sistemas de equações lineares onde a matriz dos coeficientes 
das incógnitas é quadrada. 
Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n incógnitas 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
 
Forma Matricial 
𝐴 𝑥 =𝑏 
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[
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
][
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
]=[
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
]. 
Onde: 
𝐴  matriz dos coeficientes; 
𝑥  vetor das incógnitas (ou vetor solução); 
𝑏  vetor dos termos independentes. 
Chamamos de D ao determinante de A, isto é 𝐷 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 e 𝐷𝑖 ao determinante da matriz obtida 
de A, substituindo a i-ésima coluna de A pela coluna dos termos independentes. 
Assim, se 𝐷 ≠ 0, então 𝑥𝑖 =
𝐷𝑖
𝐷
. 
Neste caso (𝐷 ≠ 0) a solução será única, pois 1− A e 
bxA = 𝐴−1 ⋅ (𝐴 ⋅ 𝑥) = 𝐴−1 ⋅ 𝑏 (𝐴−1 ⋅ 𝐴) ⋅ 𝑥 = 𝐴−1 ⋅ 𝑏 ⇒ 𝐼 ⋅ 𝑥 = 𝐴−1 ⋅ 𝑏 ⇒ 𝑥 = 𝐴−1 ⋅
𝑏 
Exemplo: 
1) Utilizando o Método de Cramer, resolver o seguinte sistema de equações lineares: 
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = −4
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 1
 
𝐷 = 𝑑𝑒𝑡 [
1 1 1
1 −1 −1
2 −1 1
] = −4 ≠ 0𝑥𝑖 =
𝐷𝑖
𝐷
=
𝐷𝑖
−4
 
𝑥1 =
𝑑𝑒𝑡 [
6 1 1
−4 −1 −1
1 −1 1
]
−4
=
−4
−4
= 1 
𝑥2 =
𝑑𝑒𝑡 [
1 6 1
1 −4 −1
2 1 1
]
−4
=
−12
−4
= 3 
𝑥2 =
𝑑𝑒𝑡 [
1 6 1
1 −4 −1
2 1 1
]
−4
=
−12
−4
= 3 
Observação Importante: 
Se 𝐷 = 𝐷1 = 𝐷2 =. . . . . . . = 𝐷𝑛 = 0 o sistema não é necessariamente SPI !!! 
Assim, aplicar o Método de Cramer apenas para os casos em que 𝐷 ≠ 0. 
Exemplo: 
1) Utilizando o Método de Cramer, resolver o seguinte sistema de equações lineares: 
{
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 1
2𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 = 2
3𝑥1 + 6𝑥2 + 9𝑥3 = 4
 
𝐷 = 𝑑𝑒𝑡 [
1 2 3
2 4 6
3 6 9
] = 𝑑𝑒𝑡 [
1 2 3
2 4 6
4 6 9
] = 𝑑𝑒𝑡 [
1 1 3
2 2 6
3 4 9
] = 𝑑𝑒𝑡 [
1 2 1
2 4 2
3 6 4
] = 0 ⇒isto é: 
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𝐷 = 𝐷1 = 𝐷2 = 𝐷3 = 0 
Mas escalonando o sistema obtemos: 
[
1 2 3 1
2 4 6 2
3 6 9 4
] 
𝐿2 → 𝐿2 − 2𝐿1
⇒
𝐿3 → 𝐿3 − 3𝐿1
 [
1 2 3 1
0 0 0 0
0 0 0 1
] 
 32 LL
[
1 2 3 1
0 0 0 1
0 0 0 0
] cujo sistema 
equivalente é: 
{
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 1
0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 1
 que é impossível (SI) !!! 
2.6 Comparação entre o Método do Escalonamento e o Método de 
Cramer 
Suponha um computador capaz de efetuar 1.000.000 de operações de multiplicação e divisão 
por segundo. Então seriam exigidos os seguintes tempos para a resolução de sistemas de 
equações lineares cujas matrizes dos coeficientes das incógnitas têm o formato: 1010, 1515 
e 2020, respectivamente. 
 
 Escalonamento Cramer 
1010 0,8 milésimos de seg. 1 min. e 8 seg. 
1515 2,5 milésimos de seg. 1 ano, 1 mês e 16 dias 
2020 6 milésimos de seg. 2 milhões, 754 mil, 140 anos 
Fonte: Revista do Professor de Matemática n.23, 1993. 
2.7 Sistemas Homogêneos 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0
 
 
Sistemas Homogêneos de Equações Lineares com m equações e n incógnitas são sistemas de 
equaçõeslineares onde os termos independentes são todos nulos. Este tipo de sistema é sempre 
possível, pois admite a solução 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0. 
Desta forma, se um sistema homogêneo de equações foi escalonado e, retiradas as equações do 
tipo 0 = 0, então restam p equações com n incógnitas. 
(i) Se p = n o sistema é possível determinado – S.P.D. (admite solução única), e esta solução é 
‘𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0, conhecida por solução trivial; 
(ii) Se p < n, então o sistema é possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções). 
Exemplo: 
1) Ache todos os valores de k para que sistema homogêneo de equações lineares que segue 
admita solução diferente da solução trivial: {
𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 𝑘𝑦 + 2𝑘𝑧 = 0
 
Observação: Solução trivial é aquela em que todas as incógnitas são iguais à zero. 
Resolução: 
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Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
𝑑𝑒𝑡 [
𝑘 𝑘 1
2 𝑘 1
1 𝑘 2
] = 0 ⇒ [
𝑘 𝑘 1
2 𝑘 1
1 𝑘 2𝑘
]
𝑘 𝑘
2 𝑘
1 𝑘
= 0 ⇒ 2𝑘3 − 5𝑘2 + 2𝑘 = 0 ⇒ 
𝑘 ⋅ (2𝑘2 − 5𝑘 + 2) = 0 ⇒ 𝑘 = 0 , 𝑘 = 2 ou 𝑘 =
1
2
 
Resposta: 𝑘 = 0, 𝑘 = 2 ou 𝑘 =
1
2
 
2.8 Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares 
Neste exemplo, apresentado por FILHO, 2006, temos uma interessante aplicação dos sistemas 
lineares. 
A tabela que segue traz os principais nutrientes presentes em alguns alimentos: 
 Arroz 
(50g) 
Feijão 
(30g) 
Frango 
(80g) 
Suco 
(200ml) 
Pão 
(50g) 
Margarina 
(14g) 
VDR 
Energia(Kcal) 190 100 150 120 130 45 2000 
Carboidratos(g) 37 16 8 30 28 0 300 
Proteínas(g) 3 7 13 1 4 0 75 
Gorduras 
Totais(g) 
0 0 6 0 1,5 5 55 
Para montar uma dieta é necessário determinar as quantidades 𝑥1,  𝑥2,  𝑥3,  𝑥4,  𝑥5 𝑒 𝑥6 (em 
porções) de cada alimento, necessárias para compor os VDR (Valores Diários de Referência). 
Isto corresponde a resolver o sistema linear: 
{
 
 
190𝑥1 + 100𝑥2 + 150𝑥3 + 120𝑥4 + 130𝑥5 + 45𝑥6 = 2000
37𝑥1 + 16𝑥2 + 8𝑥3 + 30𝑥4 + 28𝑥5 + = 300
3𝑥1 + 7𝑥2 + 13𝑥3 + 𝑥4 + 4𝑥5 + = 75
6𝑥3 + 1,5𝑥5 + 5𝑥6 = 55
 
Escalonando este sistema, podemos obter o seguinte sistema equivalente: 
{
 
 
𝑥1 −0,33𝑥5 +0,17𝑥6 = 0,19
𝑥2 +0,07𝑥5 −1,68𝑥6 = −8,05
𝑥3 +0,25𝑥5 +0,83𝑥6 = 9,16
𝑥4 +1,24𝑥5 +0,45𝑥6 = 11,60
 
Assim, este sistema é do tipo possível indeterminado – S.P.I. (admite infinitas soluções). Os 
valores de 𝑥1,  𝑥2,  𝑥3 𝑒 𝑥4 podem ser colocados em função de 𝑥5 𝑒 𝑥6. Temos então: 
{
𝑥1 = 0,19 + 0,33𝑥5 − 0,17𝑥6
𝑥2 = −8,05 − 0,07𝑥5 + 1,68𝑥6
𝑥3 = 9,16 − 0,25𝑥5 − 0,83𝑥6
𝑥4 = 11,60 − 1,24𝑥5 − 0,45𝑥6
 
Assim, se fizermos, por exemplo: 𝑥5 = 5 e 𝑥6 = 6, podemos obter: 
𝑥1 = 0,81; 𝑥2 = 1,71; 𝑥3 = 2,91 e 𝑥4 = 2,64, 
O que corresponde, aproximadamente, a 40g de arroz, 50g de feijão, 230g de frango, 520ml de 
suco, 250g de pão e 84g de margarina. 
Observação: 
Evidentemente a dieta aqui proposta tem caráter didático; apenas médicos ou nutricionistas 
podem prescrever dietas alimentares. 
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2.9 Exercícios propostos 
1) Resolver os sistemas de equações lineares, reduzindo-os à forma escalonada. 
a) {
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
5𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 0
 Resposta: x = y = z = 0. 
b) {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12
 Resposta: x = 4, y = 1 e z =3 
c) {
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4
−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 9
 
Resposta: O sistema é S.P.I. Assim, para cada 𝑧 ∈ ℜ, temos: 𝑥 =
7+5𝑧
3
 e 𝑦 =
5+𝑧
3
, ou, a solução 
é a tripla (
7+5𝑧
3
,
5+𝑧
3
, 𝑧). 
d) {
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
4𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
 Resposta: Sistema Impossível. 
2) Resolva o seguinte sistema de equações lineares. Caso o mesmo seja SPI, apresente a solução 
em função da variável z. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
3𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 7
 
Resposta: O sistema é S.P.I. sendo as soluções da forma: (
6−3𝑧
2
,
−4+𝑧
2
, 𝑧) , 𝑧 ∈ ℜ. 
3) Determine o valor de m para que o sistema seja indeterminado: 
{
𝑚𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0
4𝑥 + 5𝑦 + 𝑚𝑧 = 0
3𝑦 − 4𝑧 = 0
 
Dica: Neste caso, considerando que o sistema é homogêneo, com 3 equações e 3 incógnitas, 
ao invés de escalonar, é mais fácil impor a condição: 𝑑𝑒𝑡   [
𝑚 1 3
4 5 𝑚
0 3 −4
] = 0 
Resposta: m = 2 ou m =−
26
3
 
4) Discuta o sistema que segue, em função dos parâmetros a e b. 
{
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑎𝑧 = 5
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 𝑏
 Resposta: {
Se 𝑎 = 3  𝑒  𝑏 ≠ −4  →  𝑆. 𝐼.
Se 𝑎 = 3  𝑒  𝑏 = −4  →  𝑆. 𝑃. 𝐼.
Se 𝑎 ≠ 3  𝑒  𝑏 qualquer  →  𝑆. 𝑃. 𝐷.
 
5) Discutir o sistema abaixo, reduzindo-o à forma escalonada. 
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 {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑎𝑧 = 3
𝑥 + 𝑎𝑦 + 3𝑧 = 2
 Resposta: {
Se 𝑎 = −3    →  𝑆. 𝐼.
Se 𝑎 = 2   →  𝑆. 𝑃. 𝐼.
Se 𝑎 ≠ −3  e  𝑎 ≠ 2  →  𝑆. 𝑃. 𝐷.
 
6) Dado o sistema linear {
3𝑥 + 5𝑦
𝑥 + 𝑦
2𝑦
+ 12𝑧 −
+ 4𝑧 −
+ 2𝑧 +
𝑤 = −3
𝑤 = −6
𝑤 = 5
 
a) Discuta a solução do sistema. 
b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 neste sistema e encontre um valor de k que o torne 
incompatível. 
Respostas: a) S.P.I. b) 𝑘 = −1 
7) Ache todos os valores de k para que sistema homogêneo de equações lineares que segue 
admita solução diferente da solução trivial: {
𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 𝑘𝑦 + 2𝑘𝑧 = 0
 
Obs. Solução trivial é aquela em que todas as incógnitas são iguais à zero. 
 
Respostas: 𝑘 = 0, 𝑘 = 2 ou 𝑘 =
1
2
 
8) Para que valores de k o sistema de equações lineares {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑘𝑧 = 3
𝑥 + 𝑘𝑦 + 3𝑧 = 2
 
é possível e determinado? Respostas: 𝑘 ≠ −3 e 𝑘 ≠ 2 
9) Discuta o sistema em função dos parâmetros m e n, respondendo as questões a, b e c. 
 {
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑛
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0
𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑧 = 0
 
a) O sistema será impossível (SI) para: 
b) O sistema será possível e indeterminado (SPI) para: 
c) O sistema será possível e determinado (SPD) para: 
Respostas:    
a) O sistema será impossível (SI) para: 𝑚 =
2
5
 e 𝑛 ≠ 0 
b) O sistema será possível e indeterminado (SPI) para: 𝑚 =
2
5
 e 𝑛 = 0 
c) O sistema será possível e determinado (SPD) para: 𝑚 ≠
2
5
 e 𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 
10) Utilizando o método do escalonamento, discuta o sistema de equações lineares 
seguinte, em função dos parâmetros a e b. 
{
2𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 𝑎
𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 1
3𝑥 + (𝑎 + 1)𝑦 + 𝑧 = 𝑏
 
Dica: Antes de discutir, escalone o sistema até a forma: 
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Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
[
1 1 𝑎 1
0 (𝑎 − 2) (1 − 2𝑎) (𝑎 − 2)
0 0 −𝑎 (𝑏 − 𝑎 − 1)
] 
Respostas: 
i) Sistema Possível e Determinado (S.P.D.) para 𝑎 ≠ 0 e 𝑎 ≠ 2 
 
ii) Sistema Possível e Indeterminado (S.P.I.) para 𝑎 = 0e 𝑏 = 1 
Sistema Impossível (S.I.) para 𝑎 = 0e 𝑏 ≠ 1 
 
iii) Sistema Possível e Indeterminado (S.P.I.) para 𝑎 = 2e 𝑏 = 3 
Sistema Impossível (S.I.) para 𝑎 = 2e 𝑏 ≠ 3 
Referências Bibliográficas. 
1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1980. 
2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual, 
1990. 
3. FILHO, Adalberto A.D. Montando uma dieta alimentar com sistemas lineares. Revista do 
Professor de Matemática, n. 59 – Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. 
4. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro: Coleção 
do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. 
5. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006. 
6. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2.a Edição. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2010. 
7. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2.a Edição. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.