PROVA 2 Kashimoto 2012

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O
SEGUNDA PROVA DE MAT 022 - EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS II
NOME: MATR: CURSO: DATA: 24/05/2012
Observac¸a˜o: na˜o sera˜o aceitas respostas sem ca´lculos e justificativas.
1a Questa˜o - 20 pt. Seja f : IR → IR a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 4 tal que f(x) = x, se
−2 ≤ x < 2; e f(x + 4) = f(x) ∀x ∈ IR. Encontre a se´rie de Fourier da func¸a˜o f .
2a Questa˜o - 30 pt. Considere o sistema
dx
dt
= x(1− x− y)
dy
dt
= y(1, 5− y − x)
(a) Encontre todos os pontos cr´ıticos do sistema dado.
(b) Classifique o tipo e a estabilidade dos pontos cr´ıticos do sistema na˜o linear dado e dos
sistemas lineares correspondentes na vizinhanc¸a de cada ponto cr´ıtico.
3a Questa˜o - 15 pt.
(i) Encontre uma func¸a˜o de Liapunov da forma V (x, y) = ax2 + cy2 e prove que (0,0) e´ um ponto
cr´ıtico assintoticamente esta´vel do sistema autoˆnomo
dx
dt
= −x3 + 2xy2
dy
dt
= −2x2y − y3
(ii) Prove que o sistema autoˆnomo do item (i) na˜o possui trajeto´rias fechadas na regia˜o
{(x, y) : y > 0}.
4a Questa˜o - 15 pt. Encontre a trajeto´ria correspondente a` soluc¸a˜o do sistema
dx
dt
= 9y
dy
dt
= −25x
que satisfaz a condic¸a˜o inicial x(0) = 3, y(0) = 0. Esboce a trajeto´ria e indique o sentido do
movimento quanto t cresce.
5a Questa˜o - 20 pt.
(a) Transforme a equac¸a˜o diferencial
d2u
dt2
+ (u2 − 2)du
dt
+ u + senu = 0
em um sistema S de duas equac¸o˜es diferenciais de ordem um.
(b) Prove que o sistema S obtido no item (a) possui trajeto´ria fechada em torno da origem, no
plano de fase. (Sugesta˜o: use o Teorema de Lie´nard).