CAPÍTULO 7 Macro III

Prévia do material em texto

72 
CAPÍTULO 7 
 
CRESCIMENTO E TAXAS DE JUROS 
 
7.1. Introdução 
 
Já foi discutido que o Brasil perdeu ritmo de crescimento a partir dos anos 1980, o 
que se associa, entre outros fatores, de forte queda na acumulação de capital. A questão 
que fica para muitos é o grau em que tal queda na acumulação não se deveria às altas 
taxas de juros praticadas no Brasil. A figura 7.1 mostra a tendência evolutiva da taxa real 
de juros SELIC no Brasil após o Plano Real. A taxa média do período foi 9,3% ao ano. 
Apresentou uma queda a partir de 2005, com mínimo em torno de 2013, com elevação a 
partir de então. 
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
19
96
.01
19
96
.09
19
97
.05
19
98
.01
19
98
.09
19
99
.05
20
00
.01
20
00
.09
20
01
.05
20
02
.01
20
02
.09
20
03
.05
20
04
.01
20
04
.09
20
05
.05
20
06
.01
20
06
.09
20
07
.05
20
08
.01
20
08
.09
20
09
.05
20
10
.01
20
10
.09
20
11
.05
20
12
.01
20
12
.09
20
13
.05
20
14
.01
20
14
.09
20
15
.05
20
16
.01
20
16
.09
 
Figura 7.1. Taxas Reais de Juros no Brasil, 1996-2017. 
Fonte: IPEADATA, cálculos do autor. OBS.: Taxas SELIC mensais anualizadas deflacionadas pelas taxas 
mensais anualizadas do IPCA. 
 
Mesmo nos anos 2000, em que as taxas tenderam a cair, o Brasil ainda é destaque 
em âmbito mundial, como ilustrado na figura 7.2. 
 
 73 
 
Figura 7.2. Taxas Nominais e Reais de Juros no Brasil, EUA, Japão, Índia.-2000/09. 
Fonte: Tradingeconomics, http://www.tradingeconomics.com/Economics/Interest-Rate.aspx?Symbol=USD 
OBS.: Barras-taxas nominais; linha-taxas reais 
 
De que forma as taxas reais de juros afetariam a acumulação de capital? Através 
da sua confrontação com a produtividade marginal do capital, que determina o volume de 
investimentos que podem viavelmente ser realizados. Em k0 observa-se a condição de 
otimização, ou seja, 
rkf )('
 
onde 
AL
K
k 
, relação capital trabalho efetivo. Ver figura 7.3. 
Ademais tem-se que, sob crescimento balanceado: 
 
 
 
Por essa condição, tem-se ainda que um aumento em s (propensão a poupar) ao aumentar 
k vai reduzir f’(k) ou r. Haveria, teoricamente, a possibilidade de variando r alterar s? No 
modelo de Solow, não. Examina-se então esse ponto no modelo de Ramsey, em que s é 
determinado endogenamente. A resposta é igualmente negativa: tanto em Solow como 
0])[())(( 
 gntktksfk
 74 
em Ramsey, a taxa de juros é endógena: é apenas outro nome da produtividade marginal 
do 
capital. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.3. Taxa Real de Juros e Produtividade Marginal do Capital 
 
7.2. O Modelo de Ramsey 
 
Em 1928, F.P. Ramsey desenvolveu um modelo em que a taxa de poupança da 
sociedade é determinada endogenamente, isto é, estabelecida pelos agentes econômicos 
com vida infinitamente longa que otimizam sua decisões, ao contrário do que foi visto no 
modelo de Solow, em que a taxa de poupança era exógena. Embora muitos outros 
modelos tenham sido desenvolvidos em seqüência ao de Ramsey - endogeneizando 
outras variáveis, culminando com o modelo de Paul Romer (1990), que endogeiniza o 
processo de acumulação de conhecimento – para os objetivos desejados esse modelo mais 
simples é satisfatório. Segue-se a apresentação de Romer (2006), capítulo 2. 
 
A Produção 
 
Na economia de Ramsey há um grande número de firmas, cada qual tendo acesso 
à função de produção 
 75 
),( ALKFY 
 
 
com as propriedades já estabelecidas. Tais firmas empregam trabalho (que cresce no 
agregado à taxa n) e capital recorrendo a seus respectivos mercados, empregando o 
primeiro e alugando o segundo junto a famílias. A é determinado exogenamente, 
crescendo à taxa g. 
 Como o mercado é competitivo, o capital desloca-se para as atividades de maior 
retorno - produtividade marginal -, até que as oportunidades de realocação se esgotam. Aí 
a produtividade marginal do capital pode ser chamada de taxa real de juros (r(t)), 
considerando-se que a depreciação seja nula. 
 
)())((' trtkf 
 (7.1) 
 
Analogamente o trabalho se distribui entre as alternativas de emprego recebendo a 
sua produtividade marginal do trabalho; quando as alternativas se esgotam a 
produtividade marginal é o salário real (W(t)): 
 
 
)(
),(
tW
L
ALKF


 (7.2) 
 
ou 
 
)(
)(
)(')(
)(
)(
2
tW
AL
AK
kALfkAf
L
AL
K
ALf
L
kALf







 
 
E dividindo por A: 
 
)(
)(
)(
))]((')())(([ tw
tA
tW
tkftktkf  (7.3) 
 
onde 
)(tw
é o salário real por unidade de trabalho efetivo. 
 76 
 
O Consumo 
 
Há também um grande número (H) de famílias idênticas, cujo tamanho cresce à 
taxa exógena n. Cada membro da família oferece uma unidade de trabalho por unidade de 
tempo. Ademais, cada família aluga todo o capital (K/H) que possua às firmas. 
Desconsidera-se a depreciação. Em cada período, as famílias dividem a renda (do 
trabalho e do capital) entre consumo e poupança procurando maximizar uma função de 
utilidade intertemporal U. 
 
(7.4) 
 
sendo 
 
C(t) = consumo de cada membro de cada família no tempo t, 
u(.) = função de utilidade em t 
H
tL )(
= número de membros por família 
H
tL
tCu
)(
))((
= utilidade total da família 

= taxa de desconto, ou seja, relação entre utilidade em t e (t+1) 
Ainda mais1: 
 





1
)(
))((
1tC
tCu (7.5) 
 
com 
0
e 
0)1(  gn 
 de tal sorte que a economia converge ao caminho de 
crescimento balanceado2. A utilidade marginal é dada por 
 
1 Trata-se da utilidade com coeficiente de aversão relativa a risco constante, dado 
por  






 


11CC
C
C
C
C
UM
C
C
UM
. O modelo, porém, não contempla a questão do 
risco. 
 




0
)(
))((t
t dt
H
tL
tCueU 
 77 
 
(7.6) 
 
que é positiva sempre3,4.O parâmetro

dá diretamente o grau em que a utilidade marginal 
é decrescente; ou seja, o grau em que o consumidor preferirá nivelar (igualar) os níveis 
de consumo em períodos diferentes. Quanto maior θ, mais intensamente varia a utilidade 
total por período quando o consumo varia de um período t-1 para outro t. O consumidor 
preferirá evitar que os consumos entre períodos difiram: prefere que eles fossem iguais, 
se os preços fossem os mesmos, isto é, se a taxa de juros fosse zero. O parâmetro está, 
pois, inversamente relacionado com a elasticidade de substituição intertemporal5. 
As famílias têm de levar em conta sua restrição intertemporal, o que limita seu 
orçamento. A idéia é que as famílias possam transferir renda de um ano (com maior 
renda) para outro (de menor renda). Se a renda não é toda consumida num ano, a 
poupança é passada para o futuro, sendo remunerada pela taxa real de juros. As famílias 
também podem antecipar a renda que receberão no futuro para o presente, tomando 
empréstimo à taxa de real de juros. Dessa forma toda família tem que se ater à restrição 
de que o valor presente da sua riqueza tem de ser maior ou igual ao valor presente do 
consumo: 
 
 
2 Se 
0)1(  gn 
 então a chamada condição de transversalidade é observada. Essa condição é 
necessáriapara garantir que agente econômico não vai deter riqueza no final de seu horizonte temporal: a 
sua utilidade aumenta se ele consumir essa riqueza, ao invés de desperdiçá-la, deixando-a inutilizada. 
(Daron Acemoglu, http://econ-www.mit.edu/files/4803) 
3 Além disso u’ é decrescente: 
0)(
)(
))((
'' )1(    tC
tdC
tCdUM
u
 
4 Notar que a função (63) tende para 
)(ln))((lim
1
tCtCu 

. 
5 Com utilidade marginal dada em (64) tem-se que a elasticidade de substituição é dada por 


1
)('
)1('
)(
)1(






tu
tu
tC
tC
 
 
    )(1 )()1()( ))(())((' tCtCtdC tCdutCUMu
 78 
 (7.7) 
 
em que: 
a) à esquerda está o soma (integral) dos valores presentes do consumo per capita 
multiplicado pelo número de membros na família 
b) à direita está a soma dos valores presentes de renda disponível, sendo o 
primeiro termo a riqueza inicial dada pelo estoque de capital da economia 
dividido pelo número de famílias e o segundo, a soma dos valores presentes 
das rendas do trabalho (salário vezes número de membros) 
c) o primeiro termo nas integrais é o fator de conversão de valores futuros em 
valor presente, explicado como se segue. 
 
Nessa análise, taxa de juros e salário - endógenos no agregado - seguem caminhos 
que são dados para as famílias individuais. Quanto aos juros são contínuos: 
e
)(tR
define-se como a integral da função representativa da evolução da taxa de juros ao 
durante determinado intervalo de tempo: 
 
  drtR t 0 )()( (7.8) 
 
ou seja, a soma das taxas de juros devidas em t anos contados a partir de 
0
 
considerando que os juros variam ao longo do tempo segundo a função 
)(tr
. Se r fosse 
constante, então essa soma seria simplesmente 
rttR )(
.Assim $1 aplicado em t = 0 vai 
acumular $ 
rttR ee )(
 depois de t anos6. 
É conveniente rearranjar os termos de (7.7), colocando tudo do lado esquerdo: 
 
 
6 Fazendo analogia com o caso de tempo medido discretamente, $1 renderia após t anos a 
$ 
t
t
r
e
r
e
r
e
r
e 021 $...1 
,ou seja, 


t
rtR
0
)(


 
 
dt 
 H 
t L 
t W e 
H 
K 
dt 
H 
t L 
t C e 
t 
t R 
t 
t R 
 
) ( 
) ( 
) 0 ( ) ( 
) ( 
0 
) ( 
0 
) ( 
    
 
 
  
 
 
 79 
 
0
)(
)]()([
0
)()0( 


  dt
H
tL
tCtW
t
tRe
H
K (7.9) 
 
que é igual o valor presente (no momento t=0) da riqueza líquida (após consumo). Isso é 
ainda igual a 
 
 
0
)(
)]()([
0
)()0(lim 









 dt
H
tL
tCtW
s
t
tRe
H
K
s (7.10) 
 
onde apenas se expressa o limite superior de integração de outra forma. 
Capitalizando o colchete em (7.10), chega-se à riqueza de uma família num 
momento s qualquer: 
 






  
s
t
tRRs dt
H
tL
tCtWe
H
K
e
H
sK
0
)( )()]()([
)0()(
 
 
ou 






  
 s
t
tRRs dt
H
tL
tCtWe
H
K
H
sK
e 0
)( )()]()([
)0()(
 
 
que é a expressão em colchete em (7.10) - ou seja, o valor presente da riqueza em s. Logo 
 
0
)()(lim 
 H
sKsRe
s
 (7.11) 
 
significando que a riqueza de cada família tem de ter um valor finito por mais distante 
que esteja o momento considerado. Isso elimina o chamado “Efeito Ponzi”, que acontece 
quando a família toma um empréstimo e segue indefinidamente pagando as parcelas 
vencidas com novos empréstimos. Se isso for possível, o valor presente do consumo da 
família pode ultrapassar o valor presente de seus recursos, terminando a vida com dívidas 
a descoberto. 
 
 80 
Maximização da utilidade das famílias e os Juros 
 
A família típica maximiza a utilidade ao longo da vida sujeito à restrição 
orçamentária. Seguindo Solow, expressa-se o consumo por unidade de trabalho efetivo. 
Tem-se que C(t) é o consumo por pessoa (trabalhador) e 
)(/)()( tAtCtc 
é o consumo por 
unidade de trabalho efetivo. Logo, no período t: 
 
         1 1)()1(1)0(1 1)(1])0([1 1)]()([1 1)( tcgteAtcgteAtctAtC (7.12) 
 
que inserido em (7.4): 
 
 
dt
tc
t
teBU     1 1)(0 (7.13) 
 
com 
H
L
AB
)0(1)0( 
e 
0)1(  gn 
(por hipótese). 
Formulada em termos de c(t), (6.6’) fica: 
 
 
0
)()0()0(
)]()([
0
)()0()0()0( 




  dt
H
tgneLA
tctw
t
tRe
H
LAk 
 
ou, dividindo por 
H
LA )0()0(
: 
 
 
0)()]()([
0
)()0( 


  dt
tgnetctw
t
tRek (7.14) 
 
e (7.11) fica: 
 
0)()()(lim 

sksgnesRe
s (7.15) 
 
 81 
O problema do consumidor é, pois, maximizar a utilidade dada em (7.13) 
condicionada à restrição (7.14). A condição de primeira ordem, que resulta da derivação 
da expressão de Lagrange 
 
 





  dt
tc
t
teBL


1
1)(
0 ])()]()([
0
)()0([ dttgnetctw
t
tRek 


  
 
 em relação a c(t), é dada por: 
0)( )()(   tgntRt eetcBe  
ou 
tgntRt eetcBe )()()(    (7.16) 
 
sendo 

o multiplicador de Lagrange. Tomando log de (7.16): 
 
tgntRtctB )()(ln)(lnln   
 
tgn
t
drtctB )(
0
)(ln)(lnln 

  
 
 
Agora deriva-se o log da condição de primeira ordem em relação a t: 
)()(
)(
)(
gntr
tc
tc


 
 
Resolvendo para a taxa de crescimento do consumo e usando a definição de 

: 




gtr
tc
tc
gntr
tc
tc






)(
)(
)(
)(
)(
)(
 (7.17) 
 
que é a chamada Equação de Euler deste problema de maximização. O consumo por 
trabalhador crescerá a taxa g em equilíbrio. Nos demais pontos: 
 82 
 



 




)()(
)(
)( trgtr
g
tC
tC (7.18) 
 
 Conclui-se que sob otimização o consumo por trabalhador cresce na medida em 
que a taxa de retorno do capital (r, taxa de real de juros) excede a taxa de desconto (

). É 
importante ter em mente que r(t) é uma variável endógena no modelo, uma vez que é 
dada pela produtividade do capital. Não faz sentido, portanto, analisar o efeito de 
variações exógenas em r sobre o consumo ou, analogamente, sobre a poupança. 
 
7.3. Digressão 
 
O sentido intuitivo da equação de Euler vem da constatação de que uma pessoa deixará 
de consumir uma unidade do bem este ano se o investimento dessa unidade resultar num 
consumo maior no futuro que compense o sacrifício. O aumento possível no consumo 
futuro depende da produtividade do capital (r). Abaixo supõe-se que o consumidor 
(trabalhador efetivo) troca consumo 
)(tc
em t por 
)( ttc 
em 
tt 
, mantendo o 
consumo nos demais períodos. No caso que vem sendo desenvolvido, o valor presente da 
utilidade intertemporal é dada em (70): 
 
dt
tc
t
teBU     1 1)(0 
A utilidade marginal do consumo em t é 
 


)(
)(
tcBe
tc
U t
 
Havendo redução em 
)(tc
 para investir, a redução em U será 
)()()(
)(
tctcBetc
tc
U t 

  
 (7.19) 
Como o equilíbrio significa que 
t
c
c
etcttc


 )()( 
 83 
com 
c
c
 dado em (74a), logo a utilidade marginal em (
tt 
) será 
 




])([
)(
)(
t
c
c
tt etcBe
ttc
U 
Considerando retorno r no investimento, no momento (
tt 
) o consumo por trabalhador 
efetivo poderáser aumentado por7 
)()( ])([ tcettc tgntr  
 
Então o aumento de utilidade devido ao maior consumo em (
tt 
) 
 




])([)(
)(
)(
t
c
c
tt etcBettc
ttc
U
)(])([ tce tgntr 
 (7.20) 
 
As expressões (7.19) e (7.20) devem ser iguais para que não haja perda de utilidade com 
a troca intertemporal: 
)()( tctcBe t  
 

 ])([)(
t
c
c
tt etcBe )(])([ tce tgntr 
 
 
Dividindo membro a membro por 
)()( tctcBe t  
e tomando log: 
 
0])([
)(
)(


tgntrt
tc
tc
t 
 
 
Dividindo por 
t
 e resolvendo chega-se à primeira expressão em (7.17) 
 




gntr
tc
tc )(
)(
)( 
 
 
 
 
7 Notar que o aumento de consumo 
)()]([ tce ttr 
tem de ser dividido pelo por maior número de 
trabalhadores (que cresce a n) e de tecnologia (que cresce a g) então levando a 
)(])([ tce tgntr 
. 
 84 
7.4. Equilíbrio estacionário 
 
 A equação de Euler 

 gtr
tc
tc 


)(
)(
)( 
mostra que o estado estacionário, isto é, quando 


 kk
tc
tc
0
)(
)(
 , implica que o produto 
marginal do capital ou taxa de juros é 
gtkftkr    ))(´())(( (7.21) 
 
que indica que a economia convergirá para um r* que será tanto menor quanto menor for 
a taxa de desconto intertemporal ρ, quanto maior a elasticidade de substituição 
intertemporal do consumo 
 /1
 e menor o crescimento da produtividade g. Se uma 
economia está acumulando capital per capita na trajetória para o estado estacionário, sua 
taxa de juros cai durante a transição até o limite indicado em (7.21). 
 Ademais como y e c estão constantes para k = 
k
 (constante), assim como também 
a poupança por trabalhador efetivo p (= P/AL) fica constante em p*(t). Sabe-se ainda que 
em 
k
: 
0)()())(()()( 



tkgntkftstk
 
))((
)()(
)(
tkf
tkgn
ts


 

 (7.22) 
 
Para uma função de produção do tipo Cobb Douglas: 
gtktkftr
tktkfty
 






1)())(´()(*
)())(()(* 
 
Logo 
 85 












 






 





 






g
g
tkf
tk
g
tkfty
g
tk













1
1
11
1
))((
)(
))(()(*)(
 
 
g
gn
ts





 )(
)(
 (7.23) 
que será tanto maior quanto maior α e n e quanto menor ρ. O efeito de g é incerto. Notar 
que essa propensão a poupar é inferior àquela da Golden Rule. 
Ainda no tocante à relação consumo (ou poupança) e taxa de juros, vale ressaltar 
que em modelos mais completos e complexos, o setor governo é considerado8. Trabalha-
se então com a pressuposição de que o governo financia seus gastos com dívida. O 
consumidor racional vai emprestar ao governo aumentando sua poupança, preparando-se 
para o dia de pagamento da dívida quando os impostos vão aumentar e usando-a em 
maior proporção para pagar o governo. Ou seja, o maior gasto do governo, atrai para ele a 
poupança, desviando-a, ainda que em parte, do investimento privado. Com isso, apesar 
do aumento na poupança, o investimento se reduz e a produtividade do capital aumenta, 
resultando num aumento dos juros reais. Uma relação direta é observada entre 
movimentos nos juros e poupança, mas a relação causal não é a comumente mencionada. 
 
 
7.5. Famílias diferentes 
 
O que o modelo de Ramsey diz sobre a relação consumo e taxa de juros é que 
quando os juros aumentam, a relação entre consumo futuro e consumo presente aumenta. 
Não diz que o consumo presente diminui nesse processo. 
Ademais as famílias são idênticas e tomarão decisões idênticas: o consumo e a 
poupança serão iguais entre famílias. Na tentativa de cada uma consumir mais no 
presente, surgirá uma taxa positiva de juros e um certo nível de poupança e investimento, 
com crescimento da renda ao longo do tempo. Não trata também da interação entre 
 
8 Ver, por exemplo, Romer, pp 70-76. 
 86 
famílias na transferência de poupança entre famílias. Para famílias individuais, r é 
exógeno, o qual pode ter dois efeitos: renda e substituição. Num determinado momento, 
certas famílias são credoras e outras, devedoras. Ver figura 7.4. 
Considera-se uma família que é uma poupadora liquida no período corrente à taxa 
de juros em vigor. Quando essa taxa aumenta, a família se beneficia - fica mais rica. O 
contrário aconteceria se estivesse consumindo mais do que sua renda à taxa de juros em 
vigor Na sua primeira parte, o efeito renda predomina; na segunda, o efeito substituição é 
dominante. Este último torna mais atraente consumir no futuro (ou mais caro consumir no 
presente), pois, considerando dois períodos (1 e 2), se antes, deixando de consumir R$1 
em t=1 permitia consumir R$
)01( r
no período 2, agora com 
01 rr 
 o mesmo sacrifício 
permite consumir R$
)11( r
 em 2. Há, porém, ainda um efeito renda: uma dada poupança 
em 1 renderá mais em 2, permitindo maior consumo em 2; a família poderá decidir então 
nivelar os níveis de consumo entre os dois períodos, consumindo um pouco mais (e 
poupando menos) em 1 e ainda consumindo mais em 2. Este desejo de nivelar os níveis 
de consumo entre períodos está diretamente relacionado à magnitude de 

. Pode-se 
acrescentar, por fim, um terceiro efeito – efeito riqueza - que decorre de que um aumento 
nos juros deprime o valor atual da riqueza, o que reforça o efeito substituição9. 
 
 
9 Os modelos de Ramsey e Diamond, p. ex., consideram que o consumo ou a poupança crescem ou não 
mais rapidamente se os juros aumentarem. Os efeitos (substituição, renda e riqueza) dos juros sobre os 
níveis de consumo e poupança são analisados por Barro & Sala-i-Martin, pp 93-94. Ver também D. 
Romer, pp. 361-365. 
 
 87 
Figura 7.4. Aumento na Taxa de Juros e Efeitos no Consumo num dado momento 
 
 
7.6. Dinâmica do Modelo de Ramsey 
 
 Posto que 
))(´( tkfr 
tem-se em (7.17): 

 gtkf
tc
tc 


))(´(
)(
)( 
 
Sabe-se que 
)).(())(()( tksftkftc 
 No ponto onde k se estabiliza 
)()())(( tkgntksf 
 ignorando a depreciação como faz Ramsey. Nesse ponto, portanto, 
)).()())(())(())(()( tkgntkftksftkftc 
 Conclui-se que no ponto onde ambos c 
e k se estabilizam simultaneamente: 
gnkfc 

*)*('0*
 (7.24) 
já visto modelo de Solow. 
Para maximizar a utilidade intertemporal obedecendo à restrição orçamentária, 
chega-se a: 
gtkfc  



))(('0 (7.25) 
Nota-se que k >k**, face à condição de transversalidade: 
 
 
 
ou 
ggn  
 (7.26) 
 
Sob tal condição resulta que: 
)('*)*('

 kfkf
 
 
0)1(  gn 
 88 
ou seja, vez que o produto marginal é decrescente, o consumo se estabiliza antes que 
atinja o máximo, ou a Golden Rule, como ilustrado na figura 7.5, em que curva marca os 
níveis de consumo no caminho balanceado. Percebe-se que a Golden Rule não é possível 
de ser alcançada. A economia, mesmo assim, vai caminhar para um ponto de 
estabilidade, que atende os princípios de Pareto. Todos os consumidores têm a mesma 
função de utilidade e todos otimizam o uso de recursos maximizando o valor presente do 
consumo intertemporal - isto é, obtendo o maior nível de valor presente de utilidade 
intertemporal possível. 
Lembra-se que no casoda Golden Rule, numa função Cobb Douglas, 
1
1
**






 



gn
k
, o que seria alcançado com uma poupança 
**s
. Já no caso em 
consideração, 
1
1
1
)´(







 



 gkgkkf 
o que seria alcançado com 
g
gn
ts





 )(
)(
 dada em (7.23) 
 
 
 
Figura 7.5. Consumo Máximo e Consumo Estacionário 
0

k
 
 89 
 
No crescimento balanceado com utilidade intertemporal máxima, as variáveis 
renda, poupança e consumo expressos em termos per capita de trabalho efetivo são 
constantes, tal que 
 
 
Dessa forma as variáveis agregadas crescerão todas a taxa constantes dadas por : 
 
 
 
Ademais, a produtividade do trabalho simples crescerá de acordo com: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.7. Taxa natural atrelada à taxa de juros internacional 
 
É comum falar-se em taxa natural de juros ou taxa de equilíbrio para uma 
economia. Em tese seria a taxa real que iguala poupança e investimento sob pleno 
emprego. Num contexto de crescimento corresponderia à produtividade marginal do 
capital em estado estacionário. Muinho e Nakane (2016) estimaram que, com base nesse 
critério, a taxa real de juros no Brasil seria de 15% ao ano em 2000. 
Para Barbosa et al (2016) essa taxa – num modelo de agente representativo - 
dependeria da taxa intertemporal de preferência, da taxa de substituição no consumo e da 
taxa de crescimento da produtividade - modelo de Ramsey, equação (7.21). Segundo 
esses autores, o modelo do agente representativo é apropriado para economias fechadas, 
não sendo adequado para uma economia pequena e aberta, em que a taxa de juros está 
atrelada à taxa do mercado internacional. O Brasil, apesar de não ser uma economia 
)()()( tctyts


gn
S
S
C
C
K
K
Y
Y


g
L
Y
L
Y










 90 
aberta, desde a securitização da dívida externa em 1994, teve essa dívida transformada 
em títulos em dólares emitidos pelo governo que pagam juros correspondentes aos do 
governo americano mais o riscos-país. Por arbitragem, a taxa de juros de títulos públicos 
em reais deve, no longo prazo, ser igual à taxa dos títulos em dólares. Dessa forma, os 
autores avaliam a taxa natural no Brasil como sendo a soma da taxa internacional 
(Federal Funds/EUA ou Libor) mais (a) risco soberano, mais (b) risco cambial. Os 
resultados são apresentados na figura 7.6. Para os autores, a queda de juros no Brasil 
entre 2003 e 2007 se explica pela redução do risco soberano e do câmbio. De 2008 a 
2013, prevaleceu a redução dos juros americanos. A partir de então, os riscos voltaram a 
aumentar – crise fiscal, inflação fora do controle, incerteza quanto à política econômica – 
e taxa real de juros voltou a subir, 
 
 
 
 
Figura 7.6. Taxa real de juros (Selic) e taxas naturais de juros no Brasil com 
base nos Federal Funds (FF-EUA) e Libor 
Obs. Linha cheia mais escura: Selic real; linha pontilhada: com base na libor; 
linha cheia cinza: com base em FF-EUA 
 
 
 91 
7.8. Investimento e Juros 
 
Nesta parte apresenta-se uma análise da decisão de investir, focando na sua 
relação com a taxa de juros. 
Vale lembrar que estudos empíricos não têm apontado para um efeito apreciável 
da taxa real de juros sobre o investimento e, portanto, sobre o crescimento econômico. 
Estudo do Banco Mundial10 mostrou que podem ser observados períodos de altas taxas de 
juros e altas de crescimento e vice-versa. Aparentemente há dois aspectos a considerar ao 
examinar tal relação. Por um lado, países em desenvolvimento podem ter seu crescimento 
algo prejudicado por altas de juros, por serem esses países devedores líquidos. Já em 
países desenvolvidos períodos de altos juros e crescimento (e vice-versa) são mais 
freqüentes, aparentemente prevalecendo o fato de que os juros tendem a ser afetados pela 
maior rentabilidade dos investimentos em períodos de crescimento (e vice-versa). 
Hausmann (2008) levanta duas importantes hipóteses sobre a relação 
investimento e juros no Brasil, especificamente. Por um lado, apresenta evidência de uma 
forte relação inversa entre juros e investimento após o ano 2000. Na figura 7.7, relaciona 
taxa de juros para o tomador e o nível de investimento para um grande grupo de países 
para constatar que, apesar da taxa muito alta de juros, o Brasil tem investimento (% do 
PIB) parecido ao de muitos outros países de taxas de juros muito mais baixas. Isso sugere 
que no Brasil a produtividade do capital é bem mais alta do que na maioria de países. 
Hausmann levanta a hipótese de que talvez o Brasil tenha uma das maiores 
produtividades do capital, se for considerada ainda a elevada carga tributária e o ambiente 
institucional desfavorável ao investimento. Adicionalmente verifica com base na figura 
7.8 que o investimento no Brasil é muito influenciado pela taxa de juros. Ou seja, uma 
queda nos juros pode ajudar significativamente o investimento. Conclui que o Brasil tem 
uma elevada produtividade do capital, mas o juro alto não deixa de ser relevante fator 
inibidor do investimento e do crescimento. 
 
 
10 Shafic, N., J. Jalali. 1991. “Are High Real Interest Rates Bad for World Economic Growth?” Working 
Paper, WPS 669. 
 92 
 
 
Figura 7.7. Taxas de Juros e Investimento Bruto, 2005/2006. Conjunto de Países 
Fonte: Haussman 
 
 
Figura 7.8. Taxa de Juros e Investimento no Brasil, 2000/07 
Fonte: Hausmann 
 
 
 93 
Teoricamente, toma-se o ponto de partida adotado é a formulação usada por D. 
Romer11, num modelo de tempo discreto. O conjunto de firmas decide o quanto investir 
maximizando o valor presente da soma das receitas líquidas (π) presente e futuras, sendo: 
 
tttkttttt LWIpLAKF  ),(
 (7.27) 
 
onde 
)(F
 representa o produto obtido no período avaliado ao preço unitário e constante 
1tP
para todo t. O bem de capital é adquirido em quantidade It ao preço pkt que será 
dado na curva de oferta desse bem, que pode ser positivamente inclinada; assim, um 
aumento em I pode levar a um aumento em pk. O valor presente da soma dos lucros 
periódicos será dado por R, que pode ser interpretado como o valor do conjunto de 
firmas. 
 




n
ot
ttr
R 
)1(
1
 (7.28) 
 
R será maximizado sujeito a uma restrição, usada para definir investimento com a 
variação no estoque de capital. 
 
01  ttt KIK
 (7.29) 
 
Por simplicidade, ignora-se a depreciação. 
Forma-se então a expressão de Lagrange: 
 
})(]),({[
)1(
1
1 




n
ot
tttttttktttt
KIKLWIpLKF
r
L  (7.30) 
 
 
11 Ver D. Romer, pp.391-394. 
 94 
Notar que 
t
pode ser interpretado como o valor para as firmas de um aumento de 
$1 no momento t. As condições de primeira ordem para maximização, relativas a K e I, 
são as seguintes 
0
)1(
][
)1(
1
1
1 








t
t
tktt
t r
F
rK
L 
 (7.31) 
 
0])[(
)1(
1








t
t
kt
tktt
t I
p
Ip
rI
L 
 (7.32) 
 
admitindo-se que o preço do bem de capital varie com o volume comprado (It), conforme 
indicado pela derivada na expressão. 
A partir de (7.31) tem-se 
 
0))(1( 1  ttktFr 
 
ou 
r
r
F tttkt


 
1
)( 1 
 (7.33) 
 
De (7.32) chega-se a 
 
 
t
t
kt
tkt
I
p
Ip 


 )(
 
)
1
1(
k
ktte
p 
 (7.34) 
 
Ou seja, o valor marginal do capital para a empresa é o preço do bem de capital 
pago pelas empresas investidoras, que é dado por 
)
1
1(
k
ktt
e
p 
. Esse preço depende 
da elasticidade de oferta de bens de capital, sendo pkt se 
ke
. Será 
ktp3
 se 
.5,0be
 
0])[( 


 t
t
kt
tkt
I
p
Ip 
 95 
Então de (7.34): 
)
1
1]([ 11
k
ktkttt
e
pp   
 
 
que substitui-se em (7.33): 
 
r
e
pp
e
pr
F k
kttk
k
kt
kt




1
)
1
1]([)]
1
1([ )1(
 
 
resultando que 
r
pprp
e
F
kttkkt
k
kt




1
][
]
1
1[
)1(
 (7.35) 
 
r
p
p
pp
r
e
F
kt
kt
kttk
k
kt





1
][
]
1
1[
)1(
 
 
 
r
pgr
e
F ktkt
k
kt



1
][
]
1
1[
 (7.35´) 
 
Ou seja, o produto marginal do capital é igual custo do uso do capital, dado pelo 
numerador do último termo à direita, que inclui juros (r) menos ganho de capital (
ktg
). 
Lembra-se que a depreciação foi desconsiderada. 
Para verificar o efeito de variação na taxa de juros sobre o capital, deriva-se a 
igualdade em (7.35) em relação a r: 
 
2
1
)1(
)]([)1(
]
1
1[
r
pprprp
er
K
F ktktktkt
kt
t
kkt




 
 
 
 96 
2
1
)1(
]
1
1[
r
p
er
K
F kt
kt
t
kkt



 
 
 
0
)1(
]
1
1[
2
1 



 
rF
p
er
K
kkt
kt
kt
t
 (7.36) 
 
Notar que: 
t
t
t
t
ttt
r
K
r
I
KKI





 1
 
ou seja, o impacto de rt sobre It é igual ao impacto sobre Kt. 
A esses resultados D. Romer adiciona a condição de transversalidade: 
 
 
0
)1(
lim 
 T
T
T r

 (7.37) 
 
segundo a qual não vale a pena manter capital, que representa um custo, para sempre. 
 Deduz-se ainda que o efeito de variação em pk é obtido a partir de: 
r
pprp
e
F
kttkkt
k
kt




1
][
]
1
1[
)1(
 
]
1
1[
1
1
]
1
1[
kkkt
t
kkt
er
r
ep
K
F 




 
 
0
1
1





kk
k
kt
t
F
e
p
K
 (7.37) 
 
 97 
Verifica-se, assim, que uma alta em pk originária do lado da oferta causa uma 
redução no estoque de capital; o efeito é maior quando a oferta de bens de capital for 
menos elástica. 
Posto que 
1

ttt
KKI
, então 
tt dKI 
 e 
 
0
1
1








kk
k
kt
t
k
t
F
e
p
K
p
I
 (7.38) 
 
Esse efeito teria sido captado por Bacha & Bonelli ao explicar o comportamento 
do capital no Brasil a partir dos anos 1970. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Mostrar que a função de utilidade 
 





1
)(
))((
1tC
tCu 
tende para 
)(ln))((lim
1
tCtCu 

. Primeiro, subtraia 
1
1
 da função de utilidade (o que 
não altera seu comportamento); a seguir aplique a Regra de L’Hopital. 
 
2. Ainda com relação à função de utilidade 





1
)(
))((
1tC
tCU
. (a) qual é a taxa marginal 
de substituição entre os consumos em 2 períodos (C(1) e C(2), por exemplo), sabendo-se 
que 
)2(
)1(
2
1
12
P
P
UM
UM
TMS 
 é a condição para otimização; (b) qual é a elasticidade de 
substituição (
12
) entre C1 e C2 sabendo-se que 
]
)2(
)1(
ln[
]
)2(
)1(
ln[
]
)2(
)1(
[
]
)2(
)1(
[
]
)2(
)1(
[
]
)2(
)1(
[
12
P
P
C
C
C
C
P
P
P
P
C
C





 
 
3. Tome a equação de Euler dada em (74’), ou seja, 
 98 



 




)()(
)(
)( trgtr
g
tC
tC 
Considerando as relações possíveis entre 
r
e 

, mostre sob quais condições os 
consumidores prefeririam (a) manter o mesmo nível de consumo todos os períodos, (b) 
aceitariam adiar parte do consumo. Qual é o papel de 

 nessa decisão? Mostre que 

 
mede o efeito do consumo sobre a sua utilidade marginal. 
 
4. Considerando uma função de produção Cobb Douglas 
  1)]()([)()( tLtAtKtY
, 
(a) expresse a propensão a poupar s num estado estacionário qualquer em 
termos de k(t) e dos parâmetros do modelo, 
(b) qual a propensão a poupar necessária para se ter o estado estacionário em 
que se maximiza o consumo por trabalhador efetivo, ou seja, para a 
Golden Rule como no modelo de Solow; 
(c) mostre que a propensão a poupar necessária para se ter o estado 
estacionário em que se maximiza o valor presente da utilidade 
intertemporal, como no modelo de Ramsey, é 
g
gn
ts





)(
)(
 
considerando 
0
 
(d) compare as magnitudes das duas propensões a poupar em (b) e (c) tendo 
em conta a condição de transversalidade. 
(e) avalie as propensões a poupar em (b) e (c) para 
01,0;02,0;5,0;1;05,0  gn . 
5. Um país tem um estoque de capital de K (0) = R$16 trilhões e uma força de 
trabalho de L(0) =100 milhões de pessoas atualmente (momento 0). Então, 
considerando uma função do tipo Cobb Douglas, 
    1)()()()( tLtAtKtY
, com 
5,0
: 
a. Qual o valor de A (0) (capacitação do trabalho) se o PIB total for de R$2,4 
trilhões? Qual a produtividade por trabalhador? 
b. Quais os valores de k e y para t=0? Qual a taxa de juros dessa economia? 
 99 
c. Se 
0;,02,0;012,0;25,0  gns , para quais valores de k* e y* essa 
economia deve convergir, no equilíbrio estacionário? Qual a taxa de juros 
r* nessa situação? 
d. Se houvesse maximização do consumo por trabalhador efetivo, qual 
seriam s**, k** e y** ? E a taxa de juros r**? Quantos períodos se 
passarão para que metade da distância entre k* e k** seja percorrida? 
e. Suponha que a função de utilidade de cada uma das H famílias desse país, 
com vida infinitamente longa, seja 
))(ln())(( tCtCU 
. Valendo-se de sua 
riqueza inicial K(0) e da renda do trabalho remunerado pela produtividade 
marginal deste fator, quais os níveis 
yk,
 para os quais economia 
convergiria se cada família maximizar o valor presente de sua utilidade 
intertemporal. A taxa de desconto da utilidade intertemporal é 
07,0
. 
Qual a taxa de poupança 
s
 e a taxa de juros r nessas condições?