Engenharia Mecânica: Critérios de Avaliação e Projeto de Mancal

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Engenharia Mecânica 
 
PROFESSOR: DR. FELIX E. F. FELFLI 
Critérios de avaliação 
 
 
1. Lei de Petroff 
2. Equação de Reynolds 
3. Projeto de mancais radiais 
O Fenômeno do atrito em um mancal foi primeiramente explicado por 
Petroff, admitindo que a árvore e o mancal fossem concêntricos. 
 
A proposta de Petroff define um grupo de parâmetros adimensionais 
relacionados ao coeficiente de atrito no mancal. 
 
Esta lei é uma indicação muito boa mesmo 
quando a árvore não é concêntrica com o 
mancal. 
Torque para cisalhar o óleo: 
𝑇 = 𝐹. 𝑟 
𝐹 = 𝜏. 𝐴 
𝜏 = 𝜇
𝑣
ℎ
 
Para o eixo, v=2π.r.n e h=c 
(ver fig slide anterior) então: 
𝜏 = 𝜇
2𝜋𝑟𝑛
𝑐
 
Sub. Eq. 4 em 1 e considerando 
Que para o mancal A=2πrl, então: 
𝑇 =
4𝜋2𝑟3𝑙𝜇𝑛
𝑐
 
[1] 
[2] 
[3] 
[4] 
[5] 
Torque para vencer o atrito no mancal: 
𝑇 = 𝑓.𝑊. 𝑟 
𝑊 = 𝑝. 2𝑟𝑙 
Onde p é a pressão média no 
mancal, e 2rl a área projetada. Então: 
𝑇 = 2𝑟2𝑓𝑙𝑝 
[6] 
[7] 
[8] 
Igualando eq. 5 e 8, e isolando f: 
𝑓 = 2𝜋2
𝜇𝑛
𝑝
𝑟
𝑐
 
Lei de Petroff 
Ponto de início da 
proporcionalidade da 
equação de Petroff 
𝑓 = 2𝜋2
𝜇𝑛
𝑝
𝑟
𝑐
 
Operando à direita de AB, aumentando-se a T, viscosidade diminui, diminuindo f, o 
que acarreta menos calor no cisalhamento do lubrificante e, consequentemente, a 
temperatura do lubrificante cai. Assim, as variações são autocorrigidas 
Lubrificação estável 
Atenção ao movimento relativo entre o eixo e o mancal. 
Lubrificação estável 
e
c
 
• A experiência de Tower em 1880 foi a 
primeira constatação do fenômeno. 
• Verificou-se pressões superiores a 
duas vezes o carregamento imposto 
ao mancal. 
• Posteriormente Sir Osborne Reynolds 
escreveu as leis da lubrificação 
hidrodinâmica 
Teoria de lubrificação hidrodinâmica 
Teoria de lubrificação hidrodinâmica 
Baseados nos resultados de Tower 
Reynolds hipotizou os seguintes termos: 
 
– O lubrificante obedece a lei de 
Newton para a viscosidade. 
– As forças de inércia para do 
lubrificante são negligenciáveis. 
– O lubrificante é incompressível . 
– A viscosidade é constante ao longo 
do filme. 
– A pressão não varia ao longo da 
direção axial. 
– Os mancais são considerados muitos 
longos. 
– A distribuição é constante ao longo 
da direção y e varia somente com a 
direção x. 
– A velocidade de cada partícula de 
fluído varia somente nas direções x e 
y. 
 
 
0x
dp d
F pdydz p dx dydz dxdz dy dxdz
dx dy
           
   

Equilibrio de forças 
Equilibrio de forças 
𝑑𝑝
𝑑𝑥
=
𝑑𝜏
𝑑𝑦
 Considerando a lei de Newton: 
𝑑𝑝
𝑑𝑥
= 𝜇
𝑑2𝑢
𝑑𝑦2
 
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 
Equilibrio de forças 
Integrando duas vezes: 
𝑢 =
1
2𝜇
𝑑𝑝
𝑑𝑥
𝑦2 + 𝑐1𝑦 + 𝑐2 
Condições de contorno 
1 2
0, 0 ,
, 0
2
y u y h u U
U h dp
C C
h dx
   
  
Condições de contorno 
 2
1
2
dp U
u y hy y
dx h
  
Considerando a vazão de óleo na película 
3
0 2 12
h Uh h dp
Q udy
dx
  
Considerando o fluido incompressível : 
0
dQ
dx

O que conduz a: 
3
3
0
2 12
6
dQ U dh d h dp
dx dx dx dx
d h dp dh
U
dx dx dx


 
   
 
 
 
 
2
r r N
f
c c P


  
   
   
Equação de Reynolds 
Não existe solução geral para a Equação de Reynolds. O engenheiro A. 
Sommerfel obteve uma das soluções mais importantes: 
Variáveis 
conhecidas: 
•Carregamento por unidade de área projetada do mancal, 
•Rotação, 
•Dimensões do mancal 
Variáveis 
decorrentes das 
anteriores: 
•Coefeiciente de atrito, 
•A variação de temperatura 
•Vazão de lubrificante, 
•Espessura mínima do filme de óleo, h0 
•Viscosidade do óleo 
PROCEDIMENTO DE PROJETO 
1. Baseia-se no número de sommerfeld: 
 
𝑆 =
𝑟
𝑐
2 𝜇𝑛
𝑝
 
 0u 
𝑆 =
1
𝜓
2
𝜇𝑛
𝑝
 
 
Onde : 
- ψ é a folga relativa (c/r) 
- r raio do eixo 
- c folga radial 
- n revoluções por segundo 
- P pressão média no mancal Pa 
- μ viscosidade dinâmica Pa.s 
 
2. Define a folga relativa como: 
𝜓 =
𝐷 − 𝑑
𝑑
=
𝑐
𝑟
 
𝑐 =
𝐷 − 𝑑
2
 
Valores recomendados de ψ: 
Material do mancal ψ 
Metal Branco 0,5 E-3 até E-3 
Bronze ao chumbo E-3 até 1,5E-3 
Bronze ao estanho Acima de 1,6E-3 
Bronze vermelho Acima de 1,6E-3 
 
Liga de AL 2E-3 até 3E-3 
 
PROCEDIMENTO DE PROJETO 
3. Define a pressão como: 
𝑝 = 𝐹𝑟/2𝑟𝑙 
 
Onde : 
- Fr força radial no mancal N 
- r raio do eixo mm 
- L comprimento do eixo mm 
 
4. Define a espessura mínima do filme ho uma função de: 
- Rugosidade das superfícies do munhão e do mancal: 
𝑅𝑎 ≤ ℎ𝑜 ≤ 10𝑅𝑎 
𝑅𝑎 = 𝑅𝑒2 + 𝑅𝑚2 
Onde Re e Rm rugosidades médias do eixo e do mancal respectivamente 
 
PROCEDIMENTO DE PROJETO 
5. Define a relação L/d como função do par de atrito (eixo/mancal): 
 
Aplicação Material eixo/mancal l/d 
Transmissões Aço/FoFo 
Aço/Metal Branco 
Aço/Resina 
1-2 
Máquinas de 
levantamento 
Aço/FoFo 
Aço/Bronze vermelho 
0,8-1,8 
Máquinas operatrizes Aço/Bronze 
Aço/FoFo 
1,2-2 
Motor de automóvel Aço/Metal Branco 
Aço/Bronze ao chumbo 
0,5-0,6 
Motor diesel - 0,45-0,9 
PROCEDIMENTO DE PROJETO 
6. Define a Potência dissipada no mancal como: 
 
𝑁𝑑𝑖𝑠 = 2𝜋𝑇𝑛 
 
Onde: T- Torque Nm e n as revoluções por segundos 
 
𝑇 = 𝑓. 𝐹𝑟. 𝑟 
 
 
7. Define a temperatura média do óleo como: 
𝑇𝑚 =
𝑇𝐸 + 𝑇𝑆
2
= 𝑇𝐸 +
Δ𝑇
2
 
Onde: TE-Temperatura de entrada do óleo, TS temperatura de saída, ΔT 
variação de temperatura. Sendo: 
Δ𝑇 =
𝑇𝑣𝑎𝑟𝑃
𝛾𝐶𝑝
 
Onde Tvar – aumento de temperatura, p pressão no mancal, γ densidade 
do óleo, Cp calor especifico do óleo .