Trabalho, Energia e Potência

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Prof. Jorge Kennety
1
Introdução
Associamos a palavra trabalho à idéia do trabalho
realizado pelas pessoas.
Significado físico:
Trabalho, W, corresponde à energia transferida 
de ou para um objeto por acção de uma força 
sobre esse objeto.
2
3
x 
ix fx
W depende diretamente da intensidade da força 
aplicada
W depende diretamente do espaço percorrido
Trabalho de uma força constante
Trabalho de uma força constante
Considere a figura abaixo:
O trabalho realizado por uma força constante F sobre um corpo enquanto ele se 
desloca em linha reta é dado por:
w = F. Δx=F. Δx cos θ
F vetor força (N = Newton)
Δx  vetor deslocamento (m = metro)
w  vetor trabalho da força ( J=Joule )
Unidade: J(Joule)=N.m
Δx
A B
4
θ
Sobre a inclinação da força aplicada no corpo, podemos
concluir que o trabalho será:
i) Se θ=0 => w=F. Δx cos 0= F. Δx (mesma direção)
ii) Se θ=90 graus =>w=F. Δx cos 90= 0 (perpendicular)
iii) Se θ=180 => w=F. Δx cos 180= -F. Δx
Observação 1:
Quando o corpo desloca-se sobre a ação de várias forças
Fi , i=1,2,3,...,n , o trabalho liquido realizado será dado
por:
Wliq=W1 +W2 +W3+....+Wn =Σ Fi .Δx 
5
Observação 2: 
Se a velocidade com que este corpo se desloca for
constante o que podemos afirmar sobre o trabalho
realizado?
v constante=> a=0=> Fr=0=> w=0
w = F.d  700 = 300. d  d = 700/300
d= 2,33 m
Exemplo 01. Uma força de 300 N realiza um trabalho de 700 J, no
deslocamento de um objeto na mesma direção e sentido do
deslocamento. Calcule o valor desse deslocamento.
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Exemplo 02. Um bloco de massa m desliza sobre uma rampa fazendo
um deslocamento d cuja componente vertical é h, como mostra a figura
abaixo. O Coeficiente de atrito cinético entre a rampa e o bloco vale μc.
Fn
mg
Fat
d
θ
a) Calcule o trabalho
realizado pelas forças que
atuam no sistema ao lado.
b) Calcule o trabalho liquido
realizado.
Solução:
7
h
A
B
d
Observação 3:
O trabalho realizado por uma força constante sobre um
corpo que se move entre duas posições não depende da
trajetória seguida.
O que podemos afirmar sobre a força de atrito considerada
no exemplo anterior em relação a sua trajetória?
Exemplo 03. Um corpo de massa m desliza sobre um montanha russa
como mostra figura. Calcule o trabalho realizado sobre o corpo pela força
da gravidade entre os pontos A e B de sua trajetória.
Trabalho de uma força variável
Movimento em uma dimensão
Consideremos o caso particular em que tanto o movimento como a força 
tenham direções constantes, i (direção vetorial de x). 
x
F(x)
F(x)
A curva ao lado 
representa o 
movimento da 
partícula
x1 x2xi
Fi(x)
Δx
9
O trabalho realizado quando a partícula se desloca da posição x1 até a 
posição x2 será:
w  Fi. Δxi
Isto é, quando Δxi->0, temos 
Exemplo 04. Calcule o trabalho realizado pela força descrita pela função
F(x)=3 x2+5 x4; sobre a partícula enquanto ela se desloca entre os pontos
x1 e x2. Onde:
a) x1= 2 m e x2= 3m b) x1= 1m e x2= 2m
10
 


2
1
2
1
cos.
x
x
x
x
BA dxFxdFW 

Princípio do Trabalho e Energia
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A relação entre o trabalho líquido realizado sobre uma partícula e a
velocidade escalar delas é dada por:
A
F

B
sd

 
B
A
B
A
BA dsmasdFW

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O trabalho total realizado por todas as forças que atuam 
na partícula é igual à variação de energia cinética do 
objeto.
CAcinéticaBcinética
total
BA EEEW  ,,
Energia é uma grandeza escalar associada ao estado de um 
objeto ou um sistema de objetos
  
B
A
B
A
B
A
B
A
BA dvvmdv
dt
ds
mds
dt
dv
mdsmaW
222
2
1
2
1
2
1
AB
v
v
BA mvmvmvW
B
A







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Exemplo 5: Um carro cuja massa vale 1200kg, viaja inicialmente a 30
m/s em pista plana quando o motorista freia fortemente. A força de
atrito dos pneus com o piso vale 7200N. Calcule o deslocamento d do
carro durante a freada.
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Potência
Sabemos que potência sempre indica taxa temporal de alguma troca
de energia. A potência realizada por uma força é dada por definição:
Unidade: Watt=J/s ou 1 cv= 735,5 W ou 1 HP=746,6 W
 Potência média
 Potência instantânea
 W)(Watts, 
t
W
Pmed


dt
dW
P  vF
dt
dx
F
dt
dxF 
  cos.cos
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Exemplo 6: Calcule a potência gasta em um elevador, que
juntamente com sua carga tem massa de 800 kg, quando ele sobre a
uma velocidade de 4m/s.
Exemplo 5: Um carro cuja massa vale 1200kg, viaja inicialmente a 20
m/s em pista plana. A força de atrito de tem intensidade Fro=200N e a
força da resistência do ar, Fra =300N. Calcule a potência transmitida
pelo motor as rodas.
Potência traduz a energia transferida (trabalho) por 
unidade de tempo
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Energia Potencial
Sabemos que o trabalho realizado por uma força constante sobre um 
corpo independe de trajetória a ser seguida.
A
BC1
C2
Então
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Força conservativa: É a força que realiza trabalho nulo, em um
corpo que atua, durante um circuito fechado.
Ex: Força gravitacional, força elástica.
Força não conservativa: É a força que não realiza trabalho nulo,
em um corpo que atua, durante um circuito fechado.
Ex: pressão de radiação, força normal, força de arrasto.
Devido a invariância do trabalho com relação a trajetória,
definimos energia potencial:
A energia potencial, U(r), de uma partícula no ponto r, sujeito a
uma força conservativa F, é o trabalho realizado por está força
quando a partícula se desloca do ponto r até um ponto de
referência P.
𝑈𝑝 −𝑈𝑟 =𝑊𝑝→𝑟 = −𝑊𝑟→𝑝 
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Energia potencial é o
potencial para se realizar
um trabalho
Energia potencial é um
tipo de trabalho disponível
Energia Potencial Gravitacional
cos)( mgdWdU peso 
gF

d
iv

0fv

0h
fh
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•Vimos, no exemplo 3, que o trabalho realizado pelo peso do corpo 
depende apenas das suas posições inicial e final (não depende do 
percurso) – Força Conservativa
ho
situação inicial:
hf
situação final:
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Vejamos,
5m
8m
A
B
Massa=6 kg
g=10m/s2
Qual é a energia potencial para levar o corpo de A até B em relação ao 
ponto R?
Ponto R
Qual é a energia potencial para levar o corpo de A até B em relação ao 
Solo?
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Energia Potencial Elástica
Força elástica
Constante 
elástica da mola
Deslocamento em relação à 
posição de equilíbrio
xkFe

 .
Lei de Hooke
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Trabalho realizado pela força elástica
Trabalho só depende da posição inicial e final – Força
Conservativa
Trabalho só depende da posição inicial e final – Força
Conservativa
 
f
i
f
i
f
i
x
x
x
x
x
x
ee dxxkdxkxdxFW ...
  











 222
2
1
2
1
2
1
if
x
xe kxkxxkW
f
i






 22
2
1
2
1
ife kxkxW PeU
Conservação de energia mecânica
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Considere a figura abaixo:
gF

h
0iv

Sabemos que v=v0+at
Para queda livre onde vi=0, temos:
v=-gt=>t=-v/g (1)
E x=x0+v0 .t+1/2 a t
2
Logo x=h-(1/2) g t2 (2)
Subst. equação (1) em (2):
x=h-(1/2) (v2/g) (3)
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Multiplicando a eq. (3) por mg, obtemos:
mgx=mgh-(1/2)m v2 (4)
Reescrevendo a equação (4):
m.g.h=m.g.x(t)+(1/2).m .v2(t)=>
Obtemos
m.g.h=U(t)+K(t)=Constante=EM(energia mecânica)
A soma da energia cinética (K) com a energia potencial(U) 
permanece constante durante a trajetória do corpo.
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Geometricamente,
Energia
tempoK(t)
U(t)
mgh
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Sabendo que
KKKW ABBA 
UUUW BABA 
Então,
teCosnUKUK
KKUU
BBAA
ABBA
tan

Que é a lei da conservação de emergia mecânica para forças
conservativas
Variação de energia cinética
Variação de energia potencial
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Exemplo: Um bloco de massa 6 kg é abandonado como 
mostra figura abaixo: O bloco passa por A com va=4m/s. 
Calcule a velocidade no ponto B.
0,6m
B
A
va
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Estabilidade do equilíbrio
Considere o caso de um sistema mecânico onde o movimento
é acompanhado por mudanças nas energia potenciais
gravitacional e elástica e onde nenhum trabalho e realizado
sobre o sistema por forças não-conservativas.
Seja Ut energia total do sistema onde:
get UUU 
Ue =1/2 k x
2 -> energia potencial elática;
Ug =mgh-> energia potencial gravitacional;
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A condição para que a configuração de equilíbrio de um
sistema mecânico ocorra é que a a energia potencial total, Ut,
seja estacionária:
0
)(



dx
UUd
dx
dU get
Obs: Para sistema com diversos graus de liberdade, devemos
usar derivadas parciais.
As condições para que a estabilidade ocorra é:
0
2
2

dx
Ud t
0
2
2

dx
Ud t
Equilíbrio estável
Equilíbrio instável
30
Exemplo: O cilindro de 10 kg está suspenso pela mola, que tem
rigidez de 2 kN/m. Plote a energia potencial U do sistema e
mostre que ela é mínima na posição de equilíbrio.
x=0
mgkx
dx
dU t 
mgxkxUUU get 
2
2
1
x
Solução: Sabemos que a energia total potencial do 
sistema é:
A variação(derivada) desta energia será: 
k
mg
xmgkx
dx
dU t  00
A condição de equilíbrio ocorre quando
31
m
k
mg
x 049,0
2000
)81,910(

x
Substituindo os valores para cada variável do problema, 
temos:
Substituindo x na equação da energia potencial total, 
temos:
J 406,2049,0.81,9.10)049,0.(2000
2
1 2 tU
Esta energia é mínima ou máxima?????
mola) da constante a é k :se-(lembre , 0
2
2
 k
dx
Ud t
Note que a derivada segunda da energia total é:
Logo o ponto de equilíbrio x=0,049m é estável.
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graficamente,
Fig- Gráfico da energia potencial total
Comando para plotar o gráfico no mathematica:
k=2000; g=9.81; m=10;
Plot[(1/2) k x^2- m g x,{x,-0.05,0.15},AxesLabel®{"x","Ut"},ColorFunction®"DarkRainbow",PlotStyle®Directive[Red,Thick]]
Energia mínima em 0,049
33
Exemplo 2: Os dois conectores uniformes, cada um com
massa m, estão no plano vertical, conectados e tem seu
movimento restrito como mostrado. Conforme o ângulo θ
entre os conectores aumenta com a aplicação da força
horizontal p, a barra leve, que está presa em A e passa por
um anel articulado em B, comprime a mola com rigidez k.
Se a mola está sem compressão na posição θ =0, determine
a força p que produzirá no ângulo θ .
pC
b
b
b
b
O
k
A
B
Ug=0
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Exercício: As extremidades da barra uniforme de massa m
deslizam livremente nos guias horizontal e vertical.
Examine as condições de estabilidade para as posições de
equilíbrio. A mola com rigidez k está sem deformação
quando x=0. (resposta: Se k > mg/2b -> estável / Se k <mg/2b -> instável ).
k
y
x
x
b
θ