Lista 12 - CDS - Adilson Presoto

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lista de exerc´ıcios
se´ries
Adilson E. Presoto
O texto base para a lista e´ a Sec¸a˜o 2 do Cap´ıtulo 11 da refereˆncia [1]
1. Calcule a soma das se´ries abaixo
a)
∞∑
k=0
(
1
2
)k
b)
∞∑
k=1
kαk, 0 < α < 1 c)
∞∑
k=0
1
(4k + 1)(4k + 5)
d)
∞∑
k=1
[1 + (−1)k]
e)
∞∑
k=1
2k + 1
k2(k + 1)2
f)
∞∑
k=0
1
(4k + 1)(4k + 3)
g)
∞∑
k=1
1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
h)
∞∑
k=1
e−k
i)
∞∑
k=1
9−k4k+1 j)
∞∑
k=1
1
2k(2k − 1)
2. Expresse o nu´mero como uma raza˜o de inteiros
(a) 0, 2 = 0, 2222 · · ·
(b) 3, 417 = 3, 417417 · · ·
3. Seja
∑∞
k=1 ak convergente, ak 6= 0,∀k ∈ N. Prove que
∑
k=1
1
ak
e´ divergente.
4. Se
∑∞
k=1 ak for convergente e
∑∞
k=1 bk divergente, prove que
∑∞
k=0(ak + bk) sera´ divergente.
5. Se a ene´sima soma parcial de uma se´rie
∑∞
k=1 ak for
sn =
n− 1
n+ 1
encontre ak e
∑∞
k=1 ak.
6. Qual e´ o valor de c se
∞∑
k=1
(1 + c)−k = 2?
7. Suponha que a func¸a˜o f : [0,∞)→ R seja cont´ınua, decrescente e positiva. Suponha, ainda, que a se´rie
∞∑
k=0
f(k) seja convergente e tenha soma s. Prove que
n∑
k=0
f(k) e´ um valor aproximado por falta de s,
com erro, em mo´dulo inferior a
∫ ∞
n
f(x)dx.
8. Calcule a soma da se´rie
∑∞
k=1
1
k5 com precisa˜o de treˆs casas decimais.
9. Quando o dinheiro e´ gasto em produtos e servic¸os, aqueles que recebem o dinheiro tambe´m gastam uma
parte deles. As pessoas que recebem parte do dinheiro gasto duas vezes gastara˜o uma parte, e assim por
diante. Os economistas chamam essa reac¸a˜o em cadeia de efeito multiplicador. Em uma comunidade
hipote´tica isolada, o governo local comec¸a o processo gastanto R$ D. Suponha que cada pessoa que
recebe o dinheiro gasto gasta 100c% e economiza 100s% do dinheiro que recebeu. Os valores de c e s sa˜o
chamados de propensa˜o marginal a consumir e propensa˜o marginal a economizar e, e´ claro, c+ s = 1.
(a) Seja Sn o gasto total que foi gerado depois de n transac¸o˜es. Encontre uma equac¸a˜o para S.
1
(b) Mostre que limn→∞ Sn = kD, onde k = 1/s. O nu´mero k e´ chamado de multiplicador. Qual e´ o
multiplicador se a propensa˜o marginal para consumir for 80%.
O governo federal usa esse princ´ıpio para justificar o de´ficit. Os bancos usam esse princ´ıpio para justificar
o empre´stimo de uma grande porcentagem do dinheiro que eles recebem em depo´sitos.
10. O conjunto de Cantor, em homenagem ao matema´tico alema˜o Georg Cantor (1845–1918), e´ constru´ıdo
como a seguir. Comec¸amos com o intervalo fechado [0, 1] e removemos o intervalo aberto
(
1
3 ,
2
3
)
. Isso
nos leva a dois intervalos,
[
0, 13
]
e
[
2
3 , 1
]
. Dividimos novamente cada intervalo em treˆs e removemos cada
intermedia´rio aberto. Quatro intervalos permanecem, e novamente repetimos o processo. Continuamos
esse procedimento indefinidamente. O conjunto de Cantor consiste nos nu´meros que permanecem em
[0, 1] depois de todos os intervalos terem sido removidos.
(a) Mostre que o comprimento total de todos os intervalos que foram removidos e´ 1. Apesar disso,
o conjunto de Cantor conte´m infinitos nu´meros. Deˆ exemplos de alguns nu´meros no conjunto de
Cantor.
(b) O carpete de Sierpinski e´ o correspondente bidimensional ao conjunto de Cantor. Ele e´ consttu´ıdo
pela remoc¸a˜o do nono subquadrado central de um quadrado de lado 1 dividido em 9 subquadrados.
A etapa seguinte consiste em remover os subquadrados centrais dos oito quadrados menores que
permaneceram e assim por diante. Mostre que a soma das a´reas dos quadrados removidos e´ 1. Isso
implica que o carpete de Sierpinski tem a´rea 0.
Obs.: A lista acima e´ o mı´nimo exigido, realizando de outras bibliografias usadas a fim de complementa´-la.
Refereˆncias
[1] Stewart, J., Ca´lculo vol. 2, 5a edic¸a˜o, Cengage Learning, Sa˜o Paulo, 2009.
[2] Guidorizzi, L.H., Um curso de ca´lculo vol. 4, 5aedic¸a˜o, LTC, Rio de Janeiro, 2012.
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