Condução Unidimensional

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TCM – Exercícios Recomendados, Condução Unidimensional 
 
 
1 
 
TCM – Exercícios Recomendados 
Condução Unidimensional 
Problema 1 (Cengel 2.58) – Considere um bastão sólido de formato cilíndrico, comprimento de 
15cm, e diâmetro de 50mm. As superfícies superior e inferior do bastão são mantidas a 
temperaturas constantes de 20
o
C e 95
o
C, respectivamente, enquanto a superfície lateral é 
perfeitamente isolada. Determine a potência térmica transmitida através do bastão caso ele seja 
feito de: a) cobre, k=380 W/m.
o
C; b) aço, k=18 W/m.
o
C e c) granito, k=1.2 W/m.
o
C. 
373.1 W, 17.7 W, 1.2 W 
Problema 2 (Cengel 2.66) – Considere uma extensa parede plana de espessura 30cm, k=2,5 W/m.
o
C 
e área da superfície de 12m
2
. O lado esquerdo da parede está sujeito a um fluxo de calor de 700 
W/m2 e a sua temperatura é de 80
o
C. Assumindo condutividade térmica constante e que não há 
geração de calor na parede: 
a) Expresse a equação diferencial e as condições fronteira para a condução unidimensional 
permanente através da parede. 
b) Obtenha a expressão da distribuição de temperatura ao longo da espessura da placa. 
c) Determine a temperatura na superfície direita da placa. 
 
-4
o
C 
Problema 3 (Cengel Exemplo 2.16) – Considere um contentor esférico de raio interno 8cm, raio 
externo de 10 cm e condutividade térmica k=45 W/m.
o
C. As superfícies interna e externa do 
contentor são mantidas a temperaturas constantes de 200
o
C e 80
o
C, respectivamente, como 
resultado de algumas reacções químicas que ocorrem no interior do contentor. 
a) Determine a potência térmica trocada pela parede do contentor. 
b) Determine o fluxo de calor nas superfícies interior e exterior e comente. 
27.1 kW 
 
 
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2 
 
Problema 4 – Considere uma parede simples com a seguinte 
constituição: 
1) Reboco exterior de 0.015 m e k=1.30 W/(m.
o
C) 
2) Placa de poliestireno expandido moldado (EPS) com 0.03 m e 
k=0.042 W/(m.
o
C) 
3) Pano de betão com 0.2 m e k=2 W/(m.
o
C) 
4) Revestimento interior de 0.025 m e k= 1.40 W/(m.
o
C) 
 
a) Represente o análogo eléctrico da solução construtiva e calcule os valores R (m
2
.
o
C/W) 
de cada camada. 
b) Determine o coeficiente global de transmissão de calor da parede, U (W/(m
2
.
o
C). 
c) Admitindo uma temperatura na superfície interior de 20
o
C e uma temperatura na 
superfície exterior de -5
o
C determine a potência térmica trocada pela parede (A = 50 
m
2
). 
d) Nas condições da alínea anterior, determine a temperatura na interface entre o 
isolamento térmico (placa de poliestireno) e o pano de betão. 
0.0115, 0.7143, 0.10, 0.0179 m2.C/W 
1.19 W/m2.oC 
16.5oC 
 
 
Problema 5 - Uma tubagem de vapor, de 10 m de comprimento, cujos diâmetros são de 
140/150 mm, está revestida com uma capa isoladora com uma espessura de 50 mm. Os 
coeficientes de condutividade térmica da parede do tubo e da capa isoladora são 
respectivamente kt = 40 W/(m.
o
C) e ki = 10 W/(m.
o
C). A temperatura na superfície interior 
da conduta do vapor é de Ti = 400
o
C e a temperatura na superfície exterior do isolamento é 
de To = 30
o
C. 
a) Desenhe o análogo eléctrico respectivo e calcule as resistências térmicas em causa. 
b) A potência térmica trocada. 
c) A temperatura na superfície de contacto entre a conduta de vapor e a capa 
isoladora. 
d) No sentido de reduzir a potência térmica trocada para metade, determine qual a 
condutibilidade do material de isolamento a utilizar (mantendo a actual espessura). 
440kW 
388oC 
Problema 6 - Considere num edifício uma janela com uma área total de 20 m
2
. 25% desta 
área corresponde a caixilharia, U=10W/(m
2
.
o
C), e 75% a vidro, U=2W/(m
2
.
o
C). Considere um 
coeficiente de convecção exterior de hext=25 W/(m
2
.
o
C) e um coeficiente de convecção 
interior de hint=8 W/(m
2
.
o
C). 
 
a) Determine o coeficiente global de transmissão térmica da janela (incluindo 
convecções interior e exterior) . 
b) Se a temperatura interior for de 20
o
C e a exterior de -5
o
C, determine a potência 
térmica trocada na janela. 
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3 
 
c) A potência calculada na questão interior constitui uma perda térmica no edifício que 
necessita ser compensada por um aquecedor. Se essa potência for constante 
durante 300 horas no Inverno, determine a energia que esse aquecedor teria de 
fornecer (em kWh e em unidades SI). 
2.4 W/(m
2
.
o
C) 1205 W 361 kWh 1,3x10
9
 J 
 
Problema 7 - Considere a seguinte solução corrente de parede dupla com alvenarias de 
tijolo de 11 cm e isolante térmico preenchendo parcialmente a caixa de ar (descrevendo as 
várias camadas do interior para o exterior: 
• Valor da Resistência térmica superficial interior (convecção interior): 0.13 (m
2
.
o
C)/W 
• Revestimento interior da parede em aglomerado de cortiça com 5mm e k=0.065 
W/(m.
o
C) 
• Valor da Resistência térmica de cada pano de tijolo 11: 0.27 (m
2
.
o
C)/W 
• Valor da Resistência térmica da caixa-de-ar: 0.15 (m
2
.
o
C)/W 
• Placa de poliestireno expandido moldado (EPS) com 4 cm e k=0.042 W/(m.
o
C) 
• Revestimento exterior da parede com 15 mm de argamassa com k= 1.4 W/(m.
o
C) 
• Valor da Resistência térmica superficial exterior (convecção exterior): 0.04 (m
2
.
o
C)/W 
a) Represente o análogo eléctrico da solução construtiva. 
b) Determine o coeficiente global de transmissão de calor U (W/(m
2
.
o
C). 
c) Admitindo uma temperatura interior de 20
o
C e uma temperatura exterior de -5
o
C 
determine a potência térmica trocada pela parede (A = 20 m
2
). 
 
Problema 8 - Calcule o coeficiente global de transmissão de calor referido ao raio interior de 
um tubo com 5 m de comprimento, com uma condutibilidade térmica de 16 W/(m
o
.C), uma 
espessura de 1mm e um diâmetro interior de 3cm. No interior do tubo circula água a 50
o
C, 
correspondente a um coeficiente de convecção de 3500 W/(m
2
.
o
C). O tubo está exposto ao 
ar a 20
o
C (h=8 W/m
2
.
o
C). Calcule igualmente a potência térmica trocada. 
 
Problema 9 (Çengel exemplo 3.8) – Vapor a 320
o
C escoa no interior de um tubo de ferro 
fundido (k= 80 W/(m.
o
C)), cujos diâmetros internos e externo são Di = 5cm e De=5,5 cm, 
respectivamente. O tubo tem um isolamento em lã de vidro (k=0,05 W/(m.
o
C)) de 3cm de 
espessura. O calor é perdido para o meio exterior que se encontra a 5
o
C (hext= 18 
W/(m
2
.
o
C)). Sendo o coeficiente de convecção interior de hint = 60 W/(m
2
.
o
C), determine a 
potência térmica perdida pelo tubo, por unidade de comprimento. Determine também as 
quedas de temperatura no tubo e no isolamento. 
121 kW/m 0,02
o
C 284
o
C 
 
TCM – Exercícios Recomendados, C
 
 
 
Problema 10 (Çengel exercício 3.87)
isolamento é menor do que o raio crítico. Agora, o isolamento é retirado. A potência térmica 
perdida pelo tubo aumenta ou diminui
Problema 11 (Çengel exercício 3.91
o raio crítico de isolamento maior em dias calmos ou em dias ventosos.
Problema 12 - Numa placa plana com 4
de 20 W/(m.
o
C) gera-se calor
da placa é mantido a 60
o
C e o outro a 50
a) Deduza e expressão que descreve a distribuição de temperatura na placa.
b) A temperatura máxima que ocorre na placa e a distância a que ocorre da face mais 
quente. 
c) O fluxo de calor por unidade de área em cada uma das faces, bem como o seu 
sentido. 
d) Admitindo que cada uma das faces troca calor por convecção com um ambiente a
20ºC, determine os coeficientes deconvecção que se verificam em cada uma das 
faces. 
 
Problema 13 - Considere uma placa de bronze (k = 111 W/mºC) com 5cm de espessura onde 
existe uma geração de calor uniforme de 200 kW/m
outra está sujeita a um ambiente a 25
a) Determine onde ocorrem as temperaturas máximas e mínimas na placa e determine 
os seus valores. 
b) Determine o fluxo de calor (por unidade de área) na superfície exposta à conve
Resposta a) 254.5 e 252.3 
o
C 
 
Problema 14 
planas, com a mesma espessura (10cm) e do mesmo material (k = 22 
W/m.
o
C).
 
Na placa B existe geração uniforme de calor no valor de 35 kW/m
Nas placas A
A face esquerda da placa A está isolada termicamente.
Na face direita da placa C troca
(Tamb= 20
 
a) 
cada uma das placas.
Exercícios Recomendados, Condução Unidimensional 
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ngel exercício 3.87) – Um tubo é isolado de tal forma que o raio externo do 
isolamento é menor do que o raio crítico. Agora, o isolamento é retirado. A potência térmica 
perdida pelo tubo aumenta ou diminui para a mesma temperatura superficial do tubo?
Çengel exercício 3.91) – Considere um tubo isolado exposto à atmosfera. Será 
o raio crítico de isolamento maior em dias calmos ou em dias ventosos. 
Numa placa plana com 4 cm de espessura e com uma condutividade térmica 
se calor uniformemente com uma taxa de 700 kW/m
C e o outro a 50
o
C. 
expressão que descreve a distribuição de temperatura na placa.
temperatura máxima que ocorre na placa e a distância a que ocorre da face mais 
O fluxo de calor por unidade de área em cada uma das faces, bem como o seu 
Admitindo que cada uma das faces troca calor por convecção com um ambiente a
termine os coeficientes de convecção que se verificam em cada uma das 
Considere uma placa de bronze (k = 111 W/mºC) com 5cm de espessura onde 
existe uma geração de calor uniforme de 200 kW/m
3
. Uma face da placa está isolada e a 
está sujeita a um ambiente a 25
o
C com um coeficiente de convecção de 44 W/m
Determine onde ocorrem as temperaturas máximas e mínimas na placa e determine 
Determine o fluxo de calor (por unidade de área) na superfície exposta à conve
 
Problema 14 - Considere uma parede constituída por três placas 
planas, com a mesma espessura (10cm) e do mesmo material (k = 22 
C). 
Na placa B existe geração uniforme de calor no valor de 35 kW/m
Nas placas A e C não existe geração de calor. 
A face esquerda da placa A está isolada termicamente.
Na face direita da placa C troca-se calor convecção com o ambiente 
= 20
o
C), verificando-se um h=40W/(m
2
.
o
C). 
 Determine as expressões de distribuição de temperatur
cada uma das placas. 
ondução Unidimensional 
Um tubo é isolado de tal forma que o raio externo do 
isolamento é menor do que o raio crítico. Agora, o isolamento é retirado. A potência térmica 
para a mesma temperatura superficial do tubo? 
diminui 
Considere um tubo isolado exposto à atmosfera. Será 
diminui 
cm de espessura e com uma condutividade térmica 
00 kW/m
3
. Um dos lados 
expressão que descreve a distribuição de temperatura na placa. 
temperatura máxima que ocorre na placa e a distância a que ocorre da face mais 
O fluxo de calor por unidade de área em cada uma das faces, bem como o seu 
Admitindo que cada uma das faces troca calor por convecção com um ambiente a 
termine os coeficientes de convecção que se verificam em cada uma das 
Considere uma placa de bronze (k = 111 W/mºC) com 5cm de espessura onde 
. Uma face da placa está isolada e a 
C com um coeficiente de convecção de 44 W/m
2
.
o
C. 
Determine onde ocorrem as temperaturas máximas e mínimas na placa e determine 
Determine o fluxo de calor (por unidade de área) na superfície exposta à convecção. 
Considere uma parede constituída por três placas 
planas, com a mesma espessura (10cm) e do mesmo material (k = 22 
Na placa B existe geração uniforme de calor no valor de 35 kW/m
3
. 
A face esquerda da placa A está isolada termicamente. 
se calor convecção com o ambiente 
Determine as expressões de distribuição de temperaturas em 
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5 
 
b) Determine as temperaturas nas faces esquerdas das placas A, B e C, bem como na 
face direita da placa C. 
c) Determine a temperatura máxima na parede e a sua posição. 
d) Desenhe o perfil de temperaturas na parede. 
e) Identifique os fluxos de calor (e o respectivo sentido) na face esquerda da placa A e 
na face direita da placa C. 
131,4
o
C 107,5
o
C 3,5 kW/m2 
 
Problema 15 - A dissipação de calor na fonte de alimentação (considerando com a forma de 
um cubo) de um microcomputador é de 300 W. Sabendo-se que a temperatura de trabalho 
é muito elevada, pretende-se reduzi-la utilizando cinco alhetas iguais, uma em cada face 
exposta (a restante face é apoiada na base e pode ser considerada isolada). 
a) Determine a temperatura da superfície da fonte sem as alhetas. 
b) Determine a temperatura da superfície da fonte com as alhetas. 
c) Determine a temperatura da alheta a 20cm da superfície da fonte de alimentação. 
d) Determine a eficiência da alheta. 
e) Determine a eficácia da alheta. 
Tenha em conta os seguintes dados: 
• Espessura da alheta, t=0,01 m; 
• Comprimento da alheta, L=0,40m; 
• Largura da alheta, w=0,15 m; 
• Material da alheta: cobre (k = 400 W/mK) 
• Dimensões da fonte de alimentação: cubo de lado 0,15m; 
• O material utilizado na fonte é tal que ela pode ser considerada de temperatura 
uniforme em qualquer uma das situações; 
• Coeficente de convecção: h = 50 W/m
2
K 
• Temperatura ambiente: 30
o
C 
 b 44,8oC 
Problema 16 - Uma longa barra de aço inoxidável (k = 16 W/m ºC) com uma secção 
quadrada de 12,5 x 12,5 mm tem uma das suas extremidades à temperatura de 250 ºC. O 
coeficiente de transferência de calor é de h = 40 W/m
2 
ºC e a temperatura ambiente de 90 
ºC. Calcule a taxa de transferência de calor libertada pela alheta. 
R: 11,3 W 
 
Problema 17 - Um cilindro de aço inoxidável com 1,6 mm de diâmetro (k = 22 W/m.
o
C) 
emerge de uma parede a 49 
o
C, num ambiente à temperatura de 25 
o
C. O cilindro tem um 
12,5 mm de comprimento e o coeficiente de convecção é de h = 570 de W/m
2
.
o
C. 
a) Calcule a temperatura na outra extremidade do cilindro. 
b) Repita os cálculos para h = 200 W/m
2
.
o
C e h=1200 W/m
2
.
o
C. 
c) Repita os cálculos a) e b) para uma distância a 7 mm da parede. 
d) Determine o fluxo de calor dissipado pela alheta nas três situações de convecção. 
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6 
 
R: a) 26,7 
o
C, b) 31,7 
o
C e 25,4 
o
C 
 
Problema 18 - Considere a dissipação de calor conseguida através de uma alheta de secção 
transversal triangular (comprimento L= 0.02m, espessura t= 0.005m, largura w= 1 m ) em 
alumínio (k=200 W/m.
o
C) que emerge de uma superfície a 170
o
C imersa num fluído a 25
o
C e 
em que o coeficiente de convecção é de h = 130 W/m
2
.
o
C. Qual a potência térmica trocada 
pela alheta? 
 
Problema 19 - Uma esfera de alumínio com 12 mm de diâmetro está a uma temperatura 
uniforme de 400
o
C quando é submetida a um ambiente a 20
o
C (h= 10 W/m
2
.
o
C). Calcule o 
tempo necessário para que o centro da esfera atinja os 200
o
C. 
Nota: ρ = 2707 kg/m
3
; cp= 0.896 kJ/kg.
o
C; k=204W/m.
o
C; 
R: 362s 
Problema 20 - Um cubo em cobre com 20 cm de lado está inicialmente à temperatura de 
400
o
C. Subitamente, foi exposto a um ambiente de convecção a 50
o
C e h=600W/m
2
.
o
C. 
Determine, justificando eventuais aproximações, qual o tempo necessário para quese atinja 
uma temperatura de 200
o
C no interior do cubo a 4 cm da superfície. 
Propriedades do cobre: ρ = 8954 kg/m
3
; cp= 0.3831 kJ/kg.
o
C; k=374W/m.
o
C; a= 11.234 x 10
-5
 
m
2
/s 
 
Problema 21 - Uma barra cilíndrica de cobre com um diâmetro de 10 cm está inicialmente à 
temperatura de 300
o
C. Se subitamente for exposta a um ambiente de convecção a 50
o
C e 
com um h= 1.2 kW/m
2
.
o
C, determine: 
a) Quanto tempo demorará até que a temperatura na superfície arrefeça para os 
100
o
C? 
b) Para a situação na alínea a), determine a temperatura no centro da barra, a 50% do 
raio e a um cm da superfície. 
c) Qual a perda de calor por unidade de comprimento (MJ/m) da barra entre os 
instantes t=50s e t=100s. 
Nota: ρ = 8954 kg/m
3
; cp= 0.3831 kJ/kg.
o
C; k=386W/m.
o
C; 
R: a) 122s; b) 103,8
o
C 101,6
o
C 100,5
o
C; c) 1,62 MJ/m 
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7 
 
Problema 22 – Considere um cilindro longo em alumínio com 5 cm de diâmetro inicialmente 
a 70
o
C, exposto subitamente a um ambiente a 200
o
C e h=525 W/(m
2
.
o
C). Ao fim de um 
minuto, utilizando as cartas de Heisler, calcule: 
a) A temperatura no centro do cilindro. 
b) A temperatura na superfície do cilindro. 
c) A potência térmica trocada pelo cilindro nesse instante. 
d) O calor total por unidade de comprimento recebido pelo cilindro ao fim desse 
primeiro minuto. 
Propriedades do alumínio ρ = 2700 kg/m
3
; cp= 0,9 kJ/(kg.
o
C); k=215W/(m.
o
C); a= 8,4 x 10
-5
 
m
2
/s 
150.6oC, 151,6oC, 4kW/m, 403174 J/m