Equações de Navier

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Definição
 O teorema do transporte de Reynolds (TTR) é uma análise bastante utilizada para o escoamento de um fluido, porém o TTR só nos fornece informações primárias e características mais generalizadas do escoamento, no entanto um conceito chamado análise diferencial engloba a aplicação de equações diferenciais em todos os pontos do fluido no escoamento, mais especificamente na chamada região de domínio, dentro desse campo de estudo há algumas equações desenvolvidas por cientistas no século XIX e XX, onde elas obedecem a conservação da massa, bem como a segunda lei de Newton. Primeiramente antes de adentrar nas equações de Navier-Stokes é necessária uma pequena introdução sobre as equações da continuidade, onde ela tem o objetivo de descrever a partir do TTR a conservação da massa através da região do domínio, equivalentemente há um conjunto de equações que também definem o momento linear na mesma região interessada, chamada de equação de cauchy. Tal equação na forma geral não é muito útil para a maioria dos problemas, pois os componentes do tensor da tensão estão divididos em nove componentes, onde seis são independentes e consequentemente se tornam incógnitas, para que haja solução é necessário um maior número de equações, que são chamadas equações constitutivas ou equações de Navier-Stokes.
Condições das Equações Constitutivas
 Antes de conhecer e entender de fato as equações, é preciso salientar algumas considerações a serem feitas para as equações N-S serem constitutivas:
 O fluido é continuo e o tensor de tensor de tensões σ é no máximo uma função linear do tensor taxa de deformação, portanto não há efeito da translação ou rotação; 
 O fluido é isotrópico e, portanto, a lei é independente dos eixos coordenados escolhidos para descrevê-la, consequentemente os eixos principais dos tensores relacionados são coincidentes;
Na ausência de taxa de deformação, o estado de tensão se torna um estado hidrostático.
Representação das Equações e seus tipos
 Inicialmente antes apresentar a formulação das equações é necessário conhecer alguns termos que são essenciais no entendimento e na dedução. Quando o fluido se encontra em repouso a única tensão agindo em todo o elemento é a pressão hidrostática, e em termos de suas coordenadas temos:
+ (1)
 Onde o segundo termo do lado direito da equação é devido a tensão por cisalhamento do escoamento do fluido, e P é a pressão hidrostática agindo em cada face, as equações constitutivas tem o objetivo de justamente representar esse segundo termo em relação do campo de velocidades e das propriedades do fluido, considerando que o regime é incompressível temos: 
 (2)
Sendo a pressão mecânica do fluido.
 Considerando um regime incompressível e isotérmico, temos que a tensão viscosa em um fluido é:
 (3)
Para chegar a forma final da equação NS é preciso utilizar as três equações acima utilizando teoremas e fundamentos matemáticos de funções de várias variáveis, as equações NS podem se apresentar de três formas, sendo elas:
Regime Incompressível e viscosidade constante
Considerando escoamento invíscidos e aparece a equação de Euler:
E a partir da equação de Euler é possível chegar a equação de Bernoulli que governa a hidrodinâmica.
Para coordenadas cartesianas:
Aplicando à coordenada x do escoamento temos:
Coordenada y:
Coordenada z:
Representação em coordenadas Cilíndricas:
 A equação da continuidade aplicada a coordenadas cilíndricas e considerando regime incompressível temos:
Onde para cada coordenada r, e z, as equações ficam na forma:
Para r:
Para :
Para z:
Apresentadas todas as equações que constituem o conjunto de Navier-Stokes, elas são utilizadas em situação onde os cálculos escalares ou integrais virariam muito complexas para se resolver através da segunda lei de Newton ou pelo TTR. Usualmente essas equações são para escoamentos complexos, onde o fluxo do fluido escoa por todas as direções, é utilizada também para fluidos com densidade e viscosidade variáveis, através das equações apresentadas é possível obter pressão, densidade, temperatura, viscosidade, e todas as componentes da velocidade, somente relacionando-as através das suas derivadas, importante salientar que todas as equações e considerações feitas valem somente para fluidos newtonianos. O que dificulta usualmente suas aplicações é a complexidade do problema, elas só podem ser resolvidas por cálculo diferencial e integral, o que trazendo para realidade a maioria dos casos são complexos geometricamente, outra questão que dificulta é que ainda não se foi provado que existe solução para as três dimensões, e se existem ainda não se sabe se há descontinuidade em tais dimensões.
Aplicações
Como citado anteriormente as equações NS são muito utilizadas para casos em que o escoamento ou as propriedades do fluido são muito complexas, porém elas também limitam uma certa complexidade, é preciso conhecer tais propriedades em função das coordenadas a se utilizar. Abaixo é possível ver como aplicar as equações NS em um escoamento de uma placa retangular inclinada, para encontrar a sua velocidade no eixo horizontal:
O fluido contém uma densidade ρ, e uma viscosidade μ constantes, a inclinação da placa em relação à horizontal é θ, e a espessura da camada de fluido sobre a placa é L
Considerando que o escoamento na placa inclinada acontece na direção x e y: 
 Como nesse caso a velocidade não depende de x, pois o escoamento é incompressível e permanente:
Aplicando as equações de NS nos dois eixos temos que:
 Considerando como é nula em relação ao tempo, as outras velocidades de y e z também são, como o escoamento ocorre em função de g, temos:
Como temos que aplicando nas duas equações acima:
Integrando y de 0 a um certo y, que é um ponto arbitrário do eixo:
Fazendo o mesmo para x, porém integrando até um certo L:	
Combinando as duas equações acima através de p(0):
Integrando a equação diferencial que envolve em relação a y:
Aplicando as condições de contorno, na qual 
A equação final da distribuição de velocidade através da placa fica:
 
Referências
ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações. Porto Alegre: MCGRAW-HILL BRASIL, 2007. p. 345-374.
FOX, Robert.W; MCDONALD, Alan.T. Introdução à mecânica dos fluidos. Indiana: LTC, 1998.p 125-130.
HENRIQUE, Gean; PASSOS, Wellington; MICHELS, Francisco. Estudo das equações de Navier-Stokes e suas aplicações na engenharia. Disponível em: <http://www.unigran.br/ciencias_exatas/conteudo/ed10/artigos/01.pdf>. Acesso em: 01 abr. 2018.