2 Aula Vetores e Escalares

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Vetores e Escalares
Definição de Escalar: è toda grandeza física que necessita de apenas um módulo (valor + unidade de medida) para ser completamente caracterizada.
	Exemplos de grandezas Escalares:
Tempo, Temperatura, Massa, Energia, Corrente elétrica, etc.
Os escalares por serem simples números, obedecem a álgebra que estamos acostumados a utilizar.
Definição de Vetor: é toda grandeza física que necessita de um módulo uma direção e um sentido para ser completamente caracterizada.
	Exemplos de grandezas Vetoriais:
 Deslocamento, Velocidade, Força, Campo elétrico, etc.
Os vetores seguem regras de soma, subtração, multiplicação, diferentes dos escalares, as quais veremos a seguir.
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Representação:
 Os escalares são representados por uma simples letra. Exemplo: T( representa o escalar temperatura), M (massa), etc
Os vetores são representados por uma letra em negrito ou por uma letra com uma flecha em cima.
Exemplo: F ( representa o vetor força), V (velocidade),etc
O módulo de um vetor é representado por |F| ou F.
	Geometricamente um vetor pode ser representado por uma flecha. 
	O tamanho desta é proporcional ao módulo do vetor, o ângulo que a flecha forma com um eixo de referência nos fornece a direção do vetor, e o sentido do vetor e dado pela extremidade da flecha. Veja figura:
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A figura mostra como uma fecha, pode ser usada para representar um vetor. O seu tamanho é proporcional ao módulo do vetor. O ângulo de 45º nos fornece a direção e a extremidade da flecha nos indica o sentido do vetor.
Soma e Subtração de Vetores: Método Geométrico.
Soma: Dois ou mais vetores podem ser somados geometricamente, simplesmente deslocando os vetores, sem mudar sua direção e sentido, fazendo com que a origem de um coincida com a extremidade do outro. O vetor soma ou resultante é obtido unindo-se a origem do primeiro com a
 extremidade do ultimo vetor, como mostra figura:
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A figura mostra como podemos somar geometricamente vetores.
Em (a) somamos os vetores A e B e em (b) somamos três vetores A, B e C.
Oposto de um Vetor: è um vetor que possui o mesmo módulo e direção, porém sentido trocado, veja:
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Subtração: Para subtrairmos geometricamente um vetor de outro, usamos o mesmo método da soma, porém devemos antes criar o oposto do vetor que desejamos subtrair. Feito isso, a subtração é feita somando-se o vetor com o oposto do outro. Veja figura: 
O vetor subtração ou diferença d é indicado na figura (b)
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Algumas Propriedades:
a) Lei Comutativa: a + b = b + a
b) Lei associativa: d + ( e + f ) = ( d + e ) + f 
Veja figura:
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Componentes de Vetores
A figura mostra um vetor a cuja origem coincide com a origem de um sistema de coordenadas retangular. Se desenharmos perpendiculares da ponta de a aos eixos, as grandezas ax e ay assim formadas são chamadas de componentes cartesianas do vetor a . 
Este processo é chamado decomposição ou projeção de um vetor sem suas componentes, veja a figura. As componentes do vetor assim obtidas podem ser positivas, negativas ou nulas.
Em (a) as componentes são positivas e em (b) temos uma componente negativa bx e uma positiva by.
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Obs: Relações métricas num triângulo retângulo
Dado o triângulo abaixo, as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, são definidas como:
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O valor das componentes ax e ay podem ser obtidos fazendo-se:
Uma vez que o vetor esteja decomposto em suas componentes, podemos usa-las para encontrar o módulo e a direção do vetor, fazendo-se:
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Soma e Subtração de Vetores pelo Método das projeções:
Considere os vetores a e b, os quais desejamos soma-los, usando o método das projeções.
 Isso pode ser feito seguindo-se os passos: 
1) Projete os vetores e encontre suas componentes; ax e ay , bx e by, conforme mostra a figura.
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3) Encontre o módulo e a direção do vetor resultante R, através das equações:
2) Encontre as componentes resultantes nas direções x e y, as quais chamaremos de:
 Rx= ax + bx
 Ry= ay + by
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VETORES UNITÁRIOS
Quando decompomos um vetor em suas componentes, às vezes é útil introduzir um vetor de comprimento unitário em uma dada direção. Freqüentemente é conveniente desenhar vetores unitários ao longo dos eixos de coordenadas escolhidos. No sistema de coordenadas retangulares os símbolos especiais i, j e k são usualmente utilizados para indicar vetores unitários, nos sentidos positivos x, y e z respectivamente, conforme mostra a fig.
Qualquer vetor pode ser escrito em termos dos vetores unitários.
Veja os vetores a e b.
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MULTIPLICAÇÃO DE VETORES
Como os escalares, vetores de diferentes tipos podem ser multiplicados entre si para gerar grandezas com novas dimensões físicas. Como os vetores possuem direção e sentido além de módulo, a multiplicação vetorial não pode seguir as mesmas regras algébricas da multiplicação escalar. Temos de estabelecer novas regras:
1) Multiplicação de um vetor por um escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar tem significado simples: o produto de um escalar c por um vetor a, escrito como c a, é definido como um novo vetor cujo módulo é c vezes o módulo de a . O novo vetor tem a mesma direção e sentido de a se c for positivo e a mesma direção porém sentido oposto se c for
 negativo.
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2) Produto Escalar: É quando multiplicamos dois vetores e o resultado é um escalar. O produto escalar é definido como:
Onde: |a| e |b| são os módulos dos vetores a e b e cos é o co-seno do ângulo , formado entre os vetores.
3) Produto Vetorial: É quando multiplicamos dois vetores e o resultado é um novo vetor. O produto vetorial de dois vetores a e b é escrito como a  b e é um vetor c, onde c = a  b. O módulo de c é definido por:
Onde: |a| e |b| são os módulos dos vetores a e b e cos é o co-seno do ângulo , formado entre os vetores.
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A direção do vetor c obtido através do produto vetorial é sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores a e b e seu sentido é dado pela regra da mão direita . Veja figura. Nesta regra devemos desenhar os vetores a e b com origens coincidentes e imagine um eixo perpendicular ao plano formado por a e b que passe pela origem. Agora dobre os dedos da sua mão direita em torno desse eixo, “empurrando” com a ponta dos dedos o vetor a sobre o vetor b pelo menor ângulo possível entre eles e ,mantendo o polegar estendido; o polegar apontará no sentido do produto vetorial a  b.
Regra da Mão Direita
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Exercícios:
1) Com os vetores abaixo, encontre geometricamente os vetores:
 a) R = A + B + C + D, b) S = A - B - C - D e c) Q = A - B + C - D
2) Dado os vetores abaixo encontre o módulo a direção e o sentido do vetor soma, e faça um esboço do mesmo, nos seguintes casos:
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3) Encontre as componentes dos vetores mostrados na figura ao lado. Encontre o módulo do vetor soma e sua direção. Faça um esboço do vetor soma. Escreva o vetor soma utilizando a nomenclatura dos vetores unitários
4) São dados os vetores: a= 4i -3j+2k e b= -i +5j+3k. Encontre e escreva em notação de vetores unitários os vetores: a) a + b ; b) a - b , c) um vetor c tal que a - b +c = 0.
5) Uma estação de radar detecta um míssil que se aproxima do leste. Ao primeiro contato, a distância do míssil é 3600 m, a 40º acima do horizonte. O míssil é seguido por 123º no plano leste-oeste, e a distância no contato final era de 7800 m. Ache o deslocamento do míssil durante o período de contato com o radar.