ELETRONICA DE POTENCIA 1 Refificadores monofasico e trifasico Aragao

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ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 1 
 
 
 
 
 
 ENGENHARIA ELÉTRICA 
[2012] 
ELETRÔNICA DE 
POTÊNCIA I 
 Retificadores monofásicos e trifásicos 
 
 
 
 
Prof. Wilson Aragão Filho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ISBN: 978-85-909910-3-8 
[ E D I Ç Ã O D O A U T O R ] 
 
 
 
 
WILSON ARAGÃO FILHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I 
 
RETIFICADORES MONOFÁSICOS E TRIFÁSICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vitória – ES – Brasil 
Edição do Autor 
 2012 
 
 
 
 
 ©: 2012, Aragão Filho, Wilson 
 
 
 Formato: digital (pdf) 
 
 
 Capa: Microsoft Office (adaptada) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) 
(Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil) 
 
 
 Aragão Filho, Wilson Correia Pinto de, 1957- 
A659e Eletrônica de potência I : retificadores monofásicos e 
trifásicos / Wilson Correia Pinto de Aragão Filho. - 1. ed. - Vitória, 
ES : Ed. do Autor, 2012. 
 107 p. : il. ; 29 cm 
 
 Inclui bibliografia. 
 ISBN: 978-85-909910-3-8 
 
 1. Eletrônica de potência. 2. Eletrônica industrial. 3. 
Conversores à tiristor. I. Título. 
 
 CDU: 621.382 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
Eletrônica de Potência ou Eletrônica Industrial é um título comumente 
utilizado para unidades curriculares de muitas universidades. Trata do estudo 
dos dispositivos eletrônicos de potência, a base de semicondutores, e seus 
circuitos retificadores de potência. Estes podem ser circuitos (ou topologias) 
que constituem retificadores, ou conversores CA/CC (de corrente alternada, 
CA, para corrente contínua, CC), monofásicos ou trifásicos, podendo, ainda, 
ser constituídos por semicondutores do tipo DIODO ou TIRISTOR (SCR), 
resultando em retificadores não controláveis ou controláveis, 
respectivamente. 
 
Tais conversores, operando como retificadores, são muito utilizados em 
aparelhos e equipamentos tanto domésticos quanto industriais. As versões 
industriais são as de maiores potências e tamanhos, e são, especialmente, os 
objetos de estudo deste livro. 
 
A eletrônica de potência se diferencia da eletrônica de sinais justamente 
pelo qualificativo “potência”. Isto é, a potência associada a muitos aparelhos 
eletrônicos de uso residencial é muito baixa, com valores de corrente elétrica 
da ordem de menos de um ampère (1A), enquanto os aparelhos e 
equipamentos da denominada eletrônica de potência têm potência da ordem 
de alguns ampères. Em resumo: eletrônica ou eletrônica de sinais é um 
termo utilizado para aparelhos eletrônicos domésticos tais como, televisores, 
aparelhos de som, celulares, aparelhos telefônicos sem fio, etc., ao passo que 
a eletrônica de potência está associada a aparelhos e equipamentos 
industriais que drenam potências significativamente mais elevadas. 
 
Eletrônica de Potência é um assunto que, no Departamento de Engenharia 
Elétrica do Centro Tecnológico da Universidade Federal do Espírito Santo, é 
oferecido por meio de dois níveis: Eletrônica de Potência I e Eletrônica de 
Potência II. Esta última trata dos conversores chaveados, também 
denominados de fontes chaveadas, com base nos dispositivos de potência da 
família dos transistores, além de conversores especiais, como os 
conversores duais, os cicloconversores e algumas topologias de inversores de 
potência. 
 
 
 
 
 
CONTEÚDO 
 
 
Os cinco (5) capítulos em que se divide o livro cobrem os seguintes assuntos. 
 
O primeiro capítulo trata dos principais dispositivos semicondutores de 
potência: DIODO, TIRISTOR, GTO, BJT, MOSFET e IGBT. São 
apresentados seu símbolo, seu princípio de funcionamento e suas 
características estáticas ou de saída. 
 
O segundo capítulo trata dos retificadores monofásicos de meia onda, tanto 
a DIODO quanto a TIRISTOR, com cargas dos tipos R (resistor puro), RL 
(resistor e indutor) e RLE (resistor, indutor e bateria). Analisam-se, também, 
os circuitos com os denominados diodos de roda livre e os inversores ditos 
não autônomos. 
 
O terceiro capítulo trata dos retificadores monofásicos de onda completa, 
tanto a DIODO quanto a TIRISTOR, com cargas dos tipos R, RL e RLE. 
 
O quarto capítulo trata dos retificadores trifásicos tanto de meia onda 
quanto de onda completa, a DIODO e a TIRISTOR, além de tratar da 
questão ligada aos efeitos da denominada indutância de comutação. 
 
O quinto capítulo trata do conceito generalizado de fator de potência 
aplicado aos retificadores monofásicos e trifásicos, assunto muito relevante 
para a boa compreensão dos fenômenos associados aos efeitos das cargas 
não lineares (conversores em geral). 
 
Ao final do livro encontram-se exercícios propostos ao leitor, cobrindo todo 
o conteúdo apresentado, além de uma bibliografia recomendada. 
 
Quanto à metodologia, cabe ressaltar que os retificadores foram abordados 
numa metodologia comparativa, em que ambos os tipos não controláveis (a 
diodo) e controláveis (a tiristor) são analisados um após o outro, em termos 
de seu funcionamento, suas formas de onda e suas principais equações. 
 
Finalmente, todas as figuras com formas de onda foram produzidas por 
simulação numérica realizada por meio do software PSIM
™,
 e os gráficos e 
ábacos produzidos por meio do MATHCAD
™
. 
 
 
 
SOBRE O AUTOR 
 
 
Wilson Aragão Filho é professor Associado do Departamento de 
Engenharia Elétrica do Centro Tecnológico da Universidade Federal do 
Espírito Santo (UFES) desde 1984, tendo iniciado sua carreira de professor 
federal em 1981, na antiga Escola Técnica Federal do Espírito Santo, atual 
Instituto Federal de Ensino Tecnológico do Espírito Santo (IFES). 
 
Obteve seu Mestrado em 1988 e seu Doutorado em 1998, tendo sido ambos 
os cursos realizados na Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), sob 
a orientação do Prof. Ivo Barbi. Tanto sua dissertação de mestrado quanto 
sua tese de doutorado trataram do mesmo tema: Eletrônica de Potência. 
 
O Prof. Aragão interessa-se, também, pelos temas: instalações elétricas 
residenciais e industriais, sistema de energia elétrica, auditoria energética e 
conservação de energia, eficiência energética, segurança contra acidentes, 
carga eletrônica regenerativa, língua portuguesa, e Esperanto – língua 
internacional. 
 
O currículo Lattes do Prof. Aragão pode ser acessado em: 
http://lattes.cnpq.br/9279730500937858 
 
O Blog do Professor pode ser acessado em: 
http://mondaespero-blog-uilso.blogspot.com.br/ 
 
Dois livros já publicados pelo Prof. Aragão: 
 
 Curso básico bilíngue de Esperanto, cujo exemplar em formato 
eletrônico (pdf) pode ser acessado, sem custo, no endereço: 
https://sites.google.com/site/uilsoaragonolivrodeesperanto/. 
 
 Segurança na engenharia e na vida – consciência segura, cujo 
exemplar, também, em formato eletrônico (pdf) pode ser solicitado, sem 
custo, pelos e-mails: aragao@ele.ufes.br, uilso.arag@gmail.com. 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
Capítulo 1 – SEMICONDUTORES DE POTÊNCIA 
 
1. Introdução ..................................................................................................................10 
2. Semicondutores de potência mais comuns ................................................................ 11 
2.1. Diodo ................................................................................................................. 11 
2.2. Tiristor ............................................................................................................... 11 
2.3. GTO ................................................................................................................... 12 
2.4. BJT ..................................................................................................................... 12 
2.5. MOSFET ............................................................................................................ 13 
2.6. IGBT .................................................................................................................. 13 
2.7. QUADRO-RESUMO (Principais características): ........................................... 14 
3. Em resumo ................................................................................................................. 14 
 
Capítulo 2 – RETIFICADORES MONOFÁSICOS DE MEIA ONDA 
 
1. Retificadores com carga R (resistiva pura) ............................................................... 15 
1.1. Retificador a diodo ............................................................................................ 15 
1.2. Retificador a tiristor ........................................................................................... 16 
1.3. Equações básicas do circuito ............................................................................. 17 
1.3.1. Para o retificador a diodo ............................................................................... 17 
1.3.2. Para o retificador a tiristor .............................................................................. 19 
2. Retificadores com carga RL ...................................................................................... 20 
2.1. Retificador a diodo ............................................................................................ 21 
2.2. Retificador a tiristor ........................................................................................... 22 
2.3. Equações básicas do circuito ............................................................................. 22 
2.3.1. Para o retificador a diodo ............................................................................... 22 
2.3.2. Para o retificador a tiristor .............................................................................. 27 
3. Retificadores com carga RL e Diodo de “roda livre” ............................................... 33 
3.1. Retificador a Diodo e com “Roda livre” ........................................................... 34 
3.1.1. Indutância crítica ............................................................................................ 36 
3.1.2. Tensão média na carga ................................................................................... 37 
3.1.3. Corrente média na carga ................................................................................. 37 
3.2. Retificador a Tiristor e com “Roda livre” ......................................................... 38 
3.2.1. Tensão média na carga ................................................................................... 39 
3.2.2. Corrente média na carga ................................................................................. 40 
4. Retificadores com carga RLE .................................................................................... 41 
4.1. Retificador com carga RLE a diodo .................................................................. 41 
4.1.1. Tensão média na carga ................................................................................... 42 
4.1.2. Corrente média na carga ................................................................................. 44 
4.1.3. Potência consumida na carga ......................................................................... 44 
4.2. Retificador com carga RLE a tiristor ................................................................. 44 
4.2.1. Tensão média na carga ................................................................................... 46 
 
 
 
4.2.2. Corrente média na carga ................................................................................. 46 
4.2.3. Potência consumida na carga ......................................................................... 46 
4.3. Retificador com carga RLE a tiristor – Inversor não autônomo ....................... 46 
5. Retificadores com carga RLE e diodo de “roda livre” .............................................. 49 
5.1. Retificador com carga RLE a diodo e roda livre ............................................... 49 
5.2. Tensão média na carga ...................................................................................... 50 
5.3. Corrente média na carga .................................................................................... 51 
5.4. Potência consumida na carga ............................................................................. 51 
 
Capítulo 3 – RETIFICADORES MONOFÁSICOS DE ONDA COMPLETA 
 
1. Retificadores com carga R (resistiva pura) ............................................................... 52 
1.1. Retificador a diodo ............................................................................................ 53 
1.2. Retificador a tiristor ........................................................................................... 54 
1.3. Equações básicas do circuito ............................................................................. 54 
1.3.1. Para o retificador a diodo ............................................................................... 55 
1.3.2. Para o retificador a tiristor .............................................................................. 57 
2. Retificadores com carga RL (resistivo-indutiva) ...................................................... 58 
2.1. Retificador a diodo ............................................................................................ 58 
2.2. Retificador a tiristor ........................................................................................... 60 
2.3. Equações básicas do circuito ............................................................................. 61 
2.3.1. Para o retificador a diodo ............................................................................... 61 
2.3.2. Para o retificador a tiristor .............................................................................. 63 
 
Capítulo 4 – RETIFICADORES TRIFÁSICOS 
 
1. Retificadores de meia onda ........................................................................................ 66 
1.1. Retificador a diodo ............................................................................................ 66 
1.2. Retificador a tiristor ........................................................................................... 68 
1.3. Equações básicas do circuito ............................................................................. 70 
1.3.1. Para o retificador a diodo ............................................................................... 70 
1.3.2. Para o retificador a tiristor .............................................................................. 72 
2. Retificadores de onda completa ................................................................................. 74 
2.1. Retificador a diodo ............................................................................................ 75 
2.2. Retificador a tiristor ........................................................................................... 76 
2.3. Equações básicas do circuito .............................................................................78 
2.3.1. Para o retificador a diodo ............................................................................... 79 
2.3.2. Para o retificador a tiristor .............................................................................. 81 
3. Indutância de comutação ........................................................................................... 82 
 
Capítulo 5 – FATOR DE POTÊNCIA NOS RETIFICADORES 
 
1. Conceito de Fator de Potência ................................................................................... 86 
2. Conceito de Distorção Harmônica ............................................................................. 89 
3. Exemplo de cálculo de fator de potência ................................................................... 90 
 
 
 
4. Retificadores Não Controlados .................................................................................. 92 
4.1. FP no Retif. Monofásico de Meia onda com Diodo de Roda livre ................... 92 
4.2. FP no Retificador Monofásico de Ponto-Médio a Diodo .................................. 94 
4.3. FP no Retificador Monofásico em Ponte a Diodo ............................................. 95 
4.4. FP no Retificador Trifásico de Meia Onda a Diodo .......................................... 95 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................................................................................... 98 
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA ........................................................................... 108 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 10 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
SEMICONDUTORES DE POTÊNCIA 
 
 
1. Introdução 
 
Os semicondutores de potência são também chamados de dispositivos de chaveamento ou dispositivos 
de comutação ou, ainda, dispositivos de potência (power devices). 
 
Numa classificação quanto à aplicação em conversores, podem-se ter: 
 
DIODOS e TIRISTORES  Conversores CA/CC 
 
GTO, BJT, MOSFET, IGBT  Demais conversores (CC/CC; CA/CA, CC/CA) 
 
O DIODO é um dispositivo ativo, mas não controlado. Os demais são ativos e controlados. Entenda-
se: não controlado ou controlado pelo usuário. 
 
A controlabilidade do dispositivo é especialmente útil em fontes do tipo chaveada ou comutada. A 
Fig.1, abaixo, ilustra um conversor CC/CC elementar, construído por meio de um transistor bipolar (ou 
qualquer interruptor totalmente controlado). 
A relação entre o tempo ligado (TON) e a soma do tempo ligado com o desligado (TON +TOFF), é 
denominada razão cíclica (duty cycle): 
 
 D= TON/(TON+TOFF) = TON/T, onde T = período da frequência de comutação. 
 
A tensão média sobre o resistor de carga (R) resulta igual a: Eo = D . Ei 
 
Quando a razão cíclica é máxima (D = 1), tem-se a tensão de entrada (Ei) sempre aplicada à saída e 
resulta: Eo = Ei. Quando se tem D = 0, a tensão de saída resulta nula, pois o dispositivo estará sempre 
aberto (ou em estado de bloqueio), não deixando passar qualquer corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1 – Conversor CC/CC elementar: (a) circuito básico; (b) formas de onda do comando e das tensões Ei e Eo. 
Ei 
Eo 
D (razão cíclica) 
S(switch : power device) 
Eo 
Ei 
Ei 
D = 0,5 
TON TOFF 
t 
(b) 
(a) 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 11 
 
 
Esses dispositivos de chaveamento somente serão vistos em Eletrônica de Potência II. Neste curso de 
Eletrônica de Potência I serão estudados todos os retificadores (ou conversores CA/CC) monofásicos e 
trifásicos, não controlados e controlados. 
 
 
2. Semicondutores de potência mais comuns 
 
 
2.1. Diodo 
 
DIODO, Fig. 2: é unidirecional em corrente e em tensão. Isto é: somente suporta corrente em um 
sentido e, da mesma forma, somente suporta tensão com uma polaridade. Se uma tensão negativa for 
aplicada ao anodo (A), este a suportará e não entrará em condução. Caso contrário, ele entrará em 
condução, deixando-se percorrer por corrente. 
 
Fig. 2 – DIODO, símbolo, modelo em condução e característica estática de saída. 
 
2.2. Tiristor 
 
TIRISTOR, Fig. 3: unidirecional em corrente e bidirecional em tensão, isto é, suporta a tensão em 
ambas as polaridades: tensões positiva e negativa no anodo. É semicondutor de potência 
semicontrolado, na medida em que o usuário somente tem controle sobre o disparo do dispositivo. 
 
Fig. 3 – TIRISTOR: símbolo, modelo em condução e característica estática de saída. 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 12 
 
 
2.3. GTO 
 
GTO (Gate Turn-Off Thyristor), Fig. 4: é um tiristor totalmente controlado: dispara sob pulso de 
corrente positiva no gate e bloqueia sob corrente negativa. Não é tão rápido quanto o tiristor, nem é 
capaz de manipular potências tão elevadas, em relação ao tiristor. 
 
Fig. 4 – GTO: símbolo, modelo em condução e característica estática de saída. 
 
 
2.4. BJT 
 
BJT (Bipolar Junction Transistor), Fig. 5: é o conhecido transistor bipolar muito usado em circuitos de 
eletrônica de sinal. Mas é também bastante usado, ainda, em eletrônica de potência chaveada. Está 
sendo, paulatinamente, substituído pelo próximo semicondutor, o MOSFET. É unidirecional em 
corrente e em tensão. Tensão reversa (positiva no emissor em relação ao coletor) é proibida! 
 
 
Fig. 5 – BJT: símbolo, modelo em condução e característica estática de saída. 
 
 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 13 
 
 
2.5. MOSFET 
 
MOSFET (Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor) Fig. 6: Como o BJT, é unidirecional 
em tensão e em corrente. É normalmente usado, em Eletrônica de Potência, como chave interruptora, 
funcionando ou ligada ou desligada; ora em situação de quase saturação, ora em modo bloqueado. 
Observação válida para todos os semicondutores de potência totalmente controlados. 
 
 
Fig. 6 – MOSFET: símbolo, modelo em condução e característica estática de saída. 
 
2.6. IGBT 
 
IGBT (Insulated Gate Bipolar Transistor) Fig 7: É um híbrido entre o BJT e o MOSFET. Reúne as 
melhores características desses últimos. Resulta um dispositivo de alta frequência de chaveamento (ou 
de comutação), devido ao comando de gate por tensão (e não por corrente, como no BJT), e com 
baixas perdas em condução (possui uma bateria equivalente, em estado de condução, como o BJT). 
Além de tudo isso, pode ser fabricado para altas tensões e altas correntes. Tende a substituir os dois 
transistores citados para aplicações de potências mais elevadas (superior a 3kW). 
 
Fig. 7 – IGBT: símbolo, modelo em condução e característica estática de saída. 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 14 
 
 
 
2.7. QUADRO-RESUMO (Principais características): 
 
 
 
Semicondutor Freq. Contro-
lável 
ON OFF Corrente 
Unidirec. 
Tensão 
Unidirec. 
1. Diodo * N – – S S 
2. Tiristor (SCR) 5kHz S S N S N 
3. GTO 3kHz S S S S N 
4.BJT 10kHz S S S S S 
5. IGBT 40kHz S S S S S 
6. MOSFET 100kHz S S S S S 
* Lentos, rápidos, e ultra-rápidos. 
 
Os valores de frequência mostrados no quadro devem ser entendidos como valores típicos e 
aproximados, apenas para dar uma ideia comparativa das faixas de aplicação em frequência dos 
semicondutores analisados. 
 
Os diodos são os semicondutores de potência mais versáteis, com grandes variações de tamanhos 
(potência) e de frequência de comutação. 
 
 
 
3. Em resumo 
 
Os semicondutores de potência (ou power devices, pronuncia-se “páuer deváices”) ou dispositivos de 
comutação ou dispositivos de potência são elementos a base de materiais semicondutores 
desenvolvidos especificamente para se comportarem como elementos de controle em circuitos 
eletrônicos de potência. Podem operar tanto como elementos lineares, que é caso de aplicações nas 
chamadas fontes lineares (já ficando ultrapassadas) quanto como elementos não lineares, que é o caso 
das denominadas fontes chaveadas (ou comutadas), que operam sob frequências de chaveamento 
normalmente elevadas. 
 
Os diodos são os elementos mais versáteis, no entanto não são controláveis pelo usuário. Já os demais 
semicondutores estudados são controláveis, sendo os tiristores apenas semicontroláveis, já que o 
usuário tem, somente, o controle do seu momento de disparo. Os demais, portanto, são totalmente 
controláveis e podem ser denominados, genericamente, de “transistores” de potência. 
 
Todos os semicondutores apresentados são unidirecionais em corrente, isto é, conduzem a corrente 
apenas em um sentido. No entanto, em termos de tensão, somente os tiristores e os GTOs são 
bidirecionais em tensão, sendo todos os demais unidirecionais. Isto significa que esses últimos, 
unidirecionais em tensão, suportam a tensão, somente, em uma única direção; a tensão reversa pode 
queimá-los! 
 
 
 
 
 
 
 
(Usuário controla...) 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 15 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
RETIFICADORES MONOFÁSICOS DE 
MEIA ONDA 
 
 
1. Retificadores com carga R (resistiva pura) 
 
Caracterizam-se pelo uso de um diodo ou um 
tiristor (SCR) como dispositivo de retificação, 
permitindo a passagem da corrente em um 
único sentido. O circuito a diodo não permite 
controle sobre a retificação, enquanto o circuito 
a tiristor o permite: o circuito auxiliar de 
comando permite que o usuário controle, por 
meio de um potenciômetro, por exemplo, o 
momento em que o tiristor é disparado (começa 
a conduzir). O diodo sempre começa a conduzir 
no instante em que a tensão da fonte se torna 
positiva. A Fig. 8, abaixo, ilustra os circuitos 
não controlado e controlado, desses 
retificadores, com carga R. 
 
 
(a) (b) 
Fig. 8 – Retificador monofásico com carga R (resistiva pura): (a) a diodo; (b) a tiristor. 
 
1.1. Retificador a diodo 
 
As formas de onda para o funcionamento do 
retificador a diodo e carga R são as da Fig. 9. 
 
No momento em que a tensão da rede (V1) 
torna-se positiva, o diodo fica polarizado 
diretamente (tensão positiva no anodo) e 
começa a conduzir: passa a funcionar como um 
interruptor fechado, deixando passar a corrente 
para a carga (R). Quando a tensão torna-se 
negativa, o diodo fica polarizado reversamente 
(tensão negativa no anodo) e entra em estado 
de bloqueio: passa a funcionar como um 
interruptor aberto. 
A tensão na carga resulta, portanto, retificada 
em meia onda. A corrente na carga resistiva 
pura é sempre uma “imagem” da tensão sobre 
ela: a corrente resulta igualmente retificada de 
meia onda. Somente a semionda positiva da 
tensão da rede passou, ou foi retificada. A 
porção negativa foi bloqueada pelo diodo, o 
qual, por si só, constitui o Retificador de meia 
onda. O diodo atua, portanto, como um 
elemento ativo, embora não controlável pelo 
usuário. Daí denominar-se este circuito de 
retificador não controlado 
 
Ic 
Vc 
Ic 
Vc 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 16 
 
 
 
Fig. 9 – Formas de onda para o circuito retificador monofásico de meia onda a diodo. 
 
Verifica-se que a tensão sobre o diodo durante 
o semiciclo positivo é nula: caso do diodo 
IDEAL. No caso REAL, o diodo apresentará 
uma queda de tensão em torno de um ou alguns 
volts. 
 
Observa-se, ainda, que a corrente do circuito é 
CONTÍNUA, embora pulsada, e atravessa a 
fonte (rede elétrica de CA). Para evitar este 
último fato, usa-se, normalmente, na prática, 
um transformador de isolamento, que terá a 
função, dentre outras, de eliminar da rede a 
componente contínua da corrente retificada 
(Ic). 
 
 
1.2. Retificador a tiristor 
 
As formas de onda para o funcionamento do retificador a tiristor e carga R são as da Fig. 10. 
 
 
Fig. 10 - Formas de onda para o circuito retificador monofásico de meia onda a tiristor. 
 
Corrente na carga 
Tensão na carga 
Tensão na rede 
Tensão no diodo 
tempo: ms 
Tensão na carga 
Tensão na rede 
Corrente na carga 
Tensão no tiristor (VAK) 
(45
o
) 
tempo: ms 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 17 
 
 
 
Neste caso, como o dispositivo de potência 
(power device) é um tiristor, elemento 
controlável pelo usuário, este pode definir o 
instante de tempo, dentro do semiperíodo 
positivo, em que o dispositivo será “disparado”, 
isto é, receberá um pulso de disparo que o 
colocará em estado de condução. No instante 
correspondente a cerca de 45
o
, o tiristor do 
circuito retificador correspondente às formas de 
onda da Fig. 10 foi disparado e passou a 
conduzir: torna-se um interruptor fechado, 
deixando passar a corrente de carga (Ic), que 
resulta com a mesma forma de onda da tensão 
na carga. 
 
Esta possibilidade de o usuário controlar o 
instante de disparo do tiristor torna este 
retificador mais interessante do que aquele a 
diodo. Pois, agora, o usuário terá o controle não 
só da forma de onda da tensão na carga, mas 
também da tensão média aplicada ao resistor e 
do fluxo de potência da fonte para a carga. 
Verifica-se que o tiristor é “bidirecional em 
tensão”, pois suporta entre seus terminais (A e 
K) tensão tanto positiva quanto negativa. De 
fato, a tensão do tiristor, vista na Fig. 10 é 
tanto positiva (antes do disparo) quanto 
negativa. Esta última acontece quando a 
corrente na carga se anula e o tiristor retoma o 
seu estado natural de bloqueio. Já o diodo é 
um elemento “unidirecional em tensão” pois 
somente suporta a tensão reversa aplicada em 
seus terminais. 
 
Pode-se afirmar que tanto o diodo quanto o 
tiristor somente entram em estado de bloqueio 
quando a corrente através deles se anula. Se 
esta corrente não se anular, mesmo que a 
tensão já tenha se tornado negativa (no 
anodo), o dispositivo continuará conduzindo a 
corrente. 
 
1.3. Equações básicas do circuito 
 
Como os circuitos acima são retificadores, isto é, convertem corrente alternada (CA) em corrente 
contínua (CC), então os valores que mais interessam no lado da carga (CC) são os seus valores 
médios: tanto para a corrente quanto para a tensão. Isto porque tantoo voltímetro CC quanto o 
amperímetro CC indicam os valores médios dessas grandezas! 
 
No entanto, como as correntes de carga a serem estudadas serão sempre pulsadas (não lisas), o seu 
valor eficaz torna-se muito importante para o cálculo da potência dissipada na carga (R.Ieficaz
2
). 
 
Para obterem-se as principais equações dos circuitos acima, considere-se a tensão de entrada da forma: 
 
)sen(2 tVV e 
 ou 
)sen( tVV p  
 
onde Ve é o valor eficaz da tensão da rede elétrica e Vp , o seu valor de pico (ou máximo). 
 
 
1.3.1. Para o retificador a diodo 
1.3.1.1. Tensão média na carga R: 
 
A tensão média na carga (Vcm) pode ser calculada pela aplicação adequada de um cálculo integral: 
 
 


0
)()sen(2
2
1
tdtVV ecm
  

e
cm
V
V


2  
ecm VV  45,0 
 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 18 
 
 
1.3.1.2. Tensão eficaz na carga R: 
 
 A tensão eficaz na carga não é uma grandeza muito importante, já que se está no domínio da 
corrente contínua. No entanto, é interessante comparar-se o seu valor com o valor médio dado acima, e 
para o cálculo da corrente eficaz (à frente): 
 
  


0
2
)()sen(2
2
1
tdtVV ece
  
e
pee
ce V
VVV
V 

 707,0
22
2
2 
 
 
1.3.1.3. Corrente média na carga R: 
 
A corrente média (Icm) é simplesmente a relação entre a tensão média e o valor da resistência da carga 
(R): 
 
R
V
I cmcm 
  
R
V
I ecm




2  
R
V
I ecm


45,0
 
 
 
1.3.1.4. Corrente eficaz na carga R: 
 
A corrente eficaz é definida como uma “raiz média quadrática”, ou: root mean square, do inglês. Para 
o cálculo dessa corrente eficaz na carga (Ice) utiliza-se a conhecida expressão integral do seu valor 
quadrático instantâneo, definida entre zero e  (pi) radianos (ou zero e 180 graus). Isto pode ser feito 
porque tensão e corrente são “imagem” uma da outra. Portanto, seus valores eficazes são proporcionais 
ao fator R. 
 





 




0
2
)()sen(
2
2
1
tdt
R
V
I ece
 
 
Como a corrente numa carga R é a imagem da tensão (mesma forma de onda), tem-se que, 
alternativamente: 
 
R
V
I cece 
  
R
V
I ece



2
2  
R
V
I ece


707,0
 
 
 
 
 Observar que este valor eficaz de corrente na carga é muito significativo 
(diferentemente da tensão eficaz na carga), pois a corrente na carga será sempre 
considerada uma corrente pulsante, ou ainda: não lisa! Portanto, os seus valores médio 
e eficaz serão sempre diferentes! Ainda: Ice > Icm , sempre! – Somente para o caso 
particular de corrente de carga LISA (filtrada ou alisada!) é que: Ice = Icm ! 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 19 
 
 
 
1.3.1.5. Potência dissipada (consumida) na carga R: 
 
2
cec IRP 
  
R
V
P ec


2
2 
 
 
 
1.3.2. Para o retificador a tiristor 
 
1.3.2.1. Tensão média na carga R: 
 
Analogamente ao caso do diodo, obtém-se: 
 
 
)()sen(2
2
1
tdtVV ecm 


 
 
)cos1(225,0  ecm VV 
 
 
A novidade aqui é o ângulo alfa (): ângulo de disparo do tiristor, definido pelo usuário. A tensão 
média, naturalmente, será dependente do valor desse ângulo, deixando claro o fato de que o usuário, no 
caso do retificador controlado, tem o controle do valor da tensão média, desde um valor máximo (para 
 = 0o) até um valor nulo (para  = 180o). 
 
 
1.3.2.2. Tensão eficaz na carga R: 
 
Como no caso do retificador a diodo, este valor não é tão importante em si, mas é útil para o cálculo da 
corrente eficaz na carga (item à frente): 
 
 
  


 )()sen(22
1 2
tdtVV ece
  




4
)2sen(
22
1
 ece VV
 
 
 
1.3.2.3. Corrente média na carga R: 
 
A corrente média (Icm) é, analogamente ao caso do diodo, simplesmente a relação entre a tensão média 
e o valor da resistência da carga (R). Tem-se então: 
 
 
R
V
I cmcm 
  
)cos1(
225,0 
R
V
I ecm
 
 
 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 20 
 
 
 
1.3.2.4. Corrente eficaz na carga R: 
 
Para o caso do retificador controlado, o cálculo da corrente eficaz na carga (Ice) é um pouco mais 
complexo, embora utilize a mesma lógica. Agora expressão integral fica definida entre o ângulo de 
disparo () e o instante em que a corrente se anula: entre  e  (pi) radianos. Obtém-se: 
 
 
R
V
I cece 
  




4
)2sen(
22
1

R
V
I ece
 
 
 
1.3.2.5. Potência dissipada (consumida) na carga R: 
 
A potência consumida na carga resistiva pura é dada por: 
 
 
2
cec IRP 
  






 



4
)2sen(
22
12
R
V
P ec 
 
 
 
 
2. Retificadores com carga RL 
 
Introduzindo-se um elemento indutivo (L) em série com o resistor de carga (R), obtém-se uma carga 
mista (RL). O comportamento do circuito é totalmente alterado, pois o indutor (ou reator, ou filtro 
indutivo) impede que a corrente seja (como no caso da carga R) uma imagem da tensão. Enquanto a 
corrente não anular-se, o dispositivo de potência (diodo ou tiristor) não se bloqueia e deixa passar à 
carga (RL) uma parte da tensão negativa da rede elétrica. A Fig. 11, abaixo, ilustra os circuitos não 
controlado e controlado, desses retificadores, com carga RL. 
 
 
 
(a) (b) 
Fig. 11 - Retificador monofásico com carga RL: (a) a diodo; (b) a tiristor. 
 
 
Vc 
Ic 
Vc 
Ic 
VL 
VR 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 21 
 
 
2.1. Retificador a diodo 
 
As formas de onda para o funcionamento do retificador a diodo e carga RL são as seguintes: 
 
 
 
Fig. 12 – Formas de onda para o circuito retificador monofásico de meia onda a diodo, carga RL. 
 
Esta figura apresenta as três principais curvas relativas ao circuito retificador monofásico, de meia 
onda, a diodo (não controlado), com carga RL. O ângulo  (beta) é o ângulo de existência da corrente e 
corresponde ao instante em que a corrente se anula. A figura abaixo mostra outras formas de onda do 
mesmo circuito: 
 
 
Fig. 13 – Formas de onda para o circuito retificador monofásico de meia onda a diodo, carga RL 
 
Verifica-se que o diodo permanece mais tempo em condução (do que no caso de carga R), porque o 
indutor (L) tem a propriedade de se opor a qualquer variação da corrente: se ela tenta crescer 
positivamente, ele se opõe a isto, atrasando o seu crescimento; se ela tenta decrescer positivamente, o 
indutor se opõe, tentando impedir o seu decrescimento, retardando a sua chegada a zero. Isto só 
acontece, portanto, certo tempo depois do instante /. 
 
 
 
tempo: ms 
tempo: ms 
Corrente na carga 
Tensão na carga 
Tensão na rede 
/ 2/ / 
Tensão na rede 
Tensão no indutor (VL) 
Tensão no diodo (VAK) 
Tensão no resistor de carga (VR) 
/ / 
Gleisimar
Line
Gleisimar
Accepted set by Gleisimar
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO22 
 
 
 É importante notar que a tensão no indutor (que corresponde à derivada da corrente) 
passa por zero no exato momento em que a corrente atinge o seu valor máximo 
(=derivada nula da corrente!). Vide Fig. 13, onde o pico de VR coincide com Ip. 
 
 
 
2.2. Retificador a tiristor 
 
As formas de onda para o funcionamento do retificador a tiristor com carga RL são as seguintes: 
 
 
 
 
Fig. 14 – Formas de onda para o circuito retificador monofásico de meia onda a tiristor, carga RL 
 
O tiristor deste retificador está sendo disparado em cerca de 45
o
 ( = 45o), que é aproximadamente 
igual ao ângulo da impedância da carga ( = tg-1(L/R)). Mas a forma de onda da corrente varia de 
acordo com a relação entre esses dois ângulos. A Fig. 15 ilustra tais variações. 
 
 
2.3. Equações básicas do circuito 
 
A seguir, encontram-se as principais equações relativas aos retificadores a diodo e a tiristor, com carga 
RL. 
 
2.3.1. Para o retificador a diodo 
 
2.3.1.1. Tensão média na carga RL: 
 
A tensão média na carga (Vcm) pode ser calculada pela aplicação adequada de um cálculo integral: 
 
 
 
 


0
)()sen(2
2
1
tdtVV ecm
  
)cos1(
2
2 



 ecm
V
V
  
)cos1(225,0  ecm VV
 
 
 
Tensão na rede 
Tensão na carga 
Corrente na carga 
/ / 
tempo: ms 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 23 
 
 
 
 
 
Fig. 15 – Variações da forma de onda da corrente de carga para diferentes relações entre  e . 
 
Verifica-se que quando  =  a forma de onda da corrente resulta (teoricamente) senoidal! 
 
 
Esta expressão indica que a tensão média retificada sobre a carga (RL) varia, agora, com o valor da 
carga. Veja-se que para a carga R, a tensão média na carga era constante, não dependendo do valor da 
carga! Agora depende do valor do ângulo ! 
 
Este ângulo de extinção da corrente () precisa ser calculado para que se possa utilizá-lo na expressão 
acima, a fim de se chegar ao valor da tensão média na carga. 
 
2.3.1.2. Corrente instantânea e ângulo  
 
Verifica-se, inicialmente, que a forma de onda da corrente (ic) não é mais uma “imagem” da tensão na 
carga (RL), mas deve ser determinada por uma análise diferencial a partir da aplicação da LKV (Lei de 
Kirchhoff das tensões) na única malha do circuito: 
 
 
)(
)(
)sen(2 tiR
dt
tdi
LtV c
c
e  
 
 
Resolvendo-se tal equação diferencial, chega-se ao seguinte resultado: 
 
 
 /
22
)0()sen(
2
)( tt
e
c eIt
XR
V
ti 


 ou 
)()()( 21 tititic   
 
 
 <  
 =  
 >  
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 24 
 
 
onde: 
)(1 RXtg 
; 
LX 
; 
RL
; i1(t) e i2(t) são as componentes de regime permanente e 
transitória de ic(t), respectivamente. Ainda: It(0) é o valor inicial da componente transitória i2(t) e é 
dado por: 
 
)sen(
2
)0(
22

XR
V
I et


 
 
Interpretação: a componente transitória é da forma exponencial, iniciando-se, no instante t=0, com o 
valor It(0) e decaindo exponencialmente, de acordo com a constante de tempo (), até anular-se. Já a 
componente de regime permanente tem a forma de onda do tipo senoidal, apresentando um 
defasamento, em relação à origem, dado pelo ângulo . (Vide Fig. 19 (a).) 
 
Para o cálculo do ângulo , utiliza-se a expressão da corrente instantânea no instante em que ela se 
anula. Tem-se, então: 
 
0)( ci
  
0)sen()sen(  
  e 
Ou, ainda: 
 
0)sen()sen( )( 
  tge 
 
 
Esta é uma função implícita, só podendo ser resolvida por um processo numérico (iterativo). Um 
programa como o Mathcad ou o MatLab pode traçar a curva correspondente, o que fornecerá o valor 
de  para uma dada configuração de carga, em que o ângulo  fica determinado. Com o valor de  
identificado, pode-se calcular o valor da tensão média na carga. 
 
A Fig. 16 apresenta a relação gráfica, calculada numericamente, entre  e . 
 
A tensão média na carga RL é, teoricamente, a soma das tensões médias sobre o resistor e sobre o 
indutor. No entanto, numa análise “dual”, verifica-se que, assim como a corrente média através de um 
capacitor é nula (em regime permanente), pode-se concluir que para o seu dual (o indutor), a tensão 
média é nula! Conclui-se, então, que o valor da tensão média retificada sobre a carga RL é apenas 
devido ao resistor. 
 
 
 
Fig. 16 – Relação entre ângulos  e  
 (o) 
 (o) 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 25 
 
 
2.3.1.3. Tensão média no indutor na carga RL 
 
A Fig. 13 esclarece tal conclusão: a tensão média da forma de onda do indutor (VL) é, de fato, nula, 
uma vez que se constata – visualmente –, que a área positiva é igual à área negativa da curva, 
resultando tensão média nula. 
 
Uma análise gráfica pode ser feita relacionando a tensão sobre a carga (Vc) e as tensões sobre o indutor 
(VL) e sobre o resistor (VR). Tal análise parte da expressão da tensão sobre a carga: 
 
 
)()()()()( tiRtvtvtvtv cLRLc   
 
 
A Fig. 17 ilustra esta análise gráfica: nesta figura observa-se que a área dos vetores instantâneos 
positivos de vL(t) é teoricamente (e visualmente) igual à área dos vetores negativos. Isto deve ser 
interpretado como tensão média nula (ao longo de um ciclo da rede), já que a área positiva da tensão 
ao longo do tempo compensará a área negativa. (Vide Fig. 13.) 
 
Observar que os vetores de tensão instantânea positiva no indutor se anulam – e trocam de polaridade, 
em seguida – no instante em que a corrente na carga passa pelo ser valor máximo (ponto preto na 
curva de ic(t). Isto se explica: a derivada da corrente é nula nesse ponto, portanto a tensão no indutor 
também é nula. 
 
 
 
Fig. 17 – Análise gráfica envolvendo as componentes de tensão na carga 
 
 
2.3.1.4. Corrente média: 
 
A corrente média (Icm) é simplesmente a relação entre a tensão média e o valor da resistência da carga 
(R). 
 
 
R
V
I cmcm 
  
)cos1(
225,0 
R
V
I ecm
 
 
 
R.ic(t) 
ic(t) 
Vc(t) 
 t  
vL(t) 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 26 
 
 
Uma forma alternativa para o cálculo da corrente média é aplicar-se o cálculo integral: 
 
 
  )(sen)sen(2
2
1
0
/
22
tdet
XR
V
I tecm 


 

 
 
 
 
Esta expressão pode ser “normalizada”, isto é, expressa em relação a uma norma (ou referência, ou 
base). Seja uma “corrente base” dada por: 
22
2
XR
V
I eb


. Portanto, ao dividir-se a corrente Icm por 
esta base, obtém-se: 
 
  )(sen)sen(
2
1
0
/ tdetI tcm 


 

 
 
 
onde a barra sobre a variável Icm indicará um valor “normalizado”, expresso, portanto, em por unidade 
(pu). Isto é útil para o traçado de gráficos ou ábacos “universais”, o que quer dizer, independentes de 
valores particulares dos parâmetros e grandezas físicas do circuito (R, L, C, v, etc.). Tais gráficos serão 
vistos à frente. 
 
 
2.3.1.5. Corrente eficaz: 
 
A corrente eficaz, definida como a “raizmédia quadrática, em seu valor real (ampères), pode ser 
calculada como se apresenta a seguir: 
 
 
  )(sen)sen(2
2
1
0
2
/
22
tdet
XR
V
I tece 


 







 
 
 
 
A expressão normalizada resulta (expressa em “pu”): 
 
 
  )(sen)sen(
2
1
0
2/ tdetI tce 


 

 
 
 
Utilizando-se um “software” como o Mathcad, podem ser geradas as duas curvas apresentadas na Fig. 
18. Conhecendo-se o valor do ângulo de carga , as correntes média e eficaz normalizadas podem ser 
obtidas. Daí, através do valor conhecido da corrente de base, são obtidas as correntes reais em ampère. 
 
Deve ser relembrado que o valor eficaz da corrente é muito importante para calcular-se o valor da 
potência dissipada na carga (sobre o resistor). 
 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 27 
 
 
 
 
Fig. 18 – Curvas para determinação das correntes média e eficaz normalizadas para o retificador monofásico de 
meia onda, a diodo, com carga RL 
 
2.3.1.6. Potência dissipada (consumida) na carga RL: 
 
Como já se sabe, a potência dissipada existe apenas sobre o resistor, estando associada ao valor eficaz 
da corrente que o atravessa. Assim, tem-se: 
 
2
cec IRP 
 
 
 
onde a corrente eficaz é obtida da Fig. 18, acima. 
 
 
 
2.3.2. Para o retificador a tiristor 
2.3.2.1. Tensão média na carga RL: 
 
A tensão média na carga (Vcm) pode ser calculada pela aplicação adequada de um cálculo integral: 
 
 
 


 )()sen(22
1
tdtVV ecm
  
)cos(cos225,0   ecm VV
 
 
onde: 
 min
 e 
 2max 
. 
 
2.3.2.2. Corrente instantânea e ângulo  
 
A corrente instantânea desse circuito deve ser calculada por uma análise diferencial a partir da 
aplicação da LKV (Lei de Kirchhoff das tensões) na única malha do circuito: 
 
 
)(
)(
)sen(2 tiR
dt
tdi
LtV c
c
e  
 
 
cmI
 
ceI
 
pu 
 (o) 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 28 
 
 
Resolvendo-se tal equação diferencial, chega-se ao seguinte resultado: 
 
 
  /
22
'
)sen()sen(
2
)( tec et
XR
V
ti 


 ou 
)()()( 21 tititic   
onde: 
)(1 RXtg 
; 
LX 
; 
RL
; e 


 tt '
 é a nova variável tempo deslocada à direita 
(pelo ângulo ) em relação à variável tempo original (t), isto é: a origem do tempo para esta equação 
está deslocada de (/) em relação à origem da tensão da rede. 
 
Ainda: i1(t) e i2(t) são as componentes de regime permanente e transitória de ic(t), 
respectivamente. 
 
)sen(
2
)(
22
1  

 t
XR
V
ti e
  /
222
'
)sen(
2
)( te e
XR
V
ti 


 
 
A Fig. 15 (p. 7) ilustra três formas de onda diferentes para esta corrente em função de três relações 
diversas entre os ângulos  (de disparo) e  (de carga). Já na Fig. 19 encontram-se ilustrações, para 
esta mesma corrente instantânea, relativas aos retificadores a diodo (a) e a tiristor (b). 
 
 
0 1 2 3 4 5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
 
0 1 2 3 4 5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
 
(a) Diodo (b) Tiristor 
Fig. 19 – Corrente instantânea e suas componentes, para carga RL. 
 
Importante notar que, no instante zero da corrente ic(t), os valores das suas componentes são iguais e 
de sinais contrários de tal forma que a resultante dê corrente nula! 
 
O ângulo de extinção  é encontrado por meio do Ábaco de Puschlowski, a ser aplicado a todo circuito 
retificador a tiristor (ou a diodo) com carga RLE, entendendo-se esta abreviatura como: resistor, 
indutor, bateria. Esta carga pode ser entendida como modelando um motor de corrente contínua. 
 
Para o cálculo do ângulo de extinção faz-se a expressão para a corrente instantânea ser igual a zero 
quando t = . Obtém-se, assim, a expressão abaixo, 
 
 
 
It(0) 
-It(0) 
ic(t) 
i2(t) 
i1(t) i1(t) 
i2(t) 
ic(t) 
 
 
 
t
' 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 29 
 
 
)(
)sen()sen(0
 

 L
R
e
 
 
cuja solução analítica é impossível, acarretando uma solução numérica. 
 
O princípio do Ábaco de Puschlowski pode ser entendido a partir da Fig. 20. O parâmetro “a” informa 
o quanto próximo do pico da tensão da rede é o valor da tensão da bateria (E); é um valor escalar que 
varia de 0 a 1. O primeiro valor da figura é a1 = 0 (circuito sem bateria). A cada valor de “a” (que 
pode, também, ser entendido como o valor em “pu” da bateria, na base 2.Ve) tem-se um feixe de 
curvas correspondentes a valores de cos, que crescem de cima para baixo. Conhecidos, por exemplo, 
os valores de a2 , 2 e cos2 pode ser identificado graficamente o valor de 2. (Vide exemplo na 
própria figura.) Verifica-se que, para a > 0 podem ser obtidos valores de  menores que 180o! 
 
 
a1 
cos 1 
cos 1 
a2 
cos n 
= valores crescentes 
cos n 
0o 
180o 
360o 
 
 
180o 
a=E/(2.Ve) 
2 
2 
cos 2 
Exemplo de leitura 
 
Fig. 20 – Princípio do ábaco de Puschlowski 
 
O gráfico real do ábaco de Puschlowski encontra-se disponível na Fig. 21 (pág.31), podendo ser 
utilizado para os retificadores monofásicos de meia onda, a diodo e a tiristor, com carga RLE. 
[Também poderá ser utilizado para circuitos retificadores monofásicos e trifásicos de ponto médio e 
para retificador do tipo ponte de Graetz (neste caso: a = E/(23Ve)).] 
 
 
2.3.2.3. Corrente média na carga RL: 
 
A corrente média (Icm) é simplesmente a relação entre a tensão média na carga e o valor da resistência 
da carga (R), já que o valor da “tensão média” no indutor é nulo! 
 
 
R
V
I cmcm 
  
R
V
I ecm
)cos(cos225,0  

 
 
 
Uma forma alternativa para o cálculo da corrente média é aplicar-se o cálculo integral: 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 30 
 
 
 
 
)()sen()sen(
2
2
1
)(
22
tdet
XR
V
I tg
t
e
cm 




 










 
 
 
Exatamente como foi feito no item 2.3.1.4 (pág.25), essa expressão pode ser normalizada em relação à 
corrente base: 
22
2
XR
V
I eb


. O resultado fica: 
 
)()sen()sen(
2
1
)(
tdetI tg
t
cm 




 









 
 
 
que pode ser resolvida computacionalmente e expressa graficamente conforme a Fig. 22 (pág. 32). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 31 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 21 – Ábaco de Puschlowski. 
[Fonte: BARBI, Ivo. Eletrônica de potência. Edição do autor, Florianópolis – SC, 2006] 
 
 
 
 
 
 
 (o) 
 (o) 
cos()=0 
a=0 
a=0,2a=0,4 
a=0,6 
a=0,8 
a=1,0 
cos()=0,2 
cos()=0,4 
cos()=0,6 
cos()=0,8 
cos()=1,0 
cos()=0,9 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 32 
 
 
 
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
 
Fig. 22 – Corrente média de carga, normalizada, parametrizada em . 
 
 
2.3.2.4. Corrente eficaz na carga RL: 
 
A corrente eficaz, analogamente ao que foi feito para o caso do retificador a diodo, pode ser calculada 
pela expressão: 
 
 
)()sen()sen(
2
2
1
2
)(
22
tdet
XR
V
I tg
t
e
ce 
























 

 
 
 
ou, de forma normalizada, como: 
 
 
)()sen()sen(
2
1
2
)(
tdetI tg
t
ce 













 

 
 
que também pode ser expressa graficamente, conforme a Fig. 23. (Corrente base: 
22
2
XR
V
I eb


.) 
 
cmI
 
α 
 = 90º 
 = 85º 
 = 75º 
 = 60º 
 = 45º 
 = 30º 
 = 0º 
 = 15º 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 33 
 
 
2.3.2.5. Potência dissipada (consumida) na carga RL: 
 
A potência dissipada, ou consumida, na carga é obtida, como já se sabe, pela expressão: 
 
2
cec IRP 
 
 
 
onde a corrente eficaz é obtida a partir da Fig. 23. 
 
 
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
 
Fig. 23 – Corrente eficaz de carga, normalizada, parametrizada em . 
 
 
3. Retificadores com carga RL e Diodo de “roda livre” 
 
 
Introduzindo-se um diodo em paralelo com a carga RL, obtêm-se os circuitos retificadores a diodo e a 
tiristor, conforme a Fig. 24. 
 
O funcionamento do circuito baseia-se no fato de que o indutor ainda tem corrente no instante em que 
a tensão da rede entra no semiciclo negativo. Isto, associado ao fato de que a polaridade instantânea de 
tensão do indutor é negativa (apontada para baixo, na figura), faz com que o diodo de roda livre fique 
polarizado diretamente e assuma a corrente da carga. Isto ocorre no mesmo instante em que o diodo 
principal se bloqueia, idealmente falando. Na prática, acontece um fenômeno de transição cruzada: a 
corrente no diodo principal cai a zero, de forma praticamente linear, enquanto a corrente no diodo de 
roda livre cresce, de forma análoga. Quando a corrente se anula no diodo principal este pode bloquear-
se, pois a corrente da carga foi totalmente transferida para o diodo de roda livre. 
ceI
 
α 
 = 90º 
 = 85º 
 = 75º 
 = 60º 
 = 45º 
 = 30º 
 = 15º 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 34 
 
 
 
 
(a) (b) 
Fig. 24 – Retificador monofásico com carga RL e diodo de roda livre: (a) a diodo; (b) a tiristor. 
 
 
A função do diodo de roda livre é dupla: 
 
a) elimina a parte negativa da tensão retificada, sobre a carga (RL); 
b) possibilita que a corrente na carga entre no chamado “modo de condução contínuo” (MCC), 
conforme se explica no quadro a seguir. 
 
 MCC ocorre quando a corrente na carga não toca o nível zero em nenhum momento. 
Quando acontece de a corrente tocar, e permanecer algum tempo, no nível zero entra-se 
no chamado “modo de condução descontínuo” ou MCD. 
 
 
3.1. Retificador a Diodo e com “Roda livre” 
 
A Fig. 25 apresenta as principais formas de onda relativas ao funcionamento do circuito retificador 
monofásico, a diodo, com carga RL e diodo de roda livre: tensões na rede e na carga, e corrente na 
carga. 
 
 
Fig. 25 – Formas de onda para o retif. a DIODO com carga RL e diodo de roda livre (I). 
 
A Fig. 26 apresenta a corrente na carga e suas duas componentes: a corrente no diodo principal e a no 
diodo de roda livre. 
 
Ic Ic 
VR 
VL 
Vc 
Vc 
VR 
VL 
IDRL 
ID 
IDRL 
IT 
Tensão na rede 
Tensão na carga 
Corrente na carga 
MCD 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 35 
 
 
 
Fig. 26 - Formas de onda para o retif. a DIODO com carga RL e diodo de roda livre (II). 
 
 
A Fig. 27 ilustra a corrente, suas componentes e a tensão retificada numa situação em que o indutor é 
relativamente grande e leva o circuito para o modo contínuo (MCC). 
 
 
 
Fig. 27 – Retif. com carga RL e DRL: corrente em MCC, suas componentes e a tensão retificada. 
 
 
OBS.: Circuito com L muito grande e R muito pequeno: sem diodo de roda livre o circuito não entra 
em modo contínuo. Os resultados de simulação abaixo (Fig. 28) mostram o que acontece. 
 
A explicação: por um raciocínio absurdo, imagine-se que a corrente no indutor (retificador de 
meia onda a diodo, carga RL, sem diodo de roda livre) comece a crescer no primeiro semiciclo 
positivo e não caia a zero ao final do semiciclo negativo; então ela iria continuar crescendo 
indefinidamente, pois nenhum fator existiria para fazê-la estabilizar-se!... Este absurdo explica (ou 
tenta explicar!) o fato de que o circuito não pode entrar em modo contínuo, pois o indutor deverá, 
sempre, carregar-se e descarregar-se completamente a cada ciclo da rede. 
Interpretação da figura: – O diodo conduz o tempo todo! A corrente resulta uma senoide 
retificada, com valor médio não nulo! É um retificador de corrente, apenas! 
 
Corrente na carga 
Corrente no diodo principal 
Corrente no diodo de roda livre 
Corrente no diodo de roda livre 
Tensão retificada 
Corrente na carga 
Corrente no diodo principal 
MCC 
(L muito grande!) 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 36 
 
 
 
Fig. 28 - Retificador de meia onda, a diodo, com carga RL, sem diodo de roda livre: L >> R. 
 
 
 
 
3.1.1. Indutância crítica 
 
Pode-se perguntar qual é o valor da indutância que coloca este retificador com diodo de roda livre em 
modo contínuo! Este valor é conhecido como indutância crítica e caracteriza o modo crítico (MCr) de 
funcionamento do circuito. Este modo está ilustrado na Fig. 29. 
 
 
Fig. 29 – Ilustração para o cálculo da indutância crítica (Lc ). 
 
 
O cálculo da indutância crítica é feito a partir da consideração de que o tempo crítico (tc ) corresponde 
exatamente a um semiciclo da tensão da rede, e este tempo pode ser igualado a cinco (5) constantes de 
tempo () do circuito RL em roda livre. Tem-se, portanto: 
 
 
R
L
t cc  55 
  





5
R
Lc
 
 
Tensão na rede 
Corrente na carga 
L = 300 mH; R = 1 m 
Tensão na rede 
Corrente na carga 
Modo de condução crítico (MCr): a corrente na 
carga RL (com diodo de roda livre) anula-se 
justamente no instante 2/. 
2/ / 
tc = / 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 37 
 
 
Este valor de indutância crítica serve como uma referência: um indutor de indutância menor que o 
valor daindutância crítica do circuito coloca o retificador em modo de condução descontínuo (MCD); 
no caso contrário, tem-se o modo de condução contínuo (MCC). 
 
 
3.1.2. Tensão média na carga 
 
Com base na Fig. 27 pode-se verificar que o valor da tensão média na carga volta a ser igual àquele 
que ocorre para o retificador de meia onda com carga resistiva, pura: 
 
e
e
cm V
V
V 

 45,0
2

 
 
Esta tensão, retificada de meia onda, pode ser expressa por meio da série de Fourier, o que resulta: 
 
















 ...
75
)6cos(
53
)4cos(
3
)2cos(22
)sen(
2
22
)(
tttV
t
VV
tv eeec
 
 
Esta expressão poderá ser usada para o cálculo das componentes harmônicas da corrente de carga 
instantânea, já que a corrente é a tensão dividida pela impedância (na frequência da harmônica 
considerada). 
 
 
3.1.3. Corrente média na carga 
 
A corrente média na carga pode ser obtida a partir da tensão média da carga ou a partir da tensão 
instantânea expressa pela série de Fourier. Tem-se, então: 
 
A partir da tensão média: 
R
V
R
V
I eecm





45,02

 
 
 
A partir da série de Fourier da tensão: 
...)()()()()( 6421  titititiIti cmc  
 
cujos valores das componentes são: 
)sen(
2
2
)( 1
1
1  


 t
Z
V
ti e
 
)2sen(
3
22
)( 2
2
2  

 t
Z
V
ti e
 
)4sen(
53
22
)( 4
4
4  

 t
Z
V
ti e
 
)6sen(
75
22
)( 6
6
6  

 t
Z
V
ti e
 
Em geral, para harmônica de ordem “n”: 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 38 
 
 
)sen(
)1()1(
22
)( n
n
e
n tn
Znn
V
ti  


 [n  1] 
OBS.: Para uma componente harmônica (n  1) ser inserida no mesmo gráfico da corrente 
fundamental deve-se tomar o cuidado de se dividir por “n” o valor do seu defasamento n. Este será 
marcado a partir da referência (zero grau) da tensão da rede (origem da simulação ou das correntes 
do circuito real). 
 
 
Se for necessário calcular-se o valor eficaz da corrente na carga faz-se: 
 
...... 226
2
4
2
2
2
1
2  cncccccmce IIIIIII
 
 
onde: 
1
1
2 Z
V
I ec


 , 
2
2
3
2
Z
V
I ec




 , 
4
4
15
2
Z
V
I ec




 , ... 
n
e
cn
Znn
V
I



)1)(1(
2
 [n  1] 
 
 
 Referência para os itens 3.1.2 e 3.1.3: 
 BARBI, Ivo. Eletrônica de potência. Edição do autor, Florianópolis – SC, 2006. 
 
 
 
3.2. Retificador a Tiristor e com “Roda livre” 
 
A Fig. 30 apresenta as principais formas de onda relativas ao funcionamento do circuito retificador 
monofásico, a tiristor, com carga RL e diodo de roda livre: tensões na rede e na carga, e corrente na 
carga. 
 
 
Fig. 30 - Formas de onda para o retif. a TIRISTOR com carga RL e diodo de roda livre (I). 
 
A Fig. 31 apresenta a corrente na carga e suas duas componentes: a corrente no tiristor e a no diodo de 
roda livre. 
 
 
Tensão na rede 
Tensão na carga 
Corrente na carga 
MCD 
 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 39 
 
 
 
Fig. 31 - Formas de onda para o retif. a TIRISTOR com carga RL e diodo de roda livre (II). 
 
Observar que, neste caso, o ângulo  é dado por:  = 180o + d. 
 
A Fig. 32 ilustra a corrente, suas componentes e a tensão retificada numa situação em que o indutor é 
relativamente grande e leva o circuito para o modo contínuo (MCC). 
 
O cálculo da indutância crítica, para este caso (retificador monofásico, carga RL, com diodo de roda 
livre, a tiristor), é feito da mesma forma que para o caso a diodo (item 3.1.1 pág. 36), mas com o 
cuidado de observar que, neste caso: 

 

2
ct
. 
 
 
 
 
Fig. 32 - Retif. com carga RL e DRL: corrente em MCC, suas componentes e a tensão retificada. 
 
 
3.2.1. Tensão média na carga 
 
Com base na Fig. 32 pode-se calcular o valor da tensão média retificada (na carga), a partir da integral: 
)()sen(2
2
1
tdtVV ecm 



 
o que resulta: 
Corrente na carga 
Corrente no tiristor 
Corrente no diodo de roda livre 
( > ) 
d 
Corrente na carga 
Corrente no tiristor 
Corrente no diodo de roda livre 
Tensão retificada 
MCC 
(L muito grande!) 
 
2 +   
Gleisimar
Pencil
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 40 
 
 
)cos1(225,0  ecm VV 
 
Isto significa que o valor médio da tensão retificada desse retificador não depende da carga (ângulos  
ou ), mas somente do usuário, através do ângulo de comando do tiristor (ou ângulo de disparo ). 
Para o caso particular em que  = 0o, obtém-se, de novo, o caso do retificador a diodo: Vcm = 0,45.Ve. 
 
 
3.2.2. Corrente média na carga 
 
A corrente média na carga pode ser obtida a partir da tensão média retificada: 
 
 
R
V
I cmcm 
  
R
V
I ecm
)cos1(225,0 
 
 
 
Já a corrente instantânea na carga (em MCD) – necessária para obtenção de ambos os valores médio e 
eficaz, normalizados – pode ser obtida como uma composição de duas correntes componentes da 
corrente de carga: componente que atravessa o tiristor (ic1) e componente que atravessa o diodo de roda 
livre (ic2). Portanto: 
 
21 ccc iii 
 
 
 
 Componente ic1:  /
22
1
'
)sen()sen(
2
)( tec et
XR
V
ti 


 
 
onde: 


 tt '
 (A nova variável tempo, t
’
, está atrasada de / segundos em relação à variável 
original, t. Isto é: a equação vale a partir do instante de tempo correspondente ao início da corrente no 
tiristor.) 
 
 Componente ic2: 
''
2
t
c eIi

 
 
 
onde: I é dada pelo valor de ic1 no instante /:    




)(
22
)sen()sen(
2
)( et
XR
V
tI e
 
 
 
e


 tt ''
 (A nova variável tempo, t
’’
, está atrasada de / segundos em relação à variável 
original, t. Isto é: a equação vale a partir do instante de tempo correspondente ao início da corrente no 
diodo de roda livre.) 
 
Com os valores parciais de ic1 e ic2 a corrente instantânea de carga pode ser calculada e, a partir dela, 
podem ser obtidos e traçados os valores das correspondentes correntes de carga média e eficaz. 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 41 
 
 
 
4. Retificadores com carga RLE 
 
A carga mais genérica é justamente a combinação dos três elementos passivos que podem ser ligados 
em série: o resistor (R), o indutor (L) – que atuará, na prática, como um filtro de corrente – e uma 
bateria (E). Tal carga genérica é adequada para representar (modelar) um motor elétrico de corrente 
contínua. Em tal situação a bateria corresponderá à força contraeletromotriz (fcem) nos terminais das 
escovas do motor; o resistor corresponderá à resistência total do circuito de armadura; e o indutor 
corresponderá à indutância de dispersão associada aos enrolamentos do motor. 
 
As topologias (circuitos) daFig. 33 apresentam os retificadores a diodo e a tiristor com carga genérica 
RLE. 
 
 
(a) (b) 
Fig. 33 - Retificadores monofásicos com carga RLE: (a) a diodo; (b) a tiristor. 
 
 
4.1. Retificador com carga RLE a diodo 
 
As formas de onda para o funcionamento do retificador a diodo e carga RLE estão apresentadas na 
Fig. 34. 
 
 
Fig. 34 – Formas de onda para o circuito retificador monofásico de meia onda a DIODO, carga RLE. 
 
A presença de uma bateria na carga faz com que o diodo apenas comece a conduzir quando a tensão na 
rede iguala a tensão da bateria. Antes disso o diodo encontra-se polarizado reversamente e não pode 
VR 
VL 
Vc Vc 
Ic Ic 
 
Tensão na rede 
Tensão na carga 
Corrente na carga 
1 
 
E = 50V 
 
 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 42 
 
 
conduzir. A figura acima identifica tal ângulo como sendo o ângulo 1. Quando o diodo começa a 
conduzir, a tensão na carga é, exatamente, a tensão da rede! 
 
A tensão instantânea na carga (tensão retificada) apresenta, agora, uma característica notável: se a 
corrente está no modo de condução descontínuo (MCD), durante os instantes em que a corrente é nula, 
a tensão na carga resulta igual à da bateria, tal como seria medida por um voltímetro CC entre os 
terminais da carga. Não tendo corrente na carga, não há quedas de tensão em R e L, resultando apenas 
o valor da tensão da bateria! 
 
O ângulo de extinção da corrente () será calculado a partir do Ábaco de Puschlowski (Fig. 21), a 
partir do conhecimento dos três parâmetros disponíveis: ângulo de disparo (), cosseno do ângulo  e 
valor por unidade da bateria (a). A Fig. 20 ajuda a revisar a interpretação e a utilização do ábaco de 
Puschlowski. 
 
Outro aspecto notável desse retificador é o fato de que a bateria influencia diretamente a 
desmagnetização do indutor: quanto maior o valor da tensão da bateria, menor será o tempo de 
existência da corrente e menor, portanto, o ângulo  (supondo mantidos constantes os demais 
parâmetros). A Fig. 35 apresenta as formas de onda para o mesmo retificador da Fig. 34, mas com uma 
bateria de 100V. Observa-se um ângulo  menor: correspondente a um tempo de 8,7ms. (Era um 
tempo de aproximadamente 10ms!) 
 
Este efeito explica-se pelo fato de que a integral da tensão ao longo do tempo tem dimensão de fluxo! 
Portanto, a bateria funciona como um elemento desmagnetizador do (fluxo do) indutor: quanto maior o 
valor da tensão da bateria, mais rapidamente será desmagnetizado o indutor, ou – o que é o mesmo – 
tanto mais rapidamente cai a corrente do circuito. 
 
 
Fig. 35 – Efeito do aumento do valor da tensão da bateria sobre o ângulo . 
 
 
4.1.1. Tensão média na carga 
 
A tensão média na carga RLE pode ser interpretada como sendo composta de duas partes: o efeito 
médio da tensão da rede existente na carga entre 1 e  (Vcm1) e o efeito médio da tensão da bateria ao 
longo do período (Vcm2), conforme se ilustra na Fig. 36. 
 
 
1 
Corrente na carga 
Tensão na carga 
Tensão na rede 
 
E = 100V 
 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 43 
 
 
 
 
Fig. 36 – Cálculo da tensão média na carga: Vcm1 e Vcm2. 
 
A tensão Vcm1 é calculada da mesma forma que se fez para o caso do retificador a tiristor com carga RL 
(item 2.3.2.1 pág. 27). Tem-se então: 
 
 
 




1
)()sen(2
2
1
1 tdtVV ecm
  
)cos(cos225,0 11   ecm VV 
 
onde o valor de  é obtido pelo ábaco de Puschlowski (pág. 31). 
 
 
A parcela Vcm2, correspondente ao efeito médio da tensão da bateria, é facilmente calculada, a partir da 
Fig. 36, como sendo: 


2
)2( 1
2

 EVcm
 
 
A tensão média na carga (Vcm) valerá então: 
 
  2 )2()cos(cos225,0 1121  EVVVV ecmcmcm 
 
Pode-se questionar o fato de que não aparece na expressão para a tensão média na carga o valor da 
tensão média sobre o resistor... Isto se explica da seguinte maneira: a queda de tensão média sobre R 
está incluída na tensão média Vcm1, já que esta existe enquanto existe corrente circulando e provocando 
queda de tensão no resistor. Pode-se verificar este fenômeno a partir da Fig. 37 
 
 
Fig. 37 – Tensão média sobre o resistor (R.Icm). 
 
Observe-se a igualdade de áreas (A1 = A2) no trecho que corresponde ao cálculo da tensão média Vcm1: 
isto é interpretado como igualdade dos fluxos positivo (A1 = magnetização) e negativo (A2 = 
desmagnetização) no indutor L. Se a área A1 (definida acima do nível da tensão média Vcm) iguala a 
área A2 (definida abaixo de Vcm), então a diferença entre os níveis de Vcm e E é, exatamente, a queda de 
tensão média sobre o resistor. De fato, se a resistência for considerada nula (caso R = 0; carga LE), 
então as áreas A1 e A2 serão definidas acima e abaixo, respectivamente, do nível E, pois este coincidirá 
com a tensão média na carga, já que não existirá tensão média sobre R! 
 
 
A1 = A2 
Vcm 
E 
R.Icm 
1 
 
Vcm1 
(2–+1) 
Vcm2 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 44 
 
 
4.1.2. Corrente média na carga 
 
A corrente média na carga é facilmente calculada partindo-se da seguinte igualdade: 
 
cmcm IREV  
 
 
Conclui-se então que: 
R
EV
I cmcm


 
 
 
 
4.1.3. Potência consumida na carga 
 
A potência consumida (ou absorvida) pela carga deverá ser entendida como sendo composta por duas 
partes: a potência dissipada no resistor e a potência absorvida pela bateria. Se bateria representar, de 
fato, uma bateria real, esta estaria sendo carregada; se representar um motor CC, este estará recebendo 
potência e transformando-a em potência mecânica ao girar numa velocidade proporcional à tensão da 
bateria (E). No caso do resistor, será necessário conhecer-se (por meio de um ábaco ou por simulação 
numérica) o valor da corrente eficaz na carga. Tem-se então: 
 
cmcec IEIRP 
2
 
 
 
 
4.2. Retificador com carga RLE a tiristor 
 
Toda a análise realizada para o retificador a diodo, acima apresentada, pode ser aplicada ao caso do 
tiristor. Isto acontece devido ao fato de que o ângulo 1 (caso do diodo) corresponde ao ângulo min , 
neste caso do retificador a tiristor. 
 
As formas de onda para o funcionamento do retificador a tiristor, para um ângulo de disparo genérico 
() e carga RLE, estão apresentadas na Fig. 38. 
 
 
Fig. 38 – Formas de onda para o circuito retificador monofásico de meia onda a TIRISTOR, carga RLE. 
Tensão na rede 
Tensão na carga 
Corrente na carga 
E = 50V 
 = 45o  
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I – PROF. ARAGÃO 45 
 
 
 
Todos os comentários feitos para o caso do retificador a diodo, carga RLE, aplicam-se para este 
retificador a tiristor, de mesmo tipo de carga. A novidade aqui é a existência de uma variável de 
controle (o ângulo de disparo ) que provocará alterações nas formas de onda de tensão e corrente na 
carga. 
 
 De fato, ao aumentar-se o ângulo de disparo (), o ângulo de extinção da corrente () fica alterado 
para menor. Comparando-se a Fig. 39 com a Fig. 38, observa-se que o ângulo  diminuiu, bem como 
diminuiu o pico da corrente