física 3 prova teórica resolvida.pdf

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INSTITUTO DE HSICA OA urnA 
~ DEPARTAMENTO DE FISICA DO ESTADO SOLIDO 
Wll.~ DISCIPLINA: FISICA GERAL E EXPERIMENTAL Ili (F IS 123) 
' SEMESTRE: 2° /03 08/01 103 
TURMA: T04 
1ª PROVA TEÓRICA 
1. Duas finas barras isolantes de mesmo comprimento 2a, separadas por uma distância b e carregadas oom 
mesma carga Q repousam sobre o eixo x, como mostra a figura abaixo. Calcule a força que uma barra 
exerce sobre a outra . Obs: J dx l (c - xY = c - x e (x >a) 
b 
-ü a (f>-a) 
Resolução: 
(b , a) 
X 
) 
1° Passo: cálculo do campo criado pela barra da esquerda em ponto x >a do eixo 
J' t 
1 
1 1 "' J·, .. 
-a Oi 
1 X 
X 
$. 
) 1 a 
~ 
t5 ) 
Seja x ' a distanciado elemento de carga àorigem ex a 
distância do ponto P onde se quer calcular o campo. A 
distância de P ao elemento de carga é (x - x') , de modo 
que o campo em P ~erá: 
a 
- li K dq -:- . - I KÀ dx' -: [ 1 l ]-: E = · 
1 
1 . Mas dq = Àdx ⇒ E = )" z = K)., ----- 1 . (x-x') (x-x' - x-a x+a 
Como À= Q , o campo será portanto: 2a · 
2º Passo: Calculo da força 
-' Of 
X ➔ I 
-~ 
b-a dq b+a 
-a 
li 
Temos agora uma barra carregada dentro de um campo 
que varia com a posição. A força sobre um elemento de 
carga dq será dF = Ê dq , de modo que a força total 
será : 
h+a b+a 
- Íi KQdq :- tKQldx :-
F = e 2 2r = ~2 2r x -a -a K Q À ln ( x- ai b+a = ~ tn( b ) - 1n(b - 2a Jl,: 2a x+a~b-a ~ b+2a b ,J 
h-a b- a 
Corno À= Q , a força será 
2a 
2. uma barra fi na isolante é dobrada de modo a formar um arco de circunferência 
de ângulo 2<P e raio R1• Uma outra barra é dobrada em forma de semicircunferência 
de raio R2 = 2 R1. Ambas barras estão carregadas uniformementecom a mesma 
densidade linear de carga À. e estão dispostas como mostra a figura 2. 
a. Sabendo-se que o campo elétrico no ponto O (centro de curvatura comum 
à; barras) é nulo , determine o valor de <l>. 
b. Se a carga na semicircunferência é Q, qual é a carga em outra barra? 
R 
c. Determine o potencial elétrico no ponto O, expressando-o em termos de Q e de R1 . 
Resolução: 
\ R 
a. Considere inicialmente o arco da esquerda. Um elemento de carga 
deste arco provoca no centro de curvatura O um campo dÊ que forma 
um ângulo J3 com o eixo de simetria. Simetricamente, podemos encontrar 
um outro elemento de carga que provoca em O um campo de mesmo 
módulo (a distância do elemento de carga ao ponto é a mesma) e que 
forma o mesmo ângulo com o eixo de simetria . Assim, a soma vetorial 
destes dois vetores deve apontar na direção do eixo de simetria. 
Mas isto deve acontecer para todos os elementos de carga do objeto, de modo que o campo resultante 
aponta para a direita do eixo de simetria (supondo À> O) . A magnitude do campo total será portanto 
igual à soma de todas as projeções dos vetores infinitesimais dE sobre o eixo, isto é: 
f fKd E1 = dE cos/3 = R1/cos{3 . Entretanto dq = lds = ÃR1df3, onde ds é um elemento do arco 
<l> 
de circunferência . O campo será portanto E1 = KÂ- Ícos/ld/3 = 2KÂ sen<t> . 
. ~ J' ~ 
-<l> 
O cálculo devido ao outro arco (semicircunferência) é exatamente igual ao precedente, apenas que 
neste caso o campo aponta para a esquerda e <l> = 90º. Teremos então: E2 = 
2
KÀ 
R2 
2KÀ 2KÀ 
Se o campo em O é nulo, E1 = E2 ⇒ Risen <1> = R
2 
R 1 ⇒ sen<l> =-1 =- , o que nos leva a : 
R2 2 
1 $=: 1 
b. Ses é O comprimento do arco de circunferência, À= 9_ . Para a semicircunferência , teremos então 
. s 
Q . - . 1C R, . q I 3 ql Q À=-- . Para o arco de circunferenc1a s =R12<1>=-- . Assim À=-=--=---
1C R,, 3 s 1C R1 1C R2 
q, = 3~ , Q ⇒ 1 q, = ~ 1 
3 
e. o potencial de uma distribuição continua de cargas é dada pela (t1'pnusao 
V = JK :q . Observe que, para o centro de um arco de clrcunferêocla, a dl11Ancia entre quaJqut,r J 
elemento de carga e o ponto O é sempre a mesma, ou seja, é sempre Igual ao raio de curvatura. AQi:m 
V = .!_ Jdq = K_q , onde q é a carga contída no arco. O potencial em O será então íguat awrna do& R R 
potenciais provocados pelas duas barras , ou seja : 
V= V, + V2 = K q, + K q2 . Do item anterior, q1 = (d . Além disso temos ,12 = Q e R2 :.: 2R, , O C.JJ8 R1 R2 6 
nos leva a: 
3. Uma nuvem de formato esférico de raio Ré carregada uniformemente com carga +e . No centro dessa 
nuvem encontra -se uma carga puntiforme de carga - e . 
a. Ser (r < R) for o deslocamento desta particula em relação ao centro , mostre que ela sofrerá uma 
força restauradora proporcional ao deslocamento (isto é , F = - K r ) e passará a oscilar em tomo do 
centro com uma freqüência angular,,> . 
b . Se mé a massa da partícula, determineü>. Expresse seu resultado em função dee , R, me demais 
constantes. 
Resolução: 
Considere uma superfície gaussiana de raio r < R no interior da nuvem 
carregada . Para o cálculo do campo devemos aplicar a lei de Gauss: 
J E.dà = Qint . Como o problema tem simetria esférica , devemos ter : 1' Eº 
f f.dÃ= f EdA= EfA = E4n:r' 
Por outro lado, a carga interna à superfície gaussiana vale Q,"' = f p d V = p f d V = ; 11: R3 p . 
Aplicando a lei de Gauss, encontramos E= _E_, 
]cu 
3e 
Como e é a carga da nuvem, então p = 3 . Além disso, o vetor campo elétrico é radial e aponta 4,c R 
- er 
para fora da esfera, de modo que podemos escrever: E = ---r , onde ré um vetor unitárío 
4,r t:
0 
R3 
radial. 
Assim , uma carga - e local izada a uma distância r do centro sofre uma força: 
e2 r F =-e E =-----r 
4nL· R3 e;../) 
" 
- e-
F = - K r P onde K" --- é uma constante. A força é proporcional ao deslocamento e 
' = 4nr R-' 
u 
restauradora , pois sempre aponta para o centro da nuvem. A equaçao de movimento será: 
d 2r 
m-')- + I\." r = O , que descreve um movimento harmônico simples. 
dr· 
e2 
b. a partícula irá oscilar com freqüência angular W = =, R3 41a:11 m