Integração e Raízes - Método de Newton em Matlab

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Métodos Numéricos - Professor Davi Taira - metodonumerico01@gmail.com 
 
Nome do Aluno: Caroline dos Santos Duarte Curso: Eng. Química 
 
Trabalho no 04 – Data de Entrega: 19/04/2018 (para o email acima) - Formato: pdf 
 
ENUNCIADOS 
Questão 4 (da Lista de Integração) 
Escreva um código para resolver a seguinte integral dupla ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
, adaptado no método do Trapézio. 
Por este método resolva as seguintes integrais. Compare os resultados numéricos com as soluções analíticas. 
Programa: 
 
a) ∫ ∫ (𝒙 + 𝒚) 𝒅𝒚 𝒅𝒙
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
, use 𝒏𝒙 = 𝒏𝒚 = 𝟐𝟎 
 
Resultado numérico: 
>>q04('x+y',0,1,0,1,20,20) 
 
 Resposta = 0.928750000000000 
 
Solução analítica: ∫ ∫ (x + y)dydx = 1
1
0
1
0
 
 
b) ∫ ∫ 𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙
𝟔
𝟑
𝟐
𝟏
, use 𝒏𝒙 = 𝟏𝟓, 𝒏𝒚 = 𝟒𝟓 
 
Resultado numérico: 
>>q04('x*y',1,2,3,6,15,45) 
 
 Resposta: 18.719999999999999 
 
Solução analítica: ∫ ∫ xy dy dx =
81
4
≅
1
0
 20,25
1
0
 
 
 
 
 
 
function E = dupla (integrando,x,xp,y,yp,nx,ny) 
format long 
hy=(yp-y)/ny; 
hx=(xp-x)/nx; 
G = inline(integrando); 
x= x:hx:xp; 
y= y:hy:yp; 
 
for i=1:nx+1; 
for j=1:ny+1; 
f(i,j) = G(x(i),y(j)); 
end 
end 
 
E=0.25*hx*hy*(sum(f(1:nx+1,1)) + sum(f(1:nx+1,ny+1))) + hx*hy*sum(sum(f(2:nx,2:ny))); 
 
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Questão 5 (da Lista de Raizes) 
A função 𝑓(𝑥) = (4𝑥 − 7)/(𝑥 − 2) se anula em 𝑥 = 7/4. Calcule as iterações do Método de Newton partindo das 
aproximações iniciais: 
𝑎) 𝑥0 = 1.625; 𝑏) 𝑥0 = 1.875; 𝑐) 𝑥0 = 1.5; 𝑑) 𝑥0 = 1.95; 𝑒) 𝑥0 = 3; 𝑓) 𝑥0 = 7. 
a) X0=1.625 b) X0=1.875 
 
c) X0=1.5 d) X0=1.95 
 
 
e) X0=3 
%Código Metodo de Newton com Grafico 
clear all; clc; 
f=inline('(4*x-7)/(x-2)'); 
fder=inline('(-1/((x-2).^2))'); 
imax=20; 
tol=1E-15; 
x(1)=X0; 
disp('Iter. x(i) f(x(i))'); 
for i=1:imax 
 x(i+1)=x(i)-f(x(i))/fder(x(i)); 
 fprintf('%3i %18.14f %18.14f\n',i,x(i),f(x(i))); 
 if abs(f(x(i))) < tol; break 
 end 
end 
 xp=0:0.05:4; 
 yp=(4.*xp-7)./(xp-2); 
 plot (xp,yp,'LineWidth',2.5); 
 hold on; grid on; 
xlabel('x', 'fontsize', 14); 
ylabel('f(x)','fontsize', 14); 
ld=legend('Método de Newton', 5); 
set(legend, 'Fontsize',10); 
legend('boxon'); 
 
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f) X0=7 
 
Explique graficamente seus resultados (apresente estes gráficos). 
No método de Newton, supomos um valor inicial e então se inicia o processo de busca da 
solução. O tipo de função e o valor inicial suposto, determinarão a convergência ou divergência. 
Tomando a reta tangente, se ao interceptar o eixo x, essa se aproxima da raiz da função, podemos 
declarar que esta convergência é satisfatória. Desta forma, para as alternativas “a” (x0=1.625), “b” 
(x0=1.875) e “d” (x0=1.95), a solução apresentou convergência satisfatória, enquanto que para as 
alternativas “c” (x0=1.5), “e” (x0=3) e “f” (x0=7), a solução foi divergente e não foi possível achar a 
solução correta. 
Exemplo gráfico de convergência: 
 
Figura 1 Chute inicial de 1.625 
 
Questão – Compare os métodos: Newton, Secante e Bissecção. Caracterize as vantagens e desvantagens. 
O objetivo dos métodos iterativos Newton, Secante e Bissecção é encontrar zeros de 
funções. Algumas funções podem ter suas raízes calculadas analiticamente, porém outras são de difícil 
solução ou de solução desconhecida, sendo necessário a solução por métodos numéricos. Esses métodos 
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numéricos de implementação computacional são viáveis para encontrar um valor para x dentro de um 
intervalo com uma precisão razoável. 
Método de Newton: tem o objetivo de estimar as raízes de uma função a partir de uma 
aproximação inicial para esta. Depois, se calcula a equação da reta tangente da função nesse ponto e a 
interseção dela com o eixo x, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Fazemos isso 
várias vezes, criando assim um método iterativo para encontrarmos a raiz da função. 
✓ Vantagem: 
• Rápida convergência. 
✓ Desvantagens: 
• Exige o conhecimento da derivada analítica da função; 
• Nem sempre converge; 
• Depende muito da estimativa inicial; 
• Se a derivada for nula o método falha. 
 
Método das secantes: é uma aproximação para o método de Newton, no qual não há 
necessidade de conhecer-se a derivada analítica da função. A inclinação é aproximada pela linha que 
une a função avaliada no ponto de estudo e no ponto da iteração anterior. Analogamente ao método de 
Newton, que está relacionado às retas tangentes, este método está relacionado às retas secantes. 
✓ Vantagens: 
• Rápida convergência; 
• Não necessita o conhecimento da derivada analítica da função. 
✓ Desvantagens: 
• Mais lento que o método de Newton; 
• Nem sempre converge; 
• Depende muito da estimativa inicial; 
• Se a derivada for nula o método falha. 
Método da bisseção: considera que uma função contínua tem um zero no intervalo. Assim, a ideia 
para aproximar o zero de uma tal função f(x) é tomar, como primeira aproximação, o ponto médio do intervalo [a,b], 
de maneira que: 
x =
𝑎 + 𝑏
2
 
✓ Vantagens: 
• Não exige o conhecimento da derivada da função; 
• Método Simples; 
• Sempre converge a uma solução; 
✓ Desvantagens: 
• O esforço computacional cresce muito quando se aumenta a exatidão da raiz; 
• Convergência lenta;