Aula 2 Aritmética de Ponto Flutuante I

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Aritmética de Ponto Flutuante I 
 Sistema em Ponto Flutuante 
 
 Um computador ou uma calculadora representam os números 
num sistema chamado de ponto flutuante. Neste sistema um número 
𝒙 é representado na forma: 
𝒙 = ±𝟎. 𝒅𝟏𝒅𝟐𝒅𝟑 …𝒅𝒕
𝒎𝒂𝒏𝒕𝒊𝒔𝒔𝒂
× 𝜷𝒆 
• 𝛽 é a base; 
• 𝑡 é o número de dígitos na mantissa tais que 𝑑1 ≠ 0 e 
• 0 ≤ 𝑑𝑗 ≤ 𝛽 − 1 para todo 𝑗 = 1,… , 𝑡; 
• 𝑒 é o expoente com −𝑚 ≤ 𝑒 ≤ 𝑀. 
 
 Denotamos por 𝐹(𝛽, 𝑡,𝑚,𝑀) o conjunto de todos os pontos 
flutuantes para 𝛽, 𝑡,𝑚 e 𝑀 fixos. 
 Sistema em Ponto Flutuante 
Exemplo 1 
Considere o sistema 𝐹(10, 3, 2,2). 
a) Represente os números abaixo neste sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥1 = 0.35 
𝑥2 = −5.17 
𝑥3 = 0.0123 
𝑥4 = 5390 
𝑥5 = 0.0003 
𝑥1 = +0.350 × 10
0 
𝑥2 = −0.517 × 10
1 
𝑥3 = +0.123 × 10
−1 
𝑂𝑉𝐸𝑅𝐹𝐿𝑂𝑊 
𝑈𝑁𝐷𝐸𝑅𝐹𝐿𝑂𝑊 
 Sistema em Ponto Flutuante 
Exemplo 1 
Considere o sistema 𝐹(10, 3, 2,2). 
b) Quais são os maiores e os menores números representados 
neste sistema? 
 
• Menor número: 𝑥𝑚 = 0.100 × 10
−2 = 0.001 
 
• Maior número: 𝑥𝑀 = 0.999 × 10
2 = 99.9 
 
 
 Padrão IEEE754 
 
Trabalho publicado em 1985 e organizado pela IEEE cujo objetivo 
era: 
• Uniformizar os resultados obtidos por um mesmo programa 
computacional em diferentes máquinas; 
• Especificar como representar os números em precisão dupla e 
simples; 
• Padronizar o arredondamento nas operações neste sistema; 
• Estabelecer critérios para padronizar situações como: divisão por 
zero, operações envolvendo infinito. 
 Padrão IEEE754 
 
Base 𝛽 = 2 : 1 bit = dígito binário 
 1 byte = conjunto de 8 bits 
 
Representação em precisão simples 
São reservados 32 bits para armazenar o número 
 
 
 
• 1 bit é reservado para o sinal (positivo ou negativo) 
• 8 bits são reservados para o expoente da base 
• 23 bits reservados para a mantissa 
 
 Padrão IEEE754 
 
Representação em precisão dupla 
São reservados 64 bits para armazenar o número 
 
 
 
• 1 bit é reservado para o sinal (positivo ou negativo) 
• 11 bits são reservados para o expoente da base 
• 52 bits reservados para a mantissa 
 
 Padrão IEEE754 
 
Representação em precisão dupla 
São reservados 64 bits para armazenar o número 
 
 
 
• 1 bit é reservado para o sinal (positivo ou negativo) 
• 11 bits são reservados para o expoente da base 
• 52 bits reservados para a mantissa 
 
 Padrão IEEE754 
 
• O zero é representado com as sequências de bits todos nulos 
tanto para o expoente quanto para a mantissa: 
 
 
• O padrão IEEE precisão dupla é capaz de representar números 
positivos entre 1.79 × 10308 e 2.23 × 10−308, aproximadamente. 
 
• O padrão IEEE possui uma representação especial para a divisão 
por zero, ±∞, e 𝑁𝑎𝑁 (Not a Number) para expressões como 0/0. 
 Sistema em Ponto Flutuante 
 
Algarismos significativos 
 
Um número 
𝑥 = 0. 𝑑1𝑑2𝑑3 …𝑑𝑛 × 𝛽
𝑒 
Tem 𝑘 dígitos significativos quando 𝑑1 ≠ 0 e 𝑑𝑗 = 0 para 𝑗 > 𝑘. 
 
Exemplo 2: O número 0.0602400 tem 4 algarismos significativos. 
 Sistema em Ponto Flutuante 
 
 Um número 𝑥 é dito uma aproximação do número 𝑥 quando 
existe uma pequena diferença entre eles. 
 
Tipos de aproximação: 
• Truncamento: Despreza-se os algarismos restantes 
• Arredondamento: Troca-se 𝑥 por um outro número 𝑥 de modo que 
𝑥 − 𝑥 
seja o menor valor possível. 
Para o arredondamento de um número na base 10, devemos 
observar o primeiro dígito a ser descartado. Se este dígito é menor 
que 5, deixa-se os dígitos inalterados, caso contrário, devemos 
somar 1 ao último dígito remanescente. 
 Sistema em Ponto Flutuante 
Exemplo 3 
Considere o sistema 𝐹(10, 3, 4,4). Represente os números 
abaixo neste sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 Arredondamento Truncamento 
𝑥1 = 1.25 
𝑥2 = 10.053 
𝑥3 = −238.15 
𝑥4 = 2.71828 
𝑥5 = 0.000007 
𝑥6 = 718235.82 
𝑥1 = +0.125 × 10
1 
𝑥2 = +0.101 × 10
2 
𝑥3 = −0.238 × 10
3 
𝑂𝑉𝐸𝑅𝐹𝐿𝑂𝑊 
𝑈𝑁𝐷𝐸𝑅𝐹𝐿𝑂𝑊 
𝑥1 = +0.125 × 10
1 
𝑥2 = +0.100 × 10
2 
𝑂𝑉𝐸𝑅𝐹𝐿𝑂𝑊 
𝑈𝑁𝐷𝐸𝑅𝐹𝐿𝑂𝑊 
𝑥3 = −0.238 × 10
3 
𝑥4 = +0.272 × 10
1 𝑥4 = +0.271 × 10
1 
 Sistema em Ponto Flutuante 
 
Tipos de erros: 
 
• Erro absoluto 
 𝐸𝐴𝑥 = 𝑥 − 𝑥 
 
• Erro relativo 
𝐸𝑅𝑥 =
𝑥 − 𝑥 
𝑥 
 
Exemplo 4 
Considere o número 
𝑥4 = 2.71828 
do Exemplo 3. 
 
Truncamento: 
 
𝐸𝐴𝑥4 = 𝑥4 − 𝑥4 = 2.71828 − 2.71 = 0.00828 
 
𝐸𝑅𝑥4 =
𝑥4 − 𝑥4
𝑥4
=
2.71828 − 2.71
2.71
= 0.003055 
 Sistema em Ponto Flutuante 
 
𝑥4 = +0.271 × 10
1 
Exemplo 4 
Considere o número 
𝑥4 = 2.71828 
do Exemplo 3. 
 
Arredondamento: 
 
𝐸𝐴𝑥4 = 𝑥4 − 𝑥4 = 2.71828 − 2.72 = 0.00172 
 
𝐸𝑅𝑥4 =
𝑥4 − 𝑥4
𝑥4
=
2.71828 − 2.72
2.72
= 0.000632 
 Sistema em Ponto Flutuante 
 
𝑥4 = +0.272 × 10
1 
 Sistema em Ponto Flutuante 
 
• O arredondamento produz erros menores, porém o seu 
uso acarreta num maior tempo de execução e, por esta 
razão, o truncamento é mais utilizado. 
 
• Em geral, apenas o valor de 𝑥 é conhecido e, neste 
caso, é impossível obter o valor exato para o erro 
absoluto. O que se faz é obter um limitante superior para 
o erro. 
Exemplo 5 
Seja 𝑥 = 2112.9 de tal forma que 𝐸𝐴𝑥 < 0.1. 
 → 𝑥 ∈ (2112.8, 2113) 
 
Seja 𝑦 = 5.3 de tal forma que 𝐸𝐴𝑦 < 0.1. 
 → 𝑦 ∈ (5.2 , 5.4) 
 
Os dois números estão representados com a mesma precisão? 
 
 Sistema em Ponto Flutuante 
 
Exemplo 5 
Neste caso, é melhor utilizar o erro relativo. 
𝐸𝑅𝑥 =
𝐸𝐴𝑥
𝑥 
≤
0.1
2112.9
≈ 4.7 × 10−5 
 
𝐸𝑅𝑦 =
𝐸𝐴𝑦
𝑦 
≤
0.1
5.3
≈ 0.02 
Vemos que o número 𝑥 é representado com maior precisão 
que o número 𝑦. 
 
 Sistema em Ponto Flutuante 
 
 
 Referências Bibliográficas 
• Vera Lopes e Márcia Ruggiero. Cálculo Numérico - Aspectos 
Teóricos e Computacionais. 2. Pearson. 2000 
• Neide Franco. Cálculo Numérico. 1. Pearson Prentice Hall. 
2006 
• Selma Arenales, Artur Darezzo. Cálculo numérico : 
aprendizagem com apoio de software. 1. Thomson Learning. 
2008 
• Richard L. Burden, J. Douglas Faires. Numerical Analysis. 9. 
Cengage Learning. 2011 
• José Vargas, Luciano Araki. Cálculo Numérico Aplicado. 1. 
Manoele. 2016 
 
Profa. Dra. Julianna Pinele 
julianna.pinele@ufrb.edu.br