MAT COMPOSTOS Apostila J.Carlos

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Universidade Federal de Santa Catarina 
Departamento de Engenharia Mecânica
Grupo de Análise e Projeto Mecânico
 
 
 
 
 
 
 
 
CCUURRSSOO DDEE PPRROOJJEETTOO EESSTTRRUUTTUURRAALL CCOOMM MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS 
 
 
 
PPrrooff.. JJoosséé CCaarrllooss PPeerreeiirraa 
 
 
 
FFlloorriiaannóóppoolliiss,, aaggoossttoo ddee 22000055
SSUUMMÁÁRRIIOO 
––
 
1 – ASPECTOS GERAIS DOS MATERIAIS COMPOSTOS __________________ 1 
11..11 DeffiinniiççããoDe o ______________________________________________________________________________________________________ 11 
11..2 Componnennttess cconnssttiittuuiinnttess de uum maa erriiaall ccomposstto2–– Compo e e o e de m m tte ompo o ______________________________________ 11 
1.2.1 – Fibras1.2.1 – Fibras____________________________________________________________________________________________________ 11 
1.2.2 – Matrizes1.2.2 – Matrizes ______________________________________________________________________________________________22 
11..3 –– Inntterresssse doss maa erriiaaiiss ccompossttoss3 I e e e do m tte ompo o ______________________________________________________________33 
11..4 –– Aplliiccaaççõess doss maatterriiaaiiss ccomposs oss4 Ap õe do m e ompo tto ______________________________________________________________44 
11..5 –– PPrroprriiedaadess ffííssiiccaass prriinncciipaaiiss5 op ed de p p ______________________________________________________________________99 
11..6 –– Caa aacc errííssttiiccaass daa miissttuurraa rrefforrçço maattrriiz6 C rr tte d m e o o--m z __________________________________________________ 1111 
11..7 –– PPrroccessssoss de ffaabrriiccaaççãão7 o e o de b o ____________________________________________________________________________ 1133 
1.7.1 – Moldagem sem pressão1.7.1 – Moldagem sem pressão ________________________________________________________________________ 1144 
1.7.2 – Moldagem por projeção simultânea1.7.2 – Moldagem por projeção simultânea ______________________________________________________ 1155 
1.7.3 – Moldagem a vácuo1.7.3 – Moldagem a vácuo ________________________________________________________________________________ 1166 
1.7.4 – Moldagem por compressão a frio1.7.4 – Moldagem por compressão a frio __________________________________________________________ 1177 
1.7.5 – Moldagem por injeção1.7.5 – Moldagem por injeção __________________________________________________________________________ 1177 
1.7.6 – Moldagem em contínuo1.7.6 – Moldagem em contínuo ________________________________________________________________________ 1188 
1.7.7 – Moldagem por centrifugação1.7.7 – Moldagem por centrifugação ________________________________________________________________ 1199 
1.7.8 – Bobinamento circunferencial1.7.8 – Bobinamento circunferencial ________________________________________________________________2200 
1.7.9 – Bobinamento helicoidal1.7.9 – Bobinamento helicoidal ________________________________________________________________________ 2211 
1.7.10 – Bobinamento polar1.7.10 – Bobinamento polar ______________________________________________________________________________2222 
11..8 –– Arrqquuii ettuurraa doss maatterriiaaiiss ccompossttoss8 A tte do m e ompo o __________________________________________________________2233 
1.8.1 – Laminados1.8.1 – Laminados ____________________________________________________________________________________________2233 
1.8.2 – Sanduíche1.8.2 – Sanduíche __________________________________________________________________________________________2244 
11..9 –– Detterrmiinnaaççãão experriimenn aall daass cconnssttaann ess elláássttiiccaass de uumaa llââmiinnaa9 De e m o expe me tt d o tte e de m m ____________2255 
 
2 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS ___________28 
2..11 –– Eqquuaaççõess cconnssttiittuuttiivvaass paarraa maatterriiaaiiss ccompossttoss2 E õe o p m e ompo o ________________________________________2288 
2..2 –– Effeii o daa ttemperraattuurraa2 2 E e tto d empe ______________________________________________________________________________3333 
3 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS NUMA DIREÇÃO 
QUALQUER ___________________________________________________34 
3..11 –– Eqquuaaççõess cconnssttiittuuttiivvaass doss maatterriiaaiiss ccomposs oss nnuumaa diirreççãão qquuaallqquuerr3 E õe o do m e ompo tto m d e o e ________3344 
3..2 - Effeiitto daa emperraattuurraa3 2 - E e o d ttempe ______________________________________________________________________________4422 
4 – COMPORTAMENTO MECÂNICO DE PLACAS LAMINADAS _____________44 
4..11 –– Teorriiaa Clláássssiiccaa de Laamiinnaadoss T..C..L..))4 Teo C de L m do ((T C L __________________________________________________________4444 
4.1.1 – Comportamento em membrana4.1.1 – Comportamento em membrana ______________________________________________________________4444 
4.1.2 – Comportamento em flexão4.1.2 – Comportamento em flexão____________________________________________________________________5544 
4.1.3 – Efeito da temperatura4.1.3 – Efeito da temperatura ________________________________________________________________________6644 
4..2 –– Teorriiaa de PPrriimeiirraa Orrdem (T..PP..O..))4 2 Teo de me O dem (T O ______________________________________________________________6699 
4..3 –– Detterrmiinnaaççãão daa deffllexãão em pllaaccaass llaamiinnaadaass4 3 De e m o d de ex o em p m d __________________________________________7744 
4..4 –– Detterrmiinnaaççãão daass ttennssõess de cciissaallhaamenntto rraannssvverrsso em pllaaccaass llaamiinnaadaass4 4 De e m o d e õe de h me o tt e o em p m d 8833 
4..5 - Viibrraaççõess em pllaaccaass llaamiinnaadaass4 5 - V b õe em p m d __________________________________________________________________8877 
4.5.1 – Equações lineares de equilíbrio de placas4.5.1 – Equações lineares de equilíbrio de placas ______________________________________________8877 
4.5.2 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria Clássica de Laminados4.5.2 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria Clássica de Laminados __________9900 
4.5.3 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria de Primeira Ordem4.5.3 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria de Primeira Ordem ______________9933 
5 – CRITÉRIOS DE RUPTURA______________________________________99 
5..11 –– Crrii érriio de ttennssãão mááxiimaa5 C tté o de e o m x m __________________________________________________________________________9999 
5..2 –– Crriittérriio de defforrmaaççãão mááxiimaa5 2 C é o de de o m o m x m ________________________________________________________________ 110000 
5..3 –– Compaarraaççãão ennttrre oss ccrriittérriioss de ttennssãão mááxiimaa e de defforrmaaççãão mááxiimaa5 3 Comp o e e o é o de e o m x m e de de o m o m x m 110011 
5..4 –– Crriittérriioss iinntterraattiivvoss5 4 C é o e o ________________________________________________________________________________ 110044 
5.4.1 – Revisão do critério de von Mises5.4.1 – Revisão do critério de von Mises ________________________________________________________ 110044 
5.4.2 – Critério de Hill5.4.2 – Critério de Hill__________________________________________________________________________________ 110088 
 
5.4.3 – Critério de Tsai-Hill5.4.3 – Critério de Tsai-Hill __________________________________________________________________________ 111100 
5.4.4 – Critério de Hoffman5.4.4 – Critério de Hoffman__________________________________________________________________________ 111100 
5.4.5 – Critério de Tsai-Wu5.4.5 – Critério de Tsai-Wu __________________________________________________________________________ 111111 
5..4 –– Méttodo de degrraadaaççãão5 4 Mé odo de deg d o ____________________________________________________________________________112244 
6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO AOS MATERIAIS 
COMPOSTOS_________________________________________________ 142 
6..11 –– Enne giiaa de defforrmaaççãão ellemennttaarr6 E errg de de o m o e eme ____________________________________________________________ 114422 
6..2 –– Ennerrgiiaa cciinnéttiiccaa ellemenn aarr6 2 E e g é e eme tt ______________________________________________________________________ 114466 
6..3 –– Trraabaallho eaalliizaado pellaass fforrççaass ex errnnaass6 3 T b ho rre z do pe o extte ________________________________________________ 114488 
6..4 –– PPrrobllemaa essttáá iicco prriinnccíípiio doss ttrraabaallhoss vviirrttuuaaiiss6 4 ob em e tt o –– p p o do b ho __________________________________ 114499 
6..5 –– PPrrobllemaa diinnââmiicco –– eqquuaaççõess de llaagrraannge6 5 ob em d m o e õe de g ge ________________________________________________ 115500 
6.5.1 – Freqüências naturais e modos de vibração6.5.1 – Freqüências naturais e modos de vibração __________________________________________ 115500 
6.5.2 – Resposta no tempo6.5.2 – Resposta no tempo ____________________________________________________________________________ 115511 
6..6 –– Exemplloss de aaplliiccaaççãão6 6 Exemp o de p o______________________________________________________________________________ 115511 
6.6.1 – Chassi de kart6.6.1 – Chassi de kart __________________________________________________________________________________ 115511 
6.6.2 – Chassi de side-car6.6.2 – Chassi de side-car ____________________________________________________________________________ 115522 
6.6.3 – Quadro de bicicleta (a)6.6.3 – Quadro de bicicleta (a)______________________________________________________________________ 115533 
6.6.4 – Raquete de tênis6.6.4 – Raquete de tênis ______________________________________________________________________________ 115533 
6.6.5 – Carroceria de caminhão baú6.6.5 – Carroceria de caminhão baú ______________________________________________________________ 115544 
6.6.6 – Casco de catamaran6.6.6 – Casco de catamaran __________________________________________________________________________ 115544 
6.6.7 – Quadro de bicicleta (b)6.6.7 – Quadro de bicicleta (b) ____________________________________________________________________ 115555 
6.6.8 – Chassi de um caminhão leve6.6.8 – Chassi de um caminhão leve________________________________________________________________ 115555 
7 – FLAMBAGEM DE PLACAS LAMINADAS __________________________ 156 
7..11 –– Eqquuaaççõess lliinneaarress de eqquuiillííbrriio de pllaaccaass7 E õe e e de e b o de p __________________________________________________ 115566 
7..2 –– Eqquuaaççõess nnãão lliinneaarress de eqquuiillííbrriio de pllaaccaa7 2 E õe o e e de e b o de p ______________________________________________ 115588 
7..3 –– Méttodo daa perr uurrbaaççãão aaplliiccaado àà ffllaambaagem7 3 Mé odo d pe tt b o p do mb gem __________________________________________ 116611 
 
REFERÊNCIAS________________________________________________ 174 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 1
11 –– AASSPPEECCTTOOSS GGEERRAAIISS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS 
––11..11 DDeeffiinniiççããoo 
Um material composto é formado pela união de dois materiais de naturezas 
diferentes, resultando em um material de performance superior àquela de seus 
componentes tomados separadamente. O material resultante é um arranjo de fibras, 
contínuas ou não, de um material resistente (reforço) que é impregnado em uma 
matriz de resistência mecânica inferior as fibras. 
 
11..22–– CCoommppoonneenntteess ccoonnssttiittuuiinntteess ddee uumm mm ttaa eerriiaall ccoommppoossttoo 
11..22..11 –– FFiibbrraass 
 A(s) fibra(s) é o elemento constituinte que confere ao material composto suas 
características mecânicas: rigidez, resistência à ruptura, etc. As fibras podem ser 
curtas de alguns centímetros que são injetadas no momento da moldagem da peça, 
ou longas e que são cortadas após a fabricação da peça. 
 Os tipos mais comuns de fibras são: de vidro, de aramida (kevlar), carbono, 
boro, etc. As fibras podem ser definidas como sendo unidirecionais, quando 
orientadas segundo uma mesma direção; bidimensionais, com as fibras orientadas 
segundo duas direções ortogonais (tecidos), Figura 1.1 e Figura 1.2, ou com as fibras 
orientadas aleatoriamente (esteiras), Figura 1.3; e tridimensionais, quando as fibras 
são orientadas no espaço tridimensional (tecidos multidimensionais). 
 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 2
11..22..22 –– MMaattrriizzeess 
 As matrizes têm como função principal, transferir as solicitações mecânicas 
as fibras e protegê-las do ambiente externo. As matrizes podem ser resinosas 
(poliéster, epóxi, etc), minerais (carbono) e metálicas (ligas de alumínio). 
 
Figura 1.1 – Tecido - padrão 1 
 
 
Figura 1.2 – Tecido - padrão 2 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 3
 
Figura 1.3 – Esteira (fibras contínuas ou cortadas) 
 
A escolha entre um tipo de fibra e uma matriz depende fundamentalmente da 
aplicação ao qual será dado o material composto: características mecânicas 
elevadas, resistência a alta temperatura, resistência a corrosão, etc. O custo em 
muitos casos pode também ser um fator de escolha entre um ou outro componente. 
Deve ser observada também a compatibilidade entre as fibras e as matrizes. 
 
11..33 –– IInntteerreessssee ddooss mm ttaa eerriiaaiiss ccoommppoossttooss 
 O interesse dos materiais compostos está ligado a dois fatores: econômico e 
performance. O fator econômico vem do fato do material composto ser muito mais 
leve que os materiais metálicos, o que implica numa economia de combustível e 
conseqüentemente, num aumento de carga útil (aeronáutica e aeroespacial). A 
redução na massa total do produto pode chegar a 30 % ou mais, em função da 
aplicação dada ao material composto. O custo de fabricação de algumas peças em 
material composto pode ser também sensivelmente menor se comparado com os 
materiais metálicos. 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 4
O fator performance está ligado a procura por um melhor desempenho de 
componentes estruturais, sobretudo no que diz respeito às características 
mecânicas (resistência a ruptura, resistência à ambientes agressivos, etc.). O 
caráter anisotrópico dos materiais compostos é o fator primordial para a obtenção 
das propriedades mecânicas requeridas pelo componente. 
A leveza juntamente com as excelentes características mecânicas faz com 
que os materiais compostos sejam cada vez mais utilizados dentro de atividades 
esportivas. 
 
11..44 –– AApplliiccaaççõõeess ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoo ttss ooss 
 A aplicação dos materiais compostos surgiu inicialmente na área aeronáutica 
devido a necessidade de diminuição de peso, preservando a robustez dos 
componentes estruturais. Atualmente uma grande variedade de peças em materiais 
compostos podem ser encontradas nos aviões em substituição aos materiais 
metálicos: fuselagem, spoilers, portas de trem de aterrissagem, portas internas, 
etc., Figura 1.4. Em muitos destes componentes, sua concepção foge da definição 
dada inicialmente para materiais compostos, pois nestes casos os componentes são 
fabricados normalmente em placas de baixa densidade, contra-placadas por placas 
finas de alta resistência. Esta configuração normalmente é dita sanduíche. De uma 
forma mais ampla, estas configurações são também consideradas “materiais 
compostos”, pois combinam diferentes materiais. 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 5
 
Figura 1.4 – Componentes em material composto em aviões-caçaDentro da área aeronáutica, os helicópteros possuem também vários 
componentes em material composto: pás da hélice principal, hélice traseira, árvore 
de transmissão, fuselagem, etc, Figura 1.5. 
 
Figura 1.5 – Componentes em material composto em helicópteros 
 
 A utilização dos materiais compostos dentro da industria automobilística é 
bem mais recente do que na área aeronáutica. Inicialmente, eram produzidos 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 6
somente pára-choques e tetos de automóveis. Atualmente, o material composto é 
utilizado para a fabricação de capôs, carters de óleo, colunas de direção, árvores de 
transmissão, molas laminadas, painéis, etc., Figura 1.6. 
 Uma das grandes vantagens trazidas para o meio automobilístico pelos 
materiais compostos é, além da redução do peso, a facilidade em confeccionar peças 
com superfícies complexas. 
 
Figura 1.6 – Componentes em material composto em automóveis 
 
 Uma atividade esportiva notória que emprega material composto é a Fórmula 
1, que pode ser considerada como um laboratório para as inovações tecnológicas. Em 
muitos casos, o que se emprega dentro dos carros de Fórmula 1, será utilizado 
futuramente nos carros de passeio. Neste caso, o aumento da relação potência/peso 
é fundamental para um bom desempenho do carro nas pistas. A configuração mais 
freqüentemente utilizada nestes carros é do tipo sanduíche que é utilizada para a 
confecção da carroceria. 
 Em praticamente todas as atividades esportivas, a redução do peso está 
diretamente ligada a redução do tempo de execução de uma prova esportiva. Como 
exemplo disto, podemos citar: barcos a vela, skis, bicicletas, etc. Em alguns casos, o 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 7
que se procura é a agilidade, e a perfeição de alguns golpes, como no tênis, com suas 
raquetes; no golfe, com seus tacos; e no surf, com suas pranchas. 
 
Figura 1.7 – Barcos a vela Figura 1.8 – Ski 
 
 Uma aplicação bem recente dos materiais compostos na área aeroespacial são 
os painéis solares de satélites, confeccionados em uma configuração sanduíche, 
Figura 1.9, e os motores de último estágio dos lançadores de satélites, 
confeccionados a partir do bobinamento das fibras sobre um mandril, Figura 1.10. 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 8
 
Figura 1.9 – Painéis solares de satélite 
 
 
Figura 1.10 – Propulsor de último estágio de lançador de satélite 
 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 9
11..55 –– PPrroopprriieeddaaddeess ffííssiiccaass pprriinncciippaaiiss 
M
etais 
 
M
assa volum
étrica 
(kg/m
3) 
M
ódulo de 
elasticidade (GPa) 
M
ódulo de 
cisalham
ento (GPa) 
Coeficiente de 
poisson 
Tensão de ruptura 
à tração (M
Pa) 
 
A
longam
ento à 
ruptura (%
) 
 
Coeficiente de 
dilatação térm
ica 
(10
-5 °C
-1) 
 
Tem
peratura lim
ite
de utilização (°C) 
 
 ρ E G ν σ ε α Tmax 
aços 7800 205 79 0,3 400 a 
1600 
1,8 a 
10 
1,3 800 
ligas de 
alumínio 
2800 75 29 0,3 450 10 2,2 350 
ligas de 
titânio 
4400 105 40,3 0,3 1200 14 0,8 700 
Cobre 8800 125 48 0,3 200 a 
500 
 1,7 650 
 
Fibras 
 
M
assa volum
étrica 
(kg/m
3) 
M
ódulo de 
elasticidade (GPa) 
M
ódulo de 
cisalham
ento (GPa) 
Coeficiente de 
poisson 
Tensão de ruptura 
à tração (M
Pa) 
 
A
longam
ento à 
ru ptura (%
) 
Coeficiente de 
dilatação térm
ica 
(10
-5 °C
-1) 
Tem
peratura lim
ite
de utilização (°C) 
 
Preço/kg 1985 
 
 ρ E G ν σ ε α Tmax $US 
Vidro “R” 2500 86 0,2 3200 4 0,3 700 12 
Vidro “E” 2600 74 30 0,25 2500 3,5 0,5 700 2,8 
Kevlar 49 1450 130 12 0,4 2900 2,3 -0,2 70 
Grafite 1750 230 50 0,3 3200 1,3 0,02 >1500 70 a 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 10
“HR” 140 
Grafite 
“HM” 
1800 390 20 0,35 2500 0,6 0,08 >1500 70 a 
140 
Boro 2600 400 3400 0,8 0,4 500 500 
 
 
M
atrizes 
 
M
assa volum
étrica 
(kg/m
3) 
M
ódulo de 
elasticidade (GPa) 
M
ódulo de 
cisalham
ento (GPa) 
Coeficiente de 
poisson 
Tensão de ruptura 
à tração (M
Pa) 
A
longam
ento à 
ruptura (%
) 
 
Coeficiente de 
dilatação térm
ica 
(.10
-5°C
-1) 
Tem
peratura lim
ite
de utilização (°C) 
 
Preço/kg 1985 
 
 ρ E G ν σ ε α Tmax $US 
Termoresistentes 
Epóxi 1200 4,5 1,6 0,4 130 2 a 6 11 90 a 
200 
6 a 20 
Fenólica 1300 3 1,1 0,4 70 2,5 1 120 a 
200 
 
Poliéster 1200 4 1,4 0,4 80 2,5 8 60 a 
200 
2,4 
Poli 
carbonato 
1200 2,4 60 6 120 
Termoplásticas 
Poli 
propileno 
900 1200 30 20 a 
400 
9 70 a 
140 
 
Poliamida 1100 4000 70 200 8 170 6 
 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 11
11..66 –– CC rr ttaa aacc eerrííssttiiccaass ddaa mmiissttuurraa rreeffoorrççoo--mmaattrriizz 
 As propriedades da lâmina (reforço+matriz) são obtidas em função das 
percentagens de cada componente na mistura. 
a) Percentagem em massa do reforço. 
totalmassa
reforçodemassaMf = 
b) Percentagem em massa da matriz. 
totalmassa
matrizdamassaMm = ou Mm = 1 - Mf 
c) Percentagem em volume do reforço. 
totalvolume
reforçodevolumeVf = 
d) Percentagem em volume da matriz. 
totalvolume
matrizdavolumeVm = ou Vm = 1 - Vf 
e) Massa volumétrica da lâmina. 
totalvolume
totalmassa=ρ 
ou: 
totalvolume
matrizdamassa
totalvolume
reforçodomassa +=ρ 
mf totalvolume
matrizdavolume
totalvolume
reforçodovolume ρ+ρ=ρ 
ρ = ρf . Vf + ρm . Vm 
onde ρf e ρm são as massas volumétricas do reforço e da matriz, respectivamente. 
f) Módulo de elasticidade longitudinal El ou E1 (propriedades estimadas). 
E1 = Ef . Vf + Em . Vm 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 12
ou: 
E1 = Ef . Vf + Em . (1 – Vf) 
g) Módulo de elasticidade transversal Et ou E2. 
( )2 m mf f
ft
1E E E1 V V
E
   =  − +  
 
onde Eft representa o módulo de elasticidade do reforço na direção transversal. 
h) Módulo de cisalhamento Glt ou G12. 
( )12 m mf f
ft
1G G G1 V V
G
   =  − +  
 
onde Gft representa o módulo de cisalhamento do reforço. 
i) Coeficiente de poisson νlt ou ν12. 
ν12 = νf . Vf + νm . Vm 
j) Resistência a ruptura da lâmina. 
( ) m1ruptura f ruptura f f
f
EV 1 V
E
 σ = σ + −  
 
ou: 
1ruptura f ruptura f.Vσ = σ 
k) Propriedades mecânicas de algumas misturas mais comumente utilizadas. 
 
As propriedades na Tabela 1.4 abaixo correspondem a uma mistura de fibras 
unidirecionais+resina epóxi com 60 % do volume em fibras. 
 
 
 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 13
Tabela 1.4 – Propriedades de fibras unidirecionais+resina com 60 % do volume em 
fibras 
 vidro kevlar carbono 
Massa volumétrica (kg/m3) 2080 1350 1530 
σruptura em tração na direção 1 (Xt) (MPa) 1250 1410 1270 
σruptura em compressão na direção 1 (Xc) (MPa) 600 280 1130 
σruptura em tração na direção 2 (Yt) (MPa) 35 28 42 
σruptura em compressão na direção 2 (Yc) (MPa) 141 141 141 
τ12 ruptura em cisalhamento (S12) (MPa) 63 45 63 
τruptura em cisalhamento interlaminar (MPa) 80 60 90 
módulo de elasticidade longitudinal E1 (MPa) 45000 85000 134000 
módulo de elasticidade transversal E2 (MPa) 12000 5600 7000 
módulo de cisalhamento G12 (MPa) 4500 2100 4200 
coeficiente de poisson ν12 0,3 0,34 0,25 
Coef. de dilatação térmica long. α1 (10-5 °C-1) 0,4 a 0,7 -0,4 -0,12 
Coef. de dilatação térmica transv. α2 (10-5 °C-1) 1,6 a 2 5,8 3,4 
 
11..77 –– PPrroocceessssooss ddee ffaabbrriiccaaççããoo 
Muitas peças ou estruturas em material composto são geralmente produzidas 
por uma composiçãode lâminas sucessivas, chamadas de estruturas estratificadas. 
Os processos de fabricação são inúmeros e devem ser selecionadas segundo 
requisitos como: dimensões, forma, qualidade, produtividade (capacidade de 
produção), etc. 
 As operações básicas para a obtenção da peça final têm a seguinte seqüência: 
 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 14
 
 
Acabamento 
Desmoldagem 
Polimerização (estufa) 
Colocação da mistura sobre o 
molde/mandril 
Impregnação (mistura) 
Resina Fibras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11..77..11 –– MMoollddaaggeemm sseemm pprreessssããoo 
 O molde é primeiramente revestido de um desmoldante e posteriormente de 
uma resina colorida. A seguir as fibras são depositadas sobre o molde e em seguida 
impregnadas com resina e compactadas com um rolo. O processo se segue para as 
lâminas sucessivas, Figura 1.11. A polimerização (solidificação) ou cura da resina 
pode ser feita com ou sem o molde, isto em função da geometria da peça. A cura da 
resina pode ser feita em temperatura ambiente ou ser acelerada se colocada em 
uma estufa a uma temperatura entre 80° C e 120° C. Após a cura da resina e a 
desmoldagem, a peça é finalizada: retirada de rebarbas, pintura, etc. 
 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 15
 
resina 
fibras 
molde 
 
Figura 1.11 – Moldagem sem pressão 
 
11..77..22 –– MMoollddaaggeemm ppoorr pprroojjeeççããoo ssiimmuullttâânneeaa 
 Este processo consiste em projetar simultaneamente fibras cortadas 
impregnadas em resina sobre o molde. A lâmina de fibras impregnadas é em seguida 
compactada por um rolo e novas lâminas podem ser sucessivamente depositadas, 
Figura 1.12. Um contra-molde pode eventualmente ser utilizado para a obtenção de 
faces lisas e para proporcionar uma melhor compactação entre as lâminas. A 
vantagem deste processo com relação ao anterior é permitir uma produção em série 
das peças, no entanto, as características mecânicas das peças são médias devido ao 
fato das fibras serem cortadas. 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 16
 
 
 fibra 
cortada 
e impreg-
nada 
 fibra 
 resina 
Figura 1.12 – Moldagem por projeção simultânea 
11..77..33 –– MMoollddaaggeemm aa vvááccuuoo 
Neste pro
moldagem sem pre
contra-molde e 
compactação e ev
 
cesso as fibras podem ser colocadas manualmente como na 
ssão, ou automaticamente por projeção simultânea. Neste caso um 
uma bomba a vácuo são utilizados para permitir uma melhor 
itar a formação de bolhas, Figura 1.13. 
 
 
contra 
molde fibras 
Bomba a
vácuo resina 
Figura 1.13 – Moldagem a vácuo 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 17
11..77..44 –– MMoollddaaggeemm ppoorr ccoommpprreessssããoo aa ffrriioo 
Neste processo a resina é injetada sob pressão no espaço entre o molde e o 
contra-molde. A cura pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Há 
casos onde o molde e o contra-molde são aquecidos, sendo este processo chamado 
de compressão a quente. Neste caso a cura da resina é feita no próprio molde, 
Figura 1.14. 
11..77..55 –– MMoollddaaggeemm ppoorr iinnjjeeççããoo 
 O processo por injeção consiste em injetar as fibras impregnadas a partir de 
um parafuso sem fim no molde aquecido, Figura 1.15. 
 
 
contra-molde 
molde 
resina 
Figura 1.14 – Moldagem por compressão a frio 
 
 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 18
 
Fibra 
pré-impregnada 
aquecida 
Contra-molde 
aquecido 
molde 
aquecido 
Figura 1.15 – Moldagem por injeção 
 
11..77..66 –– MMoollddaaggeemm eemm ccoonnttíínnuuoo 
Este processo permite produzir placas e painéis de grande comprimento. As 
fibras (unidirecionais, tecidos ou esteira) juntamente com a resina são depositadas 
entre dois filmes desmoldantes. A forma da placa e a cura da resina são dadas 
dentro da estufa, Figura 1.16 e Figura 1.17. 
 
 
 fibras 
filme 
desmoldante 
estufa 
 faca 
 rolos filme 
desmoldante 
Figura 1.16 – Moldagem de placas contínuas 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 19
 
 
filme 
desmoldante 
 
filme 
desmoldante 
 fibras 
cortadas 
 faca 
 resina
Figura 1.17 – Moldagem de placas onduladas contínuas 
 
11..77..77 –– MMoollddaaggeemm ppoorr cceennttrriiffuuggaaççããoo 
 Este processo é utilizado na produção de peças de revolução. Dentro do molde 
em movimento de rotação é injetado as fibras cortadas juntamente com a resina. A 
impregnação da resina nas fibras e a compactação é feita pelo efeito de 
centrifugação. A cura da resina pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma 
estufa. Este processo é utilizado em casos onde não se exige homogeneidade das 
propriedades mecânicas da peça. 
 
 
 fibra 
 
Figura 1.18 – Moldagem por centrifugação 
 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 20
Outros processos de fabricação de peças de revolução podem ser empregados 
quando se exige homogeneidade das propriedades mecânicas da peça. Nestes 
processos fibras são enroladas (bobinadas) sobre um mandril que dará a forma final 
da peça. Este processo permite a fabricação industrial de tubos de diversos 
diâmetros e grandes comprimentos de alta performance. 
 Para atender a estas necessidades de projeto, o bobinamento das fibras pode 
ser feito da seguinte maneira: bobinamento circunferencial, bobinamento helicoidal 
e o bobinamento polar. 
 
11..77..88 –– BBoobbiinnaammeennttoo cciirrccuunnffeerreenncciiaall 
No bobinamento circunferencial, as fibras são depositadas em um mandril 
rotativo, com um ângulo de deposição de 90° �em relação ao eixo de rotação, Figura 
1.19. Este tipo de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais. 
 
Figura 1.19 - Bobinamento circunferencial 
 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 21
11..77..99 –– BBoobbiinnaammeennttoo hheelliiccooiiddaall 
No bobinamento helicoidal, as fibras são depositadas em um mandril rotativo 
com um ângulo de deposição α� em relação ao eixo de rotação, Figura 1.20. Este tipo 
de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais e longitudinais. 
 
 guia 
 
 resina 
 fibras 
Figura 1.20 - Bobinamento helicoidal 
 
 
 
 estufa fibras 
impregnadas 
mandri
 fibras 
Figura 1.21 - Bobinamento helicoidal contínuo 
 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 22
11..77..1100 –– BBoobbiinnaammeennttoo ppoollaarr 
No bobinamento polar, o reforço é depositado no mandril de forma a 
tangenciar as duas aberturas dos domos, traseiro e dianteiro, Figura 1.22. O ângulo 
de deposição varia de αo, constante na região cilíndrica, até 90° �nas duas aberturas 
dos domos. O bobinamento polar resiste preferencialmente aos esforços 
longitudinais. 
 A fabricação de vasos de pressão bobinados consiste de dois tipos de 
bobinamento, como é o caso da Figura 1.10. Nos domos traseiro e dianteiro, o 
bobinamento é do tipo polar [(±θ], enquanto que na região cilíndrica, os 
bobinamentos circunferencial e polar se intercalam [(90º/±θ]. 
 
 
Figura 1.22 - Bobinamento polar 
 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 23
11..88 –– AA ttrrqquuii eettuurraa ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss 
11..88..11 –– LLaammiinnaaddooss 
Os laminados, ou estruturas laminadas, são constituidos de sucessivas lâminas 
de fibras impregnadas em resina segundo uma orientação, Figura 1.23. A designação 
dos laminados é efetuada segundo a disposição das lâminas e a orientação da lâmina 
com relação ao eixo de referência, Figura 1.24.Figura 1.23 – Constituição de um laminado 
 
 
30° 90° 45° 90° 0° 45° 
45
0° 
45
90
90
30
[45/0/45/902
 
Figura 1.24 – Designação de um laminado 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 24
11..88..22 –– SSaanndduuíícchhee 
O princípio da técnica de estruturas do tipo sanduíche consiste em colocar um 
material leve (geralmente com boas propriedades em compressão) entre duas 
contra-placas com alta rigidez. Este princípio concilia leveza e rigidez a estrutura 
final. 
alma de baixo
peso (espuma,
resina, etc) 
 
Sentido das fibras
da madeira 
Figura 1.25 – Sanduíche de a
 
(a) 
 
Placas rígidas (aço,
placas laminadas, etc) 
 
Alma de madeira 
Placas rígidas (aço,
placas laminadas, etc) 
lma plena 
 
 colméia 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 25
 
alma ondulada 
(b) 
Figura 1.26 – Sanduíche de alma “oca” – (a) e (b) 
 
11..99 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo eexxppeerriimmee ttnn aall ddaass ccoo ttnnssttaann eess eelláássttiiccaass ddee uummaa llââmmiinnaa 
 
 Para a determinação das constantes elásticas de placas unidirecionais em 
fibra/resina, é necessário cortar dois corpos de prova padronizados, sobre os quais 
são colados dois extensômetros dispostos ortogonalmente como mostrado abaixo. 
 
 σx
y 
x 
 
 
 
 
 
 σx
y 
x 20° 
 
 
 
 
 
 
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 26
 Os corpos de prova são ensaiados numa máquina de tração e as deformações 
são medidas pelos extensômetros. 
 Como exemplo, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as 
deformações medidas pelos extensômetros no primeiro corpo de prova são: ε1x = 
143e-6 e ε1y = - 36e-6. Assim: 
x
1x
x 1E E
σ σε = = x , x1
1x
20
143e 6
σ= =εE , E− 1 = 139860 MPa 
 
1y xy 1x 12 1xε = −ν ε = −ν ε , 1y12
1x
εν = − ε , 12
36e 6
143e 6
−ν = − , ν12 = 0,25 
 
 Analogamente, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as 
deformações medidas pelos extensômetros no segundo corpo de prova, no qual as 
fibras formam um ângulo de 20° com o eixo x, são: ε2x = 660e-6 e ε2y = - 250e-6. 
Assim de [1], pag. 332: 
x
2x
xE
σε = (1) 
4 4
2 2 12
x 1 2 12 1
1 c s 1c s 2
E E E G E
 ν= + + − 
 (2) 
4 4
2 2 12
2x x
1 2 12 1
c s 1c s 2
E E G E
  νε = + + − σ     
 (3) 
x
2y xy
xE
σε = −ν (4) 
onde c = cos 20° e s = sen 20°. Como 21 12
2 1E E
ν ν= e yx xy
y xE E
ν ν= : 
( )xy 4 4 2 221
x 2 1 2 1
1 1 1c s c s
E E E E G
ν ν− = − + + + − 2
 (5) 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 27
Substituindo (5) em (4): 
( )4 4 2 2122y x
1 1 2
1 1 1c s c s
E E E
 νε = − + − + − σ    12G
 (6) 
 
De (3) e (6) temos: 
12 2
1 0,1325 2,69e 4
G E
+ = − , 
12 2
1 1 1,144e 4
G E
− = − 
 
 A solução é: 
E2 = 7320 MPa , G12 = 3980 MPa e ν21 = 0,013 
 
Constantes elásticas dos materiais compostos 28
22 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS 
22..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ppaarraa mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss 
A anisotropia dos materiais compostos é mais facilmente trabalhada do que 
nos casos mais gerais de materiais anisotrópicos, como por exemplo a madeira. Para 
os materiais compostos, pode-se definir um sistema de eixos ortogonais, dentro do 
qual as propriedades mecânicas são identificadas. Um eixo designado 1 (ou l) é 
colocado longitudinalmente as fibras, um outro designado 2 (ou t) é colocado 
transversalmente as fibras e um outro designado 3 (ou t’) é colocado 
ortogonalmente aos dois anteriores, Figura 2.1. 
 
 
 
 
3 
2 
1 
Figura 2.1 – Sistema de eixos de ortotropia 
 
 A lei de comportamento do material composto que relaciona 
deformação/tensão pela matriz de flexibilidade, dentro do sistema de eixos de 
ortotropia (1, 2, 3), contêm 9 constantes elásticas independentes, e é da seguinte 
maneira: 
 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 29
3121
1 2 3
32121 1
1 2 3
2 2
13 23
3 31 2 3
23 23
2313 13
12 12
13
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
10 0 0 0 0G
10 0 0 0 0G
10 0 0 0 0 G
−ν−ν   −ν−νε σ      ε σ   −ν −ν   ε σ  =   γ τ      γ τ   γ τ         

 (2.1) 
onde: 
εii = deformações normais na direção i 
γij = deformações angulares no plano ij 
σii = tensões normais na direção i 
τij = tensões de cisalhamento no plano ij 
νij = coeficiente de poisson (deformação causada na direção j devida a uma 
solicitação na direção i). 
Ei = módulo de elasticidade na direção i 
Gij = módulo de cisalhamento no plano ij 
 
Como a matriz de comportamento é simétrica tem-se que: 
21 12
2 1E E
ν ν= , 31 13
3 1E E
ν ν= , 32 23
3 2E E
ν ν= (2.2) 
 
Para a demonstração da simetria da matriz de comportamento, considere uma 
placa unidirecional de dimensões a, b e espessura e: 
 
 
 
Constantes elásticas dos materiais compostos 30 2 
 
 a 
1 
 b 
 
 
Deformações devido a σ1 (na direção longitudinal): 
( ) l1 l
1
∆b
b E
σε = = 1 , ( ) ( )l 12 12 1l l
1
∆a
a E12
σε = = −ν ε = −ν (2.3) 
 
Deformações devido a σ2 (na direção transversal): 
( ) 22 2
2
∆a
a E
σε = = 2 , ( ) ( )21 21 22 2
2
∆b
b E
2
21
σε = = −ν ε = −ν (2.4) 
 
Considerando a energia acumulada devida ao carregamento σ1 e depois a σ2, 
mantendo σ1: 
 1 1 2 2 1
1 1W ( a e) 2∆b ( b e) ∆a ( a e) ∆b2 2
= σ + σ + σ (2.5) 
 
Considerando agora a energia acumulada devida ao carregamento σ2 e depois a 
σ1, mantendo σ2: 
 2 2 1 1 2
1 1W ' ( b e) 1∆a ( a e) ∆b ( b e) ∆a2 2
= σ + σ + σ (2.6) 
 
Sendo a energia final a mesma, W = W’: 
1 2 2( a e) 1∆b ( b e) ∆aσ = σ , 2 11 21 2 12
2 1
a e b b e a
E E
  σ σσ −ν = σ −ν    

 (2.7) 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 31
21 12
2 1E E
ν ν= (2.8) 
 
 Em alguns casos, é possível considerar que as propriedades mecânicas nas 
direções 2 e 3 são idênticas, já que, como mostrado pela Figura 2.1, estas direções 
são direções perpendiculares a direção 1. Para este caso de materiais, ditos 
isotrópicos transversos, a matriz de comportamento se simplifica, necessitando 
somente de 5 constantes elásticas independentes: 
 
21 21
1 2 2
12 21 1
1 2 2
2 2
12 2
3 31 2 2
23 232
213 13
12 12
12
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
2(1 )0 0 0 0 0E
10 0 0 0 0G
10 0 0 0 0 G
−ν −ν   −ν −νε σ      ε σ   −ν −ν   ε σ  =    γ τ+ ν      γ τ   γ τ         

 (2.9) 
 
onde: 
ν2 = coeficientede poisson no plano de isotropia transversa 
 Nota-se que, devido a isotropia transversa, 2
23 2
1 2(1
G E
)+ ν= . 
 
 A relação tensão/deformação é dada pela matriz constitutiva do material, 
inversa da matriz de flexibilidade dada na eq. (2.1): 
Constantes elásticas dos materiais compostos 32
11 12 13 14 15 151 1
21 22 23 24 25 262 2
31 32 33 34 35 363 3
41 42 43 44 45 4623 23
51 52 53 54 55 5613 13
61 62 63 64 65 6612 12
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
σ ε      σ ε      σ ε  =   τ γ      τ γ   τ γ      
 


 (2.10) 
 
onde os termos não nulos são: 
23 32 21 31 23
11 12 44 23
2 3 2 3
13 31 31 21 32
22 13 55 31
1 3 2 3
32 12 3112 21
33 23 66 12
1 2 1 3
1Q Q Q
E E ∆ E E ∆
1Q Q Q
E E ∆ E E ∆
1Q Q Q
E E ∆ E E ∆
+ ν ν ν + ν ν= =
+ ν ν ν + ν ν= =
ν + ν ν+ ν ν= =
G
G
G
=
=
=
 (2.11) 
 
com 12 21 23 32 13 31 21 32 13
1 2 3
1 2
∆
E E E
+ ν ν − ν ν − ν ν − ν ν ν= 
 
 Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0, 
τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto pode ser freqüentemente 
encontrada da seguinte forma: 
1 11 12
2 12 22
12 66 12
Q Q 0
Q Q 0
0 0 Q
σ ε      σ = ε     τ γ    
1
2
  
 (2.12) 
 
onde: 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 33
1
11
12 21
2
22
12 21
21 1
12
12 21
66 12
EQ (1 )
EQ (1 )
EQ (1 )
Q G
= − ν ν
= − ν ν
ν= − ν ν
=
 (2.13) 
 
22..22 –– EEffee ttii oo ddaa tteemmppeerraattuurraa 
 Quando se deseja levar em consideração os efeitos de variação de 
temperatura em estruturas compostas, na lei de comportamento do material devem 
ser consideradas as deformações devido a este efeito: 
3121
1 2 3
32121 1 1
1 2 3
2 2 2
13 23
3 3 31 2 3
23 23
2313 13
12 12
13
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E ∆T
010 0 0 0 0G 0
10 0 0 0 0 0G
10 0 0 0 0 G
−ν−ν   −ν−νε σ α        ε σ α    −ν −ν    ε σ α   = +    γ τ        γ τ    γ τ           
         
 (2.14) 
 
onde α1 é o coeficiente de dilatação térmica das fibras, α2 é o coeficiente de 
dilatação térmica da resina e α3 é o coeficiente de dilatação térmica da resina. 
A forma inversa da relação anterior colocada de maneira compacta é: 
{ } [ ] { }1 1 tQσ = ε − ε1 (2.15) 
 
onde ε1t é a deformação térmica. 
 Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 34
33 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS NNUUMMAA DDIIRREEÇÇÃÃOO 
QQUUAALLQQUUEERR 
33..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoo ttss ooss nnuummaa ddiirreeççããoo qquuaallqquueerr 
Para a análise do comportamento mecânico de placas laminadas é necessário 
definir um sistema de eixos de referência (x, y, z) para o conjunto de lâminas e 
expressar as constantes elásticas de cada lâmina neste sistema de referência. Para 
isto é considerada uma lâmina sobre a qual estão definidos os eixos de ortotropia (1, 
2, 3). O sistema de eixos de referência é girado em torno do eixo 3 do ângulo θ, 
Figura 3.1. 
 
 
 
 
 
θ 
y 
x 
3, z 
2 
1 
Figura 3.1 – Sistema de eixos de ortotropia e de referência 
 
Uma das maneiras de determinar a matriz de transformação, que relaciona as 
tensões dadas no sistema de eixos de referência com as tensões no sistema de 
eixos de ortotropia, é através do balanço de forças nas direções x e y sobre um 
elemento plano, conforme mostrado na Figura 3.2. 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 35
 
θ 
C 
B 
A 
+ θ 
+ θ 
 y 
 2 σ2 
 τ12 
 τ21 
 σ1 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 y 
 σx dA τxy dA 
 τ21 dA senθ 
σ1 dA cosθ θ 
σ2 dA senθ 
τ12 dA cosθ 
 y 
 
 σx τxy 
 τ12 
 τ21 
 σ2 
 σ1 
 dA 
θ 
 x 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 – Transformação de tensão no plano x-y 
 
Aplicando as equações de equilíbrio estático: 
→ , 0=∑ xF
 Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 36
x 1 12
2 12
dA dA cos cos dA cos sen
dA sen sen dA sen cos 0
σ − σ θ θ − τ θ θ −
σ θ θ − τ θ θ = (3.1) 
2 2
x 1 2 12cos sen 2 cos senσ = σ θ + σ θ + τ θ θ (3.2) 
 
 ↑ , 0=∑ yF
xy 1 12
2 12
dA dA cos sen dA cos cos
dA sen cos dA sen sen 0
τ + σ θ θ − τ θ θ −
σ θ θ + τ θ θ = (3.3) 
2 2
xy 1 2 12cos sen sen cos (cos sen )τ = − σ θ θ + σ θ θ + τ θ − θ (3.4) 
 
A tensão normal σy é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σx. 
2 2
y 1 2 12sen cos 2 cos senσ = σ θ + σ θ − τ θ θ (3.5) 
 
Considerando o elemento conforme apresentado pela Figura 3.3, pode-se 
determinar a tensão σxz: 
 
 τxz 
 τ13 
 τ23 
 z 
 dA 
θ y 
 x 
 
 1
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 – Transformação de tensões transversas 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 37
 
0=∑ zF , ↑ 
xz 13 23dA dA cos dA sen 0τ − τ θ −τ θ =
θ
}
1= ε
 (3.6) 
xz 23 13sen cosτ = τ θ + τ θ (3.7) 
 
A tensão σyz é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σxz. 
yz 23 13cos senσ = σ θ −σ (3.8) 
A matriz de transformação [T], pode então ser escrita da forma: 
{ } [ ]{ 1x
12
13
23
3
2
1
22
22
22
xy
xz
yz
z
y
x
Tou
sc000scsc
0cs000
0sc000
000100
sc2000cs
sc2000sc
σ=σ














τ
τ
τ
σ
σ
σ












−−
−
−
=














τ
τ
τ
σ
σ
σ
σ (3.9) 
 
O tensor de deformações medido no sistema de referência tem a mesma 
forma que o tensor de tensões dado no sistema de referência (x, y, z), ou seja: 
{ } [ ] { }
2 2
x 1
2 2y 2
z 3 x
yz 23
13xz
2 2 12xy
c s 0 0 0 sc
s c 0 0 0 sc
0 0 1 0 0 0 ou T
0 0 0 c s 0
0 0 0 s c 0
2sc 2sc 0 0 0 c s
ε
ε    ε     ε ε−      ε  ε    = ε   γ γ        γγ −      γ γ   − −   
 (3.10) 
 
onde [ ] [ ]( ) t1TT −σε = ou [ ] [ ] t1 TT σ−ε =
 
 Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 38
Considerando o comportamento elástico linear, a lei de comportamento do 
material composto expressa no sistema de eixos de referência (x, y, z) é da 
seguinte forma: 
{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }1x 1 1 x tT T Q T Q T T Q T−σ σ σ ε σ σσ = σ = ε = ε = εx (3.11) 
 
Logo, a matriz de rigidez ou matriz constitutiva Q   dada no sistema de eixos 
de referência (x, y,z) é: 
[ ] [ ] [ ] tQ T Q Tσ  =  σ (3.12) 
 
Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0, 
τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto obtida no sistema de 
eixos de referência é freqüentemente encontrada da seguinte forma: 
x 11 12 16
y 21 22 26
61 62 66xy xy
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
   σ ε     σ = ε      τ γ     
x
y

 (3.13) 
 
com: 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
4 4 2 2
11 11 22 12 66
4 4 2 2
22 11 22 12 66
2 2 2 2
66 11 22 12 66
2 2 4 4
12 11 22 66 12
2 2 2 2
16 11 22 12 66
2 2 2 2
26 11 22 12 66
Q c Q s Q 2c s (Q 2Q )
Q s Q c Q 2c s (Q 2Q )
Q c s Q Q 2Q c s Q
Q c s Q Q 4Q c s Q
Q cs c Q s Q c s Q 2Q
Q cs s Q c Q c s Q 2Q
= + + +
= + + +
= + − + −
= + − + +
 = − − − − + 
 = − − + − + 
 (3.14) 
 
onde Q11, Q22, Q12 e Q66 são dados na eq. (2.13). 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 39
 As curvas abaixo ilustram a evolução dos termos da matriz constitutiva Q   
para o carbono/epóxi (ver Tabela 1.4). 
 
-90 -60 -30 0 30 60 90
θ0
25
50
75
100
125
150
Q11 (GPa)
 -90 -60 -30 0 30 60 90
θ0
25
50
75
100
125
150
Q22 (GPa)
 
-90 -60 -30 0 30 60 90
θ0
10
20
30
40
50
Q12 (GPa)
 -90 -60 -30 0 30 60 90
θ0
10
20
30
40
50
Q66 (GPa)
 
 Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 40
-90 -60 -30 0 30 60 90
θ
-50
-25
0
25
50
Q16 (GPa)
 
-90 -60 -30 0 30 60 90
θ
-50
-25
0
25
50
Q26 (GPa)
 
 
Figura 3.4 – Evolução dos termos da matriz Q   em uma lâmina em carbono/epóxi 
 
A matriz de flexibilidade S   , que relaciona deformação/tensão, dada no 
sistema de eixos de referência (x, y, z) é: 
{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }1x 1 1 x tT T S T S T T S T−ε ε ε σ ε εε = ε = σ = σ = σx (3.15) 
 
ou: 
{ } [ ] [ ] [ ] tS T S Tε= ε (3.16) 
 
Após a multiplicação de matrizes, a matriz de flexibilidade pode ser expressa 
como mostra a eq. (3.17) (ver Gay 1991). 
Observa-se que surgem termos de acoplamento que relacionam tensões de 
cisalhamento com deformações normais: ηxy/Gxy, µxy/Gxy e ζx/Gxy; e termos de 
acoplamento que relacionam tensões normais com deformações angulares ηx/Ex, 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 41
µy/Ex, e ζz/Ez. Estes termos surgem quando, por exemplo, aplicando uma tensão 
normal, a lâmina se deforma conforme ilustrado pela Figura 3.5. 














τ
τ
τ
σ
σ
σ


















ςµη
ξ
ξ
ςν−ν−
µν−ν−
ην−ν−
=














γ
γ
γ
ε
ε
ε
xy
xz
yz
z
y
x
xyz
z
x
y
x
x
xzyz
yz
xz
xz
yz
xy
xy
zy
yz
x
xz
xy
xy
z
zy
yx
xy
xy
xy
z
zx
y
yx
x
xy
xz
yz
z
y
x
GEEE
GG
GG
GEEE
GEEE
GEEE
100
01000
01000
001
001
001
 (3.17) 
 
Material Material 
σx σx 
σx σx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 – Deformação de materiais isotrópico e ortotrópico devido à carga 
normal 
 Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 42
33..22 - - EEffeeiittoo dd ttaa eemmppeerraattuurraa 
 O efeito da temperatura sobre os materiais compostos considerado em uma 
direção qualquer é dado da forma: 
{ } [ ]{ }1xt T ε=ε ε (3.18) 
 
ou seja: 
2 2x t
1
2 2y t 2
z t 3
yz t
xz t
2 2
xy t
c s 0 0 0 sc ∆T
∆Ts c 0 0 0 sc
∆T0 0 1 0 0 0
00 0 0 c s 0
00 0 0 s c 0
02sc 2sc 0 0 0 c s
ε    α      ε  α−      ε  α  =  γ       −γ     
     − −γ   
 (3.19) 
 
A relação tensão/deformação considerando o efeito da temperatura, dada no 
sistema de eixos de referência (x, y, z) pode ser obtida pela eq. (2.19) e utilizando a 
matriz de transformação dada pelas eqs. (3.9) ou (3.10): 
[ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }11 1 1 x x tt tT T Q T Q T T Q T−σ σ σ ε σ σσ = ε − ε = ε − ε = ε − εx xt (3.20) 
 
ou seja: 
{ } { }x x tQ σ = ε − ε  x (3.21) 
 
A relação tensão/deformação considerando somente o estado plano de tensão 
é do tipo: 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 43
x x tx 11 12 16
y 21 22 26 y y t
61 62 66xy xy xy t
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
   ε − ε σ     σ = ε − ε      τ γ     
− γ 
 (3.22) 
 
 
 Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 44
44 –– CCOOMMPPOORRTTAAMMEENNTTOO MMEECCÂÂNNIICCOO DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS 
 Os materiais compostos são na maioria dos casos utilizados na forma de 
laminados, onde as lâminas são coladas umas sobre as outras com orientações e 
espessura das fibras podendo ser diferentes uma das outras. No caso de estruturas 
do tipo placas, uma dimensão é muito pequena com relação as outras duas. Em 
conseqüência disto, a tensão e a deformação normal na direção da espessura da 
placa são considerados desprezíveis (σz = 0 e εz = 0). 
 As deformações são determinadas em função do campo de deslocamentos 
definido por uma teoria para prever o comportamento do laminado. Pela Teoria 
Clássica de Laminados, na definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento 
transverso resultante é nulo (σxz = σyz = 0). Pela Teoria de Primeira Ordem, na 
definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento transverso resultante é não 
nulo (σxz ≠ 0, σyz ≠ 0), porém constante ao longo da espessura de cada lâmina da 
placa. 
44..11 –– TTeeoorriiaa CClláássssiiccaa ddee LLaammiinnaaddoo ((ss TT..CC..LL..)) 
 Da definição do campo de deslocamento na Teoria Clássica de Laminados, o 
cisalhamento transverso é considerado nulo, o que resulta num estado plano de 
tensões, onde as únicas tensões não nulas são: σx, σy e σxy. 
44..11..11 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm mmeemmbbrraannaa 
 No estudo do comportamento em membrana de estruturas laminadas em 
materiais compostos, é considerado um laminado de espessura total h com n lâminas 
de espessura hk cada uma. Os esforços internos de membrana atuantes no plano do 
laminado são denotados Nx, Ny (forças normais por unidade de comprimento 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 45
transversal); Nxy e Nyx (forças cortantes por unidade de comprimento transversal) 
(ver Figura 4.1). Os eixos x, y, e z são eixos de referência, conforme item 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dxNy
dxNxy
dyNxdxNxy
dx
dy
dxNy
dxNxy
dyNx
dxNxy
 y 
z 
x 
 
Figura 4.1 – Esforços de membrana sobre um elemento de placa 
 
Em supondo a colagem perfeita entre as lâminas e a diferença de rigidez em 
cada lâmina, a ddiissttrriibbuuiiççããoo ddaass ddeeffoorrmmaaççõõeess ee tteennssõõeess aaoo lloonnggoo de uummaa placa 
llaammiinnaaddaa éé ccoonnffoorrmmeemmoossttrraa aa FFiigguurraa 44..22.. 
 
 
deformações 
 z 
tensões hk 
 z 
 h 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 – Distribuição das deformações e tensões ao longo de uma placa laminada 
 Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 46
Os esforços Nx, Ny, Nxy e Nyx são determinados pela imposição do equilíbrio 
de forças atuantes em uma seção transversal: 
∑∫
∑∫
∑∫
=−
=−
=−
τ=τ==
σ=σ=
σ=σ=
n
1k
k
k
xy
2/h
2/h
xyxyyx
n
1k
k
k
y
2/h
2/h
yy
n
1k
k
k
x
2/h
2/h
xx
h)1.dz(1.N1.N
h)1.dz(1.N
h)1.dz(1.N
 (4.1) 
 
 Considerando que os deslocamentos na direção x e y são u e v, 
respectivamente, as deformações normais e angulares correspondentes a estas 
solicitações são: 
x
v
y
u
y
v
x
u
yx
y
x
∂
∂+∂
∂=γ
∂
∂=ε
∂
∂=ε
 (4.2) 
 
As tensões σx, σy e σxy são obtidas no sistema de eixos de referência x, y, e 
z, e estão relacionadas com as deformações pela matriz de rigidez, eq. (3.13). 
Considerando somente os esforços de membrana, os esforços Nx, Ny, e Nxy são 
determinados em função das constantes elásticas de cada lâmina: 
{∑
=
γ+ε+ε=
n
1k
kxy
k
16y
k
12x
k
11x hQQQN }
xy
 (4.3) 
 
que de maneira mais compacta pode escrito: 
x 11 x 12 y 16N A A A= ε + ε + γ (4.4) 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 47
onde: 
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
1k
k
k
1616
n
1k
k
k
1212
n
1k
k
k
1111
hQA
hQA
hQA
 (4.5) 
 
 De maneira análoga: 
y 21 x 22 y 26N A A A= ε + ε + γxy (4.6) 
 
com: 
∑
=
=
n
1k
k
k
j2j2 hQA (4.7) 
 
xy66y62x61xy AAAN γ+ε+ε= (4.8) 
 
com: 
∑
=
=
n
1k
k
k
j6j6 hQA (4.9) 
 
 Exprimindo os esforços Nx, Ny, e Nxy em forma matricial, temos: 






γ
ε
ε








=






xy
y
x
666261
262221
161211
xy
y
x
AAA
AAA
AAA
N
N
N
 (4.10) 
 
com: 
 Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 48
∑
=
=
n
1k
k
k
ijij hQA (4.11) 
 
Observações: 
9 As expressões acima são independentes da ordem de empilhamento das lâminas. 
9 Os termos de acoplamento A16, A26, A61 e A62 se anulam quando o laminado é 
simétrico e equilibrado (mesmo número de lâminas de mesma espessura na 
direção +θ e -θ) ou anti-simétrico. 
 
A partir dos esforços Nx, Ny, e Nxy, pode-se determinar as tensões globais 
(fictícias), considerando o laminado como sendo homogêneo: 
h
N
h
N
h
N
xy
xy
y
y
x
x
=τ
=σ
=σ
 (4.12) 
 
A lei de comportamento em membrana do laminado “homogêneo” é da seguinte 
forma: 






γ
ε
ε








=






τ
σ
σ
xy
y
x
666261
262221
161211
xy
y
x
AAA
AAA
AAA
h
1 (4.13) 
 
 Os componentes da matriz de comportamento acima podem também ser 
apresentados em termos de porcentagem de lâminas numa mesma orientação em 
relação á espessura total. 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 49
∑
=
=
n
1k
kk
ijij h
hQA
h
1 (4.14) 
 
Da inversão da matriz de comportamento acima, obtêm-se as constantes 
elásticas aparentes ou homogeneizadas do laminado: 






τ
σ
σ












µη
µν−
ην−
=






γ
ε
ε
xy
y
x
xyx
y
x
x
xy
xy
yx
xy
xy
xy
y
yx
x
xy
y
x
GEE
GEE
GEE
1
1
1
 (4.15) 
 
A partir destas constantes elásticas, uma vez conhecido o carregamento 
aplicado no laminado (Nx, Ny e Nxy), é possível determinar as deformações. 
 
Exemplo 4.1 – Considere o laminado simétrico e balanceado (-45°/+45°/+45°/-45°) 
em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem 
espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
 A matriz constitutiva das lâminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3), eq. (2.12), 
é da seguinte forma: 
[ ] MPa10
5,400
03,127,3
07,31,46
Q 3








= (4.16) 
 
Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz constitutiva das lâminas no 
sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma: 
 Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 50
3
045
20,9 11,9 8,46
Q 11,9 21,0 8,46 10 MPa
8,46 8,46 12,8
−
    =     
 (4.17) 
 
Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva das lâminas no 
sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma: 
3
045
20,9 11,9 8,46
Q 11,9 21,0 8,46 10 MPa
8,46 8,46 12,8
+
−    = −    − − 
 (4.18) 
 
 A matriz [A] que representa a rigidez em membrana do laminado, eq. (4.10) é: 
[ ]
mm
N10
51,2500
091,4189,23
089,2387,41
A 3








= (4.19) 
 
A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, 
eq. (4.13) é da seguinte forma: 
x x
3
y
xy xy
41,87 23,89 0
1 23,89 41,91 0 10 MPa
2
0 0 25,51
   σ ε     σ = ε        τ γ    
y (4.20) 
 
 Logo, invertendo o sistema dado pela eq. (4.20), as constantes elásticas 
podem ser encontradas: 
Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705, 
Gxy =12,76 103 MPa 
 
e os termos de acoplamento são: 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 51
ηxy = 0.0, µxy = 0.0, ηx = 0.0, µy = 0.0 
 
 As curvas abaixo ilustram a evolução das constantes elásticas 
homogeneizadas de um laminado simétrico e balanceado em vidro/epóxi na 
configuração (θ°,-θ°,-θ°,θ°) (ver Tabela 1.4). 
 
0 15 30 45 60 75 90
θ10
20
30
40
50
Ex (GPa)
 0 15 30 45 60 75 90
θ10
20
30
40
50
Ey (GPa)
 
0 15 30 45 60 75 90
θ3
5
8
10
13
15
Gxy (GPa)
 
 Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 52
0 15 30 45 60 75 90
θ0.0
0.3
0.5
0.8
1.0
NUxy
 0 15 30 45 60 75 90
θ0.0
0.3
0.5
0.8
1.0
NUyx
 
 
Figura 4.3 – Constantes elásticas homogeneizadas de um laminado simétrico e 
balanceado em vidro/epóxi 
 
Exemplo 4.2 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (-45°/+45°/-
45°/+45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada 
lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 =12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, 
ν12 = 0,30. 
 As matrizes constitutivas no sistema de eixos de ortotropia e de referência 
são idênticas às apresentadas no exemplo 4.1. A matriz [A] e a lei de 
comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, também são 
idênticas, logo as constantes elásticas são também idênticas e são: 
Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705, 
Gxy =12,76 103 MPa 
 
e os termos de acoplamento são: 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 53
ηxy = 0,0, µxy = 0,0, ηx = 0,0, µy = 0,0 
 
Observa-se que nos dois exemplos anteriores, o laminado pode ser 
considerado quase isotrópico. 
 
Exemplo 4.3 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória 
(-30°/+45°/+60°/-45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do 
laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 
GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela 
eq. (4.16). Para as lâminas orientadas à -45° e +45°, as matrizes constitutivas das 
lâminas no sistema de referência (x, y, z) são dadas pelas eqs. (4.17) e (4.18), 
respectivamente. Para as lâminas orientadas à -30° e +60°, as matrizes constitutivas 
das lâminas no sistema de referência (x, y, z) são respectivamente: 
3
030
31,5 9,88 10,9
Q 9,88 14,6 3,75 10 MPa
10,9 3,75 10,7
−
    =     
 (4.21) 
3
060
14,6 9,88 3,74
Q 9,88 14,6 10,9 10
3,74 10,9 10,7
+
−    = −    − − 
MPa (4.22) 
 
A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, 
é da seguinte forma: 
MPa10
45,2357,358,3
57,351,3582,21
58,382,2194,43
2
1 3
xy
y
x
xy
y
x






γ
ε
ε








−
−=






τ
σ
σ
 (4.23)
 
 Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 54
 Logo, as constantes elásticas encontradas são: 
Ex = 15,19 103 MPa, Ey = 15,31 103 MPa, νxy = 0,5131, νyx = 0,5170, 
Gxy =10,94 103 MPa 
 
e os termos de acoplamento são: 
ηxy = -0,1603, µxy = 0,1788, ηx = -0,2225, µy = 0,2502 
 
44..11..22 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm fflleexxããoo 
 No estudo do comportamento em flexão de estruturas laminadas em 
materiais compostos é considerado um laminado de espessura total h com n lâminas 
de espessura hk cada uma. Os esforços internos de flexão atuantes no laminado são 
denotados Mx, My (momentos fletores por unidade de comprimento em torno dos 
eixos y e x respectivamente); Mxy e Myx (momentos torçores por unidade de 
comprimento) (ver Figura 4.4). Os eixos x, y, e z são novamente eixos de referência. 
 
yM dx
xM dy
dx
dy
xyM dx
xyM dy
xM dy
xyM dy
yM dx
xyM dx
y 
z 
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 – Esforços de flexão em um elemento de placa 
 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 55
Os esforços internos Mx, My, Mxy e Myx são determinados impondo o equilíbrio 
de momentos numa seção transversal: 
h / 2
x x
h / 2
h / 2
y y
h / 2
h / 2
yx xy xy
h / 2
M .1 (dz .1) z
M .1 (dz .1) z
M .1 M .1 (dz .1) z
−
−
−
= σ
= σ
= = τ
∫
∫
∫
 (4.24) 
 
 A Teoria Clássica de Laminados considera as seguintes hipóteses: as seções 
transversais que são planas e perpendiculares á superfície média antes do 
carregamento, permanecem planas e perpendiculares após o carregamento (ver 
Figura 4.5). 
 
x
w0
∂
∂
x
w0
∂
∂
com carregamento 
wo 
uo zk-1 
zk 
 z 
 h 
sem carregamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 – Hipóteses de deslocamento pela Teoria Clássica de Laminados 
 
 Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 56
O deslocamento de um ponto genérico distante z da superfície média é 
definido como: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
o
o
o
o
o
w x,y
u x,y,z u x,y z
x
w x,y
v x,y,z v x,y z
y
w x,y,z w x,y
∂= − ∂
∂= − ∂
=
 (4.25) 
 
onde uo, vo e wo são os deslocamentos da superfície média nas direções x, y e z, 
respectivamente. 
O estado de deformações obtido em conseqüência da definição do campo de 
deslocamento dado pela eq. (4.25) é da forma: 
2
o o
x 2
2
o o
y 2
2
o o
xy
xz
yz
u wz
x x
v wz
x y
u v wz 2
y x x
0
0
∂ ∂ε = −∂ ∂
∂ ∂ε = −∂ ∂
 ∂ ∂ ∂γ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ 
γ =
γ =
o
y
 (4.26) 
 
ou de forma resumida: 
xy
0
xyxy
y
0
yy
x
0
xx
z
z
z
κ+γ=γ
κ+ε=ε
κ+ε=ε
 (4.27) 
 
As deformações ε0x, ε0y e γ0xy são deformações normais e angular da 
superfície média, e κx, κy e κxy as curvaturas. 
 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 57
Considerando a matriz de comportamento de cada lâmina no sistema de eixos 
de referência, os momentos são da forma: 
(zkn k k kx 11 x 12 y 16 xy
k 1 zk 1
M Q Q Q z
= −
 = ε + ε + γ  
∑ ∫ ) dz (4.28) 
 
que, levando em conta as deformações, dadas pela eq. (4.26): 
( ) ( ) ([ ]∑ ∫
= 




 κ+γ+κ+ε+κ+ε=
−
n
1k
z
z
xy
20
xy
k
16y
20
y
k
12x
20
x
k
11x dzzzQzzQzzQM
k
1k
) (4.29) 
 
Se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais do tipo ∫
−
k
1k
z
z
k
j1 dzzQ , 
se anulam com as integrais ∫−
−
−
1k
k
z
z
k
j1 dzzQ , consideradas para as lâminas simétricas com 
relação a superfície neutra, logo: 
( ) ( ) ( )∑
=
−−−


 κ−+κ−+κ−=
n
1k
xy
3
1k
3
kk
16y
3
1k
3
kk
12x
3
1k
3
kk
11x 3
zzQ
3
zzQ
3
zzQM (4.30) 
 
que, de forma mais compacta, pode ser colocado: 
x 11 x 12 y 16M D D D= κ + κ + κxy (4.31) 
 
com: 
( )3 3n k k 1k
1j 1j
k 1
z z
D Q
3
−
=
−= ∑ (4.32) 
 
 Os momentos My e Mxy podem ser também obtidos de forma análoga. Assim, 
colocadas em forma matricial, as expressões de momentos são: 
 Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 58
x 11 12 16
y 21 22 26
61 62 66xy xy
M D D D
M D D D
D D DM
   κ    = κ       κ   
x
y

 (4.33) 
 
com: 
( )3 3n k k 1k
ij ij
k 1
z z
D Q
3
−
=
−= ∑ (4.34) 
 
Observações: 
9 As expressões acima dependem da ordem de empilhamento das lâminas. 
9 Os coeficientes D16 e D26 são termos de acoplamento que torçem o laminado 
quando aplicados somente momentos de flexão e os coeficientes D61 e D62 são 
termos de acoplamento que extendem o laminado quando aplicados somente 
momentos de torção. 
 
Questão: É possível um laminado flexionar devido a um carregamento do tipo 
membrana. Considere o campo de deformações do laminado em flexão devido aos 
esforços de membrana: 
(zkn k k kx 11 x 12 y 16 xy
k 1 zk 1
N Q Q Q
= −
 = ε + ε + γ  
∑ ∫ ) dz (4.35) 
( ) ( ) ( )zkn k 0 k 0 k 0x 11 x x 12 y y 16 xy xy
k 1 zk 1
N Q z Q z Q z d
= −
   = ε + κ + ε + κ + γ + κ    
∑ ∫ z (4.36) 
 
Como anteriormente, seconsiderarmos que o laminado é simétrico, as 
integrais do tipo ∫
−
k
1k
z
z
k
j1 dzzQ , se anulam com as integrais ∫−
−
−
1k
k
z
z
k
j1 dzzQ , consideradas 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 59
para as lâminas simétricas com relação a superfície neutra, logo: 
{ }∑
=
γ+ε+ε=
n
1k
k
0
xy
k
16
0
y
k
12
0
x
k
11x hQQQN (4.37) 
 
 Portanto, para laminados simétricos, esforços do tipo membrana não causam 
deformações de flexão. 
 De uma forma geral, para laminados não simétricos, as integrais ∫
−
k
1k
z
z
k
j1 dzzQ 
não se anulam com as integrais ∫−
−
−
1k
k
z
z
k
j1 dzzQ , assim, o comportamento global de um 
laminado é da forma: 
[ ] [ ]
[ ] [ ]














κ
κ
κ
γ
ε
ε












=














xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
xy
y
x
xy
y
x
DB
BA
M
M
M
N
N
N
 (4.38) 
 
onde os coeficientes da matriz [B] são da forma: 
( )∑
=
−−=
n
1k
2
1k
2
kk
ijij 2
zzQB (4.39) 
 
Exemplo 4.4 – Considere um laminado simétrico e balanceado (-30°/+30°/+30°/-30°) 
em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as deformações 
e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 
45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
 Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 60
A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela 
eq. (4.16). Para as lâminas orientadas à -30° e +30°, as matrizes constitutivas das 
lâminas no sistema de referência (x, y, z) são as mesmas dadas pelas eqs. (4.21) e 
(4.22): 
A matriz de comportamento para este laminado simétrico, dada pela eq. 
(4.38) é da forma: 
3
xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
xy
y
x
xy
y
x
10
13,787,145,5000
87,171,959,6000
45,559,697,20000
00039,2100
000012,2977,19
000077,1991,62
0M
0M
0M
0N
0N
1000N














κ
κ
κ
γ
ε
ε












=














=
=
=
=
=
=
 (4.40) 
 
 As deformações e as curvaturas podem então ser determinadas resolvendo o 
sistema dado pela eq. (4.40): 
ε0x = 0,202e-01, ε0y = -0,137e-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0 
 
Exemplo 4.5 – Considere um laminado anti-simétrico e balanceado (30°/-30°/+30°/-
30°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as 
deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. 
Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é da forma: 
0
x x
0
y y
0
xy xy
x x
y y
xy xy
N 1000 62,91 19,77 0 0 0 5,45
N 0 19,77 29,12 0 0 0 1,87
N 0 0 0 21,39 5,45 1,87 0
M 0 0 0 5,45 20,97 6,59 0
M 0 0 0 1,87 6,59 9,71 0
5,45 1,87 0 0 0 7,13M 0
=  ε  −     = ε−      = γ − −  =   = − κ      = − κ   − −=    κ  
310
  
 (4.41) 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 61
Resolvendo o sistema dado pela eq. (4. ), as deformações e as curvaturas são: 
ε0x = 0,213e-01, ε0y = -0,136e-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,127e-01 
 
Exemplo 4.6 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória 
(-45°/+30°/+45°/-30°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. 
Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada Lâmina tem 
espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é 
da forma: 
=  − −  =  = −  = = − −  =  −=   
x
y
xy
x
y
xy
N 1000 52,39 21,83 0 2,63 0,52 1,22
N 0 21,83 35,51 0 0,52 1,60 2,35
N 0 0 0 21,39 1,22 2,35 0,52
M 0 2,63 0,52 1,22 17,46 7,28 4,84
M 0 0,52 1,60 2,35 7,28 11,84 3,05
1,22 2,35 0,52 4,84 3,05 7,82M 0
 ε   ε    γ      κ      κ    κ 
0
x
0
y
0
xy 3
x
y
xy
10 (4.42) 
 
 Resolvendo a eq. (4.42), as deformações e as curvaturas determinadas são: 
ε0x = 0,265e-01, ε0y = -0,167e-01, γ0xy = 0,337e-03, κx = 0,360e-02, κy = -0,329e-02, 
κxy = 0,821e-02 
 
Conclusão: Em um laminado não simétrico com uma solicitação do tipo membrana, as 
curvaturas não são nulas. Logo, o laminado pode fletir devido a uma força Nx (κx ≠ 0, 
κy ≠ 0, κxy ≠ 0). 
 
Exemplo 4.7 – Considere o laminado simétrico e balanceado (-30°/+30°/+30°/-30°) 
em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 Nmm/mm. Determine as 
 Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 62
deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. 
Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A omportamento para este métrico é a mesma dada 
pela eq
xy
y
x
xy
y
x
M
M
1M
N
N
N







=
=
=
 
A
resolve
ε0x = 0,
 
Conclus
acoplam
momen
p
 
Figura 
 matriz de c
. (4.40). 
8,145,5000
7,959,6000
5,697,20000
0039,2100
00012,2977,19
00077,1991,62
0
0
000
0
0
0






=







=
=
=
ssim, as deformações e as curvatu
ndo o sistema dado pela eq. (4.43): 
0 , ε0y = 0,0 , γ0xy = 0.0, κx = 0,718e-01, 
ão: No comportamento em flexão d
ento não são nulos (D16 ≠ 0 e D26 ≠ 0). 
to Mx pode ser portanto como apresent
laca isotrópica 
4.6 – Placas isotrópica e laminada subm
 laminado si
3
xy
y
x
0
xy
0
y
0
x
10
13,77
87,11
45,59
0
0
0














κ
κ
κ
γ
ε
ε






 (4.43) 
ras podem então ser determinadas 
κy = -0,402e-01, κxy = -0,443e-01 
o laminado simétrico, os termos de 
A deformação do laminado devido a um 
ado pela Figura 4.6: 
 
placa laminada 
etidas a um momento fletor 
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 63
Exemplo 4.8 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (-30°/+30°/-
30°/+30°) em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 Nmm/mm. Determine 
as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. 
Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. 
A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é a mesma 
dada pela eq. (4.41): 
0
x x
0
y y
0
xy xy
x x
y y
xy xy
N 0 62,91 19,77 0 0 0 5,45
N 0 19,77 29,12 0 0 0 1,87
N 0 0 0 21,39 5,45 1,87 0
M 1000 0 0 5,45 20,97 6,59 0
M 0 0 0 1,87 6,59 9,71 0
5,45 1,87 0 0 0 7,13M 0
=  ε  −     = ε−      = γ − −  =   = − κ      = − κ   − −=    κ  
310
  
 (4.44) 
 
Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.44), as deformações e as 
curvaturas são: 
ε0x = 0,0, ε0x = 0,0, γ0xy = 0,127e-01, κx = 0,638e-01, κy = -0,409e-01 , κxy = 0,0 
 
Exemplo 4.9 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória 
(-45°/+30°/+45°/-30°) em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 
Nmm/mm. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina 
tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 
0,30.