Apostila de Cálculo I (Engenharias - IFSul - Campus Pelotas)

Prévia do material em texto

APOSTILA DE CÁLCULO I
UNIDADE 2 
UNIDADE 3 
UNIDADE 4 
SELDOMAR JESKE EHLERT
INSTITUTO FEDERAL DE 
EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
IFSUL - CÂMPUS PELOTAS
 
 
 
APOSTILA DE CÁLCULO I
UNIDADE 2 – LIMITES E CONTINUIDADE
UNIDADE 3 – DERIVADAS 
UNIDADE 4 – INTEGRAIS 
 
 
 
 
SELDOMAR JESKE EHLERT 
1 
INSTITUTO FEDERAL DE 
EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
SUL-RIO-GRANDENSE 
CÂMPUS PELOTAS 
 
 
 
APOSTILA DE CÁLCULO I 
E CONTINUIDADE 
 
2 
 
UNIDADE 2 - LIMITES E CONTINUIDADE 
LIMITES 
1. Ideia intuitiva de limites 
 A) Seja f(x) = 2x-1 
X 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 
Y 1 2 2,8 2,98 2,998 2,9998 
 
 3)1x2(lim
2x
=−
−→
Lê-se: Limite de f(x) quando x tende a 2 pela esquerda é igual a 3 (Limite Lateral à esquerda). 
X 3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 
Y 5 4 3,2 3,02 3,002 3,0002 
 
3)1x2(lim
2x
=−
+→
 Lê-se: Limite de f(x) quando x tende a 2 pela direita é igual a 3 (Limite Lateral à direita). 
Como os limites laterais são iguais podemos afirmar que 3)1x2(lim
2x
=−
→
. 
 
Veja outros exemplos: 
B) =
−
−+
→ 1x
2x²x
lim
1x
 
x 0 0,5 0,7 0,9 0,999 1,0001 1,01 1,1 1,4 2 
y 
 
C) =
−
−−
→ 4x
4x3²x
lim
4x
 D) ( ) =+−→ 23x 3x
1
lim 
x 3,5 3,8 3,9 3,99 3,999 
y 
 
x 5 4,4 4,1 4,01 4,0001 
y 
 
x -3,5 -3,3 -3,1 -3,01 -3,0001 
y 
 
x -2,6 -2,8 -2,95 -2,999 
y 
 
 
E) ( ) =++∞→ 2x 3x
1
lim 
x 97 1000 106 109 
y 
 
3 
 
2. Vizinhança ou Entorno 
É um intervalo aberto muito pequeno com centro em “a” e amplitude (ou raio) “h”. 
� = ��, ℎ� = ���� = �	 ∈ ℝ/� − ℎ < 	 < � + ℎ� = �	 ∈ ℝ/|	 − �| < ℎ� �� ���, ℎ� =]� − ℎ, � + ℎ[ 
 
3. Vizinhança perfurada ou Entorno reduzido 
É um intervalo aberto muito pequeno que não tem “a” e amplitude (ou raio) “h”. 
�� = ��, ℎ� = ����� = �	 ∈ ℝ/� − ℎ < 	 < � + ℎ � 	 ≠ �� = �	 ∈ ℝ/0 < |	 − �| < ℎ� �� ����, ℎ� = �� − ℎ, �� ∪ ��, � + ℎ� 
 
4. Ponto de acumulação: Seja um conjunto � ⊂ ℝ. Chama-se ponto de acumulação o valor “a” que 
pertence ao entorno de “a”, deste que exista pelo menos um 	 ≠ � do conjunto � que pertença ao ����, ou seja: � ∩ ���� ≠ ∅ 
Observação: 
1) Num intervalo fechado, todos os seus pontos são pontos de acumulação. 
2) Num intervalo aberto, todos os seus pontos são pontos de acumulação. 
3) “a” é ponto de acumulação de D, se ∀�����. ∃	 ∈ ����� � 	 ∈ � ou ����� ∩ � ≠ ∅ 
 
5. Ponto Isolado: Um ponto � ∈ � é o ponto de isolado de um conjunto “D” se existir um entorno reduzido 
de centro em “a” ao qual não existe nenhum ponto de D. 
“a” é ponto isolado de D, se ∃�����/ ����� ∩ � = ∅. 
Obs.: Todo ponto que não é de acumulação é ponto isolado. 
 
DEFINIÇÃO DE LIMITE 
 Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto I que contenha “a”, porém possivelmente não definida 
em “a” e L um número real. Dizemos que L)x(flim
ax
=
→
 se: 
(i) “a” seja ponto de acumulação 
(ii) ∀# > 0, ∃% > 0 / 0 < |	 − �| < % ⟹ |'�	� − (| < # 
 
Mostre que 3)1x2(lim
2x
=−
→
. 
 
 
4 
 
Relação entre limite e f(x) 
1º) f(x) está definida em “a” e f(a)=”L”. 
Já vimos o caso L3)2(f)1x2(lim
2x
===−
→
 
2º) f(x) está definida em “a” mas f(a)≠”L”. 
Se '�	� = )	 + 3, +� 	 ≠ 34, +� 	 = 3 - então L6)x(flim3x ==→ , mas f(3)=4. Nesse caso temos f(3)≠L. 
Se 




−=
−≠
+=
3xse,1
3xse,
)3x(
1
)x(f 2 então )3(f1)x(flim
3x
−=≠+∞=
−→
. 
3º) f(x) não está definida em “a”. 
Se '�	� = .²01.23 então 42x 4²xlim2x −=+−−→ , mas f(-2)= 44 (indeterminação), ou seja, −2 ∉ ��'�. 
Mas, por outro lado, o limite existe e é L=-4. 
Também já vimos que 5
4x
4x3²x
lim
4x
=
−
−−
→
, mas f(4) não está definido, já que 4 não pertence ao domínio da função. 
4º) f(a) existe, mas )x(flim
ax→
 não existe. 
 Se



−≥−
−<−
=
1xse,5x2
1xse,4²x
)x(f então )x(flim
1x −→
não existe, mas f(-1) = -7. 
 
Unicidade do limite: Se o limite de uma função f existir, então é único. 
Exemplo: Determine os valores dos limites, se existirem: 
=
→
)x(senlim
0x
 =
pi
→
)x(senlim
2
x
 =
+∞→
)x(senlim
x
 
Limite lateral à direita: Uma função f tem limite lateral à direita de x=a se f está definida em um intervalo aberto 
(a,c), e L um número real. A afirmação L)x(flim
ax
=
+→
 significa que, para todo # > 0, existe um % > 0 tal que se 
� < 	 < � + %, então |'�	� − (| < #. 
Exemplo: =+
+
−→
2xlim
2x
 
Limite lateral à esquerda: Uma função f tem limite lateral à esquerda de x=a se f está definida em um intervalo 
aberto (b,a), e L um número real. A afirmação L)x(flim
ax
=
−→
 significa que, para todo # > 0, existe um % > 0 tal que 
se � − % < 	 < �, então |'�	� − (| < #. 
Exemplo: =
−→
)x(arcsenlim
1x
 
 
Teorema da existência do limite: Se f é definida em todo intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente em a, 
então existe L)x(flim
ax
=
→
 se, e somente se,
Exemplos: 
A) 



≥−
<−
=
→ 1xse,5x2
1xse,4²x
)x(fonde)x(flim
1x
B) 





>
=
<−
=
→
0xse,e
0xse,2
0xse²,x1
)x(fonde)x(flim
x
0x
C) )xtan(lim
2
x
pi
→
 
 
D)  xlim
1x→
 
OBS.:  x)x(f = é chamada de função maior inteiro
maior número inteiro que é menor ou igual a x.
Analogamente existe a função menor inteiro
que é maior ou igual a x. Por exemplo, um estacionamento que cobra 
definida pela função teto. 
 
E) Considere a função 
4²x
1
3)x(f
−
+= cujo gráfico 
)x(flim
2x +→
 )x(flim
2x −→
 
)x(flim
2x −→
 )x(flim
0x→
 
)x(flim
x +∞→
 
F) Considere a função 
2x
7x3
)x(f
+
+
= . Esboce o gráfico e determine os 
valores dos limites: 
)x(flim
1x −→
 )x(flim
2x −→
 
)x(flim
0x→
 )x(flim
x +∞→
 
e f é definida em todo intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente em a, 
se, e somente se, L)x(flim)x(flim
axax
==
−+ →→
. 
1
1
 
0
 
função maior inteiro ou função piso. A imagem de x é o 
menor ou igual a x. 
inteiro ou função teto definida por  x)x(f = que é o menor número inteiro 
que é maior ou igual a x. Por exemplo, um estacionamento que cobra R$ 3,00 por hora ou fração de hora pode ser 
cujo gráfico está representado ao lado: 
 )x(flim
2x→
 
 )x(flim
3x→
 
Esboce o gráfico e determine os 
) 
) 
5 
e f é definida em todo intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente em a, 
de x é o 
que é o menor número inteiro 
R$ 3,00 por hora ou fração de hora pode ser 
6 
 
Propriedades dos limites: Se )x(flim
ax→
 e )x(glim
ax→
 existem, e c é um número real qualquer, então: 
1) g(x)lim±f(x)lim=g(x)]±[f(x)lim
axaxax →→→
 
2) [ ])x(flim.c)x(f.clim
axax →→
= 
3) g(x)lim . f(x)lim=] g(x) . [f(x)lim
axaxax →→→
 
4) 
)x(glim
)x(flim
=
g(x)
f(x)
lim
ax
ax
ax
→
→
→
, desde que 0)x(glim
ax
≠
→
 
5) [ ] [ ]n
ax
n
ax
)x(flim)x(flim
→→
= 
6) [ ] [ ])x(flimln))x(fln(lim
axax →→
= , se 0)x(flim
ax
>
→
 
7) [ ] [ ])x(flimsen)x(fsenlim
axax →→
= 
8) [ ] [ ])x(flimcos)x(fcoslim
axax →→
= 
9) 
)x(flim)x(f
ax
axeelim →=
→
 
 
Exemplos: 
A) 2x5²x3lim
2x
+−
→
 
 
B) )x(sen).1x2(lim
2
x
+
pi
→
 
 
C) 
5
3w
)8w2(lim −
→
 
 
D) 3
1t 3t4
7t2²t
lim
+
−+
−→
 
 
E) 
4x
4x3²x
lim
4x
−
−−
→
 
 
 
Teorema: Se f é uma função polinomial, então )a(f)x(flim
ax
=
→
 para todo nº real “a”. 
Corolário: Se q é uma funçãoracional e “a” pertence ao domínio de q, então )a(q)x(qlim
ax
=
→
. 
Teorema do “Sanduíche” ou Teorema do Confronto: Se '�	� ≤ ℎ�	� ≤ 8�	� para todo x em um intervalo aberto 
contendo “a”, exceto possivelmente em “a”, se )x(glimL)x(flim
axax →→
== , então L)x(hlim
ax
=
→
. 
Exemplo: 





→ x
1
sen².xlim
0x
 
 
7 
 
EXERCÍCIO 1: Determinar os limites, usando as propriedades e teoremas: 
a) lim.→4�	3 + 3	 − 1� 
b) lim.→0> 2. 
c) lim.→?@�+�A	 . B�+	� 
d) lim.→?C DEFG.HIG.J 
e) lim.→>KA D>.0L.0M J 
f) lim.→?N[2. +�A	 − B�+	 + B�O	] 
g) lim.→1��. + 4	� 
h) lim.→> √2	 + 2Q 
i) lim.→R�3	 + 6�NQ 
j) lim.→4 EFGT�.�1 , �AU� +�Aℎ�	� = FV0FWV3 
 
EXPRESSÕES INDETERMINADAS 00 , ∞∞ , ∞ − ∞, 0. ∞, 04, ∞4, 1Y 
 
 Costuma-se dizer que essas expressões são indeterminadas. Veremos agora alguns casos de indeterminações 
envolvendo limites. 
Indeterminação do tipo 0/0: 
OBSERVAÇÃO (TEOREMA D’ ALEMBERT): O resto r(x) da divisão de um polinômio f(x) por x – a é f(a). Assim o 
polinômio f(x) é divisível por x – a se, e somente se, f(a)=0. 
Mostre que 12x5²x3³x2)x(f −−−= é divisível por 3x − . 
 
 
 
 
Alguns produtos notáveis: 
)ax).(ax(²a²x +−=− 
²)aax²x).(ax(³a³x ++−=− 
... 
)axa...x²aaxx).(ax(ax 1n2n3n2n1nnn −−−−− +++++−=− 
 
8 
 
Exemplos: Determinar os limites: 
A)
4-x²
2+3x-x³
lim
-2x→
 B)
3x4x
81x
lim
2
4
3x +−
−
→
 
 
 
 
C)
6t3
32t
lim
5
2t
−
−
→
 D)
1x3x2
12x21x63x
lim
23
23
1x +−
+−+
→
 
 
 
 
 
Indeterminações envolvendo limite de funções irracionais: 
E)
x
22x
lim
0x
−+
→
 F)
6w2
21w
lim
3w
−
−+
→
 
 
 
G)
3x
81²x
lim
9x
−
−
→
 
 
 
Resolvendo indeterminações através de mudança de variável: 
H)
1x
1x
lim
3
1x
−
−
→
 
 
I)
11x
11x
lim
3
4
0x
−+
−+
→
 
 
EXERCÍCIO 2: Calcule os limites: 
a) lim.→0M .³2M.²0M b) limH→03 H³21H²21H�H23��H0>� 
 
c) limT→4 �.2T�N0.²T d) lim.→I .²2�M0I�.0I.0I 
e) limH→4 √3L2>H0LH f) limH→4 [I²2\H0IH , com a>0 
g) limT→M √T0MT0M h) limT→4 √]2TQ 03T 
i) lim.→4 √M2.0M0. j) lim.→M ^ √.Q 0M√.C 0M_ 
l) lim.→M [.²Q 03 √.Q 2M�.0M�² m) lim.→1 D>0√L2.M0√L0.J 
 
9 
 
CONTINUIDADE 
Definição 1: Uma função f é contínua num ponto “a” se são satisfeitas as três condições seguintes: 
(i) f é definida num intervalo aberto contendo “a”. 
(ii) Existe )x(flim
ax→
. 
(iii) )a(f)x(flim
ax
=
→
. 
Se f não é continua em “a”, dizemos que f é descontínua em “a”, ou que tem uma descontinuidade 
em “a”. 
 
Teorema da continuidade: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo “a”, então f é contínua em 
“a” se, para cada # > 0, existe um % > 0 tal que, |'�	� − '���| < # sempre que |	 − �| < %. 
 
Definição 2: Seja f uma função definida em um intervalo fechado [a,b]. Se é continua em (a,b) e se, além disso, 
)a(f)x(flim
ax
=
+→
 e )b(f)x(flim
bx
=
−→
 então dizemos que f é contínua no intervalo fechado [a, b], ou simplesmente, 
que f é uma função contínua. 
 Dizer que uma função é contínua significa dizer que essa função é contínua em cada ponto do seu domínio. 
Geralmente, se uma função f tem limite à direita ou limite à esquerda, do tipo indicado na “Def. 2”, dizemos 
que f é contínua à direita em “a”, ou que f é continua à esquerda de “b”, respectivamente. 
 Teorema: Toda função polinomial é contínua. 
Exemplos: 
Verifique a existência e a continuidade nos pontos de tendência indicados no limite: 
1) lim.→L�	 − 3� 
 
2) '�	� = `	 − 3, +� 	 ≠ 51, +� 	 = 5 - lim.→L '�	� 
 
3) '�	� = )2	 + 1, +� 	 > 1	 − 3, +� 	 ≤ 1- lim.→M '�	� 
 
4) 





−>+
−=
−<+−
=
1xse,3x
1xse,2
1xse,1x
)x(h no ponto 1x −= . 
 
5) 





>−
=−
<−
=
1xse,5x2
1xse,3
1xse,4²x
)x(f no ponto 1x = . 
 
10 
 
 Tipos de Descontinuidade 
►Removível 
2x
2x²x
)x(f
−
−−
= tem descontinuidade removível em x = 2. 
►Descontinuidade infinita 




=
≠
=
0xse,1
0xse,
²x
1
)x(f tem descontinuidade infinita em x = 0. 
►Descontinuidade de salto 
 x)x(f = tem descontinuidade de salto em qualquer número inteiro. 
 
Propriedades: Se as funções f e g forem contínuas no ponto a, então as seguintes funções também serão contínuas 
em a: 
a) gf + b) gf − c) g.f d) 0)a(gse,
g
f
≠ 
Exemplos: 
A) Considere a função 



−>+
−≤−
=
1xse,a²x
1xse,1x
)x(f . Determine o valor de a para que a função seja contínua em x=-1. 
 
 
B) Determine os valores de A e B tais que a função 





>+
≤≤−+
−<−
=
1xse,7x5
1x1se,BAx
1xse,2x2
)x(f seja contínua nos reais. 
 
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO: Se f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e seja N um número entre 
f(a) e f(b). Logo existe um número c tal que f(c) = N. 
Exemplo: Mostre que existe uma raiz da equação 02x3²x6³x4 =−+− entre 1 e 2. 
 
EXERCÍCIO 3: 
1) Verificar a existência dos limites, a continuidade e esboce o gráfico das seguintes funções: 
a) '�	� = b3	 − 2, +� 	 ≥ 3>4 − 6	, +� 	 < 3> - lim.→NQ '�	� 
11 
 
b) '�	� = ` 	², +� 	 > 12	 − 1, +� 	 ≤ 1- lim.→M '�	� 
c) '�	� = `4 − 	², +� 	 ≥ 03 − 	, +� 	 < 0 - lim.→4 '�	� 
d) '�	� = `3	, +� 	 ≥ 0	², +� 	 < 0 - lim.→4 '�	� 
e) '�	� = ` 	³, +� 	 ≤ 24 + 2	, +� 	 > 2- lim.→3 '�	� 
 
2) Seja '�	� =
def
eg M. , +� 	 < 0	², +� 0 ≤ 	 < 12, +� 	 = 12 − 	, +� 	 > 1
- 
Esboce o gráfico, calcule os limites indicados e verifique a continuidade nos pontos x=-1, x=0, x=1, e x=2: 
a) lim.→0M '�	� 
b) lim.→M '�	� 
c) lim.→4h '�	� 
d) lim.→4W '�	� 
e) lim.→4 '�	� 
f) lim.→3h '�	� 
g) lim.→3W '�	� 
h) lim.→3 '�	� 
 
LIMITES NO INFINITO 
Definição 1: 
 Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]a,+ ∞). Escrevemos, L f(x) lim
x
=
+∞→
, quando o número L 
satisfaz à seguinte condição: para qualquer #>0, existe A>0 tal que |f(x)-L|<# sempre que x>A. 
Definição 2: 
Seja uma função definida em um intervalo aberto (-∞,b[. Escrevemos, L f(x) lim
x
=
−∞→
, se L satisfaz à seguinte 
condição: para qualquer #>0, existe B<0 tal que |f(x)-L|<# sempre que x< B. 
Teorema 1: 
 Se n é um número inteiro positivo, então: 
(i) lim.→2Y M.i = 0 (ii) lim.→0Y M.i = 0 
 
 
Teorema 2: 
 Seja P�x� = �G	G + �G0M	G0M + ⋯ + �M	 + �4 e Q�x� = mn	n + mn0M	n0M + ⋯ + mM	 + m4, então: 
 
m
m
n
n
xx xb
xa
lim
)x(Q
)x(P
lim
±∞→±∞→
= . 
12 
 
Exemplos: 
Determine os limites: 
A) lim.→0Y >.o0L.C2>..²0>. Podemos resolver de duas maneiras: 
1ª) Usando o teorema 1: 
2ª) Usando o teorema 2: 
B) 
3x9²x6
1²x8³x5
lim
x +−
+−
+∞→
 C) 
3x9²x2
7x²x10
lim
x
−+
+−
+∞→
 
D) 
1x2³x
6x3
lim
x ++
+−
+∞→
 E) 1)+4x-(3x lim 35
x +∞→
 
F) 
5-2x²
5+2x
 lim
x +∞→
 G) 
5-2x²
5+2x
 lim
x −∞→
 
 
Assíntota Horizontal: Se L f(x) lim
x
=
+∞→
 ou L f(x) lim
x
=
−∞→
, então a reta L y = é chamada de assíntota horizontal do 
gráfico da função y=f(x). 
Exemplos: 
A) (x) arctanf(x)= B) 
1²x
1²x
)x(f
+
−
= 
 
 
 
C) 
x
1x2
)x(f
+
= D) 1e)x(f x −=E) 
2)1x(
3
2)x(f
−
−= F) 
2x
10x3
)x(f
+
+
= 
 
 
 
13 
 
EXERCÍCIO 4: Calcule os limites: 
 1) lim.→2Y �3	3 + 4	3 − 1� 2) lim.→2Y D2 − M. + 1.²J 
3) limH→2Y H2MH²2M 4) limH→0Y H2MH²2M 
5) limH→2Y H²03H2>3H²2LH0> 6) lim.→2Y 3.o0>.³230.²2R 
7) lim.→0Y >.o0.²2R30.² 8) lim.→0Y 0L.³23R.³2> 
9) lim.→2Y [.²2M.2M 10) lim.→0Y [.²2M.2M 
11) lim.→2Y �√	3 + 1 − [	² − 1� 12) lim.→2Y 	�√	3 + 1 − 	� 
13) limp→2Y >0p[L21p² 14) limp→0Y >0p[L21p² 
 
 
LIMITES INFINITOS 
 São aqueles que têm como resultado ∞ (infinito). As vezes dizemos que o limite não existe ou não converge. 
Definição 1: 
 Seja f uma função de um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x=a. Dizemos que 
+∞=
→
)x(flim
ax
, se para qualquer A>0, existir um %>0 tal que f(x)>A sempre que 0<|x-a|< %. 
Definição 2: 
 Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x=a. Dizemos que 
−∞=
→
)x(flim
ax
, se para qualquer B<0, existir um %>0 tal que f(x)<B sempre que 0<|x-a|< %. 
 
 
Teorema: Se n é um número inteiro positivo qualquer, então: 
(i) +∞=
+→ n0x x
1
lim 
(ii) 



∞−
∞+
=
−→ ímparénse,
parénse,
x
1
lim
n
0x
 
 
 
 
14 
 
Exemplos: Determine os limites: 
A) =
−
+
→ 21x )1x(
2x3
lim 
B) =
−
−
→ 22x )2x(
x1
lim 
C) =
−
−
→ 3x
2²x
lim
3x
 
D) =
→ 6-x+x²
1+3x+x²
lim
2x
 
 
 
Assíntota vertical: Se ∞−+=
+→
ou)x(flim
ax
 ou se ∞−+=
−→
ou)x(flim
ax
 então a reta ax = é chamada de 
assíntota vertical do gráfico da função y=f(x). 
Exemplos: 
A) )xtan()x(f = B) 1
2x
1
)x(f −
−
= 
 
 
 
 
C) ( )21x
3
)x(f
+
= D) )2xln()x(f += 
 
 
 
 
E) 
9x
x
)x(f
2
−
= 
=
+→
)x(flim
3x
 =
−→
)x(flim
3x
 =
+
−→
)x(flim
3x
 =
−
−→
)x(flim
3x
 
=
+∞→
)x(flim
x
 =
−∞→
)x(flim
x
 
 
15 
 
Propriedades dos limites infinitos 
 
 
INDETERMINAÇÕES DA FORMA ∞ − ∞ 
Reduzir a uma só fração. 
Exemplos: Determine os limites: 
A) 
2x
1
8x³
1
 lim
2x






−
−
−
→
 
 
 
B) ( ) )xcot()xcsc(lim
0x
−
→
 
 
 
C) ( ) x2x3²xlim
x
−++
+∞→
 
 
 
EXERCÍCIO 5: Resolver os limites: 
a)
3x
x
lim
3x
−
+→
 b) 
x
lim
3x −→
d) ( )22x 2x
x
lim
−
+→
 e) (2x xlim−→
g) 
8x2x
x3
lim
2
4x
−−
−
−→
 h) 
x
lim
3x −→
j) lim.<0Y [−5	³ � 8	 l) lim.<M
n) lim.<M D 3.²0M−
M
.0MJ o) lim.<
 
LIMITES FUNDAMENTAIS 
Nos limites fundamentais trataremos alguns
►Limite fundamental (trigonométrico): 
Exemplos: 
=
→ x
x2sen
lim
0x
 
=
−
−
→ 16x4
)x28(sen
lim
4x
 
►Limite fundamental (exponencial): lim
x→
Exemplo: =




 +
+∞→
x2
x x
3
1lim 
Para todo 0k ≠ são válidos os seguintes resultados
i) 1
kx
kxsen
lim
0x
=
→
 
ii) 
k
x
x
e
x
k
1lim =




 +
±∞→
 
iii) ( ) kx1
0x
ekx1lim =+
→
 
iv) aln
kx
1a
lim
kx
0x
=
−
→
 
3x
x
−
 c) lim.<> D ..0>J 
)22x
x
−
 f) lim.<3 .�.03�² 
3
1
−
 i) 
3x
1
lim
3x
−
+→
 
M D 3..²0M−
>
.0MJ m) lim.<M D
M
M0. −
>
M0.³J 
<?N
 �tan�	� − sec�	�� 
alguns casos particulares de indeterminações do tipo 
: 1
x
xsen
lim
0x
=
→
 
e
x
1
1lim
x
=




 +
±∞→
 
s seguintes resultados: 
16 
J 
casos particulares de indeterminações do tipo 0e1,
0
0
∞
∞ . 
17 
 
Exemplos: Organize os limites na forma de limites fundamentais, para poder resolvê-los: 
A) 
²x
xcos1
lim
0x
−
→
 
 
B) lim.<4�1 − 2. sen�	��>.xyx�.� 
 
C) lim.<2Y D.03.0>J
.
 
 
D) lim.<4 DF
NV0M
. J 
 
E) lim.<4 D F
V0M
yz{�.�J 
 
 
EXERCÍCIOS 6: Resolva os limites fundamentais: 
a) lim.<4 Dyz{�>.�1. J b) lim.<4 
yz{N�.�
. c) lim.<| 
yz{�.0|�
.0| 
d) lim.<4�1 � 3	�
}
NV e) lim.<4 ~{�M2>.�
Q
1. f) lim.<4�1 − 4	
3�
}
V 
g) lim.<Y D1 � R.J
.
 h) lim.<0Y D1 − 3>.J
3.
 i) lim.<Y D1 � 3FVJ
FV
 
j) lim.<4 I
€V0M
‚ƒ{. l) lim.<3 
FV0FN
.03 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS: 
Exercício 1: a) -1 b) 
M
] c) 
√>
1 d) 
√3
3 e) ln 2 
 f)2 g) �1 � 16 h) 2 i) 9 j) 0 
Exercício 2: a) 
0>
3 b) 0 c) 2x d) a+1 e) 
>
M4 f) 
\
3I 
g) 
M
3 h) 
M
M3 i) 
0M
3 j) 
1
> l) 
M
„ m) 
0M
> 
Exercício 3: 1. a) 0 e contínua b) 1 e contínua c) ∄ e descontínua d) 0 e contínua e) 8 e contínua 
2. a) -1 b) 1 c) 0 d) −∞ e) ∄ f) 0 g) 0 h) 0 
 A função é descontínua nos pontos onde x=0 e x=1. 
18 
 
Exercício 4: 1) �∞ 2) 2 3) 0 4) 0 5) M3 6) −∞ 
7) �∞ 8) 0LR 9) 1 10) -1 11) 0 12) 
M
3 13) 
0M
3 14) 
M
3 
Exercício 5: a) �∞ b)−∞ c) ∄ d) �∞ e) �∞ f) �∞ 
g) �∞ h) �∞ i) �∞ j) ∞ l) ∄ m) -1 n) 0M3 o) 0 
Exercício 6: a) 
>
1 b) 0 c) 1 d) �
Q
N e) 
„
1 f) 1 
g) �R h) �
WC
Q i) �3 j) ln � l) �3 
 
 
Um pouco da história do Cálculo 
 O surgimento do cálculo diferencial e integral foi palco de uma grande 
controvérsia sobre a paternidade da descoberta. A discussão envolveu dois grandes 
gênios: Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1642-1716). 
 Atualmente considera-se que os dois matemáticos descobriram o cálculo de 
forma independente e, assim, o crédito é dado a ambos. No entanto, à época o debate 
de quem merecia o reconhecimento foi acalorado, com defensores aguerridos de ambos 
os lados. 
 É importante observar também que uma descoberta matemática importante não aparece do nada. É o resultado do 
trabalho de muitas pessoas ao longo de séculos. Newton reconheceu este fato por meio de sua famosa frase: "Se vi mais longe 
foi por estar de pé sobre ombros de gigantes”. 
 Newton e Leibniz tiveram abordagens diferentes do Cálculo e tomaram caminhos distintos em suas descobertas. 
Newton tentava resolver problemas na Física e seguiu um caminho mais prático voltado à solução destes problemas. Leibiniz era 
um filósofo e tomou um caminho mais abstrato. 
 Foi Leibniz que criou a notação 
dx
dy para a derivada de y em relação a x. Ele imaginava um "triângulo infinitesimal" 
formado pelo incremento x∆ e o incremento correspondente y∆ . A razão 
dx
dy se aproxima do coeficiente angular da tangente 
quando 0x →∆ . Leibniz via este limite como a divisão de duas quantidades "infinitesimais". 
 Newton descobriu os fundamentos do Cálculo diferencial e integral muitos anos antes de Leibniz, mas publicou seus 
trabalhos mais tarde. Newton chamou o cálculo de "métodos de fluxões". Usando diferenciação, Newton produziu métodos que 
resolviam problemas do cálculo da área, tangentes, comprimento de curvas e máximos e mínimos de funções. Newton também 
percebeu o fato crucial de que a integração de uma função é a operação inversa da diferenciação, o que hoje é chamado 
Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
 
 
19 
 
CINAT - MATEMÁTICA 
ENGENHARIA QUÍMICA 
CÁLCULO 1 
PROF. SELDOMAR EHLERT 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - LIMITES 
 
 
1) Sejam f(x) as funções definidas pelos gráficos abaixo. 
Intuitivamente, determine os limites, se existirem. 
1.1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) =
−→4x
)x(flim ............ d) =
−∞→x
)x(flim ............ 
b) =
+→4x
)x(flim............ e) =
+∞→x
)x(flim ............ 
c) =
→4x
)x(flim ............ 
 
1.2) 
 
 
 
 
 
 
 
a) =
−
−→ 1x
)x(flim ............ d) =
→4x
)x(flim ............ 
b) =
+
−→ 1x
)x(flim ............ e) =
−∞→x
)x(flim ............ 
c) =
−→ 1x
)x(flim ............ f) =
+∞→x
)x(flim ............ 
 
1.3) 
 
 
 
 
 
 
 
a) =
−→ 0x
)x(flim ............ e) =
−→ 3x
)x(flim ............ 
b) =
+→ 0x
)x(flim ............ f) =
−∞→x
)x(flim ............ 
c) =
→ 0x
)x(flim ............ g) =
+∞→x
)x(flim ............ 
d) =
→ 1x
)x(flim ............ 
 
 
1.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) =
−→ 3x
)x(flim ............ d) =
→ 4x
)x(flim ............ 
b) =
+→ 3x
)x(flim ............ e) =
−∞→x
)x(flim ............ 
c) =
→ 3x
)x(flim ............ f) =
+∞→x
)x(flim ............ 
 
 
 
1.5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) =
−
−→ 2x
)x(flim ............ d) =
→ 0x
)x(flim ............ 
b) =
+
−→ 2x
)x(flim ............ e) =
−∞→x
)x(flim ............ 
c) =
−→ 2x
)x(flim ............ f) =
+∞→x
)x(flim ............ 
 
 
1.6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) =
−→ 0x
)x(flim ............ d) =
→ 2x
)x(flim ............ 
b) =
+→ 0x
)x(flim ............ e) =
−∞→x
)x(flim ............ 
c) =
→ 0x
)x(flim ............ f) =
+∞→x
)x(flim ............ 
4 x 
y 
0 
5 
- 4 - 1 
4 
x 
y 
0 
1 
- 3 1 
4 x 
y 
0 
6 
1 
4 x 
y 
0 
3 
1 
- 1 
x 
y 
0 
2 
- 2 
1 x 
y 
2 
4 
- 2 
1 
- 2 
20 
 
1.7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) =
−→ 1x
)x(flim ............ d) =
−∞→x
)x(flim ............ 
b) =
+→ 1x
)x(flim ............ e) =
+∞→x
)x(flim ............ 
c) =
→ 1x
)x(flim ............ 
 
2) Justifique a inexistência dos seguintes limites: 
a) 
x
x
lim
0x→
 
b) )xcos(lim
x +∞→
 
c) 4xlim
1x
−
→
 
d) 
2x
3lim
2x
−
→
 
e) )x(flim
0x→
 onde 



=
racionaléxse,1
irracionaléxse,0)x(f 
f) )(lim
1
xarcsen
x→
 
 
 
3) Observe o gráfico da função definida por y = x
2
 – 4x + 3 e 
responda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) quando x = 4, y vale ......... 
b) quando x se aproxima de 2, y se aproxima de ......... 
c) quando x tende para 1, f(x) tende para .......... 
d) x tendendo para 
2
1 , f(x) tende para .......... 
4) Observe gráfico abaixo e responda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) se x tende a 0, y tende a ........ 
b) se x é maior que 1, mas tende a 1, y tende a ........ 
c) se x é menor que 1, mas tende a 1, y tende a ....... 
d) se x = 1, y = ....... 
 
5) Dado o gráfico abaixo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) calcule =
−
−→
)x(flim
1x
 b) calcule =
+
−→
)x(flim
1x
 
c) calcule =
−→
)x(flim
1x
 d) f(-1) = 
 
 
6) Dado o gráfico da função 





>+
=−
<−−
=
1x se 2x
1x se 1
1x se x2x
)x(f
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) calcule =
−→
)x(flim
1x
 b) calcule =
+→
)x(flim
1x
 
c) calcule =
→
)x(flim
1x
 d) f(1) = 
e) f(2) = f) f(-1) = 
 
x 
y 
1 
1/2 
21 
 
7) Dado o gráfico abaixo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) calcule =
−→
)x(flim
1x
 b) calcule =
+→
)x(flim
1x
 
c) calcule =
→
)x(flim
1x
 d) f(1) = 
e) f(-2) = 
8) Dado o gráfico da função 





>−
=
<−
=
2x se 2x
2x se 0
2x se x4
)x(f
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) calcule =
−→
)x(flim
2x
 
b) calcule =
+→
)x(flim
2x
 
c) calcule =
→
)x(flim
2x
 
d) f(2) = 
e) f(0) = 
 
 
9) Calcule os limites abaixo: 
 
a) ( )3xlim 2
2x
+
→
= 
b) 9lim
5x→
 = 
c) x
x
coslim
pi→
 = 
l) ( )( )xloglim
100x→
 = 
m) 
1x
1xlim
2
1x +
−
−→
 = 
d) ( )1x3loglim
3x
+
→
 = 
e) 
( )( )
( )( )2x1x
3x2xlim
2x +−
−+
−→
 = 
f) 
2x
4x3xlim
23
2x
−
+−
→
 = 
g) 
2x5x3
10x3xlim 2
2
2x
−−
−+
→
 = 
h) 
x9
3xlim
9x
−
−
→
 = 
i) 
1x
1xlim
2
1x
−
−
→
 = 
j) x
1x
3lim
−→
 = 
k) )2x(lim 2
3x
+
→
 = 
n) 
x4
xxlim
2
0x
+
→
 = 
o) 
8x
31xlim
8x
−
−+
→
 = 
p) 
x
33xlim
0x
−+
→
 = 
q) 
5x
25xlim
2
5x
−
−
→
 = 
r) 23
34
1x xx
xxlim
−
−
→
 = 
s) 
49x
3x2lim 27x
−
−−
→
 = 
t) 
2x
2xlim
2x
−
−
→
 = 
 
10) Considere as funções definidas pelas fórmulas )(tan x , 
²
1
x
, x e )(sec x . Por que podemos dizer que essas 
funções são contínuas? 
 
 
11) Seja a função f definida por f(x)=5x-2 para todo x real. 
Se 8)x(flim
2x
=
→
, encontre um δ para 01,0=ε tal que 
01,08)x(f2x0 <−⇒δ<−< . 
 
 
12) Dada a função f definida por 





−<−
−=
−>−
=
1xse,ax5
1xse,3
1xse,2x3
)x(f 
Determine o valor de “a” para que exista )x(flim
1x −→
. 
 
 
13) Calcule os seguintes limites: 
a) =
−
+
−→ 1
1
2
3
1
lim
x
x
x
 
b) =
−+
++
−→ )3)(2(
44 23
2
lim tt
ttt
t
 
c)
253
103
2
2
2
lim
−−
−+
→ xx
xx
x
 
d) =
−
−−
→
52
532 2
2
5
lim t
tt
t
 
e) =
+
+
−→ 8
2
3
2
lim
x
x
x
 
f) =
+−
+−
→ 36254
20173
2
2
4
lim
xx
xx
x
 
 
g) =
−−
++
−→ 43
56
2
2
1
lim
xx
xx
x
 
h) =
++
−
−→ 23
1
2
2
1
lim
xx
x
x
 
i)
2012
65
2
2
2
lim +−
+−
→ xx
xx
x
 
j) =
−+
→ h
16)h2( 4
0h
lim 
k) =
+
+−
−→ 4h
h)8h(2 2
4h
lim 
l) =
+
−+
−→ 4x
59²xlim
4x
 
m) =
−−+
→ x
x1x1lim
0x
 
 
14)Um estacionamento cobra R$ 3,00 pela primeira hora ou 
fração, e R$ 2,00 por hora sucessiva, ou fração, até o 
máximo diário de R$ 10,00. 
A)Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma 
função do tempo percorrido. 
B) Discuta as descontinuidades da função e seu significado 
para alguém que use o estacionamento. 
15) Esboce o gráfico de uma função que tenha uma 
descontinuidade de salto em x=2 e uma descontinuidade 
removível em x=4, mas seja contínua no restante.
16) Verifique se a função f é contínua no ponto 
especificado. Esboce o gráfico de f(x): 
A) 



≥−
<+
=
1xse,x25
1xse,2x)x(f no ponto x=1. 
B) 



>−
≤−
=
0xse,x1
0xse,1²x)x(f no ponto x=0. 
C) 





>
=
<+
=
0xse,e
0xse,1
0xse,1x2
)x(f
x
 no ponto x=0. 
D) 



≥
<+
=
0xse),xcos(
0xse,1x3)x(f no ponto x=0. 
E) 







>
−
≤≤−
<−
=
1xse,
1x1
1x0se,1
0xse,1x
)x(f nos pontos x=0 e x=1.
14)Um estacionamento cobra R$ 3,00 pela primeira hora ou 
sucessiva, ou fração, até o 
A)Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma 
B) Discuta as descontinuidades da função e seu significado 
de uma função que tenha uma 
descontinuidade de salto em x=2 e uma descontinuidade 
removível em x=4, mas seja contínua no restante. 
16) Verifique se a função f é contínua no ponto 
 
 
 
 
nos pontos x=0 e x=1. 
F) 




=
≠
−
−+
=
2xse,1
xse,
2x
6x²x
)x(f
G) 
1²x
4²x
)x(f
+
+
= no ponto x=2.
H) 





−
≤−
<−
=
xse,5x3
x0se,1x
xse,1³x
)x(g
17) Determine o valor de K para que a função seja contínua 
no ponto indicado: 
A) 




=
≠
−
−
=
1xse,K
1xse,
1x
1x
)x(f 3
B) 



−>+
−≤+
=
xse,K²x
xse,3x4)x(f
 
19. Um tanque contém 5000L de água pura. Água 
contendo 30g de sal por litro é bombeada para dentro do 
tanque a uma taxa de 25L/min.
A) Mostre que a concentração de sal depois de t minutos 
(em gramas por litro) é t(C
B) O que acontece com a concentração quando 
 
20. Considere a função f(x) = e
A) Calcule ( )3elim x
x
−
+∞→
 e lim
x
B) Essa função possui assíntota vertical ou horizontal? 
Justifique. 
C) f(x) é continua no ponto x=0? Justifique.
D) Esboce o gráfico de f(x). 
22 
≠
2
2 no ponto x=2. 
no ponto x=2. 
>
≤
<
2x
2
0
 nos pontos x=0 e x=2. 
17) Determine o valor de K para que a função seja contínua 
1 no ponto x=1. 
−2
2
 no ponto x=-2. 
19. Um tanque contém 5000L de água pura. Água salgada 
contendo 30g de sal por litro é bombeada para dentro do 
tanque a uma taxa de 25L/min. 
 
A) Mostre que a concentração de sal depois de t minutos 
t200
t30)t
+
= . 
B) O que acontece com a concentração quando ∞→t ? 
20. Considere a função f(x) = e
x
 – 3. 
( )3elim x −
−∞→
. 
B) Essa função possui assíntota vertical ou horizontal? 
C) f(x) é continua no ponto x=0? Justifique. 
23 
 
21. Considere a função 
1x
32)x(f
+
−= . 
A) Calcule o limite de )x(flim
x +∞→
 e )x(flim
1x −→
. 
B) Essa função possui assíntota vertical ou horizontal? 
Justifique. 
C) Esboce o gráfico de f(x). 
 
22. Considere a função 3)²1x(
4)x(f −
−
= . 
A) Calcule o limite de )x(flim
x +∞→
 e )x(flim
1x→
. 
B) Essa função possui assíntota vertical ou horizontal? 
Justifique. 
C) Esboce o gráfico de f(x). 
 
23. Calcule, usando as propriedades operatórias dos limites: 
1) 



−
+
−
−
→ 4²x
6x
2x
xlim
2x
 
2)
t129
)3t4(senlim
4/3t
−
−
→
 
3) 
3
x x
41ln.xlim 





+
+∞→
 
4) )x2x4x2(lim 24
x
+−
−∞→
 
5) 
2u3
3u4²u5lim
u +
+−
+∞→
 
6)
1x3
4x3x10
2
2
x
lim
−
+−
+∞→
 
7)
1xxx
1xxx5
34
23
x
lim +−+
−+−
+∞→
 
8) 
3x
7x2 2
x
lim +
−
+∞→
 
9) 3
7
57
s 1s2
s4s3lim +
−
+∞→
 
10) 
36y
1y
2
6y
lim
−
+
→
 
11) 
8x2x
x3
2
4x
lim
−−
−
→
 
12) 
3x
1lim
3x −→
 
13) 
x
x9senlim
ox +→
 
14) 
2x
)x2cos(lim
0x
−
→
 
15) 
x7sen
x10senlim
0x→
 
16) 
x
axtanlim
0x→
 
17) 
3
3
0x x
)2/x(senlim
→
 
18) 2
0x x
xcos1lim −
→
 
19) 
x4sen3x2
x2senx6lim
0x +
−
→
 
20) 
511lim +
∞→






+ n
n n 
21) x
x x
21lim 





−
∞→ 
22)
x
x 1x
xlim 





++∞→
 
23) 1
12
32lim +
∞→






+
+ n
n n
n
 
 24)
( ) x
x
xctg tan
2
1lim +
→
pi 
25)
2x
110 2x
2x
lim
−
−
−
→
 
26)
3x
14 5
3x
3x
lim +
−
+
−→ 
 27) 2x
255x
2x
lim
−
−
→
 
28) 
)5x5(sen
13 4
1x
1x
lim
−
−
−
→ 
 
29)
x
ee bxax
0x
lim
−−
→
−
 
30) 
x2
xtanx3senlim
0x
−
→
 
24 
 
31) 





−
→ xtan
1
xsen
1
lim
0x
 
32) 
3
x x
10x3xx
lim
−+
+∞→
 
33) )x21x2x3( 2
x
lim −++
+∞→
 
34) 
1x
1x2x
2
3
x
lim
−
+−
−∞→
 
24. Determine as assíntotas horizontais e verticais do 
gráfico das seguintes funções: 
A) 
3x
2)x(f
−
= B) 
²x
12)x(f −= 
C) 
2x3²x
4)x(f
+−
= D) 1
4²x
3)x(f +
−
= 
E) 
16²x
²x2)x(f
−
= F) 
12x²x
x)x(f
−+
= 
 
25. Determine as assíntotas e esboce o gráfico das 
seguintes funções: 
A) 
1x
2x3
)x(f
−
+
= B) 
12x3
23x6
)x(f
+
+
= 
26. Mostre que 
x
)x(arcsenlim
0x→
é igual a 1. 
Dica: Use a mudança de variável t=arcsen(x) e aplique o 
limite trigonométrico fundamental. 
GABARITO 
 
1) 1.1 a) 1 b) 6 c) ∃/ d) 1 e) 6 
 1.2 a) 5 b) 5 c) 5 d) ∃/ e) ∃/ f) ∃/ 
 1.3 a) 4 b) 4 c) 4 d) 1 e) 0 f) −∞ g) +∞ 
 1.4 a) -1 b) -1 c) -1 d) ∃/ e) -1 f) 3 
 1.5 a) 0 b) 0 c) 0 d) 2 e) +∞ f) +∞ 
 1.6 a) 0 b) 0 c) 0 d) 4 e) −∞ f) +∞ 
 1.7 a) ½ b) +∞ c) ∃/ d) −∞ e) ½ 
2) a) laterais diferentes b)não converge 
c) 1 não é ponto de acumulação d)laterais diferentes 
e)não converge f) Limite lateral direito não existe. 
3) a) 3 b) -1 c) 0 d) 5/4 
4) a) -1 b) 1 c) 0 d) 2 
5) a) 0 b) 3 c) ∃/ d) 1 
6) a) -3 b) 3 c) ∃/ d) -1 e) 4 f) 1 
7) a) -3 b) -3 c) -3 d) -1 e) 0 
8) a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 4 
9) a) 7 b) 9 c) -1 d) 1 e)
3
5
 f) 0 g) 1 
h) –
6
1
 i) 4 j)
3
1
 k) 11 l) 2 m) -2 n)
4
1
 
 o)
6
1
 p)
6
3
 q) 10 r) 1 s)
56
1
− t)
4
2
 
10) Porque cada ponto do domínio será contínuo. 
11) 0,002 ou menor 
12) -10 
13)a) 
2
3
− b)0 c)1 d) 
2
7
 e) 
12
1
 f)1 g) 
5
4
− 
h)-2 i) 
8
1
 j)32 k)-1 l) 
5
4
− m)1 
14) B) Descontinua em 1, 2, 3 e 4. 
16) A, C, D, G e H São contínuas. 
B) Descontinuidade (de salto/limite não existe). 
E) Contínua em x=0 e descontínua em x=1. 
F) Descontínuo em x=2. (descontinuidade removível) 
17) A)1/3 B)-9 
20) A) ∞+ e -3; B) y=-3 é assíntota horizontal. C) Sim. 
21) A) 2 e não existe; B) y=2 é assíntota horizontal e x=-1 é 
assíntota vertical. 
22) A) -3 e ∞+ ; B) y=-3 é assíntota horizontal e x=1 é 
assíntota vertical. 
23) 1)5/4; 2)-1/3 3)12; 4) ∞+ ; 
 5) ∞+ ; 6)10/3; 7)0; 8) 2 ; 
9) 3
2
3
; 10)não existe; 11) não existe; 12) ∞+ 
13) 9; 14)-1/2; 15)10/7; 16)a; 17)1/8; 
18)1/2; 19)2/7; 20)e; 21)e
-2
; 
22)1/e 23)e; 24)e; 25)ln 10; 
26)(2/5).ln 2 27)25.ln 5; 28)(1/20).ln 3; 29)b-
a;30)1; 31)0; 32)0; 33) ∞+ ; 34) ∞− . 
24) 
A) Assíntota horizontal: y=0; Assíntota vertical: x=3. 
B) Assíntota horizontal: y=2; Assíntota vertical: x=0. 
C) Assíntota horizontal: y=0; Assíntota vertical: x=1 e x=2. 
D) Assíntota horizontal: y=1; Assíntota vertical: x=-2 e x=2. 
E) Não tem assíntota horizontal; Assíntota vertical: x=-4 e 
x=4. 
F) Assíntota horizontal: y=1 e y= -1; Assíntota vertical: x=-4 
e x=3. 
 
 
UNIDADE 3 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
∆x : incremento da variável x ∆tan β =
x
y
∆∆∆∆
∆∆∆∆
 ( o triângulo retângulo formado a partir dos pontos P e P
Note que, quando ∆x � 0, o ponto P tenderá ao ponto 
conseqüência, o ângulo β tenderá a α, e assim teremos a seguinte definição:
 
DERIVADA EM UM PONTO 
DEFINIÇÃO: Seja uma função y=f(x) definida num intervalo aberto que contenha “x
ponto (x0,f(x0)), denotado por f’(x0), é dado por
 Ou de outra forma: 
∆
∆
=′
→∆
lim)x(f
0x
0
 
Outra forma usual é trocar o incremento de x por h. Assim temos a notação 
Notação: y′′′′ ; )x(f′ ; 
dx
dy
; 
dx
df
; 
dx
)x(df
; 
UNIDADE 3 - DERIVADAS 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA 
 
Na figura, temos:
 
“r” é uma reta secante à curva
 
“t” é uma reta tangente à
 curva no ponto 
 
 
 
∆y : incremento da variável y 
x
y
∆∆∆∆
∆∆∆∆
 : razão incremental
( o triângulo retângulo formado a partir dos pontos P e P
tenderá ao ponto P0 e a reta secante “r” tenderá à reta tangente t, como 
, e assim teremos a seguinte definição: 
Seja uma função y=f(x) definida num intervalo aberto que contenha “x0”, então a 
é dado por 
x
)x(f)xx(f
lim 00
0x ∆
−∆+
→∆
, desde que o limite exista.
=
−
−
=
−
−
=
∆
∆
→→
tan
xx
yy
lim
xx
)x(f)x(f
lim
x
y
0
0
xx
0
0
xx 00
Outra forma usual é trocar o incremento de x por h. Assim temos a notação lim)x('f
h
0 =
→
; )x(fDx . 
25 
 
Na figura, temos: 
 
” é uma reta secante à curva 
 
“t” é uma reta tangente à 
curva no ponto P0( x0 , y0 ) 
razão incremental 
( o triângulo retângulo formado a partir dos pontos P e P0) 
” tenderá à reta tangente t, como 
, então a derivada de f(x) no 
, desde que o limite exista. 
αtan 
h
)x(f)hx(f
lim 00
0
−+
→
. 
26 
 
Exemplos: 
Determine o valor da derivada de 4²x)x(f −= no ponto 1x0 = . E no ponto 2x0 −= . 
 
 
 
Observação: 
Da geometria analítica: 
• y=ax+b � o coeficiente angular a é a tangente da inclinação α da reta, ou seja, a=tanα. 
• α é o ângulo que a reta faz com o eixo-x. 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
Por outro lado, se considerarmos um ponto qualquer “x” com imagem y=f(x) 
E outro ponto qualquer com um acréscimo ∆x, ou seja, “x+∆x”, teremos como imagem y=f(x+∆x) 
Portanto a derivada em qualquer ponto, ou simplesmente, a derivada da função f(x) é dado por: 
x
)x(f)xx(f
lim)x(f
0x ∆
−∆+
=′
→∆ 
 
Exemplos: 
Determine a derivada das seguintes funções: 
A) x32)x(f x −= 
 
B) 3x4²x)x(f +−= 
 
C) 1x)x(f 3 −= 
 
D) 
1x
x
y
−
= 
 
E) xsen)x(f = 
 
F) xlny = 
 
 
Observação: f ’(x) é uma nova função que leva a cada x0 na tanα(inclinação) no ponto (x0,f(x0)) da função f(x). 
 
EXERCÍCIO 1: 
A) Calcule as derivadas nos pontos indicados: 
1) y= -x2 no x=1 2) y= x-2 no x=3 
3) y= 
2x
1x
−
+
 no x= -1 4) y= 4 no x=3 
5) f(x)= 



<−
≥
1xse,1x2
1xse,x2
 no x=1 
B) Calcule as derivadas das seguintes funções: 
1) y= x3 2)y= x-2 3) y= 2x-3 4)y= 2x 5) y= x 
27 
 
FÓRMULAS DE DERIVAÇÃO 
 
1) Derivada da função constante: 
f(x)=k f ’(x)=0 
Dem.: 
f ‘(x)=
x
)x(f)xx(f
lim
0x ∆
−∆+
→∆
= 
x
kk
lim
0x ∆
−
→∆
= 0lim
0x→∆
 = 0 
Ex.: 
f(x)=5 ⇒ f ‘(x)=0 
 
2) Derivada da função afim: 
f(x)=ax+b f ’(x)=a 
Dem.: 
f ‘(x)=
x
)x(f)xx(f
lim
0x ∆
−∆+
→∆
=
x
baxb)xx(a
lim
0x ∆
−−+∆+
→∆
=
x
xa
lim
0x ∆
∆
→∆
= alim
0x→∆
 = a 
Ex.: 
f(x)=2x-3 ⇒ f ‘(x)= 
 
3) Derivada da função potência: 
f(x)=xn f ’(x)=n.xn-1 
Ex.: 
f(x)=x3 ⇒ f ‘(x)= 
 
4) Derivada da função: 
f(x)=a.xn f ’(x)=a.n.xn-1 
Ex.: 
f(x)= -2x5 ⇒ f ‘(x)= 
 
5) Derivada da função soma algébrica: 
f(x)=u(x)+v(x)-w(x) f ’(x)=u ‘(x)+v ‘(x)-w ‘(x) 
Ex.: 
f(x)= x3-3x2+5x-4 ⇒ f ‘(x)= 
 
6) Derivada da função produto: 
f(x)=u(x).v(x) f ’(x)=u ‘(x).v(x)+u(x).v ‘(x) 
Ex.: 
f(x)= (x+1).(2x3-4) ⇒ f ‘(x)= 
 
 
7) Derivada da função quociente: 
f(x)= )(
)(
xv
xu
 f ’(x)= ( )[ ]2xv
)x(v).x(u)x(v).x(u ′−′
 
Ex.: 
=⇒
−
+
=
dx
dy
10x2
x5x
y
3
4
 
f(x)= 
22
x
1
1x
2x4
−−−−
++++
++++
 ⇒ f ‘(x)= 
28 
 
DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA – REGRA DA CADEIA 
 Se y=f(u), u=g(x) e as duas derivadas 
du
dy
 e 
dx
du
 existem, então a função composta definida por y=f(g(x)) tem 
derivada dada por: 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
= , ou: 
dx
dg
.
dg
df
dx
dy
= , ou: 
( )[ ]
)x(g).u(f
dx
xgfd
′′=
o
 
Exemplos: 
a)Dada a função 
3
1x3
1x2
y 





−
+
= , calcular 
dx
dy
. 
Façamos y=f(z)=z3 ( função potência) e z=g(x)=
1x3
1x2
−
+
 ( função quociente) então: 
y=f(g(x))=
3
1x3
1x2






−
+
 que é a composta de g e f. 
Portanto: 
dx
dz
.
dz
dy
dx
dy
= 
y=z3 ⇒ 
2
2
1x3
1x2
.3z3
dz
dy






−
+
== 
z=
1x3
1x2
−
+
 ⇒ 
( ) ( )
( )21x3
3.1x21x3.2
dx
dz
−
+−−
= = ( )21x3
3x62x6
−
−−−
= ( )21x3
5
−
−
 
Daí, temos que: 
( )2
2
1x3
5
.
1x3
1x2
.3
dx
dy
−
−






−
+
= 
 
b) Dada a função ( )3 223 1x5x4x2y +−+= , calcular 
dx
dy
. 
 
 
 
 
 
 
CONTINUAÇÃO DAS FÓRMULAS DE DERIVAÇÃO 
 
8) Derivada da função exponecial: 
f(x)=au(x) f ‘(x)=au(x).lna.u‘(x) 
Ex.: x3x
2
2)x(f += 
 
9) Caso particular da função exponencial (base “e”) 
f(x)=eu(x) f `(x)=eu(x).u`(x) 
Ex.: f(x)=e2x-1 
29 
 
10) Derivada da função logarítmica 
f(x)= )x(uloga 
a
elog.
)x(u
)x(u
)x(f
′
=′ =
aln).x(u
)x(u′
 
Ex.: f(x)=log(x2-2x+1) 
 
 
 
11) Caso particular da função logarítmica( base “e” � neperiano) 
f(x)= )x(uln 
)x(u
)x(u
)x(f
′
=′ 
Ex.: 





 +
=
x
1x
ln)x(f
2
 
 
12) Derivada da função: 
f(x)=[u(x)]v(x) f `(x)=v(x).[u(x)]v(x)-1.u`(x)+[u(x)]v(x).ln[u(x)].v`(x) 
Ex.: 
f(x)=(2x-1)3x 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
13) Derivada da função seno: 
f(x)=sen[u(x)] f `(x)=cos[u(x)].u`(x) 
Ex.: 
f(x)=sen(2x+1) 
 
 
 
14) Derivada da função cosseno: 
f(x)=cos[u(x)] f `(x)=-sen[u(x)].u`(x) 
Ex.: 
f(x)=cosx.senx 
 
 
15) Derivada da função tangente: 
f(x)=tan[u(x)] f `(x)=sec2[u(x)].u`(x) 
Ex.: 
f(x)= 1x ++++tan 
 
 
 
 
16) Derivada da função arcseno ou sen-1: 
f(x)=arcsen[u(x)])(.
)]([
)( xu
xu1
1
xf
2
′′′′
−−−−
====′′′′ 
Ex.: 
f(x)=sen-1(3x-1) 
30 
 
EXERCÍCIO 2: 
A)Calcule as derivadas das funções dadas: 
1) ( ) 6x7x3xxxf 245 −−++= 2) ( ) 3
x
5
x
2
x
1
xf
34
+−+= 
3) ( ) xx51xf 6 +−= 4) ( ) 1x4²x7x2x3xf 35 −+−+= 
5) ( ) 4
3
2 x.3
x
5
x10xf ++= 6) ( ) 14x7x
5
1
x20x3xf 346 −+−+−= 
7) ( )
54 x2
1
x
3
xf −= 8) ( ) 4
5
x
6
1
x
11
xf −= 
9) ( )
3 2
4
x
1
x.2xf += 10) ( )
53 x
2
x
1
xf += 
11) ( )
x
2
2
x
xf −= 12) ( )
7
5 3
5
2
x
1
x.5
x
1
x10xf −+−= 
 
B) Calcule as derivadas das funções (produto e quociente): 
1) ( ) ( )2352 −+= xxy . 2) ( ) ( ) ( )xxxf 5216 −−= . 
3) ( )( )23 3215 xxy ++= . 4) ( )( )110 24 −−= xxy . 
5) ( ) ( )( )1425 3 +−= xxxf . 6) 
xx
y
24
2
3 +
= 
7) 
72
53
−
+
=
x
x
y 8) 
25
3
x
x
y
−
−
= 
9) ( )
16
53 2
−
−
=
x
xx
xf 10) 
13
74 2
+
+
=
x
xx
y 
C) Usando formulário, determine a derivada das seguintes funções: 
 1) ( )643 +−= xy 2) ( )52 14 −= xy 3) ( )437 xxy += 
4) ( )642 5xxy += 5) ( )2353 xxy −= 6) ( )3 212 −= xy 
7) ( )5 343 += xy 8) 25 −= xy 9) ( )6 53 52 −= xy 
10) ( ) ( )1.52 22 +−= xxy 11) ( )( )223 35.4 −+= xxxy 12) ( ) ( )1.37 34 −+= xxy 
31 
 
13) ( ) ( )362 27.54 −+= xxy 14) ( )2543.8 25 −+−= xxxy 15) 6225 −= xy 
16) 
2733 xxy += 17) 107
242 −+= xxy 18) f(x)= x
1
e 
19) 
235 xxey += 20) ( )35ln −= xy 21) ( )13ln 2 +−= xxy 
22) ( )xxxy 325ln 23 −+= 23) 22log xy = 24) ( )xxy 43log 24 −= 
25) f(x)= 




 − −
2
ee
ln
xx
 26) ( )xseny 5= 27) ( )142 +−= xxseny 
28) f(x)= 53 x4sen 29) f(x)=arctan(5x) 30) f(x)=cos3(x2+2x) 
31) ( )24 36cos xxy −= 32) senxxy .= 33) xxy cos.6 2= 
34) 
senx
xy
4
= 35) senxy ln= 36) senxxy .3ln.4 −= 
37) f(x)= x3cot.x2csc 2 38) xseny 4= 39) ( )xy 3tan= 
40) ( )32cot xy = 41) ( )xy 5sec= 42) ( )xy 7csc= 
43) f(x)=arcsen(1+x) 44) f(x)=arcsecx2 45) f(x)=tan32x 
 
 
 
DERIVADAS SUCESSIVAS 
Seja f(x)=2x4. Qual a 4a derivada desta f(x)? 
1a derivada: 3x8y
dx
dy
=′= 2a derivada: 
2
2
2
x24y
dx
yd
=′′= 
3a derivada: x48y
dx
yd
3
3
=′′′= 4a derivada: 48y
dx
yd iv
4
4
== 
De uma forma geral: 
′






=
−
−
1n
1n
n
n
dx
yd
dx
yd
 
 
( )′= −1nn yy 
 
Exemplo: Determine f”(x) para a função ²)x(arcsen)x(f = . 
 
 
 
32 
 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS 
 
Teorema: Toda função derivável (ou diferenciável) no ponto x0 é contínua nesse ponto. 
 
Observações: 
1)f(x) derivável no ponto x0 significa que f’(x0) existe, ou seja, existe 
h
)x(f)hx(f
lim 00
0h
−+
→
. 
2) A recíproca não é verdadeira. 
3) Uma função não é derivável nos pontos em que o gráfico da função tenha uma QUINA (curva não suave), nos 
pontos de DESCONTINUIDADE e nos pontos em que a RETA TANGENTE É VERTICAL. 
 
Exemplos: 
A) A função x)x(f = é contínua em x0=0, mas não é derivável nesse ponto. 
 
 
B) A função 3 1x)x(f −= é contínua em x=1, mas não é derivável nesse ponto. 
 
 
C) A função 



>
≤+
=
0xse,xsen
0xse,3x
)x(f não é derivável em x=0, já que a função é descontinua nesse ponto. 
 
 
D) Mostre que a função 



≥
<−
=
1xse,x2
1xse,1²x3
)x(f é contínua em x=1, mas não é derivável nesse ponto. 
 
 
E) Substitua a 2ª sentença do exemplo anterior por uma fórmula de 1º grau para que a função seja contínua e 
derivável em x=1, ou seja, escolha uma fórmula de 1º grau para 2ª sentença para que a curva f(x) seja suave em x=1. 
 
 
 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA 
 
Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas 



∈
=
=
]b,a[t,
)t(yy
)t(xx
, então a derivada é dada por: 
)t('x
)t('y
dx
dy
= 
Exemplos: 
A)Considere a reta definida na forma paramétrica 



∈
+=
+=
IRt,
3t4y
1t2x
. Calcule a derivada. 
 
B)Considere a elipse definida na forma paramétrica 



pi∈
=
=
]2,0[t,
tsen3y
tcos4x
. Determine a derivada dessa função. 
33 
 
DERIVADA DA FUNÇÃO IMPLÍCITA F(X,Y)=0 
A)Dada a função implícita 02yyxx 223 =++− , determine xy
dx
dy
′= . 
 
 
B)Determine o coeficiente angular da reta tangente à circunferência 25²y²x =+ no ponto P(3, -4). 
 
 
 
EXERCÍCIO 3: Dadas as funções implícitas, calcule as derivadas indicadas: 
1) x
3 23 23 2 'yayx ⇒=+ 
2) 0yyxx 223 =++ xy′⇒ 
3) 
yx
yx
y 3
+
−
= xy′⇒ 
4) yxe y += xy′⇒ 
5) x
x
y
yaexln ′⇒=+
−
 
6) yx
y
x
arctanxy ′⇒= 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1: Determine a derivada das seguintes funções: 
1) f(x)=3x 2) 1x.2)x(f +−= 3) f(x)=x-2 4) 2
1
x)x(f = 
5) f(x)=5x3 6) x2)x(f = 7) 
4x
5
)x(f = 8) f(x)= -10x –4 
9) f(x)=4x3-5x2-7x+2 10) f(x)=(x+1).(x3+2x) 11) f(x)=x.(x2+1) 
12) f(x)=(3x2+4x-2).(-x3+4x2) 13) f(x)=(x+1).(x2+2x).(x3+3x2+4) 
14) 2x
3x2
x
)x(f +
−
= 15) 
xx
xx
)x(f
−
+
= 16) f(x)=(4x3-5x2+7x)3 
17) f(x)=(x2+1).(2x+3)2.(-3x+2)3 18) ( )2
3 23
2x5
xx4
)x(f
+
+
= 19) x3
2xexf ++++====)( 
20) x
1
e)x(f = 21) 
3 x2x2e
1
)x(f
+
= 22) f(x)=2x 23) 
x
2
1
)x(f 





= 
24) ( ) x2)x(f = 25) 
x
1
ln)x(f = 26) 
1x
1x
ln)x(f
−
+
= 27) 
xxe)x(f = 
28) f(x)=logx 29) 
2x5
4x2
log)x(f
3
1 +
+
=
 30) ( )1xlog)x(f 2
x2
+= 
31) 3 2 x3sen)x(f = 32) 
23xsene)x(f = 33) x5cosln)x(f = 
34) x4cos.x3sen)x(f 33= 35) 
x4cos
x3sen
)x(f = 36) 
x4tane)x(f = 
37) x3tan.x4tan)x(f = 38) ( )3x2xcot)x(f 23 ++= 39) 3 x3cot)x(f = 
40) ( )2xcotln
1
)x(f = 41) ( )x3x5sec)x(f 2 += 42) x2sec)x(f 3= 
 
APLICAÇÕES DA DERIVADA
 
RETA TANGENTE 
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no
 
1a) Equação de uma reta que passa por dois pontos cujo coeficiente angular é m.
 ( ) 

→
→
pontos1y,x
angularecoeficientm
00
 
 
2a) Equação da reta tangente à uma curva y=f(x) no ponto (x
 



′=α=
−=−
)x(ftanm
)xx(myy
0t
0t0⇒
 
3a) Normal à curva y=f(x) é uma reta perpendicular à reta tangente no ponto 
(x0,y0). 
 




′
−
=
−
=⇒−=
−=−
)x(f
1
m
1
m1m.m
)xx(myy
0t
NtN
0t0
 
 
Exemplos: 
A)Qual a equação da tangente e da normal à curva 
a) (3,5) b) onde x=0 c) (
 
 
 
 
B) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 
 
 
C) Qual é a equação da reta tangente à elipse 
 
 
 
 
 
D) Determine a equação da reta tangente ao
 
APLICAÇÕES DA DERIVADA 
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto (a,f(a)) é f ‘(a). 
) Equação de uma reta que passa por dois pontos cujo coeficiente angular é m. 
 ⇒ ( )00 xx.myy −=− 
) Equação da reta tangente à uma curva y=f(x) no ponto (x0,y0). 
⇒ ( )000 xx).x(fyy −′=− 
) Normal à curva y=f(x) é uma reta perpendicular à reta tangente no ponto 
 ⇒ ( )0
0
0 xx.
)x(f
1
yy −
′
−
=− 
Qual a equação da tangente e da normal à curva 4²xy −= no ponto: 
a) (3,5) b) onde x=0 c) (-2,0) 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 
x2
1
)x(f
−
= no ponto x=3.
Qual é a equação da reta tangente à elipse 
12
²y
16
²x
+
D) Determine a equação da reta tangente ao fólio de Descartes xy6yx 33 =+ no ponto (3,3).
34 
no ponto x=3. 
1= no ponto P(2,3). 
no ponto (3,3). 
 
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
Seja y=f(x) um função, então a taxa instantânea de variação de y em
TAXA
 
OBSERVAÇÃO: 
Velocidade instantânea é a taxa de variação
Aceleração instantânea é a taxa de variação
 
Exemplos: 
A) De um balão a 150m acima do solo, deixa
s(t) do solo ao saco de areia em queda, após t segundos,
saco de areia. 
a) quando t=a segundos; 
b) quando t=2 segundos; 
c) no instante em que ele toca o solo. 
d) Determine a aceleração desse saco de areia.
Rtas: a) Va=-9,8.a m/s; b) V2=-19,6 m/s; c)
 
 
B) Estima-se que, x meses a partir de agora, a população de certa comunidade será de P(x)=x²+20x+8000.
a) A que taxa a população estará variando em relação ao tempo 15 meses
b) Por quanto a população variará realmente durante o 16º mês?
Rtas: a)50; b)P(16) – P(15) = 51. 
 
 
C) Um tanque contém 5000L de água pura. Água salgada contendo 30g de sal por litro é bombeada para d
tanque a uma taxa de 1500L/h. 
a) Mostre que a concentração de sal depois de t 
litro) é 
t3,01
t9
)t(C
+
= . 
b) O que acontece com a concentração quando 
 
c) Determine a taxa de variação da concentração de 
sal (em g/L) em relação ao tempo (em h).
 
d) Determine a taxa de variação da concentração de 
sal (g/L) em relação ao tempo (h) nos instantes t=1, 
t=10 e t=80h. 
 
 
 
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA 
taxa instantânea de variação de y em relação a x em a é dada por f ‘ 
dx
dy
)x('fVARIAÇÃODETAXA == 
Velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja: 
dt
ds
)t('s)t(v == 
riação da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
dt
dv
)t('v)t(a == 
De um balão a 150m acima do solo, deixa-se cair um saco de areia. Desprezando-se a resistência de ar, a distância 
s(t) do solo ao saco de areia em queda, após t segundos, é dado por s(t)=-4,9t2+150. Determinar a velocidade do 
quando t=a segundos; 
quando t=2 segundos; 
no instante em que ele toca o solo. 
Determine a aceleração desse saco de areia. 
; c) Vf(5,53)=-54,194 m/s; d) a=-9,8m/s². 
se que, x meses a partir de agora, a população de certa comunidade será de P(x)=x²+20x+8000.
a) A que taxa a população estará variando em relação ao tempo 15 meses a partir de agora?
b) Por quanto a população variará realmente durante o 16º mês? 
C) Um tanque contém 5000L de água pura. Água salgada contendo 30g de sal por litro é bombeada para d
) Mostre que a concentração de sal depois de t horas (em gramas por 
) O que acontece com a concentração quando ∞→t ? 
c) Determine a taxa de variação da concentração de 
tempo (em h). 
d) Determine a taxa de variação da concentração de 
sal (g/L) em relação ao tempo (h) nos instantes t=1, 
35 
relação a x em a é dada por f ‘ (a). 
, ou seja: 
se a resistência de ar, a distância 
+150. Determinar a velocidade do 
se que, x meses a partir de agora, a população de certa comunidade será de P(x)=x²+20x+8000. 
a partir de agora? 
C) Um tanque contém 5000L de água pura. Água salgada contendo 30g de sal por litro é bombeada para dentro do 
 
EXERCÍCIO 4: 
1)Determinar o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação no ponto P. Estabelecer a equação da 
tangente em P. Esboce o gráfico da curva e da tangente em P.
a) xy ==== em P(4,2) b) 
c) 
x
1y ==== em P(2,
2
1
) d) 
2) Determine o ponto em que o coeficiente angular da tangente é m. Esboce o gráfico da curva e da tangente.
a) y=x2 em m=6 b) y=x
 
3)Achar as equações da reta tangente e normal à curva.
a) 
x
4y ==== no ponto x=2 b) 
c) 3 10xy −−−−==== no ponto x=2 d) 
 
4)Qual a equação da reta tangente à curva 
 
5) O antibiótico amoxicilina tem meia-vida de 1 hora. Considere que um paciente ingeriu o último 
comprimido de amoxicilina de 800 mg de um tratamento exatamente na meia noite. Determine:
A) a quantidade de amoxicilina no organismo às 5 horas da manhã.
B) a quantidade de amoxicilina após t horas da ingestão desse comprimido.
C) o gráfico dessa função. 
D) a taxa de decaimento dessa substância no organismo às 3 horas da manhã.
 
6) A meia-vida do rádio-226 é 1590 anos. Considere uma amostra de 100g dessa substância.
A) Encontre a função para a massa remanescente da amostra depois de t anos.
B) Encontre a massa depois de 1000 anos.
C) Quando a massa será reduzida para 30g?
D) Determine a taxa de decaimento da massa dessa substância.
 
7) Estima-se que, t anos a partir de agora, a circulação de um jornal local será dada por C(t) = 100t² + 400t + 5000.
A) Determine a taxa na qual a circulação estará variando em relação ao tempo t anos a partir 
de agora. 
B) A que taxa a circulação estará variando em relação ao tempo 5 anos a partir de agora? A 
circulação está aumentando ou diminuindo nesse tempo?
C) De quanto a circulação realmente variará durante o sexto ano?
 
8) Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por 
onde t é o tempo dado em segundos e a distância em metros.
A) Ache a velocidade média durante os intervalos [3; 3,1] , [3; 3,01] e [3; 3,001]. 
B) determinar a velocidade do corpo num instante t qualquer.
C) achar a velocidade do corpo no instante 
D) determinar a aceleração no instante t . 
 
9) Se 
x1
²x
)x(f
+
= , encontre f’’(1). 
 
1)Determinar o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação no ponto P. Estabelecer a equação da 
tangente em P. Esboce o gráfico da curva e da tangente em P. 
em P(4,2) b) 3 xy ==== em P(-8,-2) 
) d) 
2
x
1y ==== em P(2,
4
1
) 
2) Determine o ponto em que o coeficiente angular da tangente é m. Esboce o gráfico da curva e da tangente.
b) y=x3 em m=9 
3)Achar as equações da reta tangente e normal à curva. 
no ponto x=2 b) x49y −−−−==== no ponto x=2 
no ponto x=2 d) xy6x4y 44 ++++==== no ponto (1,2) 
4)Quala equação da reta tangente à curva 13x4y −−−−−−−−==== que é perpendicular à reta x+2y
vida de 1 hora. Considere que um paciente ingeriu o último 
de amoxicilina de 800 mg de um tratamento exatamente na meia noite. Determine:
A) a quantidade de amoxicilina no organismo às 5 horas da manhã. 
B) a quantidade de amoxicilina após t horas da ingestão desse comprimido. 
e decaimento dessa substância no organismo às 3 horas da manhã. 
226 é 1590 anos. Considere uma amostra de 100g dessa substância.
A) Encontre a função para a massa remanescente da amostra depois de t anos. 
de 1000 anos. 
C) Quando a massa será reduzida para 30g? 
D) Determine a taxa de decaimento da massa dessa substância. 
se que, t anos a partir de agora, a circulação de um jornal local será dada por C(t) = 100t² + 400t + 5000.
taxa na qual a circulação estará variando em relação ao tempo t anos a partir 
B) A que taxa a circulação estará variando em relação ao tempo 5 anos a partir de agora? A 
circulação está aumentando ou diminuindo nesse tempo? 
ão realmente variará durante o sexto ano? 
Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por 
onde t é o tempo dado em segundos e a distância em metros. 
média durante os intervalos [3; 3,1] , [3; 3,01] e [3; 3,001]. 
B) determinar a velocidade do corpo num instante t qualquer. 
C) achar a velocidade do corpo no instante s3t = . 
D) determinar a aceleração no instante t . 
36 
1)Determinar o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação no ponto P. Estabelecer a equação da 
2) Determine o ponto em que o coeficiente angular da tangente é m. Esboce o gráfico da curva e da tangente. 
que é perpendicular à reta x+2y-11=0? 
vida de 1 hora. Considere que um paciente ingeriu o último 
de amoxicilina de 800 mg de um tratamento exatamente na meia noite. Determine: 
226 é 1590 anos. Considere uma amostra de 100g dessa substância. 
se que, t anos a partir de agora, a circulação de um jornal local será dada por C(t) = 100t² + 400t + 5000. 
taxa na qual a circulação estará variando em relação ao tempo t anos a partir 
B) A que taxa a circulação estará variando em relação ao tempo 5 anos a partir de agora? A 
Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por 2tt16)t(f += , 8t0 ≤≤ , 
37 
 
10) Um trem parte de uma estação, sendo o espaço percorrido dado pela equação 
900
t
12
t
S
32
+= , onde S é expresso em metros e t, em segundos. Determine: 
A) o tempo que leva para o trem atingir a velocidade máxima de 50 m/s. 
B) a aceleração nesse instante. 
C) o espaço percorrido nesse intervalo de tempo. 
 
11) De acordo com a fórmula de Debye em Físico-química, a polarização de orientação P 
de um gás satisfaz 




 µ
pi=
kT3
²
N
3
4
P onde µ , k e N são constantes positivas e T é a temperatura do gás. Ache a taxa 
de variação de P em relação a T. 
 
12) A curva 
²x1
1
y
+
= é chamada de bruxa de Maria Agnesi. Encontre uma equação da reta tangente para essa 
curva no ponto )
2
1
,1(P − . Plote o gráfico dessa curva em algum software. 
 
13) A Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais visível dessa constelação é a Delta Cefeu, para a 
qual o intervalo de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias. O brilho médio dessa estrela é de 4,0, com uma 
variação de 35,0± . Em vista desses dados, o brilho de Delta Cefeu no instante t, onde t é medido em dias, foi 
modelado pela função 




 pi
+=
4,5
t2
sen.35,00,4)t(B . 
A) Encontre a taxa de variação do brilho após t dias. 
B) Encontre a taxa de crescimento após 1 dia. 
 
14) Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. 
A) a hipérbole 2xyxy2x 22 =+−+ no ponto (1,2); 
B) o cardióide )²x²y2²x2(²y²x −+=+ no ponto )
2
1
,0( . 
 
 
C) a lemniscata de Bernoulli ²)y²x(25²)²y²x(2 −=+ no ponto (3, 1). 
 
 
 
15) Calcular as derivadas sucessivas até a ordem “n” indicada: 
A) 5n;x2x3y 4 =−= B) 3n;ey 1x2 == + 
C) 3n;dcxbxaxy 23 =+++= D) 4n;
e
1
y
x
== 
E) 10n;x4x23y 52 =+−= F) 2n;x2lny == 
G) 2n;x3y 2 =−= H) 7n);ax(seny == 
I) 4n;
1x
1
y =
−
= J) 5n;
2
x
cos2y =−= 
 
38 
 
16) Achar a derivada de ordem 100 das funções: 
A) xseny = B) y = cos 3x C) 2/)3x(e.32y += 
 
17) Derivar implicitamente as seguintes funções: 
A) ayx =+ B) b)yx(cosa 2 =+ C) xyytan = 
 
18) Calcular a derivada 
dx
dy
'y = das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores de t, 'y
está definida? 
A) ( )∞+∈




=
=
,0t
ty
tx
3
2
 B) 


 pi
∈



=
=
2
,0t
t2seny
t2cosx
 
C) [ ]pipi∈



=
=
2,t
tsen8y
tcos6x
 D) IRt
5ty
1t2x
3
∈




+=
−=
 
 
19) Ache a equação da reta tangente e a equação da reta normal às curvas nos pontos indicados: 
A) 
x
1
3y += no ponto )4,1(B B) 7x5x2y 2 −+= no ponto )7,0(A − 
C) xy = no ponto )1,1(C D) 2x9y −= no ponto ( )0,3Q 
E) 
x
1
y = no ponto )1,1(S F) 
1x
16
y
−
= no ponto de abscissa 5x = 
 
20) Analise a continuidade e a derivabilidade das funções nos pontos indicados. Justifique se não for derivável. 
A) 



≥
<
=
0xpara),x(sen
0xpara²,x
)x(f no ponto 0x0 = B) 



≥−
<
=
1xpara,2x3
1xpara³,x
)x(f no ponto 1x0 = 
C) 



≥−
<−
=
1xpara,1x
1xpara,x²x
)x(f no ponto 1x0 = 
21) Determine os valores de A e B para que a função 



≥+
<−
=
1xpara,BAx
1xpara,1²x
)x(f seja derivável em x=1. 
 
22) Um móvel percorre uma curva obedecendo à função horária 2tt)t(s += ., sendo s em metros e t em 
segundos. Determine sua velocidade no instante t = 4s. 
 
23) Um corpo é lançado do alto de um plano inclinado de 1200m de comprimento e seu movimento tem por 
equação 2t16t40S += , sendo S em metros e t em segundos. Determine: 
A) a velocidade ao cabo de 4s. 
B) a aceleração no mesmo instante. 
C) a velocidade quando chega ao fim do plano. 
 
24) O movimento de uma partícula tem por equação 
t
t1
r
−
= . , onde t é dado em segundos e r, em metros. Achar o 
instante em que a velocidade e a aceleração são numericamente iguais. 
 
39 
 
ESTUDO DO CRESCIMENTO E PONTOS EXTREMOS 
 
ESTUDO DA MONOTONIA DAS FUNÇÕES 
Seja uma função f definida em um intervalo I, e seja x1 e x2 quaisquer números em I, tais que x1 < x2, então: 
 
i) f é crescente em I se f(x1)≤f(x2) ii) f é estritamente crescente em I se f(x1)<f(x2) 
 
Y Y 
 
 f(x2) f(x2) 
 
 f(x1) f(x1) 
 x1 x2 X 
 x1 x2 X 
iii) f é decrescente em I se f(x1)≥f(x2) iv) f é estritamente decrescente em I se f(x1)>f(x2) 
 
Y Y 
 
 f(x1) f(x1)f(x2) f(x2) 
 x1 x2 X 
 x1 x2 X 
v) f é constante em I se f(x1)=f(x2) 
 Y 
 
 f(x1)=f(x2) 
 
 x1 x2 X 
 
 TEOREMA: Seja f(x) contínua em um intervalo [a,b] e derivável em ]a,b[. 
► Se f ‘(x)>0 para cada [b,a]x∈ então f(x) é estritamente crescente em [a, b]. 
 
► Se f ‘(x)<0 para cada [b,a]x∈ então f(x) é estritamente decrescente em [a, b]. 
 
 
Exemplo: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções: 
A) x2²xy −= B) 
x
1
xy += 
40 
 
PONTOS EXTREMOS 
Se f(x) assume valor extremo em x=c e f(x) é derivável nesse ponto, então 0)c('f = . A recíproca não é verdadeira, 
já que se f(x)=x³, temos f’(0)=0, mas x=0 não é extremo. 
 
 
 
Máximo absoluto (ou máximo global) de uma função é a maior imagem de uma função, se existir. 
Mínimo absoluto de uma função é a menor imagem de uma função, se existir. 
 
 
PONTOS CRÍTICOS: Um número “c” no domínio de uma função f é ponto crítico de f se f ‘( c ) = 0 ou f ‘( c ) não existe 
ou é infinita. 
 
TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA 
 
Seja “c” um número crítico de f, e suponhamos f contínua em “c” e diferenciável em um intervalo aberto I contendo 
“c”, exceto possivelmente no próprio “c”. 
(i) Se f ‘ passa de positivo para negativo em “c”, então f( c ) é máximo local (ou máximo relativo) de f. 
(ii) Se f ‘ passa de negativo para positivo em “c”, então f( c ) é mínimo local de f. 
(iii) Se f ‘(x)>0 ou se f ‘(x)<0 para todo x em I, exceto x=c, então f( c ) não é extremo local de f. 
 
Exemplo: Determine os extremos locais das seguintes funções: 
A) x2²xy −= B) 
x
1
xy += 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 5: 
Faça o estudo da monotonia e determine os pontos extremos das seguintes funções: 
A) 11x12xy 3 +−= B) 
2x
3
xy += C) xx2y −= D) 
2x
1
y = 
 
ESTUDO DA CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO
 
CONCAVIDADE 
 Se f for diferenciável em um intervalo aberto I. O 
(i) Côncava para cima em I se f ‘ é crescente em I.
(ii) Côncava para baixo em I se f ‘ é decrescente em I.
 
Observe no exemplo gráfico abaixo que os intervalos de monotonia são diferentes dos intervalos das concavidades:
 
 
TESTE DA CONCAVIDADE 
 Se a derivada Segunda f ‘’ de f existe em um intervalo aberto I, então o gráfico de f é:
(i) Côncava para cima em I se f ‘‘(x)>0 em I.
(ii) Côncava para baixo em I se f ‘‘(x)<0 em I.
 
 
RESUMO: Relação entre monotonia, concavidade e as derivadas de 1ª e 2ª ordem
 
Exemplo: 
Se f(x)=x3+x2-5x-5, determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo para baixo.
 
 
 
 
E PONTO DE INFLEXÃO 
diferenciável em um intervalo aberto I. O gráfico de f é: 
Côncava para cima em I se f ‘ é crescente em I. 
I se f ‘ é decrescente em I. 
Observe no exemplo gráfico abaixo que os intervalos de monotonia são diferentes dos intervalos das concavidades:
 
Se a derivada Segunda f ‘’ de f existe em um intervalo aberto I, então o gráfico de f é: 
Côncava para cima em I se f ‘‘(x)>0 em I. 
Côncava para baixo em I se f ‘‘(x)<0 em I. 
Relação entre monotonia, concavidade e as derivadas de 1ª e 2ª ordem. 
 
5, determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo para baixo.
41 
Observe no exemplo gráfico abaixo que os intervalos de monotonia são diferentes dos intervalos das concavidades: 
5, determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo para baixo. 
 
PONTO DE INFLEXÃO 
 Um ponto (c,f( c )) do gráfico de f é um ponto de inflexão se são verificadas as duas condições:
(i) f é contínua em c. 
(ii) Existe um intervalo (a,b) contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em (a,c) e côncavo para baixo em (c,b), 
ou vice-versa. 
 
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA
 
Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c, e f ‘( c )=0:
(i) Se f ‘’( c )<0, então f tem máximo local em c.
(ii) Se f ‘’( c )>0, então f tem mínimo local em c.
 
Observe que o teste da segunda derivada fornece os extremos locais, assim como o teste da primeira derivada.
 
Exemplos: 
A) Utilizando o teste da segunda derivada, determine os 
a) x2²xy −= 
 
 
 
 
 
B) Se f(x)=12+2x2-x4, use o teste da derivada segunda para determinar os extremos locais de f. Discuta a
concavidade, ache os pontos de inflexão e esboce o gráfico de f.
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 6: 
(i) Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo para baixo.
(ii) Use o teste da derivada Segunda para determinar os extremos locais de f.
(iii) Ache os pontos de inflexão. 
(iv) Esboce o gráfico de f. 
A) f(x)=x3-12x+11 B) xxf ====)(
ponto de inflexão se são verificadas as duas condições:
Existe um intervalo (a,b) contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em (a,c) e côncavo para baixo em (c,b), 
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA 
Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c, e f ‘( c )=0: 
então f tem máximo local em c. 
Se f ‘’( c )>0, então f tem mínimo local em c. 
Observe que o teste da segunda derivada fornece os extremos locais, assim como o teste da primeira derivada.
A) Utilizando o teste da segunda derivada, determine os extremos locais das seguintes funções:
 b)
x
1
xy += 
, use o teste da derivada segunda para determinar os extremos locais de f. Discuta a
concavidade, ache os pontos de inflexão e esboce o gráfico de f. 
Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo para baixo.
Use o teste da derivada Segunda para determinar os extremos locais de f. 
2x
3
x ++++ C) xx2xf −−−−====)( 
42 
ponto de inflexão se são verificadas as duas condições: 
Existe um intervalo (a,b) contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em (a,c) e côncavo para baixo em (c,b), 
 
Observe que o teste da segunda derivada fornece os extremos locais, assim como o teste da primeira derivada. 
extremos locais das seguintes funções: 
, use o teste da derivada segunda para determinar os extremos locais de f. Discuta a 
Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo para baixo. 
 D) 
2x
1
xf ====)( 
43 
 
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 
O esboço do gráfico de uma função pode ser obtido a partir do seguinte roteiro: 
i) Identificar o domínio; 
ii) Determinar os pontos de intersecção com os eixos cartesianos; 
iii) Verificar a existência de assíntotas; 
iv) Fazer o estudo da monotonia; 
v) Verificar a existência de pontos extremos; 
vi) Fazer o estudo da concavidade; 
vii) Verificar a existência de pontos de inflexão; 
viii) Localizar os pontos extremos e de inflexão no 
sistema cartesiano; 
ix) Construir o esboço do gráfico. 
 
Exemplos: Esboce o gráfico das seguintes funções: 
A) 
4x
x
)x(f
2
2
−
= B) 10x4x)x(f 34 +−= C) 
1x
1
)x(f
2 +
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 7: 
1) Para cada função determine: 
(i) Os intervalos de crescimento e decrescimento da função. 
(ii) Os extremos locais de f. 
(iii) Os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. 
(iv) Esboce o gráfico. 
 
A) f(x)=x3-2x2+x+1 B) f(x)=3x4-4x3+6 C) f(x)=2x6-6x4