EDO de primeira ordem

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Programac¸a˜o por aula / Ca´lculo II - A 43
In´ıcio da Aula 16 (em 09 de maio)
11 EDO de primeira ordem
Como vimos, trata-se de uma EDO do tipo F (x, y, y0) = 0 . Vamos comec¸ar estudando alguns casos particulares de uma tal
equac¸a˜o.
11.1 Interpretando o caso particular
dy
dx
= f(x , y)
Estamos assumindo que f(x , y) 2 R esta´ bem definida para x 2 I e y 2 J , onde I e J sa˜o intervalos na˜o degenerados da reta.
Vamos interpretar e visualizar esta EDO da seguinte forma: em cada ponto (x , y) 2 I ⇥ J , o valor de f(x , y) mede o coeficiente
angular da reta que passa por esse ponto. Tal coeficiente angular, claro, pode ser positivo, nulo ou negativo. Exibimos isso nas
figuras a seguir.
f(x,y)= tan✓=0
✓ = 0
(x,y)
f(x,y)= tan✓> 0
0< ✓< ⇡
2(x,y)
f(x,y)= tan✓< 0
�⇡
2
< ✓< 0(x,y)
x
y
tan✓=f(x,y)
✓
(x,y)
x
y
Os aˆngulos em ama-
relo na˜o sa˜o iguais.
Eles dependem das
varia´veis x e y.
tan✓=f(x,y)
✓
(x,y)
x
y
y0 = y sinx
x
y Repare que os segmentos de retas
acima, na cor azul, sa˜o suporte de re-
tas tangentes a soluc¸a˜o da equac¸a˜o
passando pelo ponto (x , y). Afinal, a
EDO nos diz que
dy
dx
= f(x , y) .
As figuras ao lado, mostram o que
chamamos de uma distribuic¸a˜o de
reta (ou distribuic¸a˜o de coeficientes
angulares)
y0 = y sinx
x
y
Na figura acima, a` esquerda, exibimos apenas a distribuic¸a˜o de retas, enquanto na da direita, ale´m da distribuic¸a˜o de retas,
exibimos, tambe´m, algumas soluc¸o˜es da EDO para buscar mais sintonia entre essas duas informac¸o˜es.
Repare, na figura da direita, que nem todas as soluc¸o˜es teˆm o mesmo dom´ınio de definic¸a˜o. Por exemplo, a soluc¸a˜o, bem acima,
a` esquerda, tem um dom´ınio menor que a soluc¸a˜o que esta´ abaixo do eixo x.
11.2 A equac¸a˜o
dy
dx
= f(x)
Seja f : I ⇢ R! R uma func¸a˜o cont´ınua. A soluc¸a˜o geral da EDO dy
dx
= f(x) fica dada por y =
Z
f(x) dx , a qual descreve
todas as primitivas de f em I. A soluc¸a˜o particular que satisfaz a condic¸a˜o inicial y(a) = b , com a 2 I , sera´ dada por
y =
Z x
a
f(t) dt+ b , para todo x 2 I.
Refazer a interpretac¸a˜o acima (e a leitura da distribuic¸a˜o dos coeficientes angulares) para esse caso e relacionar a soluc¸a˜o geral
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com translac¸a˜o de uma soluc¸a˜o particular. Lembrar que esse fato e´ muito especial.
tan✓=f(x)
✓
(x,y)
x
y
Os aˆngulos em amarelo sa˜o to-
dos iguais. Eles na˜o dependem da
varia´vel y. Dependem, apenas, da
varia´vel x.
tan✓=f(x)
✓
(x,y)
x
y
11.3 A equac¸a˜o
dy
dx
= f(x)g(y)
Trata-se de uma EDO a` varia´veis separa´veis , onde f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas
definidas em intervalos da reta:
f : I ⇢ R! R e g : J ⇢ R! R .
Repare que se g(�) = 0 para algum � 2 J = Dom(g) , enta˜o y = � e´ uma
soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o
dy
dx
= f(x) g(y) .
Vejamos ! Nesse caso, temos:
dy
dx
= 0 e f(x) g(�) = 0 , para todo x 2 I.
y = �2
y = �1
g(�2) = 0
g(�1) = 0
x
y
E reciprocamente, se y = � e´ uma soluc¸a˜o para a EDO acima, enta˜o g(�) = 0 .
Repare que, se g(�) = 0 , enta˜o o coeficiente angular, em cada ponto (x ,�) , dado por f(x ,�) e´ nulo. Claro, a func¸a˜o g(y)
pode se anular em va´rios pontos e ao se anular, fica fa´cil descobrir uma soluc¸a˜o ! Isso significa que as soluc¸o˜es na˜o constantes
ocorrem entre as retas horizontais que definem as soluc¸o˜es constantes, caso existam.
11.3.1 Resolvendo equac¸o˜es a` varia´veis separa´veis
Considere a equac¸a˜o
dy
dx
= f(x) g(y) , onde f : I ⇢ R! R e g : J ⇢ R! R sa˜o func¸o˜es cont´ınuas .
Fora dos pontos onde g se anula, a equac¸a˜o toma a forma:
1
g(y)
dy
dx
= f(x) ,
Z
1
g(y)
dy
dx
dx =
Z
f(x) dx .
Com a mudanc¸a de varia´vel
8<:y = y(x)dy = dy
dx
dx
obtemos:
Z
1
g(y)
dy =
Z
f(x) dx . Nesse caso, se G(y) e´ primitiva de 1/g(y)
e F (x) e´ primitiva de f(x) , enta˜o conclu´ımos que:
G(y) = F (x) +K , onde x 2 I , y 2 J e K 2 R (11.3.1.1)
que nos fornece as soluc¸o˜es da equac¸a˜o na forma implı´cita . Cuidado ! Para explicitar a soluc¸a˜o y = y(x) , precisamos determinar
y , dado, implicitamente, na igualdade acima.
Em resumo, fizemos:
dy
dx
= f(x) g(y) , 1
g(y)
dy = f(x) dx ,
Z
1
g(y)
dy =
Z
f(x) dx
, G(y) = F (x) +K , quando g(y) 6= 0 e onde K 2 R .
A busca da soluc¸a˜o da EDO, nos levou ao esconderijo desta soluc¸a˜o, revelado em (11.3.1.1) .
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11.3.2 Exemplos
Exerc´ıcio 35. Resolva a equac¸a˜o y0 + xy = 0 .
A equac¸a˜o tem a forma y0 = �xy e esta´ bem definida para todo x , y 2 R . E´ uma EDO a` varia´veis separa´veis. Ale´m disso,
sabemos que y = 0 e´ uma soluc¸a˜o particular para tal EDO .
+ Na busca das outras soluc¸o˜es.
Caso I : x 2 R e y > 0 .
dy
dx
= �xy , 1
y
dy = �x dx ,
Z
1
y
dy = �
Z
x dx
, ln y = �x2/2 + C , onde x 2 R e C 2 R.
, y = e�x2/2+C , y = K e�x2/2 , onde x 2 R e K > 0.
Caso II : x 2 R e y < 0 .
dy
dx
= �xy , 1
y
dy = �x dx ,
Z
1
y
dy = �
Z
x dx
, ln |y| = �x2/2 + C , onde x 2 R e C 2 R.
, �y = |y| = e�x2/2+C , y = �K e�x2/2 , onde x 2 R e K > 0.
Soluc¸a˜o geral:
y = Ke�
x2
2 ;
com x 2 R
y = 0 e´ soluc¸a˜o
x
y
Assim, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o pode ser colocada na forma y = Ke�x
2/2 onde K 2 R e x 2 (�1 ,+1) .
Dada uma condic¸a˜o inicial, y(a) = b , podemos determinar a constante K que devemos usar para descrever a soluc¸a˜o particular
que satisfaz tal condic¸a˜o inicial. No presente caso, K fica dado por:
b = Ke�a
2/2 , K = b ea2/2.
+ Nota importante. Repare que nesse caso, se y = y(x) e´ soluc¸a˜o da EDO, enta˜o y1 = �y(x) tambe´m e´ uma soluc¸a˜o. Essa
propriedade e´ reflexo da “simetria” da equac¸a˜o diferencial.
Pergunta-se:
como essa simetria se reflete na EDO? Ou seja, como ela se apresenta atrave´s da func¸a˜o f(x , y) ?
Exerc´ıcio 36. Resolva a equac¸a˜o xy0 + y = 0 .
Repare que a equac¸a˜o tem a forma y0 = �yx , a qual na˜o esta´ bem definida quando x = 0 , ou seja, sobre o eixo y. Sabemos,
tambe´m, que y = 0 e´ soluc¸a˜o desta equac¸a˜o. Ale´m disso, a equac¸a˜o pode ser colocada na forma:
x
dy
dx
+ y = 0 , xdy
dx
= �y , 1
y
dy = � 1
x
dx , quando x 6= 0 e y 6= 0 .
Integrando, obtemos:Z
1
y
dy = �
Z
1
x
dx , ln |y| = � ln |x|+ C , onde C 2 R , x 6= 0 e y 6= 0 .
A expressa˜o acima nos da´ o esconderijo das soluc¸o˜es dessa EDO. Para determina´-las, explicita-
mente, devemos fazer:
eln |y| = e� ln |x|+C , |y| = K|x| , onde K > 0 , x 6= 0 e y 6= 0 , isto e´ , y = ±
K
x
onde K > 0 , x 6= 0 e y 6= 0 . Assim, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o em estudo tem a forma
y =
K
x
, onde K 2 R e x 6= 0 .
Soluc¸a˜o geral:
y = K/x
onde K 2 R
e x 6= 0
y = 0 e´ soluc¸a˜o
xy0 + y = 0
x
y
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Exerc´ıcio 37. Resolva a equac¸a˜o yy0 + x = 0 .
A EDO tem a forma y0 = �x
y
, a qual esta´ bem definida para y 6= 0 , ou seja, fora do eixo x.
Nesse caso, y = constante na˜o e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o. Ale´m disso, fora do eixo x , temos:
y
dy
dx
+ x = 0 , y dy = �x dx ,
Z
y dy = �
Z
x dx
, y
2
2
= �x
2
2
+ C , x
2
2
+
y2
2
= C , onde C > 0.
E da´ı conclu´ımos que as soluc¸o˜es esta˜o escondidas na expressa˜o: x2+y2 = K2 , onde K > 0 .
Na˜o existem soluc¸o˜es que
intersectam o eixo x.
x
y
Consequentemente, elas teˆm a forma:
y =
p
K2 � x2 , com x 2 (�K ,K) ou y = �
p
K2 � x2 , com x 2 (�K ,K) .
Exerc´ıcio 38. Resolva a equac¸a˜o y0 + 2xy2 = 0 .
Esta equac¸a˜o tem a forma y0 = �2xy2 , a qual esta´ bem definida para todo (x , y) 2 R2. Ale´m disso, sabemos que y = 0 e´ uma
soluc¸a˜o para tal equac¸a˜o.
+ Na busca das outras soluc¸o˜es.
Caso I: x2 R e y > 0 .
dy
dx
= �2xy2 , �dy
y2
= 2x dx , �
Z
dy
y2
= 2
Z
x dx , 1
y
= x2 +K , onde K 2 R .
Assim, temos as seguintes soluc¸o˜es (cuidado com o dom´ınio da soluc¸a˜o !) para tal EDO quando y > 0 :
f K = 0 :
y =
1
x2
para x 2 (�1 , 0) [ (0 ,+1) ;
f K > 0 :
y =
1
x2 +K
para x 2 (�1 ,+1) ;
f K < 0 :
y =
1
x2 +K
para x 2 ��1 ,�p�K � [ �p�K ,+1) .
Caso II: x 2 R e y < 0 .
Repare que esta equac¸a˜o tem simetria em relac¸a˜o ao eixo x. Ou seja, se y = y(x) e´ soluc¸a˜o para x 2 I , enta˜o y1 = �y(x)
tambe´m e´ soluc¸a˜o para esta equac¸a˜o, no mesmo intervalo I, pois:
dy1
dx
= �dy
dx
= 2xy2 = �2xy21 , em I.
12 Teorema de existeˆncia e unicidade
No in´ıcio do estudo sobre esse tema, comentamos sobre a existeˆncia de soluc¸o˜es para equac¸o˜es do segundo grau. Associado a uma
equac¸a˜o diferencial, perguntas desta natureza, se colocam com extrema naturalidade:
f existe soluc¸a˜o satisfazendo a`s condic¸o˜es iniciais estabelecidas ?
f se existe, ela e´ u´nica para tal condic¸a˜o inicial ?
Em particular, se estamos diante de uma EDO do tipo
dy
dx
= f(x , y) , gostar´ıamos de saber:
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f quais condic¸o˜es f(x , y) deve satisfazer para que tal equac¸a˜o admita uma soluc¸a˜o, satisfazendo a condic¸a˜o inicial y(x0) = y0 ,
para cada x0 2 I e y0 2 J ;
f quais condic¸o˜es f(x , y) deve satisfazer para que tal equac¸a˜o admita uma u´nica soluc¸a˜o, satisfazendo a condic¸a˜o inicial
y(x0) = y0 , para cada x0 2 I e y0 2 J .
A resposta esta´ no teorema a seguir.
Teorema de Existeˆncia e Unicidade. Seja f : I ⇥ J ! R uma aplicac¸a˜o e considere a equac¸a˜o diferencial
(⇤) dy
dx
= f(x , y) sujeita a` condic¸a˜o inicial y(x0) = y0 , onde x0 2 I e y0 2 J.
Temos :
(i) sob
leia-se, continuidadez }| {
condic¸o˜es adequadas sobre f , podemos garantir que existe, pelo menos uma soluc¸a˜o para (⇤) ;
(ii) sob condic¸o˜es ainda mais adequadas sobre f| {z }
leia-se, continuidade das derivadas parciais de f
, podemos garantir que existe, uma e uma u´nica soluc¸a˜o para (⇤).
Repare que no caso (i), duas soluc¸o˜es distintas podem se intersectar. No entanto, isso na˜o ocorre no caso (ii). A unicidade
das soluc¸o˜es nos garante que se duas soluc¸o˜es coincidem num ponto, enta˜o elas coincidem no intervalo comum onde ambas sa˜o
definidas. O que sobrar de cada um dos intervalos serve para aumentar o dom´ınio de cada uma dessas soluc¸o˜es.
Fim da Aula 16 (em 09 de maio)