Cap8 - Controle Digital
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Cap8 - Controle Digital

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Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais

In´ıcio do To´pico

Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais

Prof. Alessandra Rose

Universidade Federal de Lavras

Julho de 2017

Universidade Federal de Lavras Prof. Alessandra Rose 1

Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais

Suma´rio

1 Compensador em Atraso de Fase

2 Compensador em Avanc¸o de Fase

3 Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase

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Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais

Compensador em Atraso de Fase

Compensador em Atraso de Fase

Na equac¸a˜o:

D(w) = a0
1 + w

ωwo

1 + w
ωwp

(1)

se ωwo > ωwp, a resposta em frequeˆncia de D(w) (Diagrama de Bode) sera´ da forma
apresentada a seguir:

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Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais

Compensador em Atraso de Fase

Compensador em Atraso de Fase

Sera´ discutido o projeto do compensador para o sistema como a seguir:

Cuja equac¸a˜o caracter´ıstica e´ do tipo: 1 +D(z)G(z) = 0

Como pode ser visto no Diagrama de Bode, o compensador em questa˜o reduz o ganho
de altas frequeˆncias em relac¸a˜o a`s baixas frequeˆncias, e introduz um atraso de fase.
Como, em geral, atraso de fase tende a desestabilizar o sistema, ωWo e ωWp devem
ser escolhidos de forma que o atraso de fase na˜o ocorra na vizinhanc¸a de −180o.

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Compensador em Atraso de Fase

Compensador em Atraso de Fase

A figura a seguir ilustra o projeto de compensador em atraso, para o caso em que o
ganho desse compensador e´ unita´rio.

Note na figura em questa˜o que a margem de ganho e a margem de fase do sistema
foram aumentadas com a adic¸a˜o do compensador, aumentando assim a estabilidade
relativa. Ainda, o ganho em baixa frequeˆncia na˜o foi reduzido, enta˜o o erro em regime
permanente na˜o foi aumentado. A banda passante foi diminu´ıda, o que em geral
resulta numa resposta mais lenta.

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Compensador em Atraso de Fase

Compensador em Atraso de Fase

Procedimento para projeto de compensador em atraso via Diagrama de Bode:

Assume-se que a0 e´ determinado pelas especificac¸o˜es do sistema

(1) Determinar a frequeˆncia ωW1 na qual o aˆngulo de fase de G(jωw) e´
aproximadamente (−180o + φm + 5o). A margem de fase do sistema compensado
ocorrera´ aproximadamente nessa frequeˆncia. (φm) e´ a margem de fase desejada.

(2) Escolha ωw0 = 0, 1ωw1 para assegurar que um pequeno atraso de fase seja
introduzido em ωw1.

(3) Em ωw1, deseja-se que |D(jωw1)G(jωw1)| = 1. Uma vez que o ganho do
compensador em altas frequeˆncias e´ a0

ωwp
ωw0

(onde a0 e´ o ganho dc do compensador),

enta˜o
|a0 ωwp

ωw0
G(jωw1)| = 1

a0
ωwp

ωw0
=

1

|G(jωw1)|
Substituindo ωw0 = 0, 1ωw1, tem-se:

a0
ωwp

0, 1ωw1
=

1

|G(jωw1)|
⇒ ωwp = 0, 1ωw1

a0|G(jωw1)|
Dessa forma, a0, ωwp e ωw0 sa˜o determinados

Exemplo!!!

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Compensador em Avanc¸o de Fase

Compensador em Avanc¸o de Fase

Na equac¸a˜o:

D(w) = a0
1 + w

ωwo

1 + w
ωwp

(2)

se ωwo < ωwp, a resposta em frequeˆncia de D(w) (Diagrama de Bode) sera´ da forma
apresentada a seguir:

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Compensador em Avanc¸o de Fase

Compensador em Avanc¸o de Fase

Pode-se observar que este compensador introduz avanc¸o de fase que tem um efeito
estabilizante, mas tambe´m aumenta o ganho em altas frequeˆncias, que e´ um efeito
desestabilizante. Um projeto de compensador em avanc¸o e´ mostrado na figura a seguir
(a0 e´ unita´rio):

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Compensador em Avanc¸o de Fase

Compensador em Avanc¸o de Fase

O avanc¸o de fase e´ introduzido na vizinhanc¸a de -180◦, de modo a aumentar a margem
de estabilidade do sistema. Note que a banda passante tambe´m foi aumentada,
resultando numa resposta mais ra´pida. O projeto de compensadores em avanc¸o tende
a ser um procedimento de tentativa e erro, uma vez que na faixa de frequeˆncias onde
o avanc¸o de fase ocorre, pode ocorrer um efeito desestabilizante devido ao ganho.

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Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase

Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase

Sera´ apresentado um procedimento que fornece uma margem de fase especificada,
mas na˜o tem controle sobre a margem de ganho. Portanto, e´ necessa´rio que apo´s o
projeto, a margem de ganho seja verificada, de modo a garantir a estabilidade.

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Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase

Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase

Determinar a frequeˆncia ωw1, onde: D(jωw1)G(jωw1) = 1∠(180◦ + φm), onde (φm)
e´ a margem de fase desejada.

Reescrevendo:

D(w) = a1w+a0
b1w+1

D(w) = a0
1+ w

a0/a1
1+ w

b
−1
1

onde a0 e´ o ganho do compensador, enta˜o: ωw0 =
a0
a1

e ωwp =
1
b1

Tem-se que: |D(jωw1)| = 1|G(jωw1)| e ∠D(jωw1) = 180
◦ + φm −G(jωw1) = θ

enta˜o:

a1 =
1−a0|G(jωw1)| cos θ
ωw1|G(jωw1)| sin θ

b1 =
cos θ−a0|G(jωw1)|

ωw1 sin θ

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Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase

Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase

Se o sistema projetado for esta´vel, a margem de ganho foi satisfeita.

Pore´m, o procedimento na˜o garante estabilidade e o Diagrama de Bode deve ser
obtido para determinar a estabilidade.

O ganho dc do compensador e´ geralmente determinado pelas especificac¸o˜es de regime
permanente para o sistema.

A frequeˆncia ωw1 pode ser determinada aproximadamente como a seguir:

(1) G(jωw1) < 180◦ + phim

(2) |G(jωw1)| < 1a0
(3) cos θ > a0|G(jωw1)|
Portanto, ωw1 deve ser escolhida de modo a satisfazer as 3 restric¸o˜es.

Exemplo!!!

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Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase

Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase

Concluso˜es

Efeito compensador em atraso:

• reduc¸a˜o do ganho em altas frequeˆncias
• reduc¸a˜o da banda passante, resposta + lenta
• erro em regime permanente na˜o foi reduzido (poderia ser reduzido)
• ganho em baixa frequeˆncia na˜o foi reduzido (poderia ser aumentado)

Efeito compensador em avanc¸o:

• aumento do ganho em altas frequeˆncias
• aumento da banda passante

lembrar: aumento do ganho em altas frequeˆncias para compensador em avanc¸o →
problema com ru´ıdo → filtro ou adic¸a˜o de compensador em atraso em cascata

Tabela e Figuras Exemplos!!!

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Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase

Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase

Em resumo

Vantagens do compensador em atraso:

1 Caracter´ısticas em baixas frequeˆncias: mantidas ou melhoradas

2 Margens de estabilidade: melhoradas

3 Banda passante: reduzida (resposta mais lenta, pore´m vantajoso para ru´ıdo)

Desvantagens do compensador em atraso:

1 Reduc¸a˜o da banda passante

2 Resposta transito´ria com um termo lento

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