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UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA NÚCLEO DE ESTUDOS ESTATÍSTICOS E BIOMÉTRICOS GEOESTATÍSTICA BÁSICA E APLICADA EDNALDO CARVALHO GUIMARÃES Fevereiro - 2004 Uberlândia - MG UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 1 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO........................................................................................................... 2 2. ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS............................................................. 3 2.1. Distribuição de freqüências e histograma............................................................... 3 2.2. As estatísticas............................................................................................................. 3 2.3. Outras análises descritivas........................................................................................ 7 2.4. Amostragem........................................................................................................................................... 7 2.5. Exemplos de análise exploratória aplicando o programa GS+............................. 8 3. PRINCÍPIOS DA ANÁLISE GEOESTATÍSTICA.................................................. 14 3.1. Um breve histórico.................................................................................................... 14 3.2. Estacionaridade......................................................................................................... 15 3.3. Krigagem universal................................................................................................... 20 4. ANÁLISE DA DEPENDÊNCIA ESPACIAL............................................................ 21 4.1. Autocorrelação e Autocorrelograma....................................................................... 21 4.2. Semivariograma......................................................................................................... 25 4.3. O uso do software GS+ na determinação do semivariograma.............................. 36 4.4. Exemplos de aplicação............................................................................................... 41 5. KRIGAGEM................................................................................................................. 50 5.1. O interpolador........................................................................................................... 50 5.2. A krigagem no programa GS+................................................................................. 52 6. SEMIVARIOGRAMA CRUZADO E COKRIGAGEM.......................................... 55 6.1. Semivariograma cruzado.......................................................................................... 55 6.2. Co-krigagem.............................................................................................................. 56 6.3. Variância da estimativa............................................................................................ 60 6.4. Número de vizinhos das estimativas........................................................................ 62 6.5. O uso do programa GS+ na determinação do semivariograma cruzado, da co-krigagem e no mapeamento da variável....................................................... 64 6.6. Exemplos de aplicação no GS+................................................................................ 67 7. VALIDAÇÃO DE MODELOS DE SEMIVARIOGRAMAS................................... 70 8. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA......................................................................... 74 UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 2 1. INTRODUÇÃO Métodos clássicos de análise estatística de dados geralmente supõem que, as realizações das variáveis aleatórias são independentes entre si, ou seja, que observações vizinhas não exercem influências umas sobre as outras. Fenômenos naturais apresentam-se freqüentemente com uma certa estruturação nas variações entre vizinhos, desta forma pode-se dizer que as variações não são aleatórias e, portanto, apresentam algum grau de dependência espacial. A análise espacial de dados apresenta-se como uma alternativa e/ou como uma complementação da análise clássica de dados, sendo que este tipo de análise considera as correlações entre as observações quando se faz estimativas. A literatura apresenta alguns procedimentos de análise espacial de dados, sendo que, nos últimos tempos, uma metodologia de análise denominada “geoestatística” ganhou ênfase neste tipo de estudo. Neste trabalho serão abordados aspectos básicos da metodologia geoestatística para a análise espacial de dados, com ênfase na análise do semivariograma como ferramenta de determinação da dependência espacial. Inicialmente serão abordados aspectos básicos de uma análise exploratória de dados; em seguida serão introduzidos conceitos básicos da geoestatística e da análise da dependência espacial por meio de semivariograma e também de interpolação utilizando a metodologia da krigagem e, por fim serão abordados conceitos básicos de semivariogramas cruzados e co-krigagem. Sempre que possível os tópicos serão acompanhados de exemplos de aplicação. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 3 2. A ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS A análise exploratória de dados é um procedimento de grande importância na análise estatística e aplica-se para qualquer metodologia que se queira utilizar. Nesta análise preliminar dos dados tem-se o objetivo de conhecer a variável em estudo e resumi- la. Basicamente, este tipo de análise se baseia em construção e interpretação gráfica e cálculos e interpretação de estatísticas. No presente texto faremos uma revisão dos principais instrumentos de análise exploratória de dados, sendo que estes procedimentos podem ser encontrados em cursos de estatística básica e em livros de estatística básica como Costa Neto (1979), Bussab e Morettin (1987), Triola (1999), Lopes (1999), entre outros. 2.1. A distribuição de freqüências e o histograma A distribuição de freqüências consiste em agrupar as observações de uma variável em classes ou categorias e o histograma é uma das representações gráficas dessa distribuição. A distribuição de freqüências e o histograma podem ser obtidos em programas computacionais comercias com o Excel, Statistica e em programas específicos para análise geoestatística, como, por exemplo, o GS+. A finalidade da distribuição de freqüências e do histograma é a de permitir uma visualização do comportamento da variável em estudo, com relação à tendência de concentração de dados (tendência simétrica ou assimétrica). Esta tendência, principalmente na análise não espacial de dados, pode direcionar procedimentos diferenciados de análise. 2.2. As estatísticas O cálculo de estatísticas como a média, a variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação, valor mínimo, valor máximo, coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose, colaboram na descrição da variável. Passaremos a rever rapidamente estas estatísticas. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 4 - A média aritmética ( X ) A média aritmética é uma medida de posição bastante utilizada na estatística e tem como características principais à facilidadede cálculo, a sua adaptabilidade ao tratamento algébrico e, também, geralmente, é uma medida não tendenciosa, precisa, eficiente e suficiente. Vale ressaltar que nem sempre a média aritmética é a medida de posição que melhor representa uma variável, por exemplo, em dados com assimetria à direita acentuada a moda ou a média geométrica pode representar melhor a variável em estudo. A fórmula para o cálculo da média é: n x X n i i∑ = = 1 em que: X é a média aritmética; xi é cada valor observado; n é o número total de observações. - Variância (s2) e desvio padrão (s) A variância e o desvio padrão são estatísticas que nos fornece uma idéia de variabilidade das observações em torno da média aritmética. As fórmulas de cálculo são, respectivamente: 1 2 12 − − = ∑ = n )Xx( s n i i 2ss += Note que em interpretações de dados, ou seja, na análise descritiva a média aritmética deve estar sempre acompanhada do desvio padrão para que possamos visualizar a dispersão média dos valores. - Coeficiente de variação (CV) O coeficiente de variação fornece a dispersão relativa dos dados, facilitando visualizar a dimensão da dispersão dos valores observados em relação à média. O coeficiente de variação é dado por: UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 5 X sCV 100(%) = - Valor Mínimo e Valor Máximo Estes valores permitem visualizar a menor ocorrência e a maior ocorrência e podem ser um primeiro indicativo de erros de amostragem, digitação, etc.. A obtenção desses valores se faz a partir da ordenação das observações. - Coeficiente de assimetria (Cs) e coeficiente de curtose (Ck) O coeficiente de assimetria mostra o afastamento da variável em relação a um valor central, ou seja, na distribuição simétrica tem-se 50% dos valores observados acima da observação central e 50% abaixo. Se a distribuição é assimétrica, esta relação não é observada. O coeficiente de curtose mostra a dispersão (achatamento) da distribuição em relação a um padrão, geralmente a curva normal. Estes dois coeficientes são utilizados para inferências sobre a normalidade da variável em estudo. Antes de definirmos estes dois coeficientes e tecermos comentários sobre eles vamos definir os momentos estatísticos. Se x1, x2, ... ,xn são os n valores assumidos pela variável X, definimos o momento de ordem t dessa variável como: n x M n i t i t ∑ = = 1 Note que se t=1 temos a média aritmética, ou seja, a média aritmética é igual ao primeiro momento em relação à origem. O momento de ordem t centrado em uma constante K , com K ≠ 0 é definido como: n Kx M n i t i K t ∑ = − = 1 )( UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 6 Observe que: se t = 1 e K = X , temos 011 == mM X (propriedade da média aritmética) e, se t =2 e K = X , temos XM 2 = m2 = σ2. Vamos definir agora o coeficiente de assimetria (Cs) e o coeficiente de curtose (Ck). O coeficiente de assimetria é utilizado para caracterizar como e quanto à distribuição de freqüências se afasta da simetria, sendo que: se Cs > 0 temos a distribuição assimétrica à direita; se Cs < 0 a distribuição é assimétrica à esquerda; e se Cs = 0 a distribuição é simétrica. O momento centrado na média de ordem 3 pode ser utilizado como medida de assimetria, entretanto, é mais conveniente a utilização de uma medida admensional e que será chamada de coeficiente de assimetria: 3 2 3 )(m m C s = Em que m2 e m3 são, respectivamente, o segundo e o terceiro momento centrados na média. O coeficiente de curtose é utilizado para caracterizar a forma da distribuição de freqüências quanto ao seu “achatamento”. O termo médio de comparação é a distribuição normal e esta apresenta o valor de Ck = 3. A classificação da distribuição quanto à curtose recebe a seguinte denominação: se Ck = 3 a distribuição é mesocúrtica (distribuição normal); se Ck < 3 a distribuição é platicúrtica; e se Ck > 3 a distribuição é leptocúrtica. Em alguns programas computacionais como o Excel, Statistica e GS+ existe uma padronização do valor de Ck e o valor de comparação é o zero, portanto, se Ck = 0 temos a mesocúrtica, se Ck < 0 temos a platicúrtica e se Ck > 0 temos a leptocúrtica. Para verificar o termo de comparação é necessário consultar o manual ou a "ajuda" do programa. A fórmula para cálculo de Ck é : 4 2 4 )(m mCk = sendo que: m4 é o quarto momento em relação à média aritmética. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 7 Para uma melhor interpretação do coeficiente de assimetria e do coeficiente de curtose, alguns programas, como o GS+, calcula também o erro padrão desses coeficientes e a partir dos valores dos coeficientes associados com seus respectivos erros padrão, pode- se concluir se os dados tem distribuição normal ou não. Por exemplo: Se o valor obtido na amostra para Cs = 0,30 com erro padrão de 0,65 e se o valor de Ck = 2,5 com erro padrão de 0,80, podemos dizer que a distribuição tende a normal (simétrica e mesocúrtica), pois 0,3±0,65 e 2,5±0,80, incluem os valores zero e três, respectivamente. 2.3. Outras análises descritivas As análises descritas acima são as mais comuns e as que freqüentemente são usadas como análise exploratória dos dados. Entretanto outros recursos podem ser aplicados como, por exemplo: gráfico box-plot; gráficos da distribuição normal; gráfico h-dispersão, outras estatísticas (quartil, mediana, moda, etc.); testes de normalidade (Shapiro – Wilk, Kolmogorov – Smirnov, etc.), etc.. Tais resultados também contribuem para a descrição e conhecimento da variável em estudo. Os procedimentos para este tipo de análise são encontrados em programas de estatísticas. 2.4. Amostragem Um requisito básico na amostragem para fins de análise de dependência espacial utilizando métodos geoestatísticos é que as observações, ou seja, que as amostras sejam referenciadas. Não é necessário utilizar coordenadas geográficas, mas algum tipo de referenciação deve existir. Exemplos de referenciações são: a) amostras coletadas ao longo do tempo � cada observação é referenciada com relação ao tempo (Ex: Estudo da precipitação anual na região X); b) amostras coletadas ao longo de uma linha reta em uma certa cultura agrícola � cada observação é referênciada por um único ponto no espaço (Ex: amostras coletadas em transeções); c) amostras coletadas em uma área � cada observação será identificada por um par ordenado de coordenadas pertencente ao espaço (Ex: amostras coletadas em uma área X). UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 8 Um tipo de amostragem bastante utilizado em geoestatística é a amostragem sistemática. Neste tipo de amostragem os pontos avaliados (amostras) são obtidos de forma equidistantes, quer seja no espaço ou no tempo, formando uma malha de pontos no caso bidimensional. No entanto esse não é um procedimento obrigatório, basta que se tenha a referenciação dos dados para se proceder a análise espacial. Um exemplo típico de amostragem não sistemática é para variáveis climáticas, onde as estações climatológicas, geralmente, não são equidistantes mas apresentam a referencia geográfica. Outro questinamento básico da geoestatística é "Quantas amostras devo utilizar para a análise geoestatística?". Alguns autores recomendam que seja utilizados pelo menos 100 pontos amostrais, entretanto isso não é regra e sim recomenndação, existem trabalhos com bons resultados de ajuste de semivariogramas usando 45 pontos de amostragem. É sabidoque quanto maior o número de pontos, maior será o número de pares para o cálculo das semivariâncias e, teoricamnte, maior será a precisão das estimativas das semivariâncias. Pode-se dizer que o número de observações dependerá dos objetivos que se tem no trabalho, da escala (ou seja da dimensão), entre os outros fatores que devem ser avaliados pelo pesquisador. Outro aspecto relacionado com o ajuste de semivariograma e indiretamente com o tamanho da amostra é a presença de tendência da variável e/ou o uso de duas populações distintas que abordaremos em tópicos seguintes, mas que, de maneira geral, dificultam o ajuste de semivariogramas com dados originais, mesmo que o volume de observações seja grande. 2.5. Exemplos de análise exploratória aplicando programa GS+ Passaremos a descrever exemplos de análise exploratória de dados do GS+. Nestes exemplos será utilizado a Versão Beta do GS+ (5.0.3) que é de domínio publico, conforme mostra a Figura 1. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 9 Figura 1. Programa GS+ Versão 5.0.3 Como ponto de partida vamos descrever a estrutura de arquivos de dados com vistas a posterior análise geoestatística, pois, na análise geoestatística necessita-se que os dados observados estejam referenciados, ou seja, tenham coordenadas. Trabalharemos com a análise bidimensional e, portanto, teremos as coordenadas X e Y para cada observação. Vale ressaltar que, se o objetivo do estudo não for a geoestatística ou a análise espacial, esta referenciação não se faz necessária e ainda ressaltamos que a estrutura de dados apresentada neste tópico é válida para diversos programas de análise espacial. O arquivo pode ser criado no próprio programa GS+ ou em outro programa como o Excel, necessitando, neste caso de uma importação de dados ou do famoso "copiar" e "colar". A Figura 2 mostra o aspecto básico do arquivo de dados. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 10 Figura 2. Janela inicial do GS+ com exemplo de arquivo de dados contento as coordenadas (x,y) e 4 variáveis para a análise. Neste exemplo temos um arquivo de dados editado no GS+. Na primeira coluna temos a coordenada X, na segunda coluna temos a coordenada Y e da terceira a sexta colunas temos as variáveis, ou seja, neste caso estamos trabalhando com 4 variáveis. Se o arquivo for editado em outro programa, deve-se importar os dados para o GS+ utilizando o procedimento padrão do Windows de copiar e colar, ou recortar e colar, ou ainda, ativar o ícone Import file localizado no canto superior direto da Figura 2. Para selecionar outra variável a ser estudada basta clicar na coluna correspondente e selecioná-la como a variável principal. Por exemplo, se o objetivo é a análise da terceira variável (usatpc), procederíamos da seguinte forma (Figura 3): Figura 3. Exemplo de mudança de variável para análise UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 11 - clique sobre a coluna de interesse (coluna 5, neste exemplo). A coluna é selecionada e aparece a segunda janela, indicando a coluna ativa. - Clique em Z (Primary variable) para selecionar esta coluna como sendo sua variável de analise. - Clique em OK para confirmar a opção Pode-se ainda trabalhar com duas variáveis simultaneamente. Neste caso seleciona- se uma variável Z2 como covariável. Voltaremos ao assunto no tópico de semivariograma cruzado. Voltando à Figura 2 vamos descrever os procedimento da análise exploratória de dados. A barra de ferramenta apresenta os seguintes símbolos que são destinados a este tipo de análise: Os ícones não ativos são destinados a análise com duas variáveis (semivariograma cruzados, co-krigagem, etc). Para exemplificar o resultado deste tipo de análise vamos utilizar os dados da primeira variável (usatpd – coluna 3). Ativando o ícone ∑∑ e teremos o resultado das principais estatísticas, conforme Figura 4: Planilha ativa Principais Estatística s Análise gráfica histograma Posição das observações selecionadas por quartil UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 12 Figura 4. Estatísticas da variável “usatpd”. Como uma análise geral desses dados verifica-se que a umidade de saturação do solo no plantio direto (usatpd) apresentou média de 44,0069 (cm3/100cm3), com uma dispersão média em torno desse valor de 4,3190 (cm3/100cm3) e, portanto, uma variabilidade de 9,81%, deste modo nota-se que as observações se dispersam relativamente pouco em torno da média. O menor valor observado (36,27 cm3/100cm3) e o maior valor observado (54,810 cm3/100cm3) reforçam a idéia de baixa variabilidade das observações e também mostram que, provavelmente, não temos valores discrepantes que poderiam ser atribuídos a erros de determinação, digitação ou de amostragem. O histograma mostra uma tendência dos dados à simetria e este fato também pode ser verificado por meio dos coeficientes de assimetria e curtose associados aos seus respectivos erros padrão, que são respectivamente: 0,46±0,30 e 0,34±0,50, ou seja, assimetria e curtose próximos de zero indicando distribuição normal aproximada dos dados. Note ainda que existe a possibilidade de se fazer análises com dados transformados. Um detalhamento da distribuição da variável pode ser obtida clicando o ícone do histograma na barra de ferramentas. Em um primeiro momento tem-se a visualização do histograma e posteriormente pode-se fazer análises com distribuição de freqüências acumuladas e gráfico da distribuição normal, conforme mostra a Figura 5. média Desvio padrão variância mínimo máximo Número de dados e Dados perdidos histograma Coeficiente de assimetria e erro padrão Coeficiente de curtose e erro padrão UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 13 Figura 5. Análise gráfica dos dados Uma outra análise utilizada no GS+ é a localização espacial dos pontos amostrados com relação a intervalos de ocorrência. Este mapa é obtido por meio do ícone . Veja o exemplo na Figura 6. Figura 6. Localização espacial das observações Verifica-se, por meio da Figura 6, que a princípio não há indícios de concentração de valores altos ou baixos em setores específicos da malha, portanto parece não existir tendência nos dados e, provavelmente, se existir relação espacial, esta poderá ser representada por um semivariograma médio (isotrópico). Histograma – freqüência simples Gráfico de freqüência acumulada Gráfico da distribuição normal UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 14 3. PRINCÍPIOS DA ANÁLISE GEOESTATÍSTICA 3.1. Um breve histórico A preocupação com a dependência espacial ou temporal de observações realizadas para um determinado atributo é bastante antiga, sendo comprovado este fato por trabalhos científicos datados do início do século XX, conforme mostra Vieira (1995). Em algumas áreas da ciência, como a agricultura, a partir da metade do século XX adotou-se a metodologia de análise de dados proposta por Fisher. Esta metodologia considera, no seu desenvolvimento e aplicação, as seguintes suposições: normalidade da variável; independência de erros e homocedasticidade de variância (homogeneidade de variância). A normalidade da variável e a homogeneidade de variâncias podem ser testadas facilmente em programas de estatísticas por meio de testes específicos como, por exemplo, Shapiro-Wilk (W teste) para normalidade e F máximo de Hartley para homogeneidade de variâncias. Se for observadonão normalidade de dados e/ou não homogeneidade de variâncias, procedimentos como a transformação de dados podem ser adotados para que a variável atenda estas hipóteses básicas da metodologia de análise não espacial proposta por Fisher. Já a independência não pode ser testada por métodos simples e a solução deste problema, proposta pela metodologia não espacial, é a repetição e a aleatorização das observações. Esta solução, em muitos casos, não garante a independência entre as observações, isto porque algumas variáveis apresentam forte dependência espacial (autocorrelação entre as observações) que não é desfeita com este procedimento. Krige (1951) citado por Vieira (1995), em seus trabalhos com dados de mineração da África do Sul, concluiu que a variância dos dados possuía uma estruturação que dependia da distância de amostragem. A partir desta constatação surgiu os conceitos básicos de geoestatística. Os fundamentos teóricos da geoestatística podem ser encontrados nos trabalhos desenvolvidos por Matheron (1963) e Matheron (1971). A análise espacial de dados, utilizando a geoestatística, ganhou impulso em áreas distintas da mineração e da geologia a partir de 1980, com grande aplicabilidade na ciência UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 15 do solo. Uma justificativa para tal fato é a facilidade computacional que viabilizou alguns cálculos relativamente trabalhosos nesta metodologia. No Brasil destaca-se trabalhos pioneiros nesta área desenvolvidos pelos pesquisadores Sidney Rosa Vieira, Paulo Libardi e Klaus Reichardt. Ainda na década de 80. Atualmente a aplicabilidade e a utilização da geoestatística como metodologia de análise de dados no espaço ou no tempo esta difundida em vários ramos da ciência, envolvendo áreas de ciências humanas, biológicas e exatas. Em linhas gerais podemos dizer que a geoestatística está interessada em determinar a dependência espacial das observações de uma variável e recebeu tal denominação devido aos trabalhos desenvolvidos por Krige na África do Sul. Este pesquisador é homenageado com o nome do método de interpolação utilizado na geoestatística, a krigagem. Outras metodologias e alternativas de análise de dependência espacial são descritas em Papadakis (1937), Bartlett (1978), Zimmerman e Harville (1991), Cressie e Hartfield (1996), Duarte (2000), entre outros autores. 3.2. Estacionaridade Antes de iniciarmos a discussão sobre a estacionaridade da variável vamos adotar uma simbologia para a variável em estudo. Ao falarmos da variável Z(t) estaremos falando de ocorrências da variável Z com uma referenciação t, que pode ser uma posição no tempo (unidimensional, por exemplo: t1, t2, ...,tk) ou no espaço (unidimensional, por exemplo: x1, x2, ..., xn; ou bidimensional, por exemplo; (x1,y1),(x1,y2), ..., (xn, yn)) Diz-se que um processo (ou uma variável) é estacionária se o desenvolvimento desse processo no tempo ou no espaço ocorrer de maneira mais ou menos homogênea, com oscilações aleatórias contínuas em torno de um valor médio, em que nem a amplitude média e nem as oscilações mudam bruscamente no tempo ou no espaço. Como exemplo de processo estacionário pode-se citar as oscilações da tensão em uma rede elétrica. Note que as características de um processo estacionário independe da origem adotada. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 16 Diz-se que um processo é não estacionário quando não apresenta as características citadas anteriormente e, neste caso, as características do processo dependem da origem que é tomada como referência. Pode-se utilizar como exemplo de um processo não estacionário o relevo no estado de Minas Gerais, ou ainda, as chuvas mensais durante um ano no estado de Minas Gerais. Observação: Processos não estacionários podem apresentar trechos estacionários. Pode-se definir uma função aleatória Z(t) como estacionária, se todos os momentos estatísticos são invariantes para toda mudança de origem. Estatisticamente pode-se dizer que, se o processo é estacionário de ordem k, então: E[Z(t)] = m1(t) = constante ∀ t E[Z2(t)] = m2(t) = constante ∀ t . . . . . . . . . E[Zk(t)] = mk = constante ∀ t Observação: Se um processo é estacionário na ordem k ele também será estacionário para as ordens inferiores a k. Por exemplo, se o processo é estacionário de ordem 4, ele também será estacionário nas ordens 1, 2 e 3. Para estudos de geoestatística necessita-se, como restrição máxima, que o primeiro e o segundo momento em relação à origem sejam constante, ou seja, exige-se no máximo a estacionaridade de segunda ordem. Se a esperança matemática de uma variável aleatória é constante, independentemente da origem que se toma no espaço ou no tempo, podemos dizer que a variável é estacionária de primeira ordem e, portanto, a média será a mesma para todo o processo. E[Z(t)] = m1(t) = µ = constante UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 17 Se o segundo momento em relação à origem é constante, temos então que a variância é constante independente da origem no espaço ou no tempo e, portanto, o processo é estacionário de ordem 2. E[Z2(t)] = m2(t) = constante Var [Z(t)] = E[Z2(t)] – {E[Z(t)]}2 = m2(t) – [m1(t)]2 = constante Seja agora a covariância, ou seja, a esperança do produto do que ocorre em t e t’, com h = t’ – t, definida como: C(t, t’) = E[Z(t).Z(t’)] - µ2 Se Z(t) é estacionária esta covariância não depende de t e t’, ou seja, da origem, mas somente da distância h entre os pontos e desta forma: C(t, t+h) = C(h) Note que a variância é um caso particular da covariância quando h = 0. C(0) = E[Z2(t)] - µ2 = Var[Z(t)] Geralmente utiliza-se a função de covariância normada pela variância: )]([ )()( tZVar hCh =ρ Neste caso chamamos ρ de função de correlação ou coeficiente de correlação, que nada mais é do que a correlação entre seções da variável separadas por um passo h. Portanto, ρ(0) = 1. Podemos definir uma variável como estritamente estacionária se seus momentos estatísticos são invariantes a translações na origem. Isto significa que o processo Z(t) e Z(t+h) tem a mesma estatística para qualquer h. Uma variável é chamada de estacionária de segunda ordem se: A média é constante: E[Z(t)] = µ O segundo momento existe: E[Z2(t)] < ∞ Para cada par {Z(t), Z(t+h)} a função covariância existe e depende apenas de h. C(t, t+h) = C(h) UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 18 A estacionaridade da covariância implica na estacionaridade da variância: Var{Z(t)}= C(0) e do variograma que é definido como: 2γ(h) = E{[Z(t+h) – Z(t)]2} = = E{[Z(t+h)2}+E{[Z(t)]2}-2E{Z(t+h) Z(t)}= = E{[Z(t+h)]2}+E{[Z(t)]2}-2µ2 = = E{[Z(t+h)]2}- µ2+ E{[Z(t)]2}-µ2 = = C(0) – C(h) O coeficiente de correlação entre Z(t+h) e Z(t), chamado de correlograma ou autocorrelograma, é igual a: )0( )(1)0( )()( C h C hChr γ−== Note que, se ocorre a estacionaridade de segunda ordem, o correlograma (autocorrelograma) e o variograma (semivariograma) serão ferramentas correspondentes na determinação da dependência espacial. Mas se a estacionaridade de segunda ordem não é atendida o autocorrelograma não pode ser usado, pois, o denominador da função autocorrelação é uma variância e, neste caso, C(0) ≠ constante. Observação: A existência de estacionaridade permite a repetição de um experimento, mesmo que as amostras sejam coletadas em pontos diferentes, em relação ao experimentoinicial. Esta fato é justificado em função de que todas as amostras pertencem a populações com os mesmos momentos estatísticos. A dependência espacial ou temporal de uma variável Z(t) é definida por uma amplitude a, sendo que para variáveis com estacionaridade de segunda ordem: C(h) = 0 se | h | > a Ou γ(h) = C(0) = Var [Z(t)] se | h | > a Quando se trabalha com o tempo a constante a é chamada de tempo de correlação de Z(t). Se o estudo for espacial, por analogia, podemos chamar a de domínio de correlação. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 19 A hipótese de estacionaridade de segunda ordem assume a existência de uma covariância e assim de uma variância finita. Var[Z(t)] = C(0). A existência do variograma é uma hipótese mais fraca do que a existência da covariância, e existem muitos fenômenos que possuem uma grande capacidade de dispersão, isto é, que não possuem uma variância a priori nem uma covariância, mas um variograma pode ser definido. Uma hipótese mais fraca (mais abrangente) é a hipótese intrínseca. Na hipótese intrínseca temos: a) a esperança Z(t) existe e não depende do ponto t. E[Z(t)] = µ b) para todo h, a variância da diferença [Z(t+h) – Z(t)] existe e não depende do ponto t. Var[Z(t+h) – Z(t)] = E{[Z(t+h) – Z(t)]2} = 2γ(h) Observação: Se uma variável é estacionária de segunda ordem, então ela é também intrínseca, mas o inverso nem sempre ocorre. A hipótese intrínseca é a hipótese mais freqüentemente usada em geoestatística, por ser menos restritiva e, portanto, o semivariograma é a ferramenta mais difundida na geoestatística porque exige apenas a hipótese intrínseca, enquanto o autocorrelograma exige a estacionaridade de segunda ordem. As Figuras 7A, 7B e 7C ilustram, respectivamente, uma variável estacionária de segunda ordem, uma variável estacionária de primeira ordem e uma outra não estacionária. Note que no caso da Figura 7A, para qualquer trecho que selecionarmos e calcularmos a média e a variância, estas permanecerão aproximadamente constante, já no caso da Figura 7B, apenas a média permanece constante e no caso da Figura 7C nem a media e nem a variância permanecem constantes. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 20 18 20 22 24 26 28 0 10 20 30 40 50 X Y 15 17 19 21 23 25 27 29 0 10 20 30 40 50 X Y 5 10 15 20 25 30 0 10 20 30 40 50 X Y Figura 7. Exemplos de estacionaridade: A) Processo estacionário de segunda ordem; B) Processo estacionário de primeira ordem e C) Processo não estacionário 3.3. Krigagem universal (tendência) Na hipótese de tendência (Krigagem universal), a variável Z(t) pode ser decomposta em dois componentes: Z(t) = m(t) + e(t) A B C UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 21 em que m(t) é a tendência principal (drift) e e(t) é o resíduo. Para se trabalhar com essa hipótese é necessário que, para cada posição t se determine à tendência m(t) e, assim, trabalha-se com o semivariograma dos resíduos. Note que se m(t) = constante, então o semivariograma da variável Z(t), usando as observações reais, será igual ao semivariograma dos resíduos e(t), mas, se ocorre algum tipo de tendência nos dados (tendência linear, quadrática, etc.), o semivariograma dos resíduos pode-se apresentar com melhor estruturação e definição dos parâmetros, produzindo estimativas mais confiáveis (com menor variância) na krigagem. 4. ANÁLISE DA DEPENDÊNCIA ESPACIAL As duas funções utilizadas com maior intensidade na geoestatística para a determinação da dependência espacial ou temporal de variáveis são a função autocorrelação (que gera o autocorrelograma) e a função semivariância (que gera o semivariograma). Passaremos a descrever rapidamente a função autocorrelação e em seguida, com maior detalhamento, será descrita a função semivariância e semivariograma com instrumento de análise espacial de dados. 4.1. Autocorrelação e autocorrelograma Quando estamos trabalhando com variáveis bidimensionais, temos que a covariância é uma medida de associação entre as variáveis. Entretanto esta função tem a desvantagem de possuir as unidades das variáveis que a geram e, também, não ter um padrão de comparação, por exemplo, se calculamos a covariância entre X e Y e encontramos o valor de 0,75 não podemos dizer se as variáveis estão com forte associação positiva ou não. A covariância é dada por: ]}yY].[xX{[E)y,xcov( µ−µ−= O cálculo da covariância pode ser pensada também para a análise espacial. Se analisarmos a Variável Z nas posições t e t+h temos: UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 22 )])ht(Z).()t(Z[(E)]ht(Z),t(Zcov[ )ht(Z)t(z +µ−+µ−=+ Se a variável Z é estacionária, esta função poderá ser estimada por: 1 1 − −+− =+ ∑ = )h(n ]Z)ht(Z[]Z)t(Z[ ))ht(Z),t(Zcov( )h(n i ii , pois neste caso a média de Z(t) será igual à média de Z(t+h). Uma propriedade da covariância diz que "se duas variáveis aleatórias são independentes então a covariância entre elas é igual a zero". Portanto, ao analisarmos a variável Z nas posições t e t+h, com h=1,2,...k, espera-se que o valor da covariância comece alto e depois tenda a zero, sendo que quanto maior for o valor da covariância maior será a relação espacial e para covariância zero teremos independência. A Figura 9 ilustra uma função covariância. -1 0 1 2 3 0 100 200 300 400 500 600 distâncias (m) co va riâ nc ia s Figura 8. Exemplo de uma função covariância Comentamos, anteriormente, que a autocovariância apresenta algumas dificuldades de interpretação. Vamos então definir a função autocovariância como uma alternativa de interpretação da dependência espacial de uma variável Z. Esta função tem a vantagem de ser adimensional e estar limitada ao valor -1 e 1, permitindo comparações entre variáveis e também inferências sobre o grau de associação (dependência). Vamos inicialmente fazer uma analogia com as variáveis bidimensionais. Considerando as variáveis X e Y, temos: UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 23 yx )]Y,Xcov[)y,x( σσ =ρ que pode ser estimada por: yx n i SS n ]YY[]XX[ )y,x(r 1 1 − −− = ∑ = Neste caso quanto mais próximo de 1 ou de -1, maior a relação entre as variáveis e quanto mais próximo de 0, menor a relação linear entre X e Y. A função autocorrelação é definida como sendo a razão entre a covariância dos valores assumidos pela variável Z, nas posições t e t+h e a variância dessa variável Z, em função da distância h, no caso de variável estacionária de segunda ordem. Desta forma tem- se: 2 )](),([ )]([ )](),(cov[)( σ ρ htZtZCov tZVar htZtZh +=+= Trabalhando-se com dados amostrais ρ(h) pode ser estimado por r(h): 2 1 1 s )h(n ]Z)ht(Z[]Z)t(Z[ )h(r )h(n i ii − −+− = ∑ = em que: ρ (h) é a autocorrelação entre os valores da variável Z, separados pela distância h (autocorrelação populacional); Cov [Z(t), Z(t+h)] é a covariância entre a variável Z(t) e a variável Z(t+h); Var[Z(t)] = σ2 é a variância populacional, ou seja, a covariância entre Z(t) e Z(t+h) quando h=0; r(h) é a autocorrelação amostral para a distância h; n(h) é o número de pontos amostrais separados pela distância h; Z é o valor médio (média amostral) da variável Z(t); s 2 é a variância amostral de Z(t). UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 24 A Figura 9 mostraum exemplo de comportamento da função autocorrelação. -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 100 200 300 400 500 600 distância (m) r(h ) Figura 9. Exemplo de um autocorrelograma experimental O uso dessa função no estudo da dependência espacial ou temporal só é válida se a hipótese de estacionaridade de segunda ordem for atendida. Teoricamente, para h = O a autocorrelação é máxima, ou seja, r(0) = 1 e este valor decresce até o zero, ou seja, até uma distância ou tempo que não exista relação entre as observações. Esta distância define a amplitude de dependência espacial ou temporal (a), sendo que acima dessa distância os dados são considerados independentes entre si. Este tipo de comportamento indica que quanto mais próximas estiverem as amostras maior o grau de semelhança entre elas e este grau de semelhança decresce com o aumento da distância entre observações. Podemos ter ainda o autocorrelograma para toda distância com valor de autocorrelação igual a zero (r(h) = 0), exceto para h=0 em que r(0) = 1, assim temos independência entre as amostras para toda à distância ou tempo de estudo. Uma outra possibilidade é o autocorrelograma com autocorrelações flutuando em torno de zero (indica independência entre as observações) e o autocorrelograma cíclico, que indica flutuações periódicas na variável estudada, conforme Figura 10A e 10B. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 25 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 5 10 15 20 h r(h ) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 5 10 15 20 h r(h ) Figura 10. Exemplos de autocorrelogrmas: A) independência entre observações; B) periodicidade da variável. 4.2. Semivariograma a) Definição do semivariograma O semivariograma é definido como: )]}()([{ 2 1)( htZtZVarh +−=γ Note que Var[Z(t) –Z(t+h)] é a variância dos dados separados por uma distância h, mas, na expressão acima, esta variância está sendo divida por dois, então se utiliza o prefixo “semi” para distinguir da variância e daí vem o nome semivariância para γ(h) e semivariograma para o gráfico de γ(h) em função de h. A B UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 26 Observação: O divisor 2 da variância surge das deduções e simplificações matemáticas. Sob a suposição de tendência zero, temos: E[Z(t+h)] = E[Z(t)] e, portanto: })]()([{ 2 1)( 2tZhtZEh −+=γ e uma estimativa de γ(h) chamada de )( ^ hγ é dada por: )(2 )]()([ )( )( 1 2 ^ hn tZhtz h hn i ∑ = −+ =γ em que n(h) é o número de pares separados pela distância h. Relembrando a condição de estacionaridade, temos que a utilização do semivariograma exige que pelo menos a hipótese intrínseca seja atendida, ou seja, exige a condição de estacionaridade mais fraca quando comparada com a autocorrelação. b) Caracterização do semivariograma Analisando a expressão da função semivariância, pode-se imaginar que quanto mais próximos estiverem os pontos amostrados, maior será a semelhança entre eles e, portanto, menor a semivariância; e quanto mais distantes estiverem os pontos amostrados menor será a semelhança e, consequentemente, maior a dispersão (variância). Na teoria temos que para a distância h=0 a semivariância γ(0) = 0 e, a semivariância γ(h) cresce com o incremento de h, até atingir um valor constante para γ(h) que corresponde às variações aleatórias, ou seja, variações que não são justificada pela semelhança de um ponto com outro. A distância h a partir da qual γ(h) se torna aproximadamente constante é chamada de alcance da dependência espacial (a) sendo que as medições realizadas a distâncias maiores que a, tem distribuição espacial aleatória e, portanto, são independentes entre si. O valor de γ(h) constante é chamado de patamar (C). A utilização de dados amostrais na estimativa da semivariância e na construção do semivariograma, revela que, freqüentemente, para h = 0 a semivariância γ(0) difere de zero. A impossibilidade de se fazer reamostragem exatamente sobre um ponto já amostrado UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 27 (nestes casos pode ocorrer variações a distâncias menores do que a menor distância de amostragem) e erros como erros de amostragem, erros de análise de laboratório, etc., são justificativas dessa descontinuidade na origem. Quando γ(0) ≠ 0, surge um novo termo no semivariograma chamado de efeito pepita (C0) e, neste caso, o patamar é dado por: C0 + C. Observação: Pode-se mostrar que o patamar do semivariograma (C0 + C) é uma estimativa sem tendência da variância (σ2) da variável Z(t). Nas Figuras 11A e 11B apresentamos o comportamento ideal de um semivariograma e também são mostrados os parâmetros do modelo descritos acima. Figura 11. Semivariogramas: (A) sem efeito pepita; (B) com efeito pepita Os semivariogramas apresentados na Figura 11 indicam estacionaridade de segunda ordem para a variável, porque apresenta patamar claro e bem definido. Se o semivariograma for constante e igual ao patamar para qualquer valor de h, temos o efeito pepita puro e, neste caso, temos a ausência total de dependência espacial, ou seja, a dependência espacial, se existir, será manifestada à distância ou tempo menor do que o menor espaçamento entre amostras. Um outro tipo de semivariograma é aquele que apresenta a semivariância com flutuações. Este semivariograma é chamado de semivariograma periódico ou cíclico e indica uma periodicidade nos dados que pode ser explicada por algum fator conhecido e analisada por meio da densidade espectral. a C C0 + C C0 a INDEP DEP. DEP. INDEP. (A) (B) UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 28 Também podemos ter um tipo de semivariograma em que as semivariâncias crescem, sem limites, para todos os valores de h, ou seja, semivariogramas sem patamar definido. Este semivariograma indica que a hipótese de estacionaridade de segunda ordem não foi atendida e, provavelmente, estamos trabalhando com a hipótese intrínseca ( fenômeno com capacidade infinita de dispersão). Ele indica também que a máxima distância h entre as amostras não foi capaz de exibir toda a variância dos dados e provavelmente existe tendência dos dados para determinada direção. Se for verificada a tendência remove-se esta tendência e verifica-se se a variável resíduo apresenta semivariograma com patamar (estacionaridade de segunda ordem). Uma outra alternativa é trabalhar com a hipótese de tendência nos dados originais. Vale ressaltar que a primeira alternativa é a mais simples e a mais utilizada. Se o semivariograma dos resíduos apresenta efeito pepita puro, pode-se dizer que a superfície de tendência é a melhor representação espacial da variável. Uma metodologia de se ajustar superfícies de tendência é a utilização de regressão múltipla. Podemos ter ainda um semivariograma com mais de uma estrutura de variância, que são chamados de semivariogramas com estruturas entrelaçadas ou semivariogramas imbricados. Neste caso uma explicação prática poderia estar associada ao fato de estarmos trabalhando com mais de uma população, ou seja, até uma distância X estamos trabalhando com uma determinada população e a partir daí outra ou outras populações. As Figuras 12A, 12B, 12C, 12D e 12E, mostram respectivamente, semivariogramas experimentais com patamar definido, efeito pepita puro, sem patamar, cíclico e com estruturas entrelaçadas. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 29 0 5 10 15 20 0 510 15 20 h ga m a (h) 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 h ga m a (h) 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 h ga m a (h) 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 h ga m a (h) A B C D UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 30 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20 25 30 h ga m a(h ) Figura 12. Semivariogramas: A) Com patamar; B) Efeito pepita puro; C) sem patamar D)Cíclico e E) Com estruturas entrelaçadas c) Grau de dependência espacial Quanto ao grau de dependência espacial da variável em estudo, podemos classifica- la como: i) variável com forte dependência espacial – se o efeito pepita for menor ou igual a 25% do patamar < + 25,0 0 0 CC C ; ii) variável com moderada dependência espacial – se o efeito pepita representar entre 25% e 75% do patamar ≤ + ≤ 75,025,0 0 0 CC C ; iii) variável com fraca dependência espacial – se a relação entre efeito pepita e patamar estiver entre 75% e 100% < + < 00,175,0 0 0 CC C iv) variável independente espacialmente – se a relação entre efeito pepita e patamar for igual a 100%, neste caso temos o semivariograma com efeito pepita puro = + 00,1 0 0 CC C . E UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 31 d) Isotropia e anisotropia Note que h é um vetor e, consequentemente, o semivariograma depende da magnitude e da direção de h. Quando o semivariograma é idêntico para qualquer direção de h ele é chamado de isotrópico e quando o semivariograma apresenta os parâmetros C, C0, a e/ou modelo diferenciado dependendo da direção de h, ele é chamado anisotrópico (podemos classificar a anisotropia em anisotropia geométrica ou anisotropia zonal). Se o semivariograma é anisotrópico ele deve sofrer transformações antes de ser usado. Vieira (1995) alega que, em geral, a precisão da interpolação ou o tipo de hipótese satisfeita, não são afetados se, ao invés de se preocupar com a escolha de método de transformação de anisotropia, apenas limitar a faixa de distância na qual se utiliza o semivariograma. As principais direções de h que são examinadas são: 0o (na direção X), 90o (na direção Y), 45o e 1350 (nas duas diagonais principais). Quando os dados forem coletados em uma transeção (linha), o semivariograma é unidimensional e nada pode ser dito sobre anisotropia. e) Os principais modelos de semivariogramas Dados experimentais são influenciados por uma série de fatores. Um pesquisador, geralmente, não é capaz de controlar todos os fatores que influenciam um conjunto de dados. Desta idéia surge a distinção entre modelo matemático e modelo estatístico. No modelo matemático não temos desvios em relação à função proposta, ou seja, todos os pontos experimentais devem estar sobre a função proposta para explicar determinado fenômeno. Por exemplo, se tomarmos os pares ordenados (0,0); (2,4); (3,9); (4,16) e (5,25) como sendo valores experimentais e propormos o modelo: Yi= Xi2, como o modelo que explique o comportamento desses dados experimentais, estaremos trabalhando com um modelo matemático, pois, todas as observações pertencem ao modelo proposto (Figura 13). UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 32 y = x2 -5 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 6 X Y Figura 13. Modelo Matemático Para o modelo estatístico os valores experimentais apresentam desvios (erros) em relação ao modelo proposto (ajustado) e estes erros são atribuídos a fontes de variações não controladas pelo pesquisador. Por exemplo, podemos ter o seguinte modelo estatístico que explique o comportamento linear de uma variável Y em função de X: Yi = a +bXi +ei, (Figura 14) em que a e b são as constantes que definem a reta e ei são os erros experimentais (maiores detalhes podem ser obtidos em textos e livros sobre modelos lineares ou análise de regressão). y = 2.0286x + 1.4286+ei 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5 6 X Y Figura 14. Modelo Estatístico Na aplicação da teoria geoestatística a dados experimentais, vamos ajustar modelos teóricos de semivariogramas as semivariâncias experimentais, e desta forma estaremos trabalhando com modelos estatísticos de semivariogramas. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 33 O gráfico da semivariância (γ(h)) em função da distância (h), mostrará uma série de pontos discretos que é chamado semivariograma experimental. Uma função contínua deve ser ajustada as semivariâncias experimentais. A escolha do modelo de semivariograma que será utilizado é um dos aspectos mais importantes da geoestatística. Todos os cálculos da geoestatística dependem do modelo de semivariograma ajustado e, conseqüentemente, se o modelo ajustado não for apropriado, todos os cálculos seguintes conterão erros que poderão afetar as inferências, portanto o ajuste de semivariograma é uma fase crucial na análise geoestatística e deve receber uma atenção especial. Vários métodos são utilizados para verificar a qualidade do ajuste do semivariograma aos dados experimentais. Vieira et al (1983) sugerem o método de ajuste por tentativa e erro (ajuste a critério do observador) associado à avaliação do modelo pela técnica de validação cruzada ou autovalidação (“jack-Knifing”). Macbratney e Webster (1986) sugerem o método do Critério de Informação de Akaike (AIC) para avaliar o modelo. Já Pannatier (1996) sugere a utilização do "Indicação da Qualidade do Ajuste" (IGF). A descrição de cada método de seleção pode ser encontrado nos respectivos trabalhos originais dos autores e cada programa de análise geoestatística de dados apresenta um critério de seleção. O programa GS+, com o qual estamos exemplificando este texto, aplica a metodologia dos mínimos quadrados para os ajustes dos modelos e utiliza como critérios para seleção do modelo: i) o coeficiente de determinação (R2), que, relembrando os conceitos de análise de regressão, é uma relação entre a soma de quadrados devido ao modelo ajustado e a soma de quadrados total (mede a variação dos dados devido ao modelo ajustado em relação à variação total dos dados) e quanto mais próximo da unidade estiver o valor de R2 melhor será o modelo ajustado; ii) Soma de quadrados de resíduos (RSS) – quanto menor for este valor, melhor será o modelo de semivariograma. O GS+ utiliza este resultado para a seleção do modelo e, por meio de combinações dos parâmetros do modelo, minimiza esta soma de quadrados de resíduos. O autor do programa alega que a utilização UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 34 desse critério na seleção do modelo é preferido, por ser este mais sensível e mais robusto quando comparado com o coeficiente de determinação (R2). Observação: Em muitos casos (talvez na maioria dos casos) a sensibilidade de quem está trabalhando com os dados e o conhecimento sobre a variável é de fundamental importância na opção do modelo de semivariograma. Às vezes é preferível selecionar um modelo com R2 um pouco menor ou RSS um pouco maior que o sugerido pelo programa, mas que represente melhor os dados. De maneira geral, quanto mais simples puder ser o modelo ajustado, melhor, e também não se deve dar importância excessiva a pequenas flutuações. A condição para o ajuste de modelos a dados experimentais é que ele represente a tendência de γ(h) em relação à h e que o modelo tenha positividade definida condicional. De maneira geral, um modeloé positivamente condicional se γ(h)> 0 e γ(-h) = γ(h), qualquer que seja h. Definindo C0 como efeito pepita, C0 + C como patamar e a como alcance, os principais modelos de semivariogramas utilizados na geoestatística são: i) modelo linear com patamar >+ ≤≤+ = ahCC ahh a CC h 0 0 0)(γ Neste caso C/a é o coeficiente angular para 0< h < a ii) modelo esférico >+ ≤≤ − + = ahCC ah a h a hCC h 0 3 0 02 1 2 3 )(γ iii) modelo exponencial [ ] dheCCh ah <<−+= − 01)( )]/(3[0γ UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 35 Neste modelo e no modelo de gaussiano d é a distância máxima na qual o semivariograma é definido e nestes modelos o patamar (a) é atingido apenas assintoticamente O parâmetro a é determinado visualmente como a distância após a qual o semivariograma se estabiliza. iv) modelo gaussiano [ ] dheCCh ah ≤≤−+= − 01)( 2)/(3[0γ v) modelos sem patamar 200 <<+=γ BAhC)h( B Os parâmetros A e B são constantes que definem o modelo, sendo que B tem que ser estritamente maior que zero e menor que dois para garantir a condição de positividade definida condicional. Observação: dependendo da escala de trabalho e do espaçamento entre amostras, pode-se ter mais de um modelo de semivariograma para os dados. Nestes casos temos as estruturas entrelaçadas. As Figuras 15A e 15B mostram os aspectos gerais dos modelos de semivariogramas discutidos anteriormente. Figura 15. Modelos de semivariograma: (A) com patamar; (B) sem patamar. Observação: Nos modelos exponencial e gaussiano, apresentados no programa GS+, a amplitude a que deve ser considerada como a amplitude de dependência espacial deve ser igual a três vezes e 3 vezes, respectivamente, o valor de A0, ou seja, a amplitude efetiva Linear Gaussiano Exponencial Esférico A=8,0; B=0,5 A=0,9; B=1,0 A=0,1;B=1,5 (A) (B) UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 36 apresentada na coluna posterior a coluna de A0. Isto ocorre porque os modelos exponencial e gaussiano utilizados no programa não consideram o fator 3 apresentados nos modelos anteriores. 4.3. O uso do software GS+ na determinação do semivariograma No programa GS+ o ícone indica que a análise da dependência espacial será realizada por meio do semivariograma. Observação: Existem outras opções de análises que são apresentadas em “autocorrelation” ou nos respectivos ícones na barra de ferramentas. Ativando o ícone do semivariograma, o programa apresenta a seguinte janela (Figura 16): Figura 16. Análise da semivariância Distância máxima para cálculo das semivariâncias Passos para cálculo da semivariância Análise de anisotropia Cálculo das semivariâncias e do semivariograma Exibe o semivar. Variância amostral Semivar. escalonado Semivariograma isotrópico Semivariogramas anisotrópicos UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 37 A distância máxima para cálculo da semivariância deve ser no máximo igual à máxima distância de coleta da amostra. O GS+ adota como critério inicial 80% da distância máxima, isto se justifica pelo fato de que a grandes distâncias o número de pares para o cálculo da semivariância reduz-se drasticamente, fazendo com que a estimativa da semivariância tenha pouca precisão. Este valor pode ser alterado pelo usuário. Os passos para cálculo das semivariâncias consiste em como as semivariâncias vão ser agrupadas. Quanto maior for este valor menos pontos teremos no semivariograma. Vale ressaltar também que, se este passo for muito pequeno, teremos classes de distância sem pares para cálculo da semivariância. Para a análise do semivariograma isotrópico o ângulo de tolerância (offset tolerance) deve ser de 900 e, neste caso, os semivariogramas para as diferentes direções (anisotrópico) serão iguais ao semivariograma isotrópico. Não abordaremos neste texto a discussão sobre anisotropia e procedimentos de análise de anisotropia. A janela apresentada na Figura 9 mostra também as opções de exibição do semivariograma. Se marcarmos apenas a primeira opção, teremos o semivariograma experimental e uma proposta de modelo ajustado. Marcando-se a primeira e a segunda opções, temos o semivariograma experimental, a proposta de modelo e uma linha paralela ao eixo X que representa a variância dos dados. Na terceira opção é exibido o semivariograma escalonado, ou seja, o semivariograma onde cada semivariância é dividida pela variância dos dados. A Figura 17 ilustra o resultado de um semivariograma. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 38 Figura 17. Exemplo de um semivariograma Note que a Figura 17 apresenta ainda a opção model e a opção expand. O resultado da execução dessas funções são apresentados nas Figuras 18 e 19. A Figura 18 exibe as opções de modelos de semivariogramas. Figura 18. Modelos e análises dos modelos Mostra o semivariograma com os respectivos parâmetros e ajuste Mostra as opções de modelos com os parâmetros e ajuste modelos Efeito pepita patamar amplitude Amplitude efetiva (exp e gaussiano). Relação entre C e patamar Coef. Determinação e soma de quadrados de erros Refaz o semivariograma padrão do GS+ Aplica o novo modelo caso haja modificação UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 39 O GS+ permite, no comando model (Figura 18), visualizar os modelos com os respectivos ajuste feito pelo programa (vale relembrar que o GS+ seleciona o modelo com menor soma de quadrados de resíduos (RSS)). Ao usuário é permitido a modificação do modelo selecionado pelo GS+ ou, então, dos parâmetros dos modelos e, realizadas modificações, o comando apply deve ser ativado para que o programa tome este modelo como o modelo de variabilidade espacial ou temporal daquela variável. Para retornar ao modelo padrão do GS+ utilize o comando refit. Observações: a) O programa não apresenta o modelo de efeito pepita puro. Para obter este modelo utilize o modelo linear com C0 = C0 +C. b) A amplitude efetiva é utilizada no GS+ para determinar a amplitude de dependência espacial dos modelos exponencial e gaussiano, devido a formula de cálculo desses modelos no programa, A0 ≠ A (Estes modelos no GS+ não consideram o fator multiplicativo 3). c) A inclinação no modelo linear e linear com patamar (coeficiente angular) e dado pela relação entre C e A0, ou seja, C/A0. d) A relação entre C e C0+C nos dá uma idéia do grau de dependência espacial da variável, sendo que quanto mais próximo de 1, maior a dependência espacial. Note que CC C CC C + −= + 00 0 1 e o primeiro termo já foi discutido no item grau de dependência espacial, classificando a dependência como fraca, moderada e forte. e) R2 (coeficiente de determinação) e RSS (soma de quadrados de resíduos) nos informa sobre a qualidade do ajuste do modelo. f) No ajuste do modelo a sensibilidade do usuário é muito mais importante do que os valores de R2 e RSS e, portanto, tentativas de ajustes diferentes ao proposto pelo programa devem ser utilizadas, mesmo que isso cause queda no valor de R2 e acréscimo no valor de RSS. g) O programa não apresenta a opção de ajuste de modelo sem patamar diferente do linear. Neste caso, sugere-se que se copie as semivariâncias calculadas para outro programa e que o gráficoseja feito neste outro programa, por exemplo, O Excel. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 40 A Figura 19 mostra o resultado da execução do comando expand. Figura 19. Semivariograma e opções de edição Nesta tela temos a exibição das semivariância calculadas, do modelo de semivariograma ajustado e dos parâmetros desse modelo. A listagem dos valores de semivariâncias com as respectivas distâncias de cálculo (list values), permite que estes valores sejam transportados para outros programas e que se faça vários modelos em uma única figura. Semivariograma experimental e modelo ajustado Parâmetros do modelo ajustado Lista semivariância calculada, com distâncias e número de pares Mostra as diferenças quadráticas que geram a semivariância Edita o semivariograma UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 41 4.4. Exemplos de aplicação 1) Suponha que os dados abaixo representem a variável Z (por exemplo, % de areia de um certo solo). A amostragem foi feita em uma transeção e as amostras foram coletadas a cada 20 m. Faça a análise descritiva da variável, calcule as semivariâncias, monte o semivariograma experimental e proponha um modelo de ajuste. (note que estes dados são unidimensionais). Tabela 1. Dados de % de areia em um solo. h (m) 0 20 40 60 80 100 120 140 %Areia 16 18 17 20 15 15 15 15 h(m) 160 180 200 220 240 260 280 300 %Areia 17 17 17 18 18 19 18 18 h(m) 320 340 360 380 400 420 440 460 %Areia 18 21 16 20 16 18 18 17 h(m) 480 500 520 540 560 580 600 620 %Areia 18 18 20 17 17 17 17 18 Observação: para ser resolvido sem o uso de programas de geoestatística Solução: a) Análise descritiva Média 17.46875 Erro padrão 0.265581 Mediana 17.5 Moda 18 Desvio padrão 1.50235 Variância 2.257056 Curtose 0.129546 Assimetria 0.27713 Mínimo 15 Máximo 21 A análise descritiva mostra que os dados possuem uma distribuição de probabilidade normal aproximada (média, mediana e moda aproximadamente iguais; curtose e assimetria próximos de zero; gráfico tendendo à simetria). A variabilidade do dados é relativamente baixa (desvio padrão = 1,5023 e CV = 8,6%) e os valores mínimo e máximo indicam a não existência de problemas amostrais com os dados. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 42 b) Semivariância e semivariograma Os valores das distâncias h, das semivariâncias (γ(h)) e números de pares(n(h)) utilizados no cálculo são apresentados abaixo. Distâncias de cálculo, valores de semivariância e número de pares. Distância h (m) Semivariância (γ(h)) Número de pares (n(h)) 20 2,129 31 40 1,417 30 60 2,500 29 80 2,214 28 100 2,037 27 120 2,327 26 140 2,120 25 160 2,396 24 180 2,065 23 200 2,545 22 220 2,738 21 240 2,825 20 260 2,711 19 280 1,778 18 300 2,735 17 320 1,719 16 340 3,367 15 360 1,857 14 380 2,808 13 400 2,375 12 420 2,318 11 440 2,400 10 460 1,056 9 A representação gráfica (semivariograma) das semivariâncias em função da distância h (semivariograma experimental) e uma proposta de modelo ajustado aos dados experimentais são apresentados na figura abaixo. 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 0 100 200 300 400 500 h (m) se m iv ar iâ nc ia Semivariograma experimental e modelo ajustado. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 43 O modelo proposto inicialmente é um modelo exponencial, com efeito pepita (C0) de 1,0 (%)2, patamar (C0+C) de 2,3 (%)2 e alcance (a) de 120 m. (Observação: não foi realizado nenhum teste para verificar se este é o melhor modelo de semivariograma para esta variável). Neste caso o semivariograma mostra uma dependência espacial para a % de areia até 120 m, ou seja, amostras coletadas a distância inferiores a 120 m possui dependência espacial e, no caso da utilização de métodos de análises estatísticas que consideram independência entre amostras, à distância de amostragem mínima deveria ser de 120 m. OBS: Exercício resolvido com o auxílio do MS-EXCEL 2) Utilizando os dados do exemplo anterior (exemplo1) refaça a análise utilizando o GS+ Solução: a) Análise descritiva b) Semivariograma O modelo proposto pelo GS+ foi: UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 44 O modelo proposto no exemplo 1 apresenta o seguinte resultado: Comparando os dois modelos verifica-se ligeiro aumento de r2, mantendo-se o mesmo valor de RSS, desta forma o modelo proposto no exemplo 1 poderia ser utilizado. As descrições e discussões seguem o padrão do exemplo 1. Lembre-se que o modelo adotado foi o exponencial e portanto o alcance efetivo será de 40,80 m no primeiro caso e de 120 m no segundo caso. Outros modelos poderiam ser sugeridos neste caso. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 45 3) A seguir apresentamos as coordenadas X (m), Y (m) e a variável silte (%) em uma área experimental. X 0 0 0 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 10 10 10 Y 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 PBPD 12.77 12.84 11.39 12.30 12.43 12.43 12.45 12.74 11.39 12.32 12.16 11.49 10.39 11.32 11.24 12.49 X 20 20 20 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 30 30 30 Y 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 PBPD 11.25 11.97 12.38 12.85 12.55 12.49 12.58 12.82 12.49 11.67 11.59 12.72 11.12 11.18 11.53 11.48 X 40 40 40 40 40 40 40 40 50 50 50 50 50 50 50 50 Y 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 PBPD 11.81 11.19 11.46 11.44 12.39 12.17 11.69 12.32 11.58 11.11 11.55 10.79 11.13 11.29 12.62 12.01 X 60 60 60 60 60 60 60 60 70 70 70 70 70 70 70 70 Y 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 PBPD 12.66 11.49 11.25 12.87 12.77 11.95 11.96 11.11 10.81 11.65 12.36 11.90 12.16 12.56 12.54 11.46 Realizar a análise dos dados e verificar se existe dependência espacial para essa variável. SOLUÇÃO: a) Análise descritiva O resultado das principais estatísticas dessa variável é apresentado a seguir: Nota-se que a área apresenta, em média, 11,92% de silte, com dispersão média em torno desse valor de 0,6302%. Esta dispersão em torno da média representa uma variabilidade de 5,29% (CV=5,29%), mostrando que os dados têm uma baixa dispersão. Os coeficientes de assimetria e curtose com os respectivos erros padrão indicam tendência simétrica dos dados, mas a curva do tipo platicúrtica, diferindo da curva normal (mesocúrtica). Com base em uma análise visual do histograma, verifica-se uma distribuição de freqüências bimodal para esta variável. A distribuição das amostras na área segundo o valor de ocorrência é a seguinte: UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 46 Não se observa tendências de concentração de valores em posições específicas da área e também não ocorre sentido preferencial na distribuição dos dados, tal fato é um primeiro indicativo de que a distribuição espacial dessa variável, nesta área, é aleatória e isotrópica. b) Análise do semivariograma A seguir é mostrado o semivariograma dessa variável: UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 47 O modelo apropriado para descrever o comportamento espacial dessa variável foi o modelo de efeito pepita puro. Nota-se que as semivariâncias experimentais estão em torno da linha paralela ao eixo x, ou seja, C0 + C = 0,397. Conclui-se, portanto, que a distribuição espacial do silte nesta área experimentalé aleatória e as amostras, para a malha amostrada (com distância entre pontos de 10 m), são independentes. 4) Os dados apresentados abaixo referem-se a umidade de um solo. As amostras foram coletadas em uma malha contendo 63 pontos com espaçamento de 20 m entre amostra, perfazendo 9 colunas e 7 linhas de amostragem. X 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20 40 60 80 100 120 140 Y 20 20 20 20 20 20 20 20 20 40 40 40 40 40 40 40 U 28.16 27.16 26.09 27.27 27.61 26.61 26.13 29.73 31.12 27.52 26.54 26.45 24.98 27.93 26.91 24.13 X 160 180 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20 40 60 80 100 Y 40 40 60 60 60 60 60 60 60 60 60 80 80 80 80 80 U 27.80 29.69 28.40 27.63 27.42 26.81 26.37 28.61 27.66 30.17 28.86 26.58 26.03 26.72 27.50 26.44 X 120 140 160 180 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20 40 60 Y 80 80 80 80 100 100 100 100 100 100 100 100 100 120 120 120 U 23.63 26.83 25.46 24.17 26.61 24.49 22.35 22.05 22.05 24.98 23.35 26.18 22.30 27.89 24.64 24.20 X 80 100 120 140 160 180 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Y 120 120 120 120 120 120 140 140 140 140 140 140 140 140 140 PBPD 25.36 24.77 27.54 25.49 24.45 24.36 26.39 26.73 29.87 23.63 25.30 23.27 25.82 26.85 25.36 Realizar a análise dos dados e verificar se existe dependência espacial para essa variável. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 48 Solução: a) Análise descritiva As estatísticas e o histograma da variável umidade foram: Verifica-se que este solo apresentou, na época de coleta, umidade média de 26, 24 g de água/100g de solo, com desvio padrão de 2,020 g/100g, o que representa uma variabilidade de 7,7%, considerada uma baixa variabilidade dos dados em torno do valor médio. Os histogramas, associado à assimetria e à curtose dos dados, mostram que os dados se distribuem segunda a curva normal. As posições ocupadas pelos valores de umidade do solo na área experimental (figura abaixo), mostram tendência de que os valores mais altos de umidade (acima de 27,50 g/100g) se concentrem na metade inferior da malha, considerando o eixo Y como referência e, conseqüentemente, os valores abaixo de 27,50 g/100g se concentram na parte superior da malha, mostrando uma distribuição espacial não aleatória dos dados. Não é possível visualizar tendência de distribuição dos dados nas direções preferencias da malha, ou seja, provavelmente exista uma isotropia na distribuição da umidade do solo nesta área. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 49 b) Análise do semivariograma O semivariograma desta variável é: Nota-se que a variável umidade do solo apresenta dependência espacial, que pode ser descrita pelo modelo exponencial com alcance de 81 m, ou seja, amostras de umidade do solo selecionadas a distâncias inferiores a 81 m estão correlacionadas entre si. A relação entre o efeito pepita e o patamar de 13,63%, indica que a dependência espacial é forte. UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 50 5. KRIGAGEM 5.1. O interpolador O semivariograma é a ferramenta da geoestatística que permite verificar e modelar a dependência espacial de uma variável. Uma aplicação imediata do semivariograma é a utilização das informações geradas por ele na interpolação, ou seja, na estimativa de dados e posterior mapeamento da variável. O interpolador que utiliza o semivariograma em sua modelagem é chamado de krigagem. O nome krigagem é uma homenagem ao engenheiro sul-africano D. G. Krige. Para a aplicação da krigagem assume-se: que sejam conhecidas as realizações z(t1), z(t2), ..., z(tn) da variável Z(t), nos locais t1, t2, ..., tn; que o semivariograma da variável já tenha sido determinado; e que o interesse seja estimar um valor z* na posição t0. O valor estimado z*(t0) é dado por: )()(* 1 0 ∑ = = n i ii tztz λ em que: n é o número de amostras de Z(t) envolvidas na estimativa de z*(t0), e λi são os pesos associados a cada valor medido, z(ti). Observação: Se existe a dependência espacial, os pesos λi são variáveis de acordo com a distância entre o ponto a ser estimado z*(t0) e os valores z(ti) envolvidos nas estimativas. Se ocorre a independência espacial, então : λi = 1/n e, portanto temos a média aritmética simples. A melhor estimativa de z*(t0) é obtida quando: a) o estimador é não tendencioso 0)}()(*{ 00 =− tztzE b) a variância da estimativa é mínima mínimotztzVar =− )]()(*[ 00 Para que z* seja uma estimativa não tendenciosa de z, a soma dos pesos das amostras tem que se igualar a 1. 1=∑ iλ UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 51 E para obter a variância mínima sob a condição de ∑λi = 1, introduz-se o multiplicador de Lagrange para a dedução das equações e o sistema de krigagem resultante é: ),(),( 0 1 tttt i n i jii γµγλ =+∑ = em que: µ é o multiplicador de Lagrange. A variância de estimativa é dada por: ),( 02 tt iiE γλµσ ∑+= O sistema de equações da krigagem contém n+1 equações e n+1 incógnitas e uma única solução produz n pesos λ e um multiplicador de Lagrange µ. Em notação matricial, chamando de A a matriz das semivariâncias dos valores amostrados envolvidos na estimativa de z*(t0); λλ a matriz coluna que contém os pesos λi e o multiplicador de Lagrange e b a matriz coluna das semivariâncias entre os valores amostrados e o ponto a ser estimado, tem-se: Aλλ=b E, portanto: λλ=A-1b A variância da estimativa (σE2) e dada por: σE 2 = btλλ As matrizes A, b e λλ são: A= 0111 1),(.....),(),( .... .... .... 1),(....),(),( 1),(....),(),( 21 22212 12111 nnnn n n tttttt tttttt tttttt γγγ γγγ γγγ ; b= 1 ),( . . . ),( ),( 0 02 01 tt tt tt nγ γ γ ; λλ= µ λ λ λ n . . . 2 1 UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 52 Observações: i) A matriz A é simétrica e possui diagonal principal igual a zero, ou igual ao valor do efeito pepita. ii) Os valores 1 que aparecem nas matrizes A e b são conseqüência do multiplicador de Lagrange. iii) O sistema deve ser resolvido para cada estimativa z* e para cada variação do número de amostras envolvidos na estimativa. 5.2. A krigagem no programa GS+ A Figura 20 mostra a janela da krigagem no GS+. Para ativar a krigagem basta ativar o ícone com a letra k. Figura 20. Krigagem no GS+ A krigagem pode ser expressa por meio de mapas, sendo necessário para isto, ativar o ícone map, tendo como resultado a Figura 21. Informações sobre a malha Arquivo e tipo de arquivo para gravar a krigagem vizinhos Método de krigagem Modelo de semivariograma Validação cruzada UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 53 Figura 21. Opções de mapas no GS+ Exemplo: Utilizando os dados no exemplo de umidade do solo (exemplo 4) fazer a krigagem e o mapeamento da variável umidade. Solução: Como exemplo de saída dos resultados da krigagem temos uma pequena parte dos resultados da krigagem, os resultados apresentam com as coordenadas (x,y), os valores krigados, os desvios padrão