Máquinas de Fluido Henn 2ed

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MAQUINAS DE FLUIDO 
ERICO ANTONIO LOPES HENN 
MAQUINAS DE FLUIDO 
2• Eorc;Ao 
editoraufsm 
2006 
~--------·-~--
ERICO ANTONIO LoPES HENN 
MAQUINAS DE FLUIDO 
2• Eorc;Ao 
editoraufsm 
2006 
UNIVERSTDADEFEDERALDESANTAMARlA 
Reitor Clovis Silva Llma 
Vice-reitor Felipe Martins Miillcr 
DireZurda Edifora Honorio Rosa Nascimento 
Crm.,·dho Editorial Aleir Fontana De Paris 
A11dh.1·e e revi.1·iio de lexlo 
Edilorariio de texlo 
Ca pa 
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Daniela Lopes dos Santos 
Eduardo Furtado Flores 
Haroldo Dalla Costa 
Hon6rio Rosa Nascimento 
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Leris Salete B. Haefnner 
Odemir Paim Peres Junior 
Ronai Pires da Rocha 
Silvia Carneiro Lobato Paraense 
Mar1stela Blirger Rodrigues 
DR Publicidade 
Mllrcio de Oliveira Soriano 
H5 I 5m Henn, Erico Ant6nio Lopes 
Miiquinas de fluido I Erico Ant6nio Lopes Henn 
. - 2_ ed. - Santa Maria : Ed. da UFSM, 2006. 
474p.: ii. , 23 cm. 
l. Engenharia mecfinica 2. Miiquinas de fluido 
3. Miiquinas de fluxo 4_ Miiquinas de deslocamento 
positivo I. Titulo. 
ISBN 85-7391-075-5 
CDU 621.6 
Fi cha catalognifica elaborada por Maristela Eckhardt CRB-10/73 7 
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e-mail: editora@ctlab.ufsm br 
www.ufsm.br/ed1torn 
"Antes o desafio de uma juventude questionadora, 
que ainda sonha, do que a presen<;a resignada de 
}ovens que j6. nao sonham mais." 
A 
Nara, 
Leonardo, 
Rafael e 
Camila 
5 Semelhan9a e Grandezas Adimensionais ............................................. 95 
5.1 Milquinas de fluxo semelhantes ........................................................ 96 
5.2 Grandezas unitatias .................................... ~,': .................................. 100 
5.3 Velocidade de rota91io esp.ecffica ................................................... 108 
5.4 Coeficientes adimensionais ........................................................... 113 
lNDICE 5.5 Exercfcios resolvidos ..................................................................... 116 
5.6 Exercfcios propostos ...................... .............. . ........ 123 
6 Cavita9ao e Choque S6nico .................................................................. 127 
6.1 Defini9i'io de cavita9ao .............................. . .............................. 128 
Pref<icio ........................................................................................................ 11 
Sfmbolos adotados ........................................................................................ 13. 
Subfndices utilizados .................................................................................... 21 
Convers1io de unidades ................................................................................. 23 
1 Introdm;;ao ... . ...................................................................................... 25 
1.1 Definii;ilo de m<iquina de fluido ....................................................... 27 
1.2 Tipos principais ................................................................................ 28 
1.3 Campo de aplica9ao ......................................................................... 28 
1.4 Grandezas fundamentais: energia, vazao e potencia ......................... 33 
1.4.1 Energia ........................................................................................... 33 
1.4.2 Vazao ............................................................................................. 40 
1.4.3 Potencia ........................................................................................ 41 
2 M<'iquinas de Fluxo ................................................................................. 43 
6.2 Coeficiente de cavita9ao ................................................................. 133 
6.3 NPSH e altura de suc9ao mcixima ................................................. 135 
6.4 Choque s6nico ................................................................................ 143 
6.5 Limite s6nico ........................................................ . .............. 146 
6.6 Exercfcios resolvidos ......................................................... 150 
6.7 Exercicios propostos ...................................................................... 157 
7. Empuxos Axial e Radial ....................................................................... 161 
7 .1 Empuxo axial em rotores axiais ..................................................... 162 
7 .2 Empuxo axial em rotores radiais ........................................... .. 166 
7.3 Compensa9ao do empuxo axial em rotores radiais ........................ 169 
7.4 Empuxo radial .............................................................................. 174 
7.5 Exercfcios resolvidos ..................................................................... 177 
7 .6 Exercfcios propostos ..................................................................... 182 
8 Caracterfsticas de Funcionamento de Turbinas Hidraulicas ................. 185 
2.1 Elementos construtivos ..................................................................... 43 
2.2 Classifica9ao das maquinas de fluxo ................................................ 45 
2.2.1 Segundo a dire9ao da convers1io de energia .................................. 45 
2.2.2 Segundo a forma dos canais entre pas do rotor ............................. 48 
2.2.3 Segundo a trajet6ria do fluido no rotor .......................................... 49 
3 Equa91io Fundamental das Maquinas de Fluxo ...................................... 51 
8.1 Centrais hidreletricas ...................................................................... 186 
8.2 Golpe de arfete e regulagem das turbinas hidr<'iulicas ..................... 189 
8.3 Curvas caracterfsticas de turbinas hidrciulicas ................................ 192 
8.4 Exercfcios resolvidos ...................................................................... 208 
8.5 Exercfcios propostos ..................................................................... 213 
9 Caracterfsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo .................. 217 
3.1 Triiingulo de velocidades .................................................................. 51 
3.2 Equa9ao fundamental para niimero infinito de pas .......................... 60 
3.3 Fator de deficiencia de potencia ....................................................... 67 
3.4 Grau de rea91io te6rico ...................................................................... 68 
4 Perdas de Energia em Maquinas de Fluxo .............................................. 71 
4.1 Tipos de perdas ............................................................................... 72 
4.2 Potencias e rendimentos em maquinas de fluxo ............................... 78 
4.3 Grau de rea9ao real ........................................................................... 84 
4.4 Exercfcios resolvidos ........................................................................ 85 
4.5 Exercicios propostos ........................................................................ 92 
9. 1 Curva te6rica e curva real ............................................................... 217 
9 .2 Determina9ao do ponto de funcionamento ..................................... 226 
9.3 Tipos de curvas e fatores que as modificam ................................... 231 
9.4 Exercfcios resolvidos ...................................................................... 249 
9.5 Exercfcios propostos. ......................................................... . ... 259 
l 0 Associa91io de Geradores em Serie e em Paralelo ............................... 263 
10.1Tubula96es mistas e mUltiplas ...................................................... 264 
I 0.2 Associa91io de geradores em paralelo ........................................... 266 
I 0.3 Associmrao de geradores em serie ..................................... . ..... 268 
10.4 Exercfcios resolvidos ......................................................... . .... 272 
10.5 Exercicios propostos .................................................................... 279 
11 Particularidades no Funcionamento de Geradores de Fluxo ................. 283 
', 11.1 Instabilidade ............................................... , ................................ 283 
11.2 Funcionamento de gerador~s com curva caracteristica inst<ivel .. 286 
11.3 Influencia da viscosidade do fluido em bombas ........................... 289 
11.4 Efeito da compressibilidade nos turbocompressores .................... 294 
12 C<ilculo de Rotores Radiais .................................................................. 301 
12. l Influencia da fonna da pa ............................................................. 301 
12.2 Modificm;ao dos tri3.ngulos de velocidades em uma m<iquina real ... 312 
12.2.1 Influencia do nllmero finito de pas ............................................ 312 
12.2.2 Influencia da espessura das plis ................................................. 321 
12.3 Roteiro para c<ilculo de um rotor radial ........................................ 325 
13 C<ilculo de Rotores Axiais .................................................................... 347 
13.1 Fundamentos da teoria aerodin§.mica ........................................... 347 
13.2 Modelos de escoamento utilizados no projeto de rotores axiais .. 361 
13.3 Escoamento atraves de uma grade ................................................ 367 
13.4 Aplicar;iio da teoria aerodin§.mica as m<iquinas axiais .................. 371 
13.5 Roteiro para c<ilculo de um rotor axial ......................................... 377 
14 M<iquinas de Deslocamento Positivo .................................................... 401 
14.1 Bombas de deslocamento positivo .............................................. 402 
14.1.1 Bombas de embolo OU pistfio .................................................... 403 
14.1.1.1 Cavitar;ao nas bombas alternativas de pistao ....................... 409 
14.1.2 Bombas de diafragma .............................................................. 413 
14.1.3 Bambas de engrenagens ............................................................ 414 
14.l.4 Bambas de parafuso .......................................................... , ....... 419 
14.1.5 Bombas de l6bulos ................................................................... 422 
14.1.6 Bombas de palhetas ............................................................. 425 
14.2 Curvas caracteristicas de bombas de deslocamento positivo ...... 426 
14.3 Compressores de deslocamento positivo ...................................... 433 
14.3.l Compressores de embolo OU pistao ......................................... 433 
14.3.2 Cotnpressores de diafragma ou membrana ........................... 442 
14.3.3 Compressores de palhetas ....................................................... 443 
14.3.4 Compressores de parafuso ....................................................... 446 
14.3.5 Compressores de 16bulos (Roots) .............................................. 448 
14.3.6 Compressores de anel lfquido ................................................... 449 
14.4 Exercfcios resolvidos .................................................................... 451 
14.5 Exercfcios propostos .................................................................... 458 
indice remissivo .......................................................................................... 463 
Bibliografia ................................................................................................. 471 
_ __j 
PREFACIO 
Este livro apresenta o texto b3sico da disciplina M3quinas de Fluido 
ministrada pelo au tor aos alunos dos cursos de gradua9ao em Engenharia 
Mec&nica e Engenharia Qulmica da Universidade Federal de Santa Maria. 
0 contelldo desta publica9ao, como o pr6prio programa da disci-
plina, busca fornecer os principios da teoria cl3.ssica sabre este tipo de 
mri.quina e, dentro de um enfoque did<itico, facilitar o uso destes 
conhecimentos na pr3.tica do dia-a-dia do futuro profissional de 
engenharia. Com este objetivo, foram inclufdos exemplos de aplicai;ao 
no final de varios capltulos, com a utilizar;ao de tabelas e curvas de 
funcionamento fomecidas por fabricantes. Normalmente seni utilizado 
o Sistema Internacional de Unidades, oficial no Brasil desde 1962, 
fazendo-se, em algumas situa95es, a sua correla9ao com outros sistemas 
de unidades freqiientemente encontrados nas publica95es recnicas. 
Na abordagem dos principais tipos de M<iquinas de Fluido, as 
M3.quinas de Fluxo e as M3.quinas de Deslocamento Positivo, a enfase 
e para as Miiquinas de Fluxo, particularmente para as que trabalham 
com fluidos em escoamento incompressivel, onde o autor se ap6ia na 
experi@ncia de viirios anos como professor, projetista e consultor de 
empresas. 
0 capftulo sabre as Miquinas de Deslocamento Positivo toma-se 
indispensiivel principalmente quando se procura subsidiar o processo 
de selei;ao do tipo mais adequado de miiquina a ser empregado num 
sistema fluido-mec&nico. Embora a predomin&ncia das M<lquinas de 
Fluxo no transporte de fluidos, por exemplo, existem situa95es em que 
a melhor solui;ao recai sobre uma M:iquina de Deslocamento Positivo. 
Saber discernir sobre a aplica9ao de um tipo ou outro e pre-requisito 
exigido tanto para um engenheiro mec§.nico como para um engenheiro 
qufmico. Por outro lado, o compromisso com o desenvolvimento 
tecnol6gico do pals toma imprescindivel a formai;ao de um profissional 
12 Mdquinas de Fluido 
nao s6 capaz de usar corretamente m3.quinas jii existentes, 1nas tambem 
apto a utilizar o meto<lo cientffico para o proje~ de novos equipamentos. 
A presen9a de capftulos que fomecem uma primeira orientai;ao para 
o projeto de rotores de miiquinas de fluxo e as freqtientes cita96es 
bibliogriificas durante o texto procuram motivar o aluno para um apro-
funda1nento sobre o assunto, nffo se restrinjindo ao contelldo abordado 
em sala de aula ou as p3.ginas de uma apostila. A coloca9ao entre 
parCnteses do significado em ingl@s dos principais termos tecnicos utili-
zados te1n a pretensao de facilitar o acesso do estudante as publica95es 
internacionais e indicar a importancia, cada vez maior, para um profi.s-
sional da :irea de engenharia, do conhecimento de uma lingua univer-
sahnente utilizada para o intercimbio tecnico-cientffico. 
A simbologia e as conveni;Oes utilizadas neste livro sao as intro-
duzidas por Bran & Souza, 1 precursores, no Brasil, do tratamento 
conjunto <las M:iquinas de Fluxo em uma Unica disciplina. 
Ao submeter a presente obra a aprecia9ao de professores, alunos, e 
profissionais que venham a trabalhar sobre o tema, o autor espera a 
contribui-;ffo critica que possa levar ao seu aperfei-;oamento. 
Registre-se, aqui, o reconhecimento do autor aos professores: Ennio 
Cruz da Costa, da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Lucio 
Renn6 Salomon e Zulcy de Souza, da Escola Federal de Engenharia de 
ltajub:i, com quern teve a honra de conviver e que despertaram seu 
interesse por esta area academica, pelo conhecimento, entusiasmo e 
dedica93.o; aos colegas do Centro de Tecnologia da UFSM e aos seus 
ex-alunos, pela convivencia amiga e motivadora, ea Editora da UFSM, 
por tomar passive! a editora9ao desta obra. 
' BRAN, R. & SOUZA, Z. de .. Mriquinas dejluxo. 
. 
SfMBOLOS ADOTADOS 
Na lista apresentada a seguir alguns simbolos representam mais de 
u1na grandeza. Neste caso, o significadoespecffico e esclarecido no local 
onde figuram no texto. 
A iirea. 
a grau de abertura do sistema diretor de uma turbina hidr<lulica 
ou fator de redu9ao da velocidade do vento em turbinas e6licas. 
b largura do rotor ou envergadura do perfil aerodinfimico. 
Ca coeficiente de arrasto de um perfil aerodinfimico. 
CH coeficiente de corre9ao da altura de eleva9ao devido a visco-
sidade do tluido. 
c 
c 
m 
calor especifico a pressiio constante do tluido de trabalho. 
coeficiente de sustenta9ao de um perfil aerodinfimico. 
calor especifico a volume constante do fluido de trabalho. 
coeficiente de correyao de rendimento devido a viscosidade 
do fluido. 
velocidade absoluta da corrente fluida. 
componente meridiana da velocidade absoluta da cor-
rente fluida. 
velocidade de propaga9ao do som no meio considerado. 
componente tangencial da velocidade absoluta da cor-
rente fluida. 
velocidade absoluta da corrente nao perturbada. 
vetor velocidade absoluta da origem do sistema de coor-
denadas relativo. 
difimetro do rotor, difunetro do pistiio ou difrmetro da tubulayao. 
difimetro exterior das nervuras de compensayao do empuxo 
axial. 
14 
d 
e 
e, 
F 
F 
,, 
F 
' f 
f, 
G 
g 
H 
h 
i' 
]' 
Mdquinas de Fluido 
derivada, diferencial ou difimetro da haste do pistao de 
m3quina altemativa. 
difrmetro do eixo . 
di3.metro do jato de' uma turbina Pelton. 
distfincia entre centros ou excentricidade. 
energia perdida por fugas. 
energia especifica referente as perdas hidraulicas. 
perdas de energia por choque. 
espessura da pa ou fator de engrossamento de um perfil 
aerodinimico. 
espessura da pa medida na direyao tangencial. 
forya. 
forya de arrasto ou empuxo axial. 
forya de sustentas;ao. 
coeficiente de atrito, freqtiencia de m<iquina el6trica ou flecha. 
fator de estrangulamento. 
peso. 
acelerayao da gravidade. 
altura de elevayao de m<'iquinas geradoras ou altura de queda 
de m<'iquinas motoras. 
altura ou energia especifica de acelera98.o. 
desnivel geometrico entre dois pontos. 
altura nominal. 
perda de carga em metros de coluna de fluido. 
perda de carga no recalque. 
perda de carga na sucyao. 
altura de sucyao geometrica. 
altura de sucyao geometrica maxima. 
perda de carga na vrilvula de sucyao de m<iquinas de deslo-
camento altemativas. 
entalpia do fluido. 
nllmero de est<igios de uma m<lquina de fluido ou nllmero 
de parafusos movidos de uma mriquina de deslocamento 
positivo de parafuso. 
vetor unitririo do sistema relativo correspondente ao eixo x'. 
vetor unitirio do sistema relativo correspondente ao eixo y'. 
Sf1nholos Adotados 15 
K 
k 
k' 
L 
m 
mf 
ril, 
N 
NP!PA 
NPIPR 
NPSH, 
NPSH, 
n 
n, 
n,, 
n, 
n 
' 
coeficiente adimensional, constante ou caracterfstica de uma 
canaliza~ao. 
escala de velocidades. 
escala din3.mica. . 
escala geom6trica ou fator de escala. 
coeficiente de corre~ao para o calculo do nlimero de pas. 
coeficiente de corre<;;3.o de Pfleiderer para o c<ilculo do fator 
de deficiencia de potencia. 
expoente adiab<itico ou isentr6pico. 
vetor unit<irio do sistema relative correspondente ao eixo z'. 
comprimento de canalizai;;ao, comprimento da corda de perfil 
aerodinfunico ou curso dos pist6es de m<iquinas altemativas. 
torque ou momenta. 
nUmero de Mach. 
torque ou momenta intercambiado entre fluido e rotor 
suposto com ntimero infinite de pas. 
tluxo missico de um fluido. 
tluxo m:lssico que foge atraves das folgas. 
fluxo m:lssico que passa atraves do rotor. 
nUmero de pas do rotor. 
pressao disponivel na admissao da bomba. 
pressao requerida na admissao da bomba. 
saldo positivo de altura de suc98.o requerido pela bomba. 
saldo positivo de altura de suc9ao disponivel na instala98.o. 
velocidade de rota9ao, freqiiencia do movimento completo 
do pistao em m:lquina alternativa ou expoente da 
co1npressao politr6pica. 
velocidade de rota9ao unit<iria. 
velocidade de rota9ao biunitaria. 
velocidade de rota9ao especifica no sistema tecnico de 
unidades referida a vazao. 
coeficiente de forma ou velocidade de rota9ao especifica 
no sistema internacional de unidades. 
velocidade de rota9ao especffica no sistema tecnico de uni-
dades referida a potencia ou velocidade de rota9ao es-
pecifica no sistema ingles de unidades. 
16 
pp(•= 
p 
Q 
Q, 
Q,, 
Q, 
Q,, 
Q, 
Q,, 
q 
R 
R 
potencia disponivel. 
potencia perdida por atrito de disco.: 
potencia no eixo da maquina . 
potencia no eixo unitfuia. 
potencia no eixo biunitfuia. 
Mdquinas de Fluido 
potencia intercambiada no rotor suposto com nUmero finito 
de pas. 
pot6ncia intercambiada no rotor suposto com ntimero infinito 
de pas. 
pressao. 
pressao atmosferica. 
press3.o de estagna98.o. 
pressiio de referencia do liquido ou pressao no recalque. 
pressao de vaporiza9ao do liquido na temperatura de escoa-
mento. 
vazao de um fluido. 
vazao unitaria. 
vazao biunit<iria. 
vaz:ao correspondente as fugas atraves das folgas. 
vazao nominal. 
vazao que passa atraves do rotor. 
perda de vazao recalcada em fun9iio da vaporiza93.o do liquido 
na regiiio de admissfio de uma bomba de deslocamento 
positivo. 
quantidade de calor por unidade de massa. 
constante universal dos gases. 
vetor posi93o de uma partlcula fluida com rela9iio ao sistema 
absoluto. 
vetor posi9ao da origem do siste1na relativo com rela9ao 
ao sistema absoluto. 
raio de curvatura da pa. 
ntimero de Reynolds. 
raio de um ponto generico do rotor. 
vetor posi9ao de uma particula fluida com rela9ao ao sistema 
relativo. 
raio exterior do rotor. 
Sfmbolos Adotados 17 
r 
' s 
s, 
T 
t 
t, 
u 
v 
v 
" 
v 
w 
w 
"' w~ 
x 
y 
ydLD 
Yest 
Y, 
y 
'" 
Yp,ooo 
y 
raio interior ou raio do cubo do rotor. 
momento estatico da se9ao meridian3 do canal em rela9ao 
ao eixo do rotor. -
momento estatico do "'filete medio da corrente com rela9ao 
ao eixo de rota9ao. 
coeficiente de suc9ao. 
entropia do fluido ou largura da cfimara de compensa9ao 
do empuxo axial. 
temperatura absoluta em Kelvin. 
temperatura, tempo, passo, ou largura das nervuras colocadas 
no dorso do rotor. 
tempo de fechamento do 6rgao obturador de uma turbina 
hidr<iulica. 
velocidade tangencial de um ponto do rotor ou energia interna 
do fluido por unidade de massa. 
volume. 
volume de gas aspirado por um compressor. 
volume caracterfstico deslocado em m<iquina de desloca-
mento positivo. 
volume especffico do fluido. 
velocidade relativa da corrente fluida. 
componente meridiana da velocidade relativa. 
velocidade relativa da corrente nao perturbada. 
abcissa cartesiana. 
salto energ€tico ou trabalho especlfico disponfvel, representa 
a energia por unidade de massa que o fluido recebe da 
in<iquina, no caso de maquina geradora, ou que entrega a 
m<iquina, no caso de m<iquina motora. 
energia especffica de pressao dinfunica ou de velocidade. 
energia especffica de pressao estiitica. 
trabalho especffico interno da m8.quina. 
energia ou trabalho especffico intercambiado no rotor suposto 
com nllmero finito de pas. 
energia ou trabalho especffico intercambiado no rotor suposto 
com nUmero infinito de p8.s. 
ordenada cartesiana. 
I_ 
18 
z 
d 
a (alfa) 
~ (beta) 
r (gama) 
y (gama) 
LI (delta) 
LIH 
Lip 
espessura maxima do perfil aerodinfirnico. 
fator de compressibilidade de um ~s. 
cota de um ponto qualquer. 
Mdquinas de Fluido 
ilngulo de ataque cte um perfil aerodinfunico ou sfmbolo 
de derivada parcial. 
fu1gulo que formam os sentidos positivos de ii e C ou fu1-
gulo de inclina9ao das pis do sistema diretor de uma m3.qui-
na de fluxo. 
ilngulo que forma o sentido positivo de W com o negativo 
de ii OU fingulo de inclina91'io das p8.S do rotor. 
circula9ao ou intensidade de v6rtice. 
peso especffico do fluido oudo material s61ido. 
diferen9a finita. 
sobrepressao provocada pelo golpe de ariete, em coluna liquida. 
diferen9a de pressao. 
diferen9a de pressao dinfimica entre a admissao e a descarga 
de u1n ventilador. 
Apcsi diferen9a de pressao est<i.tica entre a adrnissao e a descarga 
de um ventilador. 
Ap, depressao suplementar. 
.6.p
1 
diferen9a de pressao total produzida pelo ventilador. 
8 (delta) iingulo de constru91io das pis do rotor. 
e (epsilon) fingulo de deslizamento de um perfil aerodinfimico ou coefi-
ciente de espa90 nocivo de um compressor alternative. 
TJ (eta) 
Tl, 
llest 
Tl, 
Tl, 
Tim 
Tl, 
Tl, 
Tl, 
8 (teta) 
rendimento. 
rendimento de atrito de disco. 
rendimento estatico de um ventilador. 
rendimento hidr<iulico. 
rendimento interno. 
rendimento mecfu1ico. 
rendimento do perfil aerodinfimico. 
rendimento total. 
rendimento volumetrico. 
3.ngulo de giro de um ponto do rotor ou da manivela de 
m<iquina alternativa. 
Sfmbolos Adotados 19 
A (lambda) coeficiente empfrico ou relai;ao de velocidade perif6rica de 
turbina e6lica. 
µ(mi) 
v (ni) 
p (r6) 
Prcal 
P, 
a (sigma) 
'tadm 
<!> (fi) 
'I' (psi) 
fator de deficiencia de, potencia ou coeficiente de viscosida-
de absoluta. 
coeficiente de viscosidade cinem<itica. 
massa especffica do fluido. 
grau de reai;ao real. 
grau de reai;ao te6rico. 
coeficiente de cavitai;;ao. 
valor critico do coeficiente ae cavitai;;ao. 
tensao de ruptura do material. 
tensao de cisalhamento. 
tensao admissfvel de cisalhamento. 
coeficiente de vazao da m<iquina de fluxo. 
coeficiente de pressao da m<iquina de fluxo. 
CD (Omega) velocidade angular de rotai;;ao do rotor. 
CD' velocidade angular do fluido pela ai;;ao de nervuras no dorso 
do rotor. 
l 
SusfNorcEs UTrLrzAoos 
A rela~ao a seguir apresenta o significado dos Indices inferiores 
(sublndices) que sao utilizados com maior freqilencia durante o texto. 
Outros, de uso mais restrito, terao o seu significado esclarecido quando 
forem empregados para caracterizar uma determinada grandeza. 
2 
3 
4 
5 
6 
corresponde a ponto na corrente fluida situado na entrada do 
sistema diretor de m:iquina de fluxo ou indica grandeza unitfilia. 
corresponde a ponto na corrente fluida situado na saida do sistema 
diretor de 1n8-quina de fluxo. 
corresponde a ponto na corrente de entrada nfio perturbada 
(regularizada), situado imediatamente antes da entrada do rotor 
de maquina de fluxo. 
corresponde a ponto na entrada do rotor de m<iquina de fluxo, ja 
no espai;o entre as pas girat6rias. 
corresponde a ponto na saida do rotor da mJ.quina de fluxo, ainda 
no espayo entre as pas girat6rias. 
corresponde a ponto na corrente de saida jU regularizada, situado 
imediatamente ap6s a saida do canal do rotor de m<iquina de 
fluxo. 
11 indica grandeza biunit<iria. 
a corresponde a ponto situado na admissiio de uma mJ.quina de 
fluido, indica direyao axial ou refere-se a rendimento por atrito 
de disco. 
atm refere-se a pressao atmosferica. 
d corresponde a ponto situado na descarga de uma mJ.quina de 
fluido. 
din refere-se 3. pressiio dinJ.mica OU de velocidade. 
e corresponde a ponto situado no difunetro exterior do rotor ou 
refere-se ao eixo da mJ..quina. 
22 
est 
F 
G 
J 
M 
m 
n 
p 
pa 
r 
s 
u 
v 
Mllquinas de Fluido 
refere-se a pressao estJ..tica. 
refere-se ao ponto de funcionamento 4a m<iquina de fluido. 
refere-se a desnivel geom6trico. 
corresponde a ponto siillado no difunetro interior ou diJ.metro do 
cubo do rotor ou indica valor intemo da mliquina. 
corresponde ao nivel de jusante da instalayao hidr<iulica. 
corresponde ao nivel de montante da instalayao hidr<iulica. 
refere-se a m<iquina modelo, rendimento mec3.nico ou a 
componente meridiana de velocidade. 
indica valores nominais ou de projeto da mJ.quina. 
refere-se a_ m<iquina prot6tipo OU 3. energia perdida. 
indica grandeza correspondente as p<is do rotor de m<iquina de 
fluxo. 
indica direyao radial ou grandeza referente ao recalque da 
mliquina. 
indica transformas;ao isentr6pica, grandeza referente a sucs;ao 
da mJ..quina OU refere-se a_ velocidade do SOffi. 
refere-se a dires;ao tangencial ou a valor total. 
indica componente tangencial de velocidade. 
indica rendimento volumetrico, pressao de vaporizas;ao ou re-
fere-se a tluido viscoso. 
corresponde a ponto situado na corrente fluida niio pertur-
bada ou refere-se a rotor de m<iquina de fluxo com nllmero 
infinito de pas. 
, 
CONVERSAO DE UNIDADES 
UNIDAllES DE CoMPRTh1ENTO: 
l in (polegada) = 0,0254 m; 
I ft (pe) = 12 in = 0,3048 m; 
l mile (milha) = 1609,3 m; 
UNIDADES DE VELOCIDADE E ROTA~Ao: 
I fpm (ft/min)= 0,016667 ft/s = 0,00508 mis; 
l mph (milha/hora) = 1,609 km/h= 0,447 mis; 
I rps= l Hz=60rpm. 
UNIDADES DE PREssAo: 
l bar= 0,1 MPa; 
l kgf/cm' = 98, l kPa; 
I mmCA = l kgf/m' = 9,81 Pa; 
l torr= l mmHg = 133,32 Pa; 
l psi (lbf/in') = 0,0703 kgf/cm' = 6,895 kPa; 
UNIDADES DEV AZA.O: 
I m3/h = 0,27778 l/s = 2,7778. 10 -; m3/s; 
l gpm (galiio/min) = 0,227 m3/h = 6,309. 10-' m3/s; 
l cfm (ft3/min) = 1,698 m'ih = 4,717. 10- 3 m3/s; 
UNIDADES DE ENERGIA E ENERGIA EsPECfFICA: 
l kcal= 4,1868 kJ; 
l kWh= 3,6 MJ; 
l kgf.m = 427 kcal= 9,81 J 
l Btu= 0,252 kcal= 1,05506 kJ; 
l kcal/kg= 4,1868 kJ/kg; 
l Btu/lbm = 0,556 kcal/kg = 2,325 kJ/kg; 
24 
UNIDADES DE POTitNCIA: 
l CV= 75 kgf.mls = 632,44 kcal/b = 0,7355 kW; 
I HP= 2545 Btu/h = 641,62 kcal/h = 0,7457 kW; 
UNIDADES DE MASSA E PESO EsPECiFICOS: 
l lbmlft3 = 0,03108 slug/ft' =16,018 kg/m3; 
l lbf/ft' (pound/ft')= 16,02 kgf/m3 = 157,16 N/m3 
UNIDADES DE VISCOSIDADE: 
l cSt (centistoke) = 10-6 m2/s; 
l ft'/s = 92903 cSt; 
1 cP (centipoise) = 10-3 Pa.s; 
UNIDADES DE TEMPERATURA: 
K=°C + 273,15 
° F = 915 ° C + 32 
Mdquinas de Fluidu 
I 
I 
i 
1 
INTRODU<;:Ao 
De~de as mais remotas eras, o conhecimento sobre a energia contida 
n~s flu1dos e a sua utiliza9ffo econ6mica tern sido um dos fatores 
pru~o.rdiais para o desenvol vimento da humanidade. Grand es sistemas 
de 1rngai;ao ~a eram utilizados na Mesopotamia, cerca de 3000 a.C., 
e?q~an~o ant1gos povos, como os egipcios e os gregos, usavam rodas 
h1drauhcas para moer grffos de cereais. Ao cientista egfpcio Heron de 
Alexandria, que viveu provavelmente durante o seculo II a.C., e atribufdo 
o desenvolvi1nento de varios equipamentos precursores das modernas 
m~quinas de fluido. Entre eles, um 6rgao musical, com soprador a pistiio 
ac1onad~ por um moinho de vento (Fig. 1.1), e um aparelho que pode 
ser cons1derado como a primeira versffo de uma turbina a vapor. Um 
pequeno globo de metal girava a partir da reac;ao ao escapamento de 
vapor d'8-gua por dois canos orientados em sentidos opostos situados na 
Fig. l. l Utilizm;;fio de mliquinas de fluido na antiguidade: dispositivo desenvolvido 
por Heron de Alexandria para acionar um 6rgao musical. (Fonte: Revue 
Technique Sulzer) 
26 Mtiquinas de Fluido 
Fig. 1.2 Turbina a vapor desenvolvida por Heron de Alexandria. (Fonte: Enciclopedia 
Delta Universal) 
sua periferia (Fig. 1.2). 0 vapor chegava ao interior do globo, atraves de 
suportes ocos, procedente de uma caldeira a vapor situada na parte inferior. 
E, no entanto, a partir do seculo XIX que as m:lquinas de fluido 
passaram a ter um maior desenvolvimento, com a utilizac;fio de 
conhecimentos aprofundados em termodin8mica e aerodinfunica, com 
o surgimento de novos materiais e, modernamente, com o uso de recurses 
computacionais cada vez mais sofisticados. 
As turbinas a gas, por exemplo, cujas primeiras constru96es 
remontam ao seculo XVII, tiveram o seu maior desenvolvimento durante 
a Segunda Guerra Mundial, com a utilizac;ao na propulsao de avi6es e 
na gera9fio de energia eletrica. Mesmo a energia e6lica, j8- utilizada 
para acionar os moinhosde vento do seculo X, no Oriente Medio, passa 
a ser uma modema altemativa energetica com a constm9ao de turbinas 
e6licas com potencia unitaria acima de 2 MW. 
Hoje, as m:lquinas de fluido sao utilizadas no transporte de lfquidos, 
gases e s6lidos, na gerac;ao e na acumulac;iio de energia, e.em processos 
qufmicos que demandam elevadas press5es, como a compressiio do gas 
de etileno para a fabrica9iio de polietileno, em compressores de 6mbolo 
que alcanc;am press5es da ordem de 350 MPa (3500 bar). 
A simulac;ao numerica de m<iquinas de fluido por computador (Fig. 
1.3) tern alcanc;ado um alto nfvel de desenvolvimento e possibilitado 
nfio s6 a visualizac;lio de fluxes complexos, mas tambem a elaborac;lio 
de programas de c<ilculo que permitem projetar novos tipos de maquinas 
a partir de um banco de dados conhecido, prever seu comportamento 
por meio de ensaios simulados e chegar a construc;lio de prot6tipos por 
meio de m<iquinas de produc;ao com comando numerico. 
lntrodurJo 27 
Fig. 1.3 Simulai;ao de fluxo tridimensional atraves de uma turbina hidr'1ulica do tipo 
Francis (Fonte: Sulzer Technical Review). 
Neste livro, mais do que o tratamento hist6rico ou individual dos 
diferentes tipos de miiquinas de fluido, sera adotado 0 m6todo generali-
zado. Pois, embora seja not6rio que muitas destas miiquinas evoluiram 
empiricamente e conseguiram desempenho altamente satisfat6rio com um 
minimo de entendimento analitico, nao 6 menos verdade que a analise <las 
operac;f>es bisicas e um profundo conhecimento dos principios comuns que 
regem o seu funcionamento sao necessarios para uma melhor performa.Ilce 
e, certamente, teriam economizado uma grande quantidade de tempo, es-
fo~o e recursos financeiros se estivessem presentes desde o inicio. 
Com este objetivo, neste capitulo serii caracterizad;:i a maquina objeto 
de estudo; os seus principais tipos, com os respectivos campos de aplica-
, c;fio; os fundamentos cientificos biisicos para a sua construc;fio e entendi-
mento do seu funcionamento. Isto porque, embora toda a sofistica9ao dos 
m6todos computacionais hoje disponiveis, estes conceitos biisicos tem-se 
mantido validos ao longo do tempo e pennitem uma abordagem didiitica e 
simplificada dos diferentes tipos de m<iquinas de fluido. 
1.1 Defini«.;Bo de m3quina de fluido 
M3quina de fluido (fluid machinery) 6 o equipamento que promo-
ve a troca de energia entre um sistema meciinico e um fluido, transfor-
mando energia mecanica em energia de fluido ou energia de fluido em 
energia mecftnica. No primeiro caso, em que h<i o aumento do nfvel 
energ6tico de um fluido a partir do fornecimento de energia meciinica, 
por analogia com o gerador el6trico, apenas substituindo energia el6tri-
28 Mdquinus de Fluido 
ca por energia de fluido, costuma-se designar a miiquina de m3quina 
de fluido geradora. No segundo caso, em qu~ energia meciinica e pro-
duzida a partir da redui;ao do nivel energ6tico de um fluido, pela analo-
gia com o motor el6trico, a m<ie!j_uina e usualmente chamada de m3qui-
na de fluido motora. 
1.2 Tipos principais 
As m<'iquinas de fluido sao normalmente subdivididas em dois ti-
pos principais: as m3quinas de deslocamento positivo (positive 
displacement machines) e as m3quinas de fluxo (turbomachines). 
No primeiro tipo, tamb6m chamado de estatico, uma quantidade fixa 
de tluido de trabalho e confinado durante sua passagem atraves da maquina 
e submetido a trocas de pressao em razao da variac;ao no volume do recipi-
ente em que se encontra contido, isto e, o fluido e obrigado a mudar o seu 
estado energ6tico pelo deslocamento de uma fronteira em movimento. 
Nas m<iquinas de fluxo, as vezes denominadas de rn3quinas dinfr-
micas, o fluido nfio se encontra em momenta algum confinado e sim 
num fluxo continua atrav6s da m3quina, submetido a trocas de energia 
devido a efeitos diniimicos. 
Desconsiderando-se a troca de calor com o meio ambiente e possi-
veis folgas entre as partes fixas e m6veis, quando uma m<iquina de des-
locamento positivo pfila de funcionar, o fluido de trabalho no seu interi-
or permanecer3, indefinidamente, no estado em que se encontrava no 
momento em que o movimento cessou e este podera ser completamente 
diferente das condi96es do ambiente externo. Namesma situai;ao, o fluido 
de trabalho de uma m3quina de fluxo assumir3, imediatamente, as con-
di96es ambientais, quando ela deixar de operar. 
As m3quinas rotativas (rotary machines), como a bomba de en-
grenagens, e as m3quinas alternativas (reciprocating machines), como 
o compressor de pistao, silo exemplos tfpicos de m3quinas de desloca-
mento positivo, enquanto as turbinas hidr<iulicas e os ventiladores cen-
trifugos podem ser citados como exemplos de mii.quinas de fluxo. 
1.3 Campo de aplica-;3.o 
0 campo de aplica«.;Bo (application range) dos diferentes tipos de 
m<iquinas de fluido e tao amplo e sujeito a regi6es de superposi<;t'io, que, 
muitas vezes, torna-se dificil definir qual a melhor m<iquina para de-
lntrodur;iio 29 
terminada aplicar;,:ao, por exemplo, no caso de bombas (pumps) e com-
pressores (compressors), deve-se definir Se a melhor soJur;,:ao e 0 emprego 
de uma maquina de deslocamento positivo OU de uina maquina de fluxo. Ou, 
mesmo para um ti po de maquina ~ fluxo, por exemplo, as turbinas hidniuli-
cas, deve-se definir qua) delas atende melhor as caracterfsticas de um deter-
minado aproveitamento hidreletrico. No entanto, existem situa<;6es em que a 
supremacia de um ti po de maquina sabre 0 outro e tao evidente que a sele-
r;,:ao pode ser feitaja nas etapas iniciais de um projeto. 
Tomando-se para analise o caso dos compressores, normalmente 
caracterizados pela vazao de gas aspirado e pela pressao na descarga, 
pode-se constatar (Fig. 1 A) o domfnio absoluto dos compressores cen-
trffugos e axiais (maquinas de fluxo) para regioes de grandes vazoes, prin-
cipal mente em situar;,:oes, como nos motores de aviao, em que a relar;:ao 
requerida entre a potencia de propulsao e o peso da m:iquina seja a mai-
or possfvel e que apresente um formate favoravel do ponto de vista aero-
dinamico. Entretanto, na gama das pequenas e medias vazoes e elevadas 
relar;:oes de pressao entre descarga e admissao, os compressores alter-
nativos de embolo ou pistao mantem o seu predomfnio, com avanr;:os 
tecnologicos significativos e um con sumo energetico favoravel. No entan-
to, eles tern cedido espar;,:o para os compressores de palhetas e de parafu-
so para as situar;,:oes de medias vazoes e pressoes nao tao elevadas. 
Na Fig. 1.4, procura-se mostrar a distinc;;ao entre os termos ventila-
dor (fan) e compressor (compressor) para denominar maquinas que tra-
balham com gas. Num ventilador, a alterar;,:ao na densidade entre a admis-
~ao ea descarga da maquina e tao pequena que 0 gas pode ser considera-
do como um fluido incompresslvel (diferenc;;as de pressao ate 10 kPa ou 
1000 mmCA), enquanto num compressor, a altera\:ifo de densidade e sig-
nificati va, nao podendo ser desconsiderada. Para uma faixa de"diferenr;,:a 
de pressao entre a descarga ea admissao da maquina da ordem de 10 a 
300 kPa ( 1000 a 30000 mmCA), tambem e usual a denomina~ao de 
soprador (blower). 
Para o caso das maquinas de fluido geradoras que trabalham com 
If qui dos, denominadas de bombas (Fig. 1.5), a situar;,:ao e semelhante a 
dos compressores, havendo 0 predomfnio das maquinas de fluxo (bom-
bas centrffugas, bombas de fluxo misto e bombas axiais) para a regiao 
de medias e grandes vazoes, enquanto as bomb as altemativas e rotati vas 
(maquinas de deslocamento positivo) dominam a faixa de medias e gran-
des alturas de eleva<;:ao e pequenas vazoes. Como existem areas de 
L 
30 
. 
' 
Mtiquinas de Fluido 
~p (mmCA) ~p (kPa) 
10 7 
10 6 . 
10 5 -
10 
1 
1 
--~--- ~ - ------- r -------~--- -- --- -------,-- ------r-------
' ' ' -----. 't 1 I : 
Compressor Atiernativo : 
' ' 
' ' ' -~-~- - ------ ~ ----- -- ~---
' ' 
Co pressor 
--ce trifugo -
' .-~· ---r---i... 
: Compres~or 
: de paraft).so 
Comp es~or de p~lhetas 
Ventil dor 
------~- -----~---
' ' 
Certtri ugo ' 
' -- ----- - ~-- -----
Vent1lador Axial 
104 
10 104 10 6 Q(m3/h) 
Fig. l .4 Campo de aplicac;ao de ventiladores e compressores. 
!111rod11rao 
Hem 
. 
' 
105 ---- ---1---- ---~ ---- ----r- ---- --1 ------ --. 
104 
103 
102 
10 
1 
I 1 I 
' 
' 
' ' ' 
-- --r--- ----, -- -----, 
' 
' 
...._ __ ......... __ - - - - -: 
' ' ' I I I 
' Bo 1bas Gentrifugas : 
I 
I 
Bombas: axiais 
I 
I 
' 
' 
31 
I 10 102 103 104 105 Q(m3/h) 
Fig. 1.5 Campo <le aplicac;ao de bombas. 
superposii;ao entre os campos de aplicai;ao dos dilerentes tipos de bom-
bas, outros critfaios, como viscosidade do Lfquido bornbeado, presenc;:a 
de s6lidos em suspensao, variac;:ao ou nao da vazao em func;:ao da vari a-
i;ao da resistencia do sistema ao escoa.mento. facilidade de manutenc;:ao, 
custos, etc., devem ser levados em considerac;:ao para a selec;:ao da ma-
quina mais adequada para um determinado tipo de aplicac;:ao. 
Ja a F ig. L.6, apresenta o campo de aplicac;:ao dos ptincipais tipos 
de turbinas hidraulicas (maquinas de fl.uxo motoras), levando em con-
siderac;:ao a altura de queda, a vazao e a potencia. Embora fique eviden-
ciado a existencia de regioes em que prepondera um determinado tipo 
de maquina, por exemplo. turbina Kaplan, para grandes vazoes e peque-
nas alturas de queda, e, turbiua Pelton, para as maiores alturas de queda, 
existem faixas de altura de queda e vazao em que mais de um tipo de 
H(m) 
1800 
200 
60 
10 
3 
1 
0,01 
M<iquinas de Fluido 
Centrais com turbinas hidraulicas: 
- microcentrais: ate 100 kW 
- miniccntrais: de I 00 a I 000 ~W 
- pequenas centrnis: de I 000 a 30000 kW 
- medias centrais: de 30000 a 100000 kW 
- grandes centrais: acima de I 00000 k W 
\ 
\~ 
0 
t£ 
\ 
0,1 1 10 100 1000 
\a Q 
,~ 
~ 
Y£ 
Q(m3/s) 
Fig. 1.6 Campo de aplicac;ao de turbinas hidraulicas. 
maquina poderia ser utilizado. Neste caso tambem sera? ~mpr~gados 
criterios adicionais de selec;ao, como custo do gerador eletnco, n sco de 
cavitac;:ao, custo de construc;ao civil, flexibilidade de operac;ao, facilidade 
de manutenc;:ao, entre outros. . . 
As turbinas Michell-Banki, tambem denommadas de turbmas 
Ossberger, praticamente inexistentes nas centrais hidreletricas acima de 
lntrodui;iio 33 
1000 kW (Fig. 1.6), merecem ser citadas pela sua grande utilizar;ao em 
micro e minicentrais, em virtude da facilidade de.{abrica9ao, baixo custo 
e born rendimento para situar;5es de flutuar;ao de vaziio. 
1.4 Grandezas fundamentais: energia, vazao e potencia 
Neste item sera apresentada uma breve revisao de conceitos 
fundamentais da Termodinfimica e da Mecfinica dos Fluidos, indis-
pens<iveis para a definir;ao de grandezas utilizadas correntemente no 
estudo das M<iquinas de Fluido, tais como energia (energy), vaz3o 
(capacity) ou volume (jlow rate) e potencia (power). 
1.4.1 Energia 
0 primeiro principio da termodinfimica, aplicado a um sistema, 
permite escrever: 
[
Energia que oJ [Energia que oJ 
sistema recebe - sistema entrega = [
Variayao da energia] 
total do sistema 
Aplicando este enunciado para um volume de controle limitado 
pelas se96es de admissao (inlet), representada pelo indice "a" nas 
equa96es, e descarga (discharge ou outlet), representada pelo indice 
"d", de uma maquina de fluido com escoamento em regime permanente 
(Fig. 1. 7) e utilizando grandezas referidas a unidade de mass a do fluido 
de trabalho (grandezas especificas), tem-se: 
onde, considerando o sistema internacional de unidades: 
q = quantidade dt· calor, por unidade de massa, recebida pela m<iqui-
na de fluido, '~tn J/kg; 
Y = trabalho especlfico realizado pela m<iquina, em J/kg; 
u = energia interna do fluido, em J/kg; 
p = pressao est<itica do fluido, em N/m2; 
v = volume especffi,~o do fluido, em m3/kg; 
c = velocidade absolata da corrente fluida, em mis; 
MGquinas de Fluido 
"· 
y 
Volume 
., 
Controle 
q 
Fig. 1.7 Volume de controle de um a m<iquina de fluido. 
g ::: acelera93.o da grrividade, em m/s2 ; 
z ::: cota de referencia de um ponto do escoamento, em m. 
Pela definic;i'io de entalpia: h ::: u + p v 
onde: 
h = entalpia do fluido, em J/kg. 
Levando esta expressao na equa93.o (1.1), obt6m-se: 
(1.2) 
Aplicando esta equayao ao caso das bombas hidr3.ulicas (hydraulic 
pumps) e considerando o bombeamento como uma transforma9ao 
adiab3.tica sem atrito (isentr6pica), uma vez que em tennodin8.mica 
considera-se o trabalho recebido pelo sistema coma negativo, pode-se 
calcular a energia consumida pela bomba, por kg de fluido recalcado, 
da seguinte maneira: 
(13) 
onde o fndice "s" representa o final de uma transforma98.o isentr6pica. 
/ntrodur;Jo 
Pela definiyao de entropia, tem-se: 
dq = T ds = dh - v dp, 
onde: 
T :::: temperatura absoluta, em K; 
s entropia do fluido, e1n J/kgK. 
35 
(1.4) 
Como o bombeamento considerado e adiab:itico reversivel, pelo 
segundo principio da termodinftmica, vem: 
sd:::: Sa, ou ainda, ds = 0. 
Da equayao (1.4) conclui-se que dh = v dp. 
Levando esta conclusao a equayao (1.3), obtem-se: 
Y= f vdp+t(c;-c;)+g(z, -z,) 
Sabendo que v = l/p , onde "p" ea massa especffica do fluido, 
chega-se a: 
(1.5) 
Para turbinas hidr:iulicas (hydraulic turbines), coma o trabalho e 
fornecido pelo sistema, ou seja, positivo, a equa93.o (1.5) resulta em: 
(1.6) 
Voltando a expressao ( 1.2): 
36 Mdquinas de Fluido 
e aplicando-a ao caso de um compressor que realize uma compressao 
adiab:itica reversivel (isentr6pica), consideranQo desprezivel a variayao 
de energia potencial e de energia cin6tica, em colnparayao com a variayao 
de entalpia, obtem-se: ' 
Y=hds -ha (1.7) 
Considerando como fluido de trabalho um gas perfeito: 
dh =C, dT, (1.8) 
onde: 
C P = cal or especifico do gas, a pressiio constante, em J/k:gK. 
Levando a equayiio (1.8) a (1.7), obtem-se: 
Y=C,(T,, -T,)=C, T,(~:-1) (1.9) 
Do primeiro principio da termodin3.mica, para transforma93.o 
reversivel, com trabalho somente do tipo "p dv", tem-se: 
dq=du + pdv (1.10) 
~,_,,,. 
Por outro lado, diferenciando a equayao da entalpia: 
h=u+pv, vem: dh=du+pdv+vdp :. du+pdv=dh-vdp 
Pela defini9iio de entropia, equa93.o (1.4), e sabendo que a equayiio 
dos gases perfeitos e: 
pv=RT, 
pode-se escrever que: 
ds=dq=du+pdv 
T T 
dh -vdp 
T 
(I.II) 
. C, dT-vdp 
.. ds=~----
T 
lntrodw;iio 37 
Para uma transformac;ao adiabatica reversfvel (isentr6pica), onde 
ds = 0, tem-se: 
C dT-vdp=O 
' , 
ou a1nda: 
v dT=-dp (l.12) 
c, 
Da termodinfunica dos gases, tem-se as seguintes relac;5es: 
e 
C -C =R 
on de: 
c, 
k 
R 
' , 
calor especffico do gas, a volume constante, em J/kg K; 
expoente adiabatico ou isentr6pico, adimensional; 
constante do gas, em J/kgK. 
(1.13) 
(1.14) 
Dividindo ambos os membros da equac;ao (1.14) por Cp e levando 
em considera93.o a equac;ao (1.13), pode-se escrever que: 
C, C, R 
---= 
Cr CP CP 
1 R 1- -=-
k c, 
C = kR 
' k-1 
Substituindo este valor na equac;ao (1.12), tem-se: 
dT k-ldp 
---
T k p 
Integrando esta Ultima expressao entre "a" e "ds" (transformac;ao 
isentr6pica), vem: 
J
d'dT = k-lJd'dp 
a T k a p 
38 Mdquinas de Fluido 
k-1 
Tct, = [E<Llk 
Ta Pa 
(l.15) 
Da mesma maneira, chega-se a: 
I 
v, -[p,Jk 
V ds - Pa (l.16) 
Levando a equac;ao (1.15) na (1.9), fica-se com: 
(1.17) 
Como o comportamento dos gases reais apresenta um certo grau de 
variac;ao em relac;ao aos gasesperfeitos, que cresce com o aumento da 
densidade do gas e com a proximidade do estado liquido, faz-se 
necess<i.rio a introduc;ao de um fator de corre93.o, denominado "fator de 
compressibilidade", na equa93.o dos gases perfeitos, dando origem a 
equac;ao modificada para os gases reais: 
pv=ZRT, (1.18) 
on de: 
Z = fator de compressibilidade (compressibility_factor), adimensional. 
Os valores de "Z" sao obtidos de diagramas apresentados nos 
manuais de termodin3.mica para cada gis especifico ou mistura de gases. 
lntrodw;iio 39 
Para uma maior precisfio na determina9fio do comportamento 
operacional de um compressor, Rodrigues 1 recomenda a seguinte 
correc;ao para o c:ilculo do trabalho especifico de uma compressfio 
isentr6pica: ., 
(l.19) 
Nesta equac;ao, "Za" e "Zd" sao os fatores de compressibilidade 
medidos, respectivamente, nas condi<;6es de admissfio e descarga do 
compressor. 
Teoricamente, a compressfio poderia ser isotermica, consurnindo menos 
energia (trabalho). No entanto, isto levaria a necessidade de extrair uma 
quantidade de calor do sistema igual ao trabalho de compressfio mais as 
perdas que ocorrere1n durante o processo. Os compressores ditos isotennicos, 
apresentam refrigerm;fio ap6s um ou mais est:agios, com a temperatura do 
gas voltando ao valor inicial somente no final da compressao. 
Todos os processes de compressao sem perdas situam-se entre o 
isotermico e o isentr6pico, segundo a lei da compressfio politr6pica: 
p V n = Constante, 
onde: 
n = 1, para a compressfio isotermica; 
n = k, para a compressao isentr6pica. 
(1.20) 
Na realidade, quando o calor extraido de um processo de compressao 
for inferior ao calor gerado pelas perdas, o expoente "n" da compressfio 
politr6pica ser:i superior ao expoente "k" da compressao isentr6pica. 
Para as turbinas a g3.s ou a vapor (gas or steam turbines), que 
trabalham com fluido compressivel, a aplica9ao do primeiro principio 
da tennodinfimica conduz a seguinte expressfio para o c<i.lculo do trabalho 
especifico produzido num processo de expansfio isentr6pica: 
1 RODRIGUES, P. S. B., Compressores industriais. 
40 Mdquinas de Fluido 
(l.21) 
on de: 
ha = entalpia do fluido na admissfio da maquina; 
hds = entalpia do fluido na descarga da m:iquina, considerando uma 
transforma<;fio isentr6pica. 
Na pr:itica, e principalmente para m<i.quinas que trabalham com 
fluido incompressivel, e comum associar a energia recebida (caso das 
bombas) ou fornecida (caso das turbinas) pelo fluido, ao passar pela 
m:iquina, a uma altura de coluna de fluido, H (head'). Ou seja: 
H=Yig 
onde "g" e a acelera93.o da gravid~de, em rn/s2• 
1.4.2 Vazao 
Pela equa9fio da continuidade, o fluxo m3.ssico (mass flow rate)ril., 
atraves de qualquer s~fio, e constante num regime permanente. Ou seja: 
ri1. = pa Aa ca = pd Ad Cd =Constante (l.22) 
onde: 
m = 
p = 
A = 
c = 
fluxo m<'issico do fluido, em kg/s; 
massa especifica do fluido (density), em kg/m3 ; 
3.rea de passagem da corrente fluida, em m2 ; 
velocidade absoluta media da corrente fluida, perpendicular a 3.rea 
de passagem, em mis. 
Quando se trata de um fluido incompressivel, a massa especifica 
pode ser considerada constante e torna-se mais freqtiente o uso da vazfio 
volumetrica no dimensionamento da m<'iquina. Entre o fluxo m<'i.ssico e 
o fluxo de volume ou vazao, existe a seguinte rela9i'io: 
m~pQ, (l.23) 
onde "Q" ea vaziio (volume flow rate), em m3/s. 
lntrod111;iio 41 
1.4.3 Potincia 
Tomando par base o trabalho especlfico ('energia par unidade de 
massa), recebido ou fornecido p&!a miquina, pode-se calcular a potencia 
recebida (input power) ou fornecida (output power), pela seguinte 
expressao: 
P= m Y=pQY, (1.24) 
onde, no Sistema Internacional de Unidades, o fluxo missico e expresso 
em kg/s, o trabalho especffico em J/kg, a massa especlfica em kg/m3 , 
a vazao volumetrica em m3/s ea potencia "P" em W. 
No Sistema Tecnico de Unidades, a expressao para o cilculo da 
potencia converte-se em: 
P= yQ H 
75 
onde: 
p 
y 
Q = 
H = 
potencia, em CV; 
peso especlfico, em kgf/m3; 
vazao, em m3/s; 
altura de coluna fluida, em m. 
(l.25) 
No caso de miquinas que trabalham com um gels (oar, por exemplo), 
tambem e comum associar-se o trabalho especffico com a diferenya de 
pressao total existente entre a descarga ea admissao da mliquina. Ou seja: 
y = Ap, 
p 
on de: 
Ap
1 
= diferenya de pressao total entre a descarga e admiss8.o da miquina, 
em N/m2 ; 
p = mass a especlfica do fluido de trabalho, em kg/m3• 
Dcsta maneira, a potencia, no Sistema Internacional de Unidades, 
podera ser calculada por: 
P=t-p,Q (l.26) 
42 
on de: 
P = potencia, em W; 
Q = vazao, em m3/s. 
E, no Sistema Tecnico de Unidades: 
P="-P, Q 
75 
Mdquinas de Fluido 
(l.27) 
neste caso, com "Apt" em kgf/m2 ou mmCA (miHmetros de coluna 
d' 3.gua), "Q" em m 3/s, sendo a potencia "P" obtida em CV. 
Caso se queira obter o torque (torque) ou momento (n1omentum) 
no eixo da mriquina de fluido, que e importante para a seleyao adequada 
do motor ou gerador a ser acoplado a ela, pode-se escreverpara o Sistema 
Internacional de Unidades: 
onde: 
M = 
p 
OJ = 
torque ou momenta da mciquina, em Nm; 
potencia, em W; 
velocidade angular de rotayao da miquina, em rad/s; 
(l.28) 
n = velocidade de rotai;;ao da mJ.quina, em rpm, embora a unidade de 
rotai;;ao no S.I. seja o Hz (s- 1). 
JJ., para o Sistema Tecnico de Unidades, tem-se: 
M = 716,2.1'_ (l.29) 
n 
on de: 
M = torque ou momenta, em kgf m; 
P potencia, em CV; 
n = velocidade de rotai;;ao, em rpm. 
----·--------~~~~-------------""""' 
'2 
MAQUINAS DE FLUXO 
M3.quina de Fluxo (turbomachine) pode ser definida como u1n 
transformador de energia (sendo necessariamente o trabalho mecfrnico 
uma das formas de energia) no qua! o meio operante e um fluido que, 
em sua passagem pela m<iquina, interage com um elemento rotativo, 
nfio se enconlrando, em qualquer instante, confinado. 
Todas as m<lquinas de fluxo funcionam, teoricamente, segundo os 
mesmos princf pios, o que traz a possibilidade de utili~ao do mesmo metodo 
de c<llculo. De fato, esta considera~ao e plenamente vilida apenas quando o 
fluido de trabalho e um fluido ideal, j<i que, na realidade, propriedades do 
fluido, tais como volume especffico e viscosidade, podern variar 
diferentemente de fluido para fluido e, assim, influir consideravelmente nas 
caracterfsticas construtivas dos diferentes tipos de mclquinas. 
Como exemplos de mclquinas de fluxo, citam-se: as turbinas hi-
drliolicas (hydraulic turbines), os ventiladores (fans), as bombas 
centrifugas (centr(fugal pumps), as turbinas a vapor (steam turbines), 
·OS turbocompressores, as turbinas a g3.s (gas turbines). 
Este capftulo, alem de apresentar a defini9ao e os elementos 
construtivos fundamentais de uma m<i.quina de fluxo, fornece alguns 
crit6rios de classifica9ffo dessas m<i.quinas, objetivando estabelecer uma 
linguagem comum para a sua abordagem e proporcionar meios de 
identifica9ffo dos seus diferentes tipos. 
2.1 Elementos construtivos 
Nao haveni aqui a preocupa93o de relacionar, exaustivamente, todas 
as partes que comp6em as m<iquinas de tluxo, tais como, seu corpo ou 
carca9a, o eixo, os mancais, os elementos de veda9ao, o sistema de 
lubrifica9ao, etc., mas a inten9ao de caracterizar os elementos constru-
tivos fundamentais, nos quais acontecem os fen6menos fluidodinfimicos 
44 M6quinas de Fluido 
essenciais para o funcionamento da m<iquina: o rotor (impeller ou runner) 
e o sistema diretor (stationary guide casing) • .__ 
0 rotor (Fig. 2.1), onde acontece a tninsformai;;ao de energia 
mec3nica em energia de fluidb, ou de energia de fluido em energia 
mec3nica, e o 6rg3o principal de uma m<iquina de fluxo. E constituido 
por umcerto n6mero de p3.s girat6rias (runner blades) que dividem o 
espa90 ocupado em canais, por onde circula o fluido de trabalho. 
Fig. 2.1 Rotor de bomba semi-axial ou de fluxo misto. 
Ja o sistema diretor tern como finalidade coletar o fluido e dirigi-lo 
para um caminho detenninado. Esta funi;;ao de direcionador de fluxo, 
muitas vezes, e acompanhada por outra de transformador de energia. 
Assim, por exemplo, numa bomba centrifuga (Fig. 2.2), o sistema diretor 
de safda e fundamentalmente um difusor (diffuser) que transforma parte 
· da energia de velocidade do lfquido que e expelido pelo rotor em energia 
Caixa espiral 
Fig. 2.2 Sistema diretor em forma de caixa espiral de uma bomba centrifuga. 
Mdquinas de Fluxo 45 
Fig. 2.3 Sistema diretor de turbina hidr:iulica do tipo Pelton. 
de pressao. Enquanto isto, numa turbina hidr<iulica do tipo Pelton, o 
sistema diretor (Fig. 2.3) e, em Ultima anfilise, um injetor (noule) que 
transforma a energia de pressffo do fluido em energia de velocidade que 
ser<i fomecida ao rotor atraves de jatos convenientemente orientados. 
Em alguns tipos de m3quinas o sistema diretor nffo se faz presente, 
como nos ventiladores axiais de uso domestico. A existencia do rotor, no 
entanto, e imprescindivel para a caracterizai;;ffo de uma m<iquina de fluxo. 
2.2 Classificai;;3.o das m3.quinas de fluxo 
Entre os diferentes criterios que podem ser utilizados para classificar 
.as m<iquinas de fluxo, pode-se citar os seguintes: 
- segundo a direi;;ao da conversiio de energia; 
- segundo a forma dos canais entre as p3s do rotor; 
- segundo a trajet6ria do fluido no rotor. 
2.2.1 Segundo a diret;ao da conversao de energia 
Segundo a direi;;ao da conversao de energia as m<iquinas de fluxo 
classificam-se em motoras e geradoras. 
M3.quina de fluxo motora ea que transfonna energia de fluido em 
trabalho mec§.nico, enquanto m:iquina de fluxo geradora e a que recebe 
trabalho mecfulico e o transforma em energia de fluido. No primeiro 
tipo a energia do fluido diminui na sua passagem pela m3quina, no 
segundo, a energia do fluido aumenta. 
46 
Sistema diretor 
(Injetor) 
Fig. 2.4 Turbina Pelton (Fonte: WKV). 
Mdquinas de Fluido 
Rotor 
Como exemplos de m3quinas de fluxo motoras, citam-se as turbinas 
hidr:iulicas (Fig. 2.4) e as turbinas a vapor (Fig. 2.5). Entre as mtiquinas 
de fluxo geradoras encontram-se os ventiladores (Fig. 2.6) e as bombas 
centrffugas (Fig. 2.7). 
Sistc1na diretor (injetor) 
Fig. 2.5 Turbina a vapor do tipo Curtis. 
Mdquinas de Fluxo 47 
Sistema iretor (caixa espiral) 
Fig. 2.6 Ventilador centrifugo (Fonte: OTAM). 
Sistema Dirctor (Voluta) 
Fig. 2.7 Bomba centrifuga (Fonte:KSB). 
Algumas miquinas podem funcionar tanto como motores quanto 
geradores de fluxo, como e o caso das bombas-turbinas reversiveis 
(reversible pump-turbines) que, dependendo do sentido do fluxo atraves 
do rotor, funcionam como bombas, girando num sentido, ou como 
turbinas, girando em sentido contrfilio. 
Tambem e com um encontrar uma mliquina de fluxo motora ( turbina 
a g&s) acionando uma miquina de fluxo geradora (turbocompressor), 
48 
T urbooompressor 
Motor 
' pistao 
Turbina a g3s 
Mdquinas de Fluido 
montadas num mesmo eixo, como 
acontece nas ~rbinas de avia9§.o e nos 
turboalimenfudores (turbochargers) 
de motores de combustao interna a 
pistiio (Fig. 2.8). 
2.2.2 Segundo a Jonna dos canais 
entre p6.s do rotor 
Quanto a forma dos canais entre a 
pas do rotor, as maquinas de fluxo 
classificam-se em m<iquinas de a<;fio e 
em mliquinas de rea9ao. 
Fig. 2.8 Turboalimentadordemotora Nas m3quinas de fluxo de ai;3.o 
pistao (Fonte: Schwitzer). (impulse turbomachines), os canais do 
rotor constituem simples desviadores de 
fluxo, nao havendo aumento ou dirninui93.o da pressao do fluido que 
passa atraves do rotor. 
Nas m3quinas de fluxo de reai;iio (reaction turbomachines ), os canais 
constitufdos pelas pas m6veis do rotor tern a forma de injetores (nas turbinas) 
ou a forma de difusores (nas bombas e nos ventiladores ), havendo redu\3.0, 
no primeiro caso (turbinas), ou aumento, no segundo caso (bombas e 
ventiladores ), da pressao do fluido que passa atraves do rotor. 
· Sao exemplos de m<i.quinas de fluxo de a\t'io: a turbina hidr<i.ulica 
do tipo Pelton (Fig. 2.4) ea turbina a vapor do tipo Curtis (Fig. 2.5). 
Como exemplos de m3.quinas de fluxo de rea9ao podem ser citados: as 
bombas centrffugas (Fig. 2.7), os ventiladores (Fig. 2.6) e as turbinas 
hidr<i.ulicas do tipo Francis (Fig. 2.9). 
Fig. 2.9 Turbina hidniulicado tipo Francis lenta. 
Mdquinas de Fluxo 49 
2.2.3 Segundo a trajet6ria do .fiuido no rotor 
Finalmente, segundo a trajet6ria do fluido no rotor, as m<i.quinas de 
fluxo classificam-se em: radiais,~ axiais, diagonais ou de fluxo misto (ou 
ainda, semi-axial) e tangenciais. 
N as m3-quinas de fluxo radiais (radial flow turbomachines ), o 
escoamento do fluido atraves do rotor percorre uma trajet6ria predo-
minantemente radial (perpendicular ao eixo do rotor). Como exemplos 
de m<i.quinas radiais, citam-se as bombas centrifugas (Fig. 2. 7), os 
ventiladores centrifugos (Fig. 2.6) e a turbina Francis lenta (Fig. 2.9). 
13., nas m3quinas de fluxo axiais (axial flow turbomachines), o 
escoamento atraves do rotor acontece numa direr;;ao paralela ao eixo do 
rotor ou axial. Como exemplos de m3.quinas axiais citam-se os ventila-
dores axiais, as bombas axiais (Fig. 2.10) e as turbinas hidr<i.ulicas do 
tipo Helice e Kaplan. 
Fig. 2.10 Bomba axial. 
Quando o escoamento nao e radial nem axial, a m<i.quina e 
denominada de fluxo misto (mixed flow turbomachine), diagonal, ou, 
ainda, semi-axial, com as particulas de fluido percorrendo o rotor numa 
50 Mdquinas de Fluido 
trajet6ria situada sobre uma superficie aproximadamente c6nica. Entre 
as m:lquinas diagonais ou de fluxo misto encontram-se as bombas semi-
axiais (Fig. 2.11 ), a turbina Francis r<i.pida ea t~rbina hidr3.ulica Deriaz. 
Fig. 2.11 Bomba semi-axial ou de fluxo 1nisto. 
Numa m3.quina de fluxo tangencial (tangencial flow turbo-
machine), o jato liquido proveniente do injetor incide tangencialmente 
sobre o rotor. A turbina hidr:lulica do tipo Pelton (Fig. 2.4) e o exemplo 
citado para m8.quina de fluxo tangencial. 
3 
EQUA<;:AO FUNDAMENTAL DAS 
MAQUINAS DE FLUXO 
Este capltulo inicia pelo estabelecimento dos chamados tri.ingulos 
de velocidades, que sao uma fonna geometrica de expressar a equar;;ao 
vetorial que rclaciona o movimento relativo com o movimento absoluto 
das particulas tluidas que percorrem o rotor de uma inti.quina de fluxo e 
ferramenta indispens<ivel para o estudo simplificado do complexo 
escoamento atraves deste tipo de m<iquina. 
Logo a seguir, 1nais do que um rigorismo do tratamento matem<i.tico 
na dcterminar;;ao da equar;;ao que rege o funcionamento de todas as 
1niquinas de fluxo, e feito um esfon;:o para demonstrar o significado 
ffsico dos termos que a compOem. Mesmo com os modernos recursos 
da computar;;ao eletr6nica e os avanr;;os do c<ilculo numerico <las correntes 
fluidas, as simplificay5es adotadas no trata1nento cl<'issico do assunto 
justificam-se por pennitir ao engenheiro um entendimento que certa-
mente facilitara a vinculayao entre a teoria e a pratica neste campo de 
conhecimento. 
As conseqiiencias da presenya de um ntimero finito de pas no rotor 
real da m3.quina sobre a energia calculada pela equayao fundamental 
sao comentadas no final do capftulo, antecipando uma anfilise mais 
detalhada que sera feita no Capftulo 12. A definiyao do grau de reayao, 
fomece um instrumento Util para a caracterizrn;ao dos diferentes tipos 
de m<iquinas de fluxo em funyao da forma como acontecem as trocas de 
energia em seu interior. 
3.1 Tri3.ngulo de velocidades 
A escolha conveniente do sistema de referenciae de grande 
importfincia para o estabelecimento de equay5es em mec§.nica dos 
tluidos. Um escoamento que em relayao a um detenninado sistema de 
52 Mdquinas de Fluido 
referencia seja vari<i.vel, pode, se for escolhido um sistema adequado, 
ser permanente em relayao a este, facilitando, d~sta maneira, o seu estudo. 
Isto podera levar a que o movimento de uma partfcula fluida P seja 
referido a um sistema de coordenadas que, por sua vez, tambem esteja 
em movimento. Este sistema sera, entao, considerado como relativo (0', 
X', Y', Z') e ter3.., no caso geral, um movimentocombinado de translayao 
e rotayao com relayao a outro considerado fixo e chamado de sistema 
absoluto (0, X, Y, Z) (Fig. 3.1). 
z Z' 
p 
.., 
O' X' 
0 
y 
Fig. 3.1 Sistemas de coordenadas absoluto e relativo. 
A relayao entre os vetores posiyiio nos dois sistemas sera: 
(3.1) 
onde: 
R. :::::: vetor posiyao da particula fluida P com relayao ao centro 0 do 
..... sistema absolute; 
R 0 :::::: vetor posiyao do centro O' do sistema relativo com relayao ao 
centro 0 do sistema absoluto. 
~ 
r :::::: vetor posiyao da particula fluida P com relayao ao centro O' do 
sistema relativo. 
~ ~ ~ 
Designando-se por i', j', k' os vetores unit3.rios do sistema de 
coordenadas cartesianas 0', X', Y', Z', e por x', y', z' as componentes 
~ 
do vetor posiyao r neste sistema relativo, pode-se, entao, escrever: 
Equafii.O Fundamental das Mdquinas de Fluxo 
--> --> --> --> 
r = x'i' +y'j' +z'k' 
Derivando a equayao (3.1) Com relayao ao tempo, vem: 
4 dR d R 0 d r 
+ c = 
dt dt dt 
onde: 
4 
dR0 
dt 
53 
(3.2) 
(3.3) 
(3.4) 
e, como tanto as componentes escalares do vetor posiyao r como os 
seus vetores unitarios (podem girar) variam com o tempo: 
--> --> --> --> 
dr :-;dx' :;dy' k-->,dz' ,di' ,dj' ,dk' (3.5) 
---=1 --+J --+ --+x -+y -+z 
ili ili ili ili ili ili ili 
Sabe-se, ainda, que qualquer vetor fixado a um corpo que gira a 
4 
uma velocidade angular m tern uma derivada, com relayi'io ao tempo, 
4 
igual ao produto vetorial (representado pelo sfmbolo x) de ro com o 
vetor considerado. Logo: 
4 
di' --> :; 
-=rox1 · dt , 
4 d ., --> --> 
_J =roxj' 
dt 
4 
d k' --> -->, 
-=roxk 
dt 
(3.6) 
Designando-se por w a velocidade relativa da particula fluida: 
--> dx':; dy'~ dz'k4 ' W=---1 +--J +--
dt dt dt 
(3.7) 
Levando as relai;5es (3.4), (3.5), (3.6) e (3.7) na equai;ao (3.3), 
chega-se a: 
c=c0 +w+roxr (3.8) 
54 Mdquinas de Fluido 
4 _, 
0 produto vetorial ro x r d3 origem a um terceiro vetor, 
4 4 
perpe_gdicular ao piano formado por ro e t"_-. que sera representado 
por u Como nas m3quinas de fluxo em geral (exceto nas helices de 
4 
embarcay5es e aeronaves), c0 = O chega-se a equayao que rege a 
construyao do chamado trifingulo de velocidades (velocity triangle): 
c = w + u (3.9) 
Antes de aplicar esta equayfio as m<i.quinas de fluxo, e interessante, 
para um melhor entendimento do que seja movimento absolute e 
movimento relativo, fazer uma analogia com o movimento das particulas 
de agua da chuva, com relayfio a um referencial fixo e com relayao a um 
referencial em movimento. 
4 
Imaginando uma situayao de chuva torrencial, representa-se por c a 
velocidade das particulas de chuva com relayao a um observador fixo 
4 
(siste1na absoluto) e por u, a velocidade de deslocamento de um 
autom6vel onde se encontra o observador em movimento (sistema 
relativo) (Fig. 3.2). Na visao deste observador, as partfculas de chuva 
incidirao sobre o autom6vel com uma velocidade de m6dulo e direyao 
u 
' 
' ' 
' ' 
' ' 
' ~. i' i' i' i'i' i' i' i' 
c 
(~i_stema ab_solutol I 
u 
+---
Fig. 3.2 Triiingulo de velocidades (analogia com o movimento das partfculas de figua 
da chuva). 
Equapio Fundamental das Mdquinas de Fluxo 55 
~ 
representados pelo vetor w (velocidade relativa), obtido pela aplicayao 
da equayao (3.9), enquanto para o observador fi~o, situado fora do carro, 
as partfculas possuirao uma velocidade com direyao e intensidade 
~ ' 
definidas pelo vetor c (velocidade absoluta). Dependendo da 
~ 
velocidade do autom6vel, ou seja, do m6dulo do vetor u, a chuva 
sequer molhara a sua janela traseira. 
Para a aplicayao do trifulgulo de velocidades as m<iquinas de fluxo, 
considera-se a corrente fluida que circula atrav6s do rotor de um venti-
lador centrffugo, representado, esquematicamente, pelo corte segundo 
um piano meridiano que passa pelo eixo do rotor e pelo corte segundo 
um plano perpendicular ao eixo do rotor (Fig. 3.3). 
~bi~ 
6 
'5 
i 
!4 
3 
I 
T W> 
---t'· 
-Fig. 3.3 Escoamento atraves do rotor de um ventilador centrffugo (m<iquina de fluxo 
geradora). 
~ 
u 
~ 
c 
~ 
w 
a 
p 
Em urn ponto qualquer do rotor, denornina-se: 
= 
= 
= 
= 
velocidade tangencial (peripherical velocity) do referido ponto 
do rotor; 
velocidade absoluta da corrente fluida (absolute velocity of flow); 
velocidade relativa da corrente fluida (relative velocity of flow); 
~ ~ 
3.ngulo que formarn os sentidos positivos de u e c; 
~ 
frngulo que formam o sentido positivo de w com o negativo 
~ 
de u. 
56 Mllquinas de Fluido 
A estes vetores e suas componentes atribuem-se os seguintes fndices: 
3 = um ponto na corrente de entrada na-9 perturbada, situado 
i1nediatamente antes da entrada (inlet) do rotor; 
4 = um ponto situado imediatamente depois da entrada do rotor, 
portanto, ja no espayo entre as pcl.s girat6rias; 
5 = um ponto situado imediatamente antes da saida (outlet) do rotor, 
portanto, ainda no espayo entre as pas girat6rias; 
6 = um ponto na Corrente de safda nilo perturbada, situado 
imediatamente depois da safda do canal m6vel. 
Esta convenyao seni v31ida tanto para maquinas de fluxo geradoras, 
como 6 o caso do ventilador centrifugo utilizado no exemplo, como para 
maquinas de fluxo motoras, estabelecendo uma correspondencia entre 
algarismos e pontos da m:iquina no sentido da corrente fluida (Fig. 3.4). 
I 
r+ h1 .. , 
'3 
4 .--
' 
I 
' 
' 
' 
' '5 
j6 1' ' 
• 
---t<\ ; I -~r- - " '< I J_l~ ~ - - -
" 
Fig. 3.4 Escoamcnto atraves do rotor de uma maquina de fluxo 1notora. 
Considerando-se o rotor radial do ventilador da Fig. 3.3 como 
constitufdo de um nUmero infinito de pas, o que implica na supos1yao 
de pas com espessura infinitesimal separadas por canais tamb6m 
infinitesirnais, pode-se concluir que o fluxo atraves dele ser:i unidi-
mensional e que a corrente fluida sera tangente as pas do rotor, em 
todos os seus pontos. 
Ou seja, as pas serao construfdas de tal forma que nao haja, na sua 
parte inicial, qualquer choque do tluido por mudanya brusca de direyiio, 
com o conseqiiente descolamento da veia fluida ea formayao de v6rtices 
dissipadores de energia. Para que esta condiyiio de ausencia de choque 
aconteya, e necess3rio que a composiyao da velocidade absoluta da 
Equar;ilo Fundamental das Milquinas de Fluxo 57 
corrente fluida c4 , com a velocidade tangencial do rotor, u 4 , para um 
ponto na entrada do rotor, satisfar;a a equar;fio'_f3.9) e de uma direr;fio 
~ 
para a velocidade relativa, w 4 , que seja justamente a da parte inicial da ~ 
pi. 0 vetor w 4 formara o ilngulo P4 com o sentido negativo da velocidade ~ 
tangencial u 4 que sera o pr6prio ilngulo de inclinar;ao das pas na entrada 
do rotor do ventilador. 
0 angulo de inclinar;ao <las pas na saida do rotor sera p
5 
e coincidira 
~ 
com o ilngulo-+ que o sentido positivo de w 5 formara com o sentido 
negativo de u 5 • 
A trajet6ria relativa do fluido, vista por um observador que se 
movimenta solid3.rio ao rotor, acompanhara, pois, a curvatura AEB da 
pa. Ja, a trajet6ria das particulas do fluido para um observador fixo a 
carcar;ada maquina (sistema absoluto), ou seja, a trajet6rj.a absoluta 
AE'B', comer;a com direr;ao da velocidade absoluta c4 , sob urn 
fingulo a 4 , e termina na periferia do rotor com a direr;ao da ~ 
velocidade absoluta c 5 sob um fuigulo a5• Isto porque enquanto uma 
particula de fluido desloca-se ate o ponto E sobre a pa do rotor, no mesmo 
tempo, este ponto ocupara a posir;ao E' com relar;ao ao referencial fixo 
(carcar;a da maquina). Ou seja, EE' sera a trajet6ria do ponto E do 
rotor no mesmo tempo t empregado pela particula de fluido para ir 
de A ate E, de forma que o ilngulo central 8, correspondente ao arco 
EE', seja igual a cot, para uma velocidade angular do rotor constante 
e igual a co. 
Caso exista um sistema diretor colocado ap6s o rotor, as p<is deste 
sistema deverao possuir um fuigulo de inclinar;ao na entrada coincidente 
a a 5, para que possam captar, sem nenhum choque por mudanr;a brusca 
de direr;ao, as particulas de tluido que deixam o rotor. 
Da mesma maneira, a inclinar;ao <las pas de um sistema diretor 
instalado antes do rotor de uma maquina de fluxo motora (turbina 
hidraulica do tipo Franci~ por exemplo) estabelecera a direr;ao com que 
a velocidade absoluta, c
4
, entrara no rotor (Fig. 3.4). 
A Fig. 3.5 representa um triilngulo de velocidades generico que 
traduz a equar;ao (3.9), destacando duas componentes do vetor velocidade 
absoluta, ; , da corrente fluida, a componente na direr;ao da velocidade 
58 Mtiquinas de Fluido 
~ 
tangencial, cu, ea componente medida num plaf!9 meridiano, 
perpendicularmente a_ dire93.o da ve}ocidade tangencial, Cm. 
5 
'" II 
IQ 
Fig. 3.5 Triiingulo de velocidades gen6rico. 
Enquanto a componente tangencial (tangencial ou }Vhirl compo-
nent) de m6dulo c est<i como se ver<i a seguir, intimamente ligada a ener~ia especffica i~~erca~biada entre o rotor e o fluido, a componente 
meridiana (meridional component), de m6dulo cm, esti vinculada a vazao 
da m<iquina, por meio da equar;ao da continuidade: 
(3.10) 
onde· .;s· 
. ~p Q = vazao de fluido que passa pelo rotor, em m3/s; " 
A = area de passagem do fluido, em m2; 
cm= velocidade meridiana, em mis. 
Pela condir;ao de obtenr;ao da equar;ao da continuidade, a 
~ 
con1ponente meridiana cm da velocidade absoluta deve ser sempre 
perpendicular a area A. 
Para as m3.quinas radiais, a componente meridiana possui a direi;ao 
radial, enquanto a area de passagem, desprezando a espessura das pas, 
corresponde a superficie lateral de um cilindro (Fig. 3.6), ou seja: 
A ~ itD b (3.11) 
ondc: 
Equap'io Fundamental das Mdquinas de Fluxo 59 
A = area da sei;ao de passagem, em rn2; 
D di3metro (diameter) da se9ao considerada, em m; 
b largura do rotor (impeller width ou impeller breadth) na se9ao 
considerada, em m. ... 
ROTOR RADIAL ROTOR DE FLUXO MISTO ROTOR AXIAL 
Fig. 3.6 Area de passagem da corrente fluida atraves dos diversos tipos de rotores. 
Para as m3quinas axiais, a componente meridiana tern a dire9ao 
do eixo do rotor e a area de passagem e a superffcie de uma coroa circular 
(Fig. 3.6), calculada por: 
A= n_ (o' -o') 4 c l (3.12) 
onde: 
De= difunetro exterior (tip diameter) do rotor, em m; 
D; = diilmetro interior ou di3metro do cubo (hub diameter) do rotor, 
em rn. 
J a, nas m3quinas diagonais ou de fluxo mis to, a cornponente 
meridiana encontra-se nurna direyao intermediaria entre a radial ea axial 
e a <"irea de passagem corresponde a superffcie lateral de um tronco de 
cone (Fig. 3.6), que pode ser expressa por: 
(3.13) 
60 Mtiquinas de Fluido 
on de: 
De = di§.metro da base rnaior do tronco de con~, em m; 
D = di§.metro da base menor do tronco de con·e, em m; 
' b = comprirnento da geratriz do tronco de cone, em m. 
3.2 Equa~ao fundamental para ntimero infinito de p3s 
Para a determinayao da equa~iio fundamental das m3quinas de 
fluxo, sera considerada a m<"iquina geradora radial representada esque-
maticamente na Fig. 3.7, cujo rotor possui um niimero infinito de pas, 
no qual o escoamento mantern-se em regime permanente e as 
transforma95es acontecem sem perdas energeticas. Ou seja, parte-se da 
suposi93.o de uma maquina ideal, na qual o escoamento e unidimensional, 
congruente com as pas, sem atrito e com fluxo de massa constante. 
Proj~ao do bordo de saida 
da pl! sobre piano meridiano 
Disco dianteiro do rotor 
Projc)<'io do bordo de entrada 
da pii sobre piano meridiano 
Fig. 3.7 M3.quina de fluxo radial geradora (carte longitudinal). 
A energia que o fluido recebe ao interagir com as pas do rotor pode 
ser traduzida num aumento da sua energia de pressao, da sua energia de 
velocidade ou da sua energia de posi93.o (potencial). A transforma93.o 
pode acontecer sob todas as formas de energia citadas ou apenas sob 
um a de las, sen do que a variayao da energia potencial pode ser desprezada. 
Equafiio Fundamental das Mllquinas de Fluxo 61 
0 au men to da energia de pressao ser3. explicado como decorrente 
de duas transformar;Oes separadas, masque, na r~alidade, acontecem ao 
mesmo tempo e de forma inseparavel. Esta simplificac;ao, embora 
grosseira, auxilia o entendimento.,dos fenOmenos ffsicos que ocorrem no 
interior da maquina. A energia de pressao est3.tica que o fluido recebe ao 
passar pelo rotor pode, en tao, ser expressa como a soma de dois termos: 
' Ps - p, u' w' - w' Ye>! = 5 
- u, 
+ ' 5 
2 2 
(3.14) 
on de: 
Y., = 
P, = 
P, = 
p 
u, = 
u, = 
w, = 
w, = 
p 
energia de pressao est3.tica, em J/kg; 
pressao na safda do rotor, em N/m2 ; 
pressao na entrada do rotor, em N/m2; 
massa especffica do fluido em escoamento, em kg/m3 ; 
velocidade tangencial de um ponto situado na safda do rotor, em mis; 
velocidade tangencial de um ponto situado na entrada do rotor, 
em m/s; 
velocidade relativa de uma partfcula fluida na entrada do rotor, 
em mis; 
velocidade relativa de urn a partfcula fluida na safda do rotor, em mis. 
0 primeiro termo traduz o aumento de pressao decorrente da ac;ao da 
forr;a centrifuga sobre as partfculas fluidas, provocado pela diferenc;a das 
velocidades tangenciais de entrada e safda (exceto para rotores axiais ou 
tangenciais, onde u 4 = u5) como conseqi.iSncia do movimento de rotac;ao do 
rotor. Este mesmo efeito gera uma depressao na boca de entrada do rotor, 
fazendo com que o fluido tenha acesso a ela, deslocando-se atraves da 
canalizac;ao de admissao da bomba, impulsionado pela presslio maior existente 
no reservat6rio de succ;ao. 
0 segundo termo deve-se a transformac;ao de energia de velocidade 
em energia de pressao, decorrente da diminui9ao da velocidade relativa 
de w4 para w5 no interior de canais em fonna de difusores constitufdos 
pelas pas do rotor. 
Paralelamente ao aumento de energia de pressao estritica, produz-
se uma transformac;ao de energia sob forma de velocidade, ou energia 
62 Mdquinas de Fluido 
especffica de pressao dinfunica, em razao da diferen9a das velocidades 
absolutas entre a safda e a entrada do rotor. O.!l seja: 
(3.15) Ydin = 
2 
onde: 
Y din = energia especffica de pressao dinfunica ou de velocidade, em J/kg; 
c5 = velocidade absoluta de uma particula fluida na saida do rotor, em 
mis; 
c4 = velocidade absoluta de uma particula fluida na entrada do rotor, 
em mis. 
A energia total entregue ao fluido ao passar pelo rotor da m<iquina 
de tluxo correspondera, entao, a soma dos termos contidos nas equa96es 
(3.14e3.15): 
2 2 2 2 2 2 
U 5 -U4 W 4 -W 5 C5 -c4 +-~-~+--- (3 16) 
2 2 2 
onde: 
Y . = energia ou trabalho especifico intercambiado nas pas do rotor ,,_ 
suposto com nUmero infinito de p.3.s. 
A equac;ao (3.16) e uma das formas de representac;ao da equas;ao 
fundamental para as maquinas de fluxo geradoras. 
Seguindo raciocinio analogo, chega-se a equac;ao fundamental para 
as m3.quinas de fluxo motoras. Ou seja, a energia queo fluido fomece 3.s 
pas do rotor sera: 
(3.17) 
onde, neste caso: 
u' - ' ' ' Ye,1 = P4 - Ps ' 
u, W5 -W 4 
= + p 2 2 
(3.18) 
e 
c2 - c2 
Ydm = 
_, __ 5 
2 
(3.19) 
Equar;ao Fundamental das Mtiquinas de Fluxo 63 
Considerando agora os trifuigulos de velocidade na entrada e na 
saida do rotor e as rela95es trigonom6tricas existentes entre suas com-
ponentes (Fig. 3.5), tem-se que: 
, 
' W4= C~ -2 U 4 Cu4 +u! 
e 
' W5= ' 2 ' Cs- U5Cus+u5 
Levando estes val ores a equac;ao (3.16) e fazendo as simplifica96es 
necessririas, chega-se a: 
onde: 
y 
p.1~ 
u, 
u, 
c 
"' 
c 
"' 
= 
= 
= 
= 
= 
(3.20) 
salto energ6tico ou trabalho especffico fornecido pelas pas do 
rotor ao fluido, em J/kg; 
velocidade tangencial de um ponto na entrada do rotor, em mis; 
velocidade tangencial de urn ponto na saida do rotor, em mis; 
componente tangencial da velocidade absoluta para a entrada 
do rotor, em m/s; 
co1nponente tangencial da velocidade absoluta para a saida 
do rotor, em mis. 
A equagao (3.20) e a forma mais empregada da equai;io fun-
damental para as m3quinas de fluxo geradoras (fundamental equation 
of turbomachines). Esta equagao tambem e chamada de equai;io de 
Euler (Euler equation) para maquinas de fluxo geradoras, em 
homenagem ao cientista sufgo Leonhard Euler que a formulou no seculo 
XVIII. Para se chegar a esta mesma equagao, de uma forma mais 
adequada ao desenvolvimento de Euler, utiliza-se o tratamento vetorial, 
como sera visto adiante. Para tanto, sera considerado o volume de 
controle varrido pelo deslocamento de uma pa do rotor durante uma 
rotagao completa, ou seja, o volume de controle delimitado pela 
superflcie lateral gerada pelo bordo de entrada da pa, pela superffcie 
gerada pelo bordo de safda da pa, pelo disco dianteiro e pelo disco traseiro 
do rotor (Fig. 3.7). A equa93.o do momento da quantidade de movimento, 
desenvolvida naMecfullca dos Fluidos, pode ser escrita da seguinte maneira: 
----·-------
64 Mdquinas de Fluido 
~ (~ ~ )( ~ ~) d (~ ~) M= [ rxc pc.dA +at[ rx_c (pdv) (3.21) 
onde: 
~ 
M 
~ 
= momento da quantidade de movimento do sistema considerado, 
com relagao a um ponto de referencia fixo; 
r = vetor posigao de uma partfcula de fluido; 
c = velocidade de uma particula de fluido com rela93.o ao referencial 
_, fixo; 
dA = vetor representativo de um elemento de area da superffcie de 
controle considerada; 
p = massa especifica do fluido; 
dv = volume elementar de fluido. 
Nesta equa93.o, o simbolo "x" representa o produto vetorial, e o 
slmbolo ".", o produto escalar de dois vetores. 
Na aplica93.o em maquinas de fluxo interessa calcular o momento 
da quantidade de movimento da equagao (3.21) com relagao ao eixo do 
rotor. Como as tens5es tangenciais sao ignoradas nos limites da superficie 
de controle (fluido ideal) e as press5es que atuam sobre a mesma n3.o 
contribuem para a produ~ao de um momento com relagao ao eixo, pode-
se, entao, escrever: 
on de: 
Mpj== momento ou torque exercido pelo rotor, suposto com nrimero 
infinito de pas, sobre o fluido, com relagao ao eixo de rotas;ao; 
r distfincia radial do eixo ate a particula de fluido considerada; 
cu componente tangencial da velocidade da particula de fluido. 
Para regime permanente: 
(3.22) 
.~ ... 
Equarao Fundamental das Mdquinas de Fluxo 65 
Como s6 existe fluxo atraves <las superffcies de entrada, A4, e de 
saida, A5, aplicando a equayao (3.22) a superficie,que delimita o volume 
de controle considerado, tem-se: ... 
M,,_ = f ''°"' [pc, dA, cos(90 + o:J] + fr, c,, [pc, dA, cos(90- ex,)] 
A4 A5 
Pelo triilngulo de velocidades, sabe-se que: 
e que 
Levando estes valores na equayao anterior e considerando os pro-
dutos r4 cu4 e r5 cu5 constantes ao longo das superffcies de entrada e 
safda (fluxo unidimensional), respectivamente, diz-se que: 
Mp.i== -r4cu4P Jcm4dA4 + rsCusP fcni5dA5 
A4 A5 
Pela equayao da continuidade, as integrais representam a vazao, 
Qr, que passa atraves das se\:6es A4 e A5 do rotor. Logo, pode-se 
escrever: 
(3.23) 
De acordo com a equayao (1.28), a potencia necess<lria para acionar 
o rotor ideal considerado sera: 
onde: 
p 
··-
ffi 
p 
Q, 
r, 
= 
(324) 
potencia fornecida pelo rotor suposto com nUmero infinito de 
pas, em W; 
velocidade angular de rotac;ao do rotor; 
massa especifica do fluido, em kg/m3; 
vazao que passa atraves do rotor, em m3/s; 
raio de safda do rotor, em m; 
-------------·------
66 Mdquinas de Fluido 
r 4 = raio de entrada do rotor, em m; 
cuS = componente tangencial da velocidade ab ... soluta de safda, em mis; 
c u4 = componente tangencial da velocidade abSoluta de entrada, em mis. 
Esta potencia PP""' sera a responsavel pelo acrescimo de energia 
Y P""' que idealmente o fluido sofreria ao interagir com um rotor de 
nlimero infinito de pas. Ou seja, pela equac;ao (1.24), pode-se escrever: 
p =pQ y pa.. r pa= (3.25) 
Comparando-se as equay6es (3.24) e (3.25), conclui-se que: 
(3.26) 
Ou, ainda, como u5 =co r5 e u4 =co r4, chega-se novamente a 
equa,ao (3.20): 
Aplicando raciocinio an<llogo ao escoamento de um fluido atraves 
do rotor de uma turbina, chega-se a equai;;ao fundamental para as 
maquinas de fluxo motoras: 
(3.27) 
onde: 
Y pa"'= salto energetico ou trabalho especffico fornecido pelo fluido a 
um rotor com nllmero infinito de p<is, em J/kg. 
No caso das turbinas hidr<lulicas, normalmente procura-se evitar a 
componente de giro na saida do rotor para reduzir as perdas por atrito 
no tubo de suci;;3.o (drqft tube) da turbina. Isto e obtido quando cus = 0, 
correspondendo a um 3.ngulo a5 = 90°. Neste caso, a equayao 
fundamental para miquinas de fluxo motoras reduz-se a: 
(3.28) 
Equar;iio Fundamental das Mdquinas de Fluxo 67 
Esta equa98.o constitui um born ponto de partida para o projeto da 
maquina. Mas para o fluido real, com a varia9iip das condi96es de fluxo 
no sistema diretor e no rotor, resulta, muitas vezes, que o rendimento 
6timo niio se alcan9a para c05 = 0, sendo recomendavel o uso da equa9ao (3.27) completa. 
Para as maquinas de fluxo geradoras desprovidas .de pas diretrizes 
antes do rotor, como as bombas e os ventiladores centrifugos, nor-
malmente o fluido chega ao bordo de ataque das pas do rotor com um 
fulgulo a4 = 90°, fazendo com que cu4 = 0 e levando a equa98.o 
simplificada: 
(3.29) 
3.3 Fator de deficiencia de potencia 
Ate aqui se analisou a situa98.o de uma maquina de fluxo ideal, 
com nllmero infinito de pas no rotor, onde o escoamento pode ser consi-
derado unidimensional e perfeitamente guiado pelas pas. Numa maquina 
de fluxo motora real, com um nllmero finito de pas, a corrente fluida 
segue o contomo das pas sem desprendimentos notaveis e a aplicai;iio 
da teoria unidimensional conduz a resultados que concordam com os 
experimentais. Portanto, nenhuma corre9ao se faz necessfilia e pode-se 
sempre adotar: 
y = 
'"° 
Y. (3.30) 
'" 
ou, ainda: 
p = 
pL P. 
onde: 
Y.= 
"' 
p = ,, 
,. 
energia ou trabalho especifico intercambiados no rotor suposto 
com nrimero finito de pas, em J/kg; 
potencia intercambiada no rotor suposto com nllmero finito de 
pas, em W. 
Isso niio acontece com as maquinas de fluxo geradoras, onde a 
energia que um rotor real, com nllmero finito de pas, entrega ao fluido 
68 Mdquinas de Fluido 
e menor que a esperada a partir da considera98.o de um rotor ideal, com 
nllmero infinito de pas, fazendo-se necessario ... a utiliza9iio de um fator 
de corre9iio que leve em conta tal diferen9a. Este fator, adimensional, 
denominado de fator de defiCiencia de potencia (slip factor), repre-
sentado pelo simbolo µ, sera sempre menor ou igual a 1, aumentando 
com o aumento do nllmero de pas do rotor, conforme sera visto no 
Capitulo 12.Para maquinas de fluxo geradoras, tem-se entao: 
ypj = µ ypU= (3.31) 
e 
p .= µ p. 
pa pa= 
E importante salientar que o fator de cteficiencia de potencia n:ao e 
um rendimento, uma vez que niio leva em considera9iio perdas ener-
g6ticas, mas a impossibilidade de se atingir uma situa9iio idealizada. Ou 
seja, uma maquina de fluxo geradora real entregara menos energia ao 
fluido do que uma com nllrnero infinito de pas no rotor, corn as mesmas 
dimensOes e mesma velocidade de rota9ao. 
3.4 Grau de reat;3o te6rico 
Ao passar pelo interior de uma maquina de fluxo, o fluido sofre 
transforma96es de energia de pressao e de energia de velocidade ( energia 
de pressao dinamica). A propor9iio de energia que e intercambiada sob 
forma de pressiio estatica e fator importante para a classifica9ao das 
maquinas de fluxo e, para um detenninado tipo de maquina, conduz a 
determinadas peculiaridades de projeto. A forma <las pas, o grau de 
admissao (parcial ou total) e muitos outros parfunetros de constru98.o, 
estiio intimamente associados a rela9iio entre a varia98.o da energia de 
pressiio est3tica ea varia9ao total de energia no rotor, denominada grau 
de reat;3o (degree o,freaction). 
Quando o escoarnento atraves do rotor e considerado ideal, isto e, 
sem perdas, esta grandeza e chamada de grau de reat;iio te6rico e, assim, 
expressa: 
Equa<;iio Fundamental das Mdquinas de Fluxo 69 
(3.32) 
on de: 
p1 = grau de reac;iio te6rico, adimensional; 
YP,, = energia (salto energetico) especffica intercambiada no rotor con-
siderado com nlimero finito de pas, em J/kg; 
Y0, 1 = energia especffica de pressiio est<itica, em J/kg; 
Y din = energia especffica de pressiio dinfun:ica ou de velocidade, em J/kg. 
0 grau de reac;iio te6rico normalmente esta compreendido entre 0 
(zero) e 1 (um), mas pode ser tambem menor que 0 e maior que 1, 
servindo para classificar as m<iquinas de fluxo em m:iquinas de a~ii.o, 
quando o grau de reac;ao te6rico for igual a 0 e em m:iquinas de rea~ii.o, 
quando o grau de reac;iio for diferente de 0. 
Nas m<iquinas de fluxo que trabalham com fluido compressfvel 
(turbinas a vapor, por exemplo ), ainda que o grau de reac;ao defina-se, 
as vezes, como a relac;ao entre a energia de pressao e a energia total 
intercambiada no rotor, e mais freqtiente defini-lo como a relac;ao entre 
o salto entfilpico no rotor e a variac;ao total de entalpia na m<iquina ou 
num est<igio da m<iquina, considerando as transformac;Oes como 
isentr6picas (Fig. 3.8), ou seja: 
p, (3.33) 
onde: 
h. = entalpia do fluido na admissao da m<iquina ou de um est<igio da 
m<iquina, correspondente a uma pressao pa e a uma temperatura 
t,, em J/kg; 
h4, = entalpia na entrada do rotor, correspondente a pressao p4 ea uma 
transformac;ao isentr6pica, em J/kg; 
h5, = entalpia na saida do rotor, correspondente a pressao p5 ea uma 
transformac;ao isentr6pica, em J/kg. 
70 
h 
4, 
h4, -----------
sa= &j= S5 
Fig. 3.8 Diagrama h = f (s) para turbina a vapor ou a gas. 
Mdquinas de Fluido 
r, 
s 
Saliente-se que, nas maquinas de fluxo que trabalham com fluido 
considerado compressfvel (turbinas a vapor e turbinas a gis), e freqtiente 
misturar, numa mesma maquina de varies est<igios, est<igios de ac;ao e 
de reac;ao e inclusive fazer que em um mesmo estigio o grau de reac;ao 
varie da entrada para a saida. 
4 
PERDAS DE ENERGIA EM 
MAQUINAS DE FLUXO 
No capftulo anterior, a equar;ao fundamental foi determinada 
para uma m<iquina onde o fluido de trabalho era ideal (sem visco-
sidade), a rugosidade das paredes era desconsiderada, as folgas 
supostas inexistentes e o escoamento acontecia de maneira perfei-
tamente tangencial as pas do rotor e do sistema diretor, sem desco-
lamentos das superffcies de contato. No entanto, estas hip6teses 
simplificadoras nao sao encontradas nas m<iquinas reais, onde as 
transformar;5es acontecem com degradar;ao de energia, as folgas entre 
as partes rotativas e as partes fixas sao uma necessidade construtiva, 
o fluido de trabalho e viscoso e as perdas apresentam-se como ine-
vitiveis. 0 conhecimento da origem e da magnitude destas perdas de 
energia da ao projetista condi95es de minimiza-Ias, permitindo a 
construyao de maquinas de elevado rendimento. 
Embora, em algumas situa96es, a reduyao dos custos de fabri-
cayao prepondere sobre uma sofisticayao tecnica do projeto, exemplos 
·podem ser citados, demonstrando a importfincia da melhoria do rendi-
mento, principalmente, em m8.quinas de grande porte. 0 aumento de 
t % no rendimento de um turbocompressor radial para g<is natural 
com pressao na descarga de 40 MPa e potencia de acionamento da 
ordem de 10 MW, significa uma reduyao de 100 kW na potencia 
do motor de acionamento, com a correspondente economia de energia. 
A reduyao de 1 % no rendimento de uma das turbinas hidniulicas do 
tipo Francis da Central Hidreletrica de Itaipu, no rio Paran3, com 
700 MW de potencia, levaria a uma reduyao de 7000 kW na potencia 
gerada, equivalente a potencia total de uma Pequena Central 
Hidreletrica, como a de Furnas de Segredo, no rio Jaguari, RS. 
72 Mdquinas de Fluido 
As perdas de energia, os rendimentos que as representam e suas 
implicay5es no c3lculo da potencia das m.4quinas de fluxo serao 
abordados neste capftulo. ' 
4.1 Tipos de perdas 
Pelo Primeiro Princfpio da Termodinfunica, sabe-se que a energia 
nao pode ser criada ou destrufda, mas apenas transformada. 0 que se 
costuma chamar de perdas (losses) sao, na realidade, processos irrever-
sfveis que ocorrem no funcionamento das m<iquinas, onde formas de 
energia mais nobre como a mec<lnica, por exemplo, degradam-se, 
transformando-se em formas de energia de qualidade inferior, como o 
calor e a energia interna. 
Nas m8.quinas de fluxo, as perdas classificam-se em internas e 
externas. Como perdas internas englobam-se as perdas hidr<iulicas, as 
perdas por fugas ou volum6tricas, as perdas por atrito de disco e, no 
caso das m<iquinas de admissiio parcial, as perdas por ventilayao. As 
perdas externas silo, essencialmente, as perdas mecfinicas. 
As perdas hidr3ulicas (hydraulic losses) sao as mais importantes 
nas m<iquinas de fluxo e originam-se do atrito do fluido com as paredes 
dos canais do rotor e sistema diretor, da dissipayffo de energia por 
mudan9a brusca de seyao e direyao dos canais que conduzem o fluido 
atraves da m3quina e tamb6m pelo choque do fluido contra o bordo de 
ataque das pas, que tern lugar quando a m3quina funciona fora do ponto 
nominal ou ponto de projeto. Este choque e produzido na entrada das 
pas m6veis do rotor, quando a tangente a p3 na entrada nao coincide 
com a direyao da velocidade relativa, e na entradadas pas fixas do sistema 
diretor, quando a tangente a pa nao coincide com a direyao da velocidade 
absoluta da corrente fluida, dando origem a turbilh6es provocados pela 
separa9ao da camada limite (descolamento) do fluido em escoamento 
das paredes que o conduzem (Fig. 4.1). 
Perdas de Energia em Mtiquinas de Ffuxo 
.. 
I> 8 
\ 
I 
• 7 ~ \, L.----""'-~. ;'!;:·· 6 
~ 5 
\ 
\ 4 
'\ 3 
\ 
Fig. 4.1 Turbilh6es provocados por descolamentos da corrente fluida. 
73 
A rugosidade das superffcies fixas e m6veis e o nUmero de Reynolds 
exercem grande influencia sobre as perdas de carga por causa do atrito. 
Quando a camada limite laminar cobre as irregularidades da parede, a 
superffcie pode ser considerada polida. 
Particularmente, para as maquinas de fluxo com rotores de canais 
estreitos, onde o acesso para polimento e dificil, a rugosidade pode criar 
perdas consideraveis. Co1no as velocidades no interior de uma maquina 
de fluxo siio, em geral, elevadas, o escoamento, quase sempre, encontra-
se na zona de turbulencia completa (tubos rugosos), onde o coeficiente 
de atrito (friction .factor) f niio varia com o nUmero deReynolds, mas 
somente com a rugosidade relativa. Neste caso, as perdas hidraulicas 
silo proporcionais ao quadrado da velocidade e, como as 3.reas das sei;;6es 
de escoamento permanecem constante, tambem proporcionais ao 
quadrado da vaziio. Esta conclusiio niio se aplica ao bombeamento de 
Oleos de grande viscosidade, onde a influencia do nU.mero de Reynolds 
sobre o coeficiente de atrito nao pode deixar de ser considerada, podendo-
se chegar a zona de escoamento laminar. 
74 Mtiquinas de Fluido 
Como as perdas hidrrl.ulicas provocam uma perda na energia 
especffica intercambiada entre as pas do rotoc e o fluido de trabalho, 
pode-se escrever, para maquinas de fluxo geradoras: 
(4.1) 
onde: 
Y ¢ ::= energia especffica que teoricamente as pas do rotor entregariam 
ao fluido, em J/kg; 
Y ::= energia especffica disponfvel pelo fluido na safda da maquina, 
ou, salto energetico especffico na maquina, ou, ainda, a energia 
que realmente o fluido recebe do rotor, em J/kg; 
EP ::= energia especffica referente as perdas hidraulicas, em J/kg. 
Para maquinas de fluxo motoras, a equac;iio sera: 
Y ~Y-E pa p (4.2) 
on de: 
Yr" ::= energia especffica que realmente as pas do rotor recebem do fluido, 
em J/kg; 
Y ::= energia disponivel pelo fluido na entrada da maquina, ou, salto 
energetico especffico na maquina, ou, ainda, a energia que 
teoricamente o fluido entregaria ao rotor, em J/kg; 
Er ::= energia especffica referente as perdas hidrrl.ulicas. 
As perdas por fugas (leakage losses) ou perdas volumetricas 
ocorrem atraves das inevitaveis folgas existentes entre a parte rotativa e 
a parte fixa da maquina, separando recintos com press6es diferentes 
(Fig. 4.2). Essas folgas podem variar de alguns ctecimos de milimetros, 
por exemplo, em bombas para indU.strias de processo, ate varios 
milimetros, por exemplo, em ventiladores comuns de baixa pressiio. A 
massa ou volume que por ai escoa carrega uma quantidade de energia 
que sera considerada perdida durante 0 funcionamento da maquina. 
Perdas de Energia e111 Mdquinas de Fluxo 75 
-~ --------
' 
Fig. 4.2 Perdas por fugas em maquinas de tluxo. 
A Fig. 4.2 representa, do eixo para a esquerda, o corte longitudinal 
de uma m<lquina de fluxo motora e, do eixo para a direita, o corte longi-
tudinal de uma m<lquina de fluxo geradora. De acordo com esta figura, 
a quantidade de fluido que passa pelo rotor da m<lquina e, conseqiien-
temente, participa do intercilmbio de energia, e: 
- para m<iquinas de fluxo motoras: m, = m mf (4.3) 
- para maquinas de fluxo geradoras: m, = m + mf (4.4) 
Onde: 
ri1 = 
• 
fluxo m<issico que passa pelo interior do rotor, em kg/s; 
ri1 = fluxo m<lssico que passa pelas canaliza95es de admisslio e des-
carga da maquina, em kg/s; 
Inr = fluxo m<issico que passa atraves das folgas, em kg/s. 
Como ill. = p Q, sendo p a massa especffica do fluido em kg/m3 
e Q a vazao em m 3/s, as equa95es (4.3) e (4.4) poderao ser escritas, 
respectivamente, para m<iquinas motoras e miquinas geradoras: 
Q, = Q - Q, (4.5) 
Q, = Q + Q, (4.6) 
76 Mdquinas de Fluido 
onde: 
Q, = vazao que passa pelo interior _do rotor, eqi m3/s; 
Q = vazao que circula pelas canaliza95es de admisslio e descarga da 
maquina, em m3/s; 
Qr = vazao de fugas, em m 3/s. 
A energia perdida por fugas, Er sera entlio: 
mf Qr E, =- Y_, = -Y. 
m1=Qpa (4.7) 
Como a vazao Qr varia proporcionalmente a se9lio da folga ea raiz 
quadrada da diferen9a de pressiio entre os dois lados da folga, a energia 
perdida por fugas cresce com o aumento da folga e com o salto energetico 
especffico da m3.quina. 
0 rotor e como um disco que gira dentro de uma carca9a. Ideahnente, 
o disco deveria girar no vazio, mas, na realidade, a carca9a encontra-se 
preenchida pelo fluido de traba1ho e as faces externas deste disco, por atrito, 
arrastam as particulas fluidas que se encontram aderidas a ele, provocando 
um movimento do fluido no espa90 compreendido entre o rotor e as paredes 
da carca9a. Este movimento consome uma determinada potencia, que, 
ocorrendo durante o tempo de funcionamento da m<lquina, caracteriza a 
denominada perda de energia por atrito de disco (disk friction loss). A 
potencia consumida por atrito de disco pode ser expressa por: 
(4.8) 
onde: 
Pa = potencia perdida por atrito fluido, em W; 
K = coeficiente adimensional que depende do nUmero de Reynolds; 
p = massa especifica do fluido de trabalho, em kg/m3 ; 
u = velocidade tangencia1 correspondente ao difunetro exterior do rotor, 
emm/s; 
D = diilmetro exterior do rotor, em m. 
As perdas por atrito de disco sao tfpicas das m<iquinas de fluxo, 
ainda que, nas m3.quinas axiais, este tipo de perda seja muito pequeno e 
possa, em geral, ser desprezado. Tratando-se de rotor radial semi-aberto, 
-
Perdus de Energia e1n Mdquinas de Fluxo 77 
com s6 uma superficie de contato, ou, de um rotor de dupla admissiio, 
P, tera a metade do valor expresso pela equa9ii9 (4.8). 
As perdas por ventilac;3.o (wind.age losses) s6 tern lugar nas m<lquinas 
de fluxo de admissiio parcial e saO muito import.antes nos est:agios de a93.0 
das turbinas a vapor e das turbinas a gas. Elas se originarn pelo contato das 
pas inativas do rotor com o fluido que se encontra no recinto onde ele gira. 
De maneira anfiloga as perdas por atrito de disco, estas perdas sao diretamente 
proporcionais a massa especifica do fluido de trabalho e crescem com o 
aumento do difimetro do rotor, da altura das pas, da velocidade de rota9iio e 
tambem quando diminui o grau de admissao. 
As perdas descritas, denominadas perdas intemas das m3.quinas de 
fluxo, rem como caracterfstica comum o fornecimento de cal or ao fluido 
de trabalho e, conseqilentemente, o aumento da sua entalpia de descarga. 
Algumas vezes a energia de velocidade de saida nas turbinas tambem 
e considerada como perda hidr<'iulica e, conseqiientemente, como perda 
intema da m<'iquina, porque, embora o projetista busque reduzir a velo-
cidade de saida no rotor <las turbinas, visando ao melhor aproveitamento 
possivel da energia cin6tica, um valor finito desta velocidade toma-se 
necess<'irio para transportar o fluido para fora da m<'iquina. Se a energia 
de velocidade de safda nilo for utilizada, por exemplo, em outros est<'igios 
da m<i.quina, ela configurari uma perda e, nas turbinas a vapor, aumenta 
a entalpia do vapor na descarga. 
Finalmente, e importante mencionar as perdas mec3nicas 
(mechanical losses), conseqilencia do atrito nos mancais e nos dispo-
. sitivos de vedayao por contato (nas gaxetas e nos selos meciinicos, por 
exemplo), e do atrito do ar com superfi'.cies rotativas, tais como volantes 
e acoplamentos. As perdas nos dispositivos de transmissfio e no acio-
namento de 6rgilos auxiliares, tais como, reguladores de velocidade e 
bombas de 61eo, tambem podem ser consideradas como perdas meci-
nicas. 0 calor gerado por estas perdas, normalmente, nao e transmitido 
ao fluido de trabalho, daf serem chamadas tambem de perdas externas. 
As perdas nos mancais dependem do peso da parte rotativa suportada 
por eles, da velocidade tangencial do eixo e do coeficiente de atrito 
entre as superffcies em contato, enquanto, nas gaxetas, aiem da velo-
cidade tangencial do eixo, do coeficiente e da superffcie de atrito, e 
importante considerar o grau de aperto da sobreposta da gaxeta. Quanto 
maior este aperto, maior sera a pressffo exercida pela gaxeta sobre o 
eixo e maiores serilo as perdas mecinicas correspondentes. 
78 Mdquinas de Fluido 
4.2 Potencias e rendimentos em m3quinas de fluxo 
De acordo com os v3rios tipos de perdaS, anteriormente descritas, 
definem-se os diversos rendi'mentos <las miquinas de fluxo, que se 
classificam em: 
• rendimento hidr3.ulico (hydraulic efficiency), Tjh, que leva em con-
siderayffo as perdas hidrJ.ulicas, assim expresso: 
- para mJ.quinasde fluxo motoras: 
(4.9) 
- para m<i.quinas de fluxo geradoras: 
(4.10) 
• rendimento volumetrico (volumetric efficiency), riv' que considera 
as perdas por fugas, definido pelas equay5es: 
- para m3quinas de fluxo motoras: 
ri:t- m 
T\ = ' 
' m 
Q-Q, 
Q 
- para m3quinas de fluxo geradoras: 
T\,=-~m~_ 
m +illr = Q + Q, 
(4.11) 
(4.12) 
• rendimento de atrito de disco (disk friction efficiency), TJ
3
, que 
engloba as perdas por atrito de disco e ventilayilo, assim definido: 
- para mJ.quinas de fluxo motoras: 
(Y -E, )(m-ril, )- P, 
(Y -E,)(m-m,) (4.13) 
Perdas de Energia em Mdquinas de Fluxo 
- para m:iquinas de fluxo geradoras: 
(Y+E,)(m+m,) 
11
' = (Y + E, )(m + m, )-l- i\. 
79 
(4.14) 
Pela equai;ao (1.24), a potencia disponivel para acionar uma 
maquina de fluxo motora, e: 
P=mY=p QY 
on de: 
P = potencia disponivel para acionar a maquina, em W; 
m = fluxo massico do fluido de trabalho, em kg/s; 
Y = salto energetico disponivel para acionar a maquina, em J/kg; 
p = massa especifica do fluido de trabalho, em kg/m3; 
Q = vazao de entrada na maquina, em m3/s. 
No entanto, a potencia realmente fornecida pelo fluido de trabalho as 
pas do rotor, ja descontada a potencia consumida para veneer as perdas 
intemas, e denominada de potencia interna da m3quina. Ou seja: 
P, = (m. m, )(Y. E, )· P, (4.15) 
on de: 
Pi = potencia interna de uma maquina de fluxo motora, em W. 
A relai;ao entre a potencia interna e a potencia disponivel define o 
chamado rendimento interno, (internal efficiency) 11;: 
P, 
11, = p (4.16) 
Multiplicando os rendimentos calculados pelas equa96es (4.9), ( 4.11) e 
(4.13), e levando em considerai;ao a definii;ao do rendimento interno, 
chega-se a: 
P, 
=p=YJ, (4.17) 
80 Mdquinas de Fluido 
Da mesma maneira, para maquinas de fluxo geradoras, obtem-se: 
p 
Tl;= p=Tlh Tlv Tla 
' 
( 4.18) 
onde: 
p = potencia disponi'.vel llO fluido que sai da mJ.quina, OU potencia que 
efetivamente o fluido recebeu ao passar pela m<iquina, em W; 
P
1 
= potencia interna, ou potencia consumida para veneer as perdas 
internas e fornecer a potencia disponivel, em W. 
Nas maquinas de fluxo que trabalham com fluidos compressiveis 
(turbinas a vapor, turbinas a gas e turbocompressores), o processo de 
expansao ou compressao e considerado adiab<itico, porque, mesmo com 
as elevadissimas temperaturas do fluido de trabalho nas maquinas atuais, 
a quantidade de calor transmitido para o meio ambiente, atraves da 
carcai;a, e insignificante em compara9ao com a quantidade de calor por 
unidade de tempo que o fluido de trabalho faz circular pela maquina. 
Nestes casos, pela facilidade da leitura direta <las entalpias nos 
diagramas h-s (Fig. 4.3), costuma-se tratar as perdas internas de maneira 
global, definindo 0 rendimento interno, para maquinas de fluxo motoras, 
coma: 
h . h Tl; = a d 
ha - hd, 
(4.19) 
on de: 
ha = entalpia do fluido de trabalho na admissao da turbina, em J/kg; 
hd = entalpia do fluido na descarga da turbina, supondo expansao 
adiabatica, em J/kg; 
hd, = entalpia do fluido na descarga da turbina, supondo expansao 
isentr6pica, em J/kg. 
Perdas de Energia em Mdquinas de Fluxo 81 
h h 
P• d po 
Adiabfltica 
po P• 
Isentr6 ica 
d, Isentr6pJ.c? __ 
MAQUINA DE FLUXO MOTORA MAQUJNA DE FLUXO GERADORA 
Fig. 4.3 Processos de expansao e compressao representados em diagramas h = f (s) 
para mliquinas que trabalham com fluido compressive!. 
As equa95es (1.21) e (1.8) permitem escrever para a energia dispo-
nfvel e para o trabalho especffico intemo, respectivamente: 
Y= h, - h,, =C, (T, - T,J (4.20) 
(4.21) 
onde: 
Y1 = trabalho especffico intemo, em J/kg; 
CP = calor especffico 8. pressiio Constante do fluido de trabalho, em J/ 
kgK; 
T. = temperatura abso1uta do fluido na admissiio da m<iquina, em K; 
T <.1, = temperatura absoluta do fluido na descarga da m3.quina, supondo 
uma transfonna9ffo isentr6pica, em K; 
T <.1 = temperatura absoluta do fluido na descarga da m3.quina, para 
transforma9ffo suposta adiab3.tica, em K. 
Considerando o calor especffico constante, pode-se escrever: 
(4.22) 
82 Mdquinas de Fluido 
Para m3.quinas de fluxo geradoras, chega-se a: 
T\, (4.23) 
e 
(4.24) 
As perdas mecftnicas sffo expressas por meio do rendimento me~ 
c3nico (mechanical efficiency), llm' definido, nas m3.quinas de fluxo 
motoras, corno a rela9ffo entre a potencia obtida no eixo e a potencia 
interna. Ou: 
p 
11 =~ 
m P; 
Para m3.quinas de fluxo geradoras, tem-se: 
P, 
llm =p 
' 
on de: 
Pe= potencia no eixo da maquina, em W. 
(4.25) 
(4.26) 
Levando em considera9ffo todas as perdas que acontecem nas 
m<iquinas de fluxo motoras, pode-se, entao, definir o rendimento total 
(total efficiency ou gross efficiency), 11
1
, grandeza adimensional, ·como a 
rela9ao entre a potencia obtida no eixo e a potencia disponfvel para 
acionar a m3.quina. Ou seja: 
(4.27) 
E, para as maquinas de fluxo geradoras, o rendimento total sera 
definido corno a rela9ao entre a potencia que o fluido recebe ao passar 
pela m<iquina (potencia disponfvel) e a potencia fornecida no seu eixo 
por um motor de acionamento. Ou: 
Perdas de Energia em Mdquinas de Fluxo 
_ _l'__mY _p Q Y 
Tl, -p - p - p 
c c c 
83 
(4.28) 
A partir <las equa,oes (4.16), (4.17), (4.25) e (4.27) pode-se escrever, 
para miquinas de fluxo motoras: 
(4.29) 
Para as miquinas de fluxo geradoras, tamb6m se chegaria a mesma 
relac;ao entre o rendimento total e os demais rendimentos. 
Pelas equa96es (4.27) e (4.28) pode-se, enti'io, calcular a potencia 
no eixo, em W, no Sistema Internacional de Unidades: 
- para miquinas de fluxo motoras: Pe = p Q Y fl 
1 
(4.30) 
, . d fl d P pQY 
- para maqu1nas e uxo gera oras: c = ---
Tl, 
(4.31) 
onde a massa especffica, p, e expressa em kg/m3; a vazi'io, Q, em m3/s; 
a energia disponfvel, Y, em J/kg e o rendimento total, fl,, e adimensional. 
No Sistema T6cnico de Unidades, a partir da equac;i'io (1.25), tem-
se a potencia, em CV: 
- para miquinas de fluxo motoras: Pe y Q H TJ, 
75 
- para miquinas de fluxo geradoras: Pe = "{ Q H 
75 Tl, 
(4.32) 
(4.33) 
onde o peso especffico, y, e expresso em kgf/m3; a vazi'io, Q, em m3/s; a 
altura de queda (para turbinas) ou altura de elevac;i'io (para bomb as), H, 
em m e o rendimento total, flt, e adimensional. 
Como ~p = y H , para ventiladores, e muito utilizada a seguinte 
expressi'io, no Sistema T6cnico de Unidades: 
(4.34) 
84 Mdquinas de Fluido 
onde a potencia no eixo, Pc, e expressa em CV; a diferenc;a de pressi'io 
total produzida pelo ventilador, ~p1, em mmCl\_; a vaziio, Q, em m 3/s e 
0 rendimento, flt' e adimension~l. . 
4.3 Grau de reac;ao real 
0 Grau de Rea9i'io Te6rico, definido no item 3.4, pode ser 
completamente calculado em fun9i'io das velocidades obtidas nos 
triJ.ngulos de velocidades para a entrada e safda do rotor da miquina de 
fluxo. Constitui-se, desta maneira, em uma ferramenta extremamente 
Util para o engenheiro projetista, principalmente como elemento de 
compara9i'io entre os diferentes tipos de rotor. 
Entretanto, muitas aplica96es requerem o conhecimento, com base 
em medi96es externas, da real propor9iio de energia de pressi'io estitica 
desenvolvida pela m3.quina em comparac;i'io com a energia total 
disponfvel. Com este objetivo, define-se o Grau de reac;iio real, que 
leva em conta as perdas que ocorrem no interior da miquina. 
(4.35) 
P re"l = y y 
onde: 
P = Grau de rearfio real, adimensional; real Y 
dp = diferenra de pressi'io estitica entre a admissi'io e a descarga da 
· est Y 
m3.quina, em N/m2; 
~pdin= diferenc;a de pressi'io dinamica entre a admissi'io ea descarga da 
miquina, em N/m2 ; 
p = massa especfficado fluido de trabalho, em kg/m3; 
Y = energia especifica disponfvel, em J/kg. 
Esta grandeza permite, no caso dos ventiladores, o conhecimento 
das condi96es de velocidade de escoamento do fluido na boca de descarga 
e pode ser representada por: 
(4.36) 
Perdas de Energia en1 Mdq11inas de Flttxo &5 
on de: 
Lip1::::: diferenga de pressao total produzida pelo vel)tilador, em Nlm 2• 
Por analogia com a equagao "(3.16), pode-se escrever para a diferenga 
de pressao total, Lip
1 
onde: 
pd::::: pressao na boca de descarga do ventilador, em Nlm1 ; 
P,::::: pressao na boca de admissao do ventilador, em Nlm1 ; 
(4 37) 
cd::::: ve!ocidade do fluido na boca de descarga do ventilador, em mis; 
c.::::: velocidade do fluido na boca de admissao do ventilador, em mis. 
Quando o ventiiador aspira diretamente da atmosfera, pode-se 
considerar P,,::::: 0 (pressao relativa) e c"::: 0, obtendo-se: 
(4.38) 
4.4 Exercicios resolvidos 
I. 0 projeto original da Usina Hidrel6trica de Dona Francisca, no rio 
Jacuf, previa J 28,2 MW de potencia instalada, com duas unidades 
de turbinas do ti po Kaplan de 64, 1 MW cada uma. A altura de queda 
disponfvel e de 39 m. Supondo que as caracterfsticas construtivas das 
turbinas apresentem os seguintes valores: n::: 163,6 rpm; De::: 4,24 m; 
D/D =043· TI =096·TI =I 00· TI =I 00· TI =098· C = C = 
1 e ' ' 'lh ' ''Iv ' ' 'I a ' ' "Im ' ' rn4 m5 
c5 (para todos os diiimetros do rotor) e considerando a massa especffica 
da <igua, p::: 1000 kg/m3, calcular: 
a) a vazao nominal (de projeto) de cada turbina; 
b) o fi.ngulo de inclinagao das pas na entrada do rotor, para o diiimetro 
exterior; 
c) o ingulo de inclinagao das pas na entrada do rotor, para o diiimetro 
interior. 
86 Mdquinas de Fluido 
SOLU\:AO: . 
O trabalho especffico ou salto energ6tico ~pecffico que 6 fornec1do 
pela <igua a turbina pode ser ~etenninado baseado na altura de queda 
disponfvel, ou seja: 
Y = g . H = 9,81 . 39 = 382,59 J/kg 
Levando em conta todas as perdas que acontecem na m3.quina, o 
rendimento total e calculado pela equagao (4.29): 
TI = Y\ . n . n . Y\ = 0,96. 1,0. 1,0. 0,98 = 0,94 
'It h 'Iv '1 a m 
Valendo-se da equagao (4.30), chega-se, entao, a: 
Q=~= 64,1.10' -178,24m'/s (Resposta a) 
p.Y.Y\, 1000.382,59.0,94 
D, = 0,43.D, = 0,43.4,24=1,82m 
u = n.D,.n = n.4,24.163,6 = 36,32 m/s 
' 60 60 
u = n.D,.n = n.1,82.163,6 _ 15,59 m/s 
' 60 60 
As equa95es (3.10), (3.12), (4.5) e (4.11) pennitem escrever: 
4.Q.Y\, _ 4.178,24.1,0 _ 15 47 m/s 
c'" n (D; -D: ( n (4,242 -1,822 ) , 
Pela definigffo de rendimento hidr<iulico para m<iquinas motoras(Eq.4.9): 
Y,, = Y.Y\, = 382,59.0,96 = 367,29J/kg 
Nos rotores de m3quinas de fluxo axiais, as linhas de corrente do 
fluido percorrem superffcies cilfndricas coaxiais, onde, para cada difi-
metro u ::::: u = u Levando esta condiglio a equagao fundamental das 
, 4 5 • 
m<iquinas de fluxo motoras (3.27), tem-se: 
Esta equagao e v3lida para todos OS difimetros dos rotores de m<iquinas 
de fluxo axiais. 
Perdas de Energia em Milquinas de Fluxo 87 
Para m<iquinas de fluxo motoras, a equa93.o (3.30) indica: 
y ==Y 
"' "' 
J<ique cm5 ==c5 ~o:: 5 =90°~cu5 =Omls .. 
Y _ . Y,, 367,29 pa - ue.cu4e .. cu4e:::: - = --- :::: 10,11 mis 
u, 36,32 
c,,, = Y,, = 367 '29 = 23,56 mis 
u, 15,59 
Fig. 4.4 Triilngulos de velocidades para o diilmetro exterior e interior do rotor da turbina. 
Entao, pelos trifingulos de velocidades da Fig. 4.4, obt6m-se: 
tgp"' = cm4e 
15,47 
0,59 p« = 30,55° (Resposta b) 36,32-10,11 .. ue-Cu4e 
tg p,, cm4i 15,47 1,94 p,, =117,26° (Resposta c) 23,56-15,59 .. cu4i -ui 
2. Um ventilador centrifugo movimenta 120 m3/s de gas com massa es-
pecifica igual a 1,2 kg/m3, aspirando de uma cfunara a pressao de 
1080 Pae insuflando em outra a pressao de 2160 Pa, com uma velo-
cidade de insufla93.o de 15 mis. Na aspira93.o ha um filtro onde se 
produz uma queda de pressao (perda de carga) de 540 Pa. No conduto 
de aspira9ao produz-se uma perda adicional de 834 Pa, e no con-
duto de descarga, uma perda de 1226 Pa. Sabendo-se que o ven-
tilador possui as seguintes caracteristicas: n = 336rpm;cm
5
=15,6 mis; 
D 5 == 4,43 m; o:: 4 = 90°; Tlh == 0,8; 11, == 0,76 e considerando-se 
ntlmero infinito de p<is com espessura infinitesimal, calcular: 
88 Mtiquinas de Fluido 
a) a diferen9a de pressao total a ser vencida pelo ventilador; 
b) a potencia consumida no seu eixo; 
c) o fingulo de inclina9ao das pas na saida do rotor. 
SOLU<;AO: 
A diferen9a de pressao total produzida pelo ventilador deve ser capaz 
de veneer a diferen9a de pressao entre a cfimara de descarga e a cfunara 
de aspira93.o (pd - Pa), a perda no filtro (A.pf), a perda no conduto de 
aspira9ao (8.pn), a perda no conduto de descarga (A.pd) e ainda fornecer 
uma pressao dinfimica (p din) correspondente a velocidade de insufla93.o 
na cfunara de descarga. Ou seja, um balan90 de energia entre a admissao 
e a descarga do ventilador indicaria: 
1'p, = (p, -p, )+1'p, +1'p, +1'p, +p.,, 
c' (15)' 
onde: p . = p--" = 1 2 -- = 135 Pa 
dm 2 ' 2 
1'p, =(2160-1080)+540+834+1226+135=3815Pa (Resposta a) 
Y=1'p, = 3815 =3179,17J/kg 
p 1,2 
Pela equar;fio (4.31), tem-se: 
P, = p.Q.Y = 1,2.120.3179,17 
T], 0,76 
602369 W = 602,37 kW (Resposta b) 
TI .D 5 .n n .4,43.336 u = --· - = 77,94rn/s 
' 60 60 
Para ntlmero infinito de pas : µ == 1 . ·. 
3179,17 
0,8 
3973,96J/kg 
A equa9ao fundamental para m<iquinas de fluxo geradoras radiais e: 
ypi= ==U5.Cu5-U4.Cu4 
Como a. 4 = 90° ~ cu4 = 0 
3973,96 
77,94 
50,99rn/s 
Perdas de Energia em Mdquinas de Fluxo 
Tm~~ 
: : U1 
i c~ ~ 
Fig. 4.5 Triilngulo de velocidades para a safda do rotor do ventilador. 
Pelo trifingulo de velocidades da Fig. 4.5 pode- se escrever: 
tg~' 15,6 
77 ,94-50,99 
0,5788 ~' = 30,06° 
(Resposta c) 
89 
3. 0 turboali1nentador de um motor de combustao interna do ti po Diesel 
e composto por um turbocompressor centrifugo e por uma turbina a 
g<is de fluxo centripeto e rotor radial, acoplados por um mesmo eixo 
(Fig. 4.6), girando com uma velocidade de rotac;ao de 110000 rpm. A 
turbina e movimentada pe1o gas de combustao proveniente do esca-
pamento do motor Diesel e aciona o turbocompressor que, por sua 
vez, insufla uma maior quantidade (em comparac;lio com o motor na-
turalmente aspirado) dear para o interior da cfunara de combustao do 
motor, pennitindo a injec;ao de mais combustfvel e o conseqtiente 
aumento da potencia. 0 gas, de calorespecffico Cpgas = 1,11 kl/kg K 
considerado constante, entra na turbina com uma temperatura de 
600°C, massa especffica de 0,96 kg/m3, e e descarregado a uma 
temperatura de 467°C. Enquanto isto, ar de expoente adiab<itico k = 
1,4 e Rar = 287 J/kg K (Constante do gas) e admitido no turbocompressor 
com uma pressao de 100 kPa e temperatura de 20°C. O rotor da 
turbina possui di3.metro de entrada, D 4 = 76 mm, largura de entrada, 
b4 = 10 mm e 3.ngulo de inclinac;ao das pas, b4 = 90°. 0 rendimento 
volumetrico da turbina e llvT = 0,97. 0 rendimento interno do turbo-
compressor e ll;c = 0, 75. 0 rendimento mecfuiico do turboalimentador 
e T\mT = 0,94, atribufdo integralmente 8_ turbina para efeito de Cti}culo. 
Considerando o fluxo m<issico de gas,ril = 0,223 kg/s, igual para a 
turbina e para o turbocompressor, ou seja, desprezando o fluxo massico 
correspondente ao combustfvel, e considerando a expansao e a com-
pressao como processos adiabaticos, calcular: 
90 Mdquinas de Fluido 
a) a potencia no eixo da turbina; 
b) o 3.ngulo de inclinac;ao na saida das p<ls.. do sistema diretor que 
antecede o rotor da turbina; 
c) a pressao na descarga do 'turbocompressor; 
d) a temperatura do ar na descarga do turbocompressor. 
Turbocompressor 
Turbina a gas 
Motor a pistiio 
Fig. 4.6 Representa9iio esquem:itica do turboalimentador.SOLU(:AO: 
Para distinguir as grandezas, sera utilizado, adicionalmente, o fndi-
ce "C" quando essas corresponderem ao turbocompressor, e o indice 
"T", quando se referirem a turbina. 
T = 600 + 273 = 873 K 
•T 
T,T=467 + 273 = 740 K 
A equac;ao (4.21) estabelece: 
Yff = c .. ,JT,T -T,., )= 1,11(873- 740)=147,63 kJ/kg 
Pff =ril.Y;T =0,223.147,63=32,92kW 
P,T =P;T-11mT =32,92.0,94=30,94kW (Resposta a) 
Perdas de Energia em Milquinas de Fluxo 91 
Com base no triilngulo de velocidad es, para ~ 4 = 90° : 
n. D, . n = rc . 0,076 .110000 ~ 437 73 mis cu4 =u4 60 60 ' 
De acordo com a expressao (1.23), a vaziio de gas na admissao da 
turbina e: 
Q = _Iii_ = 0·223 = O 232 'I aT , m S 
pg''' 0,96 
A equa<;fto da continuidade (3.10) ea equa~ao (4.11), que define o 
rendimento volurnetrico de uma m<iquina de fluxo motora, permitern 
escrever: 
Q.,T _ rc.D 4"b4.Cm4 :. 
11,.T 
Cm< = Q,,.Tj~T - 0,232.0,97 94,25 mis 
n.D 4 - 4 n.0,076.0, 010 
Ainda, do triingulo de velocidades, obtern-se: 
- cm, - 94,25 - 0 2153 tga 4 -------- , 
c,, 437,73 
a, = 12,15" (Resposta b) 
Como a potencia no eixo do turbocompressor ea mesrna da turbina 
. e uma vez que o rendimento do conj unto ja foi considerado no cii.lculo 
da potencia no eixo da turbina, pode-se escrever llte = Tlic· E, com base 
da equa<;1io (4.31 ), que perrrrite calcular a potencia no eixo do turbo-
compressor, chega-se a: 
y = Pcc·l11c 
c . 
m 
30,94.0,75 
0,223 
I 04,058 kJ/kg = 104058 J/kg 
A temperatura absoluta do ar na admissao do turbocompressor 
e: Tac= 20 + 273 = 293 K. Desprezando o fator de cornpressibilidade 
(Zac = Zac = 1 ), a equa~ao (1.17) permite calcular o trabalho especffico 
de uma compressao isentr6pica. Ou seja: 
92 Mciquinas de Fluido 
k 
.. Pde= P,c[i+ k Ye J k-1 
--R .T~e k-l ar u 
IA 
l 104058 ] 1.4- 1 = 100 . 2,885 = 288,5 kPa (R°'posta c) Pac= 100 1+ ~ 287 . 293 1,4 -1 
Da equa~ao ( 1.15), para transforma<;ao isentr6pica, vem: 
k-1 
T,,, =T,,(P'c]' =293(2,885)
1
;'.;' =396,59K 
P"c 
Pela defini~ao de rendimento internopara mii.quinas de fluxo geradoras 
que trabalham com fluidos compressfveis (equa<;fto 4.24), tem-se: 
True -Tac T =T True -T.c = 293 + 396,59-293 ll;c - T T dC aC + 0 75 
<IC - a(" ll;c ' 
t" = 158,12 "C (Resposta ct) 
4.5 Exercicios propostos 
1. Cada uma das turbinas Francis da Usina Hidre16trica da Toca (Siste-
ma Canastra da CEEE) foi projetada para uma potencia no eixo 550 
kW, girando a uma rota<;ffo 900 rpm, quando submetida a urna altura 
de queda de 42 m. Desprezando a espessura das pii.s sabendo que o 
fingulo de inclina~ao das pii.s na entrada do rotor e ~4 = 90° econ-
siderando: a 5 = 90°; llh = 0,81; T)m = 0,96; llv = 0,98; 11,. = 1,00; 
c = 12 6 mis· c = 10 0 mis e D !D5 = 1,7, calcular: m4 ' 'mS ' 4 
a) o fingulo de inclinagao na said.a das pas do sistema diretor; 
b) o diimetro de entrada do rotor da turbina; 
c) a largura de entrada do rotor da turbina; 
d) o grau de rea~ao te6rico da turbina. 
Respostas: 
a)a,=34,6°; b) D,=388mm; c) b,= 111 mm; d)pt=0,41 
Perdas de Energia em M<iquinas de Fluxo 93 
2. Um rotor de bomba centr{fuga de 260 mm de di3.metro de safda, des-
carrega 72 m3/h de agua, guando opera a 3480 rpm. 0 8.ngulo de 
inclinayao das pas ea largura na safda do rotor sao, respectivamente, 
~5 = 22° e b5 = 5 mm . Cotlsiderando CX.4 = 90° ; llv = 0,95 ; 
rih=0,75 e µ=0,77,pressaonaadmissaodabomba,pa=-49,05 
kPa, canalizay6es de entrada e safda com o mesmo di3.metro e niveladas, 
calcular a pressao que sera indicada no man6metro de descarga da 
bomba. 
Resposta: pd= 898,6 kPa 
3. Uma usina hidrel6trica possui urna altura de queda de 1130 me uma 
vazao disponfvel de 2,7 m3/s para acionar uma turbina Pelton gue devera 
girar a 600 rpm. Considerando nulas as perdas na tubulayao adutora que 
leva 8.gua da barragem ate a turbina, e nulas as perdas na turbina pro-
priamente di ta, determinar para c = 0 mis e p. = 1000 kg/m3 : 5 agua 
a) o raio do rotor Pelton (distftnciade seu eixo de rotayao ao eixo geome-
trico do jato); 
b) o diftmetro do jato d'&gua incidente; 
c) a potencia obtida no eixo da turbina; 
d) o grau de reayao te6rico da turbina. 
Respostas: 
a) R = 1,184 m; b) d. = 152mm; c) P = 29900kW; d) p = 0 
J ' ' 
4. Um ventilador axial projetado para fomecer uma vazao Q = 3,0 m3/s 
dear com mass a especffica p = 1,2 kg Im 3 , uma diferenya de pressao 
total 8p 1 = 630,6 Pa , girando com uma velocidade de rotayao n = 
2850rp1n, possui o rotor com as seguintes caracterfsticas: De= 0,5 m; 
D, = 0,25 m ; ex,= 90° ; n, = 0,85 ; n, = 0,90 ; nm= 0,98 ; n, = 1,0 
e cm4 =ems:::: c'" . Considerando infinite o nllmero de pas do rotor, 
calcular: 
a) a inclinayao das p<is na entrada do rotor para o seu diimetro extemo; 
b) a inclinayao das pas na safda do rotortambem para o cliimetro extemo; 
c) o seu grau de reayao te6rico. 
Respostas.- a) P, = 16,88°; b) P, = 18,84°; c) P, = 0,94 
94 Mdquinas de Fluido 
5. 0 rotor de um ventilador centrifugo que insufla ar de massa especffica 
p = 1,2kg/m3 , com 8pt =576Pa apre~nta as seguintes caracte-
rfsticas: n=l200rpm; ~ 5 =135°; r1. 4 =90°; b5 =b4=70mm; 
D5 =350mm; D4 =280mm; µ=0,8; !J. =0,75; n, =0,88; 
Tl. = 0,98; llm = 0,95. Desprezando a espessura das pas, calcular: 
a) a potencia no eixo do ventilador; 
b) o ftngulo de inclinayao das pas na entrada do rotor. 
Respostas.- a) P, = 914 W; b) ~ 4 = 45,6° 
6. Durante o ensaio de uma bomba foram efetuadas as seguintes medidas: 
- pressffo na descarga da bomba: pd = 343 kPa; 
- pressao na admissao da bomba: Pa = -39 kPa; 
- vazao: Q = 0,0065 m3/s; 
- momento toryor no eixo da bomba: Me = 45,6 Nm; 
- velocidade de rotayao da bomba: n = 13,33 rps. 
Determinar a potencia disponfvel (potencia lltil) da bomba, a potencia 
consumida (potencia no eixo) e o seu rendimento. Os diimetros das 
canalizay5es de sucyao e de recalque sao iguais. Supor que as tomadas 
de pressao sejam efetuadas num mesmo nfvel. 
Respostas.-a)P=2,48kW; b) P, =3,82kW; c) T\, =0,65. 
7. A turbina a vapor de uma pequena central termel6trica que usa bio-
massa como combustfvel apresenta as seguintes caracteristicas: 
- pressao do vapor na admissao da turbina: Pa= 2,0 MPa; 
- temperatura do vapor na admissao da turbina: ta= 350°C; 
- pressao na descarga da turbina a vapor: pd= 0,02 MPa; 
- rendimento intemo da turbina: Tji = 80%; 
- rendimento mecfulico da turbina: Tjm = 98o/o. 
Sabendo-se que a potencia gerada no eixo da turbina e 2700 kW, 
calcular o fluxo m<issico de vapor que nela circula. 
Resposta.- m=4,07kg/s = 14,66t/h. 
5 
SEMEf,HAN(::A E 
GRANDEZAS ADIMENSIONAIS 
Imagine-se a concorrencia internacional para o fornecimento das 
turbinas para a Central Hidreletrica de Tucurui (3980 MW, na primeira 
etapa), no rio Tocantins. Somente o rotor do tipo Francis de uma destas 
turbinas possui um di3.metro de 8,40 m, pesando cerca de 300 t, atraves 
do qual passa uma vazffo de 600 m 3/s. Como os grandes cons6rcios que 
participaram da concorr6ncia garantiriam a potencia a ser produzida 
pela turbina e o seu rendimento? Seriam construidos prot6tipos em escala 
real e ensaiados em gigantescos laborat6rios? E, nao vencendo a 
concorrencia, como os fabricantes compensariam os grandes 
investimentos efetuados para 0 desenvolvimento da maquina em tamanho 
real? 
Por outro lado, i1nagine-se a dificuldade da realizar;ao de medi96es 
em minllsculas turbinas, acionadas por ar comprimido, como as utilizadas 
em equipamentos odonto16gicos. 
A resposta a estas e outras quest6es, como, por exemplo, a variar;ao 
das caracterfsticas de uma bomba centrffuga funcionando com diferentes 
velocidades de rotar;ao ou de uma turbina hidr<iulica operando com altura 
de queda variUvel, sera encontrada neste capftulo, durante a abordagem 
da teoria dos modelos ou semelhanr;a entre m<iquinas e no emprego das 
grandezasreferidas a valores unit<irios de algumas caracterfsticas das 
maquinas de fluxo. 
As grandezas adi1nensionais, tamb6m aqui definidas, certamente 
representarao um grande auxflio para os novos projetistas, pelo acesso 
que pennitem ao conhecimento ja acumulado sobre o assunto e contido 
em publica96es especializadas, independentemente do sistema de 
unidades utilizado, possibilitando uma primeira e segura orientar;ao para 
o projeto de uma nova miiquina. 
96 Mdquinas de Fluido 
5.1 M3quinas de fluxo semelhantes 
Enquanto a construr;ao de modelos reduzidos de m<iquinas de fluxo 
diminui o risco de uma execuy'ao err6nea de miiquinas de grande porte, 
a construyao de modelos aumentados muitas vezes se faz necessaria 
para facilitar as medi96es durante os ensaios. Uma condiyao, no entanto, 
toma-se indispensiivel para a completa validade da teoria dos modelos 
(theory of models). Os modelos, tanto aumentados como reduzidos, 
devem ser geometrica, cinemiitica e dinamicamente semelhantes as 
miiquinas projetadas (Fig. 5.1). 
• 
. 
PROT6TIPO MODELO REDUZIDO 
Fig. 5.1 M:iquinas semelhantes. prot6tipo e modelo reduzido. 
A semelhant;a geometrica (geometrical similarity) implica na pro-
porcionalidade das dimens6es lineares, igualdade de angulos e nenhuma 
omissao ou adir;fio de partes. 
Ou seja, para que uma miiquina de fluxo modelo (ind.ice "m") seja 
geometricamente semelhante a m<iquina prot6tipo (fndice "p") e neces-
s<irio que: 
D b. D, 
----2£_ = _____:iE_ = __ r = k 0 = constante 
D5m b5m 04,,, 
(5.1) 
on de k e denominada escala geom6trica ou fa tor de escala (size ratio), 
G 
e que: 
e (5.2) 
Semelhanra e Grandezas Adimensionais 97 
J a a semelhan«;a cinem3tica (kinematic similarity) implica em que 
velocidades e acelera96es, para pontos correspou.dentes, sejam vetores 
paralelos e possuam rela9fio constante entre seus m6dulos, ou seja: 
. 
cm4p cu5p u5p 
- --=--=--=kc =constante 
C m4m C u5rn U Sm 
(5.3) 
onde kc e denorninada de escala de velocidades (ratio of velocities). 
Para a obtenyao da semelhan«;a diniimica (dynamic similarity), a 
condiyao e que tipos identicos de foryas sejam vetores paralelos e que a 
relayao entre seus m6dulos seja constante para pontos correspondentes. 
Ou seja: 
Fiucir~i• P = Fatrito P = k =Constante 
Fincrda m Fatrito rn D 
(5.4) 
onde ~ e denominada de escala dinfunica (ratio of forces). 
A semelhanya dinfunica pode ser provada formalmente e, com base 
na an:ilise dimensional, conclui-se que duas m:iquinas serfio dina-
micamente semelhantes quando para as duas cumprirem-se, simul-
taneamente, a igualdade no nllmero de Reynolds, do nllmero de Mach, 
?o nllmero de Froude, do nllmero de Weber e do nllmero de Euler. 
Para se evitar os inconvenientes do grande nllmero de condi96es, 
estuda-se detidamente na teoria dos modelos, qual das fon;;as (de 
viscosidade, de compressibilidade ou el:istica, de gravidade, de tensfio 
superficial ou em razao de um gradiente de press6es) ea preponderante 
no fen6meno que se quer estudar. Nas m:iquinas de fluxo, em geral, a 
igualdade do nllmero de Reynolds e a condi93.o mais importante para a 
semelhan9a dinfimica. 
Entretanto, a igualdade do nllrnero de Reynolds e a semelhan9a 
geometrica de rugosidade, espessura e folgas nem sempre sao realiz<lveis, 
o que traz uma influencia sobre o rendimento, denominada de efeito de 
escala (size effect). Em conseqil@ncia, a experi@ncia com modelos nao 
permite prever, com precisao, o rendimento do prot6tipo. Na pr<ltica, 
sao empregadas f6rmulas empfricas de corre93.o, que permitem passar 
98 Mdquinas de Fluido 
do rendimento do modelo ao rendimento do prot6tipo, levando em consi-
derayao o efeito de escala. Entre estas, pode-se,eitar: 
A F6rmula de Moody, segundo Stepanoff, 1 'para bombas: 
~=[Dm 1)-;[Hm J){O 
l-T\ 1m DP) Hp) 
onde: 
11ir = rendimento total 6timo do prot6tipo; 
llcm = rendimento total 6timo do rnodelo; 
(5.5) 
D m = difunetro caracteristico do rotor do rnodelo, normalmente, D5, para 
rotores radiais, e De, para rotores axiais; 
DP = difimetro caracteristico do rotor do prot6tipo; 
Hm = altura de eleva93.o do modelo; 
HP = altura de eleva9fio do prot6tipo. 
No caso e1n que H = H , vem: 
' m 
(5.6) 
A F6rmula de Hutton, de acordo corn a NB-580,2 para turbinas 
Htlice (propeller) e Kaplan: 
[ ]'·' 1-llcp =03 + 07 Rem 1- ' ' R T\ cm ep 
onde: 
R.m = nUmero de Reynolds do modelo; 
R•r = nUmero de Reynolds do prot6tipo; 
com o nUmero de Reynolds sendo definido como: 
STEPANOFF, A. l Centrifugal and axial pumps. 
(5.7) 
ASSOCIA<;:AO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS. Recept;iio em mode/us de turbi-
nas hidrdulicas: NB-580. 
Semelhanr;a e Grandezas Adimensionais 99 
(5.8) 
onde: 
R. = nllmero de Reynolds, adimensional; 
D = difunetro caracteristico do rotor da turbina, normalmente, D , em 
' 
m; 
v = viscosidade cinem<ltica do fluido, em m2/s; 
g = acelerac;ao da gravidade do local da instalac;iio, em m/s 2; 
Hn = altura de queda nominal ou de projeto, em m. 
A F6rmula de Moody, segundo a NB-580,3 para turbinas do tipo 
Francis: 
1-11,, (Dm ly, 
1-Tlun = DP ) 
(5.9) 
onde: 
D m = diametro caracteristico do rotor do modelo, normalmente, D 4 ; 
DP = diametro caracteristico do rotor do prot6tipo. 
Para turbinas Pelton, onde o efeito de escala nao e considerado, a 
NB-5804 indica: 
1l1p =1l1m (5.10) 
A F6rmula de Ackeret, de acordo com a AMCA Standard,5 para 
ventiladores: 
l-ll,, =0,5 + 0,5(R,m Y' 
1-Tlem Rep ) 
Ibidem. 
Ibidem. 
ANCA Standard. Test code for air moving devices. 
(5.11) 
100 Mtiquinas de Fluido 
onde: 
11 = rendimento est<ltico 6timo do prot6tipo; • ... 
~ . 
1lem = rendimento est<itico 6tim~ do modelo; 
Rem = nUmero de Reynolds do modelo; 
Rep= nUmero de Reynolds do prot6tipo. 
Para os ventiladores, costuma-se definir o nllmero de Reynolds 
(Reynolds Number) como: 
R =7tnD2 
' v 
(5.12) 
onde: 
n = 
D = 
v = 
velocidade de rotac;iio do ventilador, em rps; 
difunetro caracteristico do rotor do ventilador, normalmente D 5 , 
para ventiladores radiais, e, D., para ventiladores axiais, em m; 
viscosidade cinem3.tica (kinematic viscosity) do fluido de trabalho, 
em m2/s. 
Logo, nos casos de velocidade de rotac;iio e viscosidade do fluido 
iguais para modelo e prot6tipo, a equac;iio (5.11) reduz-se a: 
1 ( JOA __:_Tl_e,,_ = 0 5 + 0 5 D m 1 ' , 
-llem DP 
(5.13) 
As f6rmulas de corre93.o citadas, embora exista a dificuldade de 
serem feitas medidas precisas nos grandes prot6tipos, apresentam 
resultados bastante satisfat6rios nas aplica96es pr<lticas. 
5.2 Grandezas unit.arias 
Para a obten93.o das grandezas unit:irias (unit characteristics), 
serao utilizadas as leis aproximadas de semelhanc;a, que ignoram a 
semelhanc;a dinfunica e requerem, como condiyiio, apenas a semelhanc;a 
geometrica e cinem<ltica, supondo, ainda, a igualdade de rendimentos 
entre as m<lquinas semelhantes. 
Semel!u111ra e Grandezas Adin1ensionais IOI 
Seja uma mriquina de fluxo geradora com os seguintes valores de 
projeto: 
n = velocidade de rotac;:iio, em rps; 
Y = salto energetico especffico d<fmriquina, em J/kg; 
Q = vazao fornecida pela m<lquina, em m3/s; 
D = difilnetro caracteristico do rotor da maquina, em m; 
P. = potencia consumida no eixo da mriquina, em W; 
cm= componente meridiana da velocidade absoluta da corrente fluida 
para o di3.metro D; 
cu= componente tangencial da velocidade absoluta da corrente fluida 
para o di&metro D; 
u = velocidade tangencial do rotor, para o di3.metro D. 
Fazendo-se variar a velocidade de rotac;:ao desta mriquina ate atingirum 
valordetenninado n', coma os &ngulos se man tern constantes, os triJ.ngulos 
de velocidades sao semelhantes e os m6dulos das velocidades guardam a 
mesma relac;:ao de proporcionalidade (item 5.1).Ou seja, a escala de 
velocidades kc mantem-se constante: 
(5.14) 
on de os val ores u ·, c'u e c'm correspondem a nova rotac;:ao, n'. 
Logo, utilizando aequw;ao fundamental simplificada das mJ.quinas de 
fluxo geradoras e considerando o rendimento hidrJ.ulico constante, pode-se 
escrever: 
e 
onde Y' e o salto energ6tico especffico correspondente a velocidade de 
rotac;:ao n'. 
Dividindo membro a membro as express5es anteriores, vem: 
y u c 
-~ --" 
Y' u' c~ 
y 
Y' k' c (5.15) 
102 Mdquinas de Fluido 
Tomando por base aequac;:ao (5.14), tem-se: 
u' re D'n' n' kc=-=---~-
u n:Dn n 
(5.16) 
uma vez que, por se tratar da mesma m<iquina, D' = D . 
Substituindo o valor de kc da equac;:ao (5.16) na equac;:iio (5.15), 
chega-se a: 
(5.17) 
Pela definic;:ao da vazao, para uma sec;:ao generica da mJ.quina, pode-
se escrever, supondo constante o rendimento volu1n6trico: 
e 
D,, Q'- _n __ ' 
-11v 4 cm 
onde Q' ea vazaorecalcadapelamiiquinaquando glracom a velocidade n'. 
Dividindo, membro a membro, as equac;:Oes anteriores, tem-se: 
Q n (5.18) 
Q' n' 
Considerando rendimento total e massa especffica do fluido de 
trabalho constantes, pode-se escrever para as potencias no eixo: 
e 
, p Q'Y' p ~--· 
' ri, 
P, Q y 
p; Q' Y' 
Levando-se a esta Ultima equac;:ao os valores de (5.17) e (5.18), 
chcga-se a: 
P, ~(.re.)' 
P' ' 
' n 
(5.19) 
Semelhanr;a e Grandezas Adimensionais 103 
onde P: corresponde a potencia consumida no eixo para uma velocidade 
de rotar;ao n'. '.._ 
Ja que, neste caso, D'=D", as equa96es (5.17), (5.18) e (5.19) 
representam as leis de variai;ao (similarity laivs), para uma mesma 
m<lquina, do salto energ6tico espec{fico, da vazao e da potencia no eixo, 
em funr;ao de uma variar;ao da velocidade de rotar;ao. E, apesar de terem 
sido deterrninadas para uma m<lquina geradora, sao perfeitamente vfilidas 
tambem para m<iquinas de fluxo motoras, como poderia ser demonstrado. 
No caso particularemque Y' = Y1 =1 J/kg pormeio das equar;5es 
(5.17), (5.18) e (5.19), chega-se as equar;5es das grandezas unitarias no 
Sistema Internacional de Unidades: 
onde: 
Q - Q. 1--u· yn 
(5.20) 
n1 = velocidade de rotai;ao unit:.iria (unit speed), em kg 112/J112 s; 
Q1 = vaz3o unitaria (unit capacity), em m3 kg 112/J112 s; 
Pe1 = potencia no eixo unit:.iria (unit brake horsepower), em W kg312/ 
J312. 
No Sistema T6cnico de Unidades, para H 1 = 1 m, tem-se: 
n 
n = --· 1 ]/ ' H12 
onde: 
p p = _,_ 
el 3/ 
HI' 
n
1 
= velocidade de rotar;ao unitaria, em 1/m112 min; 
Q 1 = vazfio unitfilia, em m3/ m 112 s; 
Pe1 = potencia no eixo unitfilia, em CV /m
312; 
n = velocidade de rotar;ao, em rpm; 
(5.21) 
H = altura de elevar;ao, para bombas, ou altura de queda, para turbinas, 
emm. 
Q = vazao, em m3/s; 
Pe = potencia no eixo, em CV. 
104 Mciquinas de Fluido 
As equag5es (5.21) nos dao a lei de variagao da rotagao, vazao e 
potSncia no eixo de uma turbina hidr<iulica postapara trabalhar em queda 
vari<ivel, sem qualquerdispositivo de regulagem,jri qlie, co mo suas dimens6es 
pennanecem inalteradas, as grandezas unit<itias mantSm-se constantes para 
os di versos valorcs da altura de queda. :E como se tratassem de rniquinas 
semelhantes para as quais o fator de escala kG = 1. 
Sem alterar as dimens5es da maquina considerada, chegou-se as 
equag5es (5.20) simplesmente fazendo-se variar a sua velocidade de rotar;J.o 
ate que se atingisse um valor do salto energ6tico especffico Y 1 = 1 J/kg. 
Com ba.<;e nesta situar;ao, procura-se constntirurna miquina geon1etricamente 
semelhante, com urn diimetro caracterfstico do rotor D11 = 1 m, mantendo-
se o salto energCtico especffico constante. As grandezas correspondentes a 
este tipo particular de rnaquina, as quais se atribuiri a designac;ao de 
grandezas biunit3rias, constituem-se em val ores caracterfsticos para uma 
serie de miquinas de fluxo semelhantes. 
De acordo com a equagao fundamental simplificada das m8.quinas de 
1luxo, o salto energCtico especffico Y1=1 J/kg pode serrnantido constante, 
considerando-se tambem constante o rendimento hidr<iulico e supondo-se 
u
11 
= 0
1 
e cuu =Cui· Como conseqtiSnciada semelhangacinem3.tica, tambem 
setemCm11 =cm1• Logo, para Y 11 =Y1 =1J/kg e D11 =lm, vem: 
Como D 1 =D e 
on de: 
n 
n 1 = ----v2 , vem: 
y 
(522) 
n
11 
= velocidade de rotagao biunitriria, no Sistema Internacional de Unidades, 
em kg112 m/J112 s; 
n = velocidade de rotar;ao da miquina considerada, em rps ou Hz; 
D = diirnetro caracterfstico do rotor da mriquinaconsiderada em geral D 
' ' 4' 
para rotores radiais de m<iquinas motoras, D5, para rotores radiais de 
m8.quinas geradoras, ou De' para rotores axiais, em m; 
Y = salto energCtico da m<iquina considerada, em J/kg. 
Semefhanr;as e Grandezas Adi1nensionais 
Para o Sistema Tecnico de Unidades, obtem-se: 
nD 
n 11 =----u2 
H 
on de: 
n
11 
= velocidade de rotai;ao biunitriria, em m112/min; 
n = velocidade de rotai;ao da maquinaconsiderada, em rpm; 
105 
(5.23) 
D = difunetro caracterfstico do rotor da ml'iquina considerada, em m; 
H = altura de queda, para m3quinas motoras, ou altura de eleva98.o, para 
maquinas geradoras, em m. 
Considerando tambem a igualdade do rendimento volumetrico, pode-
se escrever: 
e 
Como, pelas equai;5es (5.20), Q1 = ~2 , vem: y 
Q,, Q 
. onde: 
Q
11 
= vazao biunitB.ria, no Sistema Internacional, em m kg112/J112 s; 
Q = vazao da m3quinaconsiderada, em m3/s. 
Ou, no Sistema Tecnico de Unidades: 
Q,, Q 
on de: 
Q 
11 
= vazao biunitl'iria, em m112/s; 
Q = vazao da maquina considerada, em m3/s. 
(5.24) 
(5.25) 
Finalmente, considerando as f6rmulas para o c3lculo das potencias no 
eixo, com rendimento total e massaespecfficado fluido de trabalho iguais: 
106 M<iquinas de Fluido 
pQ, Y, 
Tl, 
e p p Qll 
ell= el~ 
Levando, nesta tiltima expressao, os valores de Pel' Q 11 e Q1 das 
equa1:6es (5.20) e (5.24), tem-se: 
P, (5.26) 
02 y312 
onde: 
Pelt = potencia no eixo biunit<i.ria, no Sistema Internacional, em 
w kg3121m2 1312; 
Pe = potencia no eixo da maquina considerada, em W. 
Ou, no Sistema Tecnico de Unidades: 
02 H312 (5.27) 
onde. 
Pet! = potSncia no eixo biunitfilia, em CV/m5t2; 
Pe = potSncia no eixo da m<iquina considerada, em CV . 
As equa96es (5.26) e (5.27) foram detenninadas para massa espe-
cifico ou peso especifico do fluido invari<iveis. Se houver varia9ao destes 
valores (m<i.quinas de fluxo semelhantes trabalhando com fluidos dife-
rentes, par exemplo), recomenda-se a utilizai;ao <las seguintes expres-
s6es para o Sistema Internacional e para o Sistema Tecnico de Unidades, 
respectivamente: 
p 02 y3fl e (5.28) 
onde: 
p = massa especffica do fluido de trabalho, em kg/m3; 
y =peso especifico (specific weight) do fluido de trabalho, em kgf/m3 . 
Semelhan(a e Grandezas Adimensionais 107 
Com base nesta an<ilise, pode-se concluir que as grandezas 
biunitarias, supondo rendimentos constantes, siio-iguais para m3quinas 
de fluxo semelhantes. Isto perrniJe o seu uso na transposii;,:iio de valores 
entre um modelo ea m<'iquina em tamanho real (prot6tipo), j<'i que, por 
serem semelhantes, possuem os mesmos valores para as grandezas bi-
unitfilias. Em virtude do efeito de escala (size effect), a correr;iio do 
rendimento, quando necess<lria, sera efetuada pela utilizar;iio <las f6rmulas 
apresentadas no item 5.1. 
Diante do exposto, pode-se escrever para m<'iquinas de fluxo geo-
metricamente semelhantes com rendimentos iguais: 
nD 
n11 = yll2 
y112=_l_nD 
n11 
Y=(-1 )
2
n
2
D
2 
n11 
Considerando-se (_I )2 = k y = constante, vem: 
n11 
2 2 Y=kyn D 
Da equar;ao (5.24), pode-se deduzir: 
Q Q=Q11 y112D2 
0 2 y112 
Fazendo Q11 =kQ =constante,vem: 
n11 
3 Q=kQ nD 
E, da equa<;ao (5.28): 
p = p" 
e11 p D2 y'12 
p 
p =---=.!..!.pn3Ds 
' ' n,, 
p =pP y312 D2 
e ell 
(5.29) 
(5.30) 
108 Mliquinas de Fluido 
Tomando-se Pe11 - 3- = k p = constante, podB;:Se escrever: 
n11 
(5.31) 
As equar;5es (5.29), (5.30) e (5.31), embora v<ilidas para todas as 
m<'iquinas de fluxo, representam as chamadas leis de semelhant;a dos 
ventiladores (fan laws), pois pennitem prever a variar;iio do compor-
tamento da m<iquina com base nas suas dimens5es, na sua rotar;iio ou na 
massa especffica do fluido de trabalho. 
5.3 Velocidade de rotat;iio especifica 
Pelo mesmo procedimento com que se obteve grandezas biuni-
t<'irias correspondentes a Y 11 = 1 J/kg e Dn = 1 m, pode-se chegar 
a um outro nllmero caracteristico, tambem constante para m<'iquinas 
de fluxo semelhantes, s6 que relacionado com um salto energetico 
especifico Y = 1 J/kg e com uma vaziio Q = 1 m 3/s q q . 
Como o salto energetico especffico permanece constante e igual a 
1 J/kg, e possfvel considerar, u = u , c = c e cmq = cm,. q luq ul 
Pela f6rmula da vazfto, pode-se escrever: 
e 
n D2 
Q =--' c 
q 4 ""' 
Por outro lado, tem-se: 
Q =D~ 
' D' q 
Levando esta relar;iio na equar;ao (5.32), fica-se com: 
n2 
Q, =--"-
n' I 
n - n Ql/2 q - I I 
(5.32) 
Substituindo n1 e Q1 por seus valores nas equar;Oes (5.20), chega-
se a: 
~ 
' 
Semelhanr,-a e Grandezas Adimensionais 109 110 Mliquinas de Fluido 
Ql/2 (5.33) 
porque, com base em ensaios de modelos, pesquisadores e fabricantes 
n -n determinaram faixas de valores de nqA para-_{lS quais os diversos tipos q - y314 . 
' 
de m<iquinas possuem o seu melhor rendimento . 
. 
Esta equar;iio expressa a denominada velocidade de rotai;3o Estas faixas, j<i inserindO os valores correspondentes a algumas 
especifica (specific speed) ou coeficiente de forma do rotor. Ela e adi- miquinas de deslocamento positivo, para efeito de comparar;ao, silo as 
mensional, ou seja, seu valor numerico, que se mantem constante para seguintes: 
m<iquinas de fluxo semelhantes, independe do sistema de unidades usado 
' 
no caJ.culo. Como o valor calculado pela equa9ao (5.33) e muito pequeno, 
' 
Quadro 5.1 Valorcs de nq/\ indicados para diferentes tipos de maquinas de fluido. 
costuma-se multiplic<i-lo por 103, conforme sugere Addison.6 Ou seja: para turbina hidr<'iulica do tipo Pelton IlA = 5 a 70 
para turbina hidr3.ulica do tipo Francis lenta IlA = 50 a 120 
llqA =103 n 
Ql/2 (5.34) para turbina hidriulica do tipo Francis normal fl.A = 120 a 200 
--
y3/4 para turbina hidriiulica do tipo Francis nipida n, = 200 a 320 
on de: 
para turbina hidr<'iulica do tipo Michell-Banki IlA = 30 a 210 
n = velocidade de rota9iio especffica ou coeficiente de forma do rotor 
para turbina hidraulica do tipo D€riaz Il_A = 200 a 450 
"' segundo Addison, adimensional; para turbina hidraulica do tipo Kaplan e H€lice n,, = 300 
a 1000 
n = velocidade de rota9iio da m<iquina, em rps (Hz); para turbina a vapor e a gas com a.dmissiio parcial n, = 6 a 30 
Q = vazao da mclquina, em m 3/s; para turbina a vapor e a gas com admissiio total Il_A = 30 a 300 
y = salto energetico especffico, em J/kg. i para bomba de deslocamento positive 30 
' 
ll A < 
para bomba centrffuga n, = 30 a 250 
Pode-se, entao, definir a velocidade de rota«;iio especifica (specific para bomba semi-axial ou de fluxo misto n_, = 250 a 450 
speed) como a velocidade de rota9ao de uma maquina de fluxo para bombas axial n, = 450 1000 
geometricamente semelhante a considerada, mas dimensionada para um 
a 
/ 
· salto energetico especifico de 1 J/kg e uma vazao de 1 m 3/s. 
para compressor de deslocamento positivo n, < 20 
' 
para ventilador e turbocompressor centrifugo 
Os val ores de n, Q e Y, utilizados para o cfilculo den , correspond.em Il_A = 20 
a 330 
ao ponto de projeto (melhor rendimento). No caso de ma~uinas de varios para ventilador e turbocompressor axial n, = 330 a 1800 
estagios (rotores em serie) o Y utilizado corresponde ao salto energetico 
especffico de cada rotor, enquanto, no caso de rotor com dupla suc9ao, a Para facilitar, ainda mais, a sele98.o da mclquina mais adequada para 
vazao, Q, utilizada no c<ilculo, seni a correspondente a um dos lados da 
suc9ao (normalmente, a metade da vazao que passa pelo rotor). determinada aplica9ao, alguns autores apresentam gr:ificos com a 
A velocidade de rota9iio especffica esta associada a forma e as pro- velocidade de rota9ao especifica associada a outros para.metros carac-
por96es dos rotores de m<i.quinas de tluxo e o seu valor, alem de servir teristicos da m<'iquina. A empresa Ossberger, da Alemanha, fabricante 
de base para caracterizar series de maquinas geometricamente seme- de turbinas hidr<'iulicas Michell-Banki, por exemplo, apresenta um grclfico 
lhantes em catcllogos de fabricantes, e um elemento fundamental para a (Fig. 5.2) em que aparece as faixas mais indicadas para diferentes tipos 
sele9ao do tipo de mclquina mais adequado a determinada situa9ao. Isto de turbinas, em fun9ao da velocidade de rota9ao especffica e da altura de queda da instala9ao. Jli, na obra de Quintela,7 um grafico do Bureau 
6 ADDISON. H., Centrifugal and other rotodynamic pumpI. i ' QUINTELA. A. C. Hidrduiica . 
.... ..._ 
-
Seme/hanr;a e Grandezas Adimensionais 
500 
'? 50~~>+ 
= 20H-i+-l+-t-
r 1 :1-+-+-t+-----+-4----+--+----' 
2H-t-h 
60 
U qA ( adirnensional) 
Fig. 5.2 Gr<lfico para sele~iio de turbinas hidrUulicas (Fonte: Ossberger). 
1,00 
0,90 
IJt 
0,80 
0,70 
0,60 
0,5 
0,4 
0 
0 
30 
I I I 
I . 
-
--
' 
= 
I I :J.. 
, I ~ 
'-"'' 1,...---;: 
!.X: 
, __ <61/s 
60 
nqA 30 60 
Tipo centrffuga 
I 
I 
' 
I I I I i ' 
·+ >60 
' --
. 
~ 
' 
-i I 
-----
' I 200 a 600 \Is 
' 
60 a 200 1/s 
. 
r~ 30a601/s I I ! I 
12a30l!s I ' I ' 
I : I 1 I 6a 12+~=1 I I , 
120 180 300 600 900 
nqA 
~ .P' Q --9. .. , 
. 120. 180 300 . "900·"--
fluxo misto axial 
ll l 
Fig. 5.3 Grafico de 11, = f(nqA) para diferentes tipos de bombas e para diversa5 faixas 
de vaz5es (Fonte: Bureau of Reclamation/USA). 
112 Mdquinas de Fluido 
of.Reclamation/USA (Fig. 5.3) apresentaos diferentes tipos e rendimentos 
de bombas em fun9ao da vazao e da velocid<t,de de rota9ao especffica. 
Embora adimensional, o que facilitaria as oper~5es comerciais entre 
pafses de unidades distintas, a definir;ao de velocidade de rotac;ao especffica 
representada pela equac;ao (5.34) ainda nao obteve aceitac;ao geral. 
Na Europa, para turbinas hidr:lulicas, e muito utilizada a seguinte 
expressao para a velocidade de rotac;ao especffica, indicando, entre 
parenteses, a unidade utilizada para cada grandeza: 
n (rpm) [P, (CV)] 112 
n, ~ [H (m)] 514 
on de: 
n, = velocidade de rotac;ao especffica; 
n = velocidade de rota9ao da turbina hidr:lulica; 
p e = potencia obtida no eixo da turbina; 
H = altura de queda a que est:l submetida a turbina. 
(5.35) 
Este conceito tern o inconveniente de somente pennitir comparar 
m:lquinas que trabalhem com o mesmo fluido e de mesmo rendimento. 
Desta maneira, considerando o peso especffico da <igua igual a 1000 kgf/m3 
e um rendimento da turbina hidr:lulica igual a 93%, pode-se escrever: 
(5.36) 
Na Europa, para as m<iquinas de fluxo em geral, e muito utilizada a 
seguinte expressao para a velocidade de rotac;ao especffica: 
n _n(rpm)[Q(m3 /s)juz 
4 [H (m)] 314 
on de: 
nq = velocidade de rota9ao especffica; 
Q = vazao da maquina; 
(5.37) 
H = altura de eleva9ao (m<iquinas geradoras) ou de queda (m<iquinas 
motoras). 
Semelhanr;a e Grandezas Adimensionais 113 
Nos Estados Unidos da America siio utilizadas as seguintes expres-
s6es para a velocidade de rota<;iio especifica: 
-para bombas:n (rpm) [Q ( gpm)] 112 
[H (ft)]314 
- para ventiladores: 
n (rpm) [Q (cfm)] 11 2 
[llp, (in water)] 314 
17, 313 IlqA 
151,139 nqA 
- para turbinas hidr3ulicas: 
n (rpm) [P, (HP)] 11 2 
[H(ft)] 514 
5.4 Coeficientes adimensionais 
0,263 IlgA (para nt ~93%) 
(5,38) 
(5,39) 
(5,40) 
Extremarnente Util para o estudo ea classificayao das mliquinas de 
fluxo ea utiliza<;3o dos charnados coeficientes adimensionais (dimen-
, sionless coefficients), que englobam em express6es homog@neas as 
vari<lveis mais importantes para a an<ilise de um deterrninado tipo de 
situa<riio. Entre estes, podem ser citados o coeficiente de pressao e o 
coeficiente de vaziio. 
0 coeficiente de press8o (pressure coefficient ou head coefficient) 
pode ser definido como a rela<;iio entre o salto energ6tico especifico e a 
energia especifica correspondente a velocidade tangencial do rotor. Ou 
seja: 
'!'~~ 
u
2 /2 
(SAi) 
114 Mdquinas de Fluido 
onde: 
\f = coeficiente de pressao, adimensional; • ...._ 
Y salto energ6tico especifico, em J/kg; 
u velocidade tangencial do totor, normalmente, calculada para o dift-
metro, D 4 , para m<iquinas motoras radiais, D5 , para m<iquinas 
geradoras radiais, e, De' para m<iquinas axiais, em mis. 
Chama-se coeficiente de vaz3o (capacity coefficient ou volume 
coefficient) a relai;iio entre a vaziio da m<iquina e uma vaziio ficticia, 
obtida pelo produto de uma se<riio fixada do rotor pela velocidade 
tangencial para esta sei;iio. 
<I> 
onde: 
Q 
"D' 
4 
u 
<I> = coeficiente de vaziio, adimensional; 
Q = vazao da m<iquina, em m3/s; 
(5,42) 
D = difimetro caracteristico do rotor, geralmente, D 4 para m<iquinas de 
fluxo motoras radiais, D 5 para m<iquinas de fluxo geradoras radiais 
e De para m<iquinas axiais, em m; 
u = velocidade tangencial do rotor, correspondente ao difimetro carac-
teristico, em mis. 
A semelhanc;a entre duas ou mais m3.quinas de fluxo pode ser obtida 
pela igualdade de tres coeficientes adimensionais, o de pressiio, o de 
vaziio e o nlimero de Mach (para fluidos compressiveis) ou o coeficiente 
de Thoma (para liquidos), que seri'io definidos no capitulo sobre cavi-
tai;iio e choque sOnico. Entre os coeficientes de pressiio e vaziio e a 
velocidade de rotac;iio especffica, pode ser estabelecida a seguinte relac;iio: 
(5,43) 
Semelhanr;a e Grandezas Adimensionais 115 
Com base em publica96es especializadas sobre o assunto, alguns 
valores tipicos para o coeficiente de pressao demaquinas de fluxo sao 
apresentados a seguir: 
• Para turbinas a vapor e 3 g3s axiais de admissao total: 
- com nqA = 60 :::::::} 'f' = 4,0; 
- com nqA = 190 :::::::} 'f' = 1,7. 
• Para turbinas hidr3ulicas: 
- Pelton com n A = 19 :::::::} 
F 
. q 
- rancts com n = 50 :::::::} qA 
- Francis com nqA = 200 :::::::} 
- Kaplan com nqA = 500 :::::::} 
'¥ = 4,0; 
'¥ = 2,6; 
'¥ = 1,4; 
'¥ = 0,5. 
•Para bombas: 
- centrffugas com n = 40 qA 
- centrffugas com n = 200 qA 
- de fluxo misto com n = 450 
. , qA 
- ax1a1s com nqA = 980 
=> 
=> 
=> 
=> 
•Para ventiladores e turbocompressores: 
- centrffugos do tipo Siroco com n = 200 qA 
- centrffugos com n = 50 (" = 90°) qA t-'s -
- centrffugos com nqA = 220 ( J35 =: 30°) 
- axiais com nqA = 500 
- axiais com nqA = 1000 
'f' = 1,1; 
\f = 0,9; 
\f = 0,5; 
\f = 0,2. 
=> 
=> 
=> 
=> 
=> 
'¥ = 2,0; 
'¥ = 1,2; 
'f'=0,9; 
\f = 0,5; 
'¥ = 0,2. 
Al6m dos coeficientes de pressao e vazao, sao tambem muito utili-
zados, principalmente para uma primeira orienta9ao no projeto de m3.qui-
nas de fluxo, os chamados coeficientes de velocidade (speed 
coefficients). 
0 coeficiente adimensional de uma velocidade qualquer (absoluta, 
relativa, tangencial, componente tangencial da velocidade absoluta, etc.) 
define-se como a rela9ao adimensional entre a velocidade respectiva e 
uma velocidade fictfcia, de valor igual a .J2 Y ou ~2 g H . Os coefi-
cientes de velocidade seriio representados pelo sfmbolo K, tendo como 
subscrito o simbolo da velocidade correspondente. Como exemplos, ci-
tam-se: 
116 Mciquinas de Fluido 
a) Coeficiente de velocidade absoluta na entrada do rotor de uma turbina 
hidrciulica: 
K - C4 - C4 
0
' - -Jz Y - ~2 g H 
(5.44) 
b) Coeficiente de velocidade tangencial na safda do rotor de uma bom-
ba centrifuga: 
(5.45) 
c) Coeficiente de velocidade meridiana na saida do rotor de uma bom-
ba centrifuga: 
(5.46) 
5.5 Exercicios resolvidos 
1. Deseja-se projetar uma bomba centrifuga para recalcar 73,5 m3/h de 
agua a uma altura de 126 m, sendo acionada diretamente por um motor 
de 3600 rpm. Sabe-se que para esta vazao o melhor rendimento da 
bomba verifica-se para nqA = 116. Valores para predimensionamento 
de rotores centrifuges indicam para esta velocidade de rota9ao 
especffica \f = 0,96 e K 5 = 0,14. Considerando ri = 1,0 e 
desprezando a espessura das P~s, calcular: v 
a) o ntimero de est<lgios que devera possuir a bomba; 
b) o coeficiente de vazao da bomb a; 
c) o di§.metro de saida do rotor; 
d) a largura de safda do rotor da bomba. 
SOLU(:AO: 
Q=73,5m3/h =0,0204m3/s 
n = 3600 rpm= 60 rps 
Y = g . H = 9,81 . 126=1236,06J/kg 
Baseado na equa9ao (5.34), obt6m-se: 
' , 
.. 
Semelhanr;a e Grandezas Adimensionais 117 
-(10'.n.Qv' ))'; _ ~10 3.60.0,0204v+ ))'; _ 
Yest<\gio - - -31QJ/kg .. 
IlqA ~ 116 
Hc._,ttigio = 3lO =31,6m 
9,81 
Este seri o valor do salto energetico especffico, por estagio, para o 
qua! a bomb a apresentara o melhor rendimento. Logo, sendo Y = 1236,06 
J/kg o salto energetico total a ser desenvolvido pela bomba, pode-se 
determinar o nllmero de est<igios, "i", que ela devera possuir. Ou seja: 
y 
1=--
Yc.,l'1gi<l 
1236,06 4 , . ( ) :::: estag1os Resposta a 
310 
Da equai;ao (5.41), vern: 
u = 2.Yest:igio = ~=254lm/s 
5 '±' {0:96 ' .. 
D D5 = _1:1..l_ = 
25
•
41
=0,135 m U5=TC. 5.Il .. 
rt .Il TC .60 
Pela equaqiio (5.42): 
(Resposta c) 
4. Q 
<l>=--~-
2 
n.D5.U5 
4 . 0,0204 = 0,056 
n. 0,135 2 . 25,41 
(Resposta b) 
A equac;ao (5.46) estabelece: 
Pela equai;ao da continuidade, aplicada aos rotores de m3.quinas de 
fluxo radiais: 
Q 0,0204 b, =---"~-=--_c~c:_:-~ 
n.D 3.Cm;.TJ, n.0,135.3, 49.1,0 
b, =0,014m=14mm (Resposta d) 
118 Mdquinas de Fluido 
2. Um ventilador que trabalha com ar de massa especffica p = 1,2 kg/ 
m3, apresenta as seguintes caracteristicas:·,Jl = 3600 rpm; Q = 2,69 
m3/s; L'lpt = 960 Pa e T\t =:= 0,76. Fazendo este ventilador funcionar 
com uma velocidade de rOtai;iio de 1750 rpm e considerando o 
rendimento total como invari<ivel com a mudan~a de rotai;,:iio, deter-
minar: 
a) a vazao fornecida pelo ventilador para 1750 rpm; 
b) a diferen~a de pressao total produzida para 1750 rpm; 
c) a potencia consumida no eixo a 3600 rpm; 
d) a potencia consumida no eixo a 1750 rpm; 
e) o tipo de ventilador em questiio. 
SOLU(:AO: 
Pela equac;iio (5.18), tem-se: 
~=E.. .. Q'=Q n' =2,69 1750 =1.31 m3/s (Resposta a) 
Q' n' n 3600 
A equac;ffo (5.17) permite escrever: 
LI. P'. = L\.p, 13_ = 960 -- = 226,85 Pa ( 'j' (1750)' n 3600 (Resposta b) 
y = Ll.p, = 960 = 800 J/kg 
p 1,2 
P, = p.Q.Y 1•2·2·69·960 3398W=3,4kW (Resposta c) 
Tl, 0,76 
Como o rendimento total permanece invari8.vel com a mudani;a de 
rota9ao, para calcular a potencia no eixo para 1750 rpm pode-se aplicar 
novamente a equa9lio anterior, com os valoresQ' e Y' ou entlio utilizar 
a equa<;iio (5.19): 
p' = p ( n' \' = 3398 ( l7SO \' = 390 W = 0,39 kW (Resposta d) 
' 'nJ 3600) 
Semelhani;a e Grandezas Adimensionais 1!9 
Aplicando a equai;ao (5.34), com a velocidade de rota~ao em rpm, 
vem: 
ll,,A ~ 103 _i:1_ Qr, ~ 103 3680 2,690,5 ~ 654 2 => 
' 60 y x 60 800°·" ' Ventilador axial 
(Resposta e) 
Utilizando os valores correspondentes a velocidade de rotai;aode 
1750 rpm, chega-se ao rnesmo valor para a ve1ocidade de rotai;ao espe-
cifica (rn3.quinas semelhantes corn fator de escala k
0 
= 1), o que, pelo 
Quadro 5.1 e pela Fig.1.4, permite concluir que a rn3.quina em questao e 
um ventilador axial. 
3. Uma turbina hidr3.ulica, que opera corn 3.gua de rnassa especifica p = 
1000 kg/m3, possui as seguintes caracteristicas: H = 342 rn; Q = 2,23 
m
3/s; n = 300rpm e c5 = 0 mis. Paraesta turbina, sera construido urn 
modelo de dirnens5es 10 (dez) vezes rnenores, subrnetido a urna altura 
de queda tarnbem 10 ( dez) vezes rnenor, tarnbem operando corn 3.gua. 
Considerando-se nulas as perdas na instala~ao, determinar: 
a) o tipo de turbina em questao; 
b)a velocidade absoluta da corrente fluida, c
4
, na entrada do rotor da 
turbina; 
c) o di3.metro do rotor da turbina modelo; 
d) a velocidade de rotai;ao da turbina modelo; 
e) a potencia no eixo da turbina modelo. 
SOLUC::AO· 
As grandezas correspondentes a turbina em dimens6es reais (prot6-
tipo) serao identificadas pelo subscrito "p", enquanto as correspondentes 
a turbina modelo o serao pelo subscrito "rn". 
nP = 300 rpm = 5 rps 
Y, ~ g. H, = 9,81 . 342 = 3355,02 J/kg 
3 QPYz 3 2,230,s 
nqA=lO .np ~=10 .5 :.nqA=l6,94 => 
YP/4 3355,02 o,75 
' Turbina Pelton (Resposta a) 
120 Mdquinas de Fluido 
Pelo Quadro (5.1) este valor da velocidade de rotai;ao especifica 
leva a concluir tratar-se de uma turQina do tipoJ'elton, o que e refori;ado 
pela an<ilise da Fig. 1.6. 
A Fig. 5.4 representa es(iuematicamente este tipo de turbina e 
apresenta o trai;ado dos tri8.ngulos de velocidade para a entrada (ponto 
4) e safda do rotor (ponto 5) para a situai;ao correspondente a c5 = 0 e, 
conseqtientemente, a 13" = 0°. As p3s em forma de concha (spoon-
' shaped) do rotor da turbina Pelton possuem uma aresta central que divide 
o jato incidente em duas metades que, neste caso (j35 = 0°), sofrem um 
desvio de 180°. Embora nem todas as particulas d'igua tenharn a mesma 
direi;iio ao escoar pela concha, a maior parte do jato, tanto na entrada 
como na safda da pa do rotor, mantem-se a mesma distiincia do eixo de 
giro do rotor, de maneira que se pode considerar u4 = u5 = u, ou seja, as 
velocidades tangenciais de entrada e saida do rotor silo iguais por serem 
tangentes a uma superffcie cilindrica de mesmo difunetro. Tarnbem neste 
caso os tri3.ngulos de velocidade para a entrada e a saida do rotor 
degeneram-se em segmentos de reta colineares. 
M 
l 
H 
Fig. 5.4 Representa~ao esquemiitica da turbina Pelton e seus triilngulos de velocidades. 
Semelhanr;a e Grandezus Adimensionais 121 
E importante observar que a situa9ao proposta neste exercfcio (c5 = 
0), embora teoricamente desejada para maior aproveitamento da energia 
do jato, nao e passivel de execu9a9 pr<i.tica, pois implicaria na acumulai;;ao 
das partfculas d'agua na saida do rotor e o conseqliente choque com as 
conchas subseqtientes com sensivel prejuizo para o funcionamento da 
turbina. Na pratica, sao utilizados fingulos ~5 da ordem de 10 a 20°, 
de maneira que c5 * 0, para pennitir a saida do jato do interior das 
conchas. 
Aplicando Bernoulli entre os pontos l (nivel de montante) e 2 
(saida do injetor), vem: 
~+cl +gz,=p~+c;+gz2 :. ci={p,~p,+c~ +g(z,-z2 )] 
Como p = p2 = p , c, = 0 e z - z = H (desprezando as perdas l atm I 2 p 
no conduto fori;;ado e no injetor), vem: 
c~ = 2 . g . HP :. c 2 = ~2 . g . HP ,ou ainda, c2 = ~ 
Os pontos 2 (saida do injetor) e 4 (entrada do rotor) estao muito 
pr6xi1nos de modo que se pode desprezar o atrito do jato com o ar e 
considerar c4 = cy Logo: 
c4 =c2 =.J2. 3355,02=81,9lm/s (Resposta b) 
Quando c5 = 0, pela Fig. 5.4, conclui-se que: w 5 = u. 
Como, no presente caso, sao consideradas nulas as perdas por atrito 
do jato com as paredes das pas em forma de concha do rotor, w 5 = w 4, o 
que leva a concluir que: 
u = "-' = 
81
·
91
=40 96m/s 2 2 , 
0 difimetro da circunferencia que passa pelo ponto de incidencia 
do jalo nas pas do rotor, denominado difunetro do rotor do prot6tipo, 
pode, entao, ser calculado: 
122 
D, = _u_ = 40,96 = 2,6lm 
TI . n TI . 5 
Mdquinas de Fluido 
Como o fator de escala e kG = D ID = 10, o dill.metro do rotor do 
' m 
modelo e: 
D, 2,61 Dm =-=- =0,26lm=26lmm (Resposta c) 
kG 10 
H = H, = 342 =342m m lO lO • :. Ym =g. Hm =9,81. 34,2=335,5J/kg 
Como as grandezas biunitarias sao iguais para maquinas de fluxo 
semelhantes, com base na equai;;ao (5.22) pode-se escrever: 
nm = 15,8 lrps = 948,68 rpm (Resposta d) 
Como todas as perdas nainstalai;;ao devem serignoradas, T\
1 
= 1, e 
a potencia do prot6tipo pode ser calculada por: r 
P,, = p.Q,.Y,.11,, = 1000.2,23.3355,02.1=7481,7 kW 
Considerando rendimento invariavel entre modelo e prot6tipo, o mo-
delo tambem operando com agua, a equai;;ao (5.26) perrnite estabelecer: 
.". p = p (Dm )'(ym )Y, 
em epD y 
' ' 
P =74817( 0•261 )
2
( 
335
·
5 )Yi =237kW (Resposta e) 
om ' 2,61 3355,02 ' 
Semelha1u;a e Grandezas Adimensio11ais 
123 
5.6 Exercfcios propostos 
1. Um ventilador, operando no seu ponto de projeto, com ar de massa 
especffica igual a 1,2 kg/m37 desenvolve uma diferenga de pressao 
total de 7357,5 Pa e uma vazao de 38 m3/s, quando gira a uma 
velocidade de rotagilo de 1480 rpm. Para um modelo reduzido que 
desenvolve a mesma diferenga de pressao total, girando a uma 
velocidade de 2960 rpm, determinar: 
a) a vazao do modelo; 
b) o tipo de ventilador em questao, justificando; 
c) o fator de escala geometrica, kG, entre prot6tipo e modelo; 
d) a potSncia no eixo do modelo, considerando o seu rendimento igual 
ao do prot6tipo e este igual a 75o/o. 
Respostas: 
a) Qm = 9.5 m'!s; 
C) kG = 2; 
b) Ventilador centrffugo (nqA::: 219,45); 
d) P,m = 93.16 kW. 
2. Uma bomba, instalada no laborat6rio de hidr<iulica do CT/UFSM, 
acionada diretamente par um motor eletrico, quando gira a 1700 rpm 
apresenta as seguintes caracterfsticas: H::: 7,0 m; Q::: 4,0 l/s; Pe::: 500 W 
e D::: 140 mm (di3metro do rotor). Fazendo-a girar a uma velocidade de 
rotagao de 3400 rpm e sabendo-se que a potenciam<ixima admitida pelo 
motorede IOOOW, pergunta-se: 
a) qua] e 0 ti po da bornba em questao? 
b) haveri sobrecarga no motor? Justifique pelo c<ilculo da potSncia 
para a nova rotagao. 
c) procurando manter a potSncia no seu valor limite de 1000 W para 
a nova rota\:EiO (3400 rpm) par meio da troca do rotor da bomba par 
um outro semelhante, mas de di3.metro diferente, qua! seri o diimetro 
deste nova rotor? 
d) para cste nova diirnetro, qua] sera a altura desenvolvida pela bomba? 
e) qua] sera a vazao recalcada pela bomba para esta mesma situagiio? 
Respostas: 
a) Bomba centrffuga (nqA::: 75,11); b) Havera sobrecarga (P'c = 4000W) 
c) n· = 106mm ; d) H' = 16,09 m ; e) Q' = 3,481/s 
124 Mciquinas de Fluido 
3. Os dados de uma usina hidrelCtrica na qual sera instalada uma turbina 
hidr<iulica do ti po Francis sao os seguintes: Q::: ~12 m3/s; H::: 80 m; D 4 
:::6,85 m; n::: 112,5 rpm; Pe= 220,28 !vfW. NO laborat6rio deensaios 
disp5e-se de um reservat6rio denfvel constante com q~eda dispon~vel de 
6,5 m e vazao de 0,08 m3/s. Pretendendo-se proJetar e ensa1ar um 
modelo reduzido no laborat6rio, pergunta-se: 
a) qua! devera ser o di8.metro de entrada do rotor no modelo?. 
' 1· d a ? b) com que velocidade de rotagao devera ser rea 1za o o ens 10. 
c) qua! a potSncia que sera medida pelo freio dinamometrico, conside-
rando-se o efeito de escala sabre o rendimento? 
Respostas: 
a) D = 205 mm; b) n = 17,85 rps= 1071 rpm; P,m= 4,02 kW. 
'm m 
4. O rotor de uma bomba centrffuga projetada para recalcar 2,0 m3/s de 
agua a uma altura de 35 m, possui um di8.metro de safda D5 ::: l,O_m. 
A velocidade de rotagao de projeto e de 500 rpm. Um modelo reduz1do 
desta bomba, construfdo com um rotor dediimetro D5m::: 0,40 m e 
ensaiado com uma velocidade de rotagao de 900 rpm, consumiu uma 
potencia no eixo P ::: 65 kW. Levando em consideragiio o efeito de 
escala sabre o rendi'rnento, determinar: 
a) a velocidade de rotagao especffica do modelo; 
b) a vazao do modelo; 
c) a altura de eleva\:ao do modelo; 
d) o rendimento previsto para a bomba projetada; 
e) a potencia no eixo da bomba projetada. 
Respostas: 
a) n = n = 147,15; qAm 4Ap b) Q = 0,23 m'ls; m c) Hm = 18,14 m; 
d)~ =0,72; 
'" 
e) P = 953,75 kW. 
'" 
5. Uma turbina modelo de 390 mm de difimetro, desenvolve 9 kW de 
potencia, com um rendimento de 70o/o, a uma velocidade de rotagao 
de 1500 rpm, sob uma quedade 10 m. Uma turbina geometricamente 
semelhante, de 1950 mm de di3metro, operara sob uma queda de 40 
m. Que valores serao esperados para a velocidade de rota~ao e para a 
potencia desta turbina, levando em consideragao o efeito de escala 
sabre o rendimento? 
Respostas: a) n = 600 rpm; b) P = 1997 kW= 2 MW. 
I' ep 
l 
:i 
I 
I 
I 
' 
--1 
' 
Semelhani;a e Grandezas Adilnensionais 125 
6. Um ventilador centrffugo projetado para insuflar ar com massa espe-
cffica p = 1,2 kg/m3, apresenta as seguinteS 'Caracterfsticas: n = 1920 
rpm· Lip = 1500 Pa· n = 150· D = 500 mm· a = 90°· " = 90° e 
' ! ' qA ~ ' 5 ' 4 ·' 1-'5 
µ = 0,8. Considerando os rendimentos llv = 0,95, T]" = 1,00; e llm 
= 0,98, invari<iveis com a variayao da velocidade de rotayao, cal-
cular: 
a) o rendimento hidr<iulico do ventilador; 
b) a potencia consumida quando operar na velocidade de 1760 rpm; 
c) a diferenya de pressao total produzida, tambem a 1760 rpm. 
Respostos: a) Tl"= 0,62; b) P; = 1,95kW; c) Lip;= 1260,4P, 
'6 
CAVITA<;:Ao E CHOQUE SoNico 
Ao desmontar uma bomba ou turbina hidniulica que apresenta 
funcionamento irregular, o respons3vel pela manutenr;ao, nfio raras vezes, 
depara-se com a superffcie met<ilica das pas do rotor recoberta de 
minUsculas crateras, em casos extremos, dando ao material uma aparen-
cia esponjosa, semelhante a de um osso fraturado (Fig. 6.1). 
Fig. 6.1 Erosao provocada por cavitayiio num rotor de bomba axial. No destaque, 
mna visiio aumentada de seu aspecto esponjoso ou poroso. 
Um leigo poderia atribuir estes danos a erosao provocada por parti-
culas abrasivas (areia, por exemplo) contidas na ti.gua ou, entffo, a ma 
qualidade do material utilizado na fabricar;ao do rotor. 
No entanto, este tipo peculiar de erosao porosa (a erosao por abrasao, 
diferentemente, apresenta riscos ou canaletes com aspecto po lido) tern lugar 
mesmo em m3.quinas que trabalham com liquidos totalmente isentos de 
particulas abrasivas e em materiais tao nobres como o a90 inoxid3.vel. Na 
128 Mdquinas de Fluido 
realidade, trata-se de uma <las consequencias do fenOmeno da cavita«;ii.o 
(cavitation phenomenon) que pode_ ocorrer eIQ- maquinas de fluxo que 
trabalham com lfquidos, em detenninadas condi95es de opera9ao. 
A cavita9ao vem acomparrbada de um rufdo pr6prio e, mesmo antes 
dos danos provocados pela erosao, provoca altera9ao nas caracteristicas 
da maquina, como redu93o da vaz3o, redu93o da potSncia no eixo e 
queda de rendimento. 
A an3.lise da cavitac;ao em maquinas de fluxo e o objeti vo principal 
deste capitulo, visando a adoc;ao de medidas preventivas, tanto no projeto 
da m3.quina coma da instalac;ao, que possam evitar o seu aparecimento 
ou atenuar os seus efeitos. 
Embora um fen6meno diferenciado da cavita9ao, o choque s6nico 
sera tratado no final do capitulo, ja que as regi5es mais suscetiveis ao 
seu surgimento (regi5es de velocidade de escoamento elevada) em 
m3.quinas de fluxo que trabalham com fluidos compressiveis, sao as 
mesmas em que se apresenta um maior risco de cavita9ao em m3.quinas 
que operam com liquidos. Como e um fen6meno que vem acompanhado 
de grandes perdas de energia, a sua proximidade, nonnalmente, repre-
senta um limite para a velocidade de operac;ao dos ventiladores e turbo-
compressores. 
6.1 Defini<;3.o de Cavita-rao 
A cavita~ao (cavitation) consiste na forma9ao e subseqtiente 
colapso, no seio de um liquido em movimento, de bolhas ou cavidades 
preenchidas, em grande parte, por vapor do liquido. 
No entanto, Canavelis 1 prop5e, como definic;ao mais geral de 
cavitac;ao, a formac;ao de cavidades macrosc6picas em um liquido, a 
partir de nUcleos gasosos microsc6picos. Diz ainda da import3ncia destes 
nUcleos, constituidos de vapor do liquido, gas nao dissolvido no liquido 
ou de uma combinac;ao de gas e vapor, pois a inexistencia dos nUcleos 
microsc6picos tornaria necess3.ria a aplica9ao de forc;as localizadas da 
mesma ordem de grandeza das for9as de ligac;ao molecular, para o 
surgimento do fen6meno da cavitac;ao. 
' CANAVELIS. R., Bul!eri11 de la Direction des Ewdes el Recherches. 
Cavitariio e Choque SOnico 129 
0 crescimento destes n6cleos microsc6picos acontece por vapo-
rizac;i'io, dando origem ao aparecimento da cavita~o, sempre que a pres-
si'io em um ponto qualquer do escoamento atingir valores iguais ou 
inferiores a pressi'io de vaporizac;ilo do lfquido na temperatura em que 
ele se encontra. 
Para ilustrar a cavitas;i'io em m<iquinas de fluxo, toma-se como 
exemplo o escoamento na transic;i'io entre o rotor (runner) e o tubo de 
suc~ao (draft tube) de uma turbina hidraulica (Fig. 6.2). 
Rotor 
, C!J 0 0 0 
CJ Ci) 0 0 ,--- Tubode 
(_).()i() Q / sucyiio 
---\-.: ;c.-.-.-,,,' '.-.-.-.-.-.-. -,i --- --- --- --- --- -
\_Bolhas de ,' 
vapbr d'ligua ' 
1 1 
L 
Pressiio 
absoluta 
daigua 
Fig. 6.2 Forma95.o e implosiio das bolhas no tuba de suc9iio de uma turbina hidr8.ulica 
durante a ocorrencia da cavita9iio. 
No interior <las pas do rotor, numa regii'io pr6xima as arestas de 
saida, principalmente nas turbinas Francis de velocidade de rotagi'io 
especlfica elevada e nas turbinas Helice e Kaplan, aparecem zonas de 
baixa pressi'io como conseqilencia de sobrevelocidades da corrente fluida 
no local. Quando a pressi'io absoluta cai a valores inferiores a pressi'io de 
vaporizagi'io da agua na temperatura em que esta se encontra, formam-
se bolhas de vapor a partir de n6cleos microsc6picos, contendo gases 
niio dissolvidos na aguas ou vapor d' agua, existentes em to mo de materias 
em suspensiio (impurezas) ou em pequenas fissuras das fronteiras s6lidas 
A medida que siio arrastadas pela corrente em escoamento par~ 
regi5es de pressi'io mais elevada, as bolhas vi'io aumentando de tamanho 
ate o local em que a pressi'io toma-se novamente superior a pressi'io de 
vaporizagi'io da agua. Neste ponto, o vapor contido no interior das bolhas 
130 Mdquinas de Fluido 
condensa-se bruscamente, deixando um espago vazio, que e preenchido 
rapidamente pela agua circundante, causando. .... o que se denomina de 
implos3.o das bolhas (bubbles implosion). Para se ter uma ideia do espayo 
deixado pelo desaparecimento d<is bolhas, basta comparar o volume espe-
cifico da agua na fase de vapor a 17°C (69,67 m3/kg) com o da fase 
liquida (0,001001 m-'/kg), ou seja, 69600 vezes maior. 
0 choque entre as particulas que ocupam o espayo deixado pela 
implosao das bolhas da origem a uma onda de choque semelhante a dos 
golpes de ariete, fazendo surgir picos de altissima pressi'io no local (60 a 
200 MPa), que se repetem com alta freqti6ncia (de 10 a 180 kHz). Estas 
sobrepress5es localizadas propagam-se em todas as dire96es com velo-
cidade equivalente a do som na agua, diminuindo gradativamente de 
intensidade. As supetficies metalicas que se encontram nas proximidades 
da zona de colapso das bolhas seri'io enti'io, atingidas por golpes altamente 
concentrados e repetidos que acabam por desagregar particulas de mate-
rial por fadiga, formando pequenas crateras que caracterizam a eros3o 
por cavitac;3.o (cavitation pitting). 
Simultaneamente, ouvem-se ruidos semelhantes a um martelar ouao transporte hidraulico de cascalho num conduto metalico que, mediante 
a ajuda de registradores de som adequados, si'io atualmente utilizados 
como um dos metodos mais simples para detectar processos de cavitac;i'io 
e, conseqtientemente, riscos para a instala9fio. 
A cavitas_:iio provoca a queda do rendimento e da potencia gerada 
pela turbina e, em determinadas ocasi6es, pode dar orige.m a vibray5es 
perigosas para a estrutura da maquina. Embora processos de natureza 
diferente, o efeito simultfineo da erosi'io por cavitayi'io e a erosfio por 
abrasao provoca uma potenciac;i'io recfproca dos mecanismos de destrui-
yi'io do material, o mesmo podendo-se dizer da possibilidade de coexis-
tencia entre cavitayfio e a ayi'io corrosiva de gases provenientes, por 
exemplo, da decomposic;i'io da biomasssa imersa nos reservat6rios for-
mados pelas barragens. 
A exemplo do que foi relatado para a entrada do tubo de succ;i'io de 
uma turbina hidr<lulica, pode-se ilustrar o surgimento da cavitayi'io junto 
ao perfil exterior de uma pa de maquinade fluxo axial. As bolhas formam-
se na parte superior do perfil (Fig. 6.3), num local pr6ximo ao bordo de 
ataque, devido ao baixo valor da pressfio estatica aliado a depressi'io 
oriunda das sobrevelocidades localizadas, e vi'io implodir mais adiante 
Cavitarao e Choque SUnico 131 
(zona de erosJ.o), pr6ximo ao bordo de fuga do perfil, quando a pressao 
absoluta do lfquido volta a superar a sua pressao . ...de vaporizayao. Na Fig. 
6.3, Pe' ea pressao de estagnayao do llquido ao se chocar com o bordo de 
ataque do perfil, Pr' e a pressao de referencia do liquido numa regiao nao 
afetada pelo perfil, e, Pv' ea pressiio de vaporizai;iio (vapor pressure). 
p 
____ aparechnento da cavitavao 
/ zona de erosao 
- - - - !-
- - - - - - - - -- - - - - - - - - -·- - -
sentido da corrente 
L 
Fig. 6.3 Cavitar;Uo no dorso de um perfil Jc 1n<iquina de fluxo axial. 
Embora a cavitayao seja agravada por maus projetos, ela pode 
ocorrer mesmo no melhor projeto de equipamento, desde que este opere 
en1 condiy5es desfavoraveis. Neste caso, a soluyao ea adoyao de medidas 
para minimizar os efeitos da cavitayao, tal como a injer,;J.o de ar nas 
zonas de baixa pressao do rotor e do tubo de sucs;ao de turbinas hidr<lu-
lica~. Os locais ea quantidade dear a ser injetado devem ser escolhidos 
_cuidadosamente, pois a introduyao indiscrimi-nada de ar e danosa a 
potencia e rendi1nento da turbina. 
As bombas e as turbinas hidr<iulicas de grande porte operam usual-
mente nos limites da cavitayao, e1n parte, devido a necessidade de se 
trabalhar com rotay6es as mais elevadas possfveis para conseguir reduzir 
o gasto de material e aumentar o rendimento e, em parte, devido a 
necessidade de atingir grandes alturas de sucyao para reduzir o custo 
<las obras de escavayao. Portanto, sendo muitas vezes antiecon6mico 
projetar uma turbina a salvo do perigo de cavitayao, procura-se utilizar 
materiais resistentes a cavitayao. 
Ensaios de laborat6rio pennitem classificar os materiais segundo 
sua resistencia a erosao por cavitar,;3.o. Como exemplo, e apresentada a 
tabela publicada por Mataix2 onde os materiais mais freqtientemente 
' MATAIX. C .. Turhmndquinas hidrtiu!icas. 
132 Mdquinas de Fluido 
empregados na fabricayao dos componentes das m<iquinas de fluxo sao 
ordenados, dos mais resistentes aos menos resistentes a cavitayao, com 
base na sua velocidade de erosao (massa de material retirada por erosao 
na unidade de tempo) relativa, totbando como referencia a taxa de erosao 
do ayo inoxid<ivel depositado por soldagem (velocidade de erosao rela-
tiva igual a I). 
Quadro 6.1 - Velocidade de erosiio relativa de alguns materiais. 
Material 
A¥o inoxid<ivel soldado, l 7o/o Cr - 7% Ni 
Fundi9ao de a¥o inoxidllvel 12% Cr 
A9o inoxid<ivel soldado 18% Cr - 8% Ni 
Bronze ao aluminio 
Fundi91io de a90 com 0,33 o/oC 
Bronze ao manganes 
Fundi9ao de ferro 
Velocidade de 
erosii.o relativa 
3 
5 
13 
37 
80 
224-375 
0 Quadro 6.1 1nostra que a fundic;ao de ferro nao e recomendada 
para as partes da maquina expostas a cavitar,;ao, enquanto o ar,;o 
inoxid<lvel, coin propory6es de cromo de 13 a 17% e de niquel de 4 a 
7o/o, pela alta tenacidade, elevado limite de elasticidade e dureza 
apresenta uma consider<ivel resistencia a eros3.o por cavitayao aliada a 
boas propriedades de soldagem e usinagem. A presenya de veios de grafite 
no ferro fundido cinzento, de maneira semelhante a presenya de impu-
rezas e de inclus6es nao inet<ilicas em outros materiais, diminuem a 
resistencia as cargas puls<iteis da cavitayao por se constitufrem em niicleos 
de falha por fadiga. 
0 ayo inoxid<ivel e empregado como recobrimento por solda <las 
zonas mais expostas a cavitayao, como chapa soldada nas superffcies 
das pas do rotor, ou, mais raramente, pelo elevado custo, na construyao 
de todo o rotor. A pesquisa sobre o uso de polfmeros para recobrir super-
ficies tern avanyado e o emprego de varios pl3.sticos a base de epoxy e 
poliuretano tern apresentado resultados satisfat6rios. 
Cavitariio e Choque S6nico 133 
Quanta mais polida esteja a superficie do material exposta a 
cavita9ao, maior sera suaresistencia a erosao. As..superficies danificadas 
pela cavita9iio tern um aspecto rendilhado, esponjoso, enquanto as super-
ficies desgastadas por abrasao "apresentam-se riscadas, onduladas e 
polidas. 
6.2 Coeficiente de cavitat;3o 
V <irios para.metros silo utilizados para caracterizar o inicio da 
cavita9ao. No caso de cavita98.o provocada por singularidades que origi-
nam redu98.o local da pressao, tais como, tubas de Venturi, diafragmas, 
curvas, saliencias e rebaixos de superffcies, freqlientemente define-se o 
coeficiente de cavitat;3o (cavitation coefficient) por: 
a= Pr-Pv 
p c'/2 (6.1) 
on de: 
a = coeficiente de cavita9ao, adimensional; 
Pr = pressao de referencia do lfquido, ou seja, pressao absoluta num 
ponto pr6ximo da singularidade, mas fora da zona de cavita9ao, 
em Pa; 
p" = pressao de vaporiza9ao do lfquido a temperatura considerada, em 
Pa; 
p = massa especffica do lfquido, em kg/m3; 
c = velocidade do liquido num ponto ou numa se98.o de referencia 
(velocidade media numa se9ao de canaliza98.o, por exemplo), em 
mls. 
Quando se trata de mliquinas de fluxo, substitui-se este coeficiente 
por um que considera grandezas mais diretamente ligadas a estrutura da 
instala9ao, designado por coeficiente de Thoma (Thoma's cavitation 
coefficient) e representado pela mesma letra grega, cr. Ou seja, no Siste-
ma Internacional: 
;..y 
"=-y ou, no Sistema Tecnico : 
" = 1'.p,/y 
H 
(6.2) 
134 Mdquinas de Fluido 
onde: 
a = coeficiente de cavita9ao de Thoma, a!:limensional; 
AY, = energia especi'.fica correspondente a depressiio suplementar Ap, 
y 
1'.p, 
H 
y 
= 
= 
= 
= 
devida a sobrevelocid~des localizadas no rotor das m<iquinas de 
fluxo, em J/kg; 
salto energetico especifico correspondente a altura de queda das 
turbinas OU 8. altura de eleva9iio das bombas, em J/kg; 
depressao suplementar, em kgf/m 2; 
altura de queda da turbina ou altura de eleva9iio da bomba, em m; 
peso especifico do li'.quido que circula pela m<iquina, em kgf/m3• 
Este coeficiente depende das providencias adotadas na constru9ao 
da 1n3.quina para reduzir o risco de cavita98.o e, principalmente, da forma 
do rotor, ou seja, da sua velocidade de rota98.o especifica. Assim, o 
coeficiente de Thoma pode ser considerado como uma medida da 
sensibilidade de uma m<iquina a cavita9ao e varia com a velocidade de 
rota9iio especffica, n . 
,A 
Ao valor particular deste coeficiente, correspondente a situa9iio para 
a qual tern inicio a cavita93-o, designa-se por crmin. Com base na expe-
riencia com prot6tipos e modelos tern sido propostas tabelas, curvas ou 
equa96es de varia9ao de O' . em funrao den , entre as quais podem 
mm ~ qA • 
ser citadas: 
• A equa9ao indicada pelo Bureau of Reclamation,3 para turbinas de 
rea~ao de eixo vertical: 
(6.3) 
•A equa9ao indicada por Shepherd4 a partir de Moody,5 para turbinas 
Francis: 
(6.4) 
-' BUREAU OF RECLAMATION., Selecting hydraulic reaction turbines: engineering 
monograph 
' SHEPHERD, D. G., Principles of turbomachinerv. 
' MOODY. L. F., H.1·draulic machinery. , 
I Cavitai;ao e Choque S6nico 135 
• A equac;ao indicada por Shepherd6 a partir de Moody,7 para turbinas 
HClice ou Kaplan: 
(6.5) 
• A f6nnula oriunda dos estudos de Petermann,8 para bombas hidr::iulicas, 
correspondente a um denominado coeficiente de su~ao S = 0,45: 
' 
2 9 10
_, r, 
Cimin = ' · IlqA 
(6.6) 
E importante salientar que as express6es indicadas para o c:ilculo 
do coeficiente de Thoma, amin' sao v::ilidas apenas para o ponto de 
rendimento m::iximo ou ponto de projeto das m<lquinas. 
6.3 NPSH e altura de suct;3.o milxima 
No bombearnento de liquidos, a pressao, em qualquer ponto da linha 
de succ;ao, nunca deve ser reduzida a pressiio de vapor do liquido. A 
energia disponfvel para conduzir o liquido atraves da canalizac;ao de 
succ;ao e no seu percurso pelo interior do rotor, sem risco de vaporizar;,:ao, 
pode ser, entao, definida como a energia total na sucr;,:ao menos a energia 
correspondente a pressao de vapor do lfquido na temperatura de 
bombeamento. Esta energia disponfvel por unidade de peso, medida na 
boca de sucr;,:ao da bomba, e denominada de NPSH, sigla da designar;,:ao 
inglesa, Net Positive Suction Head, numa tentativa de tradur;,:iio para o 
portugues, Saldo Positivo de Altura de Sucr;,:iio, sendo expressa por: 
NPSH - £1-. + c~ - & 
' - y 2g y 
(6.7) 
onde: 
NPSH<l = energia especifica disponivel para introduzir o liquido na bom-
ba sem que haja vaporizar;,:ao, em metros de coluna de liquido; 
p, = pressiio na boca de sucr;,:iio da bomba, em kgf/m2; 
SHEPHERD, D. G., Principles ofturbomachinery. 
MOODY, L. F., Hydraulic machinery. 
PFLEIDERER. C. & PETERMANN, H., Mdquinas defluxo. 
136 Mdquinas de Fluido 
C3 = velocidade do liquido na boca de sucr;,:iio da bomba, em mis; 
P v = pressao de vaporizar;,:iio do liquido na temperatura de bombeamento, 
em kgf/m2; 
y = peso especifico do liquido"bombeado, em kgf/m3; 
g = acelerar;,:ao da gravidade, em m/s2 • 
Buscando uma equar;,:iio mais pr.itica para o cfilculo do NPSHd, uma 
vez que os valores da pressiio e da velocidade na boca de sucr;,:3.o da bomba 
nem sempre silo f<iceis de serem obtidos, faz-se o balanr;,:o de energia entre 
os pontos 2 (na superficie do reservat6rio de sucr;,:iio) e 3 (na boca de sucr;,:iio 
da bomba) da linha de sucr;,:3.o de uma bomba centrifuga (Fig. 6.4 ), obtendo: 
onde: 
c2 = velocidade do liquido na superficie do reservat6rio de sucr;,:3.o, em 
mis; 
P2 = pressiio existente na superficie do reservat6rio de sucr;,:iio (atmos-
f6rica, se for um reservat6rio aberto), em kgf/m2; 
HP, = perda de carga na tubular;,:iio de sucr;,:3.o, em metros de coluna de liquido; 
z2 = cota do ponto 2; 
z3 = cota do ponto 3. 
Rotor de_ 
. ' turb1na 1
1 
' 
' . ' 
If{,~ 
otor de 
bomba 
I 
1 Canalizar;:iio 
I de sucr;:iio 
_7c_:C.L..J1 ____ 
1 
__ _i_J__~-- IL\IM_;2o_ 
• 
Fig. 6.4 Corte longitudinal esquem3.tico da canaliza9ao de suc9.'.io e do rotor de uma 
bomba centrifuga, a direita do eixo vertical da figura, e de uma turbina 
hidniulica, a esquerda do eixo. 
l Cavitasiio e Choque SOnico 137 
Adotando: 
z3 - z2 = H,g = a1tura de succ;iio geometrica, vem: 
(6.8) 
ou, ainda: 
' 2 h+2=P2-H -H +__S__ Y 2g Y sg ps 2g 
Subtraindo o termo & de ambos os membros da equac;ao anterior, 
tem-se: Y 
2 2 P3+~-Pv=P2_H -H +~-Pv 
y 2g y Y sg ps 2g y 
Pela equac;ao 6.7, pode-se entao escrever: 
2 
NPSH =h_Ec-__H -H +2 
J Y Y sg ps 2g (6.9) 
Cada bornba exige, na boca de succ;ao, uma certa quantidade de 
~nergia NPSHh, expressa em metros de coluna de lfquido, para que niio 
haja cavitas;ao. Esta energia especffica e denominada de NPSH requerido 
pela bomba ou energia de seguranc;a a cavitac;iio e depende 
fundamentalmente das caracterfsticas construtivas da mliquina, mas tam-
be1n de propriedades do lfquido, como a viscosidade. 
A determinac;iio de NPSHb, em geral, e feita experimentalmente, 
j3. que o seu c3.lculo apresenta grandes dificuldades. Entretanto, com a 
ajuda de coeficientes empfricos A.1 e A.2 , pode-se estimar, Segundo Pfleiderer: 9 
w~ c; NPSHb =A., --+A.2 -· 2g 2g (6.10) 
" PFLEIDERER, C., Bomhas centrifugas y turbocumpressores. 
- ,.. - -
138 MGquinas de Fluido 
onde: 
NPSH = energia especffica minima requerida.I?ela bomba para que nffo 
b haja risco de cavita9ao, em metros de coluna de lfquido; 
w = velocidade relativa da cotrente, medida na boca de suc9ao diante ; 
da aresta de entrada do rotor, em mis. 
Nas bombas existentes no mercado podem ser estimados, com base 
em resultados experimentais com p3.s de diferentes formas e entrada 
sem choque da corrente fluida no rotor, em media, A1 = 0,3 e A2 = 1,2. 
Estes valores podem, entretanto, variar entre limites amplos, sendo ainda 
diferentes para bombas e para turbinas. 
Pela equa9ao (6.10), observa-se que o NPSH requerido e funr.;:ao 
das velocidades absoluta e relativa da corrente fluida na entrada do rotor 
e, portanto, para uma mesma bomba, aumentacom um aumento da vazao. 
Por este motivo, o seu valor geralmente e obtido a partir de uma curva 
caracterfstica, NPSH = f (Q), fomecida pelo fabricante (Fig. 9.18). 
Em vista das considera96es anteriores, conclui-se que o projeto da 
linha de sucyao de uma bomba, de maneira a evitar o risco de cavitar.;:fto, 
implica em que o NPSH requerido (NPSH required) pela bomba, na 
vazao de opera9ao, seja men or que o NPSH disponivel (NPSH available) 
calculado para instalar.;:iio. Ou seja, que seja obedecida a condiyffo: 
(6.11) 
Convem prever, no dimensionamento da linha de sucyao, uma certa 
margem de seguranya, levando em conta oscila96es de temperatura do 
lfquido, variayao da pressao no reservat6rio de sucyffo, presen9a de impu-
rezas no liquido bombeado, etc. 
Como j3. foi mencionado, o NPSHb (requerido pela bomba) sofre 
influencia da natureza do lfquido, fazendo com que seja importante a 
especificayao das caracterfsticas do fluido a ser bombeado, princi-
palmente no caso de indllstrias qufmicas e pettolfferas. 0 aumento da 
viscosidade do fluido, por exemplo, reduz o campo de funcionamento 
da bomba sem risco de cavita9ao, pois alem de aumentar o valor do 
NPSHb diminui o NPSHd, pelo acrescimo da perda de carga na cana-
liza9ao. A experiencia no entanto, mostra que, no caso de 3.gua quente 
ou hidrocarbonetos lfquidos nao viscoses, trabalha-se com uma margem 
•""-
Cavitar;iio e Choque S6nico 139 
de segurani:;:a significativa utilizando os val ores de NPS}\ obtidos para a 
:igua fria. 
Quadro 6.2 Valores da pressao de vaporizai;:ao e peso especffico da 3gua em funi;:ao da 
temperatura. 
t(°C) Pv (kgf/m1) Pv (kPa) y(kgf/m3) t(°C) Pv (kgf/m2) Pv (kPa) y (kgf/m3) 
15 174 1,707 999 65 2547 24,986 981 
20 238 2,335 998 70 3175 31,147 978 
25 322 3,159 997 75 3929 38,543 975 
30 429 4,208 996 80 4828 47,363 972 
35 572 5,611 994 85 5894 57,820 969 
40 750 7,358 992 90 7149 70,132 965 
45 974 9,555 990 95 8620 84,562 962 
50 1255 12,312 988 100 10333 101,367 958 
55 1602 15,716 986 105 12320 120,859 955 
60 2028 19,895 983 110 14609 143,314 951 
O mesmo nao pode ser dito sabre o NPSHd (disponfvel na insta-
la<;3o ), cujo valor es ta intimamente vinculado ao valor da pressiio de 
vaporizac;:ao e, conseqiientemente, a temperatura do lfquido bombeado. 
A tabela 6.2 fornece os valores da pressao de vaporiza<;iio e peso 
especlfico da 8.gua em fun<;ao da temperatura. 
. Voltando a bomba centrffugada Figura 6.4, pode-se caracterizar 
um ponto gentrico x, j<'i no interior do rotor, normalmente pr6ximo ao 
bordo de ataque das p&s, onde, em virtude de sobrevelocidades 
decorrentes da redu<;ao da sei:;:ao de passagem do fluido provocada pela 
espessura das pis, a press3o do liquido em escoamento atingir3. o seu 
menor valor. Este sera, entao, o ponto mais sensfvel ao surgimento da 
cavitai:;:ao em toda a instala<;ao. 
Designando de D.ps a depressao suplementar entre os pontos 3 ex 
(Fig. 6.4 ), decorrente das sobrevelocidades localizadas, pode-se escrever 
para o ponto x: 
(6.12) 
y y y 
140 Mdquinas de Fluido 
Substituindo p3/y, na equai;ao (6.12) pelo seu valor na equai;ao 
(6.8), tem-se: -. 
Ou ainda, pela definii;ao do coeficiente de Thoma apresentado na 
equai;iio (6.2): 
p p c2 c2 
H ::::---2. _ ___! -cr H-H +-' --3 
'g Y "{ ps 2g 2g (6.13) 
0 m3.ximo valor da altura de succ;3.o geometrica (maximum static 
suction lift), Hsgmax' e alcani;ado quando a pressao absoluta no ponto x 
diminui ate o valor de pressao de vaporizai;ao do liquido, Pv' dando-se 
infcio ao fenOmeno da cavitai;ao. Nesta situai:;:ao, o coeficiente de Thoma 
assume o valor particular crmin e, desprezando o termo c~ /2 g (geralmente 
nulo), a equa9ao (6.13) assume a forma: 
P. - (}"min H - Rps 
y 
c' 
- _3 
2g 
(6.14) 
As bombas de alta velocidade de rotai;ao especffica ou que bom-
beiam lfquidos com temperatura elevada sao, muitas vezes, instaladas 
com altura de suci;ao geometrica nula ou negativa. No caso de altura de 
suc9ao negativa, a bomba encontra-se instalada abaixo do nfvel do 
reservat6rio de suci;ao, possibilitando o escoamento por gravidade do 
lfquido para o seu interior, caracterizando, desta maneira, a denominada 
instalai:;:ao com bomba afogada. 0 valor ob ti do pela equai;ao (6.14) passa 
a significar, entao, o afogamento minimo (minimum static suction head) 
a que deve ser submetida a bomba para que nao haja cavitai;ao. 
Como recomendai;ao de car<'iter geral, deve-se buscar a menor altu-
ra de suc9ao possfvel, havendo vantagens adicionais na instala<;ao do 
tipo afogada, por permitir o escorvamento da bomba mesmo sem a pre-
' 
Cavitai;iio e Choque SOnico 141 
senc;a de uma v3.lvula de pe (v81vula de retenc;ao instalada na extremidade 
de captac;ao da canalizac;ao de succ;5.o), o que reduz a perda de carga na 
linha de succ;ao. 
Denomina-se de escorvame~to (priming) aoperw;ao, indispensavel 
para a partida da bomba, de e!iminac;ao do ar contido na bomba e na 
canalizac;ao de succ;ao pelo preenchimento dos espac;os vazios com o 
lfquido a ser bombeado. 
Conforme se depreende da equac;ao (6.14), uma reduc;ao na perda 
de carga Hps possibilita o emprego de maiores alturas de succ;ao, o que 
pode ser obtido pela adoc;ao, na canalizac;ao de succ;ao, de grandes dia-
metros e do men or nli1nero possfvel de acess6rios, coma joelhos, curvas, 
valvulas, etc. 
Para turbinas hidr3.ulicas (Fig. 6.4), chega-se a uma expressao 
similar a (6.14): 
H . =h 
<gmax Y 
onde: 
y 
c' 
crmmH +Hrs - 2~ 
H . = altura de sucyao geomttrica maxima da turbina, em m; 
(6.15) 
sgmax 
p1 = pressao existente no reservatOrio de descarga da turbina (em geral 
atmosferica), em kgf/m2; 
y = peso especffico da agua, em kgf/m3; 
fl = altura de queda a que esta submetida a turbina, em m; 
Hr,= perda de carga no tubo de sucy1io da turbina, em m; 
c
6 
= velocidade da corrente fluida logo apOs deixar o rotor da turbina, 
ou seja, na entrada do tubo de sucyao, em mis; 
g = acelerayao da gravidade, em m/s2• 
Nas instalay5es de turbinas hidrauticas, diferentemente do que acontece 
no caso das bombas, o tubo de sucyao normalmente faz parte do conjunto 
de componentes fomecido pelo fabricante. Poreste motivo, o projetista da 
instalayao normalmente desprezaos dois llitimos termos daequayao (6.15), 
considerando-os englobados pelo coeficiente de cavitayao crmin. Desse modo, 
e tendo em vista que a pressao no reservatOrio de descarga da turbina e 
normalmente a atmosftrica, chega-se a expressao mais usada para o ca!culo 
da altura de sucyao geometrica maxima das turbinas: 
142 Mdquinas de Fluido 
H - Pmcn - ~ - H 
sgm:ix - (j min y y 
(6.16) 
onde Paim ea press3o atmosf€rica (barometric pressure) no nfvel de 
jusante da instalayao, reservatOrio de descarga ou canal de fuga (tail 
race), em kgflm2, que pode ser calculada de maneira aproximada por: 
ZJ Patm =10330 - -
0,9 
on de: 
(6.17) 
z1 = cota do nfvel de jusante da instalayao (canal de fuga), tomando 
coma referencia o nfvel do mar (cota zero), em metros. No caso 
de bombas, zJ sera substituido na equayao (6.17) por ~· cota do 
nivel de montante da instalayao de bombeamento. 
No caso de turbinas rapidas (grande nqA), pode ocorrer que o valor 
de H•g•n<ix resulte negativo, o que significa instalar a maquina abaixo do 
nfvel da <igua no canal de descarga (canal de fuga). Este tipo de instala-
yao t denominada do ti po afogada OU de contrapress3.0 (back-pressure), 
necessitando de bomba para esvaziar a turbina e o tuba de sucyao para a 
realiza~ao de manutens;:ao ou de algum reparo nestes equipamentos. 
E importante salientar que, mesmo sendo atendidas, no projeto da ins-
talayao de uma 013.quina de fluxo, as condiy5es exigidas pelas equay5es 
(6.11), (6.14) ou (6.16), pode ocorrer cavita~ao localizada em determina-
dos pontos de uma m<iquina que se encontre funcionando muito afastada da 
faixa de melhor rendimento. Nesta situayao, a fonnayiio de redemoinhos, 
em decorrencia da niio coincid€ncia da direyao da velocidade relativa ou da 
velocidade absoluta com a inclinayao das pas do rotor ou do sistema dire tor, 
pode originar press5es localizadas tao baixas e conseqlientemente o fen6-
meno da cavitayao. E o caso, por exemplo, das turbinas de uma central 
hidrelttrica quando operam em carga parcial. 
Finalmente, sera demonstrada a relayao que existe entre o NPSHb 
e o coeficiente de cavitayao crmin, muito Util na transposiyao dos resulta-
dos obtidos nos ensaios de cavitayiio de bombas. 
Na equayao (6.9), para a condiyao limite de cavitayao, pode consi-
derar-se que H = H . quando NPSH = NPSH . Logo: 
sg sgmax d b 
Cavitar;ao e Choque S6nico 143 
' 
-H +~-P_.,,_ 
,, 2g y 
(6.18) 
Trazendo para es ta equai;ao o valor de Hsgmax fomecido pela equa9ao 
(6.14) e simplificando os termos iguais, vem: 
2 
C3 
NPSHb =O"min H + -2g 
(6.19) 
Ou ainda, desprezando o termo referente a energia de velocidade 
na boca de sucyao: 
NPSHb =crmin H (6.20) 
Para bombas semelhantes (mesmo n ) operando em pontos cor-qA 
respondentes ou para uma mesma bomba trabalhando em diferentes velo-
cidades de rotai;ao, uma vez que tanto o NPSHb como a altura H sao 
proporcionais ao quadrado da velocidade de rotayao, pode-se escrever: 
NPSHb 
O"min = H = constante 
(6.21) 
No entanto, esta equai;ao vale apenas como uma aproximai;ao, j<i 
que as leis de semelhan9a nao sao plenamente satisfeitas quando tern 
inicio o fen6meno da cavita9ao. 
6.4 Choque sOnico 
Um dos metodos utilizados para a explicai;ao deste fen6meno e a 
analise do escoamento de um gas atraves de um bocal convergente~ 
divergente (converging-diverging nozzle), tambem denominado de bo-
cal de Laval (Fig. 6.5). 
144 
Fig. 6.5 
p 
A 
~~ 
i \ 
' \_Boca] convergente-divergente 
. ' 
B 
F~ 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
E 
c 
G 
D 
Mtiquinas de Fluido 
L 
Varia~il.o da pressil.o ao longo do escoamento atraves de um bocal convergente-
divergente. 
A velocidade do gas aumenta durante o seu escoamento na parte 
convergente do bocal enquanto a pressao cai de um valor pA, corres-
pondente a pressao na entrada do bocal ate um valor p corresponden-
, B' 
tea pressao critica no estrangulamento, onde a velocidade do gas atinge 
a velocidadedo som. Observe-se que o processo de A ate Be tinico. A 
partir de B, na parte divergente do bocal, o fluxo depende das condi-
96es de saida do bocal. 
Existe uma condi9fio de pressao na safda (e apenas uma), Pc' para a 
qual o gas e comprimido adiabaticamente na parte divergente do bocal 
com a sua velocidade sendo reduzida a valores inferiores ao do som. O 
fluxo segue a trajet6ria ABC, que e a curva limite para o escoamento 
inteiramente subs6nico ao longo de todo o bocal. 
Para uma outra condi9ao na saida, p0 , tambem tinica e denominada 
de condi9ao de projeto do bocal de Laval, o gas e expandido 
adiabaticamente na pori;ao divergente do bocal, com a velocidade de 
escoamento atingindo valores superiores ao do som. 0 processo segue a 
curva ABD e o fluxo e supers6nico na safda do bocal. 
Cavitaqilo e Choque SOnico 145 
Estas duas situa96es relatadas siio consideradas condi96es lirnites 
para urna outra, muito comum na realidade, q~ando a pressiio na saida 
assume um valor p , situado entre Pc e Pn· Neste caso, a comprova9iio G • 
experimental in di ca que, mes mo a16m da garganta ( estrangulamento) do 
bocal, a pressiio continua a diminuir ea velocidade cresce a valores mai-
ores do que o da velocidade do som. Isto pode ser explicado pela conside-
ravel in6rcia do fluido na se9iio de estrangulamento, o que tende a manter 
o movimento do gas com uma elevada velocidade no sentido do escoa-
mento. Num detenninado ponto, entretanto, acontece um sUbito acresci-
mo da pressiio e urna brusca diminui9iio na velocidade de escoamento 
(ponto E). Antes do choque o fluxo e supers6nico e depois, subs6nico. 
Este fen6meno, representado pela linha tracejada EF na curva de varia-
9iio da pressiio ao longo do bocal (Fig.6.5), caracteriza o chamadochoque 
de compressao (compression shock) ou choque sOnico (sonic shock) e 
normalmente vem acompanhado de consideravel perda de energia. 
Condi96es semelhantes a estas siio necessarias para produzir o cho-
que s6nico nas maquinas de fluxo. Ou seja, que o fluido em escoamento 
tenha que veneer uma pressiio mais elevada, ap6s haver atingido uma 
velocidade superior a do som em algum local da maquina, como pode 
acontecer no fluxo atraves dos turbocompressores. 
Os choques que entiio se produzem modificam sensivelmente o 
escoamento e podem ser a causa de uma consideravel diminui9ao do 
rendimento, mesrno que a velocidade do som seja atingida apenas em 
uma parte de se9iio de passagem do fluido. Conseqtientemente, sempre 
· que possfvel, as velocidades dos gases nos turbocornpressores deveriio 
manter-se abaixo da velocidade do som (velocity of sound). 
Como as regi6es de elevadas velocidades de escoarnento nas ma-
quinas de fluxo sao nonnalmente regi6es de baixa pressiio, pode-se con-
cluir que os locais de rnaior risco de cavitar;iio em maquinas que traba-
lham com fluidos incompressfveis (lfquidos) siio os mais sensfveis ao 
choque s6nico no caso de m<iquinas que trabalham com fluidos com-
pressf veis (gases). Salienta-se que oar e considerado compressfvel nos 
turbocompressores, ja que estes trabalharn com uma diferenr;a de pres-
siio superior a 10 kPa (C'!OOO mmCA). 
Como no caso da cavitar;iio era necessfuio comparar a pressiio ab-
soluta do liquido com a sua pressiio de vaporizar;ao, no caso do choque 
s6nico o parfimetro de comparayiio e o nllmero de Mach (Mach number), 
146 Mciquinas de Fluido 
que representa a relayao da velocidade absoluta ou relativa do fluxo 
com a velocidade do som. Ou seja: .... 
c Ma=-
c, 
onde: 
OU 
w Ma==-
c, 
Ma = nU.mero de Mach, adimensional; 
c = velocidade absoluta do escoamento, em mis; 
w = velocidade relativa do escoamento, em mis; 
(6.22) 
c = velocidade de propagayiio do som no meio considerado, em mis. 
' 
Deve-se salientar que a influencia do ntimero de Mach pode. ser des-
prezada quando seus valores siio inferiores a 0,3. Valores supen~res, no 
entanto, devem ser empregados com cuidado, niio apenas pelo rise~ do 
choque s6nico (possibilidade de atingir Ma= 1, em algurn loc~l da ser;ao de 
escoamento ), mas sobretudo porque no caso das grandes veloc1dades a den-
sidade do fluido varia notavelmente durante o escoamento. 
Uma outra conseqiiencia do aumento do nUmero de Mach e o au-
mento do coeficiente de sustentar;iio (sera definido no Capftulo 13) dos 
perfis aerodinfimicos utilizados na construr;iio de. r?tores de m3quinas 
de fluxo axiais, observando-se tambem que o coef1c1ente de arrasto des-
tes perfis tern seu maximo valor para Ma= 1. . _ 
Usando o mesmo procedimento do estudo da cav1ta9ao, qu~ndo se 
estabeleceu a maxima altura de sucr;iio para instala96es de maqu1nas de 
fluxo que trabalharn com Ifquidos, buscar-se-a estabelecer as condi96~s 
Iimites para as velocidades de escoamento em turboco~p~essores, ac1-
ma das quais haveni o risco de surgimento do choque son1co. 
6.5 Limite sOnico 
Na dedur;iio das condir;6es para que a velocidade do som niio seja 
ultrapassada nos turbocompressores, sera analisado o escoamento de 
um gas atraves de um rotor radial (Fig. 6.6). 
I 
' 
j 
Cavitariio e Chuque SOnico 147 
·. 
Fig. 6.6 Corte longitudinal esquemUtico do rotor radial de um turbocompressor . 
. P~ra a aresta de sucgao de uma pa deste rotor, representada pela 
proJegao 4e4i sobre o plano meridiano da Fig. 6.6, a velocidade relati-
va da corrente fluida, w3e, imediatamente antes do ponto mais externo 
do bordo de ataque da pa, 4e, e a maior possfvel, ao passo que a veloci-
dade absoluta do fluido, c3, praticamente nao se altera ao Iongo desta 
ares ta. 
Enquanto a velocidade absoluta, c3, raramente ultrapassa os valores 
de ~,2 a 0,3 Ma, o choque sOnico pode ser provocado pela velocidade 
relat1va, w3e que, freqtientemente, assume valores da ordem de 0,6 a 0,8 
Ma. Como W3e, ea velocidade num ponto antes de penetrar no rotor 0 
valor da velocidade relativa do escoamento sera ainda aumentado no in~e­
rior_ dos canais do rotor ate um valor maximo, devido a diminuigao da 
segao de passagem do fluxo por intluencia da espessura das pas. 
Segundo Pfleiderer, 10 o valor desta velocidade maxima pode ser 
calculado pela expressao: 
W~''"" =(l+A. )w~e (6.23) 
ond~ A. e um coeficiente empfrico, que leva em consideragao 0 
e~tre.1t~:_nt? da segao de passagem causado pela espessura das pas e a 
d1stnbu1gao irregular das velocidades, cujo valor usualmente fica com-
preendido entre 0,2 e 0,3. 
"'Ibidem. 
148 Mdquinas de Fluido 
O limite sOnico (sonic limit) e atingido quando a velocidade w max 
for igual a velocidade do som, c, Ou seja, a partir da equagao (6.23), 
quando a velocidade relativa na boca de sucgao, w Je' alcangar o seu 
valor m<'i.ximo: q 
( 1 )""' w3emax = I+A c, 
(6.24) 
onde a velocidade do som, c,, pode ser calculada pela expressao: 
c, = (k R T)0-' (6.25) 
emque: 
k = expoente adiabatico ou isentr6pico, adimensional (1,4 para oar 
seco, a 300 K); 
R = constante dos gases, em J/kg K (287 para oar seco); 
T = temperatura absoluta do gas, em K (Kelvin). 
O conhecimento do valor limite, w3emiix, permite calcular, atraves 
do tri8.ngulo de velocidades (Fig. 6.7), os valores mhimos da velocida-
de tangencial, u4e, e da velocidade meridiana, cmJ, correspondentes ao 
ponto 4e na aresta de entrada do rotor, desde que sejam conhecidos os 
valores do 8.ngulo da velocidade relativa do fluxo, ~Je' e da relagao de 
giro da corrente fluida, cu3Ju4e, na admisslio do rotor. 
s 
u 
(3 3, 
U4e 
Cu3c 
Fig. 6.7 Trifingulo de velocidades para o ponto exterior da aresta de entrada de um 
rotor radial. 
Cavitarao e Choque S8nico 
Ou seja: 
w 3em0x cos~ 3e 
u4enlk< = ~=~-~~ 
1 - ?u3e 
u ,, 
e 
cm3m.ix = w 3em.ix sen~ 3e 
149 
(6.26) 
(6.27) 
Com base nesses valores e conhecida a geometria do rotor na ad-
missfio (principalmente o diiimetro D 4e), pode-se calcular os valoresm<i-
ximos da velocidade de rotai;ao e do fluxo m<issico (ou da vazfio) de um 
turbocompressor. 
Para os rotores de turbocompressores, e usual uma entrada sem 
giro da corrente fluida, cuJe = 0 (o:3 = 90°), sendo recomendado ~Je = 32 
a 33° para evitar risco de choque s6nico. 
E importante tambem observar que nos turbocompressores axiais, 
o ponto 4e corresponde a ponta das p<is na entrada do primeiro est<igio 
do rotor e que, nos rotores radiais de baixa velocidade de rotai;;ao 
especifica, embora a velocidade w Je seja inferior a velocidade do som, 
esta pode ser freqtienternente ultrapassada pela velocidade absoluta na 
safda do rotor, provocando choque s6nico no· bordo de ataque das plis do 
difusor, norrnalmente sern causar perdas de energia significativas. 
Finalmente, embora a influencia geralmente negativa do choque 
s6nico e as providencias no sentido de evitli-lo nos turbocornpressores 
tradicionais, deve-se rnencionar a existencia, modernamente, de 
turbocompressores nos quais a velocidade do sorn e ultrapassada sem 
que haja urna diminuii;fio do rendirnento. Sao os chamados turbocom-
pressores transOnicos (transonic turbocompressors) ou os turbocom-
pressores supersOnicos (supersonic turbocompressors), onde as vanta-
gens do choque s6nico, como o aurnento brusco da densidade do g<is 
logo ap6s a sei;ao do choque, sao utilizadas juntarnente com alguns cuida-
dos que reduzem os seus efeitos negativos, corno a adoyao de perfis 
aerodinfunicos com bordo de ataque bastante agudo na construyao das 
suas pas. As complicay6es que acontecem neste tipo de turbocompressor, 
150 Mdquinas de Fluido 
como problemas de resistencia de materiais, vibrai;6es, instabilida~e .de 
escoamento e outros, ainda limitarn o seu uso a Certos casos espec1a1s. 
6.6 Exercicios resolvidos 
1. O teste de uma bomba, girando na sua velocidade de projeto n = 
3500 rpm e operando com <'igua de massa especifica p = 1000 kg/m3, 
revelou os seguintes dados para o ponto de melhor rendimento: 
_ press3.o manometrica (gage pressure) na descarga da bomba: Pd= 
360 kPa; 
- pressao manometrica na admissao (sucyao) da bomba: Pa= -40 kPa; 
- velocidade na admissao da bomba: ca= 4,0 mis; 
, vazao: Q = 8,0 1/s; 
- torque no eixo: M = 14 Nm; 
- altura de suc93.o g~ometrica do teste (nao a maxima): H,g = 1,0 m. 
Sabendo-se que os man6metros encontram-se instalados, na admissao 
e descarga da bomba, nivelados e em pontos onde as canalizay6es 
possuem o mesmo di§.metro, determinar: 
a) a altura de eleva9ao da bomba; 
b) o seu ti po; 
c) o seu rendimento total; 
d) o NPSH requerido, de maneira aproximada; 
e) a perda d~ carga na canalizayao de suci;ao (admissao ), considerando-
se que o reservat6rio de suc9ao encontra-se aberto. 
SOLU<;Ao: 
A equai;ao (1.5) aphcada a admissao e descarga da bomba do teste 
estabelece: 
Y= Pc.1-Pa 
p 
Como as velocidades de admissao e descarga sao iguais, em decor-
rencia dos difunetros iguais, e os man6metros encontram-se nivelados 
(mesma cota), a equai;ao anterior reduz-se a: 
Cavita(fio e Choque SOnico 
y [360-(-40)]10' = 400J/kg 
1000 
y 400 • 
H=-=-=40,77m (Resposta a) 
g 9,81 
Pela definis;iio de velocidade de rotas;iio especifica (Eq. 5.34): 
(8,0.10-' f°' 
4000,75 58,33 
151 
Pelo Quadro 5.1, para nqA = 58,33 ::::::} Bomba centrffuga (Resposta b) 
A partir da equas;iio (1.28) pode-se escrever para a potencia no eixo: 
P, Me. n . n 
30 
14 . n . 3500 
30 
5131,27 w 
p.Q.Y 1000.8.10-3.400 
flt=--=------= 0,624 .. flt =62,4% 
P, 5131,27 
(Resposta c) 
A equayiio (6.6) propoe: 
""'" =2,9.10-'.n~ =2,9.10-'(58,33~ =0,0656 
Para um cilculo aproximado do NPSHb requerido, a partir do 
valor do coeficiente de cavitas;iio crmin' pode ser usada a equas;iio (6.20). 
Ou seja: 
NPSHb '=o "'" .H = 0,0656.40,77 
NPSH, = 2,67 rn (Resposta d) 
Fazendo um balans;o de energia entre um ponto situado na superficie 
do reservat6rio de sucs;iio (nivel de montante), cujas grandezas tern o 
subscrito "M", e um ponto na admissao da bomba, vem: 
152 Mciquinas de Fluido 
p c2 p c2 
_____M_+____M._+g.zM =____.!_+~+g.za +Eps 
p 2 p 2 
E,, 
on de: 
PM = p"tm = 0 (pressao manom6trica ); 
cM = O (velocidade do liquido na superficie do reservat6rio de sucs;ao); 
Za - ZM = Hsg= altura de sucs;iio geom6trica. 
Logo: 
(-40103 )_ 4' -9 81.10 
1000 2 , ' .. 
E,, = 22,19J/kg 
Ou, calculando a perda de carga na canalizas;ao de sucs;iio em metros 
de coluna d' agua : 
H,, = E~ = 22·19 =226rn (Resposta e) 
g 9,81 , 
2. As turbinas Kaplan da usina hidrel6trica de Passo Real, no rio Jacui, 
apresentam as seguintes caracteristicas nominais: H = 40 m e Q = 
160 m3/s. Sabendo-se que a cota de instalas;iio das turbinas (com 
rela9iio ao nivel do mar) e 276,5 m e que o nivel d' 3.gua no canal de 
fuga (nivel de jusante) tern o seu valor minimo na cota de 281 m 
(tamb6m com relas;ao ao nivel do mar), qual sera o menor nllmero de 
p6los a ser utilizado nos geradores el6tricos de 60 Hz acoplados 
diretamente ao eixo das turbinas e qual sera a velocidade de rotas;ao 
com que deveriio operar de maneira a niio cavitar? Considerar a 
temperatura da agua a 20°c. 
SOLU(:AO: 
Pela equa,ao (6.17): 
Potm = 10330-~ = 10330- 281 = !0018kgf/m2 
0,9 0,9 
', 
Cavitai;do e Choque SOnico 153 
Do Quadro 6.2, para t _ = 20°C, retiram-se os valores: 
""" ' 
y= 998 kgf!m' e P, = 238,kgf/m2 
Como as turbinas encontram-se instaladas abaixo do nfvel d'<igua, 
no canal de fuga, isto caracteriza uma instalac;ao do tipo afogada e o 
valor da altura de succ;ao maxima, H , , neste caso negative, pode ser 
sgmdx 
calculado por: 
Hsgmax =zT-ZJ =276,5-281=-4,5m 
onde: 
zT = cota de instalas;ao das turbinas; 
z J = cota do nivel mfnimo da cigua no canal de fuga (nivel de jusante). 
A equas;ao (6.16) estabelece: 
Hsgmtlx = Patm -~-er min 
y y 
. H .. 
Patm -Pv 
_10_0_18_-_2_38_ - (- 4,5) 
o min = --~ v ______ =--~9~9~8~----- = 0,357 
H 40 
Como se trata de turbinas do tipo Kaplan, de acordo com a equas;ao 
(6.5), tem-se: 
o min =0,28+2,124.10-9 n!A .. 
n =("mi"-0,28JY, =(0,357-0,28jYi = 33096 
qA 2,124.10 9 2,124.10 9 ) ' 
E, a partirdaequa<;ao (5.34), com Y = g . H = 9,81 . 40 = 392,4J/kg, 
chega-se a: 
_ 330,96(392,4)°'" -231 s=l384 m 
102 (160 )"·' , rp , rp 
154 Mdquinas de Ffuido 
Aplicando a equas;ao dos geradores sincronos ( 13.46): 
2.f(Hz) 2.60 , p=---=--=51,95 polos 
n(rps) 2,31 
Como o nllmero de p61os do gerador el6trico tern de ser inteiro e 
par, adotar-::.e-ri. o nllmero superior mais pr6ximo que satisfac;a a esta 
condic;ao. Ou seja: 
p = 52 p6los (26 pares de p6los) {::::::: (Resposta a) 
0 valor dcfinitivo da velocidade de rotac;iio da turbina sera entao: 
2.f 2.60 ( ) 
n = -p- = S2 = 2,308rps.=138,46 rpm Resposta b 
3. Calcular o difi.n1etro comercial mfnimo, para que nao ocorra cavitas;ao, 
da canalizac;ao de suci;ao de uma bomba cujo NPSH b = 2,0 m. 0 
tluido bombeado e agua na temperatura de 75 °C e as caracterfsticas 
<la instalac;ao s3.o as seguintes: 
- co1nprin1ento equivalente total da canalizai;ao de sucyao (incluindo 
os dos acess6rios) = 85,0 m; 
- nfvel do lfquido no reservat6rio de succ;ao (aberto a atmosfera) = 
2,5 1n abaixo do eixo da bomba; 
- vazao da bo1nba = 45,0 m3/h; 
- altitude do local de instalayao = nfvel do 1nar. 
Observagao: utilizar a tabela da Fig. 6.8 para o calculo da perda de 
carga. 
Cavitar;iio e Choqu~ S6nico 
TABELAS DE PERDAS DE PRESSAO 
EM TUBULAC0ES, CURVAS, VALVULAS E REGISTROS 2.001 
, 
OBSERVA<;:AO REFERENTE A TABELA 1; 
Para tubos de at;o sem cos!urJ de 
aluminio ou pliistico r.gido as perdas' re· 
duzem-se em ca. 20% (Falor O,B). E'.stes 
tubos porem quando_providos de juntas 
riip1da_s oforecem ma1ores pc<das, sendo 
prefenvel n~o ap_l1car fatOr de rndu<;Jo 
sObre a tabela acrma.Com tu_bos usados, sOmente se po-
dera delerm1nar o encroslamento e as 
consequentes perdas exatas, med iante tes-
lo, po rem para efeito de c;\lculoesbmativo 
poderO: considerar-se um aumento de ca 
3% por ano de uso s5bre os valilres d; 
Ta be la 1 
Para a suc<;ilo niio poder<i ser apli-
cado dH!metm de tubo que provoque velo-
c1dado excess1va da ;\gua e consoqUente 
falha rja born ha (quebra da coluna de va-
cuo). Este limite de velocidade (2 m/seg.) 
e~ta expresso na ta be la P<Jla linha pronun-
crada; pa_ra a suc(iio ~iio podcrilo ser apli-
cados d1itmetros cuJas perdas 8stejam 
abaixo ou il esquerda desta ljnha 
Por cxemplo: Para vaz;\o de 2{l m3.hora. 
di~me!ro minimo para a 
SUC(il002.1:2" 
Paravazaode200 m3/hora-
di0.metro minimo para a 
suc<;iio: 8" etc. 
NOTA IMPORT ANTE: Os diii.metrosdos 
flanges das bombas hidrJul•cas nAo 
indicam os dil;metros dos tubos de 
suc~ao c recalque a serem usados. 
E'.stes de~em ser escolhidos pela ta-
bela 1, usando-se, quando necess<i-
rio, pe~as rndutoras entre a bomba 
e as tubula90os. 
Tabela 1 PERDAS DE PRESS.iD POR ATRITD EM TUBULA4f0ES v.ro,., om ,,,.,. "'"" do'"" '""';do " ,.,,.0 ;.,o .. 
om mo"" po<10I! m Ootubo 
VAZ'J.O DIAMETRO NOMINAL 
" 
•• • 65 llO 100 125 .,, 
0 
200 200 300 
'"' 
,., 
"'' 
.. 
o ... 
"" 
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•• 1,11 
"·' 
... .... 
1,07 ,. 
'·" '" 
'·" '" l,47 
-
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00 
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'" = 
= 
1.\.1 ••• z .. l'i 3 4 s 
~::.l '·" •• . .. 0,17 
'·" 
.. .. 
•• '·" .. 10.00 •• .. 
0.01 
0.1' 
'·" 0.27 0,10 
.. 0,1' 
... 0.00 
0,00 o ... 
. .. o.oo 
""o .. 
.... o ~ 
'·" •• ..... ~:~g .. .. ~ ..• ..... . 
"' 85,oo ,.,00 ..• 
PARA A suc~Ao NAO 01.0 
I I I ,::,.p 
LITILI~ OS VALMES D~STE 
LADO OA LINHA PRONUNCIADA ""·'° 01.00 
I I I I "·'" i!:~~ (VELOCIDADE EXCESSIVA NO TUBO) ~:g~ 
oo.oo 
•• .. 
"·" 0,20 
·-·· . .. o.oo 
.... 
"·" •• .. ,, ... .. 
1.10 o ... 
..• . .. 
•• 0.06 
~~ 
•• 
... 
... 
... 
..• 
•• 
.... '·" ''" -+ii-'·.·, .... 
..... 1,40 
14,00 ._,. 1.00 
20,00 .... '" 
27.00 .. 
'·" 35.00 11,50 .. 
•a.oo ..... ... 
..... 17.50 •• 
"·" 
..... 10,00 
Fig. 6.8 Tabela de perda de carga em tubulm;6es (Fonte: KSB). 
8 10 12 
•• 
0.00 
•.oo 
0,\0 
""' 0,10 
~~) 
'·" 
"'' •• 
... 
·~ Hi-
.... 
'" •• 
'·" 0,1' 
0.00 
... 
'·" o ... 
... 
0,00 
o.oo 
0.10 
0,1' 
"·" 
'·" ... 
155 156 Mdquinas de Fluido 
SOLU<;:AO· 
Do Quadro 6.2, para <iguana temperatura d,e 75°C, retira-se: 
P, = 3929 kgf/m' e y= 975 kgf/m'. 
J<i a equai;iio (6.9) estabelece: 
' c, 
-H +-
,, 2 
No caso presente: 
c1 = 0 (velocidade da <iguana superffcie do reservat6rio de suci;;iio); 
P1 = p mm (reservat6rio aberto a atmosfera); 
onde, pela equai;;iio (6.17), tem-se para instalai;;iio ao nfvel do mar: 
Palm = 10330-~ = 10330- _(l_ = 10330 kgf/m' 0,9 0,9 
De maneira an<iloga a dedu9iio da equai;;iio (6.18), quando NPSHd 
= NPSHb, pela condi9iio limite de cavita9iio, conclui-se que Hps = Hrsmax 
ea equai;;iio (6.9) assume a forma: 
H., =P,tm_b__H -NPsn =10330_3929_25-20=206m 
psmax y y sg -'-'-b 975 975 ' ' ' 
Esta seni a perda de carga maxima admitida, para que niio ocorra 
cavitai;;ao, numa canalizai;;ao de suc9iio cujo comprimento equivalente 
total e de 85,0 m. Como OS valores das perdas indicados na tabela da 
Fig. 6.8 correspondem a 100 m de canalizai;;iio, fazendo a conversiio 
da Hpsmax ,calculado para este comprimento de tubo, obt6m-se: 
Cavitat;Jo e Choque SOnico 157 
Pela tabela da Fig. 6.8, para uma vazao de 45 m3/h, o valor 
imediatamente abaixo de 2,42 m e 1,00 m que cOrresponde ao difunetro 
nominal de 5"(125 mm). Logo, ~ste e o di3.metro comercial mi'.nimo da 
canalizac;ao, para evitar o risco de cavitac;ao. 
6.7 Exercicios propostos 
1. Uma das quatro turbinas Francis do aproveitamento hidrel6trico de 
Itallba, no rio Jacuf, foi projetada para uma vazao de 153 m3/s, quan-
do trabalhar sob uma altura de queda de 89,5 m. Durante o seu funci-
onamento o afogamento mfnimo previsto (altura de succ;ao maxima. 
negativa) e de 2,5 m, sendo a altitude do nivel de jusante igual a 94,5 
m (acima do ni'.vel do mar). 0 rendimento total da turbina e de 95% 
e ela devera trabalhar acoplada diretamente a um gerador el6trico de 
60 Hz. Considerar a temperatura da iigua igual a 15 °C. Determinar, 
utilizando a equac;ao(6.3) para expressar a relac;ao entre o coeficiente 
de cavitac;ao e a velocidade de rotac;ao especffica: 
a) o nllmero de p6los do gerador de 60 Hz; 
b) a velocidade de rotac;ao da turbina; 
c) a potencia no eixo da turbina. 
Respostas: 
a) p = 48 polos; b) n = 150 rpm= 2,5 rps; c) Pe= 127,5 MW. 
2. Uma bomba de 7 estiigios em s6rie foi projetada para Q = 702 m3/ 
h, H= 210m e n=1185rpm. Estandoestabombafuncionandoem 
suas condic;Oes de projeto e nestas condic;Oes succionando 3.gua na 
temperatura de 85°C de um reservat6rio aberto a atmosfera e ao nfvel 
do mar, calcular a sua altura de succ;ao miixima, considerando a 
velocidade na boca de succ;ao da bomba igual a 4,0 mis e as perdas 
na canalizac;ao de succ;ao igual 1,35 m. 
Resposta: Hsgmax = -2,9 m (bombaafogada) 
3. Um fabricante de turbinas hidr3ulicas oferece a venda uma turbina, 
garantindo um rendimento total de 75% para uma potencia de 200 
kW, no caso da turbina trabalharcom uma altura de quedade 3,0 m e 
250 rpm. Se um possfvel comprador dispuser de uma altura de queda 
de 5,0 m e nela quiser instalar a turbina oferecida, determinar: 
' ~j 
158 M<iquinas de Fluido 
a) o ti po de turbina que esta scndo oferecida; 
b) a potCncia que seni obtida; .... 
c) a velocidade de rotac;ao com que ira operar; 
d) a altura que devera ser insta'.lada a turbina com relac;ao ao nfvel de 
jusante, para que nao haja tisco de cavitac;ao. 
Considerar a temperatura d'3gua igual a 15°C, a pressao atmos-
f6rica no nfvel de jusante da instala<;8.o igual a 98,1 kPa e o rendimento da 
turbina invati<ivel com a vatiagao da altura de queda. 
Respostas: a) Tipo de turbina: Kaplan ou H6lice (nqA = 993,1); 
b) P' = 430,3 kW; c) n' = 322,75 rpm; 
d) H0 , = -1,94 m (instalac;ao do tipo afogada). 
sgmax 
4. Uma bomba projetada para Q = 271/s e n = 3000 rpm, encontra-se 
funcionando no seu ponto de projeto e nesta situa<;ao succionando 
6.gua na temperatura de 15 °C de um reservat6rio submetido a pres-
sao atmosf6tica 98,1 kPa. 0 man6metro na admissao da bomba acu-
sa uma pressiio manom6trica de - 9,81 kPa e o de descarga, 29,43 
kPa. A bomba tern seu eixo situado a 0,7 m acima do nfvel de suc-
gao. Sabendo-se que os man6metros estao nivelados, que as canaliza-
<;Oes de admiss8o e descarga da bomba rem o mesmo di8.metro e des-
prezando a velocidade na boca de succ;ao da bomba, dizer se h3 risco 
ou nao de cavita<;ao nesta bomba Gustificando pelo c31culo) e indicar 
o seu tipo. 
Re:.postas: 
a) nao ha risco de cavita<;3.o porque Hsgmax::::: 4,63 5 > 2 H,g = 0,7m. 
b) a bomba 6 do tipO axiaJ porque llqA = 523,6 . 
5. Uma turbina modelo de 390 mm de di§.metro desenvolve 9 kW de 
potencia com um rendimento de 70o/o, a urna velocidade de 1500 rpm 
e sob uma queda de 10 rn. Um prot6tipo geometticamente semelhante, 
de 1950 mm de difunetro, operara sob uma queda de 40 m. Que 
valores serao esperados para a velocidade de rotac;ao e para a potencia 
desta turbina prot6tipo, levando em consideragao o efeito de escala 
sabre o rendimento. Calcular tamb6m a altura de sucgao rn8.xi1na desta 
turbina, considerando a temperatura d' 8.gua igual a 20°C e o nfve\ de 
jusante situado na mesmacotado nfvel do mar. 
Respostas- a)n =600rpm=l0rps; b)P =1993kW; c)H .. ,=-3,lm 
· p ep sgma 
Cavitar;ao e Choque SOnico 159 
6. Uma bomba centrifuga, operando no seu ponto de projeto, alimenta 
um sistema de irriga9iio por aspersiio fornectmdo uma vaziio de 126 
l/s. 0 cat3.logo do fabricante da bomba indica para esta vaziio um 
NPSHn = 7,62 m. ManOmetfos instalados na suc9iio e descarga da 
bomba, num mesmo nfvel e em canaliza96es de mesmo difunetro, 
indicam, respectivamente, press5es relativas (manom6tricas) de 
- 34,34 kPa e 946,67 kPa. A 3.gua no reservat6rio aberto de suc9iio 
encontra-se na temperatura de 20°C e o seu nfvel esta a 2,0 m abai-
xo do eixo (horizontal) da bomba. A extremidade da canaliza9ao de 
descarga, onde estiio instalados os bocais aspersores, esta localizada 
a 50 m acima do eixo da bomba e a pressiio na entrada dos bocais e 
de 343,35 kPa. Sabendo-se que o di3-metro na boca de sucyiio (ad-
missiio) da bomba e de 200 mm e que a pressiio atmosf6rica no local 
da instalayiio 6 de 98, 1 kPa, pede-se para: 
a) dizer se ha risco de cavitayiio nesta instalayiio, justificando a resposta; 
b) calcular o coeficiente de cavita9iio da bomba; 
c) calcular a perda de carga na canaliza9ffo de admissiio ( sucyffo) e na 
canalizayiio de descarga (recalque) da bomba; 
d) determinar a velocidade de rotayiio aproximada da bomba. 
Respostas: 
a) Ha risco de cavita9ao, pois NPSHd = 7,1 m < NPSHb = 7,62 m; 
b) CT mi" = 0,06786; 
c) H,. = 0,68 m e H,,, = 11,62 m; 
d) n = 1774 rpm, 
7 
EMPUXOS AXIAL E RADIAL 
No projeto dos mancais de uma mB.quina de fluxo, aiem dos esfor-
<;os normalmente presentes em outros tipos de miquinas como o peso 
da parte rotativa (eixo e rotor), possfveis desbalanceamentos (desequilf-
brio radial de massa) e os provenientes do tipo de transmissao de poten-
cia (polia e correia, por exemplo), e necessario considerar a as;ao de 
fors;as oriundas do desequilfbrio de press6es, tanto de cariter est<itico 
como dinilmico, gerado pelo pr6prio fluido em escoamento. 
Assim, a diferenc;;a de pressao est<'itica entre a safda e a entrada do 
rotor de uma miquina de fluxo, bem como os efeitos dinfunicos prove-
nientes da mudans;a de dires;ao da corrente fluida ao passar pelo rotor, 
podem originar uma fon;a no sentido axial da m:lquina, que sera supor-
tada total ou parcialrnente pelos seus mancais. Esta fon;a, denorninada 
de empuxo axial (axial thrust), encontra-se normahnente presente nas 
rn3.quinas de fluxo de rea9ao, enquanto, nas rn3.quinas de fluxo de a9ao 
~la pode ser naturalrnente neutralizada por rnedidas construtivas, como 
acontece nas turbinas hidr3.ulicas do tipo Pelton. 
Nas m<lquinas de fluxo com sisterna diretor em forma de caixa es-
piral, tambem chamado de caracol ou voluta, a varia9ao de pressao ex-
perimentada pelo fluido em escoamento atraves do sistema diretor pro-
duz uma fon;a resultante na dire9ao radial, denorninada de empuxo ra-
dial (radial thrust). 
Normalmente nula para o ponto de projeto, esta for9a pode assumir 
valores conside·raveis quando se afasta deste ponto, como acontece na 
partida de uma bomba centrifuga com o registro de descarga fechado 
(vazao nula). 0 valor deste desequilfurio radial e fun9ao das dimens6es 
do rotor, da pressao a que se encontra submetido e do grau de afasta-
mento do ponto de projeto da maquina. 
______ _po 
162 Mdquinas de Fluido 
7.1 Empuxo axial em rotores axiais 
Embora as conclus5es sejam v<llidas tambem para as m3.quinas de 
fluxo motoras, considera-se pai-a a presente an3.lise o caso de uma m<l-
quina de fluxo geradora axial (bomba ou ventilador) trabalhando com 
um fluido incompressfvel. 
Para este tipo de m<lquina, fazendo o balan90 energetico entre os 
pontos 3 e 6, situados, respectivamente, na entrada e na saida do rotor, 
em regi5es nao perturbadas pelas p3.s, e desconsiderando as perdas no 
sistema diretor, pode-se escrever para a energia especffica de pressao 
est<ltica: 
onde: 
p6 = pressao est3.tica imediatamente ap6s ao rotor, em N/m
2
; 
pressao est3.tica imediatarnente antes do rotor, em N/m2; 
massa especffica do fluido de trabalho, em kg/m3; 
(7. I) 
p3 = 
p = 
y = 
est 
energia especifica correspondente a diferen9a de pressao estatica, 
em J/kg; 
y salto energetico especifico que ocorre na miquina, em J/kg; 
velocidade absoluta da corrente fluida, ja uniformizada, ap6s o 
rotor, em mis; 
c3 = velocidade absoluta da corrente fluida, considerada uniforme, 
antes do rotor, em mis. 
Para areas de entrada e saida iguais e a3 = 90°, tem-se cm6 = cmJ = 
c3 e, a partir da Fig. 7.1, conclui-se que: 
Levando esta expressao a equa9ao 7 .1, chega-se a: 
y = y - c~6 
est 2 
(7.2) 
Empuxos Axial e Radial 163 
J 
II 
J 
u 
Fig. 7.1 Triil.ngulos de velocidades para a entrada ea safda de um gerador axial. 
Aplicando aequm;ao fundamental cl.as m<'iquinas de fluxo geradoras (3.20) 
aos pontos 3 e 6 de uma mtiquina axial, situados em regi6es nao perturbadas 
pelas p:is, ela se torna_ v<-ti!!.1~ _p_ara r_~tores co~ um nUmero qualquer de pas. 
Neste caso, comc\_--n;=~u= @Jaque as hnhas de corrente desenvolvem-
se sabre superffcies cilfndricas com o mesmo eixo do rotor, pode-se escrever 
para um raio r qualquer do rotor: 
(7 3) 
Para a = 90° (c = 0) e sabendo-se que pela equai;ao (4.10) Y = J u3 
YP~ T}h' vcm: 
y 
w rrih 
Transportando este valor de cu6 para a equai;ao (7 .2), obte1n-se: 
y' 
y -Y--~~-
es1 - 2 (1)2 r2 lln (7.4) 
A difereni;a de pressllo estiitica ~Pesi = p6 - p3 = p Y.01 atuando 
sabre um anel circular elementar de raio r e largura dr (Fig. 7.2) da 
origem a fori;a elementar: 
164 Mdquinas de Fluido 
D; i 
D, 
Fig. 7 .2 E1npuxo axial em rotores axiais. 
Integrand.a esta fori;a entre os raios, ri' do cubo do rotor, e re, da 
extremidade das pis, tem-se o empuxo axial: 
F,= 2ir pr• Y"'r dr J, 
Substituindo nesta expressao o valor de Yest obtido na equa9ao 
(7.4) e efetuando as opera96es, chega-se a: 
Ii = ir p Y (r' - r' - ___!___ In r,. J (7.5) 
1 el (l)2,,2 r 
''" ' 
Empuxos Atial e Radial 165 
A este empuxo deve-se adicionar a fon;a F2 devida a difereni;a de 
pressao est<itica sobre as duas faces do cubo que, de maneira aproxima-
da, pode ser estimada como se <!. for9a oriunda da diferen9a de pressao 
estatica p6 - p3, calculada para raio r = ri' permanecesse constante 
sabre toda a face do cubo, ou seja, uniformemente distribuida sobre 
uma superffcie circular de area n r? (desconsiderando a area correspon-
dente a sei;ao do eixo). Desta maneira: 
(7.6) 
Logo, o empuxo axial total resultante para um rotor axial sera: 
F~F+F~rrpYr-- -ln-+-[' Ylr, !)~ a J 2 c 2 TJ' r 2 00 h i 
onde: 
F,, == empuxo axial, em N; 
p == massa especffica do t1uido de trabalho, em kg/m3 ; 
Y == salto energetico especffico da m<iquina de fluxo, em J/kg; 
r =: raio extemo do rotor, em m; 
' 
(7.7) 
r_ = raio intemo das pas do rotor, ou, raio do cubo do rotor, em m; , 
ro =: velocidade angular de rotai;ao do rotor, em rd/s; 
Tlh == rendimento hidr<iulico do rotor. 
Para um cfilculo aproximado do empuxo axial, pode ser utilizada a 
f6rmula indicada por Jorgensen,1 que consiste numa simplificai;ao da 
equai;ao (7. 7) em favor da segurani;a, desprezando o seu tenno subtrati vo. 
Ou seja: 
(7.8) 
' JORGENSEN R., Fan enxineering. 
I 
" 
166 Mdquinas de Fluido 
7 .2 Empuxo axial em rotores radiais 
Para ilustrar a anfilise do empuxo axial em ;otores radiais, ser<i uti-
lizado o carte longitudinal do rcitor de uma m<iquina de fluxo geradora 
(Fig. 7.3), com adrnissao unilateral (suc9ao simples). 
L 
Fig. 7.3 Empuxo axial e1n rotores radiais. 
Tomando em considerac;ao o recinto I, lirnitado pelo disco diantei-
ro do rotor e a parede da carcac;a da m<iquina, e o recinto II, situado 
entre o disco traseiro do rotor e a carcai;a,verifica-se que as regi6es 
destes recintos situadas junta ao difunetro exterior do rotor (labirintos 
L e L ) encontram-se submetidas a uma mesma pressao, que se pode 
2 3 • 'dd admitir como igual a pressao p6 ex1stente na sa1 a o rotor. 
Encaminhando-se radialrnente para o interior dos recintos, no sen-
tido de uma diminuii;ao do raio, a pressffo vai diminuindo porque o flui-
do contido nos mesmos esta animado por um movimento rotativo, pro-
vocado pelo atrito com os discos dianteiro e traseiro do rotor. Segundo a 
hip6tese mais freqlientemente utilizada, a velocidade de rotai;ao do fluido 
nos recintos I e II e considerada igual a metade da velocidade angular 
do rotor. Pfleiderer & Petermann2 admitem que a velocidade do fluido 
pode assumir urn valor um pouco menor, cerca de 40% da velocidade 
PFLEIDERER, C. & PETERMANN, H .. Mdquinas de fluxo. 
Empuxos Axial e Radial 167 
do rotor, para o recinto II, e um valor bem maior, cerca de SOo/o da 
velocidade do rotor, ou mais, para o rec into I, , rlependendo da largura 
do labirinto L 1. 
De acordo com a primeira hip6tese, a pressao nos recintos I e II vai 
diminuindo por efeito da fon;a centrifuga segundo uma curva em forma de 
parabola cujo eixo coincide com o eixo de rotayao do rotor. Ou seja, com o 
fluido contido nos recintos mencionados girando em bloco com a mesma 
velocidade angular (v6rtice foryado), pode-se escrever: 
(7.9) 
on de: 
pressao na safda do rotor, numa regiao referenciada pelo raio 
exterior do rotor, r 5 , uma vez que os pontos 5 e 6 sao considerados 
muito pr6ximos, em N/m2; 
p = pressao num ponto generico de raio r, em N/m2; 
p = massa especifica do fluido de trabalho que preenche os recintos 
I e II, em kg/m3; 
u = ; velocidade tangencial do fluido em um ponto na saida do rotor, 
em mis; 
u = velocidade tangencial do fluido em um ponto de raio r, em mis; 
ffi = velocidade angular de rotac;ao do rotor, em rd/s; 
r5 = raio exterior do rotor, em m; 
· r = raio de um ponto gen6rico nos recintos considerados, em m. 
Por outro lado, a sobrepressao em um raio qualquer r em relayiio 
a pressao no lado de admissao do rotor pode ser expressa por: 
i\.p = p - p,= (p6- p,)-(p,-p) 
on de: 
(7.10) 
Lip= diferenya de pressao entre um raio gen6rico, r, nos recintos I e 
II, e a pressao na boca de admissao do rotor, em N/m2 ; 
p
3 
= pressao na boca de admissao do rotor, em N/m2; 
Substituindo, na equayao (7 .10), as difereni;as de pressao p6 - p3 e 
p
6
-p pelos seus valores nas equay5es (7.1) e (7.9), chega-se a: 
168 Mdquinas de Fluido 
r2 - r2 
i\.p = p ( Y - ro' ' ) 
est S 
(7.11) 
Aplicando esta diferenya de pressao sabre uma coroa circular ele-
mentar compreendida pelas circunferencias de raios r e r +dr surge a 
forya elementar: 
dF = 2n r dr i\.p 
Como sup5e-se as mesmas condii;5es para ambos os lados do rotor, 
estas foryas contrap5em-se e anulam-se, exceto para a superficie anular 
c?mpreendida pelos raios ri' do labirinto de vedayao LI' e o raio do . 
e1xo, reix
0
. A fon;a resultante, F1, sera entao obtida pela integrayao: 
F1 = _dF= J,. 27trdr.6.p= 27trp Y -ro2 '-- dr r' f" J" ( r'-r') reixo ro1xo 'i:ixo CS( 8 
ou ainda: 
F=n r.2_2 -~ ro 2 2 
[ 
3 ' ~ 1 p ~ l reixo ) yes( 8 + 16 (r; + rei~o ) (7.12) 
r; = Di/2 = raio do labirinto, L1, de veda9ao entre a parede externa da 
boca de suci;ao do rotor e a carcaya da m<iquina, em m; 
reixo = de/2 = raio do eixo do rotor, incluindo possfveis luvas de proteyao, 
emm; 
c 2 - c2 
- _6 __ 3 
2 
= diferenya de energia de pressao est:itica entre a 
safda e a entrada do rotor de uma m:iquina de 
fluxo geradora radial, em J/kg. 
Contrapondo-se a fori;a F e atuando na boca de sucrao do rotor 
' T ' 
existe uma forya F 2 oriunda da mudanya brusca de direyao que o fluido 
sofre na entrada do rotor, ao passar de uma direi;ao axial para uma direyao 
radial. Pelo teorema do impulso ou da quantidade de movimento, esta 
fori;a pode ser expressa por: 
F2 = p Q c3 (7.13) 
Empuxos Axial e Radial 169 
onde: 
p = massa especffica do fluido de trabalho, em kg/m3 ; 
Q = vazao que entra no rotor, em m3/s; 
c
3 
= velocidade do fluido na boc; de admissao ou sucyao do rotor, em mis. 
Normalmente, a fori;a F 
1
, dirigida contra a boca de suci;ao do rotor, 
e muito maior que a F 
2
, o que nao acontece entretanto no caso dos 
ventiladores de baixa pressao, no qual o valor desta Ultima e bastante 
significativo. 
0 empuxo axial resultante para uma mciquina de fluxo radial pode, 
entao, ser calculado pela expressiio: 
F,=i(F,-F,) (7.14) 
onde: 
Fa = empuxo axial resultante de uma m3.quina de fluxo radial, em N; 
= nlimero de estcigios da mciquina de fluxo, adimensional. 
Para rnciquinas de eixo vertical, deve-se, ainda, levar em conta o 
peso pr6prio das partes girantes para o c3.lculo dos mancais. 
7 .3 Compensai;iio do empuxo axial em rotores radiais 
0 projeto de mancais axiais para suportar todo o ernpuxo que atua 
sobre um rotor radial poder3, em muitos casos, levar a superffcies de 
apoio de grandes dimens5es, com enormes perdas por atrito. Alem de 
antiecon6mica, esta solui;iio implicara na dirninui9iio do rendimento 
meciinico da m<iquina. Isto faz com que se busque formas construtivas 
para reduzir ou elirninar este empuxo nas m<iquinas de fluxo por meio 
de fori;as hidrciulicas, to man do cuidado para que estas medidas niio provo-
quem uma redu9iio inaceit3.vel do rendimento total. 
No caso de m3.quinas de fluxo geradoras radiais com velocidade de 
rotai;ao especifica elevada que operarn com vaz5es medias e altas, a 
compensai;iio do empuxo axial (balancing axial thrust) pode ser obtida 
com a utilizai;ao de rotores de dupla suci;ao (admissiio bilateral) (Fig. 
7 .4). Em se tratando de mciquinas de varios estcigios, pares de rotores 
iguais podem ser instalados, sobre o mesmo eixo, com admissOes opos-
tas. A medida que aumenta o nllmero de est3.gios, no entanto, esta solui;iio 
170 Mdquinas de Fluido 
deixa de apresentar vantagens, diante da complexidade crescente da 
construi;ao dos canais de comunicai;ao entre os.~iversos rotores. 
Fig. 7.4 Rotor de dupla sucs;ao ou admissao bilateral. 
Ernbora os rotores de dupla suci;iio sejarn sirn€tricos, e inevitcivel 
que, durante a vida Util da rnciquina, ocorrarn pequenas difereni;as de 
vaziio entre cada uma das bocas de adrnissao, desvios na centralizai;iio 
dos rotores, ou desgastes diferenciados nos labirintos de veda9iio, com 
um conseqiiente desequilfbrio axial. Para levar em conta estas eventua-
lidades, Tedeschi 3 aconselha calcular o ernpuxo total como sea m6qui-
na fosse de suci;iio simples (rotor de adrnissiio unilateral) e prever um 
ernpuxo axial residual igual a 10% do calculado. 
Nas rnciquinas de fluxo de suci;iio simples, o sistema mais comum 
para a cornpensai;iio do empuxo axial e a constru9fio de Iabirintos equi-
valentes nos dois lados do rotor (Fig. 7 .5), em conjunto com furos exe-
cutados no disco traseiro, se possivel corn os bordos arredondados na 
extrernidade em contato com o recinto formado por este disco ea carca-
i;a da mciquina (ciimara de compensa9ao), colocando em comunicayao 
este recinto com a boca de suci;ao do rotor. Esta comunicayiio tarnbem 
pode ser feita atraves de urn conduto exterior, que apresenta corno van-
tagem sobre os orificios de cornpensai;ao o fato de niio produzirern, como 
estes, um fluxo de retomo em oposii;ao ao fluxo principal na boca de 
suci;i'io do rotor, que provoca distllrbios do escoamento nesta regiiio. A 
compensai;iio do empuxo axial por este metodo nunca e cornpleta, sen-
do aconselh3vel, segundo Tedeschi,4 admitir-se um empuxo axial resi-
dual da ordem de 20o/o do ernpuxo total, para o ccilculo dos mancais. 
TEDESCHI. P. Proyectu de mdquinas. 
Ibidem. 
Empuxos Axial e Radial 171 
Deve ser ainda observado queo empuxo axial varia para vaz6es dife-
rentes da nominal (vazao de projeto), nonnalrnente aumentando para 
vaz6es menores e diminuindo P.!U'a vaz6es maiores que a nominal. 
__ Furo de 
compensayao 
Fig. 7.5 Compensai;:1io do empuxo axial por labirintos equivalentes e furo de 
compensai;:1io. 
Uma outra forma de compensa93o para rotores de admissao unila-
teral, considerada par Stepanoff5 mais barata e mais efetiva que a ante-
rior, ea coloca9ao de nervuras radiais (normalmente em nUmero de 4 a 
6) na face dorsal do disco traseiro do rotor (Fig. 7 .6). Estas nervuras 
aumentam o arraste do fluido contido no recinto II (cfunara de compen-
sa93o), aumentando a sua velocidade angular ate valores pr6ximos da 
velocidade do rotor e reduzindo, ainda mais, a pressiio no dorso do rotor, 
de acordo com a equa9ao (7 .9). Como a pressiio no recinto I pennanece 
inalterada, pode-se alcan9ar o equilfbrio total do empuxo, sem as per-
das por fuga inerentes ao uso de labirintos de veda93o equivalentes e 
furos de compensa93o, mas com um consumo adicional de potencia e 
perdas suplementares por atrito de disco. Esta disposi93.o construtiva 
requer bastante cuidado quanta a centraliza93.o do rotor com rela93.o ao 
plano de simetria axial do sistema diretor da m3.quina e exige que a face 
da carca9a pr6xima as nervuras seja usinada e plana. 
' STEPANOFF, A. J. Centrifugal and axial pumps. 
172 Mtiquinas de Fluido 
Distribui~ao de prcssi:ies 
no recinto I 
==-#! .. 
,....Nervura radial 
Distrib11~~ de pressOes 
n<>recmto II 
\Redm;iio do empu"o 
axial pela ao;iio das 
nervuras radiais 
Fig. 7.6 Compensai;:iio do empuxo axial pela colocai;:iio de nervuras radiais no dorso 
do rotor. 
Para o c<llculo do difunetro exterior das nervuras, DN (Fig. 7 .6), 
pode-se indicar uma f6rmula baseada nos estudos de Stepanoff: 6 
- 4 - d D _ (27,16 F, , J 
N poo' e 
onde: 
DN = difunetro exterior das nervuras, em m; 
F" = empuxo axial a ser equilibrado, em N; 
p = massa especffica do fluido de trabalho, em kg/m3; 
(7.15) 
ct. = difunetro do eixo do rotor ou da luva de prote93o (se existir), em m; 
oo'" = velocidade angular supostamente adquirida pelo fluido por 
efeito <las nervuras, em rad/s. 
A velocidade angular oo' pode ser calculada de maneira aproximada 
par: 
, (J)( t) (1)==2 1+; 
onde: 
oo = velocidade angular do rotor, em rad/s; 
t = largura <las nervuras, em m; 
s = largura total da cdmara de compensa9ao (recinto II), em m. 
' Ibidem. 
(7.16) 
Empuxos Axial e Radial 173 
Em m3quinas de vfilios est3gios (multicelulares), a compensa9ao 
do empuxo pode-se verificar de vfilias formas: niontando em serie varios 
rotores equilibrados individualmente, dividindo os est3gios em dois gru-
pos iguais e reciprocamente opostos, ou usando um Unico disco ou tam-
bor de compensa9ao para todos os est3gios. 
A utiliza9ao de um Unico disco de compensa~iio (balancing disk) 
permite a compensa9ao total do empuxo axial em uma bomba centrifu-
ga multicelular (Fig. 7.7). Este disco e colocado ap6s o Ultimo est3gio, 
solidamente ligado ao eixo da m3quina e sujeito a pressao produzida 
pelo Ultimo rotor da bomba. 0 seu difimetro deve ser suficientemente 
grande para que a pressao existente entre o Ultimo rotor e o disco de 
compensac;ao provoque uma forc;a que equilibre o empuxo axial total 
do conjunto de rotores. 
Diaco de 
ccmpen1a~ 
' 
Fig. 7. 7 Compensai;:1io do empuxo axial em bomba multicelular pela utiliza~iio de um 
disco de compensa~1io. 
A cJ.mara de compensac;ao III (Fig. 7.7) esta em comunicac;ao di-
reta com a safda do Ultimo rotor atraves do labirinto L4, conseqtiente-
mente, recebendo uma pressao um pouco inferior a pressao de recalque 
da bomba e com a succ;ao da bomba atraves do labirinto L 5_ Como o 
eixo fica livre para se movimentar na direc;ao axial, quando o empuxo 
axial aumenta por uma causa qualquer, o conjunto eixo/disco de com-
pensac;ao desloca-se para a esquerda. Com isto, a folga axial no labirin-
to L
5 
diminui e a pressao na camara de compensac;fio (recinto III) au-
menta, restabelecendo o equilfbrio primitivo com um pequeno deslo-
174 Mriquinas de Fluido 
camento axial do conj unto m6vel para a direita. A mesma compensa9ao 
ocorre, porem em sequencia inversa, quando o eJ;Qpuxo diminui. 
Os deslocamentos axiais que as partes m6vels sofrem ao buscar o 
equilfbrio sao da ordem de grandeZa de centesimos de milfmetro, pou-
co alterando o alinhamento dos eixos de simetria dos rotores e dos 
difusores (sistemas diretores) e pennitindo a passagem do fluido entre 
rotor e sistema diretor sem maiores turbulencias. Estes deslocamentos 
impedem, no entanto, o emprego de mancais axiais rfgidos. No caso da 
utilizac;ao de mancais do tipo axial, mancais de escora, eles devem ser 
de construc;ao elistica, suportados por molas ligadas a carcac;a. 
0 empuxo axial tambem se encontra presente e com maior intensi-
dade nos rotores abertos. Nestes, a inexistencia do disco dianteiro faz 
com que a pressao sobre o disco traseiro seja apenas parcialmente com-
pensada pela pressao no interior do rotor. Em m<iquinas pequenas, o 
empuxo axial resultante pode ser totalmente absorvido por mancais de 
escora. Ja para m<iquinas de maior porte, e necess3rio a utilizac;ao de 
outros procedimentos, como o emprego de nervuras no dorso do rotor 
' 
ou, a remoc;ao total ou parcial do disco traseiro, procedimento usual em 
rotores de bombas para o transporte de materiais fibrosos. Este procedi-
mento alem de reduzir o empuxo axial auxilia na autolimpeza dos rotores. 
7 .4 Empuxo radial 
0 sistema diretor em form.a de caixa espiral ou voluta (volute ou 
scroll), usualmente empregado em bombas e ventiladores, e projetado 
de maneira a coletar o fluido proveniente do rotor e conduzi-lo ate a 
boca de descarga da m3quina. 
0 ponto inicial da espiral, usualmente denominado de lingiieta 
(volute tongue), deve situar-se a uma certa distfincia com relac;ao a peri-
feria do rotor, variavel de acordo com a velocidade de rotac;ao especffi-
ca da mriquina, de maneira a evitar fenOmenos vibrat6rios que podem 
gerar rufdos e queda de rendimento. 
A partir deste ponto inicial, a se9ao da espiral deve crescer unifor-
memente de maneira a manter constante a velocidade e a presslio ao 
captar uma vazao crescente de fluido que sai do rotor a medida que 
aumenta a trajetdria angular percorrida no trac;ado da voluta. Esta forma 
Empuxos Axial e Radial 175 
de construs;fio faz com que se produza um equilibrio das fors;as radiais 
que agem sobre o rotor ao longo de toda a sua 'periferia. 
O equilfbrio, no entanto, e rpmpido quando a vazao se afasta do seu 
valor de projeto (vazao nominal). Neste caso, tanto para vaz6es maiores 
que a de projeto, como menores, surgem variai;,:Oes na distribuis;ao de 
press6es ao longo da voluta, dando origem ao denominado empuxo 
radial (radial thrust). 
Para vaz6es inferiores a nominal, esta fors;a (empuxo radial) diri-
ge-se contra o quadrante inicial do trai;ado da espiral, fazendo um iingu-
lo pr6ximo a 90° com relai;ao ao raio que passa pela linglieta da voluta. 
Quando a vazao assume valores maiores que o nominal, h<i uma varia-' 
i;ao brusca do sentido da fori;a correspondente ao empuxo radial que 
sofre um giro de quase 180° (Fig. 7.8). 
F<(Q < Q,) 
/J 
F, (Q > Q,) 
Fig. 7 .8 Empuxo radial em mliquina de tluxo geradora com sistema diretor de caixa 
espiral. 
Para o c<ilculo do empuxo radial, Stepanoff 7, indica a seguinte ex-
pressfio: 
(7.17) 
Ibidem. 
176 Mdquinas de Fluido 
on de: 
Fr = empuxo radial, em N; ... 
p = massa especffica do fluido de trabalho, em kg/m3; 
Y = salto energetico ou trabalho especffico da m<i.quina de fluxo, em 
J/kg; 
D 5 = di3.metro de safda do rotor, em m; 
b 5 = largura de safda do rotor, incluindo a espessura das paredes dos 
discos,em m; 
K, = coeficiente adimensional que varia com a vazao recalcada. 
0 valor de Kr pode ser calculado pela f6rmula experimental: 
(7.18) 
onde: 
Q = vazao recalcada pela m<iquina, em m3/s; 
Q = vazao nominal ou de projeto da m<i.quina, em m3/s. 
' 
Como o valor do empuxo radial tern implicai;Oes tanto no c<ilculo 
da flecha maxima do eixo que sustenta o rotor (conseqtientemente, so-
bre o valor da folga radial dos labirintos de vedai;ao entre as partes rota-
tivas e a carcai;a da m<iquina), como sobre os mancais, Tedeschi8 pro-
poe os seguintes valores: 
- para o c<ilculo da deflexao maxima do eixo: Kr= 0,4 a 0,5; 
- para o c<ilculo dos mancais: Kr = 0,20 a 0,25. 
Para a elimina9fio ou atenuai;ao dos efeitos do empuxo radial, re-
comenda-se o uso de sistema diretor com pas, embora o seu custo seja 
mais elev ado, ou a construi;ao do difusor com espiral dupla (Fig. 7 .9). 
Com a mesma finalidade, deve ser evitada a opera93.o prolongada de 
m<i.quina com vazao muito inferior ou superior a nominal. 
8 TEDESCHI, P. Proyecto de Mdquinas. 
Empuxos Axial e Radial 177 
Fig. 7. 9 Compensm;:ao do empuxo radial pelo uso de espiral dupla. 
7.5 Exercicios resolvidos 
1. Uma bomba axial, projetada para H = 4,0 m, Q = 3,3 rn3/s, p = 1000 
kg/m3 e n = 390rpm, possui as seguintes caracteristicas: De= 1,0 m 
(difunetro exterior do rotor); D; = 0,44 m (difunetro do cubo do rotor); 
T]h = 0,86; 11 1 = 0,78. Sendo o peso do eixo Geixo = 3286 N e o peso do 
rotor Grotor = 2453 N, calcular a potencia no eixo e o esfor90 axial 
suportado por um mancal axial autocompensador de rolos, quando a 
bomba for instalada com o eixo na posi9ao vertical e estiver operando 
nas condi95es de projeto. Fazer o c<ilculo do empuxo axial pela equa9iio 
cornpleta (7.7) e pela f6nnula simplificada (7.8). 
SOLU<;AO: 
Detennina9iio do salto energ6tico especffico disponivel da bomba: 
Y = g. H = 9,81. 4,0 = 39,24 J/kg 
C<llculo da potencia no eixo (equa9lio 4.31): 
p = p.Q.Y 
, T], 
1000.3,3.39,24 
0,78 
166,02kW (Resposta a) 
178 Mdquinas de Fluido 
Cilculo do empuxo axial pela equai;iio (7.7): 
2n .n 
w=-
60 
2
' ·
390 
= 40,84 rad/s; 60 . 
r =·D, =l,0=0,5m; 
, 2 2 
F, =n .1000.39,24 (0,25-0,042)= 25638,95 N = 25,64kN 
C<ilculo do empuxo axial pela equa9iio simplificada (7 .8): 
F, =n .r,2 • p.Y=n .0,52.1000.39,24=30819,02 N=30,82kN 
Para m<iquinas de eixo vertical, o mancal axial devera suportar o 
peso pr6prio das partes girantes, al6m do empuxo axial. Logo, o esfor90 
total suportado pelo mancal axial da bomba ser<i: 
- no caso do uso da equa9iio (7.7): 
F = G + G + F = 3286 + 2453 +25638,95 = 31377,95 N .. 
at e1xo rotor a 
F = 31,38 kN (Resposta b); 
• 
- no caso do uso da equai;iio (7 .8): 
F = 3286 + 2453 + 30819,02 = 36558,02 N .. 
• F = 36,56 kN (Resposta c) . 
• 
2. Um ventilador centrifugo que possui o sistema diretor de safda em 
forma de caixa espiral (voluta) apresenta as seguintes caracteristicas: 
/>.p = 1471 5 Pa· />.p = 981 Pa; Q = 7,5 m 2/s; n = 1000 rpm; D, = 
t ' ' est • ., 
890 mm; b5 = 190 mm (incluindo a espessura das paredes dos discos); 
D. ( didmetro do labirinto de vedai;ao) = D3 ( difunetro da boca de suc9lio d~ rotor)= 600 mm; de (difimetro do eixo) = 60 mm; 11 1 = 0,67. 
I 
1 
I 
j 
I 
I 
·1 
i 
J 
i 
Empuxos Axial e Radial 179 
Considerando sua opera9ao com ar de massa especifica p = 1,2 kg/m3, 
deterrninar os esforyos sobre os mancais, provenientes do empuxo axial 
e do empuxo radial, calculando !ambem a potencia consumida no eixo. 
SOLU<;AO: 
Calculo da energia de pressao estatica: 
Y,,, = Llp,,, = 981 =817,5J/kg 
p 1,2 
2.n. n 2. n:.1000 
w =-- = ---- =104,72rad/s 
60 60 
u5 =w.r5 =w D, = 104,72 0,
89 
= 46,6 mis 
2 2 
r =r:l = 0,5 =0 3m 
1 2 2 , e =~= 0·06 =003m re1xo 2 2 ' 
Pela equa<;iio (7.12): 
F, =n .p (r,2 -r,'." l[ Y"' - "f + :~ (r,' +r,'.,0 )] •• 
F, =n.1,2(0,3' -0,03 2 )[817,5- 46,62 + io4,72' (o,3' +0,03' )l .. 
8 16 J 
F, =n .1,2.0,0891(817,5-271,445+ 62,302)= 204,35 N 
A velocidade na boca de suc9ao do rotor pode ser calculada por: 
Levando este valor na equa9ao (7 .13): 
F, = p.Q.c, = 1,2.7,5.26,53 = 238,77 N 
Logo, o empuxo axial resultante (equa9ao 7.14) e: 
F, = F, -F2 = 204,35 - 238,77 = - 34,42 N (Resposta a) 
180 Mdquinas de Fluido 
0 valornegativo, neste caso, significa que o empuxo axial resultante 
tern o mesmo sentido da corrente dear que ingressa no rotor do ventilador, 
ou seja, o mesmo sentido da for9a F ~· 
Como o ventilador apresenla siS:tema diretor de saida em forma de 
caixa espiral isto da origem a um empuxo radial que pode ser calculado 
pela equa<;iio (7 .17): 
F, = K,.p.Y.D,.b, 
onde, ja que se trata do calculo dos esfor9os sobre os mancais, adotar-
se-a Kr= 0,25 (para o cfilculo da deflexao maxima do eixo seria adotado 
o valor K, = 0,5). Logo: 
y = Llp, = 1471,5 = 1226,25 J/kg 
p 1,2 
F, = 0,25.1,2.1226,25.0,89.0,19 = 62,22 N (Resposta b) 
A potencia consumida no eixo sera: 
p - p.Q. y - Llp ,.Q 
,------
Tlc Tlr 
1471,5.7,5 
0,67 
16472W=l6,47kW 
(Resposta c) 
3. Uma das turbinas Francis de Itaipu apresenta as seguintes caracterfs-
ticas de projeto: H = 118,4.m; Q = 645 m 3/s; D4 = 8,65 m; ri (raio do 
labirinto de veda9ao ); reixo = 1,85 m; p = 1000 kg/m3 (massa especifica 
da agua) e ri 1 = 0,95. A turbina possui eixo vertical e os pesos das 
partes gir'at6rias a serem suportados pelo mancal de escora sao os 
seguintes: G. = 2795,85 kN; G (peso dorotordogerador) = 17265 6 
C!XO Ig ' 
kN; Grotor (peso do rotor da turbina) = 2893,95 kN. Supondo que a 
turbina apresente um grau de rearao real p = 0 5 e um coeficiente 
l" ' real ' 
de velocidade de saida Kc = 0,22, calcular o esfor90 axial total a ser 
suportado pelo mancal de ~scora da turbina ea potSncia produzida no 
seu eixo. 
SOLU<;Ao: 
Para o c<i.lculo do empuxo axial, podem ser utilizadas as equa96es 
(7.12) e (7.13), substituindo u5 por u4 e c3 por c5 (desprezando a 
Empuxos Axial e Radial 181 
espessura das pis), por se tratar de maquina de fluxo motora de fluxo 
centrfpeto. A equa9ao (7 .12) transforma-se enta6 em: 
onde: 
n .8,65.92,3 
60 
= 41,8m/s 
2.n.n 
w=--
2R .92,3 
60 
= 9,67 rad/s 60 
e, pela equayiio (4.35): 
L'>p,,./ 
Prea1 = /p =Yest 
y y 
Como Y=g.H=9,81.118,4=1161,5J/kg, vem: 
Y.,, = 0,5.1161,5 = 580,75 J/kg 
Logo, voltando a equa9ao do empuxo axial: 
F, =n.1000(3.5 2 -l,852 l[s80,75- 41~82 + 9·:;' (3,52+1,85')] .. 
F, =12588,71kN 
Pela defini9ao de coeficiente de velocidade (Eq. 5.44), chega-se a: 
c, = K,,-fi.Y = 0,22,/2.1161,5 = 10,6 mis 
E, a partir da equayiio (7.13): 
F2 = p.Q.c, = 1000.645.10,6 = 6837 kN 
F, = F, -F2 = 12588,71-6837 = 5751,71 kN 
182 Mdquinas de Fluido 
0 esfon;,:o axial total a ser suportado pelo mancal de escora sera 
entiio: •, 
F =G +G +G +F =2795,85+2893,95+17265,6+5751,71 .. 
at eixo rotor rg: " 
F,, = 28707,11 kN = 28,71 MN= 2926 toneladas (Resposta a); 
E, a potencia gerada no eixo da turbina (Eq. 4.30) e: 
P, = p.Q.Y.11, = 1000.645.1161,5.0,95 = 711709,13 kW .. 
P, =711,71MW (Resposta b) 
7 .6 Exercicios propostos 
1. Uma bomba centrifuga multicelular de 5 est<igios opera com <igua de 
massa especffica p = 1000 kg/m3 , recalcando 5,35 l/s a 150 m de 
eleva(ffio manometrica, com rendimento total de 56,So/o. 0 diftmetro 
do eixo da bomba e 34 mm e gira a uma velocidade de rota(fiio de 
3520 rpm. Os rotores da bomba possuem di§.metro de safda, D5 = 134 
mm, e diftmetro do labirinto de veda93.o, Di= 72 mm. As velocidades 
de entrada e safda do fluido no rotor sao, respectivamente, c3 = 2,91 
mis e c
6 
= 16,44 mis. Calcular o empuxo axial e a potencia no eixo 
da bomba. 
Respostas: a) F, = 1513,4 N; b) P, = 13,86 kW. 
2. Calcular o empuxo axial e o ernpuxo radial atuantessabre os rnancais 
de um ventilador centrffugo com sisterna diretor de caixa espiral que 
possui as seguintes caracteristicas: Q = 12 m3/s; D.p1 = 725,94 Pa; 
L'>p",=588,60Pa; D,;oD2 =900mm; D5 = 1370mm; b 5 =346mm 
(incluindo a espessura <las paredes dos discos); de= 90 mm e n = 
430 rpm. 0 ventilador trabalha corn ar de rnassa especffica igual a 
1,2 kg/m2• 
Respostas: a) F, = 28,86 N; b) F, = 86,03 N. 
Empuxos Axial e Radial 183 
3. Os valores de projeto de uma bomba centrifuga para irriga9ao por 
aspersao indicarn: H = 100 m; Q =454 m3/h; 'H. = 1780rpm; D
5 
= 500 
mm; b5 = 20 mm; ed (espess~ura dos discos dianteiro e traseiro do 
rotor)= 6 mm; Di (difunetro do labirinto de veda9fio) = 230 mm; de= 
60 mm; c3 = 6,2 mis; c6 = 20,0 mis. Sabendo que a bomba possui uma 
voluta como sistema diretor de saida e admitindo que o sistema de 
cornpensa9ao do empuxo axial deixe um valor residual de 20% do 
ernpuxo total, calcular os esfon;os axial e radial sobre os mancais, 
provenientes dos desequilfbrios hidr8.ulicos, quando a bornba operar 
corn 8.gua de massa especffica de 1000 kg/rn3• 
Respostas: a) F, = 4176 N; b) F, = 3924 N 
4. 0 rotor de um ventilador axial projetado para insuflar 9 rn3/s de ar 
com mass a especffica de 1,2 kg/m3, produzindo a diferen9a de pressao 
total de 530 Pa entre sua admissao e descarga, tern corno parfunetros 
construtivos De = 910 mm; Di = 404 mm e n = 1450 rpm. Sabendo 
que a potencia consumida no eixo e 7 ,3 kW e supondo. flv = 0,93, 11a 
= 1,00, 11m = 0,95, calcular o ernpuxo axial que atua sobre seu rotor. 
Resposta: F, = 268,28 N 
8 
CARACTERiSTICAS DE FUNCIONAMENTO DE 
TuRBINAS HroRAULrcAs 
A capacidade instalada para gerai;ao de energia eletrica por meio de 
centrais hidre1€tricas, no Brasil, em 2004, era de 69000 MW, com uma 
produ\:ao anual de 320800 GWh (1 GWh = 3,6.1012 J), o que representava 
82,So/o da energia total gerada no pafs. Os recentes levanta1nentos dos re-
cursos hfdricos estimarn o potencial hidreletrico brasileiro em 263000 MW, 
o que revel a a grande import8.ncia deste tipo de energia para o crescimento 
econ6mico da na~ao, principalmente tratando-se de uma forma de energia 
de baixo impacto ambiental quando corhparada a outras formas de obten-
<;iio de energia, coma as centrais alimentadas porcombustfveis f6sseis e as 
centrais nuclcares. 
No entanto, praticamente todos os metodos de obtenr;ao de energia 
alteram, prejudicam ou amear;am o meio ambiente. Mesmo as centrais de 
energia e6lica, que aproveitam uma fonte de energia renoviivel, acabam por 
afetar a paisagem do local onde se encontram instaladas. Portanto, ao se 
projetar um aproveitamento de energia hidriiulica, tambem urna fonte 
energetic a renov<ivel, nao se pode deixar de le var em considerar;ao,junto 
com os aspectos de cariiter tecnico e econ6mico, as relar;5es ecol6gicas 
totais e as conseqtiSncias sociais do projeto. 
Segundo Michels, 1 o potencial disponfvel para aconstn19ao de grandes 
centrais, no Brasil, est8. praticamente esgostado. Restam os grandes aprovei-
tamcntos da regiiioAmaz6nica, com um alto custo parao quilowatt instalado 
(complexidade e custo das obras de construr;J.o civil elevados) e inundar;ao 
de grandes 8.reas florestais ou agrfcolas. AI em das conseqtiSncias sociais e 
ecol6gicas, as pr6prios componentes met<llicos das centrais podem ser afe-
tados por gases corrosives provenientes da decomposir;J.o do material vege-
tal inundado. 
MICHELS, A., Sisle111dtica pura implantar;iio e avaliar;iio dofuncionanu:nto de micrvusinas 
hidre/f/ricas no interior do Rio Grande do Sul. 
186 Mriquinas de Fluido 
Uma das alternativas para este cen8.rio ea viabilizar;ao de pequenos 
aproveitamentos hidroenergeticos, de baixo custo, rajuzido impacto ambiental, 
que, em sistemas isolados ou interligados, pod.em se tomar altamente vanta-
josos, principalmente para o deseiivolvimento do meio rural. 
Neste capftulo, serao tratados os componentes das centrais hidreletri-
cas, particulannente das turbinas hidriulicas (mJ.quinas de fluxo motoras), 
com Snfase no estudo das suas curvas caracterfsticas de funcionamento, cha-
mando atenr;ao para os tipos que sao utilizados em micro e minicentrais. 
Atualmente, v<lrios fabricantes tern desenvolvido series nonnalizadas de 
miniturbinas compactas, que reduzem as custos e as tempos de fabricar;ao e 
pennitem uma r3.pida entrada em operar;ao da central. 
Mesmo enfatizando o uso das turbinas em centrais hidrel6tricas e im-
portante salientar a utilizar;ao, cada vez maior, de turbinas ou de bombas 
funcionando como turbinas, como recuperadoras de energia em processos 
quc exigem elevadas press6es, como os das torres de lavagem de gas em 
instala96es petrolfferas. Para a reduc;ao de pressao na safda do processo, 
sao utilizadas turbinas em lugar de vilvulas de estrangulamento. Aenergia 
el6trica, assim gerada, pode ser reutilizada pelo sistema com vantagens do 
ponto de vistaecon6mico e ecol6gico. 
8.1 Centrais hidreletricas 
A energia hidniulica encontra-se nos mares, rios e arroios, sob fonna 
potencial ou cin6tica, e pode sertransformada em trabalho Util par meio das 
centrais hidreletricas (hydroeletric power plants). Medi ante a utilizar;ao 
de desnfveis naturais au criados artificialmente, estas centrais aproveitam a 
energia contida num curso d' 8.gua que, de outra fonna, seria perdida por 
atrito com a rugosidade do Jeito do rio, em redemoinhos, meandros, ou mes-
mo no arraste de pedrae areia. 
As centrais com turbinas hidriulicas sao classificadas pela Eletrobr3.s2, 
de acordo com sua potencia, em: 
- microcentrais: p::; 100 kW; 
-minicentrais: p;:::; 100a1000 kW; 
-pequenas centrais: p;:::; 1000 a 30000 kW; 
2 ELETROBRAS. Direlrizes para estudos e projetos de peq11enas centrais hidre/etricas. 
Caracterfsticas de Funcionaniento de Turbinas Hidrciulicas 187 
- medias centrais: P= 30000 a 100000 kW; 
-grandes centrais: P> 100000 kW. 
Uma central hidreletrica (Fig. 8.1), geralmente, e constitufda de uma 
barragem (dam) que tern porfinalidade o aurnento do desnfvel de urn rio 
para produzir uma queda, a criayao de um grande reservat6rio capaz de 
regularizar as vaz6es ou, simplesmente, o levantamento donfvel d'<'i.gua para 
possibilitar a entrada da 3.gua num canal, num tUnel, numa tubul~ao adutora 
ou num conduto foryado. 
,- Rarnigem Chrnnine de equilihrin 
-----------------------------& 
r Conduto for~ado i (de a<;o) ' 
. I ,·'' . '"'"" . "'"' . "-'"' . "-'"' 1 \__ Tubula~:1o de batxa ~ prnssiio (de PVC} 
' 
~ 
" 
Turbina Pelto~ 
Fig. 8.1 Minicentral hidrel6trica do Parque das Cachoeiras, Sao Francisco de Paula, 
RS. 
A tomada d'.-igua (intake), que tern por finalidade captare permitiro 
acesso da agua a tubulayao que a conduzini a turbina, normalrnente, inclui 
grades para impedir a entrada de troncos de madeiras, gal hos de 3.rvores, ou 
quaisqucr outros corpos estranhos transportados pelo curso d' 8.gua e gue 
possam danificar as turbinas; comportas de serviyo, para impedir a entrada 
da 8.gua, em caso de revisao ou consertos; e comportas de emergencia 
(stop-logs) para o fechamento da tomada d'<igua no caso de manutenyao da 
comporta de servi~o. 
A agua e conduzida ate a casa de fori;;a (power house), onde se 
encontram instalados a turbina e o gerador, por uma tubulayao submeti-
da a_ pressao interna, chamada de COOdUto fori;;ado (penstok), OU par 
um canal aberto. Em instalay5es de grande altura de gueda e grandcs 
distJ.ncias entre a tomada d'<lgua ea casa de for~a, o trecho de baixa 
188 Mdquinas de Fluido 
pressao da tubula~ao e separado do trecho submetido a pressao mais 
elevada (maior declividade) por um reservat6rio denominado de cha-
mine de equilibrio (stand-pipe). A chamin6 de equilfbrio tern dupla 
finalidade: impedir que a onda de sobrepressao provocada pelo golpe de 
ariete se propague pelo trecho de baixa pressaoda tubular;ao ( construido 
com material menos resistente e de menor custo) e fomecer um r3.pido 
suprimento de agua a turbina no caso de um brusco aumento da carga 
dos geradores. Nas micro e minicentrais hidrel6tricas, onde a alimenta-
yao do conduto for~ado muitas vezes se realiza por meio de canais de 
superficie livre, a chamine de equilfbrio e substituida pela chamada c3-
mara de carga, constituida par uma expansao da extremidade do canal 
de maneira a formar um pequeno reservat6rio, conectado a extremidade 
superior do conduto for9ado. 
Ap6s acionar a turbina, a <igua e restituida a um canal de fuga ou a 
calha natural do rio, diretamente, no caso das turbinas Pelton, ou por 
meio de uma tubular;ao de descarga em forma de difusor, designada de 
tubo de suc«;ii.o (draft tube), no caso das turbinas de rea~ao. Quando o 
tuba de sucyao e empregado, a altura de queda bruta da central ou altura 
de gueda geometrica, HG, e medida entre a cota do nfvel de montante 
(nivel d'3.gua na barragem) ea cota correspondente ao nivel de jusante 
(nivel no canal de fuga). Ja no caso das turbinas Pelton, a altura de 
queda bruta corresponde a diferenr;a de cota entre o nivel de montante e 
o ponto onde o eixo do jato, que sai do injetor, e tangente a uma circun-
ferencia com centro no eixo do rotor. 
A altura de queda disponivel ou salto energ6tico especifico fome-
cido a turbina, expressa em altura de coluna d'3.gua, H, e calculada por: 
H=H -H 
G ' 
(8.1) 
onde: 
H = altura de queda disponivel, em m; 
HG = altura de queda geom6trica, em m; 
HP = perda de carga na tubulayao ou perda de energia par atrito da 3.gua 
com as paredes da tubular;ao, em m. 
Caracter{sticas de Funcionamento de Turbinas Hidrdulicas 189 
8.2 Golpe de ariete e regulagem das turbinas hidr::iulicas 
Chama-se golpe de ariete (water hammer) a elevar;ao ou redur;iio 
brusca de pressao que ocorre n6 escoamento vari:ivel produzido pela 
interrupr;ao brusca do escoamento de um lfquido e na qual e importante 
considerar nao s6 a compressibilidade do liquido (considerado como 
um fluido incompressfvel na quase totalidade das aplicar;5es em hidr<iu-
lica) como tambem a deformabilidade das paredes da canalizar;ao que o 
conduz. Ha uma conversao da energia de velocidade da corrente lfquida 
estancada em energia de pressiio que, por sua vez, se transforma em 
trabalho de deformar;ao da canalizar;ao e do lfquido em escoamento. 
No caso das instalar;5es de bombeamento, esta brusca interrupr;iio 
do escoamento e nonnalmente causada pelo fechamento r:ipido de v<il-
vulas ou pelo sllbito desligamento do motor de acionamento da bomba, 
por erro de operar;iio ou avaria do sistema de alimentar;iio de energia. 
Janas turbinas hidr<iulicas, o escoamento vari<ivel e causado pela alte-
rar;iio da vazao absorvida pela turbina, na partida e na parada, ou, durante a 
operar;iio, pela necessidade de adaptar a potencia gerada pela turbina a de-
manda do sistema eletrico que o seu gerador esta alimentando. A variac;iio 
da vaz3.o e comandada pelo regulador de velocidade, que atua sobre o siste-
ma diretor da turbina, alterando o seu grau de abertura, de maneira a manter 
praticamente constante a rotar;iio do conjunto turbina-gerador e, conseqilen-
temente, a freqUencia da corrente el6trica gerada. 
O golpe de ariete produzido atuara em ondas alternadas de sobre-
pressiio e depressao ao longo do conduto forr;ado da central hidre16trica, 
decrescendo em intensidade ao longo do tempo, ate o amortecimento 
total, devido a dissipac;iio de energia por atrito na tubular;iio, no reserva-
t6rio formado pela barragem, ou na chamine de equilfbrio. 
Para o dimensionamento estrutural das tubulac;5es e acess6rios, e, para 
a detenninac;iio dos nfveis extremos de oscilar;iio do nfvel d'cigua nas cha-
mines de equilibrio, toma-se extremamente importante a determinar;iio das 
press5es extremas (positivas ou negativas) atingidas durante o fen6meno 
do golpe de ariete. Uma das express6es mais utilizadas para o cfilculo da 
sobrepressiio maxima em raziio do golpe de ariete em um conduto forc;ado, 
e a conhecida f6rmula de Michaud cit.ada por Quintela:3 
3 QUINTELA, A. C., Hidrdulica. 
190 
onde: 
2 L c 0 
g t, 
Mdquinas de Fluido 
(8.2) 
MI = sobrepressao provocada pelo golpe de ariete, expressa em metros 
de coluna d' cigua; 
L = comprimento do conduto fon;ado, em m; 
c0 = velocidade de escoamento da rigua, antes de comec;ar o 
fechamento, em mis; 
g 
t, 
= acelerac;ao da gravidade, em m/s2; 
=tempo de fechamento do 6rgao obturador (sistema diretor da tur-
bina), em segundos. 
Pela anrilise da expressao (8.2), explica-se a recomendar;ao para 
que as chamines de equilfbrio sejam localizadas o mais pr6ximo possf-
vel da casa de forc;a da central, para que os comprimentos dos condutos 
forc;ados sejam os menores possfveis. 
0 sistema de regulagem da turbina (turbine governing system) 
deve atuar sobre o sistema diretor da maquina, variando o seu grau de 
abertura, de maneira a impedir sobrevelocidades de rotac;ao inadmissf-
veis do grupo turbina-gerador, quando ocorre rejeir;iio de carga (redu-
c;ao total ou parcial da potencia no eixo), evitando, ao mesmo tempo, 
tempos de fechamento tiio pequenos que possam provocar sobrepress6es 
excessivas provenientes do golpe de arfete. 
Alguns dispositivos especiais tamb6m sao utilizados para evitar um 
aumento excessi vo da velocidade de rotac;iio da turbina e da sobrepressiio 
por causa do golpe de ariete. Esta ea finalidade do defletor de jato (jet 
deflector) das turbinas Pelton (Fig. 8.2.a) e das v3.lvulas de alfvio ou de 
descarga autom::itica (automatic discharge valve), nas turbinas Francis. 
No caso das turbinas Pelton, o defletor desvia o jato d'3.gua incidente 
sobre o rotor, permitindo um fechamento lento do sistema diretor. Nas 
turbinas Francis, 0 Sistema de regulagem atua sobre a valvula de alfvio, 
abrindo-a de imediato e desviando parte da vaziio para o canal de des-
carga da turbina, enquanto o sisteffia diretor (Fig. 8.2.b) fecha lenta-
mente. Ap6s, a pr6pria v3.lvula tamb6m fecha lentamente. 
Caracter{sticas de Funcionamento de Turbinas Hidrdulicas 
Atun<;ii(l do deftet(lr de jat(l 
Defletor desviando parte do jato 
numa rejei<;iio parcial de carga 
Fig. 8.2.a Defletor de jato de uma turbina Pelton (Fonte: Voith). 
Pa m6vel 
sistema diretor 
Rotor 
Fig. 8.2.b Sistema diretor de turbina Francis (Fonte: Voith). 
191 192 Mdquinas de Fluido 
As turbinas do ti po Kaplan, embora nao apresentando estes dispo-
sitivos, pois as sobrepress6es elevadas nao se fazem presentes, tamb6m 
sao munidas de uma dupla regulagem. Pela atuar;,:ao de mecanismos alo-
jados no interior do cubo (hub) do rotor (Fig. 8.3) e comandados pelo 
regulador de velocidade, as pis do rotor podem mudar de inclinar;,:ao, de 
maneira a adaptarem-se a variar;,:ao da inclinar;,:ao das pas do sistema 
diretor, mantendo um alto rendimento para uma faixa bastante ampla de 
valores da vazao turbinada. 
Fig. 8.3 Mecanismos alojados no cubo de um rotor Kaplan (Fonte: Revue Technique 
Sulzer). 
8.3 Curvas caracteristicas de turbinas hidr8ulicas 
As curvas caracterfsticas de funcionamento permitem conhecer o 
comportamento da m3quina de fluido em uma situar;,:lio diferente daque-
la para a qual foi projetada. Isto porque, sendo a m<iquina calculada para 
um certo valor de Q, Yen, com um determinado fl
1
, variando qualquer 
dos tres primeiros valores as demais grandezas serao afetadas, inclusive 
a potSncia P . 
E possf~el obter-se as curvas caracteristicas, analitica ou, ao me-
nos, semi-empiricamente, combinando a teoria com coeficientes em-
piricos. A aplicar;,:ao das modernas t6cnicas da simular;,:ao num6rica por 
computador tern pennitido a previsao do comportamento de uma m<i-
quina ainda nao construfda, com grande aproximar;,:ao, mesmo para pon-tos de operar;,:ao bem distantes do ponto de projeto, com redur;,:ao de tem-
po e custos com relar;,:ao aos ensaios de laborat6rio. No entanto, as me-
Caracter{sticas de Funcionamento de Turhinas Hidrdulicas 193 
dir;Oes sobre modelos ou, diretamente, sobre a m3.quina instalada ainda 
se mostram imprescindiveis, seja para o conhecimento do desernpenho 
da m3.quina para qualquer condir;ao de servir;o, seja para a formar;ao de 
um banco de dados que possibilitara a sirnular;ao por cornputador do 
comportamento de m3.quinas sernelhantes a ensaiada. 
Para o trar;ado das curvas caracteristicas das turbinas hidr3.ulicas 
(characteristics curves of hydraulics turbines), e usual expressar as gran-
dezas no Sistema Tecnico de Unidades e considerar corno vari3.veis inde-
pendentes a velocidade de rotar;ao n, a altura de queda H ( correspondente 
ao salto energ6tico Y) e o grau de abertura a; corno vari3.veis dependentes a 
vazao (descarga) Q, a potencia no eixo P e o rendirnento total T\. 
' ' 0 grau de abertura (opening) a, rnuitas vezes expresso como urn 
percentual da maxima abertura, para turbinas Francis, D6riaz e Kaplan, 
e definido corno a rnenor distancia entre a cauda de uma pa do sistema 
diretor (guide vane) ea seguinte; para as turbinas Pelton, a est3. rela-
cionado corn o curso da agulha do injetor (needle of nozzle) (Fig. 8.4). 
Nas turbinas Michell-Banki, muito utilizadas em micro e minicentrais 
hidrel6tricas, o grau de abertura e definido pela inclinar;iio de uma Unica 
pa diretriz (Fig. 8.5). 
Sistema dirctor de turbinas Francis e Kaplan Sistema dirctor de turbina Pelton 
Fig. 8.4 Grau de abertura para turbinas hidr<lulicas. 
Pa diretriz 
Fig. 8.5 TurbinaMichell-Banki (Fonte: Ossberger). 
194 Mdquinas de Fluido 
Para as turbinas Pelton, a curva Q = f (n), para urn mesmo grau de 
abertura, e aproximadamente paralela_ao eixo dagibcissa, porque a velo-
cidade da 3.gua ea ser;iio de passagem do fluxo na saida do injetor man-
tem-se constantes, independente·mente da rotar;ao da turbina; para as 
turbinas hidr3.ulicas de rear;ao r3.pidas, a curva tern uma inclinar;iio ascen-
dente, enquanto, para turbinas de rear;iio lentas, ela tern uma inclinar;ao 
descendente (Fig. 8.6). 
Q 
. Q.e'tel.\' 
' ~Q.'IJ. 
i,O t'IJ. 
T-urb\t\~ 
Turbina de a iio Pelton 
n 
Fig. 8.6 Curvas Q = f (n) para um mesmo grau de abertura de turbinas hidniulicas. 
Estas curvas podem ser tra~adas a partir dos valores obtidos em 
ensaio de laborat6rio, com modelo reduzido, variando a velocidade de 
.rotar;ao da turbina pela variar;ao da carga atribuida ao seu eixo por meio 
de um freio e mantendo-se constante a altura de queda a que esta sub-
metida. 
Por meio da utilizar;ao <las leis de semelhanr;a e levando-se em conta 
os efeitos de escala, os resultados dos ensaios em modelos pennitem, 
por exemplo, a representar;iio <las curvas caracteristicas Q = f (n) e llt 
= f (n), para diferentes valores do grau de abertura, de uma turbina do 
porte de uma das unidades da central hidrel6trica de Tucurui (Fig. 8.7) 
Da an3.lise das curvas de rendimentos, conclui-se, por exemplo, que a 
turbina em questao foi projetada para um grau de abertura a= 80%, j3. 
que o seu m3.ximo rendimento e obtido para este grau de abertura. 
Caracteristicas de Funcionamento de Turbinas Hidrllulicas 195 
Q (m3/s) 
Fig. 8.7 
' 
' a"' 20°/o 
Curvas caracteristicas h = f (n) e Q = f (n) para diferentes valores do grau 
de abertura de uma turbi~a hidr<lulica. 
As duas curvas da Fig. 8.7 podem ser representadas num Unico grifi-
co, levando, para cada ponto da curva Q = f (n), o valor correspondente 
do rendimento retirado da curva 11
1 
= f (n). Obt6m-se, desta maneira, 
uma representar;ao espacial semelhante a uma colina topogcifica, daf de-
correndo a denominar;ao de diagrama topogcifico ou diagrama em co-
lina (hill diagram) para este tipo de gnffico (Fig. 8.8). Como o eixo 
cartesiano correspondente ao rendimento T}1 e perpendicular ao piano for-
mado pelos eixos de Q e n, representarn-se as linhas que unem os pontos 
de igual rendimento, no plano, por curvas de nfvel anfilogas 3.s de uma 
colina topografica (linhas de iso-rendimento). 0 ponto de miximo rendi-
mento da turbina corresponde ao cume da colina de rendimentos. 
r 196 Mllquinas de Fluido 
::
0
o
0 ~-=--~--~----j--, ~~~~~~~ri-~--:---~-----~=~t=·=-==··~=-~1t==-r1= L :, 
0 30 60 90 120 150 1 n(rpm) 
81,82 163,M 
Fig. 8.8 Diagrama topognifico de uma turbina hidr<lulica. 
No diagrama topogrifico da Fig. 8.8, a curva de rendimento Tj
1 
= 
Oo/o e 0 lugar geom6trico dos pontos para OS quais a velocidade de 
rotai;ao da turbina corresponde a velocidade de disparo (runaway speed) 
para cada grau de abertura. Esta rotar;ao e atingida com a supressao 
total da carga sabre a turbina (Pc= 0), por exemplo, quando o gerador 
el6trico acionado pela turbina e desligado da rede, mantida a alimenta-
i;ao de igua ao rotor (Q * 0). 
0 conhecimento do miximo valor da velocidade de disparo (nmax), 
ou seja, a velocidade de disparo correspondente a um grau de abertura 
de 100%' e de grande importJ.ncia para 0 dimensionamento do conjun-
to turbina-gerador, uma vez que corresponde as maiores tensOes supor-
tadas pelo material <las partes girantes da turbina e do gerador, por ar;ao 
de fori;as centrffugas que aurnentam com o quadrado da velocidade de 
rotar;ao. Esta situa9ao deve ser prevista no projeto das m<iquinas, ernbo-
ra s6 venha a acontecer num acidente de opera9ao, quando algo impede 
que o sistema de regulagem de velocidade da turbina comande o fecha-
mento do sistema diretor, com a redu9ao gradativa do grau de abertura. 
Para um grau de abertura de 8 a 15 % , conforme o ti po de turbina, a 
velocidade de disparo coincide com a rota~ii.o nominal (rated speed) 
da maquina (rota9ao de projeto), enquanto a maxima velocidade de dis-
paro (a= lOOo/o), dependendo das caracterfsticas da turbina e do gera-
dor, normalmente atinge valores aproximadamente iguais ao dobro da 
rotar;a:o nominal da m8.quina (nn). Para as turbinas Pelton, a maxima 
Caracterfsticas de Funcionamento de Turbinas Hidriiulicas 197 
velocidade de disparo e de 1,8 a 1,9 vezes a velocidade de rota9ao nomi-
nal; para turbinas Michell-Banki, 1,8 vezes a rota9ao nominal, enquan-
to para as turbinas do tipo Francis, Helice e Kaplan, o seu valor costu-
ma ser relacionado com a velocidade de rota9ao especifica da turbina, 
como na expressao indicada por Sedille: 4 
(
3 llqA J 
Ilmax =nn 2 + 513 
onde: 
n = maxima velocidade de disparo da turbina; 
n~•x = velocidade de rota98.o nominal da turbina; 
nqA = velocidade de rota9ao especifica da turbina. 
(8 3) 
0 valor assim obtido deve, no entanto, servir apenas de referencial 
para o clilculo das tens5es. Se estas estiverem pr6ximas as admissiveis 
para o material usado, torna-se necessario bu scar um valor mais confi<ivel, 
mediante ensaios de laborat6rio com um modelo reduzido da m<lquina. 
N as turbinas hidr<iulicas, e muito freqtiente a representa9ao <las 
curvas caracteristicas utilizando grandezas unit.arias, correspondentes 
a uma altura de queda unitliria, H = 1 m, e grandezas biunit::irias, 
relacionadas a valores unitarios da altura de queda e do di&metro do 
rotor, H = 1 m e D = 1 m, respectivamente, no Sistema Tecnico de 
Unidades. 
0 uso das grandezas unitarias, alem de conigir as pequenas varia-
95es de altura de queda, muito dificeis de serem evitadas durante os 
ensaios de laborat6rio, permite, a partir de um Unico gr<ifico (Fig. 8.9), 
obter o comportamento de. uma mesma m<iquina para diferentes situa-
95es de opera9ao, por exemplo, quando submetida a diferentes alturas 
de queda. 
4 SEDILLE. M., Turbo-Machines Hydrauliques et Thermiques. 
198 Mdquinas de Fluido 
120 
100 
80 
60 
40 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n, 
Fig. 8.9 Diagramatopogrtifico em grandezas unitfilias. 
Ja um gr<ifico de curvas caracteristicas que utiliza vari<iveis bi-
unit<irias tern como vantagem o fato de ser aplicado, dentro dos limites 
impostos pela teoria da semelhan9a, a todas as turbinas semelhantes 
(mesmo nqA), independente <las suas dimens5es. 
Como ilustra91io, considere-se que o diagrama topogrifico da Fig. 
8.10 tenha sido construido com os resultados dos testes de laborat6rio 
de um modelo reduzido da turbina que comp5e uma <las unidades da 
Central Hidreletrica de Itaipu, no rio Parana. 
Q 
' i i ! i I a~hoO"/o ; 
' --+---
' i L ' I/ -- ~--f--f---, ----a~•80% I / y / ~,_ 
' 
' ' 
-i--
-- ---- --
_J_ i , 5% t-- 7r' 
---
'" i I I of I~ -L17 
' 
~-
-- -
! i ' N' j 
.d;. 
-+ t- ~ A ,,,, I I~ v / i/ 
'"' 
I 
--+- -
I ;,'k- -'k: ' ! /l/ C ' I ! ~~!;~% i 1--H i::%7T r I 1--' ' i i 
----+- -
' 
-- ~,--, r 
I ! ! --!-" i __l ' ' ' ---+-~---,---- i ! 'I--' ,-:-1r·-j---; I I 
' ' 
i i i : ' i 
1,0 
0,8 
0,6 
0,4 
0,2 
0 
0 20 40 60 80 100 120 140 n 
Fig. 8.10 Diagrama topogrtifico em grandezas biunitfilias. 
Caracterfsticas de Funcionamento de Turbinas Hidrdulicas 199 
Com base neste diagrama, pode-se obter, por exemplo, as curvas 
caracteristicas P = f (Q) e Tl = f (Q) para a turbina em tamanho real 
. ' (rotor com D = 8,65 m), funcionando com uma velocidade de 90,9 rpm 
e submetida a uma altura de queda de 120 m (Fig. 8.11), desprezando-
se o efeito do fator de escala sobre o rendimento. 
P,(MW) 
Tj r(%.,),---~---,-----,-,;c---,----, 
,, so f-----------+/·----.,LLL ____ t- !1 ~+- "" 
u !i 
' /I !I 60 ---- --------- +- -------- -1- - - 7·--··t- - -- ----0-.--------------- 600 
i i / ;! :! 
'
! ' " . I/ !i !',< 
I !/ '.i 
40 ---- -- -----+------ _____ Jr------------W--- ---------~-1--- -- --- - 400 
' / i ij !I 
'
i / ! ilH 120m I 
/ i iln~90,9roml I/ i , 
20 _________ ---+r------------r---------~-~----------tt-- -- --- 200 
If /~ Fun~ionament~ ~m vazio i i 
/ !/,../ I ! I ! I 
/ ,/'i i 580 !1 780 !! 0 
Lo--J<1 /"'v_·'-2:-'~-,-0---,4'.::~o::---~~6:-:i ~:;:o--"~~;;;~o;---~Q(m'/s) 
70 
Fig. 8.11 Curvas 11, = f (Q) e P, = f(Q), obtidas a partir <la intersei;ao do diagra~a 
topogr;ifico da Fig. 8.10 por um plano paralelo ao eixo Q
11 
que corta o e1xo 
das abcissas no ponto n
11 
= 72. 
No procedimento adotado, calcula-se inicialmente o valorda veloci-
dade de rota9ao biunit<iria, n11 , por meio da equayao (5.23): 
200 Mdquinas de Fluido 
Da interseyao da reta paralela ao eixo das ordenadas, trayada a partir 
da abcissa nll calculada, com as curvas ~ iso-rendimento (iso-
efficiency curves), Ie-se o valor do rendirnento total e o ,,::orrespondente 
valor da vazao unit3ria Q11 so Ore o eixo das ordenadas. Conhecido o 
valor de Q 11 , calcula-se a vazao referente a cada ponto de interse9ao, 
pelo isolamento do termo Q na equayao (5.25): 
Finalmente, o valor da potencia no eixo, para cada ponto, sera calcu-
lado pela equa,ao (4.32): 
y Q H T], 
75 
Na an<ilise das curvas assim obtidas, observa-se que o valor 
m<iximo da potencia corresponde a maxima vazao, enquanto o mes-
mo nao acontece com o rendimento m<ixirno, concluindo-se que tur-
bina nao foi projetada para a vazao maxima. Este procedimento de 
projetar a turbina para uma vazao inferior a maxima e rnuito utiliza-
do e per1nite, conforme rnostra a Figura 8.11, trabalhar em uma faixa 
ampla de vazao, no caso, de 50 a lOOo/o da descarga maxima, com 
um rendimento ainda aceitavel, superior a 90%, no exemplo citado. 
Outra razao para nao se projetar a turbina para sua vazao rn<ixima 
deve-se ao fato, bastante freqiiente, da central hidreletrica funcionar 
apenas algumas horas por_dia com sua potencia maxima, a chamada 
ponta de carga. Se a turbina for projetada para uma vazao correspon-
dente a solicita9ao m<ixima, passara a maior parte do tempo traba-
lhando fora de seu ponto de melhor rendimento. 
A mesrna Fig. 8.11 permite tambem visualizar o chamado ponto 
de funcionamento em vazio. 0 ponto de funcionamento em vazio 
corresponde a situayao em que, funcionando com a sua velocidade 
de rotai;ao nominal e submetida a uma determinada altura de queda, 
a turbina nao fornece potencia Util no eixo, havendo dissipayao da 
potencia disponivel pelas resistencias que se op6em ao movimento 
das partes girantes da m<iquina. A vazao em vazio, no caso observa-
Caracterfsticas de Funcionamento de Turbinas Hidrciulicas 201 
do, atinge o valor de 70 m 3/s, correspondendo a cerca de 9% da 
maxima vaziio da turbina. Este valor, para turbinas do tipo Helice, 
pode superar 40o/o da descarga..m3xima. 
A utilidade dos diagramas topograficos com grandezas biunit3-
rias pode ser constatada pela anlilise das Figuras 8.10, 8.12 e 8.13. 
A Fig. 8.10 representa uma turbina Francis de nqA = 182, a Fig. 8.12, 
uma turbina Pelton de de nqA = 36 ea Fig. 8.13, as curvas caracte-
risticas de uma turbina Kaplan de nqA = 453 para quatro inclinai;Oes 
diferentes <las pas de seu rotor. Pode-se dizer que as curvas para uma 
determinada inclinayiio das p<is do rotor, por exemplo, J3 = 0°, 
correspondem 3.s curvas de uma Turbina Helice (rotor com pas fixas) de 
mesma velocidade de rotayiio especifica. 
0, 14 -----+-----1 
0,12 
0,10 
0,06 
0,04 
0,02 
o,oo2~0--"""'25---3"-o'--"""'35--~4'"""0'--4-'-5---'s-o---'n 
Fig. 8.12 Diagrama topogriifico para turbina hidriiulica do ti.po Pelton. 
202 Mdquinas de Fluido 
Q 11~,-,......,......,......,_,.....,.......,.......,......,.......,.....,.....,.....,-....,-,......,,,,,.,,_,....., 
3» J» 
2,8 ~ 
2,2 
2,0 
1,8 
1,6 
2,0 
1,8 
1,6 
1,4 
1,2 
1,6 
1,4 
1,2 
1,0 
60 
2,6 
2,4 
2,2 
2,0 
2,4 
2,2 
2,0 
1,8 
1,6 
2,0 
1,8 
1,6 
1,4 
1,2 
1,4 
1,2 
1,0 
Fig. 8.13 Diagrama topogr<lfico para diferentes valores do iingulo de inclina~iio das 
piis do rotor de uma turbina hidr<lulica do tipo Kaplan. 
i 
J.. 
Caracterfsticas de Funcionamento de Turbinas Hidrdulicas 203 
Ao comparar-se a curva Qu = f (n11) da turbina da Fig. 8.10, para 
um determinado grau de abertura, a= lOOo/o, pd-r exemplo, com o mes-
mo tipo de curva da turbina da .Fig. 8.13, para ~ = 0°, verifica-se que 
esta Ultima presta-se melhor para instala96es de baixa altura de queda. 
Porque, sendo a potencia no eixo deste tipo de instalai;ao extremamente 
sensfvel a uma redu9ao da altura de queda, pela anlilise das equac;,:6es 
(5.23) e (5.25), para velocidade de rota93.o e di§.metro do rotor constan-
tes, observa-se que, na turbina da Fig. 8.10, uma diminui9ao da queda 
provoca um aumento do valor de n11 , uma diminui93.o no valor de Q11, 
em conseqli@ncia da curva Q11 = f (n11) descendente, e uma grande redu-
<;iio na potencia gerada, segundo a equa<;iio (4.32). Enquanto, em fun-
<;iio da curva ascendente, na turbina da Fig. 8.13, a reduyii.o da queda 
produz um aumento de n11 , tamb6m de Q 11 e uma reduyiio niio tao 
acentuada da vaziio Q (ou seu aumento), trazendo como consequencia 
uma diminuiyii.o niio tiio acentuada na potencia gerada. 
Outra conclusao possivel de ser obtida a partir da an:ilise dos dia-
gramas topogr8.ficos das Figuras 8.10, 8.12 e 8.13, e que, por possuir 
curvas de igual rendimento com a forma aproximada de elipses com 
eixo maior na direyiio da ordenada Q 11, a turbina Pelton e mais adequa-
da para o trabalho numa situayii.o de variayii.o de vaziio do que a turbina 
Francis e, mais ainda, do que a Turbina H6lice, que apresentam curvas 
de iso-rendimento inclinadas na direyao de Du. As maquinas de maior 
nqA mostram-se mais adequadas para o funcionamento onde exista vari-
ayiio da altura de queda do que variayiio da vaziio. 
Esta Ultima conclusii.o pode ser melhor visualizada, comparando 
cortes dos diagramas topogr:ificos por umplano paralelo ao eixo das 
ordenadas, a partir do valor de n 11 calculado para a altura de queda e a 
velocidade de rotayii.o nominais. As curvas assim obtidas (Fig. 8.14) 
mostram que as turbinas Pelton (menor n ), por apresentarem curvas qA 
de rendimento em funyao da vazii.o mais achatadas, sao mais indicadas 
para a operayii.o com descarga variavel. A menos adequada e a turbina 
H6lice, que possui a curva mais pontiaguda. Somente a turbina Kaplan 
(ou uma de suas variantes, Bulbo, Tubular, Straflo), porter pis m6veis 
no rotor, aproxima-se da turbina Pelton na adaptabilidade ao funciona-
mento com vazii.o vari<ivel, sem perder as vantagens de uma turbina de 
grande nqA na operayiio com variayao de altura de queda, ji que sua 
curva pode ser considerada uma envolvente das curvas de varias turbi-
nas do tipo H6lice com diferentes inclinayOes das pis do rotor. 
204 Mdquinas de Fluido 
17(0/o) 
·, 
i-
90 -~~\): .--; ;/_.. ,/ 
J: J(:,\)IJJ /' l/ 
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I ; / .. ! 
. I I OL-"-'--"--"-_J_ _ _L__j_-'--'------1-_L__l _ _j__+ 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 
Fig. 8.14 Curvas de rendimento em fum;ao da vazao (valor relativo a vaziio m<ixima) 
para v<irios tipos de turbinas hidr<lulicas. 
Muito usada em micro, mini e pequenas centrais hidrel6tricas, a 
turbina Michell-Banki apresenta um comportamento bastante favoravel 
para o funcionamento em regime de vaziio variivel, conforme mostra o 
grifico de um de seus fabricantes, a Ossberger - Turbinenfabrik, da Ale-
manha (Fig. 8.15). 
Caracteristicas de Funcionamento de Turbinas Hidrdulicas 205 
.~· .• ,..· --r=-r=r"C+.:..'4 "'+"~ 
t· t--t---t--t-+--+--t-+--+-+---c 
Fig. 8.15 Compara~ii.o <las curvas caracteristicas de uma turbina Michell-Banki, para 
diferentes graus de admissii.o d'ligua, com a curva caracterfstica de uma turbina 
Francis (Fonte: Ossberger). 
206 Mdquinas de Fluido 
Na comparar;ao das curvas de rendimento em funr;ao da descarga, 
entre uma turbina Michell-Banki de dois setores. que, funcionando em 
separado ou em conjunto, permitem a admissao da <igua em 1/3, 2/3 ou 
313 da largura de seu rotor, e unla turbina do tipo Francis, ve-se que, 
embora o rendimento m<iximo da turbina Michell-Banki seja um pouco 
inferior, apresenta superioridade para a faixa de baixas vaz5es, em vir-
tude de uma curva 11
1 
= f (Q) bastante achatada, para altura de queda e 
rotar;ao constantes. Na amplitude do campo de vaz5es, a turbina Michell-
Banki compete com a Kaplan, apresentando vantagens no que tange aos 
custos de fabricar;ao e instalar;ao. 
Embora a grande importfulcia dos diagramas topogr<ificos, durante 
a operar;ao de uma turbina hidr<iulica de central hidrel6trica, nao inte-
ressa ao operador curvas caracteristicas expressas em grandezas unitfui-
as e biunitfui.as, ou curvas com rotar;ao vari<ivel. Como a velocidade de 
rotar;ao mant6m-se rigorosamente constante pela ar;ao do sistema de 
regulagem, interessa ao operador, por exemplo, o comportamento da 
turbina (potencia gerada, rendimento total e vazao turbinada) em fun-
r;ao da altura de queda e do grau de abertura. Isto pode ser visualizado 
pelo chamado diagrama de operai;iio (Fig. 8.16), em que tamb6m silo 
demarcadas as regi5es em que a turbina apresenta seu melhor funciona-
mento, operar;ao deficiente ou, ainda, limitar;5es em razao dos riscos de 
cavita'tffo e restrig5es t6nnicas do gerador. 
Caracteristicas de Fu11ciona111ento de Turbinas Hidrii11/icas 
Q (m'ls) 
700 
650 
550 
5011 
450 
400 
350 
31)(1 
150 
200 
150 
Ill() 
I 
I 
I 
: _6~ 
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I 
I 
I 
I 
I 
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I - · - • ...:. • • ' I 
I -·-·-. I I ~ - -·-·-. I 
I 
S5 90 95 100 105 110 115 120 125 H (m) 
Pig. 8.16 Diagrama de opera~ao de turbina hidraulica. 
208 .Maquinas de Fluido 
8.4 Exercicios resolvidos 
I. Supondo que o grafico da Fig. 8.9 represente as curvas caracteristicas 
em grandezas unitarias, no Sistema Tecnico de Unidades, de uma das 
turbinas instaladas na Central Hidreletrica de Tucuruf, no rio Tocantins, 
e sabendo que esta opera com a velocidade de rotac,;ao de 81 ,82 rpm 
(gerador de 60 Hz), constante para todas as condic,;oes de trabalho, 
determinar para agua de massa espedfica, p = 1000 kg/m3: 
a) a altura de queda nominal da turbina; 
b) a sua vazao nominal; 
c) a potencia nominal da turbina; 
d) a vazao quando a turbina trabalha com a altura de queda minima 
da instala\:aO, Hmin = 51,4 m, e com 0 maximo grau de abertura 
(a= 100%); 
e) a potencia gerada quando a turbina opera com a altura de queda 
maxima da central, HmaK = 67,6 m, e um grau de abertura, a = 
80%; 
f) a maxima velocidade de disparo da turbina para a altura de queda 
de projeto (nominal). 
SOLU<;AO: 
0 diagrama topografico da Fig. 8.9 indica para o ponto de rnaior 
rendimento da turbina, os s~guintes valores nominais: 
r\1 = 93 %; n 1 = 10,5; Q1 = 72 e a= 80%. 
Pela equac,;ao (5.21) tem-se entao: 
n 
n1=--
HYz 
H = - = -~ =60,72m (Respostaa) [ n )
2 
(8l82 J
2 
n1 10,5 
e 
Q 
Q. =---v 
H 12 
Q=Q1.Hy;_ =7260,72Yz =56io5 m3/ s (Resposta b) 
0 salto energetico especffico disponfvel e: 
Y = g. H = 9,81 . 60,72 = 595,66 J/kg 
i 
.. i 
, 
I 
l: 
i 
I 
Caracteristicas de Funcionamento de Turbinas Hidrdulicas 20) 
Levando os val ores obtidos a equa<_;:ao (4.30), vem: 
P, = p. Q. Y. 11, = 1000.561,05:595,66.0,93 = 310,8.10' W :. 
P, = 310,8MW (Resposta c) 
Para Hmin = 51,4 m, tem-se: 
Y mm= g · Hmfa = 9,81 · 51,4 = 504,23 J/kg 
n 81,82 
n, =HY, = 514Y, = 11,4 
min ' 
Com n
1
=11,4 e a=lOOo/o, retira-sedogr:ificodaFig.8.9: 
Q
1 
= 93 e 11 1 = 89o/o. 
Logo: 
Q=Q,.H~" =93.51,4Y, =666,75m'/s (Resposta d) .. 
Comn
1
= 
81
•
82 
= 9,95 e a=80°/o,retira-sedaFig.8.9: 
(67,6) 1'2 
Q, = 70,5 e 'fl,="= 92%, podendo-se entiio calcular: 
Q = 70,5 (67,6/"' = 579,65 m'/s e Y = 9,81. 67,6 = 663,16 J/kg .. 
P, = 1 O'. 663, 16 . 579,65 . 0,92 = 353,65.10' W :. 
P, = 353,65 MW (Resposta e) 
Ainda da Fig. 8.9, para a= 100% e 11 1 = 0 o/o, obtem-se: n1 = 21. 
Para a altura de queda nominal, pode-se entao escrever: 
n.,, =n,.HY, =21.60,72Y, =163,64rpm (Resposta f) 
2. Considere que o diagrama da Fig. 8.13, construido no Sistema Tecnico 
de Unidades, represente as curvas caracterfsticas das turbinas Kaplan 
da Central Hidrel6trica de Volta Grande, no rio Grande, que foram 
projetadas para uma altura de queda de 26,2 m e velocidade de rota<;ao 
de 85,7 rpm. Quando a altura de queda dacentral baixa para 22,56 m 
supOe-se que o sistema de regulagem atue, aumentando o grau de 
abertura para 85% e alterando a inclina<;3.o das pas do rotor para 10°. 
Considerando a massa especffica da agua igual a 1000 kg/m3, calcular: 
210 Mllquinas de Fluido 
a) a pot~nci_a no ei~o das turbinas para esta situac;iio (a= 85% e p =10°); 
b) a potenc1a no e1xo para as condi96es de projeto. 
SOLU<;AO: 
A Fig. 8.13 pennite concluir, comparando os diagramas topograficos 
correspondentes a?s diferentes fulgulos de inclina9iio das pas do rotor,que o pon_to de ~r.oJeto (ponto de m<iximo rendimento ) da turbina Kaplan 
em ~uestao venf1ca-se para um 3.ngulo de inclina<;iio das pas do rotor, p 
= 0 , e um grau de abertura do sistema diretor, a= 75%. Para este 
ponto, de rendimento igual a 88%, tem-se os seguintes valores para as 
grandezas biunitarias: 
nll = 130 e Qu = 1,35. 
Levando os valores correspondentes as condir;Oes de projeto nas 
equae;oes (5.23) e (5.24), chega-se a: 
HY, 26 2h 
D=n 11 --=130 --'-=776m 
n 85,7 ' 
Q,, Q y, .. Q=Q,,.D'.HY, =l,35.7,76'.26,2Y, .. 
D'.H' 
Q= 416,lm'/s 
0 salto energetico disponfvel para o ponto de projeto e: 
Y = g. H = 9,81 . 26,2 = 257,02 J/kg 
Pela equar;ao ( 4.30), chega-se entiio a: 
P, = p.Q.Y.11, = 1000.416,1.257,02.0,88 = 94,11.106 W :. 
P, = 94, 11 MW (Resposta b) 
Para a altura de queda H = 22,56 m, vem: 
Y = g. H = 9,81. 22,56 = 221,31 J/kg e 
i 
I 
. ! 
i 
. 
I 
I 
1 
Caracter{sticas de Funcionamento de Turbinas Hidrdulicas 211 
Levando este valor a Fig. 8.13, para ~ = 10° e a= 85o/o, obt6m-se: 
Q 11 = 1,95 e TJ 1 = SOo/o. 
Logo: 
Q = Q,,.D' .HY, = l,95.7,76'.22,56Y, = 557,73 m' /s .. 
P, = p.Q.Y.Y\, = 1000.557,73.221,31.0,8 = 98,74.10' W :. 
P, = 98,74MW (Resposta a) 
3. Supondo que o diagrama topogr<lfico da Fig. 8.12 (Sistema T6cnico 
de Unidades) represente as curvas da turbina hidraulica instalada na 
Usina de Canastra, em Canela, e conhecidas as caracteristicas nominais 
da instala~ao, H = 330 m, Q = 7 ,85 m3/s, gerador el6trico, sfncrono, 
com 20 p6los e 60 Hz de freqtiencia, <i.gua de massa especffica, p = 
1000 kg/m3 , detenninar: 
a) o tipo de turbina instalada, justificando; 
b) o diftmetro do rotor da turbina; 
c) a potencia gerada no eixo da turbina; 
d) o diiimetro de uma turbina modelo, a ser ensaiada com uma altura 
de queda de 15 m, gerando uma potencia de 2,2 kW; 
e) a vazao com que deve ser ensaiada a turbina modelo. 
SOLU<;AO: 
A partir da equa<_;ao das rruiquinas e16tricas sfncronas (13.46), tem-se: 
n=~= 2 · 60 =6rps (360rpm) 
p 20 
O salto energ6tico (trabalho especffico) disponfvel da instalayao e: 
Y = g. H = 9,81. 330 = 3237,3 J/kg 
212 Mdquinas de Fluido 
Pela equa,ao (5.34): 
Com este valor de nqA' pela Tabela 5.1, a turbina instalada poderia 
ser Pelton ou Michell-Banki. Para a altura de queda de 330 m, no 
entanto, o gr:ifico da Fig. 1.6 leva a concluir tratar-se de uma turbina 
hidr:iulica do tipo Pelton. (Resposta a) 
Do diagrama topogrifico da Fig. 8.12, para o ponto de projeto 
(grandezas nominais), tira-se: 
A partir da equayao (5.23), onde a velocidade de rota<_;iio e expressa 
em rpm, vem: 
D = 11,,,HY, = ,jl330Y, = 2 07 m 
n 360 ' (Resposta b) 
A equa<;iio ( 4.30) fomece: 
P, = p.Q.Y.TJ, = 1000.7,85.3237,3.0,9 = 22,872.106 W :. 
P, = 22872 kW (Resposta c) 
Como as grandezas biunitarias sao iguais para miquinas de fluxo 
semelhantes (modelo e prot6tipo) e para turbinas Pelton o efeito escala 
e desconsiderado (equa<_;iio 5.10), as equa<_;6es (5.27) e (5.25) pefmitem 
escrever: 
= 
D' . HY, D' HY, 
Ill. Ill 
~------,~ .. 
D , 2.2 (330r' m =, 2,07 .-- -- =0,206m 
22872 15 
(Resposta d) 
\ 
I 
Caracteristicas de Funcionamento de Turbinas Hidrdulicas 213 
Q Q , ~D j'(H JY, _. _m, _mm. Q,, -Q,,m .. --,;-- '7 .. Qm - -D -H ·• 
D 2 .H12 D~.H~2 
{ 
, y, 
Q =7,8 °·206 Y(_l.5_ I' =00166m'/s=l6,61/s 
m 2,07 J 330 J ' (Resposta e) 
8.5 Exercicios propostos 
1. Uma <las turbinas da Central Hidreletrica de Itaipu, no rio Parana, que 
trabalha na freqliencia de 50 Hz, com velocidade de rota98.o de 90,9 
rpm, encontra-se submetida a sua altura de queda nominal, Hrr = 120 
m. Considerando suas curvas caracterfsticas representadas pelo 
diagrama topogr3.fico da Fig. 8.10, no Sistema Tecnico de Unidades, 
a <'igua com massa especifica de 1000 kg/m3 e constante a velocidade 
de rota9ao, determinar: 
a) o diilmetro de entrada do rotor da turbina; 
b) a vazao nominal e a potencia no eixo nominal da turbina; 
c) a vazao ea altura de queda da turbina quando opera com grau de 
abertura m<iximo (a= 1 OOo/o) e para es ta abertura no ponto de melhor 
rendimento; 
d) a potencia obtida no eixo para as condis;Oes do item "c"; 
e) a maxima velocidade de disparo da turbina, para a altura de queda 
nominal. 
Respostas: 
a) D, = 8,68 m; b) Q = 577,73 m'is e P = 646,1 MW; 
., n en 
c) Q = 725,7 m'is e H = 105 m; d) P, = 672,76 MW; 
e) nm~= 176,68 rpm. 
2. A turbina Pelton cujo diagrama topografico encontra-se representado 
na Fig. 8.12 possui rotor com di§.metro de 0,5 m e trabalha com 
<igua de massa especffica p = 1000 kg/m3• Para que esta turbina seja 
acoplada diretamente a um gerador sfncrono de 8 p6los e 60 Hz, 
determinar: 
a) a altura de queda a que devera estar submetida para funcionar na 
sua melhor condis;ao; 
b) a sua vazao nominal; 
(l 
r 
214 Mdquinas de Fluido 
c) a potencia no eixo nominal; 
d) a sua maxima potencia para a altura de queda nominal; 
e) a vazao correspondente a e~ta Ultima situas;ao (maxima potencia). 
Respostas: 
a) H" = 120,46 m; 
d) P, = 371,65 kW; 
b) Q" = 0,233 m'is; 
e) Q = 0,373 m'is. 
c) P," = 247,8 kW; 
3. A turbina, cujas curvas caracteristicas est3.o representadas na Fig. 8.9 
(Sistema T6cnico de Unidades), foi projetada para ser acoplada 
diretamente com um gerador sfncrono de 88 p6los, 60 Hz, com um 
rotor de difimetro igual a 8, I m. Constmindo um modelo geome-
tricamente semelhante, com rotor de 0,3 m de difunetro, para operar 
com uma velocidade de 1600 rpm, tamb6m trabalhando corn agua de 
massa especffica de 1000 kg/m3 e levando em considera93.o o efeito 
do fator de escala sobre o rendimento, deterrninar para a turbina 
modelo: 
a) a altura de queda nominal; 
b) a vazao nominal; 
c) o rendimento total para a condis,:3.o de projeto; 
d) a potencia no eixo para o ponto de melhor rendimento. 
Respostas: 
a) Hm = 31,85 rn; b) Qm = 0,557 m'/s; c) ri~ = 86,5 %; 
d) P,m = 150,5 kW. 
4. Supondo que o grafico da Fig. 8.13 (Sistema T6cnico de Unidades) 
represente as curvas caracteristicas de uma das turbinas Kaplan 
inicialmente previstas (posteriorrnente o projeto foi alterado com a 
utilizas;fio de turbinas Francis) para a Usina Hidrel6trica de Dona 
Francisca, no rio Jacuf, projetada para uma altura de queda de 38,75 
m e velocidade de rotas;ao constante de 163,6 rpm, determinar, pela 
an3lise dos diagramas topogr3ficos, quando esta turbina estiver 
operando com uma altura de queda de 33,46 m e vaziio de 141,73 
m'/s (P,, .. = 1000 kgim'): 
a) o fingulo de inclinas;fio mais adequado das pas do rotor; 
b) o grau de abertura do sistema dire tor; 
c) a potencia gerada nesta situas;fio; 
I 
Caracteristicas de Funcionamento de Turbinas Hidrdulicas 
d) a vazao nominal da turbina; 
e) a sua potencia nominal. 
Respostas: 
a)~= - 5°; 
d) Q
0 
= 205,91 m 3/s; 
b)a=60%; 
e) P,
0 
= 68,88 MW. 
215 
c)P,=39,08MW; 
5. Considere-se as curvas caracteristicas da Fig. 8.10 como pertencentes 
a uma das unidades da Usina Hidreletrica de Sal to Santiago, rio lgua9u. 
0 rotor desta turbina possui um difunetro de 5,95 m e gira com uma 
velocidade de rota9ao constante de 120 rpm. Determinar para uma 
altura de queda de H = 90,63 m e 3.gua de massa especifica de 1000 
kg/m3: 
a) a vazao turbinada para o grau de abertura a= 80o/o; 
b) a potencia no eixo para a= 80%; 
c) a vazao que passa pela turbina quando o grau de abertura for a= 40%; 
d) a potencia gerada para o grau de abertura a= 40%; 
e) a velocidade de disparo para um grau de abertura a= 20%. 
Respostas: 
a) Q = 262,88 m3/s; 
d) P, = 86,3 MW; 
b) P, = 219,7 MW; c) Q = 121,33 m 3/s; 
e) ndisporo = 134,4 rpm. 
6. A turbina Francis, cujas curvas caracteristicas encontram-se repre-
sentadas na Fig. 8.9, foi projetada para uma altura de queda de 60,8 
m. 0 rotor destaturbina possui as seguintes caracteristicas: D 4 = 8,1 
m, 'llv = 0,99, T\h = 0,96, Kcm4 = 0,32 e a.5 = 90°. Desprezando a 
espessura das p<is, sabendo que o nivel de jusante da instala93.o esta 
situado na cota de 3,96 m acima do nivel do mar e considerando a 
temperatura da agua igual a 25°C, calcular: 
a) o ftngulo de inclina9ao <las pas na entrada do rotor; 
b) o ftngulo de saida das pas do sistema diretor que antecede o rotor; 
c) a largura b 
4 
na entrada do rotor; 
d) a altura de suc9ao maxima desta turbina, calculando o coeficiente 
de cavita9ao pela expressao (6.3). 
Respostas: 
a)~'= 31,22"; b) a,= 33,83°; c) b, = 1,98 m; d) H,,m~ = - 3,94 m. 
.9 
CARACTERISTICAS DE FUNCIONAMENTO DE 
GERADORES DE FLUXO 
0 conhecimento das curvas caracteristicas dos geradores de fluxo 
e das peculiaridades inerentes a cada tipo de m<iquina fornece uma base 
confi3vel para o projetista de uma nova instala~ao e uma orienta~ao 
segura para o usulirio, quando este se depara com u1n problema de fun-
cionamento. 
Base confi3.vel para o projetista porque o born fabricante de m<i.qui-
nas de fluxo fomece, em seus cat:ilogos, as curvas caracteristicas de seu 
produto, normalmente, obtidas em ensaios de laborat6rio. Possiveis 
diston;6es podem levar o cliente a responsabilizar o fabricante ou serem 
objeto de multas contratuais. 
Por outro lado, um engenheiro conhecedor das peculiaridades dos 
diferentes tipos de m8.quinas de fluxo dificilmente cometera um erro 
grosseiro de orienta9ao, como recomendar o fechamento de um registro 
colocado na canaliza9ao de descarga de um exaustor axial que efetua a 
tiragem dos gases de combustao de uma caldeira, com a finalidade de 
reduzir a sobrecarga do motor de acionamento, e tambem nao deixara 
de alertar para os riscos de uma eleva9fio exagerada da corrente do mo-
tor eletrico na partida de uma bomba centrifuga de grande porte com 
registro de recalque totalmente aberto. 
A an<ilise dos diferentes tipos de curvas caracterfsticas de m<iquinas de 
fluxo geradoras e dos fatores que as modificam, bem como a determina93.o 
do ponto de funcionamento mais adequado para diferentes sistemas de 
bombeamento ou ventila9ao, serao objetivos deste capitulo. 
9.1 Curva te6rica e curva l-eal 
Inicialmente, sera feita a distin9ao entre as curvas caracterfsticas 
te6ricas e as curvas caracteristicas ideais de uma m<iquina de fluxo ge-
218 Mdquinas de Fluido 
radora. As curvas ideais nao consideram as perdas e podem ser facilmente 
deduzidas a partir da equa9ao fundamental para nllmero infinite de p8.s ( equa-
93.0 de Euler). JS. as curvas te6ricas, levamem conta as perdas e possuem 
es ta denominai;;ao porque sao previslas pela teotia e nao detenninadas pela 
experimenta91io ( curvas caracterfsticas reais ). 
A seguir, serS.. apresentado o procedimento cl<issico para a obten-
93.0 da curva caracterfstica te6rica, Y = f (Q), de um gerador de fluxo 
radial com velocidade de rota95.o constante. 
A equa9ao fundamental simplificada das m<iquinas de fluxo, mo-
dalidade geradora, supondo escoamento sem atrito, rotor com niimero 
de p3.s infinito, infinitamente pr6ximas e de espessura infinitesimal (equa-
,ao 3.29), e: 
Com base nesta equa9ao serS. examinada a varia93.o do trabalho 
especifico (salto energ6tico) disponfvel, Y, em funi;;ao da vazao, man-
tendo constante a velocidade de rota95.o e alterando a vazao por meio do 
ajuste de um registro inserido na canaliza980 de descarga. 
Neste caso, o 8.ngulo de safda das pas do rotor, ~5 , mant6m-se 
constante e o triilngulo de veloc.idades fomecido pela equa98.o vetorial 
c', = ti5 + W 5 transforma-se no tri3.ngulo representado pela equa~ao 
c~ = U.5 + w~ . A altura deste nova tri§.ngulci passa a ser c, mS ' diferente 
de cm, (Fig. 9.1). 
'" I ~ 
' u 
cxs __ _ 
--
I e's , ----- ---------f-
, --
----1-- d' ~ ft., ~ 
- ' ~~ bl 
-- ~; I p ~~ I 
""-e::-:...--_-_L,_ _ _i_ __ -i---+' '"---~~-- _l______ --
: Cu5 : I 
~-------------------~~----~ 
u, 
Fig. 9.1 Modificm;ao do trifingulo de velocidades em funi;ao da variai;ao da vazi'io. 
Caracter{sticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 219 
Com base nos trifingulos da Fig. 9.1 e das ~quay5es"(3.10) e (3.11), 
pode-se escrever: 
Q cotg~ 5 = u 5 - cotg~5 
n Ds bs 
Substituindo este valor na equa9ao (3.29), vem: 
(9.1) 
Para as condi95es estabelecidas, a Unica grandeza do lado direito 
do sinal de igualdade da expressao (9.1) que pode variar ea vaziio Q, 
representando, desta maneira uma reta de inclina93.o positiva (ascenden-
te), nula (constante) ou negativa (descendente), conforme ~5 seja maior 
(pis curvadas para frente), igual (p3.s de saida radial) ou menor que 90° 
(pis curvadas para tr3.s). 
Representando graficamente esta equa93.o, obtem-se as curvas carac-
teristicas ideais para os tres casos citados (Fig. 9.2). 
Ypac-
Q 
Fig. 9.2 Curvas caracteristicas ideais (para nUmero infinito de pas do rotor) de geradores 
de fluxo radiais. 
220 Mdquinas de Fluido 
0 tray ado da curva caracterfstica te6rica, Y = f (Q), para rot ores radiais 
com pas curvadas para tr3.s (f35 < 90°), e obtido co!1forme est3. indicado na 
Fig. 9.3. 
y 
curva te6rica Y = f (Q) i 
ponto de projeto 
i ,/ 
_,..,,::::_ ........ 
------- -------------'lui: 
0 Q" Q 
Fig. 9.3 Obteni;iio da curva caracterfstica te6rica Y :=: f (Q) de um gerador de fluxo a 
partir da curva ideal. 
Ou seja, a partir da curvacaracteristica ideal, Y paoo = f (Q), chega-se a 
curva Y pa= f (Q), levando em con ta a equayao (3 .31) que traduz a diminui-
93.0 do trabalho especffico para um rotor com nUmero finito de pas, confor-
me a defini9ao do fator de deficiCncia de potCncia, µ. 
Para obter a curva caracteristica te6rica, deve-se subtrair da curva Y , 
P• 
= f (Q), para cada valor da vazao, a totalidade das perdas hidr3.ulicas, E + p 
Epc, onde EP representa as perdas por atrito, mudanya de seyao e direyao do 
fluxo, e Epc' as perdas par choque (turbilhonamento) na entrada do rotor e 
do sistema diretor. 
Caracterfsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 221 
Segundo Pfleiderer, 1 tanto E como E sao func;Oes parab6licas da 
- . P pc , 
vazao, que podem ser, respectlvamente, representadas pelas equac;6es: . 
E,. ~ (1 - TJ,) Y"' (_g_)' 
Q,. 
e 
E. ~ K. (u' +µ' u')(1 - _g_)' 
pc pc 4 5 Qn 
onde: 
(9.2) 
(9.3) 
Er == perdas por atrito, mudanc;a de sec;ao e direc;ao do fluxo, em J/kg; 
Ere == perdas por choque na entrada do rotor e do sistema diretor, em JI 
kg; 
llh == rendimento hidr8.ulico da m8.quina, adimensional; 
Y P'' == trabalho especffico nas pas de um rotor com nti.mero finito de pas, 
em J/kg; 
U4 == velocidade tangencial na entrada do rotor, em J/kg; 
u5 == velocidade tangencial na safda do rotor, em J/kg; 
µ == fator de deficiencia de potencia, adimensional; 
Kpc == coeficiente de perdas por choque, adimensional; 
Q == vazao gen€rica da m8.quina, em m3/s; 
Qn == vazao nominal (de projeto) da m8.quina, em m3/s. 
Pelas equac;6es (9.2) e (9.3), conclui-se que, enquanto a parabola 
que representa as perdas por atrito tern seu v6rtice na origem das coor-
denadas (Q == 0), a parabola representativa das perdas por choque tern 
seu v6rtice na abcissa correspondente ao ponto de projeto (Q = Q ), 
onde o valor destas perdas e considerado nulo (Fig. 9.3). n 
Para rotores com Ps = 90° e p5 > 90°, a curva caracteristica te6rica 
seria obtida de maneira aniloga. 
Tambem de maneira analoga poderia ser trac;ada a curva caracte-
rfstica te6rica Pc== f (Q), que da a variac;ao da potencia consumida no 
eixo em func;ao da vaziio, a partir da caracterfstica ideal de uma maqui-
na de fluxo geradora com nrimero infinite de pas. Esta, de acordo com 
1 PFLEIDERER, C., Bumhas centr!fugas y turbocompressores. 
222 Mdquinas de Fluido 
as equa\'.Oes (3.25) e (9.1), pode ser representadapor uma parabola que 
passa pela origem do sistema de coordenadas (Fi~. 9.4), seguindo uma 
equac;ao do tipo: 
onde: 
pp(ooo 
K, 
K, 
Q 
(9.4) 
== potencia nas pas de um rotor com nti.mero infinito de pas, em W; 
== constante, adimensional; 
= const;µite, adimensional; 
= vazao generica da m<i.quina, em m3/s. 
5 < 900 
Q 
Fig. 9.4 Curvas caracteristicas ideais P v0~ = f (Q) de miquinas de fluxo geradoras 
radiais. 
Para p5 == 90°, a constante ~ anula-se por contero termo cotg P5, 
ea curva P paoo = f (Q) transforma-se em uma reta. Para Ps < 90° (p3.s 
curvadas para tras) a curva caracterfstica ideal da potencia situa-se sob 
esta reta, crescendo ate alcan~ar um miximo para depois diminuir ate 
zero. Enquanto, para Ps > 90° (pas curvadas para frente), a curva de 
potencia desenvolve-se acima da reta correspondente a variac;iio de po-
tencia para Ps = 90° e cresce sem limites (Fig. 9.4). 
No estabelecimento das caracteristicas te6ricas Pe == f (Q), para os 
diferentes §.ngulos de safda das p3.s do rotor, ao serem acrescentadas as 
Caracterfsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 223 
potencias consumidas pelas perdas, inclusive as por fuga, as curvas de 
potencia no eixo niio passarao mais.pela origem, ocorrendo, pelo con-
trfilio, uma grande solicitayao para a m<lquina funcionando em: vazio 
(vazao nula). 
A determinayao da curva caracteristica te6rica para rototes axiais e 
mais complexa j<l que a an3.lise do escoamento segue um tratamento 
tridirnensional, ou, de maneira simplificada, uma abordagem bidimen-
sional (teoria aerodinfunica), assumindo simetria axial para o fluxo que 
se desenvolve sobre superficies cilfndricas de revoluyao. 
Neste caso, pode-se detenninar a curva te6rica a partir da aplica-
yao da equayao (9.1) a cada um dos diftmetros correspondentes a estas 
superffcies de revolui;iio. Os diferentes valores da velocidade tangencial 
e da inclinayiio <las p<is do rotor produzem curvas de trabalho especifico 
em funyiio da vaziio com diferentes inclinai;5es para cada um destes 
di3.metros. A curva para um filete de corrente situado junto ao cubo do 
rotor (di3.metro interior), onde a velocidade tangencial e menor, tern o 
formate achatado, enquanto, para o di3.metro exterior, onde a velocida-
de tangencial e maior, ela pos~ui um aspecto mais inclinado. A curva 
resultante Y = f (Q) e obtida por integrayfio, j<i que, para um regime 
qualquer de funcionamento, os pontos correspondentes nas curvas traya-
das para os diferentes di3.metros niio possuem a mesma energia, nem a 
mesma vazao. 
A Figura 9.5 mostra a curva te6rica de um rotor axial (bomba ou 
ventilador) construido pela teoria do v6rtice potencial (ver Capitulo 13), 
onde esta representado apenas o trayado <las curvas correspondentes ao 
di3.metro exterior, ao difunetro interno (cubo) do rotor ea curva resul-
tante. Conforme se observa, as curvas interceptam-se para o ponto de 
projeto (Y n' Qn), uma vez que, para este ponto, as pr6prias condi96es de 
projeto estabelecem a igualdade do trabalho especifico nas p<'is e das 
componentes meridianas da velocidade absoluta para os diferentes difi-
metros do rotor. Ja para os pontos correspondentes a um regime qual-
quer (linhas trayo/ponto na Fig. 9.5), nem o trabalho especifico, nem as 
velocidades meridianas seriio iguais. 
224 
y 
\\' 
Mtiquinas de Fluido 
curva correspondente ao di.imetro exterior 
.! r; ·-
./ .. • 
, 1 i • fcurvaresultante Y=f(Q) 
. . 
• 
I 
\ . ' 
\ _.Y,----~'~::.. 
',,,, ___ _ 
I -y" 
I 
curva para vaz5es 
negativas junto ao 
cubo do rotor 
-/-.. -
··1·r7"-········-·-·-···-···-·-·-·-·-·::- I ··~, ., 
i ~.curva correspondenttj ·, 
ao di.imetro interioti ··, ! 
. ·,, 
{cubo)dorotoraxial! \\ 
. '· \ ·, 
Qo Q 
Fig. 9.5 Determina~ao da curva caracteristica te6rica Y "'f (Q) para rotores axiais. 
Quando a vazao da m<iquina atinge detenninado valor limite (Q1), 
a linha de regime correspondente (linha I) passa pelo ponto de inflexao 
da curva caracteristica resultante e corta a curva correspondente ao cubo 
no ponto de vazao nula. Isto significa que, abaixo desta vazao, a compo-
nente 1neridiana da velocidade assume um valor negative, produzindo 
uma corrente de retrocesso junto ao cubo do rotor. A partir deste ponto 
seria necessfil-io o trayado da curva caracteristica do cubo para vaz5es 
negativas (linha tracejada na Fig. 9.5), m<'iquina funcionando em freio, 
para a obteni;ao da curva resultante. 
Embora a an<'ilise das curvas te6ricas pennita avaliar a influencia 
de diversos para.metros construtivos no comportamento da m<'iquina de 
fluxo mesmo antes do seu projeto e fabricayao, somente o conhecimen-
to de suas curvas caracteristicas reais pennitir<i aos usu<'irios elementos 
confi<'iveis para a sua utilizayfio em determinada instalayao. 
A curva caracteristica real, daqui para frente denominada simples-
mente de curva caracteristica da bomba ou ventilador (pump or fan 
characteristic curve), e obtida em bancos de testes de laborat6rios ou 
nos ensaios de campo. 
Na Fig. 9.6, observa-se uma representayao tipica das curvas carac-
teristicas de uma m<iquina de fluxo geradora (bomba ou ventilador), 
obtidas em laborat6rio, para velocidade de rotayao constante, onde as 
curvas Y = f(Q), do trabalho especffico disponfvel em fun9ao da vazao, 
Caracterfsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 225 
P. = f(Q), da potencia consurnida no eixo, e, rit = f(Q), do rendirnento 
total em fun9iio da vaziio, silo tra9adas para urn·roesrno sisterna de coor-
denadas cartesianas, evidenternente, em escalas diferentes por se trata-
rern de grandezas medidas em llnidades diferentes. 
Y, Pe, TJt 
?)tmilx 
0 Q 
Fig. 9.6 Curvas caracterfsticas de maquinas de fluxo geradoras obtidas em ensaio com 
velocidade de rota9ao constante. 
Os valores Q0 e Y 0 , denorninarn-se valores nominais ou de proje-
to e devern coincidir com o ponto de rendimento maximo (Fig. 9.6). Ja 
a potencia no eixo, Pe, para Q = 0, ea potencia que a rnaquina exige no 
momento da partida. 
E importante salientar que, nas curvas caracteristicas, ernbora o 
emprego do trabalho especifico disponivel para representar a energia 
que a rn<iquina fornece ao fluido permita a generaliza9iio do gr<ifico 
para qualquer m<iquina de fluxo geradora, na pr<itica, e cornurn a sua 
SUbstitui9iio pela altura de eleva9iio OU altura manometrica total (head), 
H, no caso das bornbas, e pela diferen~ de pressiio total (total pressure), 
Lip1, no caso dos ventiladores, corn base na equa9iio: 
y ~ g H ~ L'>p, 
p 
on de: 
(9.5) 
Y = trabalho especifico disponivel ou salto energ6tico da rn3.quina, em 
J/kg; 
g = acelera9iio da gravidade, em m/s 2; 
..._ ______________ j 
226 Mdquinas de Fluido 
H = altura de eleva9iio ou altura manom6trica total da m<iquina, em m; 
Lip
1 
= difereni;a de pressiio total da m<iquina, em £a; 
p = massa especifica do fluido de trabalho, em kg/m3 • 
No caso de ventiladores, ainda e bastante usual os fabricantes apre-
sentarem graficos com Lip
1 
expressa em mmCA (milimetros de coluna 
d'agua). 
9.2 Determina~iio do ponto de funcionamento 
Para a determina9iio do ponto de funcionarnento do gerador de fluxo 
em uma instala9iio (Fig. 9.7), al6m do conhecimento da energia que a 
m<iquina sera capaz de fornecer, e indispens<ivel saber qual sera a energia 
requerida pelo sistema onde a m<iquina esta instalada para recalcar uma 
determinada vaziio do fluido considerado. 
~ ,. . . . f: F -:··--_._:·.r ---
~----~~, ---
~---~-/I 
Ha"'Z9 -Z, 
0 
3 
9 \, .L--l'--C\ \ 
l 
H,;'" z.- z, 
Fig. 9.7 Representa9ao esquem<ltica de uma instala91io de bombeamento . 
Caracteristicas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 227 
A quantidade de energia que a unidade de massa do fluido precisa 
receber do gerador de fluxo para sedeslocar drrponto 2 ao ponto 9 da 
instala9ao representada na Fig. ':!· 7, vencendo o desnive1 da instalayao, a 
diferenr;a de pressao entre os dois reservat6rios (caso exista), uma pos-
si vel diferenya da velocidade de escoamento entre os pontos considera-
dos e a perda de carga nas tubula96es e acess6rios do sistema e definida, 
pelo principio da conserva9ao da energia, atraves da equa9ao: 
Y= P9 - P~ + 
p 
onde: 
c~ -c; 
g (z9 - z2) + --
2
- + EP2-3 + EPs-9 
Y = energia especifica requerida pelo sistema, em J/kg; 
(9.6) 
p
9 
= pressao no ponto 9, na boca de descarga da canalizar;ao de recalque, 
ou, na superficie do reservat6rio de recalque pressurizado (alter-
nativa tracejada na Fig. 9.7), em N/m2; 
p
2 
= pressao no ponto 2, na superficie do reservat6rio de sucyao, em N/ 
m1; 
g = acelerayao da gravidade, em m/s2; 
z
9 
= cota de refer6ncia do ponto 9, em m; 
z
2 
= cota de referencia do ponto 2, em m; 
c
9 
= velocidade do fluido no ponto 9, em m/s; 
c
2 
= velocidade do fluido no ponto 2; 
E = perda de carga no trecho 2-3 da canalizayao de sucr;ao, em J/kg; 
E p,_1 = perda de carga no tree ho 8-9 da canalizayao de recalque, em J/kg. p,_" 
A representar;ao grafica da equayao (9.6) e denominada de curva 
caracteristica do sistema (system curve) ou curva caracteristica da cana-
lizayao. 
Nesta equa9ao, considerando c2 = 0 (situa9ao mais usual) e desig-
nando: 
(9.7) 
e 
(9.8) 
228 Mdquinas de Fluido 
onde: 
Yest= energia de pressao est<itica requerida pelo..sistema (nao necessa-
riamente igual a fomecida pela maquina), em J/kg; 
EP = perda de carga total na callaliza9ao do sistema, em J/k:g. 
Chega-se entao a: 
c' 
Y=Y +i+E est 2 p 
Pela equar;ao da continuidade, pode-se escrever: 
4Q 
Cy=--, 
it D 
onde: 
Q = vazao recalcada pelo sistema, em m 3/s; 
D = difrmetro da canaliza9ao, em m. 
Por outro lado, pela equa9ao de Darcy-Weisbach, tem-se: 
E = f L ~ 
' D 2 
8 L 
= f Q' 
n2 Ds 
onde: 
(9.9) 
(9.10) 
(9.11) 
f = coeficiente de atrito, adimensional, que pode ser determinado pelo 
8.baco de Moody, em funr;ao do nrimero de Reynolds, Re, e da rugo-
sidade relativa da canaliza9ao, EID; 
L = comprimento equivalente da canaliza9ao (inclui o comprimento 
equivalente dos acess6rios), em m; 
c = velocidade de escoamento atraves da canalizayao, em mis. 
Substituindo os valores de (9.10) e (9.11) na equar;ao (9.9), vem: 
y _ y ( 16 f 8 L ) , 
- "'( + -,--, + -,--, Q 
n- D n; D (9.12) 
Para escoamento turbulento, o coeficiente de atrito, f, depende 
apenas da rugosidade relativa, EID, nao variando com a vazao. 
Caracterfsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 229 
Logo, pode-se estabelecer: 
K = _1_6_ + f 8 L (9.13) 
n:2 D4 n:2 Ds 
Pela substituir;,:ao de (9.13) em (9.12), obtem-se, entao, a equar;,:ao 
simplificada da curva caracterfstica do sistema: 
(9.14) 
onde: 
K = caracteristica do siStema ou da canalizar;,:ao, em m- 4• 
Para um escoamento laminar- que ocorre, por exemplo, no bom-
beamento de Oleos de grande viscosidade, tem-se: 
64 64 v 16 1t D v f=-=--=---
R, c D Q 
(9.15) 
onde: 
v = viscosidade cinem<itica do fluido, em cSt (lcSt = 10-6 m2/s). 
Levando a equar;,:ao (9.15) na (9.12), chega-se a: 
128 v L 16 , 
Y= Yest+ 4 Q + ~D' Q 
1t D 1t 
(9.16) 
Na equar;,:ao da curva caracteristica do sistema (9 .14 ), o termo Yest' 
independe da vazao, enquanto o termo k Q2 e funr;,:ao da vazao e da 
caracterfstica do sistema, que leva em considerar;,:ao o comprimento e o 
difunetro da canalizar;,:ao, a sua rugosidade, os acess6rios, o grau de aber-
tura dos registros nela instalados e possi'.veis obstrur;,:Oes durante o peri'.odo 
de funcionamento. 
Uma vez que a m:lquina de fluxo geradora nao pode funcionar fora 
de sua curva caracteristica e que, para deslocar uma determinada vazao 
de fluido, deve satisfazer a exig~ncia de energia indicada pela curva 
caracteristica do sistema, conclui-se que o ponto de funcionamento 
(operating point) deve encontrar-se, obrigatoriamente, na interser;,:ao 
destas duas curvas (Fig. 9.8). 
230 
y 
y, 
~-
.T 
Curva caracteristica do_, 
sistema ou da canalizalj:fio 
F 
Ponto de funcionamento 
Fig. 9.8 Determinai;ao do ponto de funcionamento. 
Mciquinas de Fluido 
·, 
_Curva caracteristica /r da maquina de fluxo 
Q 
E importante fazer a distinr;,:ao entre ponto nominal (ponto de projeto) 
e ponto de funcionamento. 0 ponto nominal (rated point ou best efficiency 
point) e o ponto da curva caracteristica Y = f (Q) do gerador de fluxo 
para o qual este foi projetado e deve corresponder ao ponto no qual o 
rendimento total da maquinci. e mfucimo. Ja, 0 ponto de funcionamento e 
o ponto da curva caracteristica onde de fato a mriquina esti funcionando 
e, eventualmente (situar;,:iio ideal), podera coincidir com o nominal. 
Para instalar;,:Oes de bombeamento, considerando igual a zero as 
· velocidades na superfi'.cie dos reservat6rios e nula a diferenr;,:a de pressao 
entre o reservat6rio de recalque e o reservat6rio de sucr;,:ao, as equar;,:6es 
(9.5) e (9.7) permitem escrever a equar;,:ao (9.14) da seguinte maneira: 
(9.17) 
onde: 
H = altura de eleva<;tlo ou altura manometrica total do sistema, em m; 
HG= z9 - z2 = desnfvel geometrico entre os pontos considerados, em m; 
HP = K' Q 2 = perda de carga na canalizar;,:iio, em m; 
K' = K/g = caracteristica do sistema ou da canalizar;,:ao, em m-5 s2 . 
Para instalar;,:6es de ventilar;,:ao, onde normalmente e desconsiderado 
o desnfvel entre a boca de entrada e safda do sistema e quando os recintos 
Caracter{sticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 231 
de admissao e descarga estao submetidos a mesma pressao, a energia 
fornecida pelo ventilador e convertida em velosidade de deslocamento 
do fluido e utilizada para venc.,er a perda de carga do sistema. Neste 
caso, com base nas equa\'6es (4.37), (9.5) e (9.12), a equa\'iiO (9.14) 
reduz-se a: 
c' Y~-+E 
2 ' 
onde: 
y 
'1p, 
c 
= energia especifica requerida pelo sistema, em J/kg; 
= pressao total requerida pelo sistema, em Pa; 
(9.18) 
= velocidade do fluido na extremidade de saida da canalizac;ao, 
em mis; 
= massa especifica do fluido em escoamento, em kg/m3 ; 
= perda de carga total do sistema, em J/kg; 
= queda de pressao devida a perda de carga ao longo da cana 
liza93.o, em Pa; 
= caracteristica do sistema ou da canalizac;ao, em kg/m 7 • 
Enquanto a equac;ao (9.14) representa uma parabola com v6rtice 
no ponto correspondente a ordenada Y .st (Fig. 9.8) e a equac;ao (9.17), 
uma parabola que corta o eixo das ordenadas em HG' a parabola corres-
pondente a equac;ao (9.18) tern seu v6rtice na origem do sistema de 
coordenadas cartesianas. 
9.3 Tipos de curvas e fatores que as modificam 
A forma da curva caracteristica de uma m<iquina de fluxo geradora 
depende do tipo de seu rotor, portanto, da sua velocidade de rotac;ao 
especifica, nqA· Para ressaltar mais as diferenc;as entre os diferentes tipos 
de geradores de fluxo (bombas e ventiladores), a Fig. 9.9 representa as 
curvas caracteristicas de trabalho especifico disponivel, potencia no eixo 
e rendimento total em func;ao da vazao, para diversos valores de nqA' 
232 Mdquinas de Fluido 
expressando todas as vari<iveis como mtiltiplos ou submtiltiplos dos valo-
res correspondentes ao ponto de rendimento m<iximo (valores nominais). 
YIY. 
\~ llqA~ 64 
: I Q/Qn 
P /Pen 
'',, ,r llqA ~ 650 
'',.( Rotor axial corn pis $6veis\ 
:·~":':·~~-:-~;::::==c" >--
~nqA~64 
Q!Q. 
l)tl1/tn 
Q/Q. 
Fig. 9.9 Curvas caracteristicas de m<iquinas de fluxo geradoras paradiferentes valores 
de nqA· 
Caracter(stica~· de Funcionamento de Geradores de Fluxo 233 
Da anfilise do aspecto das referidas curvas pode-se tirar uma serie 
deimportantes conclus6es sabre o comportathento da m<lquina, que 
poderao servir de crit6rio para~a sele9ao do tipo mais adequado para 
determinada aplica9:ao e como orienta9ao para sabre o melhor modo de 
oper<i-la. Entre estas, podem ser citadas: a maior ou menor adequa9iio 
do gerador para a opera9iio numa situa9ao de vaziio vari8vel, a indica-
95.0 para a partida com registro de descarga aberto ou fechado, a varia-
9iio do consumo de potencia ao longo do campo de funcionamento e o 
acrescimo de pressao no caso de vazao nula (bloqueio da descarga). 
0 aspecto achatado das curvas de rendimento das maquinas gera-
doras centrffugas (valores menores de nqA) mostra que tal tipo de m<l-
quina e mais adequado para trabalhar em instala96es onde ha necessida-
de de variar a vaz:ao. O rendimento varia relativamente pouco para larga 
faixa de varia9ao da vazao. Com as m<lquinas axiais (valores maiores de 
n ) ocorre exatamente o contrfilio. Pela Fig. 9. 9, observa-se que a cur-,, 
va fl
1 
= f (Q) passa gradualmente de um formato plano para um formato 
em gancho a medida que aumenta o nqA da maquina. Quando, ~ntretan­
to, o rotor axial e dotado de pas m6veis, h<l uma adapta9i'io a var1a9iio da 
dire9ao da velocidade do escoamento em vaz6es parciais e o rendimen-
to, ate mais que nos rotores radiais, e mantido elevado para uma grande 
faixa de valores da vaziio. 
A potencia necessfilia ao acionamento (Fig. 9.9) cresce com a va-
ziio n~s m<lquinas radiais (pequenos valores de nqA), decresce nas axiais 
(valores elevados den ), permanecendo quase invari<lvel para as ma-,, 
quinas diagonais OU de fluxo misto (valores medias de nqA). Nas maqui-
nas de fluxo geradoras radiais, a potencia no eixo para vaz3.o nula (shut-
o.ff> pode ser menor que a metade da potencia nominal, enquanto, nas 
m<lquinas axiais, pode atingir valores maiores que o dobro da potencia 
nominal. Assim, para aliviar o motor de acionamento, recomenda-se a 
partida das maquinas radiais (bombas e ventiladores centrffugos) com o 
registro de recalque fechado, pois, sendo nula a vazao, sera minima a 
potencia consumida no eixo. Posteriormente, o registro devera ser aber-
to ate ser atingida a vaziio de trabalho, com a exigencia de potencia 
sobre o motor sendo aumentada gradativamente. 0 contrfilio acontece 
com as bombas e os ventiladores axiais, onde, para suavizar a partida, 
esta devera ser feita com o registro de descarga parcial ou totalmente 
aberto. 
234 Mciquinas de Fluido 
Nas maquinas radiais o aumento do trabalho especffico disponivel 
exigido pelo sistema, por exemplo, devido ao aumento do desnivel H 
G (equ39iio 9.17) entre os reservat6rios de suc9ao e recalque de uma insta-
la9:ao de bombeamento, nao prod~z sobrecarga no motor. Isto e ilustra-
do na Fig. 9 .10, na passagem do ponto inicial de funcionamento, F 
1 
( cor-
respondente ao desnivel HG1), onde a bomba exige uma pot6ncia P do 
d . • motor e ac1onamento, para o ponto de funcionamento F (desnivel 
ll 
HG11), onde a bomba passa a solicitar uma potencia menor, P , do mo-
'" tor de acionamento. Especial aten9iio, contudo, deve ser dada quando 
cai o trabalho especffico em decorrencia da diminui9iio do desnfvel e, 
conseqtientemente, cresce a vaziio (ponto de funcionamento Fm). Pois, 
conforme mostra a Fig. 9.10, a potencia necessfuia ao acionamento 
torna-se maior (Pe111), podendo sobrecarregar o motor. 0 inverso ocor-
reria, caso o sistema fosse alimentado por uma bomba axial. Nesta situ-
ayao, a sobrecarga pode acontecer quando o desnivel aumenta (de H 
G' para HG11) e a vazao diminui. 
H H 
H,, ·-··----
H, ~ 
P, 
Q 
P, 
Q,, Q, Om Q 
Bon1ba centrifuga ou radial 
Qll Q, 
Bomba axial 
Q 
Q 
Fig. 9.10 Varia9ao da potencia exigida para o ucionamento de uma bomba e1n fun9ao 
da variai;ao do desnfvel entre os reservat6rios de suc9iio e recalque. 
Caracter{sticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 235 
Voltando a Fig. 9.9, observa-se que ao aumentar a velocidade de 
rotac;ao especifica, nqA' aumenta o trabalho e~ecifico (altura de eleva-
c;ao para born bas ou diferenc;a .fle pressao total para ventiladores) e, con-
seqtientemente, a pressao na boca de descarga da mil.quina, para vazffo 
nula (Q = 0). Para uma mri.quina radial de nqA = 210, o trabalho especifi-
co para vazao nula e ligeiramente superior ao de projeto (nominal), en-
quanto, para uma mil.quina axial de nqA = 650, ele e quase tres vezes 
superior ao nominal. 
Diante <las peculiaridades apresentadas, e importante dar um trata-
mento especial para a anri.lise das curvas tipicas de ventiladores. 
0 comportamento de um ventilador varia muito com o estado at-
mosferico, isto e, com a pressiio e temperatura ambientes. Por isto, nos 
ensaios dos ventiladores, as medi96es de pressffo e vazao devem referir-
se a condi96es atmosfericas bem detenninadas. Na pril.tica, utiliza-se 
mais freqtientemente as condit;;Oes padriio (standard conditions), ou seja, 
P.,m = 760 mmHg (101,325 kPa) e t = 20'C. 
Os valores da vazao, Q, e da diferen9a de pressao total, Ap
1 
= p Y, 
medidos podem ser reduzidos as condi96es padrao pelas leis de seme-
lhan9a. Gril.ficos que apresentam curvas caracteristicas de ventiladores 
corretamente, devem indicar em que condi96es de pressffo atmosferica 
e temperatura ambiente foram realizados os ensaios ou explicitar o va-
lor da massa especffica do fluido ensaiado. 
Em um grande nlimero de aplica96es interessa mais ao usu3rio a 
diferenc;a de pressiio estri.tica do que a diferen9a de pressffo total ventila-
dor. Estas tern um valor muito pr6ximo em ventiladores com difusor 
(sistema diretor) eficiente, onde a pressao dinfunica na boca de descar-
ga e muito pequena. 
Assim, e freqtiente a representar;ao conjunta das curvas Ap
1 
= f 
(Q) e Apest = f (Q), como tambem se encontram gril.ficos em que a 
curva do rendimento est3.tico, Tie.st = f (Q), aparece juntamente com a 
curva do rendimento total, 'llc = f (Q). 
0 rendimento estri.tico e calculado a partir da equar;ffo (4.34), subs-
tituindo Ap1 por Apest' ou seja: 
p = Apcst Q 
' 
Apest Q 
Tlcst = 
(9.19) 
onde: 
TJc,1 = rendimento estil.tico do ventilador, adimensional; 
236 Mdquinas de Fluido 
Lipesi = diferenr;a de pressao estil.tica do ventilador, em N/m2 ; 
Q = vazao do ventilador, em m 3/s; · .... 
P. = potencia no eixo do ventilad~r, em W. 
As curvas caracteristicas tomam fonnas diversas, dependendo do 
tipo de ventilador, e, para um mesmo tipo, em funr;iio de aspectos cons-
tmtivos como o angulo de inclina9ffo das pil.s na saida do rotor, ~5, no 
caso de ventiladores centrifugos (Fig. 9.11). 
.6p (kPa) 
-.-~ 
2.0 
(3s< 90° 
.. , 
'2 ---1.~ __ '=._;;:+:::::-~+=-
0,8 ~-
:.4 -~ -~1--
2 
' 
4 
' 
2'p (kPa) 
.. , 
'-" 
o., 
o.o 
0,4 
"-' 
0 
0 2 4 
' 
10 12 14 16 18 
Pe(kW) 
'° 
Q (m'ls) 
Fig. 9.11 Curvas caracteristicas de ventiladores centrffugos para diferentes val ores do 
ilngulo de inclina\:lio das pas do rotor. 
Caractertsticas de Funcionamentn de Geradores de Fluxo 237 
A potencia de acionamento nos ventiladores com pas curvadas 
para frente (j)_, > 90°) cresce continuamente com o aumento da vazao, 
caracterizando o que se denomina de caracteristica de potencia com 
sobrecarga, enquanto, nos velltiladores com pas curvadas para tras, a 
potencia alcan9a um valor m<iximo, nao muito superior ao de projeto, 
num ponto situado a direita da vazao nominal, al61n do qual come9a a 
cair, apresentando a denominada caracteristica de potencia sem so-
brecarga ( li1nit-load type horsepower characteristic). 0 termo sobre-
carga refere-se ao motor de acionamento que, no caso de j35 > 90°, 
devera ter uma reserva de ate I OOo/a da potencia de funcionamento 
normal, caso haja o risco da resistencia do sistema diminuir excessi-
vamente durante a opera9ao. 
Entre os fatoresque modificam a forma das curvas caracterfsticas 
das m:iquinas de fluxo geradoras pode-se citar: os de origem construti-
va, coma a largura de safda, o &ngulo de inclina9ao na saida e o nrimero 
de pas do rotor; os de cariiter operacional, como a varia9ao da velocida-
de de rota9ao, a varia9ao do difunetro do rotor de um gerador centrifugo 
e a varia9ao da inclina9ao das pas do rotor de uma maquina axial; os 
decorrentes do tempo de uso da maquina, como o desgaste dos elemen-
tos de veda9ilo; e, os provenientes da mudan9a de caracterfsticas do 
fluido, tal como a presen9a de particulas s6lidas em suspensao no flui-
do, a varia9ao da massa especifica ea influencia da viscosidade (objeto 
de analise no Capitulo 11 ). . 
AsFiguras9.12, 9.13 e 9.14mostramquepequenosvaloresda 
largura b5 , do <lngulo de inclina9ao das p:is, J35 , e do nrimero de pas, N, 
nos rotores radiais de m<'iquinas de fluxo geradoras, levam a curvas Y 
= f (Q) fortemente descendentes, enquanto grandes valores destes 
1nesmos par3metros construtivos resultam em curvas achatadas. Uma 
curva caracterfstica achatada podera ser requerida, por exe1nplo, em 
bombas centrffugas que operam em carros de combate a incendios, 
onde a pressao na descarga deve manter-se constante para uma larga 
faixa de vazfio. 
238 Mtiquinas de Fluido 
y y 
Q Q 
Fig. 9.12 lnfluSncia da largura do rotor sabre a forma da curva caracteristica de um 
gerador de fluxo radial. 
y y (3 5 
Q Q 
Fig. 9.13 Influencia do ilngulo de inclinar;ao das pas do rotor sobre a forma da curva 
caracterfstica de um gerador radial. 
Caracterfsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 239 
y y 
Q Q 
Fig. 9.14 Influencia do nUmero de pas do rotor sob re a forma da curva caracteristica de 
um gerador de fluxo radial. 
De acordo com as leis de semelhani_;a traduzidas nas equai_;Oes (5.17), 
(5.18) e (5.19) existe uma proporcionalidade entre a velocidade de rota-
i;a:o e as caracteristicas (Y, Q e Pe) de uma mci.quina de fluxo. Por isto, 
uma variai;ao na velocidade de rota~ao (speed variation) da maquina 
faz com que haja o deslocamento da sua curva caracteristica para cima 
( aumento da rotac;ao) ou para baixo ( diminuii.;3.o da rotac;ao ), dando 
origem a um conjunto de curvas congruentes (Fig. 9.15). 
As parabolas unem os pontos teoricamente de mesmo rendimento, 
ou seja, pontos de regimes de funcionamento semelhantes. Assim, co-
nhecida a caracteristica de uma maquina de fluxo geradora com veloci-
dade de rotac;ao n, pode-se facilmente trac;ar a curva caracteristica da 
m&quina em uma nova rotai;ao. Para tal, basta tomar sobre a curva ca-
racteristica do gerador na rotac;ao n, aleatoriamente, alguns pontos, e 
aplicar para eles as equac;Oes de semelban<_;a, determinando os seus hom6-
logos na nova rotai;ao. 
Como os valores obtidos pela aplicac;ao das leis de semelhan<_;a 
apresentam uma boa aproxima<_;ao com os valores reais, este procedi-
mento e bastante usual entre os fabricantes para representar as curvas 
caracterfsticas de ventiladores em diagramas logarfbnicos (Fig. 9.16). 
Neste caso, as parabolas de igual rendimento transfonnam-se em retas 
paralelas com 3.ngulo de inclinac;ao igual a arc tg 2. 
240 Mdquinas de Fluido 
VENTlLADORES AXIAIS - S£RIE " VA " REF. 
Fig. 9.15 Modificm;:ao das curvas caracteristicas de um ventilador.axial em fum;ao da 
variai;:ao da velocidade de rotai;:ao (Fonte: Alpina). 
I 
Caracter(sticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 241 
ICEPLERINEBER CURVASCARAc:ieRlsnCAS VENTILADOA CENTil(FJJGO MF-838 SE COIVTROLE AMBIEIVTAL SA. 
Massaaspedlica p - 1.1 kglm' 
DiametrodoRotor Dr - BSSmm 
AraadaEntrada Ae - 0.190m' 
Area de Salda As - O 1 S2 m' 
Pt-Pa+ Pd 
... 
... 
" 
< 
d 
' 
' 
• ~ 
" ...J 100 
< .. 
" 0 .. 
" 0 
< • 
• 
• 
.. 
" 
" • .. 
.. 
.. 
" <u <l• 7 cia 1,0 
'·' i1···i1· f I I 
.... 
Rotru;ll.o mll.xima at<l! 60° C 
n-1735rpm 
Memento de 1narcia J 
J - 6.70kgxm' 
J(kg x m') - Gd'(kg! x m'l/4 
mm C.A. 
"" 
lfOO 
1700 
1000 
, 
<400 
1100 
""" 
... 
.. . 
'" 
... 
... 
... 
... 
... 
... 
•7• '""'"'~· 
Fig. 9.16 Diagrama logaritmico de um ventilador centrifugo para diferentes val ores da 
velocidade de rotar;fto (Fonte: KeplerWeber). 
242 Mdquinas de Fluido 
Na verdade, como esta representado no diagrama topogrrifico da 
Fig. 9.17, as curvas de igual rendimento niio siio parabolas, aproximan-
do-se mais da fonna eliptica. A difereni;a pode ser creditada, entre ou-
tros fatores, a influencia do nU.merO de Reynolds e ao fato das perdas 
mec§.nicas niio serem proporcionais a terceira potencia da rotai;lio. Es-
tes dois fatores fazem com que o rendimento total melhore quando a 
rota9iio aumenta. Tamb6m a preseni;a de cavita9ao, nas mriquinas que 
operam com liquidos, e a varia98.o da massa especifica, para fluidos 
gasosos, podem ser causas de afastamento da forma parab6lica. No dia-
grama topogr3.fico, o rendimento miiximo do gerador de fluxo encontra-
se num ponto situado na regiao central das elipses de igual rendimento. 
H(m<Jl,,-··············-, __ ., ..... -·-,-······-,·······- --,- --,- __ , ................... . 
n~102srpm 
...................... ..l 
* • 
" 
''" '"" 
350 Q(\ls) 
Fig. 9.17 Diagrama topogr3.fico de uma bomba centr(fuga que representa o seu 
comportamento para diversos valores da velocidade de rotac;ao (Fonte: 
Mernak/BCM-250) . 
Caracter{sticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 243 
Dentro de certos Ii mites, a varia~ao de difunetro de saida do rotor 
(impeller diameter changing) de uma m<iquina-de fluxo radial tern sobre 
as curvas caracterfsticas a mes~ma influencia que a variayiio de rotayiio, 
pois ambas alteram de maneira linear a velocidade tangencial do rotor. 
Assim, ao inv6s de lanyar mlio da variaylio de rotayiio para ampliar 
o campo de atuayiio de uma m<iquina geradora, o fabricante constr6i a 
carcaya da m<iquina de tal forma que a mesma possa abrigar rotores de 
varios di3.metros, sem afetar sensivelmente o desempenho do conjunto. 
As curvas caracterfsticas tern o aspecto mostrado na Fig. 9.18, para o 
caso de uma bomba centrffuga, em que, a16m das curvas de altura de 
elevaylio, H, rendimento total, llt e potencia no eixo, Pe, slio apresentadas 
as curvas do NPSH requerido, em funylio da vazlio, para os v<irios 
di3.metros do rotor, sendo mantida constante a velocidade de rotayiio. 
Alguns fabricantes ampliam ainda mais o campo de aplicaylio do 
gerador de fluxo, indicando um conjunto de curvas caracteristicas que 
combina a variaylio de rotaylio com o uso de varios difunetros para o 
rotor da m8.quina (Fig. 9.19). 
Ja, as m<iquinas de fluxo geradoras axiais podem ser construfdas 
com a possibilidade de variar a inclina~ao das p3s do rotor (adjustable 
impeller vane) durante o funcionamento (alternativa de alto custo) ou 
com a m8.quina parada (alternativa mais econ6mica), ampliando desta 
maneira o seu campo de funcionamento, sem alterar de maneira signifi-
cativa o rendimento, que se mantem elevado para uma grande faixa de 
vazoes (Fig. 9.20). 
Estes fatores, ditos operacionais, de form.a isolada ou combinados 
com a modificaylio da curva caracteristica do sistema, por exemplo, 
pela varia~ao do grau de abertura de um registro na tubula~ao de 
aspiraylio ou descarga da m3quina (pipe line throttling), podem ser 
usados no processo de regulagem do gerador de fluxo. 
Tamb6m o tempo de uso, embora de form.a indesej8.vel, pode ocasi-
onar modificaylio da curva caracteristica da m8.quina de fluxo, como 
conseqi.i@ncia do inevit<ivel desgaste (wear) de seus componentes tais 
como elementos de vedaylio e mancais. 0 desgaste afeta a capacidade 
de m<iquina de fluxo geradora, fazendo cair a sua curva Y = f (Q). Esta 
queda da curva caracteristica tern conseqi.i@ncias mais negativasquando 
a m<iquina encontra-se associada a uma canalizac;lio com pouco atrito, 
244 Mdquinas de Fluido 
Dia. do grain maxi. 
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Fig._ 9.18 Curvas caracteristicas de bomba centrffuga para varios diil.metros do rotor e 
velocidade de rotai;:ao constante (Fonte: Sulzer). 
I 
Caracterfsticas de F1111cionumento de Geradores de Fluxo 
KSB ETA 125-26 
R1150. 
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Ba~B~ CENJi(FuGh 60 Ciclos 
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KSB DO BRASIL· SAO PAULO 
245 
Fig. 9.19 Curva~ caracterfsticas de bomba centrffuga para voirios diiimetros do rotor e 
dois valores da velocidade de rotm;ao (Fonle: KSB). 
246 
PEZ 700 
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Mdquinas de Fluido 
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0 
Fig. 9.20 Curvas caracteristicas de bomba axial com rotor de pois com inclinao;:ao 
regul<ivel (Fonte: KSB). 
.. 
. 
Caracterfsticus de Funcionamento de Geradores de Fluxo 247 
ou seja, quando o sistema possui uma caracteristica, K, de ~equeno va-
lor. Neste caso, como a forma da curva do sisterita e menos 1ngreme que 
a de uma canalizac;ao com grande atrito, verifica-se (Fig. 9.21) _que _a 
reduc;ao de vazao provocada pelo desgaste do gerador de fluxo e ma1s 
acentuada. 
y 
Q 
Fig. 9.21 Influencia do desgaste sabre a curva caracterfstica de um gerador de fluxo. 
Como a influ8ncia da viscosidade do fluido sabre as curvas carac-
teristicas de um gerador de fluxo sera tratada em um capitulo posterior, 
cabe ainda mencionar dois outros aspectos relacionados com a natureza 
do fluido de trabalho e seus efeitos sobre o desempenho da m3.quina: a 
mass a especifica (density influence) e a presen~a de s6lidos em sus-
pensiio (solid-fluid mixture). 
Pela equayao fundamental das m8.quinas de fluxo geradoras (Eq . 
3.20) conclui-se que o trabalho especifico disponivel nfio depen~e .da 
massa especifica de fluido e, portanto, a forma da curva caractenstlca 
y = f (Q) nao se modifica com a sua alterayfio. 0 mesmo nao pode ser 
dito sabre a pot@ncia consumida pela mriquina, que, de acordo com a 
equayao (4.31), e diretamente proporcional a massa e~pecifica, 0 que 
provoca um deslocamento da curva Pe= f (Q), para c1ma, no caso de 
um aumento na massa especifica do fluido. Neste caso, tambem aumen-
ta a pressao na descarga do gerador de fluxo, uma vez que, de acordo 
com a equayao (9.5), ~Pt= PY. 
248 Mdquinas de Fluido 
Quanto a presenya de s61idos no fluido transportado, a sua influ@n-
cia e semelhante ao aumento da 1nassa especitlca do fluido, acrescido 
de um efeito equivalente ao aumento da viscosidade, para detenninados 
tipos de partfculas em suspensao. Como as particulas s6lidas nao adqui-
rem nem transmiten1 energia de pressao ea sua energia cinetica e obtida 
as custas da energia do fluido, sua presenya representa um acrescimo 
das perdas hidrtiulicas, tanto maior quanta maior for a concentrayao de 
s6lidos, com a conseqtiente reduyao do rendimento total da m3quina de 
fluxo. 
Valendo-se da ampliayao do campo de funcionamento das m3qui-
nas de fluxo geradoras em funyao da modificayao das curvas caracteris-
ticas, 1nuitos fabricantes costumam organizar gr<'ificos, chamados gr3fi-
cos de sele~i'i.o (selection nzulti-rating chart), que indicam, para deter-
n1inados valores do trabalho especifico (altura manometrica, para bom-
bas, ou difereni;a de pressao total, para ventiladores) e da vazao, a mi-
quina n1ais adequada dentro da sua linha de fabricayao, facilitando as-
sin1 o processo de selei;ao pelo usuirio. 
Via de regra, o gr<'ifico de selei;ao (Fig. 9.22) consiste em diagra-
mas cartesianos Y=f(Q) (H=f(Q)parabombas,ou llp,=f(Q),para 
vcntiladores), normaln1ente e1n escala logarftmica, dentro do qual en-
contra-se delineado o can1po especifico de aplicayao de diferentes mo-
delos de uma mesma s6rie ou de diferentes dimens5es de um 1nes1no 
modelo de bon1ba ou ventilador. Cada uma das zonas limitadas pelas 
curvas <lesses gr<ificos. contem os pontos de melhor rendimenlo da mi-
quina en1 todo o seu campo de funcionamento (regi6es centrais dos grti-
ficos das Figuras 9.17, 9.18 e 9.20). 
, 
Caracter{sticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 249 
-I 3450 rpm 
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••t--+---t---1--t-t-t+---+--+---t-~"-t-t-t+---+-, 
5 
3 4 S 6 7 B 910 20 30 40 50 60 7080!1l100 
'" CAPAClllAOE EM METROS cUe1cos POR HORA 
Fig. 9.22 Grafico de seleyiio para bombas centrffugas (Fonte: Worthington). 
E importante observar que o gnifico de seles;ao e sempre tras;ado 
para uma determinada freqti6ncia da energia que alimenta o motor, con-
seqtientemente, para uma velocidade de rotas;ao constante, consideran-
do um determinado niimero de p6los do motor eletrico. Exceto para 
casos especiais, deverao ser consultados os graficos tras;ados para a fre-
qtiencia de 60 Hz, visto ser esta a freqti6ncia padrao no Brasil. 
9.4 Exercicios resolvidos 
1. A bornba axial cujas curvas caracterfsticas encontram-se representadas 
na Fig. 9.20 tern a possibilidade de variar a inclinas;ao das pas do 
rotor. Esta bomba posta a operar corn agua de massa especffica de 
1000 kg/m3 em uma instalas;ao com alturade elevas;ao geornetrica de 
250 Mdquinas de Fluido 
2 2 m entre reservat6rios abertos a atmosfera, recalca uma vazao de 
6000 ~3/h com as pas do rotor inclinadas de 1-8°. Para esta situas;ao 
calcular: 
a) a altura manometrica vencida pela bomba; 
b) o rendimento total da bomba. 
Posteriormente, alterando-se a inc1inas;ao das pas do rotor para 24°, 
sem alterar o sistema de canalizas;ao, determinar: 
c) a vazao produzida pela bomba; 
d) a pot6ncia consumida no seu eixo; 
e) o rendimento total da bomba. 
SOLU<;AO: 
Dos graficos da Fig. 9.20, para Q = 6000 m3/h e 13 = 18°, retiram-
se os seguintes valores: 
H = 3,6 m (Resposta a) e P = 70 kW = 70000W 
' 
Com Q = 6000 m'lh = 1,67 m'/s e Y = g . H = 9,81 . 3,6 = 35,32 
J/kg, calcula-se: 
_ p.Q.Y _ 1000.1,67.35,32 _ 0,84 Tl, - p - 70000 OU 
' 
TJ, = 84% (Resposta b) 
A curva caracterfstica da canalizas;ao e representada pela equas;ao 
(9.17): 
H=H 0 +K'.Q 2 •• K' 3,6-2,2 = 3,89.10-• 6000' 
Pode-se, entao, tras;ar a curva caracterfstica da canalizas;ao, confor-
me esquematizado na Fig. 9.23, a partir dos valores calculados pela 
equas;ao: 
H = 2,2+3,89.10-".Q' 
Caracterfsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 
H ( ) 
4,2 
3,6 
T 
-• 
·.. "~9-/ 
1)0082.'lf~"f.,JJ'? 
,,. . ci'~v 
!<··---·········- ---············-- --·······-,''---"- ---~ I 
:;9~.J~ ~': (3=24" 
'---~~-==~~~-=-===---------- _J _________ _ 
(3 = 18° 
251 
nbo Q (m'ih) 
P,(kW) 
100~---···················-············--············-··--·····-··--'··········--X 
70 ~-···············--·····-·······-··----··-······--··-·---···-\ 
6000 7200 Q (m'/h) 
Fig. 9.23 Trayado da curva caracteristica da canalizayao. 
252 Mriquinas de Fluido 
Como exemplo, apresentam-se alguns dos valores calculados: 
Q=O m'fh => H = 2,2 m; Q = 5000 m'ih => H=3,2m; 
Q=2000m'lh => H=2,4 m_; Q = 6000 m3ih => H=3,6m; 
Q = 3000 m'ih => H=2.6 m; Q =7200 m'ih => H =4,2m; 
Q = 4000 m'/h => H=2,8 m; Q = 9000 m'ih => H=5.4m. 
Da intersei;;i:io da curva caracteristica da canalizai;;ao com a curva 
da bon1ba para inclinai;ao das pas do rotor ~ = 24 ° e levando-se em 
considcra93.o a curva de iso-rendimento que passa pelo ponto de 
intcrsei;ao (Fig. 9.23), obtCm-se: 
Q = 7200 m'ih = 2,0 m'/s (Resposta c); 
P, = I 00 kW (Resposta d); 
11
1 
= 82 o/o (Resposta e). 
2. 0 ventilador centrffugo representado pelas curvas caracterfsticas da 
Fig. 9.16, operando com uma velocidade de rotai;;ao de 1900 rp1n, 
insufla 9,5 m-i/s dear com massa especffica igual a 1, 1 kg/m3 atraves 
de uma canalizai;ao de 700 mm de difimetro. A boca de descarga do 
vcntilador possui un1a area Act= 0,182 m2 ea boca de admissao 
encontra-se aberta a atmosfera o que, por conveni;ilo, leva a con-
sidcra~ao de u1na velocidade na ad1nissao, c
0 
= 0. Considerando, ainda, 
uma canalizai;;ao sen1 desnfvel, com as extremidades submetidas ii 
prcssao atmosfCrica e detcrminando a perda de carga por meio do 
gr3.fico da Fig. 9.24, calcular: 
a) o con1pri1nento equivalente da canalizai;;ilo; 
b) a potencia consumida no eixo do ventilador; 
c) o rendi1nento est<'itico do ventilador. 
Sem alterar a instalai;;:ao e mantendo a mesma velocidade de rotai;;ao 
do ventilador: 
d) qua] a providencia que pode ser adotada para rcduzir a sua potencia 
pcla n1etade? 
c) neste caso, qual a vazao que sera obtida? 
f) con1 que rendimento total cstara funcionando o vcntilador? 
' 
.1 
Caracterlsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 253 
= 
" 
OI 
10 
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9 
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90 
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60 
50 
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6 8 10 3 4 
FRICTION LOSS IN MILLIMETERS OF WATER PER METER 
Fig. 9.24 Gr;ifico para o cfilcu!oda perda de cargaem canalizw;5es de ventilaqao (Fonte; 
A111erican Conference of Governmental Industrial Hygienists/USA). 
254 Mdquinas de Fluido 
SOLU(:AO: 
Para n = 1900 rpm e Q = 9,5 m 3/s, o griifi.co da Fig. 9.16 fomece: 
i'>p, = 380 mmCA = 3727 ,S Pa e flt= 60%. 
Pela equac;ao da continuidade: 
c = 
4
·0 = 4 ·9•5 = 24 68 mis 
rr.D 2 n.0,7 2 ' 
Este valor tamb6m poderia ser obtido, de rnaneira aproximada, pelo 
gr<lfico da Fig. 9.24. 
Pelo grafico da Fig. 9.24, para Q = 9,5 m'ls e D = 700 mm 
(diftmetro da tubulac;J.o), retira-se a perda de carga (queda de presslio) 
em milimetros de coluna d' <igua por metro de canalizac;iio, que ser<i 
convertida na queda de pressiio em pascal por metro de canalizac;ao: 
(8pp )rnmCA/m = 0,75 mmCA/m (i'>p P ),, / m = 7 ,36 Palm 
Logo, a queda de pressao (em Pa) em raziio da perda de carga ao 
longo de toda a tubulac;ao pode ser expressa por: 
onde: 
L = comprimento equivalente da canalizac;ao, em m. 
A equa9iio (9.18) permite, entao, escrever: 
c2 c2 ( ) i'>p =p-+i'>p =p-+ i'>p L 
l 2 P 2 P Palm" 
3727 8-11 24·68' 
' ' 2 
L = ----~- = 461 m (Resposta a) 
7,36 
L 
c' 
"1p,-p2 
(i'>p p J,., m 
Caracter[sticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 255 
Levando em considerac;fio a equac;ao (4.31), a potencia no eixo do 
ventilador pode ser calculada por: , 
P = p.Q.Y = Ap ,.Q - 3127•8·9•5 =59024 W=59,02kW 
' 0 6 Tl 1 Tl 1 ' (Resposta b) 
Pela equac;ao da continuidade pode-se calcular a velocidade do 
fluido na boca de descarga do ventilador, ou seja: 
c, = _g_ = --22_ = 52,2 mis 
A, 0,182 
De acordo com a equac;fio (4.37) e considerando ca= 0, tem-se. 
c
2 5222 
Ap,,, = Ap, -pi= 3727,8-1,lT = 2229,14Pa 
Pela equac;ao (9.19), calcula-se: 
_.6..Pest•Q 
lle<t - p 
' 
2229,14.9,5 = 0,359 OU 
59024 
1'\,,, = 35,9% (Resposta c) 
Mantendo-se a mesma velocidade de rotac;ao do ventilador, o que 
signific~ manter inalterada a curva caracteristica .6..p
1 
= f (Q) da m<iquina, 
pode-se reduzir a sua potencia pela metade, por exemplo, pelo fecha-
mento parcial de um registro colocado na descarga do ventilador. 
(Resposta d) 
0 fechamento parcial do registro acarreta um aumento da carac-
teristica da canalizac;ao, K", na equac;ao (9.18), tornando a curva do 
sistema mais ingreme e deslocando-a na direc;ao do eixo <las ordenadas 
(eixo que representa .6..p
1
), o que, num grafico em escala logaritmica 
como o da Fig. 9.16, onde as parabolas convertem-se em linhas retas 
inclinadas, traduz-se num deslocamento paralelo destas em direc;fio ao 
eixo de Ap, (Fig. 9.25). 
256 
0pt(mmCA) 
380 ~ - ----- ---
Q\Q,' 
i:;',' 
, . 
'' ,z:;_,' 
Mdquinas de Fluido 
n (rpm) 
, .. 
1900 
&,' 
:., ~!:' 
: I , .• 
-- / ! _\,___ : 
/ I \1·. / 
''" ,' \ "O ' \9. , 
j 
4,4 9,5 Q (m3/s) 
Fig. 9.25 Representa~fio esquemlitica da utiliza~ao do grlificoda Fig. 9.16. 
Neste caso tem-se: 
P, = 59.0Z = 29,5 I kW= 40 CV 
2 
Buscando-se a intersec;ao da curva correspondente a potencia Pe= 
'40 CV com a curva .6..p
1 
= f (Q) do ventilador para a velocidade de 
rota9ao n = 1900 rpm (ver esquema da Fig. 9.25), conclui-se que: 
Q = 4,4 m'/s (Resposta e); 
11
1
:: 71 o/o (Resposta f). 
3. A bomba representada pelo gr<ifico da Fig. 9.18, com rotor de difimetro 
D5 = 270 mm(<\> 270), deve recalcar uma vazao de 350 m3/h de a_gua 
atraves de canaliza96es com di8.metros de 150 mm ( 6") na succ;ao e 
125 mm (5") no recalque. A linha de sucyiio possui um comprimento 
equi valente estimado em 10 m, captando <igua na temperatura de 
20°C de um reservat6rio aberto a atmosfera e situado a 500 m acima 
Caracterfsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 257 
do nfvel do mar. Determinar, utilizando a tabela da Fig. 6.8 para o 
c:ilculo da perda de carga: 
a) a altura de suc<;3.o 1n3.xima da bomba; 
b) o rendimento total com qlie estara funcionando; 
c) a pressiio relativa indicada no man6metro instalado na admissao 
da bomba, quando ela estiver operando com sua altura de suc-
i;iio maxima; 
d) a pressiio relativa indicada no man6metro instalado na descarga da 
bomba, para esta mesma situagiio. 
SOLU<;AO. 
Do gr3.fico da Fig. 9.18, para di3.metro do rotor D5 = 270 mm($ 
270) e vaziio Q = 350 m3/h = 0,0972 m3/s, tira-se: 
H = 24,6 m; NPSH, = 5,5 m e P, = 41,5 HP= 42 CV. 
Para :iguana temperatura de 20°C, o Quadro 6.2 indica: 
P, = 238 kgf/m' e Y= 998 kgf/m2 • 
Logo, pela equa93.o (4.33), pode-se calcular o rendimento total da 
bomba: 
p = y.Q.H 
c 75.rti 
998.0,0972.24,6 
75.42 
T\, = 75,8 % (Resposta b) 
0,758 :. 
Pela tabela da Fig. 6.8, para vazao Q = 350 m3/h e di§metro da 
canalizagiio de sucgiio igual a 150 mm (6"), tem-se: (H) = 19 ml p m/IOOm 
IOOm. Logo, para um comprimento equivalente L, = 10 m na suc<;3.o, 
vem: 
H (H ) ~=19.__!Q_=l,9m 
ps = P mllOOm. 100 100 
Para uma altitude do nfvel de montante da instalagfio de bombea-
mento, zM = 500 m, a equagfio (6.17) permite escrever: 
258 Mdquinas de Fluido 
ZM 500 2 Po<m = 10330-- =10330-- =9774kgf/m 
0,9 0,9 ' 
A partir da equagao (6.18), fazendo p2 = Pa1m e considerando c2 = 
0, obtem-se: 
H =Pmm_l'_,,__NPSH -H = 9774 - 238 -55-19 '~'Jllfu. '( '( b P' 998 998 ' , .. 
H,,m~ = 2,15 m (Resposta a) 
Pela equai;ao da continuidade, tem-se: 
4.Q 
c =--
a D 2 
R. ' 
4
·
0
•
09
; = 5,49 mis 
n.0,15 · 
4.Q 7 
2 = ,9m/s 
n.0,125 
e 
0 balango de energia entre urn ponto na superficie do reservat6rio 
de sucgao e um ponto na admissiio da bomb a (boca de sucgiio ), de acordo 
com (6.8), considerando C7 = 0 e p2 = p = 0 (pressiio relativa ou _ atm 
manometrica), conduz a: 
' P. = P.~ -H -H _.S_ .. 
y y • ~ 2.g 
~=_(l_-215-19- 5 '492 =-5 59m .. 
y 998 , , 2.9,81 , 
P, =~·y =-5,59·998=-5579kgf/m2 =-54,7kPa (Resposta c) 
y 
Considerando que Y = g.H e que y = p·g, pela equagiio (1.5) 
chega-se a: 
H pd-Pa+c~-c~ .. pd=pa+y(H-c~-c~) .. 
y 2·g 2·g 
p, =-5579+998(24,6 7·
92 
-
5
•
49
' I :. 
2 9,81 ) 
p, =17330kgf/m 2 =170,0lkPa (Resposta d) 
I 
Caracterfsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo 259 
9.5 Exercicios propostos 
1. Considerando que o ventilador representado pelas curvas carac-
terfsticas da Fig. 9.15 esteja funcionando no seu ponto de maior 
rendimento est3.tico (Tl = 47o/o ), com a velocidade de rota<;ao de 1150 
rpm e nesta situa<;iio insutlando ar de massa especffica p = 1,2 kg/m3 
atraves de uma canaliza<;ffo de 990 mm de di3.metro. A entrada e 
saida deste sistema encontram-se no mesmo nfvel e submetidas a 
pressao atmosferica. Determinar, utilizando o gr<i.fico da Fig. 9.24 
para o c<ilculo da perda de carga: 
a) a vazao do ventilador; 
b) a sua diferenya de pressao total; 
c) a potencia no eixo do ventilador; 
d) o seu rendimento total; 
e) o comprimento equivalente da canalizayJ.o; 
f) a vazao produzida quando operar com a velocidade de rota<;3.o de 
713 rp1n no mesmo sistema, considerando rendimento invariivel 
com a mudan<;a de rota<;ao; 
g) a potencia no eixo, nesta tiltima situa<;J.o. 
Respostas: 
a) Q = 9 m'/s; 
eJL=427m; 
b) "'r = 543,1 Pa; c) P = 9,02 kW· 
' ' ' f) Q' = 5,6 m'/s; g) P> 2,15 kW. 
d) Tl,= 54,2%; 
2. A bomba centrffuga cujas curvas caracterfsticas estao representadas 
na Fig. 9.18. operando com seu rotor de 270 mm de di3metro, recalca 
300 1n3/h de <i.gua (p = 1000 kg/m 3) atraves de uma canalizayao que 
liga dois reservat6rios se1n desnfvel e submetidos a pressao atmos-
f6rica. Trocando o rotor desta bomba por outro de di3.metro igual a 
210 mm e n1antendo a mesma canalizayao, pergunta-se para esta 
nova situayao: 
a) qual a vazao que serti. recalcada? 
b) que potencia estara sendo consumida? 
c) com que rendimento total estari operando a bomba? 
d) qua! a perda de carga na canaliza95.o, em metros de coluna d'<i.gua? 
e) qua! o NPSHb requerido pela bomba? 
Respostas: 
a) Q = 210 m'/h; 
d) H = 14 m· 
" . 
b) P, = 11,9 kW; 
e) NPSH, = 3,4 m. 
c) TJ, = 67 %; 
11 
rl 
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u 
I! 
l 
Mdquinas de Fluido 
3. Um sistema de ventilayao e suptido por um ventilador centrffugo cujas 
caracteristicas estao representadas na Fig._9.16. Sabendo que este 
ventilador deve insuflar 6,5 m3/s dear com massa especifica de 1,1 kg/ 
m3, atraves de um a canalizay3.o com difunetro de 500 mm, comprimento 
total igual a 59,3 m (incluindoo comprimento equivalente dos acess6rios), 
sem desnfvel e com as extremidades do sistema submetidas a pressao 
atmosf6rica, calcular, usando o grafico da Fig. 9.24 para a determina'!:i'io 
da perda de carga na canaliza'!:ao: 
a) com que velocidade de rota'!:i'io devera funcionar? 
b) qua! sera o seu rendimento total? 
c) qual a queda de pressao devida a perda de carga? 
d) qua! a diferen<;a de pressi'io total que irll produzir? 
e) qua! a potencia que consumirll? 
Respostas: 
a) n = 1300 rpm; b) TJ, = 60%; c) "'P, = 118,56 mmCA= 1163,07 Pa; 
d) "'r, = 180 mmCA = 1765,8 Pa; e) P, = 26 CV= 19,12 kW. 
4. Uma bomba com as curvas caracteristicas representadas na Fig. 9.19 
esta instalada ligando dais reservat6rios com superffcies livres de 
montante e jusante, respectivamente, situadas as cotas de 100 e 105 
m acima do nfvel do mar. A bomba, com seu rotor de 260 mm de 
diilmetro (260 <f>) e girando a 1740 rpm, encontra-se instalada na co ta 
de 95 m e nesta situayao recalca 300 m3/h de igua com p = 1000 
kg/m3• Desejando empregar esta mesma bomba para recalcar preci-
samente 140 m3/h par meio do mesmo sistema, com a maior eco-
nomia de energia possfvel, qua! sera a melhor soluyao: 
a) estrangular o registro colocado na descarga da bomba? 
b) diminuir a velocidade de rota<;ao da bomba para 1120 rpm? 
c) diminuir a velocidade de rota<_;i'io para 1120 rpm, trocando tamb6m 
o rotor par outro de di3metro diferente? 
d) simplesmente trocar o rotor par outro de diilmetro diferente, sem 
alterar a velocidade de rotayao? 
e) diminuir a velocidade de rota<;3o para 1120 rpm, estrangulando 
simultaneamente o registro na descarga? Justificar a escolha e detenninar a 
potencia consumida para a solu~ao escolhida. 
Caracterfsticas de F1111ciona11iento de Geradores de Fluxo 201 
Resposta: Tra9ando a curva caracterfstica da canaliza9ao e analisando a 
sua interse9ao com as diversas curvas H::: f (Q.) da bomba, conclui-se 
pela alternativa "c", reduzindo a velocidade para 1120 rpm e trocando 
o seu rotor par outro de difi.metro igual a aproximadamente 235 mm (curva 
intermedi8.ria a 230 $ e 240 $).Nesta situayao, a potencia consumida 
no eixo sera P
0
::: 6,3 CV::: 4,6 kW. As outras alternativas ou nao 
fornecem exatamente a vazao requerida (140 m3/h), ou apresentam rendi-
mento inferior e conseqlientemente maior consumo de energia. 
5. Ar demassa especffica 1,2 kg/m3 e insuflado atraves de um sistema 
de ventilayao. Inicialmente a vazao insuflada e de 6 m3/s. Com a 
colocayao de um filtro no sistema esta vazao 6 reduzida para 4 m3/s. 
Sabe-se que o ventilador utilizado para impelir oar atraves do sistema 
tern suas curvas caracterfsticas representadas na Fig. 9.11 para um 
rotor com ~s < 90° e velocidade de rota91io de 2200 rpm. Consi-
derando constante os rendimentos com a varia98.o da rota9ao e ausencia 
de desnfvel e diferenya de pressao entre as extremidades do sistema, 
calcular: 
a) a potencia consumida para a situayao inicial (sem filtro), quando a 
vazao e de 6 m3/s ea rotayao do ventilador e 2200 rpm; 
b) o rendimento total do ventiladorparaesta situayao; 
c) a potencia cohsu1nida, nesta mesma rota~ao (2200 rpm), quando a 
vazao cai para 4 m3/s pela colocayao do filtro; 
d) o rendimento total paraesta situayao; 
e) a velocidade de rotayao do ventilador para restabelecer a vazao 
inicial de 6 m3/s, com a presenya do filtro; 
f) a potencia consumida pelo ventiladorneste caso, ou seja, instalayao 
com filtro e vazao restabelecida para o valor inicial de 6 m3/s pela 
vati ayao da rotayao. 
Respostas: 
a) P, = 17,5 kW; 
c)n'=33001pm; 
b)11,=83%; c)P,=15kW; d) TJ, = 78%; 
f) P,' = 50,63 kW. 
., 
' I 
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' I 
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I 
' 
I 
I 
I 
262 Mdquinas de Fluido 
6. A bomba cujas curvas caracteristicas para diversas rotay5es estao 
representadas na Fig. 9.17 ao ser pasta a C)J)Crar em uma instalayao 
de bombeamento, com uma velocidade de rotayao de 1300 rpm apre-
senta as press5es pd= 274,7-.k:Pa e Pa= -19,6 k:Pa nos manOmetros 
instalados de forma nivelada na sua descarga e na sua admissfio, 
respectivamente. 0 nfvel d'8-gua (p = 1000 kg/m3) no reservat6rio de 
recalque encontra-se a 15 m acima do nivel no reservat6rio de sucyfio 
e ambos encontram-se abertos a atmosfera. Para esta situa9ao calcu}ar: 
a) a altura manometrica da bomba; 
b) a sua vaziio; 
c) a potencia no seu eixo. 
Aumentando a velocidade de rotayiio da bomba para 1500 rpm e 
mantendo o mesmo sistema de canalizayao, determinar: 
d) a vazao recalcada nesta nova situayiio; 
e) a altura manometrica desenvolvida pela bomba; 
f) a potencia consumida neste caso. 
Respostas: 
a) H = 30m; 
d) Q' = 360 l/s; 
\Jo -f '{:£:_ c 
'I. T 
., 
\l,., 
b) Q = 300 l/s; 
e) H' = 36m; 
c) P = 110,3 kW; (f) P :· = 181,6 kW. 
~~ (\ ~~--2-"-_· _o~,'l- _ J 
()~ 
10 
AssocrA<;::Ao oE GERAooREs EM 
SERIE E EM p ARALELO 
A associai;ilo de m<iquinas de fluxo geradoras em s6rie e em parale-
lo e um recurso bastante adotado pelo projetista de uma instala93.o de 
bombean1ento ou de insuflai;ao de gis, visando a redui;ao de custos do 
projeto, ao aumento da seguranya de operai;ao ou a flexibilidade do 
processo de 1nanuteni;ao. 
Assim, uma lavoura de arroz irrigada por um sistema de bombas 
em paralelo, permitiri, numa situai;ao de avaria ou de necessidade de 
manuteni;ilo, a retirada de uma das m3-quinas sem colocar em risco o 
fomecimento da quantidade minima de 8-gua necessaria para o desen-
volvimento da plantai;ao. 0 gerenciamento do ntlmero de bombas em 
operai;ao, tambem facilitar:i a adequai;ao da instalai;ao a demanda vari-
avel de 3.gua em funi;ao da variai;ao da intensidade das chuvas ao longo 
do periodo de irrigai;ao, fazendo com que o seu ponto de funcionamento 
nao se afaste muito do nominal, o que alem de reduzir o rendimento, 
com o conseqliente aumento dos custos com energia, poderia acarretar 
uma diminuiyao da vida Util da bomba. 
A utilizayao de bombas e turbocompressores em serie e comum 
nos oleodutos e gasodutos para o transporte de fluido a grandes distftn-
cias (em muitos casos, superiores a 1000 km). Entre outras vantagens, a 
instalayao de turbocompressores em serie, distribufdos em v<irias esta-
96es ao longo do percurso do gasoduto, por exemplo, permite um 
escalonamento da pressao necess3.ria para veneer as perdas de carga, 
sem tornar necessirio o superdimensionamento da tubulayao, com o 
conseqliente aumento de seu custo, para suportar as elevadas press6es 
no trecho inicial do percurso. 
Em alguns casos, a utilizayao de canaliza96es e v3.lvulas em by-
pass permite associar, alternativamente, as mesmas bombas, em serie 
ou em paralelo, para atender exigencias diferenciadas de vazao e altura 
de elevayao de uma instalayao. 
264 Mciquinas de Fluido 
10.1 Tubulai;Oes mistas e mllltiplas 
Antes de analisar a associay_ao de geradores de fluxo em serie e em 
paralelo, sera feita uma breve ab0rdagem sabre a associayao de tubula-
96es tambem em serie e em paralelo. 
Uma tubula~o mista (compound pipe ou pipes in series) sera consti-
tulda da ligay:ao em serie de varios trechos, com comprimentos e difunetros 
diferentes, compreendendo, portanto, resistencias hidr<iulicas diferentes. 
Para ilustrar, a Fig. 10.1 apresenta uma tubulay:ao mista composta 
de tres canos diferentes unidos em serie, sem diferenya de nfvel e de 
pressao entre as extremidades. A curva caracteristica resultante deste 
sistema e obtida pela soma das ordenadas das curvas caracterfsticas das 
canaliza96es I, II e III, correspondentes a cada trecho individual da 
associayi.i.o, determinadas de acordo com a equayao (9.18). Ou seja, pela 
soma das perdas de carga correspondentes a cada trecho, para cada va-
lor da vazao (Y == E + E + E ). 
pl pH pffi 
I II lII Q Q 
y 
Curva resultante~ 
Q=Q,=Qu=Q111 
III 
II 
Q 
Fig. l 0.1 Curva caracteristica resultante de uma tubula9ao mista. 
A~sociar,;lio de Geradores e111 Sr!rie e e1n Paralelo 265 
Considere-se agora uma tubulat;ii.o mUltipla (branching pipe ou 
pipes in parallel), isto e, uma ligac;ao em paralelo de tres tubos diferentes, 
I. II e III (Fig. 10.2). Como a pressao no infcio e nu fim de cada um 
destes tubos e igual, pode-se dizer que as perdas de carga nas tres cana-
lizag6es sao iguais entre si, o mesmo nao se podendo dizer da vazao que 
passa pelo interior de cada uma delas. 
Q --~ 
'1": 
y 
II 
) ----+ g (~ Ill 
1· :: r1· 
. .J 
JI lll 
Curva resultante_ 
~ . 
' +--- Ou ------>i 
Q=Q,+Q"+QCJ[ 
Fig. I 0.2 Curva caracterfstica de un1a tubular,:iio mU.ltipla. 
Q 
Q 
A curva caracterfstica da tubulac;ao mUltipla e obtida, entao, pela 
soma das abcissas das curvas caracterfsticas de cada um dos tubos em 
paralelo. Isto e, somando-se as vaz6es de cada tuba, para um mesmo 
valor da perda de carga (Q = Q1 + Q 11 + Q111). 
266 Mdquinas de Fluido 
10.2 Associa«;do de geradores em paralelo 
Com freqtiencia, e mais conveniente fazer funcionar duas OU mais ma-
quinas de fluxo geradoras em paralelo, aumentando-se a capacidade ( va-
zao) de um sistema j3 existente com a instalac;ao de uma maquina a mais, 
seja porque o tamanho de uma s6 m3quina de grande porte e excessivo para 
as dimens5es do local de que se disp5e, seja porque resulta mais econ6mico 
ter a possibilidade de funcionar com um ou mais geradores segundo o 
consumo do sistema, ou ainda, porque a retirada de operayao de uma ou 
mais unidades para atendirnento da demanda vari.3.vel permitir<i uma manu-
tenc;ao preventiva de reflexos altamente positivos para a vida da instala95.o. 
Pelo esquema da Fig. 10.3, que representa a associat,;3.o em paralelo 
(parallel arrangement) dos geradores I e II, conclui-se facilmente que os 
saltos energeticos correspondentes a cada urn dos geradores entre os nfveis 
de montante, VM, e jusante, VJ, sao iguais, enquanto a vazao total do siste-
ma corresponde a soma das vaz6es correspondentes a cada um de I es. Logo, 
a curva caracteristica da associac;ao e obtida somando-se, para cada valor 
do trabalho especffico disponfvel (altura de elevac;ao para bombas ou dife-
renga de pressao total para ventiladores) indicado sabre o eixo das ordena-
das, as vaz6es individuais das m3.quinasassociadas em paralelo. 
_Gerador J Gerador IL, 
Fig. 10.3 Associar,:ao de geradores em paralelo. 
Associarilo de Geradores em Siirie e em Paralelo 267 
Pode-se, en tao, escrever para a associar;ao em paralelo dos geradores 
de fluxo I e II: 
(10.1) 
onde: 
YA = salto energetico especffico da associar;ao, em J/kg; 
Y1 = salto energetico ou trabalho especffico da maquina I, em J/kg; 
Y11 = salto energetico ou trabalho especffico da maquina II, em J/kg. 
on de: 
QA = vazao da associai;ao, em m3/s; 
Q1 = vazao da miiquina I, em m 3/s; 
Qn = vazao da miiquina II, em m3/s. 
on de: 
P0A = potencia consurnida pela associa~ao, em W; 
Pe1 = potencia consumida pela mciquina I, em W; 
Pen = potencia consurnida pela miiquina II, em W. 
(10.2) 
(10.3) 
Substituindo as equaqoes (4.31), (10.1) e (10.2), na (10.3), tem-se: 
T\tA = TJ11 TJ111 (QI+ QII) 
11111 Q, + fln QII 
onde: 
11tA = rendimento total da associa~ao, adimensional; 
11tI = rendimento total da m8-quina I, adimensional; 
11tII = rendimento total da m;iquina II, adimensional. 
(10.4) 
268 Mdquinas de Fluido 
Combinando a curva caracteristica da associar;ao dos geradores em 
paralelo com a curva caracteristica da canaliza9ilo, observa-se (Fig. 10.4) 
que o ponto de funcionamento e F, correspondendo a uma vazao QF e 
a um salto energetico especfficO Y F' Nesta situar;ao, a maquina I estara 
funcionando no ponto FJ e a miiquina II, no pontoFfI . 
y 
~Curva caracteristica da associa9i'io 
./ 
/ 
'\\ 
\(n' F Curva caracteristica da canaliza9iio 
\Fn 
' ,_Fi 
' 
' 
•' Curva do gerador I _/ · 
\ 
\ __;_curva do 
__ '.Lgerador II \ __ __,,__ 
Q• Q 
Fig. l0.4 Curvas caracterlsticas da associa9ao de maquinas de fluxo geradoras em 
paralelo. 
Postos a operar isoladamente na mesma canalizar;ao, o gerador I 
funcionara no ponto Fr enquanto o gerador II funcionara no ponto F n· 
Express5es an<llogas as obtidas para o ciilculo do rendimento total 
poderiam ser obtidas para a detennina~ao do rendimento est;itico da 
associai;ao, bastando, para isto, substituir a grandeza Y por Yest' 
10.3 Associa~iio de geradores em serie 
Diz-se que duas OU mais maquinas de fluxo geradoras funcionam 
em serie quando a descarga de uma esta ligada a adrnissao da seguinte e, 
assim, sucessivamente (Fig. 10.5). Portanto, por meio dos geradores de 
fluxo I e II, ligados em serie, passa a mesma vazao, enquanto proporci-
onam um salto energetico especifico total (altura manometrica, no caso 
de bombas, ou diferenr;a de pressao total, no caso de ventiladores) re-
presentado pela soma dos trabalhos especfficos individuais. 
Associar;ii.o de Geradores em Sirie e em Paralelo 269 
VJ 
i 
Gerador IL 
ti, 
Gerador I-, i 
v 
VM i 
-
-··· 
Fig. 10.5 Associm;ao de geradores 
em s€rie. 
,,,_ 
Usando o mesmo procedi-
mento de anfilise da associas,:iio 
em paralelo, obt6m-se as se-
guintes equas,:Oes para calcular o 
trabalho especifico disponivel, a 
vaziio, a potencia no eixo e o 
rendimento total de uma associa~ 
~ao de geradores em serie (se-
ries arrangement): 
(10.5) 
(10.6) 
(10.7) 
(10.8) 
Pela mesma consideras,:iio do item anterior, as expressOes utiliza-
das para a determinas,:iio do rendimento total de uma associas,:iio de ge-
radores em s6rie podem ser tambem empregadas para o c<ilculo do ren-
dimento est<itico da associas,:ao, substituindo o termo Y pelo tenno 
Y~. 
A curva caracteristica da associas,:iio e obtida somando-se, para 
cada valor da vaziio, os trabalhos especificos de cada um dos gerado-
res (Fig. 10.6). 
270 
y 
y, 
Curva caracteristica da canalizayiio ~ · ~ 
\ 
Curva caracteristica_/" 
da associayiio 
Curva do gerador II ;'" 
f, 
' 
' Curva do gerador J_j 
f 
\ 
\ 
,,Fn' 
Qc 
Mciquinas de Fluido 
Q 
Fig. I 0.6 Curvas caracterfsticas da associar;lio de mtiquinas de fluxo geradoras em s€rie. 
0 ponto F, interses,:iio da curva caracteristica da associas,:iio dos ge-
radores em s6rie com a curva caracteristica da canalizas,:iio, caracteriza 
o ponto de funcionamento da associa9iio, correspondendo ao salto 
energ6tico especifico Y F ea vaziio QF. Individualmente, as m<iquinas 
I e II estariio funcionando no ponto F{ e F~ , respecti vamente. 
Operando isoladamente na mesma canalizas,:iio, o gerador I funci-
onar<i em F1 e o gerador II, no ponto Frr. 
Conclui-se, entiio, que a associas,:iio de geradores em s6rie e indicada 
para instalas,:Oes que requerem grandes alturas de elevas,:iio (instalas,:Oes 
de bombeamento) ou grandes diferens,:as de pressao (instalas,:Oes de trans-
porte de gases) e que niio podem ser supridas por uma tinica miiquina. 
Tanto a associas,:iio em paralelo como a associas,:iio em s6rie podem 
se processar pelo emprego de unidades independentes ou pela associas,:iio, 
ou em paralelo (rotores de admissiio dupla), seja em s6rie (miiquinas 
multicelulares), de rotores que operam dentro de uma Unica carcas,:a e 
fixados ao mesmo eixo. A bomba centrifuga multicelular (multiest:agio), 
muito utilizada na alimentas,:iio de caldeiras, onde as press6es exigidas 
podem alcans,:ar valores bastante elevados, e um exemplo tipico da as-
socias,:iio de rotores em serie. J;i a Fig. 10.7 traz um exemplo de curva 
' 
1 
! • 
Associar;:llo de Geradores em Sr!rie e e1n Paralelo 271 
caracteristica de botnba centrffuga de dupla suc93.o ou admissao, ou 
seja, 0 seu rotor equivaleria a associa93.o em paralelo de dois rotores 
iguais, 1nonlados no interior de.uma mesma carca9a. 
Fig. 
, 245 
'" 
"" 
~ 2!5 
:§ 20 '~o 
' 
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... 
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5560 65 70 75 
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200 300 
f lo~ (~3/nl 
NO.fi.3300.906/1 
200 
" 
Lo 
• 
t ~ 25~7 0 17 ; 
~ 
7.,51-
1-..o 
'" 
j 
"' 
loo 
' 
l0.7 Curvas caracterlsticas de u1na bomba centrffuga de dupla suci;:1io (Fonte: 
Sulzer Pumps). 
272 Mdquinas de Fluido 
10.4 Exercicios resolvidos 
1. Associando o ventilador centrifugo de j35 > 90° da Fig. 9.11, em 
serie, com o ventilador axial-da Fig. 9.15, operando com 1150 rpm, 
para insuflar 10 m3/s dear com p = 1,2 kg/m3 atraves de um sistema 
de ar condicionado, determinar: 
a) a diferen9a de pressffo est<itica produzida pela associa9ffo; 
b) a potencia consumida pela associm;;ffo; 
c) o rendimento est<itico com que est<i operando o ventilador centrifugo 
(ventilador I); 
d) o rendimento est<itico com que esta operando o ventilador axial 
(ventilador II); 
e) o rendimento est<itico da associa9ao. 
SOLU(:AO. 
Para a vazao Q = 10 m3/s, o grifico da Fig. 9.11 fomece para o 
ventilador centrifugo (grandezas com subscrito I): 
t>.p"" = 1,2 kPa = 1200 Pa e P" = 23 kW= 23000 W. 
Ja o diagrama da Fig. 9.15 permite retirar para o ventilador 
axial funcionando na velocidade de rota\:ao de 1150 rpm, tamb€m 
para Q = 10 m3/s: 
Com base na equa9ffo (10.5) pode-se escrever: 
t>.p "~ = t>.p "" + t>.p"' = 1200 + 408 = 1608 Pa (Resposta a) 
Pela equa,ao (10.7): 
PeA =Pei+Perr =23+9,17=32,17kW (Resposta b) 
A equai;ao (9.19) estabelece para o c<ilculo do rendimento est<itico: 
Associa~·iiu de Geradores e111 Sririe e em Parale!o 
1200-10 
23000 
0,522 (52,2_%) 
~ =f;p"'" ·Q = 408-10 =0,445 
"'lll p 9170 
dl 
(44,5 %) 
273 
(Resposta c) 
(Resposta d) 
A equagao (10.8) tambem e valida para o c3lculo do rendimento 
est<ltico da associac;:ao de dois ventiladores em serie, bastando substituir 
Y por b.p~"· Logo: 
ll = Yle,11 ·'f1e.,u1~Pcs1I +.6.peslll) .·. 
""'\ b. .6. 
"fle<tll · Pnu +llcMl · Pestll 
= 0,522·0,445(1200+408)=050 (50%) ~ •• ,, 0,445. 1200 + 0,522. 408 , (Resposta e) 
2. Un1a lavoura de arroz distante do manancial de captag5.od'::igua 
necessita de 3151/s de rigua (p = 1000 kg/m 3) para atender toda a 
area a scr irrigada. 0 ponto de captac;:ao encontra-se na cota de 90 m 
acima do nfvel do mar e a lavoura situa-se na cota de 80 m. A 
tubulac;:5.o que conduz a rigua possui di3metro de 300 mm e coeficiente 
de atrito, f = 0.017. 0 siste1na de bombeamento e constitufdo pela 
as~ocia<;;3o en1 sCrie de duas bombas iguais, operando com 1360 rpm, 
cujas curvas caracterfsticas encontram-se representadas na Fig. 9.17. 
Desprezando o co1nprimento equivalente dos acess6rios, considerando 
iguais as velocidades de escoamento na admissao e descarga das 
bon1bas, pressao na admissao da pri1neira bomba da associac;:ao, Pai= 
0, man6n1etros nivelados e calculando a perda de carga pela equagi.io 
de Darcy-Weisbach (equac;:iio 9.11 ), determinar: 
a) a potencia consu1nida pela associac;:ao; 
b) a perda de carga na canalizagi.io, em J/kg; 
c) a 1n<ixima pressao a que se encontra submetida a tubulagao; 
d) o comprimento da canaliza¢iio (distfi.ncia entre o manancial ea 
lavoura); 
e) a vazao fomecida a lavoura quando uma das bombas e retirada da 
instala~ao atravCs de u1n by-pass; 
f) a potencia consumida neste caso; 
g) a vazao que chega a lavoura, considerando escoamento por ayao 
da gravidade, quando as duas bombas sao retiradas do circuito. 
274 Mciquinas de Fluido 
SOLU<;:AO: 
Pelodiagramatopogr3.ficoda Fig.9.17, para .. n=1360rpm e Q= 
315 l/s, tem-se: 
H,= 36 m 
f1 11 = 80o/o. 
Y, = g. H = 9,81 . 36 = 353,16 J/kg e 
Como se trata da associac;ao em serie de duas bombas iguais: 
YA =9,81. 72=706,32J/kg 
A potencia consumida por uma das bombas na associac;ao e: 
p _ p.Q.Y, _ 1000.0,315.353,16 139057 W=l 39,06 kW 
el - 'f1tr - 0,8 
Pela equayao (10.7), coma as bombas sao iguais: 
P,A = 2 . P,1 = 2 . 139,06= 278,12kW (Resposta a) 
A equac;:ao (9.17) pennite escrever: 
HA =HG +HpA :. HpA =HA -HG =72-(-10)=82m 
EP = g . HpA = 9,81 . 82 = 804,42 J/kg (Resposta b) 
Com base na equayao (1.5), pode-se concluir: 
Pd11 -Par 
p 
p,,, = p.YA = 1000.706,32 = 706320Pa 
p,,, = 706,32kPa (Resposta c) 
Ou seja, a pressao na descarga da segunda bomba da associac;:fio em 
serie, no caso de instalac;iio uma imediatamente ap6s a outra, numa Unica 
estac;i.io de bombeamento, ser3 a maxima pressiio a que estara submetida 
a tubulagi.io de conduc;iio d'igua. Esta pressi.io poder3 ser reduzida com 
o afastamento da segunda bomba, instalando-a em uma segunda estac;:ao 
de bombeamento situada numa distfulcia intermedifilia entre o ponto de 
captayao d'<lgua ea lavoura. 
Associa~iio de Geradnres em Sirie e em Paralelo 
A equa9ao (9.11) de Darcy-Weisbach estabelece: 
Er = f. ~.Ls . Q2 :. 
n .D 
275 
L Er.re 
2 
.D5 804,42.n 2 .0,35 
8.f.Q' 8.0,017.0,315' L=1429,6m (Resposta d) 
A caracteristica do sistema pode ser cal cu Jada a partir da equa93.o (9.17): 
H,A =__lg_= 826,4 
Q' 0,315' 
E a equa9ao para o trar;ado de curva caracteristica do sistema ou 
canalizar;ao seri: 
H = - 10 + 826,4 . Q' 
a qual conduz aos seguintes valores (Fig. 10.8): 
Q = 0,05 m3/s =:> H = - 7,93 m Q = 0,20 m3/s =:> H = 23,06 m 
Q=0,10m3/s =:> H=-1,74m Q=0,25 m3/s =:> H= 41,70m 
Q = 0,11 m3/s =:> H = 0,00 m Q = 0,30 m3/s =:> H = 64,38 m 
Q = 0,15 m3/s =:> H = 8,59 m Q = 0,315 m3/s =:> H = 72,00 m 
72 
\_I IO 
Fig. l0.8 Tra~ado da curva caracteristica da canahza~iio. 
276 MdquiMs de Fluido 
Pela interser;ao da curva caracteristica da canalizar;ao com a curva 
H == f(Q) e com as curvas de iso-rendimento d<t.bomba, par:a n == 1360 
rpm, obt6m-se (ver esquema da Fig. 10.8): 
H=41,7m :. Y=g.H=9,81.41,7=409J/kg; '1,=82% e 
Q = 250 l/s = 0,25 m 3/s (Resposta e) 
Logo: 
P = p.Q.Y = 1000.0,25.409 124695W=124,7kW (Resposta f) 
' 11, 0,82 
No caso de escoamento por gravidade, H == H0 , o que, pela equar;ao (9 .17), conduz a: 
H = -10 + 10 = 0 
A vazao que chega a lavoura pode, entao, ser obtida pela interser;ao 
da curva caracteristica da canaliza9l'io com o eixo das abcissas (eixo das 
vaz6es), ou seja: 
Q= 1101/s=0,11 m 3/s (Resposta g) 
3. A associar;ao em paralelo de dois ventiladores centrifugos iguais 
fomece uma vazao de 8 m3/s dear (p == 1,2 kg/m3) por meio de um 
sistema de ventila9ao sem diferenr;a de nfvel e pressao entre as 
extremidades de adrnissao e descarga. As curvas caracteristicas dos 
ventiladores encontram-se representadas na Fig. 9.11 para ~5 < 90°. 
Determinar: 
a) a diferenr;a de pressao total da associas;ao; 
b) a potencia consurnida pela associar;l'io; 
c) o rendimento total da associar;ao; 
d) a vazao fornecida por um dos ventiladores quando funciona sozinho 
no mesmo sistema; 
e) o rendimento total do ventilador funcionando sozinho; 
f) o seu rendimento est<itico na mesma situar;ao. 
Associai;il.o de Geradores em Sirie e em Paralelo 277 
SOLU<;li.O: 
Como os ventiladores sao iguais a contribui93.o de cada um deles 
para a associac;ao em paralelo 6:~ 
Na associac;ao em paralelo, de acordo com a equac;ao (10.1), tem-se: 
.6.p tA =.6.p tI =Ll.p tII 
Do gr:ifico da Fig. 9.11 para Q1 = 4 m 3/s, retira-se (Fig. 10.9): 
l>p u =l>p tA = 2,92 kPa = 2920 Pa (Resposta a) 
e 
De acordo com a equac;ao (10.3), neste caso: 
P,A =2. P,1 =2 .15=30kW (Respostab) 
Como os ventiladores sao iguais, o rendimento total da associac;ao 
seni igual ao rendimento de cada ventilador funcionando na associac;ao, 
ou seja; 
Ll.p ".QA 2920·8 = 0 779 OU ainda 11
'-' P,A 30000 ' 
11" = 77,9 % (Resposta c) 
A curva caracteristica do sistema ou da canalizac;ao sera trac;ada 
obedecendo a equac;ao (9.18), sabendo-se que devera passar por dois 
pontos, a origem do sistema de coordenadas e o ponto de intersec;ao 
com a curva da associac;ao, o que permite a detenninac;ao da carac-
teristica, K", do sistema. 
K' = 2•92 = 0 0456 
8' ' l>p, = 0,0456.Q
2 
278 Mdquinas de Fluido 
Por esta Ultima equac;ao, calculam-se os pontos que permitem o 
trai;;ado da curva caracteristica da canalizac;ao (Fig. 10.9): 
Q (m3/s) 0,0 2,0 4,0 - 6,0 6,8 7,0 
l>p, (kPa) 0,00 0,18 0,73 1,64 2,10 2,23 
_'.:,.p (kPa) 
Curva da associa93.0_
1 , 2,92-:::~::::.::-~--~--~--~--~--;;;;;~~.:=::-3£--~-9;~:.:.:=:: 
2,4 
2,1__ 
8,0 
2,92 
2,0 ~--~-----~------c---
1,9 -------------------{3s< 90' 
1,6 ---- ' 
===')<'"""--C----,---. Pc(kW) 
-~¥----+7""'"'c---+------j20 18 
IO 
5 
Fig. I 0.9 Representai;:ao do trai;:ado da curva caracteristica da canaliza\'.iiO e d.a curva 
resultante da associa\'.iiO em paralelo dos ventiladores com b5 < 9Cfl da Fig. 9.11. 
A partir do ponto de intersec;ao da curva ~pt = f (Q) de um dos 
ventiladores com a curva do sistema ou da canalizac;ao, obt6m-se: 
t>p, = 2,1kPa=2100 Pa; 
l>p =I 9 kPa = 1900 Pa; 
est ' 
P =18kW=18000W; 
' 
Q = 6,8 m3/s (Resposta d); 
' 
i 
Associai;iio de Geradores em Sirie e em Paralelo 
Llp,.Q 
'flt= -p-
2100
·
6
•
8 
=0793 (79,3%) 
18000 ' 
' 
Lip'" .Q 1900.6,8 
= 0,718 (71,8%) 
P, 18000 
10.5 Exercicios propostos 
279 
(Resposta e) 
(Resposta f) 
1. A bomba da Fig. 9.19 encontra-se operando em paralelo com outra 
igual, ambas com rotor de 230 mm de difunetro (230 $) e velocidade 
de rotac;ao de 1120 rpm, numa instalac;ao cujo desnivel e H = 5 m e, 
. G 
nesta situac;ao, contribuindo com uma vaziio de 150 m3/h. Sabendo 
que os reservat6rios de succ;ao e recalque silo abertos, pergunta-se: 
a) qual a vazao produzida pela associac;iio <las bombas em paralelo? 
b) qual o rendi~ento da associac;ao? 
c) qual a vazao recalcada par uma das bomb as funcionando sozinha 
na. mesrna instalac;ao? 
d) qual a potencia consumida pela bomba funcionando sozinha? 
e) corn que rendimento estara operando esta b_o~ sozinha? 
Respostas: .:srfG -;,P.' 
">' ,,. 
a)QA=300m'!h; b)T\"=80,5%; "°', c)Q=196m'ih; 
d) P, = 7 CV=5,15 kW; e) Tl,= 70%. 
2. Um dos est<igios de uma bomba de alimenta9ao de caldeiras de 5 
est<igios em serie encontra-se representado na Fig. 9~18, atraves da 
curva correspondente ao rotor de diilmetro <jl 270 (D5 = 270 mm). 
Esta bomba fornece 250 m3/h de agua a 65°C a uma caldeira, numa 
instala9iio em que a linha de sucyao possui diilmetro de 200 mm, 
comprimento equivalente de 10 m, e a linha de recalque tern o mesmo 
difunetro, com um comprimento equivalente de 90 m. A diferen9a de 
nfvel entre a caldeira e o reservat6rio de sucyiio, que se encontra aberto 
e submetido a pressiio atmosferica de 0,1 MPa, e igual a 10 m. 
Calcular: 
a) a altura manom6trica com que esta operando a bomba; 
b) o seu rendimento total; 
c) a pressiio manom6trica da caldeira; 
280 Mdquinas de Fluido 
d) a perda de carga na canalizayao, em metros de coluna d' agua, 
utilizando a tabela da Fig. 6.8; 
e) a altura de sucyiio maxima da bomb a. 
Respostas: 
a) H = 158 m; 
d)H =230m· 
" ' ' 
b) T\, = 84%; 
e) Hsgmax = 4,26 m. 
3. Do is ventiladores centrffugos iguais, cujas curvas encontram-se repre-
sentadas na Fig. 9.16, associados em serie, produzem uma vaziio de 
3,0 m3/s de ar com peso especffico, y = 1, 1 kgf/m3 • Um deles 
(ventilador I) funciona com velocidade de rotayiio de 550 rpm e o 
outro ( ventilador II) com a velocidade de rotayiio de 1600 rpm. Para 
esta associayiio de ventiladores calcular: 
a) a diferenya de pressiio total; 
b) a potencia consumida; 
c) o rendimento total; 
d) a diferenya de pressiio estatica; 
e) o rendimento estatico do ventilador I (n = 550 rpm) trabalhando na 
associayiio; 
f) o rendimento est<itico do ventilador II (n = 1600 rpm) tamb6m 
trabalhando na associayiio. 
Respostas: 
a) Lip"= 399 mmCA = 3,91 kPa; b) P, = 23,87 CV= 17,56 kW; 
c) T)"' = 66,9%; d) Lip""= 368,54 mmCA = 3,62 kPa; 
e) Tl""= 26,1 %; f) Tl""'= 65,2%. 
4. A Fig. 9.11 representa as curvas caracterfsticas de um ventiladorcentrf-
fugo com pas retas (~5 = 90°) que gira a 1460 rpm. Para insuflar 4 
m3/s dear com p = 1,2 kg/m3 atraves de um sistema de ventila9iio 
composto por canalizai;iio de 500 mm de diilmetro e comprimento 
equivalente de 203 m, com extremidades abertas a atmosfera e num 
mesmo nfvel, disp5e-se de duas alternativas, usando o mesmo tipo de 
ventilador: associar dois deles em paralelo ou usar apenas um, 
aumentando a sua velocidade de rotai;iio ( considerar o rendimento 
invariavel com a variai;iio da rotayiio). Pergunta-se: 
a) com que velocidade de rotai;iio devera funcionar o ventilador na 
segunda alternativa? 
Associai;ao de Geradores em S<irie e em Paralelo 281 
b) qual a melhor altemati va sob o ponto de vista de um men or con-
sumo de energia? Justifique a tesposta. ' 
Respostas: 
a) n = 1688 rpm; 
b) A melhor alternativa e associar dois ventiladores em paralelo, uma 
vez que a pot6ncia solicitada pela associai;,:i'io sera PeA = 12,2 kW, 
enquanto o aumento da velocidade de rotac;ao provocara uma soli-
citayffo de pot6ncia pe· = 15,45 kW. 
5. Considere-se as curvas caracteristicas da Fig. 9 .20 para os diversos 
frngulos de inclinayao das pas do rotor como representativas de varias 
bombas axiais com pas fixas. Designando como bomba I a que possui 
rotor cujas pas tern frngulo de inclinayiio p = 15° e como bomba II a 
que tern p = 21 °, propOe-se uma instalayilo de bombeamento em que 
as duas serao associadas em paralelo, sob uma altura de elevayilo 
manometrica de 3,0 m (altura de elevayilo da associai;,:ilo). Para a 
situayao proposta, com a instalayilo bombeando agua de massa 
especifica, p = 1000 kg/m3, pergunta-se: 
a) qual a vazilo recalcada pela bomba I CP = 15°)? 
b) qual a vazao recalcada pela bomba II CP = 21°)? 
c) com que rendimento total estara trabalhando a bomba I? 
d) com que rendimento total trabalhara a bomba II? 
e) qual a potencia consumida pela associayiio? 
t) qual o rendimento total da associac;ffo? 
Respostas: 
a) Q,= 5600 m'!h; 
d) ll111 = 80,6%; 
b) Qn = 7200 m'lh; 
e) P,A = 128 kW; 
c) llt1 = 83,2%; 
f) T\<A = 81,7%. 
6. Para uma instalayao de bombeamento, que deve recalcar agua com p 
= 1000 kg/m3, onde a vazao pode variar entre 480 e 490 m3/h e a 
altura mano1netrica e 20 m, fazer um estudo, sob o ponto de vista 
apenas da economia de energia, apontando qual ea melhor alternativa 
para suprir as necessidades do sistema proposto:· a associa93.o em 
paralelo de duas bombas centrifugas com rotor de simples admissao, 
diiimetro de 230 mm($ 230), girando a 1750 rpm, cujas curvas 
caracteristicas estao representadas na Fig. 9.18, ou a instalayiio de 
uma tinica bomba centrifuga, ·com rotor de dupla suci;,:ao (dupla 
282 Mdquinas de Fluido 
admissilo) e difunetro de 258 mm($ 258), que gira a 1770 rpm, cujas 
curvas encontram-se representadas na Fig. 10'.9". Dizer tambem qual 
das altemativas apresenta o mepor risco de cavitayi'io, justificando. 
Resposta: 
As altemativas propostas si'io equivalentes quanto ao consumo de 
energia, apresentando praticamente o mesmo rendimento, 111 = ?8.o/o, 
e, conseqilentemente, a mesma potencia para a alt_ura mano~et~ca 
proposta. A associac;ao em paralelo teria um menor nsco de cav1ta9_ao, 
uma vez que requer um NPSf\, := 4,0 m , menor do que o requendo 
pela bomba de dupla sucyiio cujo valor e NPSf\, = 5,4 m. 
11 
p ARTICULARIDADES NO FUNCIONAMENTO 
DE GERADORES DE FLUXO 
Sem a pretensao de esgotar o tema, o objetivo deste Capftulo 6 
alertar para algumas particularidades no funcionamento de m<'iquinas 
de fluxo geradoras, associadas ao tipo de curva caracterlstica ou a pro-
priedades do fluido de trabalho. 
Essas particularidades, nao levadas em considerar;ao, poderao oca-
sionar problemas, algumas vezes, de diffcil constatar;iio e solur;ao. Ou, 
como no caso dos turbocompressores, ao nfio se considerar o efeito da 
compressibilidade dos gases, conduzir a erros grosseiros de projeto. 
11.1 Instabilidade 
Conforme foi demonstrado no Capftulo 9, as curvas caracterfsticas 
<las maquinas de fluxo podem assumir formas diversas dependendo do 
tipo de rotor. 
Para rotores de geradores de fluxo radiais, uma das formas que a 
curva Y = f (Q) pode assumir e a ascendente/descendente, em que o 
valor do trabalho especffico (altura manometrica, para bombas, ou dife-
ren9a de pressao, para ventiladores) cresce a medida que a vazao dimi-
nui, ate atingir um m<lximo, decre~cendo a partir dai ate o ponto corres-
pondente a vazao nula. No trecho superior da curva, para um mesmo 
valor de Y (H, para bombas, ou .6.pt, para ventiladores), a vazao pode 
assumir dois valores diferentes. 
Na Fig. 11.1, encontra-se representada a curva caracterfstica de uma 
bomba centrifuga que possui a forma ascendente/descendente, incluin-
do o tra9ado para as vaz5es negativas, com a bomba funcionando como 
freio {pump as a energy dissipator). Este tra9ado para vaz6es negativas 
e obtido com base nos resultados de ensaios de laborat6rio, quando e 
aplicada na boca de descarga da bomba uma pressao maior do que ela 
284 Mciquinas de Fluido 
pode produzir, dando origem a uma reversao de fluxo com dissipa93.o de 
energia, uma vez que o motor de acionamento contin.ua operando com sen-
tido de rota9ao inalterado, diferentemente do funcionamento da bomba 
como turbina (pump operating as turbine), quando e interrompido 0 for-
necimento de energia ao motor de acionamento e o rotor passa a girar em 
sen ti do contra.no, gerando energia em vez de consumir. 0 tree ho 3-4 da 
curva para vaz5es positivas, e denominado de ramo inst3vel (unstable 
branch) da curva caracterfstica da bomba. 
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0 Q, 
Fig. I LI Instala~ii.o de bomba centrffuga sujeita ao fen6meno da instabilidade. 
Esta bomba transportara agua de um reservat6rio inferior (reserva-
t6rio de suc9ao), com nfvel constante, a