Máquinas de Fluido Henn 2ed

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MAQUINAS DE FLUIDO 
ERICO ANTONIO LOPES HENN 
MAQUINAS DE FLUIDO 
2• Eorc;Ao 
editoraufsm 
2006 
~--------·-~--
ERICO ANTONIO LoPES HENN 
MAQUINAS DE FLUIDO 
2• Eorc;Ao 
editoraufsm 
2006 
UNIVERSTDADEFEDERALDESANTAMARlA 
Reitor Clovis Silva Llma 
Vice-reitor Felipe Martins Miillcr 
DireZurda Edifora Honorio Rosa Nascimento 
Crm.,·dho Editorial Aleir Fontana De Paris 
A11dh.1·e e revi.1·iio de lexlo 
Edilorariio de texlo 
Ca pa 
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Daniela Lopes dos Santos 
Eduardo Furtado Flores 
Haroldo Dalla Costa 
Hon6rio Rosa Nascimento 
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Leris Salete B. Haefnner 
Odemir Paim Peres Junior 
Ronai Pires da Rocha 
Silvia Carneiro Lobato Paraense 
Mar1stela Blirger Rodrigues 
DR Publicidade 
Mllrcio de Oliveira Soriano 
H5 I 5m Henn, Erico Ant6nio Lopes 
Miiquinas de fluido I Erico Ant6nio Lopes Henn 
. - 2_ ed. - Santa Maria : Ed. da UFSM, 2006. 
474p.: ii. , 23 cm. 
l. Engenharia mecfinica 2. Miiquinas de fluido 
3. Miiquinas de fluxo 4_ Miiquinas de deslocamento 
positivo I. Titulo. 
ISBN 85-7391-075-5 
CDU 621.6 
Fi cha catalognifica elaborada por Maristela Eckhardt CRB-10/73 7 
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e-mail: editora@ctlab.ufsm br 
www.ufsm.br/ed1torn 
"Antes o desafio de uma juventude questionadora, 
que ainda sonha, do que a presen<;a resignada de 
}ovens que j6. nao sonham mais." 
A 
Nara, 
Leonardo, 
Rafael e 
Camila 
5 Semelhan9a e Grandezas Adimensionais ............................................. 95 
5.1 Milquinas de fluxo semelhantes ........................................................ 96 
5.2 Grandezas unitatias .................................... ~,': .................................. 100 
5.3 Velocidade de rota91io esp.ecffica ................................................... 108 
5.4 Coeficientes adimensionais ........................................................... 113 
lNDICE 5.5 Exercfcios resolvidos ..................................................................... 116 
5.6 Exercfcios propostos ...................... .............. . ........ 123 
6 Cavita9ao e Choque S6nico .................................................................. 127 
6.1 Defini9i'io de cavita9ao .............................. . .............................. 128 
Pref<icio ........................................................................................................ 11 
Sfmbolos adotados ........................................................................................ 13. 
Subfndices utilizados .................................................................................... 21 
Convers1io de unidades ................................................................................. 23 
1 Introdm;;ao ... . ...................................................................................... 25 
1.1 Definii;ilo de m<iquina de fluido ....................................................... 27 
1.2 Tipos principais ................................................................................ 28 
1.3 Campo de aplica9ao ......................................................................... 28 
1.4 Grandezas fundamentais: energia, vazao e potencia ......................... 33 
1.4.1 Energia ........................................................................................... 33 
1.4.2 Vazao ............................................................................................. 40 
1.4.3 Potencia ........................................................................................ 41 
2 M<'iquinas de Fluxo ................................................................................. 43 
6.2 Coeficiente de cavita9ao ................................................................. 133 
6.3 NPSH e altura de suc9ao mcixima ................................................. 135 
6.4 Choque s6nico ................................................................................ 143 
6.5 Limite s6nico ........................................................ . .............. 146 
6.6 Exercfcios resolvidos ......................................................... 150 
6.7 Exercicios propostos ...................................................................... 157 
7. Empuxos Axial e Radial ....................................................................... 161 
7 .1 Empuxo axial em rotores axiais ..................................................... 162 
7 .2 Empuxo axial em rotores radiais ........................................... .. 166 
7.3 Compensa9ao do empuxo axial em rotores radiais ........................ 169 
7.4 Empuxo radial .............................................................................. 174 
7.5 Exercfcios resolvidos ..................................................................... 177 
7 .6 Exercfcios propostos ..................................................................... 182 
8 Caracterfsticas de Funcionamento de Turbinas Hidraulicas ................. 185 
2.1 Elementos construtivos ..................................................................... 43 
2.2 Classifica9ao das maquinas de fluxo ................................................ 45 
2.2.1 Segundo a dire9ao da convers1io de energia .................................. 45 
2.2.2 Segundo a forma dos canais entre pas do rotor ............................. 48 
2.2.3 Segundo a trajet6ria do fluido no rotor .......................................... 49 
3 Equa91io Fundamental das Maquinas de Fluxo ...................................... 51 
8.1 Centrais hidreletricas ...................................................................... 186 
8.2 Golpe de arfete e regulagem das turbinas hidr<'iulicas ..................... 189 
8.3 Curvas caracterfsticas de turbinas hidrciulicas ................................ 192 
8.4 Exercfcios resolvidos ...................................................................... 208 
8.5 Exercfcios propostos ..................................................................... 213 
9 Caracterfsticas de Funcionamento de Geradores de Fluxo .................. 217 
3.1 Triiingulo de velocidades .................................................................. 51 
3.2 Equa9ao fundamental para niimero infinito de pas .......................... 60 
3.3 Fator de deficiencia de potencia ....................................................... 67 
3.4 Grau de rea91io te6rico ...................................................................... 68 
4 Perdas de Energia em Maquinas de Fluxo .............................................. 71 
4.1 Tipos de perdas ............................................................................... 72 
4.2 Potencias e rendimentos em maquinas de fluxo ............................... 78 
4.3 Grau de rea9ao real ........................................................................... 84 
4.4 Exercfcios resolvidos ........................................................................ 85 
4.5 Exercicios propostos ........................................................................ 92 
9. 1 Curva te6rica e curva real ............................................................... 217 
9 .2 Determina9ao do ponto de funcionamento ..................................... 226 
9.3 Tipos de curvas e fatores que as modificam ................................... 231 
9.4 Exercfcios resolvidos ...................................................................... 249 
9.5 Exercfcios propostos. ......................................................... . ... 259 
l 0 Associa91io de Geradores em Serie e em Paralelo ............................... 263 
10.1Tubula96es mistas e mUltiplas ...................................................... 264 
I 0.2 Associa91io de geradores em paralelo ........................................... 266 
I 0.3 Associmrao de geradores em serie ..................................... . ..... 268 
10.4 Exercfcios resolvidos ......................................................... . .... 272 
10.5 Exercicios propostos .................................................................... 279 
11 Particularidades no Funcionamento de Geradores de Fluxo ................. 283 
', 11.1 Instabilidade ............................................... , ................................ 283 
11.2 Funcionamento de gerador~s com curva caracteristica inst<ivel .. 286 
11.3 Influencia da viscosidade do fluido em bombas ........................... 289 
11.4 Efeito da compressibilidade nos turbocompressores .................... 294 
12 C<ilculo de Rotores Radiais .................................................................. 301 
12. l Influencia da fonna da pa ............................................................. 301 
12.2 Modificm;ao dos tri3.ngulos de velocidades em uma m<iquina real ... 312 
12.2.1 Influencia do nllmero finito de pas ............................................ 312 
12.2.2 Influencia da espessura das plis ................................................. 321 
12.3 Roteiro para c<ilculo de um rotor radial ........................................ 325 
13 C<ilculo de Rotores Axiais .................................................................... 347 
13.1 Fundamentos da teoria aerodin§.mica ........................................... 347 
13.2 Modelos de escoamento utilizados no projeto de rotores axiais .. 361 
13.3 Escoamento atraves de uma grade ................................................ 367 
13.4 Aplicar;iio da teoria aerodin§.mica as m<iquinas axiais .................. 371 
13.5 Roteiro para c<ilculo de um rotor axial ......................................... 377 
14 M<iquinas de Deslocamento Positivo .................................................... 401 
14.1 Bombas de deslocamento positivo .............................................. 402 
14.1.1 Bombas de embolo OU pistfio .................................................... 403 
14.1.1.1 Cavitar;ao nas bombas alternativas de pistao ....................... 409 
14.1.2 Bombas de diafragma .............................................................. 413 
14.1.3 Bambas de engrenagens ............................................................ 414 
14.l.4 Bambas de parafuso .......................................................... , ....... 419 
14.1.5 Bombas de l6bulos ................................................................... 422 
14.1.6 Bombas de palhetas ............................................................. 425 
14.2 Curvas caracteristicas de bombas de deslocamento positivo ...... 426 
14.3 Compressores de deslocamento positivo ...................................... 433 
14.3.l Compressores de embolo OU pistao ......................................... 433 
14.3.2 Cotnpressores de diafragma ou membrana ........................... 442 
14.3.3 Compressores de palhetas ....................................................... 443 
14.3.4 Compressores de parafuso ....................................................... 446 
14.3.5 Compressores de 16bulos (Roots) .............................................. 448 
14.3.6 Compressores de anel lfquido ................................................... 449 
14.4 Exercfcios resolvidos .................................................................... 451 
14.5 Exercfcios propostos .................................................................... 458 
indice remissivo .......................................................................................... 463 
Bibliografia ................................................................................................. 471 
_ __j 
PREFACIO 
Este livro apresenta o texto b3sico da disciplina M3quinas de Fluido 
ministrada pelo au tor aos alunos dos cursos de gradua9ao em Engenharia 
Mec&nica e Engenharia Qulmica da Universidade Federal de Santa Maria. 
0 contelldo desta publica9ao, como o pr6prio programa da disci-
plina, busca fornecer os principios da teoria cl3.ssica sabre este tipo de 
mri.quina e, dentro de um enfoque did<itico, facilitar o uso destes 
conhecimentos na pr3.tica do dia-a-dia do futuro profissional de 
engenharia. Com este objetivo, foram inclufdos exemplos de aplicai;ao 
no final de varios capltulos, com a utilizar;ao de tabelas e curvas de 
funcionamento fomecidas por fabricantes. Normalmente seni utilizado 
o Sistema Internacional de Unidades, oficial no Brasil desde 1962, 
fazendo-se, em algumas situa95es, a sua correla9ao com outros sistemas 
de unidades freqiientemente encontrados nas publica95es recnicas. 
Na abordagem dos principais tipos de M<iquinas de Fluido, as 
M3.quinas de Fluxo e as M3.quinas de Deslocamento Positivo, a enfase 
e para as Miiquinas de Fluxo, particularmente para as que trabalham 
com fluidos em escoamento incompressivel, onde o autor se ap6ia na 
experi@ncia de viirios anos como professor, projetista e consultor de 
empresas. 
0 capftulo sabre as Miquinas de Deslocamento Positivo toma-se 
indispensiivel principalmente quando se procura subsidiar o processo 
de selei;ao do tipo mais adequado de miiquina a ser empregado num 
sistema fluido-mec&nico. Embora a predomin&ncia das M<lquinas de 
Fluxo no transporte de fluidos, por exemplo, existem situa95es em que 
a melhor solui;ao recai sobre uma M:iquina de Deslocamento Positivo. 
Saber discernir sobre a aplica9ao de um tipo ou outro e pre-requisito 
exigido tanto para um engenheiro mec§.nico como para um engenheiro 
qufmico. Por outro lado, o compromisso com o desenvolvimento 
tecnol6gico do pals toma imprescindivel a formai;ao de um profissional 
12 Mdquinas de Fluido 
nao s6 capaz de usar corretamente m3.quinas jii existentes, 1nas tambem 
apto a utilizar o meto<lo cientffico para o proje~ de novos equipamentos. 
A presen9a de capftulos que fomecem uma primeira orientai;ao para 
o projeto de rotores de miiquinas de fluxo e as freqtientes cita96es 
bibliogriificas durante o texto procuram motivar o aluno para um apro-
funda1nento sobre o assunto, nffo se restrinjindo ao contelldo abordado 
em sala de aula ou as p3.ginas de uma apostila. A coloca9ao entre 
parCnteses do significado em ingl@s dos principais termos tecnicos utili-
zados te1n a pretensao de facilitar o acesso do estudante as publica95es 
internacionais e indicar a importancia, cada vez maior, para um profi.s-
sional da :irea de engenharia, do conhecimento de uma lingua univer-
sahnente utilizada para o intercimbio tecnico-cientffico. 
A simbologia e as conveni;Oes utilizadas neste livro sao as intro-
duzidas por Bran & Souza, 1 precursores, no Brasil, do tratamento 
conjunto <las M:iquinas de Fluxo em uma Unica disciplina. 
Ao submeter a presente obra a aprecia9ao de professores, alunos, e 
profissionais que venham a trabalhar sobre o tema, o autor espera a 
contribui-;ffo critica que possa levar ao seu aperfei-;oamento. 
Registre-se, aqui, o reconhecimento do autor aos professores: Ennio 
Cruz da Costa, da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Lucio 
Renn6 Salomon e Zulcy de Souza, da Escola Federal de Engenharia de 
ltajub:i, com quern teve a honra de conviver e que despertaram seu 
interesse por esta area academica, pelo conhecimento, entusiasmo e 
dedica93.o; aos colegas do Centro de Tecnologia da UFSM e aos seus 
ex-alunos, pela convivencia amiga e motivadora, ea Editora da UFSM, 
por tomar passive! a editora9ao desta obra. 
' BRAN, R. & SOUZA, Z. de .. Mriquinas dejluxo. 
. 
SfMBOLOS ADOTADOS 
Na lista apresentada a seguir alguns simbolos representam mais de 
u1na grandeza. Neste caso, o significadoespecffico e esclarecido no local 
onde figuram no texto. 
A iirea. 
a grau de abertura do sistema diretor de uma turbina hidr<lulica 
ou fator de redu9ao da velocidade do vento em turbinas e6licas. 
b largura do rotor ou envergadura do perfil aerodinfimico. 
Ca coeficiente de arrasto de um perfil aerodinfimico. 
CH coeficiente de corre9ao da altura de eleva9ao devido a visco-
sidade do tluido. 
c 
c 
m 
calor especifico a pressiio constante do tluido de trabalho. 
coeficiente de sustenta9ao de um perfil aerodinfimico. 
calor especifico a volume constante do fluido de trabalho. 
coeficiente de correyao de rendimento devido a viscosidade 
do fluido. 
velocidade absoluta da corrente fluida. 
componente meridiana da velocidade absoluta da cor-
rente fluida. 
velocidade de propaga9ao do som no meio considerado. 
componente tangencial da velocidade absoluta da cor-
rente fluida. 
velocidade absoluta da corrente nao perturbada. 
vetor velocidade absoluta da origem do sistema de coor-
denadas relativo. 
difimetro do rotor, difunetro do pistiio ou difrmetro da tubulayao. 
difimetro exterior das nervuras de compensayao do empuxo 
axial. 
14 
d 
e 
e, 
F 
F 
,, 
F 
' f 
f, 
G 
g 
H 
h 
i' 
]' 
Mdquinas de Fluido 
derivada, diferencial ou difimetro da haste do pistao de 
m3quina altemativa. 
difrmetro do eixo . 
di3.metro do jato de' uma turbina Pelton. 
distfincia entre centros ou excentricidade. 
energia perdida por fugas. 
energia especifica referente as perdas hidraulicas. 
perdas de energia por choque. 
espessura da pa ou fator de engrossamento de um perfil 
aerodinimico. 
espessura da pa medida na direyao tangencial. 
forya. 
forya de arrasto ou empuxo axial. 
forya de sustentas;ao. 
coeficiente de atrito, freqtiencia de m<iquina el6trica ou flecha. 
fator de estrangulamento. 
peso. 
acelerayao da gravidade. 
altura de elevayao de m<'iquinas geradoras ou altura de queda 
de m<'iquinas motoras. 
altura ou energia especifica de acelera98.o. 
desnivel geometrico entre dois pontos. 
altura nominal. 
perda de carga em metros de coluna de fluido. 
perda de carga no recalque. 
perda de carga na sucyao. 
altura de sucyao geometrica. 
altura de sucyao geometrica maxima. 
perda de carga na vrilvula de sucyao de m<iquinas de deslo-
camento altemativas. 
entalpia do fluido. 
nllmero de est<igios de uma m<lquina de fluido ou nllmero 
de parafusos movidos de uma mriquina de deslocamento 
positivo de parafuso. 
vetor unitririo do sistema relativo correspondente ao eixo x'. 
vetor unitirio do sistema relativo correspondente ao eixo y'. 
Sf1nholos Adotados 15 
K 
k 
k' 
L 
m 
mf 
ril, 
N 
NP!PA 
NPIPR 
NPSH, 
NPSH, 
n 
n, 
n,, 
n, 
n 
' 
coeficiente adimensional, constante ou caracterfstica de uma 
canaliza~ao. 
escala de velocidades. 
escala din3.mica. . 
escala geom6trica ou fator de escala. 
coeficiente de corre~ao para o calculo do nlimero de pas. 
coeficiente de corre<;;3.o de Pfleiderer para o c<ilculo do fator 
de deficiencia de potencia. 
expoente adiab<itico ou isentr6pico. 
vetor unit<irio do sistema relative correspondente ao eixo z'. 
comprimento de canalizai;;ao, comprimento da corda de perfil 
aerodinfunico ou curso dos pist6es de m<iquinas altemativas. 
torque ou momenta. 
nUmero de Mach. 
torque ou momenta intercambiado entre fluido e rotor 
suposto com ntimero infinite de pas. 
tluxo missico de um fluido. 
tluxo m:lssico que foge atraves das folgas. 
fluxo m:lssico que passa atraves do rotor. 
nUmero de pas do rotor. 
pressao disponivel na admissao da bomba. 
pressao requerida na admissao da bomba. 
saldo positivo de altura de suc98.o requerido pela bomba. 
saldo positivo de altura de suc9ao disponivel na instala98.o. 
velocidade de rota9ao, freqiiencia do movimento completo 
do pistao em m:lquina alternativa ou expoente da 
co1npressao politr6pica. 
velocidade de rota9ao unit<iria. 
velocidade de rota9ao biunitaria. 
velocidade de rota9ao especifica no sistema tecnico de 
unidades referida a vazao. 
coeficiente de forma ou velocidade de rota9ao especifica 
no sistema internacional de unidades. 
velocidade de rota9ao especffica no sistema tecnico de uni-
dades referida a potencia ou velocidade de rota9ao es-
pecifica no sistema ingles de unidades. 
16 
pp(•= 
p 
Q 
Q, 
Q,, 
Q, 
Q,, 
Q, 
Q,, 
q 
R 
R 
potencia disponivel. 
potencia perdida por atrito de disco.: 
potencia no eixo da maquina . 
potencia no eixo unitfuia. 
potencia no eixo biunitfuia. 
Mdquinas de Fluido 
potencia intercambiada no rotor suposto com nUmero finito 
de pas. 
pot6ncia intercambiada no rotor suposto com ntimero infinito 
de pas. 
pressao. 
pressao atmosferica. 
press3.o de estagna98.o. 
pressiio de referencia do liquido ou pressao no recalque. 
pressao de vaporiza9ao do liquido na temperatura de escoa-
mento. 
vazao de um fluido. 
vazao unitaria. 
vazao biunit<iria. 
vaz:ao correspondente as fugas atraves das folgas. 
vazao nominal. 
vazao que passa atraves do rotor. 
perda de vazao recalcada em fun9iio da vaporiza93.o do liquido 
na regiiio de admissfio de uma bomba de deslocamento 
positivo. 
quantidade de calor por unidade de massa. 
constante universal dos gases. 
vetor posi93o de uma partlcula fluida com rela9iio ao sistema 
absoluto. 
vetor posi9ao da origem do siste1na relativo com rela9ao 
ao sistema absoluto. 
raio de curvatura da pa. 
ntimero de Reynolds. 
raio de um ponto generico do rotor. 
vetor posi9ao de uma particula fluida com rela9ao ao sistema 
relativo. 
raio exterior do rotor. 
Sfmbolos Adotados 17 
r 
' s 
s, 
T 
t 
t, 
u 
v 
v 
" 
v 
w 
w 
"' w~ 
x 
y 
ydLD 
Yest 
Y, 
y 
'" 
Yp,ooo 
y 
raio interior ou raio do cubo do rotor. 
momento estatico da se9ao meridian3 do canal em rela9ao 
ao eixo do rotor. -
momento estatico do "'filete medio da corrente com rela9ao 
ao eixo de rota9ao. 
coeficiente de suc9ao. 
entropia do fluido ou largura da cfimara de compensa9ao 
do empuxo axial. 
temperatura absoluta em Kelvin. 
temperatura, tempo, passo, ou largura das nervuras colocadas 
no dorso do rotor. 
tempo de fechamento do 6rgao obturador de uma turbina 
hidr<iulica. 
velocidade tangencial de um ponto do rotor ou energia interna 
do fluido por unidade de massa. 
volume. 
volume de gas aspirado por um compressor. 
volume caracterfstico deslocado em m<iquina de desloca-
mento positivo. 
volume especffico do fluido. 
velocidade relativa da corrente fluida. 
componente meridiana da velocidade relativa. 
velocidade relativa da corrente nao perturbada. 
abcissa cartesiana. 
salto energ€tico ou trabalho especlfico disponfvel, representa 
a energia por unidade de massa que o fluido recebe da 
in<iquina, no caso de maquina geradora, ou que entrega a 
m<iquina, no caso de m<iquina motora. 
energia especffica de pressao dinfunica ou de velocidade. 
energia especffica de pressao estiitica. 
trabalho especffico interno da m8.quina. 
energia ou trabalho especffico intercambiado no rotor suposto 
com nllmero finito de pas. 
energia ou trabalho especffico intercambiado no rotor suposto 
com nUmero infinito de p8.s. 
ordenada cartesiana. 
I_ 
18 
z 
d 
a (alfa) 
~ (beta) 
r (gama) 
y (gama) 
LI (delta) 
LIH 
Lip 
espessura maxima do perfil aerodinfirnico. 
fator de compressibilidade de um ~s. 
cota de um ponto qualquer. 
Mdquinas de Fluido 
ilngulo de ataque cte um perfil aerodinfunico ou sfmbolo 
de derivada parcial. 
fu1gulo que formam os sentidos positivos de ii e C ou fu1-
gulo de inclina9ao das pis do sistema diretor de uma m3.qui-
na de fluxo. 
ilngulo que forma o sentido positivo de W com o negativo 
de ii OU fingulo de inclina91'io das p8.S do rotor. 
circula9ao ou intensidade de v6rtice. 
peso especffico do fluido oudo material s61ido. 
diferen9a finita. 
sobrepressao provocada pelo golpe de ariete, em coluna liquida. 
diferen9a de pressao. 
diferen9a de pressao dinfimica entre a admissao e a descarga 
de u1n ventilador. 
Apcsi diferen9a de pressao est<i.tica entre a adrnissao e a descarga 
de um ventilador. 
Ap, depressao suplementar. 
.6.p
1 
diferen9a de pressao total produzida pelo ventilador. 
8 (delta) iingulo de constru91io das pis do rotor. 
e (epsilon) fingulo de deslizamento de um perfil aerodinfimico ou coefi-
ciente de espa90 nocivo de um compressor alternative. 
TJ (eta) 
Tl, 
llest 
Tl, 
Tl, 
Tim 
Tl, 
Tl, 
Tl, 
8 (teta) 
rendimento. 
rendimento de atrito de disco. 
rendimento estatico de um ventilador. 
rendimento hidr<iulico. 
rendimento interno. 
rendimento mecfu1ico. 
rendimento do perfil aerodinfimico. 
rendimento total. 
rendimento volumetrico. 
3.ngulo de giro de um ponto do rotor ou da manivela de 
m<iquina alternativa. 
Sfmbolos Adotados 19 
A (lambda) coeficiente empfrico ou relai;ao de velocidade perif6rica de 
turbina e6lica. 
µ(mi) 
v (ni) 
p (r6) 
Prcal 
P, 
a (sigma) 
'tadm 
<!> (fi) 
'I' (psi) 
fator de deficiencia de, potencia ou coeficiente de viscosida-
de absoluta. 
coeficiente de viscosidade cinem<itica. 
massa especffica do fluido. 
grau de reai;ao real. 
grau de reai;ao te6rico. 
coeficiente de cavitai;;ao. 
valor critico do coeficiente ae cavitai;;ao. 
tensao de ruptura do material. 
tensao de cisalhamento. 
tensao admissfvel de cisalhamento. 
coeficiente de vazao da m<iquina de fluxo. 
coeficiente de pressao da m<iquina de fluxo. 
CD (Omega) velocidade angular de rotai;;ao do rotor. 
CD' velocidade angular do fluido pela ai;;ao de nervuras no dorso 
do rotor. 
l 
SusfNorcEs UTrLrzAoos 
A rela~ao a seguir apresenta o significado dos Indices inferiores 
(sublndices) que sao utilizados com maior freqilencia durante o texto. 
Outros, de uso mais restrito, terao o seu significado esclarecido quando 
forem empregados para caracterizar uma determinada grandeza. 
2 
3 
4 
5 
6 
corresponde a ponto na corrente fluida situado na entrada do 
sistema diretor de m:iquina de fluxo ou indica grandeza unitfilia. 
corresponde a ponto na corrente fluida situado na saida do sistema 
diretor de 1n8-quina de fluxo. 
corresponde a ponto na corrente de entrada nfio perturbada 
(regularizada), situado imediatamente antes da entrada do rotor 
de maquina de fluxo. 
corresponde a ponto na entrada do rotor de m<iquina de fluxo, ja 
no espai;o entre as pas girat6rias. 
corresponde a ponto na saida do rotor da mJ.quina de fluxo, ainda 
no espayo entre as pas girat6rias. 
corresponde a ponto na corrente de saida jU regularizada, situado 
imediatamente ap6s a saida do canal do rotor de m<iquina de 
fluxo. 
11 indica grandeza biunit<iria. 
a corresponde a ponto situado na admissiio de uma mJ.quina de 
fluido, indica direyao axial ou refere-se a rendimento por atrito 
de disco. 
atm refere-se a pressao atmosferica. 
d corresponde a ponto situado na descarga de uma mJ.quina de 
fluido. 
din refere-se 3. pressiio dinJ.mica OU de velocidade. 
e corresponde a ponto situado no difunetro exterior do rotor ou 
refere-se ao eixo da mJ..quina. 
22 
est 
F 
G 
J 
M 
m 
n 
p 
pa 
r 
s 
u 
v 
Mllquinas de Fluido 
refere-se a pressao estJ..tica. 
refere-se ao ponto de funcionamento 4a m<iquina de fluido. 
refere-se a desnivel geom6trico. 
corresponde a ponto siillado no difunetro interior ou diJ.metro do 
cubo do rotor ou indica valor intemo da mliquina. 
corresponde ao nivel de jusante da instalayao hidr<iulica. 
corresponde ao nivel de montante da instalayao hidr<iulica. 
refere-se a m<iquina modelo, rendimento mec3.nico ou a 
componente meridiana de velocidade. 
indica valores nominais ou de projeto da mJ.quina. 
refere-se a_ m<iquina prot6tipo OU 3. energia perdida. 
indica grandeza correspondente as p<is do rotor de m<iquina de 
fluxo. 
indica direyao radial ou grandeza referente ao recalque da 
mliquina. 
indica transformas;ao isentr6pica, grandeza referente a sucs;ao 
da mJ..quina OU refere-se a_ velocidade do SOffi. 
refere-se a dires;ao tangencial ou a valor total. 
indica componente tangencial de velocidade. 
indica rendimento volumetrico, pressao de vaporizas;ao ou re-
fere-se a tluido viscoso. 
corresponde a ponto situado na corrente fluida niio pertur-
bada ou refere-se a rotor de m<iquina de fluxo com nllmero 
infinito de pas. 
, 
CONVERSAO DE UNIDADES 
UNIDAllES DE CoMPRTh1ENTO: 
l in (polegada) = 0,0254 m; 
I ft (pe) = 12 in = 0,3048 m; 
l mile (milha) = 1609,3 m; 
UNIDADES DE VELOCIDADE E ROTA~Ao: 
I fpm (ft/min)= 0,016667 ft/s = 0,00508 mis; 
l mph (milha/hora) = 1,609 km/h= 0,447 mis; 
I rps= l Hz=60rpm. 
UNIDADES DE PREssAo: 
l bar= 0,1 MPa; 
l kgf/cm' = 98, l kPa; 
I mmCA = l kgf/m' = 9,81 Pa; 
l torr= l mmHg = 133,32 Pa; 
l psi (lbf/in') = 0,0703 kgf/cm' = 6,895 kPa; 
UNIDADES DEV AZA.O: 
I m3/h = 0,27778 l/s = 2,7778. 10 -; m3/s; 
l gpm (galiio/min) = 0,227 m3/h = 6,309. 10-' m3/s; 
l cfm (ft3/min) = 1,698 m'ih = 4,717. 10- 3 m3/s; 
UNIDADES DE ENERGIA E ENERGIA EsPECfFICA: 
l kcal= 4,1868 kJ; 
l kWh= 3,6 MJ; 
l kgf.m = 427 kcal= 9,81 J 
l Btu= 0,252 kcal= 1,05506 kJ; 
l kcal/kg= 4,1868 kJ/kg; 
l Btu/lbm = 0,556 kcal/kg = 2,325 kJ/kg; 
24 
UNIDADES DE POTitNCIA: 
l CV= 75 kgf.mls = 632,44 kcal/b = 0,7355 kW; 
I HP= 2545 Btu/h = 641,62 kcal/h = 0,7457 kW; 
UNIDADES DE MASSA E PESO EsPECiFICOS: 
l lbmlft3 = 0,03108 slug/ft' =16,018 kg/m3; 
l lbf/ft' (pound/ft')= 16,02 kgf/m3 = 157,16 N/m3 
UNIDADES DE VISCOSIDADE: 
l cSt (centistoke) = 10-6 m2/s; 
l ft'/s = 92903 cSt; 
1 cP (centipoise) = 10-3 Pa.s; 
UNIDADES DE TEMPERATURA: 
K=°C + 273,15 
° F = 915 ° C + 32 
Mdquinas de Fluidu 
I 
I 
i 
1 
INTRODU<;:Ao 
De~de as mais remotas eras, o conhecimento sobre a energia contida 
n~s flu1dos e a sua utiliza9ffo econ6mica tern sido um dos fatores 
pru~o.rdiais para o desenvol vimento da humanidade. Grand es sistemas 
de 1rngai;ao ~a eram utilizados na Mesopotamia, cerca de 3000 a.C., 
e?q~an~o ant1gos povos, como os egipcios e os gregos, usavam rodas 
h1drauhcas para moer grffos de cereais. Ao cientista egfpcio Heron de 
Alexandria, que viveu provavelmente durante o seculo II a.C., e atribufdo 
o desenvolvi1nento de varios equipamentos precursores das modernas 
m~quinas de fluido. Entre eles, um 6rgao musical, com soprador a pistiio 
ac1onad~ por um moinho de vento (Fig. 1.1), e um aparelho que pode 
ser cons1derado como a primeira versffo de uma turbina a vapor. Um 
pequeno globo de metal girava a partir da reac;ao ao escapamento de 
vapor d'8-gua por dois canos orientados em sentidos opostos situados na 
Fig. l. l Utilizm;;fio de mliquinas de fluido na antiguidade: dispositivo desenvolvido 
por Heron de Alexandria para acionar um 6rgao musical. (Fonte: Revue 
Technique Sulzer) 
26 Mtiquinas de Fluido 
Fig. 1.2 Turbina a vapor desenvolvida por Heron de Alexandria. (Fonte: Enciclopedia 
Delta Universal) 
sua periferia (Fig. 1.2). 0 vapor chegava ao interior do globo, atraves de 
suportes ocos, procedente de uma caldeira a vapor situada na parte inferior. 
E, no entanto, a partir do seculo XIX que as m:lquinas de fluido 
passaram a ter um maior desenvolvimento, com a utilizac;fio de 
conhecimentos aprofundados em termodin8mica e aerodinfunica, com 
o surgimento de novos materiais e, modernamente, com o uso de recurses 
computacionais cada vez mais sofisticados. 
As turbinas a gas, por exemplo, cujas primeiras constru96es 
remontam ao seculo XVII, tiveram o seu maior desenvolvimento durante 
a Segunda Guerra Mundial, com a utilizac;ao na propulsao de avi6es e 
na gera9fio de energia eletrica. Mesmo a energia e6lica, j8- utilizada 
para acionar os moinhosde vento do seculo X, no Oriente Medio, passa 
a ser uma modema altemativa energetica com a constm9ao de turbinas 
e6licas com potencia unitaria acima de 2 MW. 
Hoje, as m:lquinas de fluido sao utilizadas no transporte de lfquidos, 
gases e s6lidos, na gerac;ao e na acumulac;iio de energia, e.em processos 
qufmicos que demandam elevadas press5es, como a compressiio do gas 
de etileno para a fabrica9iio de polietileno, em compressores de 6mbolo 
que alcanc;am press5es da ordem de 350 MPa (3500 bar). 
A simulac;ao numerica de m<iquinas de fluido por computador (Fig. 
1.3) tern alcanc;ado um alto nfvel de desenvolvimento e possibilitado 
nfio s6 a visualizac;lio de fluxes complexos, mas tambem a elaborac;lio 
de programas de c<ilculo que permitem projetar novos tipos de maquinas 
a partir de um banco de dados conhecido, prever seu comportamento 
por meio de ensaios simulados e chegar a construc;lio de prot6tipos por 
meio de m<iquinas de produc;ao com comando numerico. 
lntrodurJo 27 
Fig. 1.3 Simulai;ao de fluxo tridimensional atraves de uma turbina hidr'1ulica do tipo 
Francis (Fonte: Sulzer Technical Review). 
Neste livro, mais do que o tratamento hist6rico ou individual dos 
diferentes tipos de miiquinas de fluido, sera adotado 0 m6todo generali-
zado. Pois, embora seja not6rio que muitas destas miiquinas evoluiram 
empiricamente e conseguiram desempenho altamente satisfat6rio com um 
minimo de entendimento analitico, nao 6 menos verdade que a analise <las 
operac;f>es bisicas e um profundo conhecimento dos principios comuns que 
regem o seu funcionamento sao necessarios para uma melhor performa.Ilce 
e, certamente, teriam economizado uma grande quantidade de tempo, es-
fo~o e recursos financeiros se estivessem presentes desde o inicio. 
Com este objetivo, neste capitulo serii caracterizad;:i a maquina objeto 
de estudo; os seus principais tipos, com os respectivos campos de aplica-
, c;fio; os fundamentos cientificos biisicos para a sua construc;fio e entendi-
mento do seu funcionamento. Isto porque, embora toda a sofistica9ao dos 
m6todos computacionais hoje disponiveis, estes conceitos biisicos tem-se 
mantido validos ao longo do tempo e pennitem uma abordagem didiitica e 
simplificada dos diferentes tipos de m<iquinas de fluido. 
1.1 Defini«.;Bo de m3quina de fluido 
M3quina de fluido (fluid machinery) 6 o equipamento que promo-
ve a troca de energia entre um sistema meciinico e um fluido, transfor-
mando energia mecanica em energia de fluido ou energia de fluido em 
energia mecftnica. No primeiro caso, em que h<i o aumento do nfvel 
energ6tico de um fluido a partir do fornecimento de energia meciinica, 
por analogia com o gerador el6trico, apenas substituindo energia el6tri-
28 Mdquinus de Fluido 
ca por energia de fluido, costuma-se designar a miiquina de m3quina 
de fluido geradora. No segundo caso, em qu~ energia meciinica e pro-
duzida a partir da redui;ao do nivel energ6tico de um fluido, pela analo-
gia com o motor el6trico, a m<ie!j_uina e usualmente chamada de m3qui-
na de fluido motora. 
1.2 Tipos principais 
As m<'iquinas de fluido sao normalmente subdivididas em dois ti-
pos principais: as m3quinas de deslocamento positivo (positive 
displacement machines) e as m3quinas de fluxo (turbomachines). 
No primeiro tipo, tamb6m chamado de estatico, uma quantidade fixa 
de tluido de trabalho e confinado durante sua passagem atraves da maquina 
e submetido a trocas de pressao em razao da variac;ao no volume do recipi-
ente em que se encontra contido, isto e, o fluido e obrigado a mudar o seu 
estado energ6tico pelo deslocamento de uma fronteira em movimento. 
Nas m<iquinas de fluxo, as vezes denominadas de rn3quinas dinfr-
micas, o fluido nfio se encontra em momenta algum confinado e sim 
num fluxo continua atrav6s da m3quina, submetido a trocas de energia 
devido a efeitos diniimicos. 
Desconsiderando-se a troca de calor com o meio ambiente e possi-
veis folgas entre as partes fixas e m6veis, quando uma m<iquina de des-
locamento positivo pfila de funcionar, o fluido de trabalho no seu interi-
or permanecer3, indefinidamente, no estado em que se encontrava no 
momento em que o movimento cessou e este podera ser completamente 
diferente das condi96es do ambiente externo. Namesma situai;ao, o fluido 
de trabalho de uma m3quina de fluxo assumir3, imediatamente, as con-
di96es ambientais, quando ela deixar de operar. 
As m3quinas rotativas (rotary machines), como a bomba de en-
grenagens, e as m3quinas alternativas (reciprocating machines), como 
o compressor de pistao, silo exemplos tfpicos de m3quinas de desloca-
mento positivo, enquanto as turbinas hidr<iulicas e os ventiladores cen-
trifugos podem ser citados como exemplos de mii.quinas de fluxo. 
1.3 Campo de aplica-;3.o 
0 campo de aplica«.;Bo (application range) dos diferentes tipos de 
m<iquinas de fluido e tao amplo e sujeito a regi6es de superposi<;t'io, que, 
muitas vezes, torna-se dificil definir qual a melhor m<iquina para de-
lntrodur;iio 29 
terminada aplicar;,:ao, por exemplo, no caso de bombas (pumps) e com-
pressores (compressors), deve-se definir Se a melhor soJur;,:ao e 0 emprego 
de uma maquina de deslocamento positivo OU de uina maquina de fluxo. Ou, 
mesmo para um ti po de maquina ~ fluxo, por exemplo, as turbinas hidniuli-
cas, deve-se definir qua) delas atende melhor as caracterfsticas de um deter-
minado aproveitamento hidreletrico. No entanto, existem situa<;6es em que a 
supremacia de um ti po de maquina sabre 0 outro e tao evidente que a sele-
r;,:ao pode ser feitaja nas etapas iniciais de um projeto. 
Tomando-se para analise o caso dos compressores, normalmente 
caracterizados pela vazao de gas aspirado e pela pressao na descarga, 
pode-se constatar (Fig. 1 A) o domfnio absoluto dos compressores cen-
trffugos e axiais (maquinas de fluxo) para regioes de grandes vazoes, prin-
cipal mente em situar;,:oes, como nos motores de aviao, em que a relar;:ao 
requerida entre a potencia de propulsao e o peso da m:iquina seja a mai-
or possfvel e que apresente um formate favoravel do ponto de vista aero-
dinamico. Entretanto, na gama das pequenas e medias vazoes e elevadas 
relar;:oes de pressao entre descarga e admissao, os compressores alter-
nativos de embolo ou pistao mantem o seu predomfnio, com avanr;:os 
tecnologicos significativos e um con sumo energetico favoravel. No entan-
to, eles tern cedido espar;,:o para os compressores de palhetas e de parafu-
so para as situar;,:oes de medias vazoes e pressoes nao tao elevadas. 
Na Fig. 1.4, procura-se mostrar a distinc;;ao entre os termos ventila-
dor (fan) e compressor (compressor) para denominar maquinas que tra-
balham com gas. Num ventilador, a alterar;,:ao na densidade entre a admis-
~ao ea descarga da maquina e tao pequena que 0 gas pode ser considera-
do como um fluido incompresslvel (diferenc;;as de pressao ate 10 kPa ou 
1000 mmCA), enquanto num compressor, a altera\:ifo de densidade e sig-
nificati va, nao podendo ser desconsiderada. Para uma faixa de"diferenr;,:a 
de pressao entre a descarga ea admissao da maquina da ordem de 10 a 
300 kPa ( 1000 a 30000 mmCA), tambem e usual a denomina~ao de 
soprador (blower). 
Para o caso das maquinas de fluido geradoras que trabalham com 
If qui dos, denominadas de bombas (Fig. 1.5), a situar;,:ao e semelhante a 
dos compressores, havendo 0 predomfnio das maquinas de fluxo (bom-
bas centrffugas, bombas de fluxo misto e bombas axiais) para a regiao 
de medias e grandes vazoes, enquanto as bomb as altemativas e rotati vas 
(maquinas de deslocamento positivo) dominam a faixa de medias e gran-
des alturas de eleva<;:ao e pequenas vazoes. Como existem areas de 
L 
30 
. 
' 
Mtiquinas de Fluido 
~p (mmCA) ~p (kPa) 
10 7 
10 6 . 
10 5 -
10 
1 
1 
--~--- ~ - ------- r -------~--- -- --- -------,-- ------r-------
' ' ' -----. 't 1 I : 
Compressor Atiernativo : 
' ' 
' ' ' -~-~- - ------ ~ ----- -- ~---
' ' 
Co pressor 
--ce trifugo -
' .-~· ---r---i... 
: Compres~or 
: de paraft).so 
Comp es~or de p~lhetas 
Ventil dor 
------~- -----~---
' ' 
Certtri ugo ' 
' -- ----- - ~-- -----
Vent1lador Axial 
104 
10 104 10 6 Q(m3/h) 
Fig. l .4 Campo de aplicac;ao de ventiladores e compressores. 
!111rod11rao 
Hem 
. 
' 
105 ---- ---1---- ---~ ---- ----r- ---- --1 ------ --. 
104 
103 
102 
10 
1 
I 1 I 
' 
' 
' ' ' 
-- --r--- ----, -- -----, 
' 
' 
...._ __ ......... __ - - - - -: 
' ' ' I I I 
' Bo 1bas Gentrifugas : 
I 
I 
Bombas: axiais 
I 
I 
' 
' 
31 
I 10 102 103 104 105 Q(m3/h) 
Fig. 1.5 Campo <le aplicac;ao de bombas. 
superposii;ao entre os campos de aplicai;ao dos dilerentes tipos de bom-
bas, outros critfaios, como viscosidade do Lfquido bornbeado, presenc;:a 
de s6lidos em suspensao, variac;:ao ou nao da vazao em func;:ao da vari a-
i;ao da resistencia do sistema ao escoa.mento. facilidade de manutenc;:ao, 
custos, etc., devem ser levados em considerac;:ao para a selec;:ao da ma-
quina mais adequada para um determinado tipo de aplicac;:ao. 
Ja a F ig. L.6, apresenta o campo de aplicac;:ao dos ptincipais tipos 
de turbinas hidraulicas (maquinas de fl.uxo motoras), levando em con-
siderac;:ao a altura de queda, a vazao e a potencia. Embora fique eviden-
ciado a existencia de regioes em que prepondera um determinado tipo 
de maquina, por exemplo. turbina Kaplan, para grandes vazoes e peque-
nas alturas de queda, e, turbiua Pelton, para as maiores alturas de queda, 
existem faixas de altura de queda e vazao em que mais de um tipo de 
H(m) 
1800 
200 
60 
10 
3 
1 
0,01 
M<iquinas de Fluido 
Centrais com turbinas hidraulicas: 
- microcentrais: ate 100 kW 
- miniccntrais: de I 00 a I 000 ~W 
- pequenas centrnis: de I 000 a 30000 kW 
- medias centrais: de 30000 a 100000 kW 
- grandes centrais: acima de I 00000 k W 
\ 
\~ 
0 
t£ 
\ 
0,1 1 10 100 1000 
\a Q 
,~ 
~ 
Y£ 
Q(m3/s) 
Fig. 1.6 Campo de aplicac;ao de turbinas hidraulicas. 
maquina poderia ser utilizado. Neste caso tambem sera? ~mpr~gados 
criterios adicionais de selec;ao, como custo do gerador eletnco, n sco de 
cavitac;:ao, custo de construc;ao civil, flexibilidade de operac;ao, facilidade 
de manutenc;:ao, entre outros. . . 
As turbinas Michell-Banki, tambem denommadas de turbmas 
Ossberger, praticamente inexistentes nas centrais hidreletricas acima de 
lntrodui;iio 33 
1000 kW (Fig. 1.6), merecem ser citadas pela sua grande utilizar;ao em 
micro e minicentrais, em virtude da facilidade de.{abrica9ao, baixo custo 
e born rendimento para situar;5es de flutuar;ao de vaziio. 
1.4 Grandezas fundamentais: energia, vazao e potencia 
Neste item sera apresentada uma breve revisao de conceitos 
fundamentais da Termodinfimica e da Mecfinica dos Fluidos, indis-
pens<iveis para a definir;ao de grandezas utilizadas correntemente no 
estudo das M<iquinas de Fluido, tais como energia (energy), vaz3o 
(capacity) ou volume (jlow rate) e potencia (power). 
1.4.1 Energia 
0 primeiro principio da termodinfimica, aplicado a um sistema, 
permite escrever: 
[
Energia que oJ [Energia que oJ 
sistema recebe - sistema entrega = [
Variayao da energia] 
total do sistema 
Aplicando este enunciado para um volume de controle limitado 
pelas se96es de admissao (inlet), representada pelo indice "a" nas 
equa96es, e descarga (discharge ou outlet), representada pelo indice 
"d", de uma maquina de fluido com escoamento em regime permanente 
(Fig. 1. 7) e utilizando grandezas referidas a unidade de mass a do fluido 
de trabalho (grandezas especificas), tem-se: 
onde, considerando o sistema internacional de unidades: 
q = quantidade dt· calor, por unidade de massa, recebida pela m<iqui-
na de fluido, '~tn J/kg; 
Y = trabalho especlfico realizado pela m<iquina, em J/kg; 
u = energia interna do fluido, em J/kg; 
p = pressao est<itica do fluido, em N/m2; 
v = volume especffi,~o do fluido, em m3/kg; 
c = velocidade absolata da corrente fluida, em mis; 
MGquinas de Fluido 
"· 
y 
Volume 
., 
Controle 
q 
Fig. 1.7 Volume de controle de um a m<iquina de fluido. 
g ::: acelera93.o da grrividade, em m/s2 ; 
z ::: cota de referencia de um ponto do escoamento, em m. 
Pela definic;i'io de entalpia: h ::: u + p v 
onde: 
h = entalpia do fluido, em J/kg. 
Levando esta expressao na equa93.o (1.1), obt6m-se: 
(1.2) 
Aplicando esta equayao ao caso das bombas hidr3.ulicas (hydraulic 
pumps) e considerando o bombeamento como uma transforma9ao 
adiab3.tica sem atrito (isentr6pica), uma vez que em tennodin8.mica 
considera-se o trabalho recebido pelo sistema coma negativo, pode-se 
calcular a energia consumida pela bomba, por kg de fluido recalcado, 
da seguinte maneira: 
(13) 
onde o fndice "s" representa o final de uma transforma98.o isentr6pica. 
/ntrodur;Jo 
Pela definiyao de entropia, tem-se: 
dq = T ds = dh - v dp, 
onde: 
T :::: temperatura absoluta, em K; 
s entropia do fluido, e1n J/kgK. 
35 
(1.4) 
Como o bombeamento considerado e adiab:itico reversivel, pelo 
segundo principio da termodinftmica, vem: 
sd:::: Sa, ou ainda, ds = 0. 
Da equayao (1.4) conclui-se que dh = v dp. 
Levando esta conclusao a equayao (1.3), obtem-se: 
Y= f vdp+t(c;-c;)+g(z, -z,) 
Sabendo que v = l/p , onde "p" ea massa especffica do fluido, 
chega-se a: 
(1.5) 
Para turbinas hidr:iulicas (hydraulic turbines), coma o trabalho e 
fornecido pelo sistema, ou seja, positivo, a equa93.o (1.5) resulta em: 
(1.6) 
Voltando a expressao ( 1.2): 
36 Mdquinas de Fluido 
e aplicando-a ao caso de um compressor que realize uma compressao 
adiab:itica reversivel (isentr6pica), consideranQo desprezivel a variayao 
de energia potencial e de energia cin6tica, em colnparayao com a variayao 
de entalpia, obtem-se: ' 
Y=hds -ha (1.7) 
Considerando como fluido de trabalho um gas perfeito: 
dh =C, dT, (1.8) 
onde: 
C P = cal or especifico do gas, a pressiio constante, em J/k:gK. 
Levando a equayiio (1.8) a (1.7), obtem-se: 
Y=C,(T,, -T,)=C, T,(~:-1) (1.9) 
Do primeiro principio da termodin3.mica, para transforma93.o 
reversivel, com trabalho somente do tipo "p dv", tem-se: 
dq=du + pdv (1.10) 
~,_,,,. 
Por outro lado, diferenciando a equayao da entalpia: 
h=u+pv, vem: dh=du+pdv+vdp :. du+pdv=dh-vdp 
Pela defini9iio de entropia, equa93.o (1.4), e sabendo que a equayiio 
dos gases perfeitos e: 
pv=RT, 
pode-se escrever que: 
ds=dq=du+pdv 
T T 
dh -vdp 
T 
(I.II) 
. C, dT-vdp 
.. ds=~----
T 
lntrodw;iio 37 
Para uma transformac;ao adiabatica reversfvel (isentr6pica), onde 
ds = 0, tem-se: 
C dT-vdp=O 
' , 
ou a1nda: 
v dT=-dp (l.12) 
c, 
Da termodinfunica dos gases, tem-se as seguintes relac;5es: 
e 
C -C =R 
on de: 
c, 
k 
R 
' , 
calor especffico do gas, a volume constante, em J/kg K; 
expoente adiabatico ou isentr6pico, adimensional; 
constante do gas, em J/kgK. 
(1.13) 
(1.14) 
Dividindo ambos os membros da equac;ao (1.14) por Cp e levando 
em considera93.o a equac;ao (1.13), pode-se escrever que: 
C, C, R 
---= 
Cr CP CP 
1 R 1- -=-
k c, 
C = kR 
' k-1 
Substituindo este valor na equac;ao (1.12), tem-se: 
dT k-ldp 
---
T k p 
Integrando esta Ultima expressao entre "a" e "ds" (transformac;ao 
isentr6pica), vem: 
J
d'dT = k-lJd'dp 
a T k a p 
38 Mdquinas de Fluido 
k-1 
Tct, = [E<Llk 
Ta Pa 
(l.15) 
Da mesma maneira, chega-se a: 
I 
v, -[p,Jk 
V ds - Pa (l.16) 
Levando a equac;ao (1.15) na (1.9), fica-se com: 
(1.17) 
Como o comportamento dos gases reais apresenta um certo grau de 
variac;ao em relac;ao aos gasesperfeitos, que cresce com o aumento da 
densidade do gas e com a proximidade do estado liquido, faz-se 
necess<i.rio a introduc;ao de um fator de corre93.o, denominado "fator de 
compressibilidade", na equa93.o dos gases perfeitos, dando origem a 
equac;ao modificada para os gases reais: 
pv=ZRT, (1.18) 
on de: 
Z = fator de compressibilidade (compressibility_factor), adimensional. 
Os valores de "Z" sao obtidos de diagramas apresentados nos 
manuais de termodin3.mica para cada gis especifico ou mistura de gases. 
lntrodw;iio 39 
Para uma maior precisfio na determina9fio do comportamento 
operacional de um compressor, Rodrigues 1 recomenda a seguinte 
correc;ao para o c:ilculo do trabalho especifico de uma compressfio 
isentr6pica: ., 
(l.19) 
Nesta equac;ao, "Za" e "Zd" sao os fatores de compressibilidade 
medidos, respectivamente, nas condi<;6es de admissfio e descarga do 
compressor. 
Teoricamente, a compressfio poderia ser isotermica, consurnindo menos 
energia (trabalho). No entanto, isto levaria a necessidade de extrair uma 
quantidade de calor do sistema igual ao trabalho de compressfio mais as 
perdas que ocorrere1n durante o processo. Os compressores ditos isotennicos, 
apresentam refrigerm;fio ap6s um ou mais est:agios, com a temperatura do 
gas voltando ao valor inicial somente no final da compressao. 
Todos os processes de compressao sem perdas situam-se entre o 
isotermico e o isentr6pico, segundo a lei da compressfio politr6pica: 
p V n = Constante, 
onde: 
n = 1, para a compressfio isotermica; 
n = k, para a compressao isentr6pica. 
(1.20) 
Na realidade, quando o calor extraido de um processo de compressao 
for inferior ao calor gerado pelas perdas, o expoente "n" da compressfio 
politr6pica ser:i superior ao expoente "k" da compressao isentr6pica. 
Para as turbinas a g3.s ou a vapor (gas or steam turbines), que 
trabalham com fluido compressivel, a aplica9ao do primeiro principio 
da tennodinfimica conduz a seguinte expressfio para o c<i.lculo do trabalho 
especifico produzido num processo de expansfio isentr6pica: 
1 RODRIGUES, P. S. B., Compressores industriais. 
40 Mdquinas de Fluido 
(l.21) 
on de: 
ha = entalpia do fluido na admissfio da maquina; 
hds = entalpia do fluido na descarga da m:iquina, considerando uma 
transforma<;fio isentr6pica. 
Na pr:itica, e principalmente para m<i.quinas que trabalham com 
fluido incompressivel, e comum associar a energia recebida (caso das 
bombas) ou fornecida (caso das turbinas) pelo fluido, ao passar pela 
m:iquina, a uma altura de coluna de fluido, H (head'). Ou seja: 
H=Yig 
onde "g" e a acelera93.o da gravid~de, em rn/s2• 
1.4.2 Vazao 
Pela equa9fio da continuidade, o fluxo m3.ssico (mass flow rate)ril., 
atraves de qualquer s~fio, e constante num regime permanente. Ou seja: 
ri1. = pa Aa ca = pd Ad Cd =Constante (l.22) 
onde: 
m = 
p = 
A = 
c = 
fluxo m<'issico do fluido, em kg/s; 
massa especifica do fluido (density), em kg/m3 ; 
3.rea de passagem da corrente fluida, em m2 ; 
velocidade absoluta media da corrente fluida, perpendicular a 3.rea 
de passagem, em mis. 
Quando se trata de um fluido incompressivel, a massa especifica 
pode ser considerada constante e torna-se mais freqtiente o uso da vazfio 
volumetrica no dimensionamento da m<'iquina. Entre o fluxo m<'i.ssico e 
o fluxo de volume ou vazao, existe a seguinte rela9i'io: 
m~pQ, (l.23) 
onde "Q" ea vaziio (volume flow rate), em m3/s. 
lntrod111;iio 41 
1.4.3 Potincia 
Tomando par base o trabalho especlfico ('energia par unidade de 
massa), recebido ou fornecido p&!a miquina, pode-se calcular a potencia 
recebida (input power) ou fornecida (output power), pela seguinte 
expressao: 
P= m Y=pQY, (1.24) 
onde, no Sistema Internacional de Unidades, o fluxo missico e expresso 
em kg/s, o trabalho especffico em J/kg, a massa especlfica em kg/m3 , 
a vazao volumetrica em m3/s ea potencia "P" em W. 
No Sistema Tecnico de Unidades, a expressao para o cilculo da 
potencia converte-se em: 
P= yQ H 
75 
onde: 
p 
y 
Q = 
H = 
potencia, em CV; 
peso especlfico, em kgf/m3; 
vazao, em m3/s; 
altura de coluna fluida, em m. 
(l.25) 
No caso de miquinas que trabalham com um gels (oar, por exemplo), 
tambem e comum associar-se o trabalho especffico com a diferenya de 
pressao total existente entre a descarga ea admissao da mliquina. Ou seja: 
y = Ap, 
p 
on de: 
Ap
1 
= diferenya de pressao total entre a descarga e admiss8.o da miquina, 
em N/m2 ; 
p = mass a especlfica do fluido de trabalho, em kg/m3• 
Dcsta maneira, a potencia, no Sistema Internacional de Unidades, 
podera ser calculada por: 
P=t-p,Q (l.26) 
42 
on de: 
P = potencia, em W; 
Q = vazao, em m3/s. 
E, no Sistema Tecnico de Unidades: 
P="-P, Q 
75 
Mdquinas de Fluido 
(l.27) 
neste caso, com "Apt" em kgf/m2 ou mmCA (miHmetros de coluna 
d' 3.gua), "Q" em m 3/s, sendo a potencia "P" obtida em CV. 
Caso se queira obter o torque (torque) ou momento (n1omentum) 
no eixo da mriquina de fluido, que e importante para a seleyao adequada 
do motor ou gerador a ser acoplado a ela, pode-se escreverpara o Sistema 
Internacional de Unidades: 
onde: 
M = 
p 
OJ = 
torque ou momenta da mciquina, em Nm; 
potencia, em W; 
velocidade angular de rotayao da miquina, em rad/s; 
(l.28) 
n = velocidade de rotai;;ao da mJ.quina, em rpm, embora a unidade de 
rotai;;ao no S.I. seja o Hz (s- 1). 
JJ., para o Sistema Tecnico de Unidades, tem-se: 
M = 716,2.1'_ (l.29) 
n 
on de: 
M = torque ou momenta, em kgf m; 
P potencia, em CV; 
n = velocidade de rotai;;ao, em rpm. 
----·--------~~~~-------------""""' 
'2 
MAQUINAS DE FLUXO 
M3.quina de Fluxo (turbomachine) pode ser definida como u1n 
transformador de energia (sendo necessariamente o trabalho mecfrnico 
uma das formas de energia) no qua! o meio operante e um fluido que, 
em sua passagem pela m<iquina, interage com um elemento rotativo, 
nfio se enconlrando, em qualquer instante, confinado. 
Todas as m<lquinas de fluxo funcionam, teoricamente, segundo os 
mesmos princf pios, o que traz a possibilidade de utili~ao do mesmo metodo 
de c<llculo. De fato, esta considera~ao e plenamente vilida apenas quando o 
fluido de trabalho e um fluido ideal, j<i que, na realidade, propriedades do 
fluido, tais como volume especffico e viscosidade, podern variar 
diferentemente de fluido para fluido e, assim, influir consideravelmente nas 
caracterfsticas construtivas dos diferentes tipos de mclquinas. 
Como exemplos de mclquinas de fluxo, citam-se: as turbinas hi-
drliolicas (hydraulic turbines), os ventiladores (fans), as bombas 
centrifugas (centr(fugal pumps), as turbinas a vapor (steam turbines), 
·OS turbocompressores, as turbinas a g3.s (gas turbines). 
Este capftulo, alem de apresentar a defini9ao e os elementos 
construtivos fundamentais de uma m<i.quina de fluxo, fornece alguns 
crit6rios de classifica9ffo dessas m<i.quinas, objetivando estabelecer uma 
linguagem comum para a sua abordagem e proporcionar meios de 
identifica9ffo dos seus diferentes tipos. 
2.1 Elementos construtivos 
Nao haveni aqui a preocupa93o de relacionar, exaustivamente, todas 
as partes que comp6em as m<iquinas de tluxo, tais como, seu corpo ou 
carca9a, o eixo, os mancais, os elementos de veda9ao, o sistema de 
lubrifica9ao, etc., mas a inten9ao de caracterizar os elementos constru-
tivos fundamentais, nos quais acontecem os fen6menos fluidodinfimicos 
44 M6quinas de Fluido 
essenciais para o funcionamento da m<iquina: o rotor (impeller ou runner) 
e o sistema diretor (stationary guide casing) • .__ 
0 rotor (Fig. 2.1), onde acontece a tninsformai;;ao de energia 
mec3nica em energia de fluidb, ou de energia de fluido em energia 
mec3nica, e o 6rg3o principal de uma m<iquina de fluxo. E constituido 
por umcerto n6mero de p3.s girat6rias (runner blades) que dividem o 
espa90 ocupado em canais, por onde circula o fluido de trabalho. 
Fig. 2.1 Rotor de bomba semi-axial ou de fluxo misto. 
Ja o sistema diretor tern como finalidade coletar o fluido e dirigi-lo 
para um caminho detenninado. Esta funi;;ao de direcionador de fluxo, 
muitas vezes, e acompanhada por outra de transformador de energia. 
Assim, por exemplo, numa bomba centrifuga (Fig. 2.2), o sistema diretor 
de safda e fundamentalmente um difusor (diffuser) que transforma parte 
· da energia de velocidade do lfquido que e expelido pelo rotor em energia 
Caixa espiral 
Fig. 2.2 Sistema diretor em forma de caixa espiral de uma bomba centrifuga. 
Mdquinas de Fluxo 45 
Fig. 2.3 Sistema diretor de turbina hidr:iulica do tipo Pelton. 
de pressao. Enquanto isto, numa turbina hidr<iulica do tipo Pelton, o 
sistema diretor (Fig. 2.3) e, em Ultima anfilise, um injetor (noule) que 
transforma a energia de pressffo do fluido em energia de velocidade que 
ser<i fomecida ao rotor atraves de jatos convenientemente orientados. 
Em alguns tipos de m3quinas o sistema diretor nffo se faz presente, 
como nos ventiladores axiais de uso domestico. A existencia do rotor, no 
entanto, e imprescindivel para a caracterizai;;ffo de uma m<iquina de fluxo. 
2.2 Classificai;;3.o das m3.quinas de fluxo 
Entre os diferentes criterios que podem ser utilizados para classificar 
.as m<iquinas de fluxo, pode-se citar os seguintes: 
- segundo a direi;;ao da conversiio de energia; 
- segundo a forma dos canais entre as p3s do rotor; 
- segundo a trajet6ria do fluido no rotor. 
2.2.1 Segundo a diret;ao da conversao de energia 
Segundo a direi;;ao da conversao de energia as m<iquinas de fluxo 
classificam-se em motoras e geradoras. 
M3.quina de fluxo motora ea que transfonna energia de fluido em 
trabalho mec§.nico, enquanto m:iquina de fluxo geradora e a que recebe 
trabalho mecfulico e o transforma em energia de fluido. No primeiro 
tipo a energia do fluido diminui na sua passagem pela m3quina, no 
segundo, a energia do fluido aumenta. 
46 
Sistema diretor 
(Injetor) 
Fig. 2.4 Turbina Pelton (Fonte: WKV). 
Mdquinas de Fluido 
Rotor 
Como exemplos de m3quinas de fluxo motoras, citam-se as turbinas 
hidr:iulicas (Fig. 2.4) e as turbinas a vapor (Fig. 2.5). Entre as mtiquinas 
de fluxo geradoras encontram-se os ventiladores (Fig. 2.6) e as bombas 
centrffugas (Fig. 2.7). 
Sistc1na diretor (injetor) 
Fig. 2.5 Turbina a vapor do tipo Curtis. 
Mdquinas de Fluxo 47 
Sistema iretor (caixa espiral) 
Fig. 2.6 Ventilador centrifugo (Fonte: OTAM). 
Sistema Dirctor (Voluta) 
Fig. 2.7 Bomba centrifuga (Fonte:KSB). 
Algumas miquinas podem funcionar tanto como motores quanto 
geradores de fluxo, como e o caso das bombas-turbinas reversiveis 
(reversible pump-turbines) que, dependendo do sentido do fluxo atraves 
do rotor, funcionam como bombas, girando num sentido, ou como 
turbinas, girando em sentido contrfilio. 
Tambem e com um encontrar uma mliquina de fluxo motora ( turbina 
a g&s) acionando uma miquina de fluxo geradora (turbocompressor), 
48 
T urbooompressor 
Motor 
' pistao 
Turbina a g3s 
Mdquinas de Fluido 
montadas num mesmo eixo, como 
acontece nas ~rbinas de avia9§.o e nos 
turboalimenfudores (turbochargers) 
de motores de combustao interna a 
pistiio (Fig. 2.8). 
2.2.2 Segundo a Jonna dos canais 
entre p6.s do rotor 
Quanto a forma dos canais entre a 
pas do rotor, as maquinas de fluxo 
classificam-se em m<iquinas de a<;fio e 
em mliquinas de rea9ao. 
Fig. 2.8 Turboalimentadordemotora Nas m3quinas de fluxo de ai;3.o 
pistao (Fonte: Schwitzer). (impulse turbomachines), os canais do 
rotor constituem simples desviadores de 
fluxo, nao havendo aumento ou dirninui93.o da pressao do fluido que 
passa atraves do rotor. 
Nas m3quinas de fluxo de reai;iio (reaction turbomachines ), os canais 
constitufdos pelas pas m6veis do rotor tern a forma de injetores (nas turbinas) 
ou a forma de difusores (nas bombas e nos ventiladores ), havendo redu\3.0, 
no primeiro caso (turbinas), ou aumento, no segundo caso (bombas e 
ventiladores ), da pressao do fluido que passa atraves do rotor. 
· Sao exemplos de m<i.quinas de fluxo de a\t'io: a turbina hidr<i.ulica 
do tipo Pelton (Fig. 2.4) ea turbina a vapor do tipo Curtis (Fig. 2.5). 
Como exemplos de m3.quinas de fluxo de rea9ao podem ser citados: as 
bombas centrffugas (Fig. 2.7), os ventiladores (Fig. 2.6) e as turbinas 
hidr<i.ulicas do tipo Francis (Fig. 2.9). 
Fig. 2.9 Turbina hidniulicado tipo Francis lenta. 
Mdquinas de Fluxo 49 
2.2.3 Segundo a trajet6ria do .fiuido no rotor 
Finalmente, segundo a trajet6ria do fluido no rotor, as m<i.quinas de 
fluxo classificam-se em: radiais,~ axiais, diagonais ou de fluxo misto (ou 
ainda, semi-axial) e tangenciais. 
N as m3-quinas de fluxo radiais (radial flow turbomachines ), o 
escoamento do fluido atraves do rotor percorre uma trajet6ria predo-
minantemente radial (perpendicular ao eixo do rotor). Como exemplos 
de m<i.quinas radiais, citam-se as bombas centrifugas (Fig. 2. 7), os 
ventiladores centrifugos (Fig. 2.6) e a turbina Francis lenta (Fig. 2.9). 
13., nas m3quinas de fluxo axiais (axial flow turbomachines), o 
escoamento atraves do rotor acontece numa direr;;ao paralela ao eixo do 
rotor ou axial. Como exemplos de m3.quinas axiais citam-se os ventila-
dores axiais, as bombas axiais (Fig. 2.10) e as turbinas hidr<i.ulicas do 
tipo Helice e Kaplan. 
Fig. 2.10 Bomba axial. 
Quando o escoamento nao e radial nem axial, a m<i.quina e 
denominada de fluxo misto (mixed flow turbomachine), diagonal, ou, 
ainda, semi-axial, com as particulas de fluido percorrendo o rotor numa 
50 Mdquinas de Fluido 
trajet6ria situada sobre uma superficie aproximadamente c6nica. Entre 
as m:lquinas diagonais ou de fluxo misto encontram-se as bombas semi-
axiais (Fig. 2.11 ), a turbina Francis r<i.pida ea t~rbina hidr3.ulica Deriaz. 
Fig. 2.11 Bomba semi-axial ou de fluxo 1nisto. 
Numa m3.quina de fluxo tangencial (tangencial flow turbo-
machine), o jato liquido proveniente do injetor incide tangencialmente 
sobre o rotor. A turbina hidr:lulica do tipo Pelton (Fig. 2.4) e o exemplo 
citado para m8.quina de fluxo tangencial. 
3 
EQUA<;:AO FUNDAMENTAL DAS 
MAQUINAS DE FLUXO 
Este capltulo inicia pelo estabelecimento dos chamados tri.ingulos 
de velocidades, que sao uma fonna geometrica de expressar a equar;;ao 
vetorial que rclaciona o movimento relativo com o movimento absoluto 
das particulas tluidas que percorrem o rotor de uma inti.quina de fluxo e 
ferramenta indispens<ivel para o estudo simplificado do complexo 
escoamento atraves deste tipo de m<iquina. 
Logo a seguir, 1nais do que um rigorismo do tratamento matem<i.tico 
na dcterminar;;ao da equar;;ao que rege o funcionamento de todas as 
1niquinas de fluxo, e feito um esfon;:o para demonstrar o significado 
ffsico dos termos que a compOem. Mesmo com os modernos recursos 
da computar;;ao eletr6nica e os avanr;;os do c<ilculo numerico <las correntes 
fluidas, as simplificay5es adotadas no trata1nento cl<'issico do assunto 
justificam-se por pennitir ao engenheiro um entendimento que certa-
mente facilitara a vinculayao entre a teoria e a pratica neste campo de 
conhecimento. 
As conseqiiencias da presenya de um ntimero finito de pas no rotor 
real da m3.quina sobre a energia calculada pela equayao fundamental 
sao comentadas no final do capftulo, antecipando uma anfilise mais 
detalhada que sera feita no Capftulo 12. A definiyao do grau de reayao, 
fomece um instrumento Util para a caracterizrn;ao dos diferentes tipos 
de m<iquinas de fluxo em funyao da forma como acontecem as trocas de 
energia em seu interior. 
3.1 Tri3.ngulo de velocidades 
A escolha conveniente do sistema de referenciae de grande 
importfincia para o estabelecimento de equay5es em mec§.nica dos 
tluidos. Um escoamento que em relayao a um detenninado sistema de 
52 Mdquinas de Fluido 
referencia seja vari<i.vel, pode, se for escolhido um sistema adequado, 
ser permanente em relayao a este, facilitando, d~sta maneira, o seu estudo. 
Isto podera levar a que o movimento de uma partfcula fluida P seja 
referido a um sistema de coordenadas que, por sua vez, tambem esteja 
em movimento. Este sistema sera, entao, considerado como relativo (0', 
X', Y', Z') e ter3.., no caso geral, um movimentocombinado de translayao 
e rotayao com relayao a outro considerado fixo e chamado de sistema 
absoluto (0, X, Y, Z) (Fig. 3.1). 
z Z' 
p 
.., 
O' X' 
0 
y 
Fig. 3.1 Sistemas de coordenadas absoluto e relativo. 
A relayao entre os vetores posiyiio nos dois sistemas sera: 
(3.1) 
onde: 
R. :::::: vetor posiyao da particula fluida P com relayao ao centro 0 do 
..... sistema absolute; 
R 0 :::::: vetor posiyao do centro O' do sistema relativo com relayao ao 
centro 0 do sistema absoluto. 
~ 
r :::::: vetor posiyao da particula fluida P com relayao ao centro O' do 
sistema relativo. 
~ ~ ~ 
Designando-se por i', j', k' os vetores unit3.rios do sistema de 
coordenadas cartesianas 0', X', Y', Z', e por x', y', z' as componentes 
~ 
do vetor posiyao r neste sistema relativo, pode-se, entao, escrever: 
Equafii.O Fundamental das Mdquinas de Fluxo 
--> --> --> --> 
r = x'i' +y'j' +z'k' 
Derivando a equayao (3.1) Com relayao ao tempo, vem: 
4 dR d R 0 d r 
+ c = 
dt dt dt 
onde: 
4 
dR0 
dt 
53 
(3.2) 
(3.3) 
(3.4) 
e, como tanto as componentes escalares do vetor posiyao r como os 
seus vetores unitarios (podem girar) variam com o tempo: 
--> --> --> --> 
dr :-;dx' :;dy' k-->,dz' ,di' ,dj' ,dk' (3.5) 
---=1 --+J --+ --+x -+y -+z 
ili ili ili ili ili ili ili 
Sabe-se, ainda, que qualquer vetor fixado a um corpo que gira a 
4 
uma velocidade angular m tern uma derivada, com relayi'io ao tempo, 
4 
igual ao produto vetorial (representado pelo sfmbolo x) de ro com o 
vetor considerado. Logo: 
4 
di' --> :; 
-=rox1 · dt , 
4 d ., --> --> 
_J =roxj' 
dt 
4 
d k' --> -->, 
-=roxk 
dt 
(3.6) 
Designando-se por w a velocidade relativa da particula fluida: 
--> dx':; dy'~ dz'k4 ' W=---1 +--J +--
dt dt dt 
(3.7) 
Levando as relai;5es (3.4), (3.5), (3.6) e (3.7) na equai;ao (3.3), 
chega-se a: 
c=c0 +w+roxr (3.8) 
54 Mdquinas de Fluido 
4 _, 
0 produto vetorial ro x r d3 origem a um terceiro vetor, 
4 4 
perpe_gdicular ao piano formado por ro e t"_-. que sera representado 
por u Como nas m3quinas de fluxo em geral (exceto nas helices de 
4 
embarcay5es e aeronaves), c0 = O chega-se a equayao que rege a 
construyao do chamado trifingulo de velocidades (velocity triangle): 
c = w + u (3.9) 
Antes de aplicar esta equayfio as m<i.quinas de fluxo, e interessante, 
para um melhor entendimento do que seja movimento absolute e 
movimento relativo, fazer uma analogia com o movimento das particulas 
de agua da chuva, com relayfio a um referencial fixo e com relayao a um 
referencial em movimento. 
4 
Imaginando uma situayao de chuva torrencial, representa-se por c a 
velocidade das particulas de chuva com relayao a um observador fixo 
4 
(siste1na absoluto) e por u, a velocidade de deslocamento de um 
autom6vel onde se encontra o observador em movimento (sistema 
relativo) (Fig. 3.2). Na visao deste observador, as partfculas de chuva 
incidirao sobre o autom6vel com uma velocidade de m6dulo e direyao 
u 
' 
' ' 
' ' 
' ' 
' ~. i' i' i' i'i' i' i' i' 
c 
(~i_stema ab_solutol I 
u 
+---
Fig. 3.2 Triiingulo de velocidades (analogia com o movimento das partfculas de figua 
da chuva). 
Equapio Fundamental das Mdquinas de Fluxo 55 
~ 
representados pelo vetor w (velocidade relativa), obtido pela aplicayao 
da equayao (3.9), enquanto para o observador fi~o, situado fora do carro, 
as partfculas possuirao uma velocidade com direyao e intensidade 
~ ' 
definidas pelo vetor c (velocidade absoluta). Dependendo da 
~ 
velocidade do autom6vel, ou seja, do m6dulo do vetor u, a chuva 
sequer molhara a sua janela traseira. 
Para a aplicayao do trifulgulo de velocidades as m<iquinas de fluxo, 
considera-se a corrente fluida que circula atrav6s do rotor de um venti-
lador centrffugo, representado, esquematicamente, pelo corte segundo 
um piano meridiano que passa pelo eixo do rotor e pelo corte segundo 
um plano perpendicular ao eixo do rotor (Fig. 3.3). 
~bi~ 
6 
'5 
i 
!4 
3 
I 
T W> 
---t'· 
-Fig. 3.3 Escoamento atraves do rotor de um ventilador centrffugo (m<iquina de fluxo 
geradora). 
~ 
u 
~ 
c 
~ 
w 
a 
p 
Em urn ponto qualquer do rotor, denornina-se: 
= 
= 
= 
= 
velocidade tangencial (peripherical velocity) do referido ponto 
do rotor; 
velocidade absoluta da corrente fluida (absolute velocity of flow); 
velocidade relativa da corrente fluida (relative velocity of flow); 
~ ~ 
3.ngulo que formarn os sentidos positivos de u e c; 
~ 
frngulo que formam o sentido positivo de w com o negativo 
~ 
de u. 
56 Mllquinas de Fluido 
A estes vetores e suas componentes atribuem-se os seguintes fndices: 
3 = um ponto na corrente de entrada na-9 perturbada, situado 
i1nediatamente antes da entrada (inlet) do rotor; 
4 = um ponto situado imediatamente depois da entrada do rotor, 
portanto, ja no espayo entre as pcl.s girat6rias; 
5 = um ponto situado imediatamente antes da saida (outlet) do rotor, 
portanto, ainda no espayo entre as pas girat6rias; 
6 = um ponto na Corrente de safda nilo perturbada, situado 
imediatamente depois da safda do canal m6vel. 
Esta convenyao seni v31ida tanto para maquinas de fluxo geradoras, 
como 6 o caso do ventilador centrifugo utilizado no exemplo, como para 
maquinas de fluxo motoras, estabelecendo uma correspondencia entre 
algarismos e pontos da m:iquina no sentido da corrente fluida (Fig. 3.4). 
I 
r+ h1 .. , 
'3 
4 .--
' 
I 
' 
' 
' 
' '5 
j6 1' ' 
• 
---t<\ ; I -~r- - " '< I J_l~ ~ - - -
" 
Fig. 3.4 Escoamcnto atraves do rotor de uma maquina de fluxo 1notora. 
Considerando-se o rotor radial do ventilador da Fig. 3.3 como 
constitufdo de um nUmero infinito de pas, o que implica na supos1yao 
de pas com espessura infinitesimal separadas por canais tamb6m 
infinitesirnais, pode-se concluir que o fluxo atraves dele ser:i unidi-
mensional e que a corrente fluida sera tangente as pas do rotor, em 
todos os seus pontos. 
Ou seja, as pas serao construfdas de tal forma que nao haja, na sua 
parte inicial, qualquer choque do tluido por mudanya brusca de direyiio, 
com o conseqiiente descolamento da veia fluida ea formayao de v6rtices 
dissipadores de energia. Para que esta condiyiio de ausencia de choque 
aconteya, e necess3rio que a composiyao da velocidade absoluta da 
Equar;ilo Fundamental das Milquinas de Fluxo 57 
corrente fluida c4 , com a velocidade tangencial do rotor, u 4 , para um 
ponto na entrada do rotor, satisfar;a a equar;fio'_f3.9) e de uma direr;fio 
~ 
para a velocidade relativa, w 4 , que seja justamente a da parte inicial da ~ 
pi. 0 vetor w 4 formara o ilngulo P4 com o sentido negativo da velocidade ~ 
tangencial u 4 que sera o pr6prio ilngulo de inclinar;ao das pas na entrada 
do rotor do ventilador. 
0 angulo de inclinar;ao <las pas na saida do rotor sera p
5 
e coincidira 
~ 
com o ilngulo-+ que o sentido positivo de w 5 formara com o sentido 
negativo de u 5 • 
A trajet6ria relativa do fluido, vista por um observador que se 
movimenta solid3.rio ao rotor, acompanhara, pois, a curvatura AEB da 
pa. Ja, a trajet6ria das particulas do fluido para um observador fixo a 
carcar;ada maquina (sistema absoluto), ou seja, a trajet6rj.a absoluta 
AE'B', comer;a com direr;ao da velocidade absoluta c4 , sob urn 
fingulo a 4 , e termina na periferia do rotor com a direr;ao da ~ 
velocidade absoluta c 5 sob um fuigulo a5• Isto porque enquanto uma 
particula de fluido desloca-se ate o ponto E sobre a pa do rotor, no mesmo 
tempo, este ponto ocupara a posir;ao E' com relar;ao ao referencial fixo 
(carcar;a da maquina). Ou seja, EE' sera a trajet6ria do ponto E do 
rotor no mesmo tempo t empregado pela particula de fluido para ir 
de A ate E, de forma que o ilngulo central 8, correspondente ao arco 
EE', seja igual a cot, para uma velocidade angular do rotor constante 
e igual a co. 
Caso exista um sistema diretor colocado ap6s o rotor, as p<is deste 
sistema deverao possuir um fuigulo de inclinar;ao na entrada coincidente 
a a 5, para que possam captar, sem nenhum choque por mudanr;a brusca 
de direr;ao, as particulas de tluido que deixam o rotor. 
Da mesma maneira, a inclinar;ao <las pas de um sistema diretor 
instalado antes do rotor de uma maquina de fluxo motora (turbina 
hidraulica do tipo Franci~ por exemplo) estabelecera a direr;ao com que 
a velocidade absoluta, c
4
, entrara no rotor (Fig. 3.4). 
A Fig. 3.5 representa um triilngulo de velocidades generico que 
traduz a equar;ao (3.9), destacando duas componentes do vetor velocidade 
absoluta, ; , da corrente fluida, a componente na direr;ao da velocidade 
58 Mtiquinas de Fluido 
~ 
tangencial, cu, ea componente medida num plaf!9 meridiano, 
perpendicularmente a_ dire93.o da ve}ocidade tangencial, Cm. 
5 
'" II 
IQ 
Fig. 3.5 Triiingulo de velocidades gen6rico. 
Enquanto a componente tangencial (tangencial ou }Vhirl compo-
nent) de m6dulo c est<i como se ver<i a seguir, intimamente ligada a ener~ia especffica i~~erca~biada entre o rotor e o fluido, a componente 
meridiana (meridional component), de m6dulo cm, esti vinculada a vazao 
da m<iquina, por meio da equar;ao da continuidade: 
(3.10) 
onde· .;s· 
. ~p Q = vazao de fluido que passa pelo rotor, em m3/s; " 
A = area de passagem do fluido, em m2; 
cm= velocidade meridiana, em mis. 
Pela condir;ao de obtenr;ao da equar;ao da continuidade, a 
~ 
con1ponente meridiana cm da velocidade absoluta deve ser sempre 
perpendicular a area A. 
Para as m3.quinas radiais, a componente meridiana possui a direi;ao 
radial, enquanto a area de passagem, desprezando a espessura das pas, 
corresponde a superficie lateral de um cilindro (Fig. 3.6), ou seja: 
A ~ itD b (3.11) 
ondc: 
Equap'io Fundamental das Mdquinas de Fluxo 59 
A = area da sei;ao de passagem, em rn2; 
D di3metro (diameter) da se9ao considerada, em m; 
b largura do rotor (impeller width ou impeller breadth) na se9ao 
considerada, em m. ... 
ROTOR RADIAL ROTOR DE FLUXO MISTO ROTOR AXIAL 
Fig. 3.6 Area de passagem da corrente fluida atraves dos diversos tipos de rotores. 
Para as m3quinas axiais, a componente meridiana tern a dire9ao 
do eixo do rotor e a area de passagem e a superffcie de uma coroa circular 
(Fig. 3.6), calculada por: 
A= n_ (o' -o') 4 c l (3.12) 
onde: 
De= difunetro exterior (tip diameter) do rotor, em m; 
D; = diilmetro interior ou di3metro do cubo (hub diameter) do rotor, 
em rn. 
J a, nas m3quinas diagonais ou de fluxo mis to, a cornponente 
meridiana encontra-se nurna direyao intermediaria entre a radial ea axial 
e a <"irea de passagem corresponde a superffcie lateral de um tronco de 
cone (Fig. 3.6), que pode ser expressa por: 
(3.13) 
60 Mtiquinas de Fluido 
on de: 
De = di§.metro da base rnaior do tronco de con~, em m; 
D = di§.metro da base menor do tronco de con·e, em m; 
' b = comprirnento da geratriz do tronco de cone, em m. 
3.2 Equa~ao fundamental para ntimero infinito de p3s 
Para a determinayao da equa~iio fundamental das m3quinas de 
fluxo, sera considerada a m<"iquina geradora radial representada esque-
maticamente na Fig. 3.7, cujo rotor possui um niimero infinito de pas, 
no qual o escoamento mantern-se em regime permanente e as 
transforma95es acontecem sem perdas energeticas. Ou seja, parte-se da 
suposi93.o de uma maquina ideal, na qual o escoamento e unidimensional, 
congruente com as pas, sem atrito e com fluxo de massa constante. 
Proj~ao do bordo de saida 
da pl! sobre piano meridiano 
Disco dianteiro do rotor 
Projc)<'io do bordo de entrada 
da pii sobre piano meridiano 
Fig. 3.7 M3.quina de fluxo radial geradora (carte longitudinal). 
A energia que o fluido recebe ao interagir com as pas do rotor pode 
ser traduzida num aumento da sua energia de pressao, da sua energia de 
velocidade ou da sua energia de posi93.o (potencial). A transforma93.o 
pode acontecer sob todas as formas de energia citadas ou apenas sob 
um a de las, sen do que a variayao da energia potencial pode ser desprezada. 
Equafiio Fundamental das Mllquinas de Fluxo 61 
0 au men to da energia de pressao ser3. explicado como decorrente 
de duas transformar;Oes separadas, masque, na r~alidade, acontecem ao 
mesmo tempo e de forma inseparavel. Esta simplificac;ao, embora 
grosseira, auxilia o entendimento.,dos fenOmenos ffsicos que ocorrem no 
interior da maquina. A energia de pressao est3.tica que o fluido recebe ao 
passar pelo rotor pode, en tao, ser expressa como a soma de dois termos: 
' Ps - p, u' w' - w' Ye>! = 5 
- u, 
+ ' 5 
2 2 
(3.14) 
on de: 
Y., = 
P, = 
P, = 
p 
u, = 
u, = 
w, = 
w, = 
p 
energia de pressao est3.tica, em J/kg; 
pressao na safda do rotor, em N/m2 ; 
pressao na entrada do rotor, em N/m2; 
massa especffica do fluido em escoamento, em kg/m3 ; 
velocidade tangencial de um ponto situado na safda do rotor, em mis; 
velocidade tangencial de um ponto situado na entrada do rotor, 
em m/s; 
velocidade relativa de uma partfcula fluida na entrada do rotor, 
em mis; 
velocidade relativa de urn a partfcula fluida na safda do rotor, em mis. 
0 primeiro termo traduz o aumento de pressao decorrente da ac;ao da 
forr;a centrifuga sobre as partfculas fluidas, provocado pela diferenc;a das 
velocidades tangenciais de entrada e safda (exceto para rotores axiais ou 
tangenciais, onde u 4 = u5) como conseqi.iSncia do movimento de rotac;ao do 
rotor. Este mesmo efeito gera uma depressao na boca de entrada do rotor, 
fazendo com que o fluido tenha acesso a ela, deslocando-se atraves da 
canalizac;ao de admissao da bomba, impulsionado pela presslio maior existente 
no reservat6rio de succ;ao. 
0 segundo termo deve-se a transformac;ao de energia de velocidade 
em energia de pressao, decorrente da diminui9ao da velocidade relativa 
de w4 para w5 no interior de canais em fonna de difusores constitufdos 
pelas pas do rotor. 
Paralelamente ao aumento de energia de pressao estritica, produz-
se uma transformac;ao de energia sob forma de velocidade, ou energia 
62 Mdquinas de Fluido 
especffica de pressao dinfunica, em razao da diferen9a das velocidades 
absolutas entre a safda e a entrada do rotor. O.!l seja: 
(3.15) Ydin = 
2 
onde: 
Y din = energia especffica de pressao dinfunica ou de velocidade, em J/kg; 
c5 = velocidade absoluta de uma particula fluida na saida do rotor, em 
mis; 
c4 = velocidade absoluta de uma particula fluida na entrada do rotor, 
em mis. 
A energia total entregue ao fluido ao passar pelo rotor da m<iquina 
de tluxo correspondera, entao, a soma dos termos contidos nas equa96es 
(3.14e3.15): 
2 2 2 2 2 2 
U 5 -U4 W 4 -W 5 C5 -c4 +-~-~+--- (3 16) 
2 2 2 
onde: 
Y . = energia ou trabalho especifico intercambiado nas pas do rotor ,,_ 
suposto com nUmero infinito de p.3.s. 
A equac;ao (3.16) e uma das formas de representac;ao da equas;ao 
fundamental para as maquinas de fluxo geradoras. 
Seguindo raciocinio analogo, chega-se a equac;ao fundamental para 
as m3.quinas de fluxo motoras. Ou seja, a energia que