Aula 7 e 8 Métodos de levantamento de detalhes Áreas

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Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de Pontos de Detalhes 
Aula 8 – Avaliações de áreas
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 Para a topografia regular deve-se utilizar métodos
principais como base, e métodos secundários 
para os levantamentos dos detalhes. 
 Os métodos principais permitem avaliar e corrigir 
os erros de medição (ajustamento de erros) 
através de recursos da geometria (ex: cálculo da 
poligonal). 
 Os métodos secundários não permitem avaliar 
os erros (ex:levantamentos de pontos de detalhes). 
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes 
Métodos de Levantamentos Topográficos
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA IRRADIAÇÃO
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É utilizado quando se 
deseja determinar as 
coordenadas de
pontos de detalhes, 
a um sistema de 
referência, por meio da 
medição de uma 
distância e de uma 
direção (azimute).
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes 
onde: A = vértice de uma poligonal com coordenadas conhecidas.
 B = ponto de detalhe que se deseja determinar suas coordenadas.
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA IRRADIAÇÃO
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Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes 
onde: A e D = vértices da poligonal (base);
 B = ponto de detalhe que se deseja 
 levantar.
Levantamento do ponto de 
detalhe B:
Dados conhecidos, coordenadas 
do vértice A da poligonal: XA; YA;
b) Medir no campo o(s) ângulo(s) 
horizontal(is) para o cálculo do 
azimute do alinhamento “AZAB”;
c) Medir no campo a distância (DAB);
d) Determinar as coordenadas do 
ponto de detalhe B (XB; YB):
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA ESTAÇÃO LIVRE
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É utilizado quando é impossível 
estacionar o aparelho sobre um 
dos pontos de coordenadas 
conhecidas (ex. vértices da poligonal
 “A” ou “B”), a partir do qual se 
pretende determinar as 
coordenadas do ponto de detalhe (E). 
Neste caso, estaciona o aparelho 
no ponto “E” (detalhe) onde se 
deseja determinar as coordenadas, e 
em seguida efetua as visadas para 
dois pontos de coordenadas 
conhecidas “A” e “B”.
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onde: 
A e B = vértices de uma poligonal,
 com coordenadas conhecidas;
 E = ponto de detalhe que se deseja 
 determinar suas coordenadas.
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA ESTAÇÃO LIVRE
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Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes 
Levantamento do ponto de detalhe “E”:
Dados conhecidos, coordenadas 
dos vértices da poligonal: A (XA; YA) e 
B (XB; YB);
b) Estaciona o aparelho em “E” (onde se deseja determinar suas coordenadas) e medir o ângulo “α”;
c) Medir no campo a distância “DEA” (se o cálculo das coordenadas de “E” for pelo vértice “A”, ou “DBE” se o cálculo for por “B”); 
d) Calcular o valor do ângulo “γ” (lei dos senos):
vértice
vértice
Ponto de
 detalhe
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA ESTAÇÃO LIVRE
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Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes 
Levantamento do ponto de detalhe E (ex: canto do prédio):
e) Calcular o valor do ângulo “β” e o
azimute AZAE: 
onde, AZAB = azimute do lado AB da 
poligonal, que pode ser calculado por:
f) Calcular as coordenadas do ponto de detalhe “E”, pelo vértice da 
poligonal “A”:
 
Formulas Gerais:
 
X(i+1) = X(i) ± D(i, i+1). sen (Az (i, i+1))
Y(i+1) = Y(i) ± D(i, i+1). cos (Az (i, i+1))
vértice
vértice
Ponto de
 detalhe
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA INTERSEÇÃO
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É utilizado quando não se pode 
determinar a distância direta para 
um determinado ponto de detalhe, 
onde se deseja determinar suas 
coordenadas. (ex: não se pode 
medir DAP ou DBP ) .
Contorna-se este problema, 
efetuando uma interseção de 
visadas, estacionando a estação em
dois pontos de coordenadas 
conhecidas (ex: vértices da 
poligonal “A” e “B”), e mede-se os 
ângulos “α” e “β”.
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Ponto de
 detalhe
vértice
vértice
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA INTERSEÇÃO
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Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes 
Levantamento do ponto de detalhe “P”:
Dados conhecidos, coordenadas 
dos vértices da poligonal: A (XA; YA) e 
B (XB; YB);
b) Estaciona o aparelho no vértice “A” 
e mede o ângulo interno “α” para 
calcular o Az(AP):
Az(AP) = Az(AB)(Vante) – α
c) Estaciona o aparelho no vértice “B” 
e mede o ângulo interno “β”, para 
calcular o Az(BP):
Az(BP) = AZ(BA)(Ré) + β 
Ponto de
 detalhe
vértice
vértice
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA INTERSEÇÃO
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Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes 
Levantamento do ponto de detalhe “P”
(ex: poste):
c) Determinar as coordenadas do 
ponto de detalhe: P (XP; YP):
Ponto de
 detalhe
vértice
vértice
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA BILATERAÇÃO
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É utilizado para determinar as coordenadas de um ponto de detalhe “P”, tendo por base as medições de duas distâncias “DAP” e “DBP”, desde de um ponto de coordenadas desconhecidas “P”, até os dois pontos de coordenadas conhecidas “A” e “B” (vértices da poligonal).
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA BILATERAÇÃO
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Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes 
Levantamento do ponto de detalhe “P”:
Dados conhecidos, as coordenadas 
dos vértices da poligonal: A (XA; YA) 
e B (XB; YB);
 
b) Medir no campo as distâncias “DAP” 
e “DBP”, para calcular os ângulos “α” 
e “β” (Lei dos cossenos):
 
Obs: “DAB” é a distância do lado AB da poligonal, que pode ser calculada pelas suas coordenadas, ou medida em campo.
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA BILATERAÇÃO
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Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes 
Levantamento do ponto de detalhe P
(ex: poste):
 
c) Calcular os azimutes “AzAP” e “AzBP”, se o ponto levantado for o “P”:
AZV(AB)
AZRé(AB)
Ponto de
 detalhe
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA BILATERAÇÃO
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Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes 
Levantamento do ponto de detalhe P
(ex: poste):
 
Obs: Se o ponto levantado for o “P1”, os 
cálculos dos azimutes seriam:
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MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA BILATERAÇÃO
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Levantamento do ponto de detalhe P
(ex: poste):
d) Calcular as coordenadas do ponto de
detalhe “P”, a partir do vértice “A” da 
poligonal:
Pode-se, também, calcular as 
coordenadas do ponto de detalhe “P”, 
a partir do vértice “B” da poligonal:
Ponto de
 detalhe
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Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia de Transportes
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Um dos objetivos de um levantamento topográfico é a estimativa da área do terreno com seus limites. 
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A estimativa da área pode ser dada através de medições realizadas diretamente no terreno, ou através de medições gráficas sobre uma planta topográfica. 
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As áreas que realmente interessam em todos os trabalhos topográficos são as das projeções horizontais, isto é, as denominadas base produtiva, visto que todas as construções apoiam-se em projeção horizontal. 
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A área de um terreno é calculada para todos os fins legais e administrativos, segundo as projeções horizontais das linhas que a delimitam. 
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*Um terreno plano e um inclinado podem ter a mesma área legal e administrativa, mesmo que as suas áreas reais sejam distintas. 
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Em Topografia a estimativa de uma área de uma porção do terreno pode ser obtida em função de uma planta que representa a sua projeção horizontal, ou então pelo método numérico, empregando-se os valores das coordenadas retangulares dos pontos limítrofes do terreno.
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Para se estimar uma área, pode-se utilizar diversos métodos:
Métodos geométricos (ou gráficos)
 Métodos de decomposição
 Métodos de comparação
 Métodos mecânicos (ou digital)
Métodos analíticos
 Fórmula de Gauss
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A escolha do método é função de alguns fatores tais como: 
 a precisão desejada; 
 a aplicação de medições diretas obtidas no terreno; 
 informações obtidas através de planta topográficas, etc.
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1.1) Método da Decomposição: 
É aplicado em poligonais regulares, as quais
permitem o traçado de alinhamentos que as
atravessem.
Para totalização da área, deve-se
recorrer às expressões da 
geometria plana, que fornecem
as áreas de figuras como triângulos,
retângulos, trapézios, e outros.
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Exemplo:
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1.1) Método da Decomposição: 
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1.2)Método de Comparação por Quadrículas
Este método consiste em determinar um padrão unitário de área e seu correspondente real, em função da escala da representação.
Conta-se quantas unidades do padrão se ajustam nos limites da propriedade e, assim, por “regra de três”, obter o total da área
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A precisão da área obtida por este método é tanto maior quanto menor for a área da quadrícula.
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1.2) Método de Comparação por Quadrículas
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 A divisão do terreno é feita por faixas de igual largura (h).
h = largura da faixa;
n = número de faixas
b = comprimento da faixa
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1.3) Método de Comparação por Faixas:
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Método é mecânico, ou eletrônico, quando, para a avaliação da área, utilizam-se aparelhos mecânicos, ou eletrônicos.
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Planímetro Polar
 É um aparelho que consiste de duas hastes articuladas, um pólo, um traçador, e um tambor
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Utilizado sempre em superfície plana:
O pólo deve ser fixado dentro, ou fora, da figura a medir, dependendo do seu tamanho;
As hastes devem ser dispostas de maneira a formar ângulo reto entre si, assim, é possível verificar se o traçador contornará a figura facilmente;
Escolhe-se um ponto de partida para as medições;
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O aparelho deve ser zerado neste ponto;
Percorre-se o contorno da figura com o traçador, no sentido horário, voltando ao ponto de partida;
Faz-se a leitura do tambor (aparelho mecânico), ou a leitura no visor (aparelho eletrônico);
Para a avaliação final da área, toma-se sempre a média de (no mínimo) três leituras com o planímetro;
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A diferença do aparelho mecânico para o eletrônico está na parte integrante.
 O aparelho mecânico, há necessidade de ler o número de voltas que o traçador deu ao percorrer o perímetro de uma determinada figura e, em função da escala da planta, calcular a área através de função matemática
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O aparelho eletrônico, por sua vez, permite a entrada da escala da planta (através de digitação) e a escolha da unidade a ser trabalhada; 
Ao terminar de percorrer a figura, este exibe, automaticamente, o valor da área num visor de LCD (cristal líquido)
1.4) Método Mecânico ou Eletrônico
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Modelo de Planímetro Digital utilizado para a determinação da área de uma figura qualquer (Brandalize, 1999)
1.4) Método Mecânico ou Eletrônico
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A área total do terreno é função da área da poligonal básica e das áreas extra-poligonais.
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Áreas Extra-Poligonais
Métodos Analíticos
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Define-se área extra-poligonal como sendo a área existente entre um trecho reto (lado da poligonal) e a curva limite da área levantada. 
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Áreas Extra-Poligonais
Métodos Analíticos
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As áreas extra-poligonais podem ser internas e/ou externas à poligonal básica. 
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Métodos Analíticos
Áreas Extra-Poligonais
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Dentre os processos analíticos, os mais usados são os que sub-dividem as áreas extra-poligonais, em pequenos trapézios. 
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Métodos Analíticos
Áreas Extra-Poligonais
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Y1
Y2
Y3
Y4
Yn
X1
X2
X3
X4
Xn
Y
X
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Métodos Analíticos -
Áreas Extra-Poligonais
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Quando a área extra-poligonal apresenta grandes mudanças direcionais (grande sinuosidade), a figura deve ser decomposta em trapézios desiguais e suas áreas parciais serem avaliadas pela equação do trapézio para determinação da área. 
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Métodos Analíticos -
Áreas Extra-Poligonais
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Nos casos em que as áreas extra-poligonais não apresentarem grandes sinuosidades, é recomendável a aplicação de equações baseadas na divisão da figura em trapézios de intervalos regulares, empregando uma das três fórmulas clássicas: 
 BEZOUT, 
 PONCELET, e 
 SYMPSON. 
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Métodos Analíticos -
Áreas Extra-Poligonais
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2.1) Fórmula dos trapézios ou de Bezout: 
a área extrapoligonal deve ser dividida em um 
número de trapézios, de mesma altura “h”.
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Métodos Analíticos - 
Áreas Extra-Poligonais
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2.1) Fórmula dos trapézios ou de Bezout:
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onde,
E = bases externas =b1 e bn
M =bases internas = b2, b3 ... bn-1
Métodos Analíticos - Áreas Extra-Poligonais 
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2.1) Fórmula dos trapézios ou de Bezout:
Na figura ao lado, temos os valores:
d=20m; Y1 = 1,8m; Y2 = 3,5m; Y3 = 4,7m;
Y4 = 5,5m; Y5 = 5,8m; Y6 = 5,4m; e Y7 = 3,8m;
Cálculo da área pela Fórmula do Trapézio: 
===
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onde,
E = bases externas =b1 e bn
M =bases internas = b2, b3 ... bn-1
Métodos Analíticos - Áreas Extra-Poligonais 
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2.2) Fórmula de Simpson: a área extrapoligonal deve ser subdividida em um número par de trapézios.
E = soma das medidas das ordenadas externas;
I = soma das medidas das ordenadas internas de ordem ímpar;
P = soma das medidas das ordenadas internas de ordem par;
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Métodos Analíticos - Áreas Extra-Poligonais 
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2.2) Fórmula de Simpson:
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Métodos Analíticos - Áreas Extra-Poligonais 
Na figura ao lado, temos os valores:
d=20m; Y1 = 1,8m; Y2 = 3,5m; Y3 = 4,7m;
Y4 = 5,5m; Y5 = 5,8m; Y6 = 5,4m; e Y7 = 3,8m;
Cálculo da área pela Fórmula do Simpson: 
E = soma das medidas das ordenadas externas;
I = soma das medidas das ordenadas internas de ordem ímpar;
P = soma das medidas das ordenadas internas de ordem par;
*
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2.3) Fórmula de Poncelet: considera-se um número parde trapézios com a mesma altura
P = soma das bases de ordem par;
E = soma das bases extremas;
E’= soma da segunda base com a penúltima base;
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Métodos Analíticos - Áreas Extra-Poligonais 
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*
2.3) Fórmula de Poncelet:
P = soma das bases de ordem par;
E = soma das bases extremas;
E’= soma da segunda base com a penúltima base;
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Métodos Analíticos - Áreas Extra-Poligonais 
Na figura ao lado, temos os valores:
d=20m; Y1 = 1,8m; Y2 = 3,5m; Y3 = 4,7m;
Y4 = 5,5m; Y5 = 5,8m; Y6 = 5,4m; e Y7 = 3,8m;
Cálculo da área pela Fórmula de Poncelet: 
*
*
Quando as curvas que limitam a superfície forem simétricas, em relação às perpendiculares ao meio de suas respectivas cordas, podemos considerá-las como segmentos parabólicos e avaliar a área compreendida entre elas e as cordas:
Segmentos Parabólicos
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Métodos Analíticos - Áreas Extra-Poligonais 
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c = corda
f = flecha tirada perpendicularmente ao meio da corda 
Segmentos Parabólicos
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Métodos Analíticos - Áreas Extra-Poligonais 
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*
A estimativa da área gerada pelo conjunto de pontos definidores dos limites de um terreno, pode ser obtida a partir das coordenadas relativas e absolutas dos vértices, ou apenas as absolutas. 
Métodos Analíticos
2.4) Fórmula de Gauss
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*
Para isso, aplica-se a fórmula de Gauss para cálculo de áreas, com base na fórmula do trapézio.
Métodos Analíticos 
2.4) Fórmula de Gauss
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*
Considerando o polígono ABCA e suas projeções relativas e absolutas, segundo os eixos X e Y. A área do polígono seguinte é calculada segundo o eixo ‘X’ (abscissas relativas): 
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
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=
_
Área polígono = área do trapézio (ABNM) + área do trapézio (NBP) + 
- área do trapézio (MACP) 
N
P
M
P
M
*
*
Situação 1: Considerando as ordenadas absolutas YA, YB, YC e as abscissas relativas ΔXA-B, ΔXB-C, e ΔXC-A, pode-se escrever:
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
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ou ainda,
*
*
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
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ou seja, 
A soma binária das ordenadas absolutas pelas abscissas relativas
será igual a duas vezes a área do polígono
Situação 1
*
*
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
Se substituirmos as abscissas relativas pelas abscissas
absolutas, têm-se por exemplo: ΔXA-B = XA – XB 
ficará,
Situação 1
*
*
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
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Multiplicando os termos entre parênteses, fica:
ficará:
Situação 1
*
*
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
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Separando os termos positivos e dos negativos, fica:
termos positivos:
termos negativos:
Situação 1
*
*
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
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Separando os termos positivos e dos negativos, fica:
*
 os termos dos produtos positivos (YAXB; YBXC; YCXA) são aqueles que têm a ordem do ‘Y’ é anterior a ordem do ‘X’;
 os termos dos produtos negativos (YBXA; YCXB; YAXC) são aqueles que têm a ordem do ‘Y’ seguinte a ordem do ‘X’.
Situação 1
*
*
Situação 2: Considerando as abscissas absolutas XA, XB, XC e as ordenadas relativas ΔYA-B, ΔYB-C, e YXC-A, pode-se escrever:
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
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ou ainda,
*
*
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
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ou seja, 
A soma binária das abscissas absolutas pelas ordenadas relativas
será igual a duas vezes a área do polígono
Situação 2: Considerando as
Abscissas absolutas e as ordenadas
 relativas: 
*
*
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
Se substituirmos as abscissas
relativas pelas abscissas
absolutas, têm-se por 
exemplo: ΔYA-B = YA – YB 
ficará,
Situação 2: Considerando as abscissas absolutas e as ordenadas relativas: 
*
*
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
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Multiplicando os termos entre
parênteses, fica:
ficará:
Situação 2: Considerando as abscissas absolutas e as ordenadas relativas: 
*
*
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
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Separando os termos positivos
 e dos negativos, fica:
termos positivos:
termos negativos:
Situação 2: Considerando as abscissas absolutas e as ordenadas relativas: 
*
*
Métodos Analíticos – 2.4) Fórmula de Gauss
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Separando os termos positivos
 e dos negativos, fica:
*
 os termos dos produtos positivos (XCYB; XBYA; XAYC) são aqueles que têm a ordem do ‘X’ é seguinte a ordem do ‘Y’;
 os termos dos produtos negativos (XBYC; XAYB; XCYA) são aqueles que têm a ordem do ‘X’ anterior a ordem do ‘Y’.
Fica,
Situação 2: Considerando as abscissas absolutas e as ordenadas relativas: 
*
*
Exemplo: Métodos Analíticos/Fórmula de Gauss
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*
Considerando as ordenadas absolutas e as abscissas relativas:
Considerando as abscissas absolutas e as 
ordenadas relativas:
*
*
Métodos Analíticos - Fórmula de Gauss
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*
Considerando as ordenadas absolutas e as abscissas
relativas:
Considerando as abscissas absolutas e as 
ordenadas relativas:
*
*
Métodos Analíticos - Fórmula de Gauss
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*
Área: 2.S = + Δx.ΣY – Δx. ΣY = 3655,725 - 4003,86 = │- 348,135 │
S = 174,067 ha 
Área: 2.S = +Δy.ΣX – Δy.ΣX = 4001,992 – 3653,85 = 348,135 
S = 174,067 ha
Ou então,
*
*
A área do polígono pode ser estimada pela semi-soma dos produtos cruzados das coordenadas totais.
A convenção de sinais, normalmente, usada é:
Positiva  nos produtos descendentes
Negativa  nos produtos ascendentes
Regra Mneumônica (Coordenadas
 Totais)
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*
*
A resolução por esta regra nada mais é que a expressão desenvolvida por Gauss, na forma matricial.
Regra Mneumônica (Coord. Totais)
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*
*
Aplicando a regra mneumônica, têm-se:
Produtos Negativos (ascendentes)
Produtos Positivos (descendentes)
A área será a soma total dos produtos, dividida por 2
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*
*
Positiva  nos produtos descendentes
Negativa  nos produtos ascendentes
Regra Mneumônica (Coord. Totais)
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*
Positiva  nos produtos descendentes
Negativa  nos produtos ascendentes
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		PONTO
		X (m)
		Y (m)
		Xn.Y(n-1) ( - )
		Xn.Y(n+1) ( + )
		
		
		
		
		
		1
		137.69
		206.88
		-53203.3296
		
		2
		257.17
		261.88
		-116832.524
		+36058.2572
		3
		446.13
		225.5
		-73086.805
		+57991.835
		4
		324.11
		165.42
		-38756.2518
		+73798.8246
		5
		234.29
		54.57
		-7513.7433
		+17686.6827
		1
		137.69
		206.88
		
		+48469.9152
		
		
		(
		-289392.65
		+234005.51
		AREA
		(-289392.65 + 234005.51) / 2 = 
27693.57 m2
*
*
A expressão deduzidapor HERON, deve ser somente aplicada para áreas triangulares.
A área total do polígono dar-se-á pela somatória das áreas triangulares avaliadas.
Método do semi-pérímetro
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*
*
Este método é geralmente aplicado quando o levantamento é realizado por trena, onde o próprio trabalho de campo fornece a formação de triângulos, cujos lados podem ser medidos “in loco”.
Método do semi-pérímetro
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*
*
A
B
C
a
b
c
Método do semi-pérímetro
Sendo,
Fica,
Aula 8 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas
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Próxima aula - Exercícios
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