Aula 4 Medidas Indiretas de Distâncias

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Aula 4 – Medidas Indiretas de Distâncias
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Consiste em um método de medição, que calcula a distância a partir da medição de outras grandezas, sem a necessidade de percorrer o alinhamento medido.
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
Medida Indireta de Distância
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Quando se apresentar alguma impossibilidade, ou dificuldade, na obtenção de uma distância por medida direta, pode-se obter esta distância por métodos indiretos, através de solução matemática com a utilização da trigonometria.
Neste procedimento, valores angulares e lineares serão medidos em campo por equipamentos e métodos topográficos.
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
Medida Indireta de Distância
Trigonometrira
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
 Suponhamos que se deseja determinar a distância entre o ponto “P” e o ponto “Q” (figura), os quais poderiam ser considerados como os extremos do eixo de uma ponte, ou de um túnel.
Medida Indireta de Distância pela Trigonometrira
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 Para resolvermos o problema, foram escolhidos outros dois 
pontos auxiliares, "A" e "B", localizados em uma área de fácil 
acesso e com intervisibilidade entre si, e entre os pontos
"P" e "Q". 
 Esta base AB deverá ter uma orientação o mais paralela 
possível com o alinhamento a ser determinado. 
 No campo, devem ser medidos os ângulos α, β, γ e δ e a 
distância horizontal "AB", que servirá de base.
Medida Indireta de Distância
 Trigonometrira
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
Determinação da Distância Horizontal PQ:
a) Utiliza-se de preferência, o método das reiterações, para
as medições dos ângulos (α, β, γ e δ). 
Medida Indireta de Distância
 Trigonometrira
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Determinação da Distância Horizontal PQ:
b) A distância AB deverá ser medida com uma trena com 
grande precisão e no mínimo duas vezes, ou através de um equipamento eletrônico de medida de distância.
Medida Indireta de Distância
 Trigonometrira
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 Para o cálculo da distância PQ: 
 Utiliza a lei dos senos, dos cosenos e das tangentes, de
 tal maneira que possamos obter a distância PQ por vários 
 caminhos. 
 Trata-se apenas de uma verificação de cálculo, já que 
partimos dos mesmos dados iniciais e, obviamente, os 
resultados devem ser iguais, salvo enganos de cálculo, ou 
erros cometidos nas medidas dos ângulos. 
 Para o resultado final, procura-se utilizar a média da 
série de cálculos que apresentarem a menor distorção, 
sempre dentro do erro máximo permitido para o 
levantamento.
Medida Indireta de Distância
 Trigonometrira
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
Do triângulo ABP, pela lei dos senos podemos 
determinar os comprimentos l1 e l4:
Medida Indireta de Distância
 Trigonometrira
Cálculo da distância PQ:
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b) Do triângulo ABQ, pela lei dos senos podemos determinar os comprimentos l2 e l5:
Medida Indireta de Distância
 Trigonometrira
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c) Do triângulo PQA, pela lei dos cosenos, podemos 
determinar a distância PQ (l3):
d) Ou ainda, do triângulo PQB, pela lei dos cosenos, podemos determinar a distância PQ (l3):
onde, l1 e l2 foram obtidos pela lei dos senos
onde, l4 e l5 foram obtidos pela lei dos senos
Medida Indireta de Distância
 Trigonometrira
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e) Utilizando-se a lei das tangentes, podemos expressá-la, em relação ao triângulo PQA, como:
Com os dados levantados em campo, tem-se:
Medida Indireta de Distância
 Trigonometrira
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Das duas expressões podemos tirar:
Do triângulo PQA, pela lei dos senos, podemos determinar 
a distância PQ (l3).
Medida Indireta de Distância
 Trigonometrira
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
h) Ou, pelo triângulo PQB:
 Desta maneira, consegue-se determinar a distância PQ (l3) 
por seis caminhos diferentes. 
 Comparando-se os resultados, pode-se determinar o valor 
mais provável através da média aritmética entre os valores 
mais próximos, e o erro médio quadrático da média.
Medida Indireta de Distância
 Trigonometrira
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MÉTODOS DE MEDIDA INDIRETA
Segundo Silva at al (2015) os métodos indiretos de medida de distâncias são:
Medição Ótica (taqueométrico):
Distância de Visada Horizontal;
Distância de Visada Inclinada;
Distância Vertical - Visada Ascendente;
Distância Vertical - Visada Descendente.
Medição Eletrônica;
Medição com o Sistema GNSS (Global Navigation Satellite Systems).
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
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O Processo de medida indireta com Teodolito: ESTADIMETRIA ou TAQUEOMETRIA 
Através do retículo, ou estádia do teodolito, são obtidas as leituras dos ângulos verticais e horizontais, e as leituras de alturas na régua graduada (mira), para posterior cálculo das distâncias horizontais e verticais.
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Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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A estádia do teodolito (ou Estação) é composta de:
03 fios estadimétricos horizontais ( FS , FM e FI );
01 fio estadimétrico vertical
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Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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LEITURA DA MIRA – TEODOLITO:
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Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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Este método baseia-se no conceito da semelhança de
triângulos: 
Considerando os triângulos: ΔCAB e ΔCDE, tem-se:
Ou seja, se for conhecidas as distâncias AB, CF e DE, 
obtém-se o valor CG
Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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Com a aplicação deste princípio, foram desenvolvidos 02 
métodos:
a) Uso de uma barra horizontal de distância AB fixa (2m);
b) Uso de mira graduada vertical e no princípio 
Estadimétrico.
Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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 Mais tarde, o engenheiro Georg von Reichenbach, construiu uma luneta composta por 03 fios horizontais (fios estadimétricos), posicionados na extremidade da mesma:
Fonte: Silva at al (2015)
Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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 Posicionando uma régua graduada na extremidade ‘D’, é possível conhecer a 
distância vertical ‘AB’, a partir da projeção das imagens dos pontos ‘ab’ (luneta);
 Assim, os comprimentos ‘d’ e ‘ab’ (luneta) são 
fixos, e a distância ‘AB’ é medido sobre uma régua.
Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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 Substituindo estes valores na equação abaixo, fica:
 Com o passar dos anos, foram fabricados os instrumentos 
topográficos com lunetas com arranjos de lentes de alta
precisão, denominados de Taqueômetro Óticos.
 As lunetas são construídas de forma a 
garantirem o valor de ‘g’ igual a 
100, ficando:
Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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f = distância focal da objetiva 
F = foco exterior à objetiva 
c = distância do centro ótico do aparelho à objetiva 
C = c + f = constante do instrumento 
d = distância do foco à régua graduada
H = AB = FS - FI = diferença entre as leituras
M = FM = leitura do retículo médio
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 C é a constante de Reichembach, que 
assume valor 0 cm para equipamentos 
com lunetas analáticas e valores que 
variam de 25cm a 50cm para equipamentos
 com lunetas aláticas.
DISTÂNCIA HORIZONTAL - VISADA HORIZONTAL
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Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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DISTÂNCIA HORIZONTAL - VISADA INCLINADA
Para visar a régua graduada num ponto específico ‘M’, há necessidade de inclinar a luneta, para cima (ou para baixo), de um ângulo ( Q ) em relação ao plano horizontal.
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Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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VISADA EM PLANO INCLINADO
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Aula 5 – Medidas Indiretas de DistânciasMedida Indireta de Distância - Medição Ótima
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DISTÂNCIA VERTICAL - VISADA ASCENDENTE
A figura a seguir ilustra a luneta de um teodolito inclinada no sentido ascendente. 
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Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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QS + MQ = RS + RM  QS = RS + RM – MQ (1) 
onde, QS = diferença de nível (DN) 
sendo, RS = I = altura do instrumento 
sendo, MQ = leitura do retículo médio (FM) 
Substituindo em (1), DN = I + RM – FM 
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A diferença de nível, ou distância vertical, entre dois pontos será deduzida da relação:
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DISTÂNCIA VERTICAL –
 VISADA ASCENDENTE
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Se DN for positivo (+) significa que o terreno, no sentido da medição,
está em ACLIVE
Se DN for negativo (-) significa que o terreno, no sentido da medição,
está em DECLIVE
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DISTÂNCIA VERTICAL - VISADA DESCENDENTE
A diferença de nível entre dois pontos será deduzida da mesma forma do exemplo anterior (visada ascendente), porém, com os sinais trocados
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Se DN for positivo (+)
significa que o terreno,
no sentido da medição,
está em DECLIVE
Se DN for negativo (-)
significa que o terreno,
no sentido da medição,
está em ACLIVE
Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
Medida Indireta de Distância - Medição Ótima
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ERROS NAS MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIAS
leitura da mira;
leitura de ângulos;	
verticalidade da baliza; 
verticalidade da mira;
pontaria;
erro linear de centragem do teodolito;
erro de calagem ou nivelamento do teodolito; 
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA (MEDs)
 Um dispositivo medidor eletrônico de distância é um
aparelho que transmite um sinal portador de energia
eletromagnética de sua posição atual para um receptor 
localizado em outra posição.
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA (MEDs)
 Houve um aumento significativo de produção nas 
medições topográficas com a popularização dos MEDs.
 Estes aparelhos podem atingir alcance de 15 a 20 km com
precisões milimétricas, embora os levantamentos rotineiros
são superam os 1000m.
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA (MEDs)
 O princípio físico dos MEDs consiste na emissão e na 
recepção de sinais luminosos ou de micro-ondas.
 O princípio de medição baseia-se na observação direta, ou 
indireta, do tempo de deslocamento de um sinal transportado 
por uma onda eletromagnética, calculando-se a distância.
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA (MEDs)
Instrumentos eletro-óptico (distanciômetro): é aquele que 
transmite luz modulada, seja visível ou infravermelha, e este
é rebatido por um anteparo (prisma refletivo).
 O cálculo da distância tem por base o tempo gasto pela
onda neste percurso, sendo conhecidos o comprimento da
onde, a frequência, e a velocidade de propagação.
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA (MEDs)
 O distanciômetro é um instrumento que permite avaliar
distâncias inclinadas, sendo reduzidas ao horizonte por meio
a medição do ângulo vertical (teodolito)
 O anteparo mais utilizado pelos distanciômetros é o prisma,
um espelho circular que permite a reflexão do sinal emitido
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Durante medição eletrônica, o operador intervém pouco na obtenção das medidas, pois todas são obtidas automaticamente através de um simples pressionar de botão
Este tipo de medição, não isenta o 
operador das etapas de centralização,
nivelamento, e pontaria dos 
instrumentos utilizados, qualquer que 
seja a tecnologia envolvida no 
processo comum de medição.
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA (MEDs)
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Segundo LOCH e CORDINI (1995) os instrumentos eletrônicos apresentam inúmeras vantagens em relação aos tradicionais processos de medida, tais como: 
economia de tempo, 
facilidade de operação, 
precisão nos tipos de trabalhos
Topográficos, Cartográficos e 
Geodésicos.
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA (MEDs)
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA
Baseia-se na medição do tempo de deslocamento de um pulso de radiação laser entre um emissor (distanciômetro) e um refletor (prisma);
O emissor, posicionado sobre o ponto inicial da medição, emite um pulso de radiação, que é refletido pelo refletor posicionado sobre o ponto final da medição:
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Método de Pulso:
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA
A distância (d) é calculada a partir da medição do tempo de percurso (Δt) do pulso, necessário para o sinal viajar de ida e volta a um objeto:
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onde: 
d = distância a ser medida;
c = velocidade de deslocamento do pulso laser;
Δt = intervalo de tempo de deslocamento do pulso entre o emissor e o refletor.
Método de Pulso:
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA
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Método de Diferença de Fase:
 Este método baseia-se na medição da diferença de fase (d) 
entre a onda emitida e a onda refletida:
onde, ‘n’ é nº inteiro de comprimentos de onda ‘λ’, e ‘d’ e a 
fração restante do comprimento de onda
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
SISTEMA GNSS:
 O princípio de funcionamento básico dos sistemas de 
posicionamento por satélite é gerar coordenadas de pontos. 
 A partir destas coordenadas é possível calcular a 
distância entre os pontos medidos.
 A distância gerada a partir deste princípio, é um vetor 
relativo entre as antenas receptoras, transportadas para os
pontos topográficos no terreno.
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
 A tecnologia do sistema GNSS pode ser utilizada para 
medir distâncias, desde que sejam tomados os devidos 
cuidados envolvidos na sua aplicação.
 A precisão alcançada por este método de medição de 
distâncias depende dos seguintes fatores:
 Método de posicionamento dos pontos;
 Condições da geometria dos satélites no momento da 
coleta;
 Técnicas de processamento e ajustamento dos dados. 
SISTEMA GNSS:
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
 A tecnologia do sistema GNSS pode ser utilizada para 
medir distâncias, desde que sejam tomados os devidos 
cuidados envolvidos na sua aplicação.
 A precisão alcançada por este método de medição de 
distâncias depende dos seguintes fatores:
 Método de posicionamento dos pontos;
 Condições da geometria dos satélites no momento da 
coleta;
 Técnicas de processamento e ajustamento dos dados. 
SISTEMA GNSS:
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Erros nas medições dos MEDs:
 As fontes de erro no trabalho com MEDs são as mesmas dos outros tipos de trabalhos de levantamento: operacionais, naturais e instrumentais (ou sistemáticas).
Erros operacionais: 
 A instalação incorreta de instrumentos ou refletores sobre os
pontos;
 Medições incorretas das alturas;
 Condições do tempo.
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA
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Erros nas medições dos MEDs:
Erros naturais: 
 São causados por variações na temperatura, umidade e pressão.
 Neve, neblina, chuva e poeira afetam o fator de visibilidade dos MEDs e reduzem drasticamente as distâncias que podem ser medidas.
 Quando as visadas são tomadas próximas à superfície do 
terreno, estas são afetadas pelo fenômeno de reverberação.
 Os instrumentos eletro-ópticos não devem apontar para o sol,
para não terem os efeitos causados pela radiação.
 Evitar proximidade com linhas de energia de alta-voltagem, torres de micro-ondas, etc.
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA
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Erros nas medições dos MEDs:Erros instrumentais: são erros bastante pequenos, desde que o equipamento seja sempre ajustado e retificado.
 Cada MED possui uma pequena margem de erro de fabricação.
 Como a medição com um MED, o feixe vai do centro elétrico do
instrumento para o centro efetivo do refletor, e retorna para o
centro do instrumento, assim estes centros podem não estar coincidindo os centros das bases.
 Em algumas ocasiões, os refletores e os MEDs podem ser fabricados por diferentes fabricantes (com diferentes constantes), sendo então necessário fazer alteração no equipamento para se ter uma mesma constante.
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MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA
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EQUIPAMENTO UTILIZADO NA MEDIDA ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA E/OU ÂNGULOS
a) Teodolito Eletrônico
b) Distanciômetro Eletrônico
c) Estação Total
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
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Dispositivo ótico de alto rendimento, 
mecânica de precisão, facilidade de 
utilização e altíssima confiabilidade.
Normalmente faz parte de um sistema 
 modular que permite adaptar outros 
 equipamentos de medição (distanciômetro ou trena eletrônica) que se adeqüem às suas novas necessidades a um custo reduzido
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TEODOLITO ELETRÔNICO
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Figura: Teodolito eletrônico
Visando com o teodolito
Visor do teodolito
eletrônico
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Equipamento exclusivo para medição 
 de distâncias ( DH , DV e DI );
Tecnologia utilizada na medição destas distâncias é a do infravermelho; 
Precisão das medidas depende do modelo de equipamento utilizado
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DISTANCIÔMETRO ELETRÔNICO
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Normalmente utilizado acoplado a um teodolito ótico-prismático convencional, ou a um teodolito eletrônico; 
Alcance deste equipamento varia 
 entre 500m a 20.000m e depende da 
 quantidade de prismas utilizados 
 para a reflexão do sinal, e 
 das condições atmosféricas;
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DISTANCIÔMETRO ELETRÔNICO
Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
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DISTANCIÔMETRO ELETRÔNICO
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Distanciômetro acoplado a Estação
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ESTAÇÕES TOTAIS
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Atualmente, um dos equipamentos mais frequentes nas obras são as estações totais. 
 Trata-se da combinação dos recursos
de teodolito digital e de um distanciômetro eletrônico em único aparelho, comandado por um sistema de armazenamento de dados.
 As informações podem ser descarregadas (via cabo ou bluetooth) e tratadas em software específico de Topografia
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ESTAÇÕES TOTAIS
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Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
Estações dotadas de servomotor (Robóticas)
 Permitem a visada ao prisma sem um operador.
 Elas podem ser utilizadas para controle de estruturas em que se fornece uma repetição das visadas, pré-programadas em escritório.
Quando acoplada a um sistema
de comunicação via rádio 
(estação remota), pode ser 
comandada por um computador 
à distância.
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PRISMA
Espelho circular, de faces cúbicas, utilizado acoplado a haste de metal, ou bastão, e que tem por finalidade refletir o sinal emitido pelo aparelho precisamente na mesma direção em que foi recebido;
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Sinal refletor (bastão + prismas) deve ser posicionado sobre o ponto a medir, na posição vertical, com a ajuda de um nível de bolha circular, ou de um bipé; 
Em trabalhos de maior precisão, deverá ser montado sobre um tripé com prumo ótico ou a laser;
Quanto maior a quantidade de prismas acoplados ao bastão, maior é o alcance do equipamento
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PRISMA
Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
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TIPOS DE PRISMA
Aula 5 – Medidas Indiretas de Distâncias
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