Livro ISC Cap 1 e 2

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Definição Ub: um sistema é uma disposição de componentes fisicos. coneclados
ou relacionados de tal maneira a formar e/ou atuar como um conjunto.
A. palavra controle é geralmente tomada para significar regular. diriyir ou com'm-
dar. Combinando as definições acima, temos
Definição 1.2: Um sistema de controle é uma disposição de componentes físicos,l "<'11. .
conectados ou. relacionados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmosJ ;~ 1 (1;.,: ;;,
ou a outros slstemll~.
No senlleto mais abstrato é posslvel considerar cada objeto físico um sIstema
de controle. Todas as coisas alteram o seu meio ambiente de alguma maneira, senão
ativamente então passivamente, assim como um espelho dirigindo um feixe luminoso
que o atinge segundo um ângulo agudo. O espelho, figo l-I, pode ser considerado
um sistema de controle elementar, controlando o feixe luminoso de acordo com a
equação simples "o ângulo de renexão cx iguala o ângulo de incidência cx".
Na Engenharia e na Ciência, nós geralmente restringimos o significado dos sis-
temas de controle para aplicá-lo àqueles ~stemas cuja função princiQal é coma..nda!,
dirigir ou regular dinâmicamel1te ou ativamente. O sistema mostrado na figo 1-2, consis-
tindo num espelho plvotado numa das extremidades e. ajustado. para cima e para
baíxo com um parafuxo na outra' extremidade, é apropriadamente denominado um
sistema de co1ltrole.
O ângulo da luz refletida é regu'lado Dor meio do parafuso.
U li.vn.' {: dividdo em duas partes. A primeira metade, d.o capítulo 1 ao 9,
'(>'i,rdt';,';\ ,t estrmnnL GonccituaJ e a terminologia nos sistemas de controle
(~ Id;o;~çüo., técnicas modernas para formulação e solução das equações
di!(,n';ncÍ,ús Ol'c.hnárias de coefIcientes constantes lineares, a base matemática
(;OS r,i.stemHs lineares, as transformadas de Laplace, os métodos para a d.eter-
minaçfro da estabilidade dos sistemas lineares, as funções de transferências,
()~; diagramas .de bloco t~ diagramas de t1uxo de sinal, constantes de erros,
,ô'láli:;c de scn:~ibilidade f: classificação dos sistemas de controle. O capítulo 10
introduz a segunda metade do livro com a explicação dos objetivos e métodos
de análise e projeto dos sistemas de controle com reto ração linear. Então
nos capitulos de 11 a 18, as quatro técnicas clássicas de análise e projeto, i.e.,
N; métodos de Nyquist, Bode, lugar geométrico das raízes e gráfico de Nichols,
;;ilo tratados individualmente, sendo cada um dos métodos de análise e projeto
considerados em capitulo separado. O capítulo final deste livro é uma intro-
dução a tópicos avançados na teoria de sistemas de controle.
Os ,mtore:; desejam expressar o seu sincero agradecimento a todos aqueles
que ajudaram na preparação do manuscrito e especialmente à equipe da
Shaum Lublishing Co., pda sua cooperação infalível.
Joseph J di Stefano, lU
Allen R. Stubberud
Ivan J Williams
Los Angeles, Califórnia, maio, 1967
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Capitulo 1
~ \ Introdução
1_ (\\)" ~ _J.lJh'J /f~\~
I.l os SISTEMAS DE CONTROLE
Ultimamente o significado da palavra sistemll \t:m se tornado nebuloso. Assim
comecemos definindo-a, primeiro abstratamente. em seguida de modo ligeiramente
mais especilico, em relação li literatura científica,
Definição 1.Ia: um sistema é uma disposição, conjunto ou W\cÇÚl' de coisas conec-
tadas ou relacionadas de lal maneira a formarem um toJ\).
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Fig. 1-2
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SISTEMAS DE RETROAÇÃO E CONTROLE
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[CAPo I CAPo I] INTRODUÇÃO 3
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r~);.m\'1:·LOSDE SiSTEMAS DE CONTROLE
C",: f.1St!':I';;;" de controle abundam no' ambiente humano. Mas antes de exempli-
G,J< ..!O!: clefir.riremos dois termos: eritl'ada e saída, que ajudarão na ide.ntificação é
d~tiniçr.o do ~istcma de co;ttro)e.
Pejitliçâío 1.3: Aoentrada é o estímul0,j ou excitação aplicados a um sistema de
Gol!trolc por meio de uma tõnteãrériêijla externa, geralmente de modo a produzir
lima resposta específica do sistema de controle.
Dejinit;"ão. 1:4,: A sai4E é a resp.9s~.present~ obtida de um sistema de controle.
El~: pode ser Ol! não igual à resposta específica inferida da entrada.
A finalidade do &istcma de controle geralmente identifica ou define a saída ou
a entrada.
Se a saída ,; a entrada são dadas, é possível identificar ou definir a natureza dos
componentes do sistema.
Os sistemas de controle podem ter mais do que uma entrada ou saída Freqüen-
temente, todas as entradas e saídas são bem definidas pela descrição do sistema Algu-
mas vezes elas não o são. Por exemplo, uma tempestade elétric.a atmosférica pode
interferir intermitentemente com a radiorrecepção, conduzindo a uma saída não dese-
jada de um alto-falante, na forma de estática Esta saída, "ruído", não é geralmente
eupecificada para a simples identificação de um sistema de radiorrecepção, é parte
da salda total como acima foi definido. Para a finalidade de simplesmente identificar
o Sistema, as entradas espúrias produzindo saídas não desejadas, não são geral-
mente consideradas como entradas e saídas na descrição do sistema Mas, é geral-
mente necessLuio considerar CUIdadosamente estas entradas e saídas extras, quando
o sistema é examinado em detalhe.
. Há [rês tipos básicos de. sistemas de controle:
1. Sistemas de Controle Artificiais
2. Sistemas de Controle Naturais, incluindo os biológicos.
3. Sistemas de Controle cujos componentes são artificiais e naturais.
Exemplo 1.1.
Um comutador elétrico é um sistema de controle artificial, controlando o fluxo
da eletricidade. Por definição, o ap.arelho ou pessoa que aciona o comutador não
é uma parte desse sistema de conl role.
O acionamento do comutador para ligado ou desligado pode ser considerado
como a enJrada, A entrada pode ser em um dos dois estados - ligado ou desli"ado. A
saída {~ o Ouxo ou não Ouxo (dois estados) da eletricidade.
O comutador elétrico é provavelmente um dos sistemas de controle mais rudi-
mentares.
i';xemplo 1.2.
U,.>/ M/ill'('('dol' ou ('seura, fermustalicamente controlado, regulando alllornaeica-
0/1';1''' (,o i<?JnfJ!!raiul'ro de uma sala Oil de IIl11a ('(lixa, é um sistema de controle. A entrada
""c, ;';;;c. :;is(,;ma É': uma tcmperatu ..a de referência, geralmente especificada pelo ajuste
,)'.f~p,-!a(l() de um t(;rmostato. A saída é a temperatura desejada da caixa. Quando
L' j,.o'mo,-;t:·(lo delecta (llle a saídfl é menor do alie a entrada, a estura oroDorciolla
:'J:
.
'.
'';.'
';
J...•
calor até que a temperat u.ra da caixa. se torne igual à entrada de referência. Então
a estufa é automaticamente desligada.
Exemplo 1.3.
O ato aparentemente simples de apontar para um objeto com o dedo requer um
sistema de controle biúlógicú. cúnslslmdú prinCIpalmente dos olhos, do braçl). da
mão, do dedo e cio cérebro de um húmem. A entrada é a direção precisa cio objeto
(deslocando-se ou não) com respeito a alguma referência e a saída é a direção apon-
tada presentemente com respeito a alguma referência.
Exemplo 1.4.
Uma parte do sistema de controle humano de temperatura é o sistema de pers-
piração. Quando a temperatura do ar exterior à pele torna-se muito elevada, as glân-
dulas sud6ríparas segregam fortemente. induzindo ao resfriamento da pele por evapo-
ração. As secreções são reduzidas quando o efeito de resfriamento desejado é obtido
ou quando a temperatura cio ar caí suficientemente.
A entrada para este sistema é a temperatura "normal" ou confortável da pele.
A saída é a temperatura presente da pele.
Exemplo 1.5.
O sistema de controle, consistindo /lum homem dirigindo um automóvel, tem com-
ponentes 'que são claramente artificiais e biológicos.O motorista deseja manter o
automóvel na faixa apropriada da rodovia. Ele consegue isto observando constante-
mente o rumo do automóvel com respeito à direção da estrada Neste caso, a direção
da estrada, representada pelas guias ou linhas de cada lado de sua faixa, pode ser
considerada a entrada. A orientação do automóvel é a saída do sistema O motorista
controla esta saída medindo constantemente com os olhos e cérebro, corringindo-a
com as mãos sobre o volante. Os componentes principais desse sistema do controle
são: as mãos, os olhos e o cérebro do motorista, e oveículo.
1.3 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE
Os sistemas de controle são classificados em duas categorias gerais: sistemas
de malha aberta e de l1Ialha (echada. A distinção é determmada pela Deão de controle.
que é a quantidade responsável pela ativação do sistema para produzir a saída.
Definição·1.5: O sistema de controle de 'malha aberta é aquele no qual a ação
de controle é independente da saída.
Definição 1.6: O sistema de controle de malha fechada é aquele no qual a ação
de.controle depende, de algum modo, da saida.
As características salientes dos sistemas de controle de malha aberta sào:
I. Sua aptidão para desempenhar-se precisamente é determinada pela sua calí-
bração. CalibraI' significa esl abelecer ou resta betecer a relação en trada-saída para
obter uma desejada precisão do sistema.
2. Eles nào sào geralmente perturbados com problemas de instabilidade, um
concello a ser subseaüememente exólicaclo em detalhe.
t; SISTEMAS 013 llETllOAÇÃO E CONTROLE lCAI'. I lCAp. I INTRODUÇÃO 5
..I:.: "iw:mlls de conlrole de malha fechada são mais comumente chamados sis-~r:ala;; de coutrole com realimelllaçc10 como veremos com mais detalhe na próxima seção.
A fim ele cla~sifícar um sistema de controle como de malha aberta ou de malha
fcchacla, os componentes do sistema devem ser claramente deslacados dos componentes
que com dc~ interagem, mas nào são partes do sistema. Por exemplo, o operador
bumano pode ou não ser um componente do sistema.
Exemplo 1.6.
Um forrador automático é um sistema de controle de malha aberta, porque ele
é conlrolado por um marcador de tempo. O tempo exigido para fazer uma "boa tor-
rnda" deve ser determinado pelo uli!izador, que não é uma parte do sistema. O con-
trole sobre a qualidade da torrada (a saída) é removido uma vez que o tempo, que
f: ao mesmo tempo a entrada e o controle da ação, lenha sido fixado.
ExC'rnp/o 1. 7.
O ml"canismo do pilO/o alltornárico e o ariào que ele contro/u é um sistema de con-
lrole de malha fechada (retroaçào). A sua finalidade é manter a rota do avião, a des-
[Jcito das variações almosféricas. Ele executa essa tarefa, medindo continuamente a
or;cnUlçiic do avião. ajustando automalicamente suas superfícies de controle (leme,
aletas elc.}, de modo a mameI' a orientaçào do avião em correspondência à rola deter-
minada. O piloto humano ou operador, que pré-ajusta o piloto automático, não é
parte do sistema dl~ controle.
1.<1 RETROAÇÃO (REALIMENTAÇÃO)
Rctroaçâo é aquela característica do sistema de controle de malha fechada que
lJ distingue cio sislema de malha aberta. O estudo dos sistemas de controle com retroa-
çào é o principal objetivo deste livro.
'Jejini('cio 1.7: 2. RetrOl/('l/l/ é a propriédade do sistema de malha fechada que
rcrmite a saida (ou alguma Llutra variitveJ controlada do sistema) ser comparada
cüm a enlrada para o sistema (ou lima entrada para um outro componente situado
internamente ou subsistema). de modo que a açào apropriada de controle pode ser
formada como alguma funçào da saída e entrada.
Ceralmcnle a rcll't1açào é produzida num sistema. quando exisle uma seqüência
fechada de relações de causa e efeito entre variá veis no sistema.
Em essência, cada sistema passivo (aq uele não contendo fonte de energia) pode
ser viSio como um sistema de retroação. Consideraremos apenas aqueles sistemas
de controle de malha fechada em que a existência e finalidade da retroaçào são facil-
mente ident ificadas.
.'::.(('/(//1/0 l. R
O COllGr;ilo de relroaçào é claramenle explicado pelo mecanismo do piloto auto-
Il]:uir;ú clt> exemplo 1. 7.
A "Ht nÔ:1 é 'I rota especificada, que pode ser afixada sobre o painel de controle
.!r, <tv';'o ",j ~;aí(!a !: a orientação do momento determinada pelos instrumentos auto-
""'dicos de navegaçiío. Um dispositivo de comparação observa continuamente a
entrada e a saída. Quando as duas estão em correspondência, a ação de controle não
é exigida. Quando existe uma diferença entre a entrada e a saída, o disposilivo de
comparação emite um sinal de ação de controle para o controlador, o mecanismo
de piloto automático. O conlrolador proporciona os sinais apropriados para os con-
troles de superfície do avião, a fim de 'reduzir a diferença entrada-saída.
A retroação pode ser efetuada por uma conexão mecânica ou elétrica dos instru-
mentos de navegação, que medem a orientação. para o dispositivo de comparação.
1.5 CARACTERÍSTICAS DA RETROAÇÃO
As mais importantes características que a presença da retroação confere a um
sistema são as seguintes:
I. Precisão aumentada. Por exemplo: a capacidade de reproduzir fielmente a
entrada.
2. Sensibilidade reduzida da razão saída para entrada its variações nas carac-
terísticas do sistema (Cap. 9).
3. Efeilo reduzido das não linearidades (Cap. 3) e distorção.
4. Largura de faixa aumentada A largura dI! faixa de um sislema é a faixa de
freqüência (da entrada) na qual o sistema responderft satisfaloriamente.
5. Tendência para oscilação ou inslabilidade. Esta característica é considerada
em delalhe no Capo 5.
1.6 PROBLEMAS DE ENGENHARIA NOS SISTEMAS DE CONTROLE.
A essência da engenharia de sistema de controle é a consideração de dois proble-
mas: a a/lálisl' e o projeto de uma configuração de sistema de cont role.
A/lálise é a investigação das propriedades de um sistema existente. O problema
de projeto é a escolha e disposição dos componentes dos sistemas de controle para
oesempenharem uma tarefa específica.
Dois métodos de projeto existem:
1. Projeto por análise
2. Projeto por síntese
O projl!lO por análise é realizado modificando as caHlctensllcas de uma confi-
guração do sistema padrão ou existente, e projeto por sílllest', definindo a forma do
sistema diretamente das suas especificações. O úhimo método é empregado nas partes
deste livro destinadas a projeto.
1.7 REPRESENTAÇÃO DO PROBLEMA: O MODELO
A fim de resolver um problema de sistema, a especificação ou descrição da confi-
guraçào do sistema e dos seus componentes deve ser posta numa forma apropriada
à análise, projeto e avaliação.
Três representações básicas (modelos) de componentes físicos de sistema são
extensamente empregadas no estudo dos sistemas de controle:
1. Equações diferenciais e outras relações matemáticas
2. Diagrama de bloco
3. Diagrama de fluxo de sinal
ti SI~;TEMAS DE RETROAÇÃO E CONmOLE [CAPo 1 [CAPo I INTRODUÇÃO 7
ENTRlü)A E SAlDA
Problemas Resolvidos
J.8 CltNCIA DOS SISTEMAS DE CONTROLE
li. maior ênfase na tecnologia moderna de controle é o desenvolvimento de'mo-
dclos maternáticos para situações fisicas. Princípios matemáticos e fisicos comuns
são também utilizados, a fim de compreender as características dos sistemas de con-
troIr. com r~troação no que elas se relacionam à transmissão ou processamento da
quantidade abstrata, informação. Assim, a engenharia dos sistemas qe controle cobre
n~josomenteas ciência~ da Engenharia em sua plenitude, como as ciências biológicas
e sociais. Estas dimensões adicionadas criaram tantos problemas novos que a análise
de sistemas e o projeto tornaram-se virtualmente uma ciência.
A fim de obter..se comunicação com o maior número possível de leitores, a ênfase
neSIe texlo está nos princípios matemáticos e fisicos, a linguagem básica das ciências.
As aplicações específicas deste princípio, torriadasprincipalmente da Engenharia e
d:1s Ciências Biológicas, são encontradas nos problemas resolvidos ao fim de cada
capítulo. Identifique os componentes entrada e saida, e descreva a operação de um sis-
tema de controle biológico, consistindo num ser humano que tenta apanhar
um objeto.
Os componentes básicos desse sistema de controle são: o cérebro, o braço,
a mão e qs olhos.
O cérebro envia pelo sistema nervoso o sinal desejado para o braço e a
mão, a fim de apanhar o objeto. Este sinal é amplificado nos músculos do braço
e da mão, que servem como atuadores de potência para o sistema. Os olhos
são empregados como um dispositivo sensível, continuamente "retroagindo" à
posição das mãos para o cérebro.
A posição da mão é a saída para o sistema A entrada é a posição do objeto.
O objetivo do sistema de controle é reduzir a zero a distância entre a posi-
ção da mão e a posição do objeto. A figo 1-3 é um diagrama esquemático. As
linhas tracejlldas e as retas indicam o sentido do fluxo de informação.
A entrada pode ser a velocidade rotacional de um motor primário (e.g.
uma turbina a vapor), em revoluções por minuto. Supondo que o gerador não
tenha carga aplicada a seus termmais de saída, a saída pode ser a tensão induzida
nos te~minais de saída.
Alternativamente, a entrada pode ser expressa como momento angular do
eixo do motor primário e a saída em unidades de potência elétrica.(walts) com
uma carga ligada ao gerado"r.
Identifique a entrada e a saída para 'uma máquina automática de lavar.
Muitas máquinas de lavar (mas nem todas) são operadas da segumte ma-
neira:
Depois que as roupas forem colocadas na máquina, o sabão ou detergente,
o alvejante, e a água dão entrada nas quantidades apropriadas. A programação
para lavar e torcer é então fixada pelo regulador de tempo e a lavadeira é ligada
Quando o ciclo é completado a máquina se desliga por si própria Se as quanti-
dades apropriadas de detergente, alvejante e água e a temperatura desta são
predeterminadas pelo fabricante da máquina, ou entram. automaticamente, então
a entrada é o tempo em minutos para o Ciclo da lavagem e espremedura. O regu-
lador de tempo é geralmente ajustado por um operador humano.
A saída de uma máquina de lavar é mais dificil de identificar. Definamos
limpo como a ausência de todas as substâncias estranhas dos itens a serem lava-
dos. Então podemos identificar a saída como a porcentagem de limpeza Por-
tanto, no início de um cid.o, a saída é menos do que 100 %, e, no fim de um ciclo,
a saída ideal é igual a 100 % (roupas limpas não são sempre obtidas).
Para muitas máquinas, operadas com moedas, o ciclo é fixado e a máquina
começa a funcionar quando a moeda entra. Neste caso, a porcentag~m de lim-
peza pode ser controlada, ajustando-se a quantidade de detergente, alvejante,
água, e a temperatura desta Podemos considerar todas as quantidades como
entrada.
Outras combinaçõeS de entradas e saídas são também possíveis.
Identifique uma entrada possível e uma saída possível para um gerador de eletri-
cidade rotacional.
1.4.
1.3.
1.2.
~.
';I
.leb\tillque as quantidades que são entradas e saídas para o espelho ajustável
piVOlani(: da fie. 1-2.
/; (;111 rad;l é o ângulo da inclinação do espelho e, regulado pela rotação
(lO pa mfuso. /I. saída é il posição angular do feixe refletido {J + ex da superficie
de n:fcrrnc.ia.
• Gr; diarvumas de bloco e os diagramas de fluxo de sinal são representações grá-
1'(::15 r.~';lIrn;das, seja do diagrama esquematizado de um sistema físico ou do con-
junto de equações matemáticas caracterizando as suas partes. Os diagramas de blocos
são consid(~radosem detalhe nos Caps. 2 e ., e os diagramas de fluxo de sinal, no Capo 8.
Os modelos matemáticos, na forma de equações, são empregados quando se
dCGeja relações detalhadas. Cada sistema de controle pode teoricamente ser carac-
terií',;<c\o por equações matemáticas. A solução dessas equações representa o desem-
penho do sistema. Freqüentemente essa solução é dificil, senão impossível de achar.
NcstC'J casos, certas suposições simplificadoras devem ser feitas na descrição mate~
mática. Para um grande número de sistemas de controle estas aproximações e sim-
plificações conduzem a sistemas que. podem ser descritos por equações diferenciais
ordinúrias. l\lém disso, as técnicas para resolver essas equações estão bem documen-
tadur. na literatura da Matemática e da Engenharia Em conseqüência, a maior parte
dest(~ livro está rcstril;;l à con~ideração de sistemas de controle Que podem ser des-
cr,itos por equações diferenciais ordl!1ári~s lineares. Para os leitores que têm conheci'
mento de cálculo e de números complexos elementares, os Caps. 3 e 4 proporcionam
um tratamento das equações diferenciais ordinárias 'lineares e sua soJuç;ão. O material
é apresentado do ponto de'vista de sua aplicação aos sistemas com retroação e à teoria
cios modernos sistemas de controle.
u
i.5. Explique como uma máquina automática de lavar de malha fechada pode operar.
Suponha que todas as quantidades descritas como entradas possíveis no probl. 1.3,
a saber: ciclo, tempo, volume de água, temperatura da água, quantidade de
detergente, quantidade de branqueador, podem ser ajustados por dispositivos
tais como válvulas e aquecedort"S.
Uma máquina de lavar de ciclo fechado meoUla continuamente ou perio-
dicamente a porcentagem de limpeza (saída) dos itens que estão sendo lavados,
ajustaria as quantidades de entrada e desligar-se-ia quando 100 % de limpeza
fossem atingidos.
Ui. Como são calibrados os seguintes sistemas de ciclo aberto: (a) máquina auto-
mática de lavar (b) torradeira automática (c) voltímetro?
(a) as máquinas automáticas de lavar são calibradas considerando-se qualquer
combinação das seguIntes quantidades de entrada: (I) quantidade de
detergente, (2) quantidade de alvejante, (3) quantidade de água, (4) tempe-
ratum da água, (5) ciclo de tempo.
Em algumas máquinas de lavar uma ou mais dessas entradas são prede-
terminadas pelo fabricante.
As restantes quan.tidades devem ser fixadas pelo usuário e dependem
de fatores tais como, grau de dureza da água, tipo de detergente e tipo ou
eficácia do alvejantê. Uma vez determinada esta calibração para um tipo
especifico de lavagem (e.g. só roupas brancas, roupas muito sujas) em geral
não terá que ser alterada durante a vida da máquina.
Se a máquina apresenta defeito e são instaladas peças de reposição,
vrovavelmente será necessária lima recalibração.
Ui) Conquanto o mostrador do regulador de tempo em muitas torradeiras auto-
máticas seja calibrado pelo fabricante (e.g. c1ara-média-escura), a quanli-
(lade de calor produzido I'elo elemento aquecedor pode variar dentro de
t~ltl:.l :J.mpla faixa. Além disso, a eficiência do elemento aquecedor normal-
!ut;(ole se reduz l:om o tempo. Em conseqüência, o prazo exigido para uma
"OOil torrada" deve ser fixado e periodicamente reajustado pejo usuário.
:~lirneil'amel1(e.a torrada é em ~eral muito clara ou escura. Depois de várias
~"li(4W
9INTRODUÇÃO
RETROAÇÃO
O comutador elétrico do Exemplo 1.1 é de malha aberta porque a açào
de controle é igual à entrada. portanto é independente da saída. Para os Exem-
plos restantes de 1.2 a 1.5 a açào de conlrole é claramente uma funçào da saida
Em conseqüência, são sistemas de malha fechada.
1.11. Consideremos a rede divisora de tensão da fig. 14 abaixo. A saída é /1 2 e a entra-
da é ['I'
Visto que a ação de controle é igual à entrada para o sistema do probl. 1.1
e 1.2, não existe retroação e'os sistemas são de malha aberta. O sistema humano
do probl. 1.4 é de malha fechada porque a ação de controle é dependente da
saída, posição da mão.
tentativas diferentes, sucessivas; o tempo de torração necessário para uma
qualidade desejada de torrada é obtido.
(c) Em geral, um voltímetro é calibrado pela comparação com uma fonte padrão
de tensão conhecida, e apropriadamentemarcada a escala de leitura a inter-
valos especificados.
(a) Escreva uma equaçào para 'V l como uma função de VI • R1 e R]. Isto ·é. escreva
urna equação para 1"2 que nos forneça um sistema de malha aberta.
1.10. Quais dos sistemas de controle dos Exemplos 1.1 a 1.5 são de malha aberta')
De malha fechada?
1.9. Identifique a ação de cont role nos exemplos 1.1 a 1.5.
A ação de controle para o.comutador elétrico do exemplo 1.1 é igual à
entrada, o comando liga ou desliga. A ação de controle para o sistema de aque-
cimento do Exemplo 1.2 é igual à diferença entre as temperal uras de referência
e presente da sala. Para o sistema de dedo apontado, no Exemplo 1.3, a ação
de controle é igual à diferença entre a direção presente e apontada do objeto.
O sistema de perspiração do Exemplo 1.4 tem a sua ação de controle igual à
diferença entre a temperatura "normal" e presente da superfície da pele. A dife-
rença ent re a direção da esl rada e a orientação do automóvel é a ação de con-
trole para o motorista e o automóvel do Exemplo 1.5.
UI. Quais,dos sistemas de controle dos probls. 1.1, 1.2 e 1.4 são de malha aberta?
De malha fechada?
1.7. Identifique a ação de controle nos sistemas dos pro bis. 1.1, 1.2, 1.4.
Para o sistema de espelho do probl. 1.1, a ação de controle é igual à 'entrada,
isto é, o ângulo de inclinação do espelho O. Para o gerador do probl. 1.2 a ação
de controle é igual à entrada, a velocidade de rol ação ou momento angular do
eixo do motor primário. A ação de controle, no sistema humano do probl. 1.4,
é igual à distância entre a mão ~ a posição do objeto.
[CAPo I[CAPo 1
Fig.l-3
mSTh-MAS DE IlETItOAÇíí.O E CONTROLE"ü
SISTEMAS DE MALHA ABERTA E SISTEMAS DE MALHA FECHADA
( V
I
-V2) (R2) (R2) .
v2 = R2~ = li"; VI - li"; t=2 = !(r1 , L'2' RI' R.2)
v _. V(b) Escrevendo a corrente i de forma ligeiramente diferente, temos i = _1__2.
RIPOrlanto
(il) Escreva a equação para V2 na forma.de malha fechada, isto é, V2 como urnafunção de VI' v2 , RI e R 2 .
Este problema exemplifica como uma rede passiva pode ser caracte-
rizada, seja como um sistema de malha aberta ou sistema de malha fechada
((I) Das leis de KirchholT para a tensão e corrente nós temos
~~
t~
,':;1
I
~
11INTRODUÇÃO
A entrada para nosso sistema econômico é a estabilidade de preço. Uma
maneira mais conveniente para descrever esta entrada é a flutuação de preço
nula. A saída é o preço de mercado presente'.
O sistema opera como segue: o que dá o preço recebe um comando (zero)
para estabilidade de preçu. Ele avalia o preço para a transação no mercado
com o auxílio de informaÇão de sua memória ou registro de transações passadas.
Este preço faz com que o fornecedor produza ou forneça um certo número de
itens, e o comprador peça um certo número de itens. A diferença entre a oferta
e a demanda é a ação de controle para esse sistema. Se a ação de controle é não
nula, isto é, se o fornecimento não 'é igual à demanda, o que dá o preço inicia
uma mudança no preço de mercado no sentido que torna o fornecimento even-
tualmente igual à demanda Desse modo, tanto o fornecedor como o comprador
podem ser considerados como retroação, visto que determinam a açào de con-
trole.
PROBLEMAS DIVERSOS
1.13. (a) Explique a operação dos sinais ordinários de tráfego; que controlam o fluxo
automobilístico nas interseções das rodovias. (b) Por que são el(lS sistemas
de controle em malha aberta? (e) Como pode o tráfego ser controlado mais
eficientemente? (ti) Por que é o ~istema (e) de malha fechada?
(a) Os semáforos controlam o fluxo de tráfego confrontando sucessivamente
o tráfego numa direção partlcular (e.g. norte-Sul) com uma luz vermelha
(pare) e a segUir verde (siga). Quando u.ma direção tem o sinal verde, o tra-
fego que cruza uma outra direção /leste-oeste) tem a luz vermelha. Em mu:tos
SlllalS de tráfego os intervalos das luzes vermelha e verde sào predetermI-
nados por um mecanismo de tempo calibrado.
(b) Todos os sistemas de controle operados no mecanismo de tempo prefixado
sào de malha aberta. A açào de controle é igual à entrada, os tempos de
vermelho e verde.
(e) Além de prevenir colisões em geral, é uma função desses sinais controlar
o volume do tráfego. Para o sistema de malha aberta, descrito acima, o
volume de tráfego não influencia os intervalos de tempo prefixados de ver-
melho e verde. A fim de fazer com que o fluxo de tráfego seja mais suave,
o intervalo da luz verde deve ser tornado mais longo que o da luz vermelha
na direção que esteja com maior volume de tráfego. Freqüentemente. um
guarda desempenha esta tarefa.
O sistema ideal seria medir o volume de tráfego em todas as direções,
compará-lo, e usar a diferença para controlar os intervalos de tempo ver-
melho e verde. .
(ti) O sistema (e) é de malha fechada porque a ação de controle (a diferença entre
o volume de tráfego em cada direção) é uma função da saída (volume de
tráfego eletivo, que tluí depois da interseção. em cada direção).
1.14. (a) Indique os componentes e as variáveis do aparelho de controle biológico
envolvidos na marcha em uma direção determinada (b) Por que é a marcha
uma operação de malha fechada? (e) Sob quais condições o aparelho de
marcha humana se toma um sistema de malha aberta?
CAPo I][CAPo I
V2
VI
R2
I o
+
RI + R 2
RI
Fig.1-4
~
V2 = R 2 i,
v _ ( R 2 )
2 - RI + R2 VI = f(v l , RI' R2)
mSTEMAS DE RETROAÇÃO E CONTROLE
+
f'onle de
Tensão
portanto
Explique como o conceito econômico clássico. conhecido como Lei da Oferla
c; (lil Procura, pode ser interpretado como um sistema de controle com retroaçâo.
Escolha o preço de mercado (preço de venda) de um item particular como saída
cio sistema e suponha que o objetivo do sistema é manter a estabilidade do preço.
A lei pode ser enunciada da seguinte maneira: a demanda do mercado para
o item diminui à medida que o seu preço aumenta A oferta do mercado geral-
mente aumenta, à medida que o seu preço aumenta A lei da oferta e da procura
diz qlle o mercado de preço estável é atingido se e somente se a oferta é igual
à dcm,mda.
A maneira pela qual o preço é regulado pela oferta e demanda pode ser
de:;crita com conceitos de controle com retroação. Escolhal11us ,eguintes
"pJ:\lro dementos básicos para o nosso sistema: o fornecedor. o comprador,
() (:11,. di, o pn:çll e o lnercado, em Que o item é vendido e comprado. Esses ele-
rncnlc>~: geralmente representam processos mUllo complicados.
iG
In],.
!
.i
13
1):111
Fig. 1-7
I ~hl"C""I de ll\I\:"
I . Bol:l'l
I ~<i"''''''1<
I I JCll\IC,"
1' .. pdI1ll I
I . I
, I !lI de HC:1!1Il1CIlI.II'.1Il .-Jt _
Il1h:rt'lIpll 1f
INTRODUÇÃO
TtlmalJ'a
Desenvolva um sistema de controle para levantar ou abaixar automaticamente
uma ponte levadiça a firo de permitir a passagem de navios. Não é permissível
um operador humano contínuo. O sistema deve funcionar inteiramente auto-
mático.
Problemas Propostos
Imagine uma torradeira automática de malha fechada.
Suponha que cada elemento aquecedor fornece a mesma quantidade de
calor por todos os lados do pão ea qualidade da torrada pode ser determinada
pela sua cor. Um diagrama simplificado da maneira possível de aplicar'o prin-
cípio da retroação à torradeira é mostrado na flg.' \-7. Apenas um lado da.torra-
deira é exemplificado,
A torradeira est~ inicialmente programada para a qualidade de torrada
• desejada por meio do botão de ajustamento da cor. Este ponto nunca necessita
reajuste, a não ser que o critério de qualidade da torrada mude. Quando o comu-
tador está fechado, o pão é torrado ate que o detector de cor "veja" a cor dese-
jada Então o comutador é automaticamente aberto por meio da conexão de
retroação, a qual pode ser elétrir.a ou mecânica.
1.22. Explique a operaçâo e identifique as quantidades de componentes perl ínentes
a um canhão antiaéreo controlado por radar. automaticamente.Suponha que
1.21.
1.19: Identifique a entrada e a saída de um refrigerador automático.
1.20. Identifique uma entrada e a saída para uma máquina elétrica e automática de
café. É este sistema de malha aberta ou malha fechada?
1.18. Identifique a entrada e a saída para uma· estufa elétrica com regulação auto·
mática de temperatura.
TtUlI:uJa
Fig. 1-6'
\W)Ltmr:lda
Qtl:lrh'
J:lnda
I
1.17.
CAP: IJ
\",
11;i;
1<4'
~,.
~
[CAPo I
Torneira
Água
SISTEMAS DE RETROAÇÃO E CONTROLE
(";1 O>s ln-irIC'Ei.ais componentes envolvidos na marcha são o cérebro, os olhos,
;,~ pr.m3s c os p6>. A. enlrada pode ser escolhida como a direção da marcha
df:seja.da e a saída a direção da marcha real. A ação de controle é determi-
nada relos olhos que detectam a diferem:.a entre a entrada e a saída e enviam
est:l informação ao cérebro. O cérebro comanda as pe'mas e os pés levando-os
a ma.rcha.r na direção prescrita.
ih) fi. marcha é uma operação de malha fechada porque a ação de controle é
uma função da saída.
(c) Sf; os olhos estão fechados, o laço de retroaçào está interrompido e o sis-
tema se toma de malha aberta.
Fig.l·5
A hóia nUlUa sobre a água. À medida que a bóia se aproxima da parte supe-
rnor do depósito, a válvula diminui o !luxo da água Quando o depósito se enche,
a válvula interrompe o fluxo da água.
~~ Polias~,,""," . -.;:'i~_Agua'--,..,~"-~:·-'-----·---'--l""') ,
r :./
Um si,tcma simples que realize esta tar.efa é mostrado no diagrama esque-
n1Útir;'J, i'ig. 1-6.
/\0 f\noilcc~r, a célula fOloelélrica, que funciona como um comutador sen-
::i"d. i' 1117, fecIta o circuilo da làmrada iluminando assim a "ala A lâmpada
l'(;l'm,m<;('i' iluminada alé o amanhecer. quando a célula fotoelél rica deleCla a
,'riHI:llll(~ luz externa e abre o circuito da lâmpada.
U!). Descnvolv3 um sistema de controle simples que ligue automalicamente a lâm-
pada da sala ao anoitecer e desligue-a à luz do dia Most re um esboço do seu
sistetna.
f,J5. Desenvolva um sistema de controle para encher um depósito de água depois
que de foi esvaziado através de uma lorneira no fundo. O sistema deve fechar
atl!omaticamente a entrada da água quando o depósito estiver cheio.
O diagrama simplificado, ligo 1-5, mostra o princípio do sistemá de enchi-
mento do tanque do vaso sanitário ordinário.
! :J
RESPOSTAS AO PROBLEMAS SUPLEMENTARES
!.liB, A entrada é a temperatura de referência. A saída é a temperatura efetiva da
estufa.
)' + 11"" z
+
+
(e)
(b)~ 1. ] F~.
!..-r
Saida
(bl",' "1; '-',
(a) Enlf.nia \ Elemen ..' .
, I t.1t: Conlrole
i
Exemplo 2. \.
Ex..emplo 2.2.
As operações de adição e subI ração têm uma representação especial. O bloco
torna-se um pequeno círculo, chamado ponto de soma, com os sinais apropriados,
mais ou menos associados com as llechas que entram no círculo. A saida é a soma
algébrica das ent radas. Qualquer número de ent radas pode atingir um ponto de
somação.
Capitulo 2
Terminologia dos Sistemas de Controle
'"""', -{ 1 ,,""HI~)l.:ll
o interior da retângulo representando o bloco, geralmente contém uma descrição
ou o nome do elemento ou símbolo para a operação matemática a ser efetuada na
entrada para proporcionar a saída. As flechas representam a direção da informação
unilateral ou Ouxo de sinal.
2.1. DIAGRAMAS DE BLOCOS: FUNDAMENTOS
Um diagrama de blocos é uma representação simplificada e pictórica da relação
de causa e efeito entre a entraçla e a saída de um sistema físico. Ele proporciona o método
conveniente e útil para caracterizar as relações funcionais entre os vários componentes
de um sistema de controle. Os componentes do sistema são allernativam":l"e chamados
elementos do sistema. A forma mais simples de um diagrama de bloco é o bluco simples,
com uma entrada e uma saída:
, ~,
t~
".o.
:~
.,
\~:~ftI:~,
1i'
~1'
~~l
,.tp.
,:,..
"'~i'
~r
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f\'
tir,~,
-',f;'
~,:
f;
~:
5.
l
[CAPo I
ViR
Fig.1-8
r --o
+
~
._1 ~
SISTEMAS DE RETROAÇÃO E CONTROLE
+
Fonte d'e
Tensão
n50 ;;eja necessário operador, exceto para inicialmente por o sistema num modo
op(';r~cional.
·
U:S. Quais as entradas, em adição ao comando para uma marcação desejada, que
você esperaria encontrar, atuando sobre o sistema do probl. 1.24?
LiA. Dese,nvolva um sistema de controle para o posicionamento do leme de um
navio, de uma sala de controle localizada distan,e do leme. O objetivo do sis-
tema de controle é dirigir o navio, segundo a marcação desejada.
1.23. Pode um sistema econômico puramente socialista satisfazer ao modelo da lei
da oferta e da procura, descrita no probl. 1··12? Por que ou por qu~ não?
L2~. Pode a n:de elétrica. da Fig. 1-8 ser julgada como um sistema de controle com
n:troaçào?
í.~I)l. A entrada é a temperatura de referência. A saída é a temperatura efetiva do
refrigerador.
120; Urna entrada possível para a cafeteira elétrica automática é a quantidade de
café usado. Além disso, muitas cafeteiras têm um mostrador que pode ser ajus-
(Mo ram. café fraco, médio ou forte. Este ajuste geralmente regula o mecanismo
(l,,~ te:mro. Tempo de mistura é portanto outra entrada possível. A saída de
'1u:tlrpH;r cafi"leira pode ser escolhida segundo o café obtido. As cafeteiras des-
rril:IS :<eim;l são de maiha aberta.
1.27. A operação de uma bolsa, tal como a de Nova York, satisfaz ao modelo da lei
da oferta e da procura descrita no probL 1.12? Como?
14
1.26. Pode a aplicação do "laissez faire" capitalismo, a um sistema econômico, ser
i.nterpretada como um sistema de controle com retroação? Por que?
2.4 TERMINOLOGIA SUPLEMENTAR
~!
~Ij
~
I
f
I
I
Il'i~)~,t~i,I~i~~
.~~\~~I
~I-~1..'í'
(j
19
PÓS;ç~(I i1ngl,lbr
da~ r,ld ~$
Fig. 2-2
,- Elementos de conrr~t· UI-----,
TERMINOLOGIA DOS SISTEMAS DE CONTROLE
2.6 REGULADORES
Definição 2.20: Um regulador ou sistema regulador é um sistema de controle
com retroaçã.o, no qual a entrada de referência ou comando é constante durante um
longo período de tempo, freqüentemente pelo intervalo de tempo durante o qual o
sIstema é operacional.
O regulador difere de um servo mecanismo no fato de que a função primária de
um regulador é geralmente manter uma saída controlada constante, enquanto a de
e =,. + b
2.5 SERVOMECANISMOS
O sistema de controle especializado com 'retroação" chamado servomecanismo,
merece atenção especial devido à sua prevalência nas aplicações industriais e na lite·
ratura de sistemas de controle,
Definição 2.19: Um servomecanismo é um sistema de controle especializado
com retroação amplificando potênCia no qual a variável controlada c é posição
mecânica ou uma derivada no tempo da posição, tais como velocidade ou aceleração.
,'
Exemplo 2.6
O aparelho de direção de um automóvel é um servomecanismo. O comando de
. entrada é a posição angular do volante, Um pequeno torque rotacional, aplicado ao
,volante; é hidraulicamente amplificado, resultando numa força adequada para modi-
fi~ll.r a saída, posição angular das rodas da frente,
O diagrama de blocos de tal sistema pode ser representado pela fig, 2-2, abaixo,
Aretroação negativa é necessária a fim de levar a válvula de controle à posição neutra,
reduzindo otorque do amplificador hidráulico a zero, quando a posição desejada
9a roda tenha si-do obtida,
Definição 2:18: O tempo de résposta de um sistema ou elemento é a saída como
uma função do tempo, seguindo a aplicação de uma entrada prescrita sob condições
de operação especificadas,
Definição 2,17: Um estímulo é qualquer sinal de entrada introduzido externa-
mente, afetando a saída controlada c, Por exemplo, a entrada de referência' e uma
perturbação w são estímulos.
Definição 2.16: Retroação positiva significa que o ponto de soma é um adicio-
nadar; ou
CAPo 2]
----y
Tcmâo·"aída
POlcnciômelro
DI<lt!rilma tk Blncllv
Posição-Clll rada
v
SISTEMAS DE RETROAÇÃO E CONTROLE
Diagrilma Esqucm,"tlit:o
(a)
[
. pE"",d,, do
C0/T1,1I1dll _ RcferênCLJ
---..-~.---u.- Transdulor .~
V . r
([:
M,uitos outros lermos exigem definição e exemplificação nl:~te momento, Outros
serão apresentados em capítulos subseqüentes conforme for necessário,
Definição 2.12: Transdulor é um dispositivo que converte uma forma de energia
em outra,
Definição 2, J4 Quando o elemento de rei roaçào consiste num transdulor e
11m transdulor é necessário na entrada. aquela parte do sistema de controle mostrada
no diagrama de blocos acima (iJ) é chamada detector de erro,
Definição 2,13: O comando v é um sinal de ent rada, geralmente igual à entrada
de referência r. Mas quando a forma de energia do comando v não é a mesma que
aquela da retroação primária b, um transdutor é necessário enlre o comando t' e a
entrada de referência r como é mostrado na fig, (a).
e = r-b
DtfÍl1ll;,iio ~?. j 5: I~etroaçao negativa significa que o ponto de soma é um sub·
1".:'!ior~ ou
[CAPo 2
Dcfiniçi,j,o 2,9: Uma pelturfJaçiío w é um sinal de entrada não desejado que
:;,k,i~ o valo> da salda controlada c, Ele pode entrar na instalação por somação com m
0(\ i!.tmvés um ponto intermediário, como é mostrado no diagrma de blocos da fig, 2-1.
Ddínição 2.10: O permrso direto é o percurso de transmissão do sinal atuante e
para J. saída controlada C.
Por exemplo, um dos transdutores mais comuns em aplicações de sistemas de
controle é o po,tenciômetro, que converte posição mecânica em tensão elétrica:
~"-'--'---""-l : RaOl'"
'5 1v Jcos: I pl)src;ào-erllrada
f"OI\Ie: dl~ :>
re:rcrc.nl:i:l ~ -:---t---o
I
J~~ ...:;: I + TC\l~,ttl
CII~,'\l ~ I
o ...l ..I__.: '"\~"
Definição 2,,11: O percurso de relroaçiío é o percurso de transmissão da saída
-contl"Olacla 'c para o sinal de retroação primária b,
'.j~'
';1~ '"
i'"~
.• ;I.
,t·J!\l:;n~i~f!
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,'~(~
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I.
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!)
X:l
d
21
Fig.2·8
(d)1 Xlal-~~dt.•'1'_1 _
x"
+
d I ti.\' \d tal.>:,1 = ai' _I)~t \ dt/
-
dx~,..-_ d1.'r2
x, .i ~It 1 dr ' :T] dt'
d
dt
dx,
Idl. ~
" ~r-_-=;
an~lX'n-l
Fi:~. !-h
"3
°1,)'1
especificadas 'por esta eq uação, (I I e deri vaçào dr
de blocos contém dois blocos. como sào mostrados
ai
.
.
X,,_I ...~a._1
:1'2
TERMINOLOGIA DOS SISTEMAS DE CONTROLE
Fig.2-7
Se (lI é uma constante. o bloco 0I
XI
d
pode ser combinado com ° bloco -.dr
visto que não resulta ,confusào. como é mostrado na figo 2-8. Note-se que
d
se (I I fosse ° operador desconhecido. a inversão dos blocos - e (l, nàodr
r '-ó.
·lr·ld(l na I!O!. - -G dlZ\ I. mll' (
e X_I__ ai
(a) Duas operações são
Trace ° diagrama ,li: bl<l\:lls para 0ada uma das seguintes equações:
(
dX 1) dZxz dX I J(a) X2 = aI dt- -(b) x~ = ([ti + di-XI' (c) X4 = X~ dI
(hl Se:g.und,\ a mesma linha de: racincinlll Cllml' 11.1 P;lrtC III\. h;1 dl\l~ diagramas
de: blllCllS plJ'si\·cis p;tra a Lqll;II,:~ll\ de x,. :
resultaria necessariamente numa saida igual a X2:
r,
dx,_XI~dt
d!
-(
2.2.
Portanto, o diagrama
na fig. 2-7.
~1 d ~:tl O- X~. _ a 1 -----.-. dt
CAP. 2}[CAP 2
Wi~. 2-S
} ... X3
+ Qn- J X rl _ 1
""
:1'2 ~a2X2
-_._••_"" I!~
+
.( I _I.:=-L~I~I----~.r--
X n = a 1 x 1 .+ a2 x 2 -+
SISTE~~AS DE REl1!lOAÇÃO E CONTROLE
Problemas Resolvidos
\H S(';gf.1iml.o ;:. mesm~ linha de raciocínio como l1a parle (a), o diagrama de
blocos p.m.
(a} x.} ,.= {lIX I + a 2 x z -5
(b) x,; = {lIX I + a2x2 + ... + a,,-l X"-I.
'iH
/:.1. Consideremos as seguintes equações nas quais Xl' X2'.' x" são variáveis e ai'
.1z ... a" são coeficientes gerais ou operadores matemálicos:
Pí'l ~.:Ccl'vorne('aL1ir.mo{; mais freqUentemenle fazer com que a saída do sistema acom-
ran~ll~ tlmu enlrildz variável.
D!AGRAMAS DE BLOCOS
Trace um diagrama de blocos para cada equação, identificando todos
os blocos, entradas e saídas.
(o) Na forma em que a equação é escrita, X3 é a saída Os termos do segundo
membro da equação são combinados no ponto de soma, como mostrado
na fíg. 2-3.
::::~3---_.-"-X:l x(.---.[l .. a(xI
Fig. 2-3 figo 2-4
O termo li, XI é representado por um único bloco, com XI como entrada
e a I x I como saída.
Portanto, o coeficiente ai é colocado dentro do bloco como é mostrado
na figo 2-4. ai pode representar qualquer operação matemática. Por exemplo,
se ai fosse uma constante, a opúação do bloco seria "multiplique a entrada XI
pela constante a I'" Isto é geralmente claro, a partir da descrição ou do
contexlo de um problema, o que é significado pelo símbolo, operador ou
descrição no interior do bloco.
O ter.mo a z X2 é representado da mesma maneira.
O diagrama de blocos para a equação inteira é, portanto, mostrado
na figo 2-5.
v'!
23
Saida
Fig. 2-15
~I Rz
. ., Ri
Enc.rgill desligada
Energia Ilguda
Ligo • I
Entrada Desliga
Desenhe diagramas de bloco símples para os sistemas de controle nos Exem-
plos 1.2 e 1.5, pág. 2 .
Do problema 1.10, pág. 9 , notamos que estes sistemas são de malha fechada,
e do problema 1.9 o sinal atuante (ação de controle) para o sistema, em cada
exemplo, é igual à entrada menos a saída. Portanto existe retroaçào negativa
em cada sistema.
Para a estufa termostaticamente controlada do Ex.emplo 1.2, o termostato
pode ser escolhido como ponto de somação, visto que este é o dl~po"il ivo que
determina se a estufa deve ser ou não ligada.
Os olhos podem ser repreSentados por um ponto de somação, tanto no
sistema humano do Exemplo 1.3 como no sistema bomem-au.!omóvel do
Exemplo 1.5. Os olhos desempenham a função de observar a entrada e a saída
TERMINOLOGIA DOS SISTEMAS DE CONTROLE
Desenhe um diagrama de bloeos de malha aberta e úe malha fechada para a
rede divisora de tensão do problema 1.11, pág. 9.
A equação de malha aberta foi determinada no problema 1.11 eomo
V2 = ( R2 ) VI' onde VI é a entrada e V2 é a saída portanto o bloco é repre-
RI + R2
Rsentado por 2, figo 2-14, e claramente, a operação é multiplicação.
RI + R2
A equação de malha fechada é V2 = (~:) VI -(~:) V2· O sinal de atuação
é VI -V2'
O diagrama de blocos da retroação neg·ativa de malha fechada, é facilmente
construído apenas com o único bloCo representado por R
2
, como é mostradoRI
2.6.
2.S.
~ { R,':R,} "'.
Fig. 2·14
Desenhe um diagrama de blocos para o comutador elétrico do exemplo 1.1,
pág. 2. (veja Problemas 1.9 e \.10,pág. 9 ).
Tanto a entrada como a saída são binárias ou variáveis de dois estados.
O eomutador é representado por um bloeo, e a fonte de energia elétnca que
o eomutador controla não'é parte do sistema de controle. O diagrama de bloco
em malha aberta pode ser dado por
2.4.
[CAPo 2
;~i
~.
l
20
Graus
Fig.2-9
[CAPo 2
. eraUI
2k--
rOlaçlo
Espelho
pivolado
__-:o:-.-_.~
Fig. 2-11
Feixe /
renelido~
/
i
t-a
/
SlSTEMAS DU RETROAÇÃO E CONTROLE
tI-~ .....L.--~l!l",""" t V
'?/27777Z7T/ffh1o;.:
Apesar da ent rada ler sido definida como eno Problema 1.1, as especificações
para este problema implicam uma entrada igual ao número de rotações do
parafuso.
Seja n o número de rotações do parafuso tal que n = Oquàndo () = Ograus.
Portanto, 11 e O podem ser relacionados por um bloco descrito por uma cons-
tante I~, visto que O = kl1, como é mostrado na fig. 2~10.
:'-~
A saída do sistema foi determinada no problema 1.1 como fi + IX. Mas
visto q lIe a fonte luminosa é dirigida paralelamente à superficie de referência,
então (J. = O. Portanto, a saída é igual a 2 e e o espelho pode ser representado
por lima constante Igual a 2 num bloeo, como é mostrado na figo 2-1l.
O diagrama de bloco completo de malha aberta é dado na figo 2-12.
Espelho
J·araruso pivolado 8
__ AnguJodo
~,o\"J r; [~20 rdl< reOe1ido n ,
k _._- -----.- 2 --- ...
.r~.~~:.,.-., Graus ~ Graus ROlações I -=-aI
Desenhe um diagrama de blocos para mecanismo no espelho ajustável pivotado,
seção 1.1, pág. 1, com a saída identificada como no problema 1.1, pág. 6. Suponha
ClllC cada rotação de 3600 do parafuso levanta ou abaixa o espelho k graus.
Jdentifique todos os sinais e componentes do sistema de controle no diagrama
O diagrama esquemático do sistema é repetido na figo 2-9 por conveniência
Note-se que a distância do feixe luminoso à superficie de referência é igual à
espessura d d.o espelho.
Ir-ir_ 2-12
}():' c;ste !.imples Gx(:mplo tambr.m notamos que a saída 2 Oé igual a 21m rotações
I.) parafuso. Isto nos informa o diagrama de bloco, mais simples da fig. 2-13.
(c) f1 operação de integração pode ser representada num diagrama de blocos como
.'
___11 _.~ o _
f\)t;l~:itCsL:~
Fig. 2-10
:t3.
i
'11 I
"-"~Il:1 t;IIt::
""'10~I~ [:J-G Or;•• ,.,""~''''n''':~'' ~:-- co,,,,," I "',,' == "~:::.:~,: j,,ulomóve~
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Exemr>lo \.5
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~·J·I·i.!"IL~Il~l:~
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~~~~
I~
'1~y
~11~opI~
•~.
I~
P
25
c
Nivel rrescnl~
da itgua
OriCfllaçâo prcsenlt:
In~'illitçJ,ll
In~lalaç~tl
nóia. cordão
e ligações
~ssociadas
ElemenlOS de rei waçoi\)
Controlador
\..\lnlrt\ladllr
TERMINOLOGIA DOS SISTEMAS DE CONTROLE
-
~t
....
"'1
-
PIIOIO 11-
'm-2 ...
aUlomalico -1-----1 Avtiio
m n --...
C --
-
_.
~
Desenhe um diagrama esquemático e um de blocos a partir da seguinte descrição
de um servomecanismo de posição, cuja função é abrir e fechar lIma válvula
de água.
....
Nivel de
rcrerencia da
agua ICOeiol I b
SERVOMECANISMOS
2.9.
CAPo 71
2.7. Desenhe um diagrama de bloco para um sistema de enchimento de agua des-
crito no probl. 1.15, pág. 12.
Qual o componente ou componentes compreendidos na Instalaçào') O
controlador? A retroação?
O depósito e a Instalação porque o nível da água do depósito está sendo
rnntrolado (veia Definição 2.]). A 'válvula pode ser escolhida como elemento
de controle ou controlador, e a bóia, cordao e lIgações associadas como elementos
da retroaçáo. v dIagrama de blocos é dado por
A retroação é negativa porque a taxa de fluxo da água para o depósito deve
decrescer, à medida que o nível da água cresce no depósito.
DIAGRAMAS DE BLOCOS DE SISTEMAS DE CONTROLE COM RETROAÇÃO
. 2.8. Desenhe um diagrama de blocos simples para o sistema de controle com retroação
dos Exemplos 1.7, pág. 4 , 1.8, pág. 4 , o avião com um piloto automático.
A instalação para esse sistema é o avião, incluindo suas superlicíes de
controle e instrumentos de navegação. O controlador é' o mecanismo de piloto
automático e o ponto de soma é o dispositivo de comparação. O enlace de re-
troaçào pode ser represerntado simplesmente por uma flecha da saída para o
ponto de soma, visto que essa ligaç~o nào é bem delinida no Exemolo 1.8.
O piloto automatlco proporcIOna sinaiS de controle para operar as n
superfícies de controle de m (leme, "flaps", etc). Estes sinais podem ser repre-
sentados por ml , m2 , ... , mn'
O diagrama de blocos mais simples para este sistema de retroação é dado por
~
[CAPo 2
Oircçào Oif'tlnladaBrctço,
Mãtl
e Dedo
Exemplo 1.2
Exemplo 1.3
E)(cmplo 1.4
}- { ,,""'..,,"GI.ãnduliis presenle,00,""", -.::J ,. ':':-
,-- - i
Tempera1ura prescnle
Calur do compitrlimenlo
---<[E'lUf' Comparlimcnto
~_._- ~._-~-
S!STEMAS DE RETHOAÇÃO E CONTROLE
+0-_._-- ....
Tt·mpcrillura '-
",,',,'"''' t
TerliHl'ilal
.~+o~) {--::r _"
Dirce'; .. d" .. bjch,. _ _~ L ~
Sislema ncrVI'SO
+[--- --,J ~mrC"i\l\lra , _rlllrmaJ
di! p,de
Para (} sistema de pcrspiraçào do Exemplo 1.4, o ponto de soma nào é
rilo f<lei!mente definido. Para maior simplicidade chamemos o mesmo de sis-
rema nCI'V050.
Os diagramas de blocos são facilmente construídos, como é mostrado
Hbaixo, a partir da informação dada acima e a lista de compuiH:ntes, entradas
e saidlls dados nos exemplos.
As a(';çha~; descnhad:ts de um componente para o outro para os dIagramas
[,!()(;ü do:; ~ü:tcmas biülOl!:!l.:lJ~ 'lV~ c.xemplos 1.3 e 1.5 podem representar
ll.,q:; t:lhlricos, químicos Oll rncclinicos controlados pelo sistema nervoso
(;':J:\ll'íl.!.
24·
N:J: eutmda do sistema há um potenciômetro do tipo rotativo ligado sobre
lIm~ fonte de tensão a bateria. O seu terminal móvel, (1°) é calibrado em termos
de ro~;jçíl0angular (em radianos). Este terminal de saída é eletricamente conectado
ao lermiu:1! de um amplificador de tensão chamado servo-amplificador. O
scrvo..amplificador fornece tensão de saída suficiente para operar o motor
elétrico chamado servomotor. O servomotor é mecanicamente ligado com a
válvula de água de maneira que permite a válvula ser aberta ou fechada pelo
motor. Suponha que o efeito de.carga da válvula sobre o motor seja desprezível.
Urna rotação de 360"'do eixo do motor abre completamente a váhula Além
disso, o terminal móvel de um segundo potenciômetro, ligado em paralelo a
seus terminais fixos com o potenciômetro de entrada, é mecanicamente ligado
ao eixo do motor. Ele é eletricamente ligado ao terminal de entrada restante
do servo-amplificador. As razões dos potenciômetros são fixadas, de modo
que sejam iguais, quando a válvula está fechada.
Quando é dado um comando para abrir a válvula, o servomotor gira no
sentido apropriade;. Como a válvula abre, o segundo potenciômetro, que é
chamado potenciômetro de retroação, gira no mesmo sentido do potenciômetro
de entrada
Ele pára quando as razões dos potenciômettos são exatamente iguais.
O diagrama esquemático, fig. 2-16, é facilmente desenhado a partir da
descrição acima As conexões mecânicas são mostradas por linhas tracejadas.
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27
PJdianos/s
Baleria
C;J
lnstalaçJ.,
nt
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Enrolamcnlo
de campo
do motor
J c. Moror li- - - - - 'lRltdillnos/s 1
I
I
I
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Gerador
EIc:mt'IIIU;S de
rclroação
~ Controlador --,
.,
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+ \ 1I~'fi.
e cedor
b
volta
I { T~oom'''.l·~''---------_...J''
, ,NdiII:lnOJ/t
+.
Desenhe um diagrama de blocos para o sistema de. comutação de célula fol0-
elétrica descrito no probl. 1.16, pág. 12. A intensidade de luz da sala deve ser
mantida a um nível maior ou igual a um nível preespecificado.
A maneíra de descrever este sistema é com uma entrada escolhida como
mínimo da intensidade de luz na sala rI' e a segunda a intensidade do por do
sol na sala r 2' A saída c é a in t ensidade de Iu<. presente na sala.
-1 v;t.L~
o potenciômetro é do tipo rotativo, calibrado em radianos/s, e a velocidade
do motor primário, enrolamento de campo do motor e as correntes do poten-
ciômetro de entrada são funções constantes do tempo. Nenhuma carga é ligada
ao eixo do motor.
As fontes de tensão a bateria, para ambos, o potenciômetro de entrada e
o enrolamento de campo do motor e a fonte do motor primário para o gerador,
não são partes da malha de controle deste servomecanismo. A saída de cada
uma dessas fontes é uma funyào constante do tempo e pode ser considerada na
descrição matemática do potenciômetro de entrada, do gerador, e motor, respec-
tivamente. Portanto, o diagrama de blocos para este sistema, é
lH.
MISCELÁNIA DE PROBLEMAS
r:OflIC -1:
de lendo
" "bllteiia
CAP. 2} TERMINOLOGIA DOS SISTillJlAS DE CONTROLE
2.10. Desenhe um diagrama de blocos para o sistema de controle de velocidade
elementar (servomecanismo de velocidade) dado pelo seguinte diagrama esque-
mático: ~
rol........ ~
[CAPo :!
Cafila
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Radianos
InSlalllçào
EJellIKQIO.
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COlllfolador
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SISTEMAS DE RETROAÇÃO E CONTROLE
Tr'lllsdulOr dt: (Illfilda
Fig. 2-16
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rClfoac;l1o
o diagrama de blocos para esse sistema, fig. 2-17, é facilmente desenhado
a partir do diagrama esquemático.
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TERMtNOLOGIA DOS SISTEMAS DE CONTROLE
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Oferla "" h.
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PonlO zero de
flutuação de
preço do mercado
onde Q é a saída cardíaca ou a taxa de fluxo volumétrica do sangue do coração
para a aorta, e p é a resistência 'periférica oferecida "<!O fluxo sangüíneo pelas
arteríolas. p é inversamente proporcional à quarta potência do diâmetro d
dos vasos (arteríolas).
Agora d é controlado pelo centro vasomotor (CVM), situado na medula
na base do cérebro. Atividade aumentada do CVM diminui d e vice·vcrsa.
Conquanto vários fatores afetem a atividade CVM, as células baro-recep-
toras, localizadas na região da árvore arterial conhecida como "sinus arterial",
são as mais importantes. A atividade baro·receptora inibe o CVM, e, portanto,
funciona ao modo de retroação.
Se p aumenta, os baro·receptores enviam sinais ao longo dos nervos vago
e glossofaríngeo para o CVM, diminuindo a sua atividade. Isto resulta no aumento
do diâmetro d da arteríola, uma diminuição na resistência periférica p, e (supondo
constante a saída cardíaca Q) uma' queda ~orrespondentena pressão do sangue p.
Esta rede de reI roaçào serve para manter aproximadamente constante a pressào
do sangue na aorta.
Desenhe um diagrama de blocos do sistema de controle com retroação,
descrito acima, identificando todos os sinais e componentes. A finalidade do
sistema é manter a pressão do sangue (100 mm Hg) na aorta.
Seja a aorta a instalação, representada por Q (saída cardíaca); o CVM e as
arteríolas podem ser escolhidos como os controladores; éls baro-receptores
são os elementos de retroação. A entrada Po é' a média normal (referência) da
nrPo«iin saneuínea (lOOmm Hg). A saída p é a pressão do sangue presente.
2.14. A seguinte versào simplificada de ':Im mecanismo biológico, regulando a pressão
arterial do sangue humano, é exemplo de um sistema de controle com retroação.
Uma pressão adequada e relativamente constante deve ser mantida nos
vasos sangüíneos lartenas, artedolas e capilares), alimentando os tecidos. /::.sta
pressão é geralmente medida na aorta (artéria) e é chamada pressão do sangue p.
Ela é tipicamente igual a 80-120 milímetros de mercúrio (mm Hg). Suponhamos
que p seja igual a lOOmm 'Hg (em média) no indivíduo normaL .
Uma das equações fundamentais da fisiologia circulatória é a equação
geral para a pressão arterial do sangue:
:U.l Desenhe um diagrama de blocos mostrando a lei econômica da oferta c da
procura, como foi descrito no probl. 1.12, pág. 10.
[CAPo 2
(:.
Volume: de
Ir;irC60 A
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111l\11/4ÇJo[J_.c ....
Imlltl,jçitO A
flHlaJscip B , VII~uml.' de
r.--.,;"d'-J-r''"'''OB·ol.mt11lo nadlreçio [J
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·"--"·Vc = ri - '2 __*
o sistema é daramcnte de malha aberta O sinal atuante e é independente da
saída (' e é igual à diferença entre as duas entradas 1'1 - 1'2' Quando - I) 1 = O
(a luz está desligada. Quando e > O, I = ri (a luz está ligada).
SISTEMAS DE RETIWAÇÃO E CONTROLE [CAI'. 2
fi~ sala t! li i.nstdação. A variável manipulada (sinal de Controle) é a quantidade
tI,; IH?: fomedr.b 3 sél[a peb lâmpada e pelo Sol. A célula fotoe!étnca e a lâmpadá
,;1;'0 os: demenios de controle, porque eles regulam a intensidade de luz da sala.
Suponhamos que a intensidade mínima luminosa da sala de referência '1 seja
igual i~ intensidade luminosa da sala fornecida apenas pela lâmpada acesa.
O diagrama de bloco para esse sistema é dado por
Desenhe um diagrama de blocos para um sistema de sinal de tráfego em malha
fedl<.\da como é descrito no probl. 1.13, pág. 11 .
Este sistema tem dua~ saídas, o volume de tráfego que passa no cruzamento
em uma direção (a direção A) e o volume que passa no cruzamento na outra
direção (direçà;o E). A entrada é o comanClo para volumes iguais nas direções
A e D; isto é, Oi entrada é a diferença zero de volume.
Ch:mlcmos o mecanismo que calcula os intervalos apropriados de tempo,
vermelho e verde, de computador de intervalo de tempo vermelho-verde. Este
dispositivo, !lOS sirnais de tráfego, constitui os elementos de controle. As insta.
lações são a pista de rodagem da direção A e a pista de rodagem da direção B.
O diagrama de blocos é dado por
/0
r---- Elernc:nlos de conlrole --I
{_.-+ . -+-, COt::tjFVlWOf.. e C1e t~taf"'~k>~:-d-(r~ ... T,,,,,..
- Ve"'Q.j,tho-Yc~
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I
31
+
V,.
l',;,I( = "', - li
+ Fonle de
tensão
- a bateria
TERMINOLOGIA DOS SISTEMAS DE CONTROLE
Problemas Propostos
v,
2.23. A glândula endócrina, conhecida como córtex supra-renal, está localizada no
topo de cada rim. Ela segrega vários hormônios, um dos quais é o cortisol
(hidrocortisona). O cortisol desempenha um papel importante na regulação
do metabolismo dos carboidratos, proteínas e gorduras, particularmente noS
momentos de esforço físico e menta\. Um excesso de cOfllsol no !luxo sangüínen
conduz a um nível elevado de açúcar no sangue (glucose) e à moléstia conhecida
Como "diabetes me/litlls". A produção de cortisol é conl rolado pelo hormônio
adrenocorticotrófico (ACTH) d~ glândula pit uitária O cortisol elevado no
(a) Acelerômetro
(b) Gerador de eletricidade
(c) Termistor (resistor sensível a ,temperatura)
(d) Partermoelétrico
2.22. Quais dos sistemas nos Problemas 2.1 a 2.8 e 2.11 a 2.18 são servomecanismos?
2.21. Enuncie as unidades dimensionais comuns para a entrada e a saída dos seguintes
transdutores:
Fig. 2-18 Fig. 2-19
O circuito equivalente a e!\te amplificador é mostrado na fig. 2-19, onde r p
é a resistência interna da placa, J.I é um parâmetro do lríüdo particular. Desenhe
os diagramas de blocos, tanto em malha aberta como em malha fechada, para
esse circuito, com uma entrada ve e uma saída v, .
2.17, Desenhe o diagrama de blocos para o sistema de marcha humana do probl. 1.14,
pág.l1.
2.18. Desenhe um diagrama de blocos para o sistema humano descrito no probl. IA,
pág.7.
2.19. Desenhe um diagrama de blocos para a estufa de temperatura regulada auto-
maticamente do prob\. 1.18, pág.13.
2.20. Desenhe um diagrama de blocos para a torradeira automática de malha fechada
do probl. 1.17, pág.13.
Tp
2.16. O diagrama esquemático de um amplificador de tensão, chamado seguidor de
cátodo, é dado pela fig, 2-18.
CAPo 2][CAI'. 2
p
Pressiio real
do sangue;
Nivel de liroxina
no sangue
G Iillláui. ~ _
lireóH:fe
!lEr
Sr$TEMA~ DE ltETROAÇÃO E CONTROLE
Nervos vugo c
glossofaringeo
ElcltH:nlOi de: rClrollçl1o
S==. J
-----·----1-=:: .'"
Vú;to que p == k(1/d)4 onde" é uma constante de proporcionalidade, as arteríolas
podem ser representadas \10 blow por k("')4. O diagrama de blocos é dado por
';":;~~;:::r':-- ..__._..J Glândul.
,I< ';""''',1 ,.. 1_":~U;liori'~-,
L._._.,__.._. _---_.~!
2.15. A glândula tireóide, uma glíindula endócrina (sem comúnicação) localizada
no pescoço humano secreta o hormônio tiroxina no fluxo sangüíneo. O fluxo
sangüín.eo, ou sistcma circulatório, é o sistema de transmissão das glândulas
endócrinas, do mesmo modo como os fios condutores são o sisteàla de trans-
missão para o fluxode elétrons que produz correntes elétricas ou canaliza-
ções c I ubos podem ser o sistema hidrodinâmico de transmissão para o fluxo
do fluido. A tiroxina atua nos tecidos do corpo humano, estimulando geral-
mente 0- metaboiismo, causando o aumento do consumo de oxigênio e o
aumento na temperatura do corpo. Do mesmo modo que muitos processos
fisiológicos humanos, a produção deste hormônio pela glândula tireóide é
muito cuidadosa e automaticamente controlada A quantidade de tiroxina no
Huxo sangüíneo é regulada pela secreção de um hormônio da glândula pituitária,
uma glândula endócrina suspensa na base do cérebro. Este h'ormônio de "con-
trole" é apropriadamente chamado hormônio de estimulaçiio d~ tireóide (BET).
Quando o nível de tiroxina do sistema circulatório é mais alto do que aquele
exigido pelo organismo, a secreção de HET é inibida (reduzida), ocasionando
uma redução na atividade da tircóide. Em conseqüência, menos tiroltina é
fornecida pela tireóide. O mau funcionamento deste sistema de controle com
retroação, ocasionando mlmor atividade ou superatividade da glândula tireóide,
pode resultar na inflamação desta glândula do pescoço, uma moléstia conhecida
como bócio.
Desenhe 11m diagrama de blocos simples deste sistema, identificando todos
as componentes e sinais.
Seja a instalação li glândula tireóide, li variável controlada o nível de tiroxina
no Ouxo sangüíneo. A glândula pituitária é o controlador, e a variável mani-.
pulada é a quantidade de HET que ela secreta. O diagrama de blocos é dado por
·10
r' -I- r--C;'lfO
..._.~._ .._r)--r ·v......ta< ~..,.j
1'1'(1):\0 nlwi:l dr. \..., . (CVll1l'l:fcfrn~j:.t d\l :.allf.ue ~ - ~-
'1-.27. Que sistemas descritos nos Problemas deste Capítulo são reguladores?
33
t\lr da hHr;IJ.J
t'usiçào
da m:l.o
Di rt:çào !'eu I
d<.l marcha
Ilhl.IL,.;."!.,
InSlalação
InSltlllliçllo
In~lt&hlç~O
{AqU«OO]__-( ESlur. )----,- ___
n& . I Tcmpcr.uura
da ulura
,----C.1nlrl'lad,'r~
TERMINOLOGIA DOS SISTEMAS DE CONTROLE
~--- Clmlrl,llidor ---,
DClel(\r
Olhos
+
+
Posiçllo
do objelo
Direçio de
marcha desejada
('M d,,:'cj:uJa
da hlHada
TemperllUra de
refcrincia da cslufa
Quando e > O (r > b), o comutador liga o aquecedor. Quando e ~ O o aque-
cedor é desligado.
2.21. (a) A entrada para um ace!erômetro é a aceleração. A saída é o deslocamento
de uma massa, tensão ou outra ql,lanlidade proporcional à aceleração.
(b) Veja o probl. 1.2. pág. 7.
(e) A entrada para um termislor é a temperatura. A saída é uma quantidade
elétrica medida em ohms. Vel1tS ou amperes.
(d) A entrada para um par termoelétrico é uma diferença de Icmpe'ralura. A
~:lida é uma tensão.
CAPo 2]
2.18
2.17
[CAI' ?
v,Jl"
". + (1 1- 1')1l" t ....
SISTEMAS DE RlEntOAç.~O E CONmOLE
----..",.
':al'.!':ue inibe a produção do ACTH. Desenhe um'diagrama de blocos para este
:·:islero:l. di: reiroaçào.
Desenhe um diagrama de blocos para cada um dos seguintes elementos, 1.0 com
;; temão v como entrada e a corrente i saída, e entà.o vice-versa: (a) resistência R,
(o) capacit,\ncia C, (e) indutância L.
--"'_-_'':-{~~_I'L .~ -.--
f.lR K (f.lRK)v, = ---(v, -v,) = v,
fp+RK fn+(I+II)RK
Respostas dos Problemas Propostos
Oes~nhe um diagrama de blocos para cada um dos sistemas mecânicos seguintes,
a força é a entrada e a posição a saída: (a) amortecedor a êmbolo, (b) uma mola,
(e) uma massa, (d) uma massa, mola, um amortecedor a êmbolo ligados em
série e fixados em uma das extremidades (a posição da massa é a saída).
I) Um diagrama de blocos para a malha aberta é dado por
1\ cQuação de malha fechada para saída é simplesmente v, =~ (v, _ vs!,
e o diagrama de blocos de malha fechada é dado por f/I + RK
\;
Z.lJí.
2]5.
:l.26. D(:senlie um diagrama de blocos de uma rede R-L-C (a) paralela (b) série.
2.16. o circuito equivalente para o cátodo seguidor tem a mesma forma que a rede
divisora de lensão do probJ. 1.11, pág. . Portanto a equação de malha aberta
para a saída é
2:n. Os exemplos dos sistemas 1.2 e 1.4 do probL 2.6, e os sistemas dos pro.bL 2.7,
8, 12, B, 14, 15, 19,20 e 23 são reguladores.
'Exemplo 3.1
, A versão escalar da segunda lei de Newton estabelece que se uma força de gran-
deza f é aplicada a uma massa de M unidades, a aceleração a da massa é relacionada
à força pela equação f = Ma.
Exemplo 3.4,
A lei de Ohm (Exemplo 3.2) pode ser escrita alternativamente como uma r~lação
entre a tensâo v, a resistência R e a taxa de passagem da carga em relação ao tempo
através do resistor', isto é v = R dq .
, dI
Sistelnas Lineares e Equações Diferenciais
3.1 EQUAÇÕES DE SISTEMAS FÍSICOS
:" Uma propriedade comum a todas as leis básicas da Física é que certas quanli-
dadesJundamelltais podem ser definidas por valores numéricos. As leis fisicas definem
relações entre estas quantidades fundamentais que são geralmente representadas
por equações.
. , ,Definição 3.1: Uma equação diferencial é qualquer igualdade algébrica ou trans-
<;endente que envolve diferenciais ou derivadas,
Capitulo 3
3), EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
As equações diferenciais são úteis para relacionar taxas de variação das variá-
veis e outros parâmetros,
· ~xemplo 3.3.
";,. A segunda lei de Newton (Exemplo 3,1) pode ser escrita alternativamente como
relação entre a força f, a massa M e a taxa de variação da velocidade v da massa com
'relação ao tempo t; isto é, f = M dv ,
dt
Uma classe de equações que tem ampla aplicação na descrição de leis físicas é
· a das equações diferenciais.
· Exemplo 3.2,
A lei de Ohm estabelece que se uma tensão de grandeza v é aplicada sobre um
, resislor de R unidades, a corrente i através do resislor é relacionada a v pela equação
. v = Ri.
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SISTEMAS DE !U;TROAÇÃO Il CONTROLE
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[CAPo 2
Os Problemas seguintes descrevem sistemas de servomecanismo: Exemplos 1.3
e !.5 dos Problemas 2.6, 2.7, 2.8, 2.17 e 2.18.
~t.Z2.
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