Apostila de Teoria de controle

Prévia do material em texto

i 
 
 
ASSOCIAÇÃO DE ENSINO E CULTURA PIODÉCIMO 
FACULDADE PIO DÉCIMO, CAMPUS III 
ARACAJU, SERGIPE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DE CONTROLE 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dsc. Elenilton Teodoro Domingues 
 
 
 
 
 
 
2007 
Aracaju, Setembro 
 
 
 
 i 
SUMÁRIO 
 
1. APRESENTAÇÃO 6 
1.1. DEFINIÇÕES 6 
1.2. EXEMPLOS DE SISTEMA DE CONTROLE 8 
1.3. APRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE 9 
1.4. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE 10 
1.5. SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA (SCMA) E MALHA FECHADA (SCMF) 11 
1.6. COMPARAÇÃO ENTRE O SISTEMA DE MALHA FECHADA E ABERTA 12 
1.7. EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLE DE MALHA ABERTA 13 
1.8. CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO (RETROALIMENTAÇÃO) – FEEDBACK CONTROL 13 
1.9. CONTROLE POR PRÉ-ALIMENTAÇÃO - FEEDFOWARD CONTROL 14 
1.10. COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE CONTROLE ? 16 
1.11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 17 
1.12. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 19 
 
 
2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 21 
2.1. INTRODUÇÃO 21 
2.2. OBJETIVO 22 
2.3. O QUE É UMA TRANSFORMADA ? 22 
2.4. REVISÃO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNÇOES COMPLEXAS 23 
2.5. TRANSFORMADA DE LAPACE 23 
2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES 24 
2.7. FUNÇÃO EXPONENCIAL 24 
2.8. FUNÇÃO DEGRAU 26 
2.9. FUNÇÃO RAMPA 28 
2.10. FUNÇÃO SENO 30 
2.11. FUNÇÃO COSENO 32 
2.12. TEOREMA DA TRANSLACÃO 34 
2.13. FUNÇÃO PULSO OU GATE 37 
2.14. FUNÇÃO IMPULSO 38 
2.15. ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 40 
2.16. LINEARIDADE 40 
2.17. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR te 41 
2.18. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR tn 42 
2.19. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS 43 
2.20. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS 44 
2.21. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 45 
2.22. MÉTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 45 
2.23. MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 45 
2.24. F(S) ENVOLVE SOMENTE RAÍZES REAIS E DISTINTAS 48 
2.25. F(S) ENVOLVE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS 51 
 ii 
2.26. F(S) ENVOLVE PÓLOS MÚLTIPLOS 56 
2.27. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO 60 
2.28. TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI) 63 
2.29. TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF) 63 
 
 
3. MODELAGEM MATEMÁTICA 65 
3.1. CONSIDERAÇOES GERAIS 65 
3.2. TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS 65 
3.3. MODELAGEM MATEMÁTICA 68 
3.4. CONTROLE CLÁSSICO 68 
3.5. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 68 
3.6. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 69 
3.7. REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 70 
3.8. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RACIONAL PRÓPRIA, TOTALMENTE PRÓPRIA, BIPRÓPRIA E 
IMPRÓPRIA 70 
3.9. SISTEMAS ELÉTRICOS 71 
3.10. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 71 
3.11. EXEMPLOS: SISTEMAS ELÉTRICOS 72 
3.12. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS 76 
3.13. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS 79 
3.14. MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA 80 
3.15. SISTEMAS MECÂNICOS 81 
3.16. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL 81 
3.17. COMPONETES DOS SISTEMAS MECÂNICOS 81 
3.18. MASSA 81 
3.19. MOLA 82 
3.20. AMORTECEDOR 82 
3.21. 2 LEI DE NEWTON 83 
3.22. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL 88 
3.23. SISTEMAS HIDRÁULICOS 90 
 
 
4. DIGRAMA DE BLOCOS 94 
4.1. INTRODUÇÃO: DIGRAMA DE BLOCOS 94 
4.2. COMPONENTES DOS DIGRAMA DE BLOCOS 94 
4.3. BLOCO FUNCIONAL 94 
4.4. PONTO DE SOMA OU DETECTOR DE ERRO 95 
4.5. PONTO DE JUNÇÃO OU DERIVAÇÃO 96 
4.6. DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE MALHA FECHADA 96 
4.7. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA ABERTA 97 
4.8. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE ALIMENTAÇÃO DIRETA 98 
4.9. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA (FORMA CANÔNICA) 98 
 iii 
4.10. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA COM REALIMENTAÇÃO UNITÁRIA 100 
4.11. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA SUJEITA A PERTURBAÇÃO (DISTÚRBIO)
 101 
4.12. REDUÇÃO DE DIGRAMAS DE BLOCOS 103 
4.13. COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM SÉRIE 103 
4.14. COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM PARALELO 104 
4.15. ELEMINAÇÃO DE UMA MALHA DE REALIMENTAÇÃO 105 
4.16. REMOVENDO UM BLOCO DE UM RAMO DIRETO 106 
4.17. REMOVENDO UM BLOCO DE UMA MALHA DE REALIMENTAÇÃO 107 
4.18. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO Á FRENTE DE UM BLOCO 108 
4.19. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO ATRÁS DE UM BLOCO 108 
4.20. DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA Á FRENTE DE UM BLOCO 108 
4.21. DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA ATRÁS DE UM BLOCO 109 
4.22. REDISPONDO PONTO DE SOMA (1) 110 
4.23. REDISPONDO PONTO DE SOMA (2) 111 
4.24. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO Á FRENTE DE UM PONTO DE SOMA 112 
4.25. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO ATRÁS DE UM PONTO DE SOMA 112 
4.26. REAGRUPAMENTO DE PONTOS DE SOMA 113 
4.27. RESUMO DA SIMPLIFICAÇÃO DOS DIAGRMAS DE BLOCOS 114 
4.28. REDUÇÃO DE DIGRAMAS DE BLOCOS COM O MATLAB 116 
4.29. BLOCOS EM SÉRIE COM MATLAB 116 
4.30. BLOCOS EM PARALELO COM MATLAB 117 
4.31. REALIMENTAÇÃO (FEEDBACK) 118 
 
 
5. RESPOSTA TRANSITÓRIA 128 
5.1. INTRODUÇÃO 128 
5.2. SINAIS DE TESTE TIPÍCOS 128 
5.3. RESPOSTA TRANSITÓRIA E RESPOSTA ESTACIONÁRIA 129 
5.4. PÓLOS, ZEROS E RESPOSTA DO SISTEMA 129 
5.4.1. PÓLOS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 129 
5.4.2. ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 130 
5.4.3. EXEMPLO DE PÓLOS E ZEROS DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM 130 
5.5. SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 134 
5.5.1. EQUAÇÃO PADRÃO PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM 134 
5.5.2. FUNÇAO DE TRANSFERÊNCIA DE PRIMEIRA ORDEM OBTIDA EXPERIMENTALMENTE 137 
5.5.3. EXEMPLO DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM 139 
5.5.4. RESPOSTAS DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 140 
5.5.4.1. RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO 140 
5.5.4.1.1. MANEIRAS DE IDENTIFICAR EXPERIMENTALMENTE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
 143 
5.5.4.2. RESPOSTA À RAMPA UNITÁRIA 144 
5.5.4.3. RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO 147 
 iv 
5.6. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 149 
5.7. INTRODUÇÃO 149 
5.8. DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM 151 
5.9. ANALISE DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA DIFERENTES VALORES DO AMORTECI-
MENTO  153 
5.10. RESPOSTAS DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM 154 
5.11. RESPOSTAS AO DEGRAU UNITARIO 154 
5.12. DEFINIÇÕES E ESPECIFICAÇÕES DE REGIME TRANSITÓRIO 161 
5.13. ALGUNS COMENTÁRIOS SOBRE ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTAS TRANSITÓRIAS 163 
5.14. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM E ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTA TRANSITÓRIA 163 
 
 
6. ERRO EM REGIME PERMANENTE 172 
6.1. INTRODUÇÃO 172 
6.2. ERRO EM REGIME PERMANENTE 172 
6.3. ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA ABERTA 172 
6.4. ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA FECHADA 173 
6.5. CLASSIFICAÇÃO 175 
6.6. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA DEGRAU 176 
6.7. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA RAMPA 177 
6.8. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA PARABÓLICA 179 
6.9. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADAS DIFERENTES 181 
6.10. ERRO EM REGIME PERMANETE DEVIDO AO DISTURBIO 183 
 
 
7. ESTABILIDADE 187 
7.1. DEFINIÇÕES DE ESTABILIDADE 187 
7.2. TEOREMA DA ESTABILIDADE 187 
7.3. CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWTIZ 188 
7.4. ESTABILIDADE RELATIVA 190 
 
 
8. LUGAR DAS RAÍZES 191 
8.1. INTRODUÇÃO 191 
8.2. GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 192 
8.3. GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES 193 
8.4. RESUMO DAS REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES 195 
8.5. REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES 196 
8.6. COMENTÁRIOS SOBRE OS GRÁFICOS DO LUGAR DAS RAÍZES 200 
8.7. CANCELAMENTO DOS PÓLOS DE G(S) COM ZEROS DE H(S) 201 
8.8. CONFIGURAÇÕES TÍPICAS DE PÓLOS E ZEROS E O LUGAR DAS RAÍZES CORRESPONDEN-
TES 202 
 
 v 
 
 
9. CONTROLADORES 213 
9.1. INTRODUÇÃO 213 
9.2. AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS 213 
9.3. AÇÕES DE CONTROLE ON-OFF (LIGA-DESLIGA) 214 
9.4. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL (P) 215 
9.5. AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL 217 
9.6. AÇÃO DE CONTROLE DERIVATIVA 219 
9.7. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS INTEGRAL 221 
9.8. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS DERIVATIVA 223 
9.9. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO 225 
9.10. REGRAS DE SINTONIA PARA CONTROLADORES PID 234 
9.11. REGRAS DE ZIGLER-NICHOLS PARA SINTONIA DE CONTROLADORES PID 234 
10. BIBLIOGRAFIA 244 
10.1. INTRODUÇÃO 244 
11. ANEXO 1 245 
11.1. SISTEMAS ELÉTRICOS 245 
11.2. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 245 
11.3. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NO CAPACITOR 245 
11.4. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NO INDUTOR 24711.5. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NA RESISTÊNCIA ELÉTRICA 248 
11.6. LEIS DE KIRCHHOFF 248 
 
 
 
 6 
CAPÍTULO 1 
 
1. APRESENTAÇÃO 
 
 
1.1. DEFINIÇÕES 
 
Sistema: é um conjunto de componentes que atuam conjuntamente e realizam um certo 
objetivo. Assim um sistema é um arranjo de partes ou componentes, sem limitações de quantidade 
ou qualidade. Um sistema pode ter qualquer tamanho ou de quaisquer proporções dimensionais. 
Por exemplo: o sistema elétrico de uma casa tem dimensões completamente diferentes das de um 
sistema elétrico de um país. Além disso, um sistema não está limitado a algo físico. O conceito de 
sistema também pode ser aplicado para fenômenos dinâmicos abstratos como aqueles encontrados 
em economia. 
 
Dinâmica: refere-se a uma situação ou estado que é dependente do tempo. Mesmo uma 
variável que não sofre mudanças em função do tempo é considerada dentro do estudo da dinâmica 
uma vez que uma constante é também uma função do tempo. 
O estudo de um sistema dinâmico pode ser entendido como sendo o estudo do comporta-
mento, em função do tempo, de grandezas relacionadas com uma parte do universo que foi imagi-
nariamente separada para esse fim. 
 
Controle: é o ato de comandar, dirigir, ordenar, manipular alguma coisa ou alguém. 
 
Assim, um Sistema de controle: é uma disposição de componentes, conectados ou relaci-
onados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmos ou a outros sistemas. A Figura 1.1 
mostra um sistema de controle elementar onde um espelho controla o feixe de luz. 
 
 
Figura 1.1 - Espelho controlando feixe de luz 
 
Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entra-
das ou saídas. 
 
Entrada: é o estimulo ou excitação aplicados a um sistema de controle por meio de uma 
fonte de energia externa, geralmente a produzir uma resposta especifica do sistema de controle. 
 7 
 
ENTRADAS = SINAIS ATUANTES = EXCITAÇÕES 
 
Saída: é a resposta, obtida de um sistema de controle. Ela pode ser ou não igual à resposta 
específica inferida da entrada. 
 
 SAÍDAS = VARIAVEIS CONTROLADAS 
 
Variável controlada: é uma grandeza ou condição que é medida e controlada. Normal-
mente é a saída ou resposta do sistema. 
 
Variável manipulada: é uma grandeza ou condição que é variada pelo controlador para 
que modifique o valor da variável controlada. 
No controle pode-se medir o valor da variável controlada do sistema e aplicar uma ação ao 
sistema através da variável manipulada para corrigir ou limitar o desvio do valor medido em rela-
ção a um valor desejado. 
 
Perturbações (ou distúrbios): Sinais indesejados (internos ou externos). São sinais que 
tendem a afetar adversamente o valor da saída do sistema. Se a perturbação for gerada dentro do 
sistema, ela é denominada perturbação interna, enquanto que uma perturbação (distúrbio) externa 
é gerada fora do sistema e constitui uma entrada. 
 
Planta: é uma parte de um equipamento, eventualmente um conjunto de itens de uma má-
quina que funcionam juntos, cuja finalidade é desempenhar uma certa operação. No nosso caso é 
qualquer objeto físico a ser controlado. Exemplo: um forno, uma aeronave, etc. 
 
Processo: é uma operação ou desenvolvimento natural, que evolui progressivamente, ca-
racterizado por mudanças graduais que se sucedem, um em relação às outras, de um modo relati-
vamente fixo (ordenado) e conduzindo a um resultado ou finalidade particular; - uma operação 
artificial ou voluntária, que evolui progressivamente e que consiste em uma série de ações contro-
ladas ou movimentos sistematicamente dirigidos objetivando um resultado ou finalidade particular. 
Processo é qualquer operação a ser controlada. Ex: processos químicos, econômicos biológicos. 
 
Controle realimentado: refere-se a uma operação que, mesmo na presença de perturba-
ções ou distúrbios, tende a reduzir a diferença entre a saída do sistema e alguma entrada de refe-
rência e que opera com base nessa diferença. 
 
Sistema de controle realimentado: é um sistema que mantém uma determinada relação 
entre a saída e alguma entrada de referência comparando-as e utilizando a diferença como um 
meio de controle. 
 
 8 
Sistema regulador automático: é um sistema de controle realimentado em que a entra-
da de referência ou a saída desejada ou é constante ou varia lentamente com o tempo e que tem 
como tarefa principal manter a saída real no valor desejado na presença de perturbações 
 
 
1.2. EXEMPLOS DE SISTEMA DE CONTROLE 
 
1) Controle da temperatura de um ambiente 
 
Um aquecedor ou estufa, termostaticamente controlado, regulando automaticamente a tem-
peratura de uma sala ou caixa, é um sistema de controle. A entrada para este sistema é uma tem-
peratura de referência, geralmente especificada pelo ajuste apropriado de um termostato. A saída 
é a temperatura desejada da caixa. Quando o termostato detecta que a saída é menor que a en-
trada, a estufa proporciona calor até que a temperatura da caixa se torne igual à entrada de refe-
rência. Então a estufa é automaticamente desligada. A 
Figura 1.2 mostra o sistema de controle de temperatura de uma sala. 
 
 
 
Figura 1.2 - Sistema de controle de temperatura de uma sala 
 
 
2) Controle da temperatura do corpo humano 
 
Uma parte do sistema de controle humano de temperatura é o sistema de perspiração. 
Quando a temperatura do ar exterior à pele torna-se muito elevada, as glândulas sudoríparas se-
gregam fortemente, induzindo ao resfriamento da pele por evaporação. As secreções são reduzidas 
quando o efeito de resfriamento desejado é obtido ou quando a temperatura do ar cai suficiente-
mente. 
A entrada para este sistema é a temperatura ―normal‖ ou confortável da pele. A saída é a 
temperatura presente da pele. 
 
 
 
 9 
3) Comutador elétrico 
 
Um comutador elétrico é um sistema de controle artificial, controlando o fluxo da eletricida-
de. Por definição, o aparelho ou a pessoa que aciona o comutador não é parte desse sistema de 
controle. 
O acionamento do comutador para ligado ou desligado pode ser considerado como a entra-
da. A entrada pode ser um dos dois estados – ligado ou desligado. A saída é o fluxo ou não fluxo 
(dois estados) da eletricidade. 
O comutador elétrico é provavelmente um dos sistemas de controle mais rudimentares. 
 
4) Ato de apontar um objeto com o dedo 
 
O ato de aparentemente de apontar para um objeto com o dedo requer um sistema de con-
trole biológico, consistindo principalmente dos olhos, do braço, da mão, do dedo e do cérebro de 
um homem. A entrada é a direção precisa do objeto (deslocando-se ou não) com respeito a algu-
ma referência e a saída é a direção apontada presentemente com respeito a alguma referência. 
 
5) Homem dirigindo um automóvel 
 
O sistema de controle, consistindo num homem dirigindo um automóvel, tem componentes 
que são claramente artificiais e biológicos. O motorista deseja manter o automóvel na faixa apro-
priada da rodovia. Ele consegue isto observando constantemente o rumo do automóvel com res-
peito à direção da estrada. Neste caso, a direção da estrada, representada pela guias ou linhas de 
cada lado de sua faixa, pode ser considerada a entrada. A orientação do automóvel é à saída do 
sistema. O motorista controla esta saída medindo constantemente com os olhos e cérebro, corri-
gindo-a com as mãos sobre o volante. Os componentes principais desse sistema de controle são: 
as mãos, os olhos e o cérebro do motorista, e o veículo. 
 
 
1.3. APRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE 
 
Servosistema (servomecanismo): é um sistema de controle realimentado em que a saí-
da é alguma posição, velocidade ou aceleração mecânicas. O termo servosistema e sistema de 
controle de posição (ou velocidade ou aceleração) são sinônimos. São sistemas extensivamente 
usados na indústria moderna. 
 
Sistema de controle de processos: é um sistema regulador automático no qual a saídaé 
uma variável tal como temperatura, pressão, fluxo, nível de líquido ou pH. É exaustivamente usado 
na indústria. 
 
Sistema de controle robusto: é um sistema de controle que é insensível a Variações de 
parâmetros. 
 
 10 
Sistema de controle adaptativo: é aquele sistema que tem a habilidade de se auto-
ajustar ou automodificar de acordo com variações imprevisíveis nas condições de ambiente ou de 
estrutura. O próprio sistema de controle detecta variações nos parâmetros da planta e faz os ajus-
tes necessários no nos parâmetros do controlador a fim de manter um desempenho ótimo. 
 
Sistema de controle com aprendizado: é aquele sistema de controle que tem habilidade 
de aprender. 
 
 
1.4. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE 
 
Sistema de controle não-linear Sistema de controle linear 

em vários pontos; 
 
efeitos; 
 -lineares, tipo on-off, são in-
troduzidos intencionalmente no sistema para 
otimizar o desempenho. Exemplo: controle de 
mísseis. 
 Se a faixa de variações das variáveis do 
sistema não for ampla, então o sistema pode 
ser linearizado dentro de uma faixa de varia-
ção relativamente pequena das variáveis; 
 cípio da superposição dos 
efeitos. 
 
Sistema de controle invariante no tempo Sistema de controle variante no tempo 
 
variam com o tempo (sistema de controle de 
coeficientes constantes); 
 independente do instante 
em que a entrada é aplicada; 
 
parâmetros variam com o tempo (sistema de 
controle de coeficientes variáveis); 
 
em que a entrada é aplicada; 
Exemplo: sistema de controle de um veículo 
espacial. (a massa varia com o tempo confor-
me o combustível vai sendo consumido). 
 
Sistema de controle de tempo contínuo Sistema de controle de tempo discreto 
 
de um tempo contínuo t. 
 
 
conhecidas somente em instantes de tempo 
discreto. 
 
Sistema de controle de entrada simples 
saída simples (SISO) 
Sistema de controle de múltiplas entradas 
múltiplas saídas (MIMO) 
 controle de posição, 
onde há uma entrada de comando (posição 
desejada) e uma saída controlada (posição fi-
nal). 
 Exemplo: sistema de controle de processo, 
onde as entradas são pressão e temperatura e 
duas saída, também pressão e temperatura. 
 
 11 
 
Sistema de controle centralizado Sistema de controle distribuído 
 
central conectado a varias unidades I/O (de 
entrada e saída); 
 o-
cessador e as unidades I/O consiste somente 
em mensagens de dados. Outros tipos de men-
sagens não têm nenhum significado para um 
sistema centralizado; 
 
unidades I/O é feita somente através de pedi-
dos de dados e respostas pré-definidas. 
 processamento distribuída 
através de pontos ou nós. Os vários controlado-
res de sistema são interconectados por um vin-
culo de comunicação; 
 n-
siste então de mensagens de dados (medidas, 
etc.), mensagens de configuração, pedidos e 
respostas, estado, mensagens de erro, até 
mensagens de controle de diferentes tipos; 
 
Sistema de Controle Distribuído pode ser bem 
mais alta do que aquela para o Sistema de Con-
trole Centralizado. 
 
Sistema de controle de parâmetros Con-
centrados 
Sistema de controle de parâmetros distri-
buídos 
 i-
ais ordinárias. 
 i-
ais parciais. 
 
Sistema de controle determinístico Sistema de controle estocástico 
 i-
cável e é repetível. 
 g-
nosticável e repetível. 
 
Sistema de controle de malha aberta Sistema de controle de malha fechada 
 controle não realimentado.  
 
 
1.5. SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA (SCMA) E MALHA FECHADA (SCMF) 
 
Sistema de controle a malha aberta (SCMA): é aquele sistema em que a saída não tem 
nenhum efeito sobre a ação de controle. Em outras palavras, em um SCMA a saída não é medida 
nem realimentada para comparação com a entrada. Exemplo: máquina de lavar roupas. A Figura 
1.3 mostra um sistema de controle de malha aberta. 
 
 
 
Figura 1.3 - Sistema de controle de malha aberta 
 12 
 
Sistema de controle a malha fechada (SCMF): nome dado ao sistema de controle rea-
limentado. Num SCMF a diferença entre a referência (sinal de entrada) e a medida da variável 
controlada (sinal realimentado), também chamada de sinal de erro atuante, é introduzido no con-
trolador de modo a reduzir o erro e trazer a saída do sistema a um valor desejado. O termo contro-
le a malha fechada sempre implica o uso de ação de controle realimentado a fim de reduzir o erro 
do sistema. A Figura 1.4 mostra um sistema de controle de malha fechada. 
 
 
 
Figura 1.4 - Sistema de controle de malha fechada 
 
 
1.6. COMPARAÇÃO ENTRE O SISTEMA DE MALHA FECHADA E ABERTA 
 
Sistema de controle a malha fechada Sistema de controle a malha aberta 
 Uso da realimentação torna a resposta do 
sistema relativamente insensível a distúrbios 
externos e variações internas nos parâmetros 
do sistema; 
 
distúrbios e/ou variações imprevisíveis nos 
componentes estão presentes; 
 A estabilidade é sempre um problema fun-
damental no SCMF, o qual pode tender a corri-
gir erros que podem causar oscilações de am-
plitude constante ou variável; 
 
muita precisão para obter o controle preciso de 
uma planta (processo); 
 
em relação ao SCMA; 
 
custo e potência são mais altos; 
 
desempenhará a tarefa desejada; 
 
 

conhecidas antecipadamente e nas quais não há 
distúrbio; 
 É mais fácil construir porque a estabilidade 
não constitui um problema significativo; 
 
 
 i-
bração; 
 
 
(mais caros); 
 
diminuir a potência requerida de um sistema; 
 
 
 
 13 
 
1.7. EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLE DE MALHA ABERTA 
 
O sistema mostrado na Figura 1.5 é normalmente classificado como ―malha aberta‖. Siste-
mas de controle de malha aberta são aqueles nos quais a informação sobre a variável contro-
lada (nesse caso, a temperatura de saída do líquido) não é usada para ajustar nenhuma das entra-
das do sistema para compensar as variações nas variáveis do processo. 
 
 
 
Figura 1.5 - Processo simples de troca de calor 
 
Um sistema de controle malha fechada implica que a variável controlada é medida e o 
resultado dessa medida é usado para manipular uma das variáveis do processo, como o calor. 
 
 
1.8. CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO (RETROALIMENTAÇÃO) – FEEDBACK CONTROL 
 
A realimentação ou feedback pode ser feita através de um operador humano (controle ma-
nual) ou pelo uso de instrumentos (controle automático). 
 
Controle manual: um operador periodicamente mede a temperatura; se a temperatura, 
por exemplo, estiver abaixo do valor desejado, ele aumenta a vazão de vapor, pela abertura da 
válvula de vapor. 
 
Controle automático: Um dispositivo sensor de temperatura é usado para produzir um si-
nal (elétrico, pneumático, mecânico,....) proporcional à temperatura medida. Esse sinal alimenta 
um controlador que a compara com um valor desejado pré-estabelecido, ou ponto de ajuste. Se 
existir alguma diferença, o controlador muda a abertura da válvula controladora de vapor para 
corrigir a temperatura. Ver Figura 1.6. 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 14 
 
 
Figura 1.6 - Controle automático de um processo de troca de calor por realimentação 
 
 
1.9. CONTROLE POR PRÉ-ALIMENTAÇÃO - FEEDFOWARD CONTROL 
 
O controle por pré-alimentação está se empregando largamente. Distúrbios do processo 
são medidos e compensados sem se esperar que uma mudança na variável controlada indique que 
um distúrbio ocorreu. O controle pré-alimentado é também útil onde a variável de controle final 
não pode ser medida. 
 
 
 
Figura 1.7 - Controle automático de um processo de troca de calor por pré-alimentação 
 
No exemplo mostrado na Figura 1.7, o controlador Feedfoward possui habilidade computaci-
onal: usa a taxa de vazão e temperatura medidas na entrada do líquido para calcular a taxa de 
vapor necessária para manter a temperatura desejada do líquido de saída. 
A equação resolvida pelo controlador relaciona: 
 
 a) ocalor contido no líquido de entrada 
 b) vazão de vapor 
 c) temperatura do líquido de saída 
 15 
é geralmente denominado modelo do processo. 
 
Raros são os modelos e controladores perfeitos; assim, é preferível uma combinação de con-
trole pré e realimentado. Ver Figura 1.8. 
 
 
 
Figura 1.8 - Controle automático de um processo de troca de calor por pré e re-
alimentação combinadas 
 
 O arranjo de um controlador fornecendo o ponto de ajuste para outro controlador é 
conhecido como controle em cascata e é comumente usado no controle por realimentação. 
 
 
Anotações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
1.10. COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE CONTROLE ? 
 
A seguir é mostrado um diagrama de blocos de como resolver problemas em sistemas de 
controle: 
 
 
Figura 1.9 - Diagrama de blocos de como resolver problemas de controle 
 17 
1.11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01) Identifique as quantidades que são entradas e saídas para o espelho ajustá-
vel pivotante da Figura 1.10. 
 
Figura 1.10 - Espelho controlando feixe de luz 
 
A entrada é o ângulo de inclinação do espelho , regulado pela rotação do parafuso. A saída 
é a posição angular do feixe refletido + da superfície de referência. 
 
02) Identifique uma entrada possível e uma saída possível para um gerador de 
eletricidade rotacional. 
 
A entrada pode ser a velocidade rotacional de um motor primário (e.g. uma turbina a va-
por), em revoluções por minuto. Supondo que o gerador não tenha carga aplicada a seus terminais 
de saída, a saída pode ser a tensão induzida, nos terminais de saída. 
Alternativamente, a entrada pode ser expressa como momento angular do eixo do motor primário 
e a saída em unidades de potência elétrica (watts) com uma carga ligada ao gerador. 
 
 
03) Identifique a entrada e a saída para uma máquina automática de lavar. 
 
Muitas máquinas de lavar (mas nem todas) são operadas da seguinte maneira: 
Depois que as roupas forem colocadas na máquina, o sabão ou detergente, o alvejante, e a 
Água dão entrada nas quantidades apropriadas. A programação para lavar e torcer é então fixada 
pelo regulador de tempo e a lavadeira é ligada. Quando o ciclo é completado a máquina se desliga 
por si própria. Se as quantidades apropriadas de detergente, alvejante e água e a temperatura 
desta são predeterminadas pelo fabricante da máquina, ou entram, automaticamente, então a 
entrada é o tempo em minutos para o cicio da lavagem e espremedura. O regulador de tempo é 
geralmente ajustado por um operador humano. 
A saída de uma máquina de lavar é mais difícil de identificar. Definamos limpo como a au-
sência de todas as substancias estranhas dos itens a serem lavados. Então podemos identificar a 
saída como, a porcentagem de limpeza. Portanto, no inicio de um ciclo, a saída é menos do que 
100 %, e, no fim de um ciclo, a saída ideal é igual a 100% (roupas limpas não são sempre obti-
das). 
Para muitas máquinas, operadas com moedas, o ciclo é fixado e a máquina começa a funci-
onar quando a moeda entra. Neste caso, a porcentagem de limpeza pode ser controlada, ajustan-
 18 
do-se a quantidade de detergente, alvejante, água, e a temperatura desta. Podemos considerar 
todas as quantidades como entrada. 
Outras combinações de entradas e saídas são também possíveis. 
 
 
04) Identifique os componentes entrada e saída, e descreva a operação de um 
sistema de controle biológico, consistindo num ser humano que tenta apanhar um ob-
jeto. 
 
Os componentes básicos desse sistema de controle são: o cérebro, o braço, a mão e os 
olhos. 
O cérebro envia pelo sistema nervoso o sinal desejado para o braço e a mão, a fim de apa-
nhar o objeto. Este sinal é amplificado nos músculos do braço e da mão, que servem como atuado-
res de potência para o sistema. Os olhos são empregados como um dispositivo sensível, continua-
mente ―retroagindo" á posição das mãos para o cérebro. 
A posição da mão é a saída para o sistema. A entrada é a posição do objeto. 
O objetivo do sistema de controle é reduzir a zero a distância entre a posição da mão e a 
posição do objeto. 
 
 
05) Explique como uma máquina automática de lavar de malha fechada pode 
operar. 
 
Suponha que todas as quantidades descritas como entradas possíveis no problema 03), a 
saber: ciclo, tempo, volume de água, temperatura da água, quantidade de detergente, quantidade 
de branqueador, podem ser ajustados por dispositivos tais como válvulas e aquecedores. Uma má-
quina de lavar de ciclo fechado mediria continuamente ou periodicamente a porcentagem de lim-
peza (saída) dos itens que estão sendo lavados, ajustaria as quantidades de entrada e desligar-se-
ia quando 100% de limpeza fossem atingidos. 
 
 
06) Como são calibrados os seguintes sistemas de ciclo aberto: (a) máquina au-
tomática de lavar (b) Torradeira automática (c) voltímetro? 
 
(a) As máquinas automáticas de lavar são calibradas considerando-se qualquer combinação 
das seguintes quantidades de entrada: (1) quantidade de detergente, (2) quantidade de alvejante, 
(3) quantidade de água, (4) temperatura da água, (5) ciclo de tempo. 
Em algumas máquinas de lavar uma ou mais dessas entradas são predeterminadas pelo fa-
bricante. 
 
As restantes quantidades devem ser fixadas pelo usuário c dependem de fatores tais como, 
grau de dureza da água, tipo de detergente e tipo ou eficácia do alvejante. Uma vez determinada 
 19 
esta calibração para um tipo especifico de lavagem (e.g. só roupas brancas, roupas muito sujas) 
em geral não terá que ser alterada durante a vida da máquina. 
Se a máquina apresenta defeito e são instaladas pelas de reposição, provavelmente será ne-
cessária uma recalibração. 
 
(b) Conquanto o mostrador do regulador de tempo em muitas torradeiras automáticas seja 
calibrado pelo fabricante (e.g. clara-média-escura), a quantidade de calor produzido pelo elemento 
aquecedor pode variar dentro de uma ampla faixa. Além disso, a eficiência do elemento aquecedor 
normalmente se reduz com o tempo. Em conseqüência, o prazo exigido para uma ―boa torrada" 
deve ser fixado e periodicamente reajustado pelo usuário. Primeiramente, a torrada em geral mui-
to clara ou escura. Depois de várias tentativas diferentes, sucessivas, o tempo de torração neces-
sário para uma qualidade desejada de torrada é obtido. 
 
(c) Em geral, um voltímetro, é calibrado pela comparação com uma fonte padrão de tensão 
conhecida, e apropriadamente marcada a escala de leitura a intervalos especificados. 
 
 
07) Identifique a ação de controle nos sistemas dos problemas 01, 02 e 04. 
 
Para o sistema de espelho do problema 01, a ação de controle é igual á entrada, isto é, o 
ângulo de inclinação do espelho . Para o gerador do problema 02 a ação de controle é igual à 
entrada, a velocidade de rotação ou momento angular do eixo do motor primário. A ação de con-
trole, no sistema humano do problema 04, é igual á distância entre a mão e a posição, do objeto. 
 
 
08) Quais dos sistemas de controle dos problemas 01, 02 e 04 são de malha aber-
ta? De malha fechada? 
 
Visto que ação de controle é igual à entrada para o sistema do problema 01 e 02, não existe 
realimentação e os sistemas são de malha aberta. O sistema humano do problema 04 é de malha 
fechada porque ação de controle é dependente da saída, posição da mão. 
 
 
1.12. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) (a) Explique a operação dos sinais ordinários de tráfego, que controlam o fluxo automo-
bilístico nas interseções das rodovias. (b) Por que são eles sistemas de controle em malha aberta? 
(c) Como pode o tráfego ser controlado mais eficientemente? (d) Porque é o sistema (c) de malha 
fechada? 
 
02) (a) Indique os componentes e as variáveis do aparelho de controle biológico envolvido 
na marcha em uma direção determinada (b) Porque é a marcha uma operação de malha fechada ? 
(c) Sob quais condições o aparelho marcha humana se torna um sistemade malha aberta? 
 20 
03) Desenvolva um sistema de controle simples que ligue automaticamente a lâmpada da 
sala ao anoitecer e desligue-a a luz do dia. Mostre um esboço do seu sistema. 
 
04) Desenvolva um sistema de controle para levantar ou abaixar automaticamente uma pon-
te levadiça a fim de permitir a passagem de navios. Não é permissível um operador humano contí-
nuo. O sistema deve funcionar inteiramente automático. 
 
 
 21 
CAPÍTULO 2 
 
2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
2.1. INTRODUÇÃO 
 
A Transformada de Laplace é um método para resolver equações diferenciais lineares que 
surgem na matemática aplicada à Engenharia. Essa transformação reduz o problema de resolver a 
equação diferencial a um problema puramente algébrica. 
Outra vantagem consiste no fato de que o método leva em conta as condições iniciais sem a 
necessidade de determinar em primeiro lugar a solução geral para dela então obter a solução par-
ticular. Particularmente, em Engenharia Elétrica esse método é aplicado em: 
 Circuitos Elétricos; 
 Conversão de Energia; 
 Sistemas de Controle e Servomecanismos. 
 
Algumas vantagens da aplicação da Transformada de Lapace em controle são: 
 
a) Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho do sistema de controle sem 
a necessidade de resolver as equações diferenciais que o descrevem. 
b) Resolvendo a equação diferencial, obtém-se tanto a resposta transitória como a de regi-
me permanente. 
 
A Transformada de Laplace transforma uma função da variável tempo, digamos f(t), numa 
outra função F(s) onde s=+j é uma variável complexa. Em de terminadas condições, as funções 
f(t) e sua transformada F(s) estão relacionadas de forma biunívoca. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 - Relação das Transformadas diretas e inversas 
 
Transformada Inversa 
Transformada Direta 
F(S) F(t) 
 22 
O uso de Transformadas de Laplace nos permitirá agora aprofundar a análise das proprie-
dades dos sistemas de controle. Encare a abordagem deste Capítulo como uma nova perspectiva, 
e não perca de vista um aspecto fundamental: muda a abordagem, mas o objeto de estudo se 
mantém! 
 
 
2.2. OBJETIVO 
 
Este não é um curso de Cálculo. Este Capítulo não tem a intenção de ensinar Transformadas 
de Laplace. Nos limitaremos a reunir aqui algumas definições e propriedades já conhecidas (e es-
quecidas?) necessárias ao curso de controle. 
 
 
2.3. O QUE É UMA TRANSFORMADA ? 
 
Exemplo: 
A multiplicação de dois números romanos, VI  XIV, com a resposta em número romano. 
 
Procedimento: 
Transformar estes números romanos em números arábicos: VI  6; XIV  14; 
Problema transformado: multiplicar 6 por 14 = 84; 
Converter a solução do problema transformado para a solução do problema original: 84  
LXXXIV : Transformação Inversa. 
 
Procedimento adotado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Procedimento adotado para se realizar uma transformada 
 
Resolução 
Transformada 
Inversa 
Transformada 
Aplicação da 
PROBLEMA 
ORIGINAL 
 
VI x XIV 
PROBLEMA 
TRANSFORMADO 
 
6 x 14 
SOLUÇÃO DO 
PROBLEMA ORIGINAL 
 
LXXXIV 
SOLUÇÃO DO 
PROBLEMA TRANSFORMADO 
 
6 x 14 
 23 
2.4. REVISÃO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNÇOES COMPLEXAS 
 
Variáveis complexas: Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária, 
sendo ambas constantes. Se a parte real e/ou a parte imaginária forem variáveis, teremos então o 
que se denomina variável complexa. Na Transformada de Laplace, utiliza-se anotação ―s‖como 
variável complexa. Ou seja: 
 
 s j    
 
Onde  é a parte real e  é a parte imaginária. 
 
 Funções complexas: uma função complexa G(s) é uma função de ―s‖que se tem uma 
parte real e uma parte imaginária ou 
 
 X YG(s) G jG  
 
 Onde Gx e Gy são quantidades reais. O módulo de G(s) é 
2 2
x yG G , e o argumento angular 
 de G(s) é 1 X Ytg (G /G )
  . O ângulo é medido no sentido anti-horário a partir do sentido positi-
vo do eixo real. O complexo conjugado de G(s) é x yG(s) G jG  . 
 
 
2.5. TRANSFORMADA DE LAPACE 
 
Inicialmente, apresentaremos a definição de Transformada de Laplace e em seguida, dare-
mos alguns exemplos para ilustrar a dedução da Transformada de Laplace de várias funções co-
mumente utilizadas. 
Vamos definir: 
f(t)  uma função do tempo tal que f(t) = 0 para t < 0; 
S  uma variável complexa; 
L  um símbolo operacional indicando que a quantidade que ele prefixa é para 
ser transformada pela integral de Laplace st
0
e dt


 
F(s)  Transformada de Laplace de f(t) 
 
Então a Transformada de Laplace é de f(t) é definida por: 
 
 st st
0 0
L[f(t)] F(s) e dt f(t) f(t) e dt
 
       
 
 
Anotações 
 
 
 
 24 
2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES 
 
2.7. FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
A função exponencial é uma das funções mais importante porque as exponenciais aparecem 
sempre na solução das equações diferenciais. A função exponencial é definida como: 
 
 
 t
0 
f(t)
A e

 

 
p / t 0
p / t 0


 
 
 
Onde A e α são constantes. 
 
Por definição: 
 st
0
F(s) L[f(t)] f(t) e dt

  
 onde: tf(t) Ae 
 
Temos: 
 t t st ( s)t
0 0
F(s) L[Ae ] Ae e dt A e dt
 
        
 
Artifício: 
u -( s) t   
du -( s) dt   
1
dt - du
( s)

 
 
 
Então: 
u u u
00 0
du A A
F(s) A e e du e 
( s) ( s) ( s)
    
  
       
 
Mas: 
 u -( s) t   
 
Logo: 
 ( s)t 0
0
A A A
F(s) e e e 
( s) ( s) ( s)

      
     
 
 
 
A
F(s) 
(s )

 
 
 
Portanto: 
 
 
 tf(t) A e  
A
F(s) 
(s )

 
 
 25 
Exercícios 
 
01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: 
 
a) 6tf(t) 3 e  
 
F(s) 
 
b) 3tf(t) 2 e   
 
F(s)  
c) 3tf(t) 2 e  
 
F(s)  
d) 8tf(t) e  
 
F(s)  
 
e) tf(t) 9 e  
 
F(s)  
f) tf(t) e  
 
F(s)  
 
 
02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções: 
 
a) 
3
F(s) 
(s 2)


 
 
f(t) = 
 
b) 
4
F(s) 
(s 3)



 
 
f(t) = 
c) 
7
F(s) 
(s 5)



 
 
f(t) = 
d) 
3
F(s) 
(s 5)


 
 
f(t) = 
 
e) 
1
F(s) 
(s 1)


 
 
f(t) = 
f) 
1
F(s) 
(s 1)



 
 
f(t) = 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
2.8. FUNÇÃO DEGRAU 
 
A função degrau corresponde a uma ação que modifica instantaneamente uma determinada 
condição, ou variável, de um sistema, como a posição, ou a velocidade, ou a carga elétrica num 
capacitor, ou a vazão em uma tubulação, a ativação elétrica de um circuito, ou ainda o início da 
ação de uma força por exemplo. A função degrau é definida como: 
 
 
0
f(t)
A

 

 
p / t 0
p / t 0


 
 
Onde A é constante. 
 
Por definição: 
 st
0
F(s) L[f(t)] f(t) e dt

   onde: f(t) A 
 
Temos: 
 st st
0 0
F(s) L[A] A e dt A e dt
 
     
 
Artifício: 
u -s t 
du -s dt 
1
dt - du
s
 
 
Então: 
u u u
00 0
du A A
F(s) A e e du e 
s s s
    
    mas: u -s t 
 
Logo: 
 s t 0
0
A A A
F(s) e e e 
s s s

      
 
A
F(s) 
s
 
 
 
Portanto: 
 
 
f(t) A  
A
F(s) 
s
 
 
 
 
 27 
Exercícios 
 
01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: 
 
a) f(t) 3  
 
F(s)  
 
b) f(t) 2  
 
F(s)  
c) f(t) 4   
 
F(s)  
d) f(t) 1  
 
F(s)  
 
e) f(t) 9 
 
F(s)  
f) f(t) 1   
 
F(s)  
 
 
02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções 
 
a) 
3
F(s) 
s
 
 
f(t) = 
 
b) 
4
F(s) 
s

 
 
f(t) = 
c) 
7
F(s) 
s

 
 
f(t) = 
d) 
3
F(s) 
s

 
 
f(t) = 
 
e) 
1
F(s) 
s
 
 
f(t) = 
f) 
1
F(s) 
s

 
 
f(t) = 
 
 
Anotações28 
2.9. FUNÇÃO RAMPA 
 
A função rampa corresponde a uma ação que cresce linearmente no tempo, a partir de uma 
ação nula. Ela é contínua no tempo, porém sua derivada é descontínua na origem. Quando o tem-
po tende a infinito, o valor da ação na função rampa também tende a infinito. Na prática isto não 
ocorre, uma vez que não se consegue gerar ações de intensidade infinita. A função rampa é defini-
da por: 
 
0 
f(t)
A t

 

 
p / t 0 
p / t 0 


 
 
Onde A é constante. 
 
 
Por definição: 
 st
0
F(s) L[f(t)] f(t) e dt

   onde: f(t) A t  
 
Temos: 
 st st
0 0
F(s) L[At] A t e dt A t e dt A u v v du
 
          
   
 
 
Artifício: u t  -stdv e 
 du dt   dt du  -st
1
v - e
s
 
 
Então: 
 st st
0
v v
u du0
1 1
 F(s) A t e e dt 
s s


 
 
 
    
         
    
 
 
 
 
 s( ) s(0) st
0
1 1 1
F(s) A e 0 e e dt 
s s s

                       
      
 
 
   s s 0st
2 2 2 2 20
1 1 1 1 A
F(s) A e A e e A
s s s s s
                          
        
 
 
2
A
F(s)
s
 
 
Portanto: 
 
f(t) A t  
2
A
F(s) 
s
 
 29 
Exercícios 
 
01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: 
 
a) f(t) 3 t   
 
F(s)  
 
b) f(t) 2 t   
 
F(s)  
b) f(t) 4 t   
 
F(s)  
d) f(t) 1 t  
 
F(s)  
 
e) f(t) 9 t   
 
F(s)  
f) f(t) t  
 
F(s)  
 
 
02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções 
 
a) 
2
3
F(s) 
s
 
 
f(t) = 
 
b) 
2
4
F(s) 
s

 
 
f(t) = 
c) 
2
7
F(s) 
s

 
 
f(t) = 
d) 
2
3
F(s) 
s

 
 
f(t) = 
 
e) 
2
1
F(s) 
s
 
 
f(t) = 
f) 
2
1
F(s) 
s

 
 
f(t) = 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
2.10. FUNÇÃO SENO 
 
Também muito importante, essa função de teste pode simular um sinal de natureza harmô-
nica. Um exemplo bastante familiar é a tensão elétrica que existe em nossa residência. Ela é defi-
nida como: 
 
0 p / t 0 
f(t)
A sen( t) p / t 0 

 
 
 
 
Onde: A e ω são constantes. 
A  Amplitude da forma da onda. 
ω  Freqüência da forma da onda. 
 
Por definição: 
 st
0
F(s) L[f(t)] f(t) e dt

   onde: f(t) A sen( t)   
Temos: 
 st st
0 0
F(s) L[A sen( t)] A sen( t) e dt A sen( t) e dt
 
           
 
Fórmula Euler: je cos j sen     
j je e
sen 
2j
  
  
 je cos - j sen      
j je e
cos 
2
  
  
 
Então: 
 
j t j t
st (s j )t (s j )t
0 0
e e A
F(s) A e dt e e dt
2j 2j
   
      
 
     
 
  
 
 (s j )t (s j )t (s j )t (s j )t
0 00 0
A A 1 1
F(s) e dt e dt e e
2j 2j (s j ) (s j )
   
                          
 
 
   0 0A 1 1F(s) e e e e
2j (s j ) (s j )
       
    
 
 
2 2
A 1 1 A (s j ) (s j ) A (s j s j )
F(s)
2j (s j ) (s j ) 2j (s j )(s j ) 2j s
             
                      
 
 
2 2
A j j A
F(s)
2j 2js
   
  
  
2j
2 2 2 2
A
s s
  
 
     
 
2 2
A
F(s)
s


 
 
 
Portanto: 
 
 f(t) A sen( t)   
2 2
A
F(s)
s


 
 
 31 
Exercícios 
 
01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: 
 
a) f(t) 3 sen(t)   
 
F(s)  
 
b) f(t) 2 sen(3t)   
 
F(s)  
b) f(t) 4 sen(7t)   
 
F(s)  
d) f(t) sen(t) 
 
F(s)  
 
e) f(t) 4 sen(8t)  
 
F(s)  
f) f(t) 3 4sen(2t) 
 
F(s)  
 
02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções 
 
a) 
2
3
F(s) 
s 5


 
 
f(t) = 
 
b) 
2
4
F(s) 
s 6



 
 
f(t) = 
c) 
2
7
F(s) 
s 9



 
 
f(t) = 
d) 
2
3
F(s) 
s 25



 
 
f(t) = 
 
e) 
2
1
F(s) 
s 1


 
 
f(t) = 
f) 
2
2
3F(s) 
s 6


 
 
f(t) = 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
2.11. FUNÇÃO COSENO 
 
Essa função de teste também pode simular um sinal de natureza harmônica. Ela é definida 
como: 
 
0 p / t 0 
f(t)
A cos( t) p / t 0 

 
 
 
 
 
Onde: A e ω são constantes. 
A  Amplitude da forma da onda. 
ω  Freqüência da forma da onda. 
 
Por definição: 
 st
0
F(s) L[f(t)] f(t) e dt

   onde: f(t) A cos( t)   
 
Temos: 
 st st
0 0
F(s) L[A cos( t)] A cos( t) e dt A cos( t) e dt
 
           
 
Fórmula Euler: je cos j sen     
j je e
sen 
2j
  
  
 je cos - j sen      
j je e
cos 
2
  
  
 
Então: 
 
j t j t
st (s j )t (s j )t
0 0
e e A
F(s) A e dt e e dt
2 2
   
      
 
     
 
  
 
 (s j )t (s j )t (s j )t (s j )t
0 00 0
A A 1 1
F(s) e dt e dt e e
2 2 (s j ) (s j )
   
                           
  
 
   0 0A 1 1F(s) e e e e
2 (s j ) (s j )
        
    
 
 
(s jA 1 1 A (s j ) (s j ) A
F(s)
2 (s j ) (s j ) 2 (s j )(s j ) 2
        
      
          
s j  
2 2
)
s
 
 
   
 
 
2 2
A 2s A
F(s)
2 2s
 
  
  
2
2 2 2 2
s As
s s
 
 
    
 
2 2
As
F(s)
s

 
 
 
Portanto: 
 
 f(t) A cos( t)   
2 2
As
F(s)
s

 
 
 33 
Exercícios 
 
01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: 
 
a) f(t) 3 cos(t)   
 
F(s)  
 
b) f(t) 2 cos(3t)   
 
F(s)  
b) f(t) 4 cos(7t)   
 
F(s)  
d) f(t) cos(t) 
 
F(s)  
 
e) f(t) 4 cos(8t)  
 
F(s)  
f) f(t) 3 4cos(2t) 
 
F(s)  
 
02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções 
 
a) 
2
3s
F(s) 
s 5


 
 
f(t) = 
 
b) 
2
4s
F(s) 
s 6



 
 
f(t) = 
c) 
2
7s
F(s) 
s 9



 
 
f(t) = 
c) 
2
3s
F(s) 
s 25



 
 
f(t) = 
 
d) 
2
s
F(s) 
s 1


 
 
f(t) = 
e) 
2
2s
3F(s) 
s 6


 
 
f(t) = 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
2.12. TEOREMA DA TRANSLACÃO 
 
Vamos obter a Transformada de Laplace da função transladada f(t ) u(t )    , onde 
0  . Essa função é zero para t   . As funções f(t) u(t) e f(t ) u(t )    são mostradas a 
seguir: 
 
 
 
 
 
Por definição, a Transformada de Laplace de f(t ) u(t )    é dada por: 
 
 st
0
L[f(t - )u(t - )] f(t - )u(t - ) e dt

     
 
Substituindo a variável independente t por  (letra grega Tal), em que t    , obtemos: 
 
 st s( )
0
L[f(t - )u(t - )] f(t - )u(t - ) e dt f( )u( ) e d
 
  

          
 
Como estamos considerando f(t) 0 para t 0 , para f( )u( ) 0   para 0  . Como con-
seqüência, podemos mudar o limite inferior da integração de  para 0. Assim: 
 
 s( ) s( )
0
L[f(t - )u(t - )] f( )u( ) e d ( )u( ) e d
 
   

            
 
 s s s s s
0 0
L[f(t - )u(t - )] f( ) e e d e f( ) e d e F(s)
 
                   
 
Onde: st
0
F(s) L[f(t)] f(t) e dt

   
 
Então: sL[f(t - )u(t - )] e F(s)    para 0  
 
Esta ultima equação estabelece que a translação de uma função no tempo f(t) u(t) de  
(onde 0  ) corresponde à multiplicação da transformada F(s) por se  . 
 
Portanto: 
 
- sF(s) L[f(t - )u(t - )] e F(s)    
 35 
Exemplo 01: Obter a Transformada de Laplace das funções f(t) mostradas abaixo: 
 
a) 
 
 
 Deste modo, a funçao dente de serra pode ser expressa por: 
 
  f(t) A u(t- ) - A u t -     
 
Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se: 
 
s s s sA A AF(s) e e e e
s s s
       
 
 
 
 
b) 
 
 
 Deste modo, a funçao dente de serra pode ser expressa por: 
 
  
A A A
f(t) t u(t) t u t t u(t) t u(t )              
  
 
 
Para utilizar diretamente a propriedade do deslocamento no tempo é necessário escrever 
a função no tempo, na forma: sF(s) L[f(t - )u(t - )] e F(s)    , logo: 
 
A A
f(t) t u(t) (t ) u(t ) t u(t) (t ) u(t ) u(t )                             
 
 
 
A A A
f(t) t u(t) (t ) u(t ) u(t )             
  
 
 
Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se: 
 
 s s s s
2 2 2 2
A A A A 1 1
F(s) e e e e
s ss s s s
                 
 
   s s s2 2
A 1 A
F(s) 1 e se 1 e 1 s
s s
                 
 
 36 
Exercícios: 
 
01) Obter a Transformada de Laplace das funções f(t) mostradas abaixo: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
2.13. FUNÇÃO PULSO OU GATE 
 
0 p / t 0 
u(t) A p / 0 t
0 p / t 


   
  
 
 
 
Onde: A é uma constante. 
 
Do teorema da translação temos: 
 
f(t) A u(t) A u(t )      (função pulso no domínio do tempo) 
 
Aplicando a Transformada de Laplace temos: 
 
 F(s) L[f(t)] L[A u(t)] L[A u(t ) ]       
 
 - s
A A
F(s) - e
s s
   - sAF(s) 1 - e
s
 
 
Portanto: 
 
f(t) A A u(t )       - sAF(s) 1 - e
s
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
2.14. FUNÇÃO IMPULSO 
 
Considerando a seguinte função pulso com a área do pulso igual a 1: 
 
 
 
Logo a função é dada por: 
 
1 1
f(t) (t) u(t - A)
A A
 
    
 
 
 
Se a largura do pulso for diminuída e a altura for aumentada, mantendo sempre unitária a 
área sobre o pulso, no limite, A0 resulta num pulso de largura zero, amplitude infinita e área 
unitária. 
Neste limite, o pulso é chamado de Impulso Unitário. Veja afigura a seguir: 
 
 
t 0
0 p / t 0 
1
(t) lim p / 0 t t
t
 0 p / t t 
 



   

  
 
 
 
A função impulso unitário corresponde a uma ação que age sobre um sistema durante um 
intervalo infinitesimal de tempo, ou seja, ela atua por um pequeno intervalo de tempo e depois 
cessa a atuação. Esta função é também conhecida como função ―delta de Dirac‖. 
Na função impulso unitário a potência e a energia despendidas na ação são limitados, porém 
a ação não é. Isto se deve ao fato de que o intervalo de tempo que dura o acionamento é muito 
pequeno, e tende a zero, fazendo com que a força neste intervalo tenda a infinito. Um bom exem-
plo da aplicação de um impulso unitário é no choque entre duas partes mecânicas. A função impul-
so unitário é definida como: 
 
 
A 0
(t) lim f(t)

     
 
 
A 0
1 1
(t) lim - u(t - A)
A A
 
   
 
 
 
 39 
 
 
 
-As
-As
-As
A 0 A 0 A 0
d
1 - e
1 e 1 dAL[ (t)] lim lim 1 - e lim
dAs As As
(As)
dA
  
 
    
         
     
  
 
 
 
-As
A 0
se
L[ (t)] lim 1
s
   
 
Portanto: 
 
 
 L[ (t)] 1  
 
 
A entrada impulsiva fornece energia ao sistema em um tempo infinitesimal. 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 
2.15. ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
A Transformada de Laplace (T.L.) possui várias propriedades gerais. Estas propriedades faci-
litam a obtenção da Transformada de muitas funções. 
 
 
2.16. LINEARIDADE 
 
A Transformada de Laplace (T.L.) é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções f(t) e 
g(t) cujas T.L existam e quaisquer constantes C1 e C2 temos: 
 
1 2 1 2 1 2L[C f(t) C g(t)] L[C f(t)] L[C g(t)] C L[f(t)] C L[g(t)]           
 
Exemplo 01: 
a) L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)]  
 
L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)] L[2 sen(3t) ] L[-4 cos(2t)] 2 L[sen(3t) ] - 4 L[cos(2t)]        
 
2 2 2 2 2 2
3 s 6 4s
L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)] 2 - 4 -
s 3 s 2 s 9 s 4
   
   
 
 
2 2
6 4s
L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)] -
s 9 s 4
  
 
 
 
 
Exercícios 
 
01) Obter a T.L. das seguintes funções aplicando a propriedade de linearidade: 
 
a) -3tL[2e 5sen(t) - 7t] 
 
 
 
 
 
 
b) -t 3 2L[8cos(5t) 3δ(t) - 6e 3sen(4t) 4t 2t 3t 9]     
 
 
 
 
 
 
 
 
 41 
2.17. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR 
te 
 
Se f(t) é transformável por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, então a T.L. de 
f(t) será obtida como: 
 
- t - t
0
L[e f(t)] e f(t)dt F(s )

     
 
Isto é, a substituição de ―s‖ por ―(s-)‖ na Transformada correspondente a multiplicação da 
função original por 
se . 
 
Exemplo 01: 
 a) tL[e cos( t)]  
 
 
t
2 2
s
L[e cos( t)]
s
   
   
 
 
 b) tL[e sen( t)]  
 
 
t
2 2
L[e sen( t)]
s
  
   
 
 
 
Exercícios 
 
01) Obter a T. L. das seguintes funções: 
 
a) 2tL[e sen(3t)] 
 
 
 
 
 
 
 
b) 2tL[e cos(7t)]
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 
2.18. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR tn 
 
Se f(t) é transformável por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, então a T.L. de 
f(t) será obtida como: 
 
 
n
n n
n
d F(s)
L[t f(t)] ( 1)
ds
  Dica: 
2
f f ' g - g' f
g g
 
 
Se tf(t) e , então: 
 
 n - t
n 1
n!
L[t e ]
(s )



 
 Onde : (n=1,2,3,......) 
 
Exemplo 01: 
2 5tL[t e ]= 
 
Logo: n=2 e 5  , então: 
 
2 5t
2 1 3 3
2! 2 1 2
L[t e ]
(s 5) (s 5) (s 5)

  
  
 
 
Exercícios 
 
01) Obter a T. L. das seguintes funções: 
 
a) 2L[t sen(t)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
3 -7tL[t e ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
2.19. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS 
 
Se existe a Transformada de f(t) e de f’(t), então a T.L. de f’(t) será obtida como: 
 
 -st
0
L[f '(t)] f '(t) e dt

  
 
 
0
L[f '(t)] uv v du

   
 
Artifício: 
-stu e -stdu -se dt 
 
dv f '(t) dt  v f(t) 
 
Então: 
  st st0 0L[f '(t)] e f(t) f(t) se dt
    
 
 0 st
0
L[f '(t)] [e f( ) e f(0)] s f(t)e dt

      
 
 L[f '(t)] f(0) sF(s) sF(s) f(0)     
 
 L[f '(t)] sF(s) f(0)  
 
Similarmente para a derivada n-ésima de f(t): 
 
 
n
n n-1 n-2 n-2 n-1
n
d [f(t)]
L s F(s) - s f(0) - s f '(0) sf (0) - f (0)
dt
 
  
  
 
 
Se as condições iniciais forem iguais a zero teremos: 
 
n
n
n
d [f(t)]
L s F(s)
dt
 
 
  
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 44 
2.20. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS 
 
Se existe a Transformada de f(t), então a T.L. da integral de f’(t) será obtida como: 
 
 
t t
-st
0 0 0
L f(t)dt f(t)dt e dt
   
   
      
 
 
t
0
L f(t)dt uv v du
 
  
  
 
 
Artifício: 
t
0
u f(t)dt   du f(t)dt 
stdv e dt  st
1
v e
s
  
 
Então: 
t t
st st
0 0 0
0
1 1
L f(t)dt f(t)dt e e f(t)dt
s s


               
     
  
 
 
t t
st
0 0 0
t 0
1 1
L f(t)dt f(t)dt f(t)e dt
s s



   
    
      
 
Fazendo: 
t
1
0
t 0
f (0) f(t)dt

 
  
 
 
Teremos: 
 
1t
0
f (0) F(s)
L f(t)dt
s s

 
  
 
 
 
 
Se as condições iniciais forem iguais a zero teremos: 
 
t
0
F(s)
L f(t)dt
s
 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 45 
2.21. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 
 
O processo inverso de determinação da função de tempo f(t) a partir da Transformada de 
Laplace F(s) é chamado de Transformada Inversa de Laplace e a notação utilizadapara designá-la 
é 1L . A Transformada Inversa de Laplace pode ser obtida a partir de F(s), com o auxilio da se-
guinte integral de inversão: 
 
c j
1 st
c j
1
L [F(s)] f(t) F(s)e ds
2πj
 
 
 
   , para t > 0 
 
onde ―c‖, abscissa de convergência, é uma constante real e é escolhida com valor superior à parte 
real de todos os pontos singulares de F(s). Assim o caminho de integração é paralelo ao eixo j e é 
deslocado do eixo de um valor de c. Esse caminho de integração fica à direita de todos os pontos 
singulares. 
 O cálculo da integral de inversão é, aparentemente, complicado. Na prática, raramente utili-
zaremos essa integral para a obtenção de f(t). Existem métodos mais simples para encontrar f(t). 
Esses métodos são apresentados a seguir. 
 
 
2.22. MÉTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 
 
Conhecendo-se a Transformada de Laplace de uma função, pode-se obter a função no tem-
po que a originou aplicando-se as técnicas de transformação inversa. Em muitos casos, pode-se 
usar diretamente as tabelas de Transformadas de Laplace. Quando não possível, deve-se aplicar as 
técnicas de decomposição, como: 
 Integral de convolação; 
 Expansão em Frações Parciais. 
 
No curso de Teoria de Controle, vamos utilizar o Método de Expansão em Frações Par-
ciais que será apresentado a seguir. 
 
 
2.23. MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 
 
 Em problemas de analise de sistemas de controle, F(s), a Transformada de Laplace de f(t), 
apresenta-se freqüentemente do seguinte modo: 
 
B(s)
F(s)
A(s)
 
 
onde A(s) e B(s) são polinômios em ―s‖. Na expansão de F(s)= B(s)/A(s) em frações parciais, é 
importante que a maior potência de “s” em A(s) seja maior do que a maior potência de 
“s” em B(s). 
 46 
 Se não for esse o caso, o numerador B(s) deve ser dividido pelo denominador A(s) para 
resultar um polinômio em ―s‖ mais um resto (uma relação de polinômio em ―s‖ cujo numerador é 
de menor grau que o denominador). Ou seja: 
 
B(s) A(s) 
R(s) Q(s)
 
 
Podemos escrever da seguinte forma: 
 
Q(s) A(s) R(s) B(s)  
 
Dividindo a expressão anterior por A(s), temos: 
 
 Q(s) A(s) R(s) B(s) A(s)   
 
 
Q(s) A(s)
A(s)
R(s) B(s)
 
A(s) A(s)
  
 
Logo: 
 

R(s) B(s)
Q(s) = 
A(s) A(s)
 
 
  
B(s) R(s)
F(s) Q(s) 
A(s) A(s) 
 
 
Exemplo 01: Obter a Transformada Inversa de Laplace de: 
 
a) 
2B(s) s 3s 3
F(s)
A(s) s 1
 
 

 
 
 
2 s
2
3s 3 s 1 
s
  
 s s 2
 2s
 
3
 -2s

 - 2 
 1
 Logo: 
1
F(s) s 2
s 1
  

 
 
Aplicando a T.I.L. temos: 
 
1 1 1 1 1L [F(s)] L [s] L [2] L
s 1
          
 
 
tdδ(t)f(t) 2δ(t) e
dt
  
 
 47 
Exercícios 
 
01) Obter a Transformada Inversa de Laplace de: 
 
a) 
   
3 2B(s) s 5s 9s 7
F(s)
A(s) s 1 s 2
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a potência de “s” em A(s) é maior do que a maior potência de “s” em B(s) en-
tão, F(s), Transformada de Laplace de f(t), pode ser separada em componentes: 
 
1 2 nF(s) F (s) F (s) F (s)    
 
e se as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),....., Fn(s) são conhecidas de imediato, então: 
 
1 1 1 1
1 2 nL [F(s)] L [F (s)] L [F (s)] L [F (s)]
      
 
 
Logo: 
 
1 2 nf(t) f (t) f (t) f (t)    
 
onde f1(t), f2(t),....., fn(t) são as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),....., Fn(s), respectivamente. 
 
 Ao aplicar a técnica de expansão em frações parciais para achar a Transformada Inversa de 
Laplace de F(s)= B(s)/A(s), devem-se conhecer de antemão as raízes do polinômio do denomina-
dor A(s). [Em outras palavras, este método não é aplicável enquanto o polinômio do 
denominador não for fatorado.] 
 
 A vantagem do método da expansão em frações parciais é que termos individuais de F(s), 
resultando da expansão na forma de frações parciais, são funções muito simples de ―s‖; portanto 
não necessitamos consultar uma tabela de Transformadas de Laplace se memorizarmos vários 
pares de Transformadas de Lapalce simples. 
 
 48 
2.24. F(S) ENVOLVE SOMENTE PÓLOS REAIS E DISTINTOS 
 
Consideremos a F(s) escrito na forma: 
 
       
       
 
1 2 k m
1 2 k n
K s z s z s z s zB(s)
F(s)
A(s) s p s p s p s p
   
 
   
, para m < n 
 
Onde 1p , 2p , ..., np e 1z , 2z , ..., nz são quantidades reais. Se F(s) possuir somente pólos 
(raízes) distintos, ela então poderá ser expandida em uma soma de frações parciais simples, como 
está indicado a seguir: 
 
       
 1 2 k n
1 2 k n
b b b bB(s)
F(s)
A(s) s p s p s p s p
      
   
 (2.1) 
 
Onde kb (k= 1, 2, ..., n) são constantes. O coeficiente kb é chamado de resíduo do pólo em 
ks p  . O valor de kb pode ser encontrado ao multiplicar ambos os lados da eq.(2.1) pelo coefi-
ciente genérico ―  ks p ‖ e ao fazer ks p  , que resulta em: 
 
 
 
 
 
  
k
1 2
k k k
1 2s -p
b bB(s)
s p s p s p
A(s) s p s p

 
     
   
 
 
 
 
 
k
k n
k k k
k n s p
b b
s p s p b
s p s p


      
  
 
 
Vemos que todos os termos expandidos são eliminados, com exceção de kb . Assim o resí-
duo é determinado por: 
 
 
k
k k
s p
B(s)
b s p
A(s)

 
  
 
 
 
Note que, como f(t) é uma função real de tempo. Como: 
 
kp t -1 k
k
k
b
L b e
s p
 
 
 
 
 
A função f(t) é obtido como: 
 
 1 2 np t p t p t1 2 nf(t) b e b e b e
  
    , para t  0. 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 49 
RESUMO: 
 
       
 1 2 k n
1 2 k n
b b b bB(s)
F(s)
A(s) s p s p s p s p
      
   
 
 
 Onde: 1 2 k np ,p , ,p , ,p  são reais 
 
 Determinação do coeficiente bk qualquer: 
 
Multiplica-se todos os numeradores pelo denominador ao coeficiente genérico ―(s+pk)‖ e faz 
–se s=-pk, obtendo-se: 
 
 
k
k k
s p
B(s)
b s p
A(s)

 
  
 
 
 
 
Exemplo: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: 
 
a) 
   
s 3
F(s)
s 1 s 2


 
 
 
A expansão em frações parciais de F(s) é 
 
   
1 2b bs 3F(s)
s 1 s 2 s 1 s 2

  
   
 
 
Onde b1 e b2 são determinados por meio de: 
 
 
   
 1
S 1 S 1S 1
s 3 s 3 (-1) 3 2
b s 1 2
s 1 s 2 s 2 (-1) 2 1 
      
                 
 
 
   
 2
S 2 S 2S 2
s 3 s 3 (-2) 3 1
b s 2 1
s 1 s 2 s 1 (-2) 1 -1 
      
                  
 
 
Assim: 
 
 -1f(t) L F(s)    
 
 -1 -1 -12 -1 2 -1f(t) L L L
s 1 s 2 s 1 s 2
     
                 
 
 
-t 2tf(t) 2e e  para t  0 
 50 
Exercícios 
 
01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funções: 
 
a) 
2
s 7
F(s)
s 8s 15


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
2
s 3
F(s)
s 9s 20


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 51 
2.25. F(S) ENVOLVE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS 
 
A metodologia, neste caso, é semelhante à situação com raízes reais e distintas. Se p1 e p2 
são pólos complexos conjugados, então a seguinte expressão pode ser usada: 
 
         
 31 2 k n
1 2 3 k n
bs b bB(s)
F(s)
A(s) s p s p s p s p s p
  
      
    
 (2.2) 
 
Os valores de β1 e β2 determinados multiplicando-se ambos os lados da eq.(2.2) por 
   1 2s p s p  e fazendo s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se: 
 
   
 
    
1
3
1 2 1 2 1 2
3s -p
bB(s)
s p s p [ s ] s p s p
A(s) s p

 
         
  
 
 
   k 1 2
k
b
s p s p
s p
   

 
 
   
1
n
1 2
n s p
b
s p s p
s p


    
 
 
 
Vemos que todos os termos expandidos são eliminados, com exceção de do termo 
1 2( s )   . Portanto: 
 
   
1
1
1 2 1 2s -p
s -p
B(s)
s s p s p
A(s)

 
        
 
 (2.3) 
 
Como 1p é uma grandeza complexa, ambos os lados da eq.(2.3) são grandezas complexas. 
Igualando as partes reais de ambos os lados da eq.(2.3), obtemos uma equação. Da mesma for-
ma, igualando as partes imaginarias de ambos os lados da eq.(2.3), obtemos uma outra equação. 
Dessas duas equações é possível determinar β1 e β2. Os outros coeficientes b3,....,bk,....,bn serão 
obtidos como no primeiro caso. 
 
RESUMO: 
 
31 2 k n
1 2 3 k n
bs b bB(s)
F(s)
A(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p ) (s p )
  
      
    
 
 
 Onde: 1 1 1p R jI  e 2 2 2p R jI  são pólos conjugados complexos 
 
 Determinação dos coeficientes “β1” e “β2”: 
 
Multiplica-se todos os numeradores por ―(s+p1) (s+p2)‖ e faz s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se: 
 
1
1
1 2 1 2s p
s p
B(s)
s (s p )(s p )
A(s)

 
         
 
 
 
Iguala-se as partes reais e imaginarias de ambos lados da equação. Resolvendo-as obtém os 
coeficientes ―β1‖ e ―β2‖. Os outros coeficientes ―b3‖, ―bk‖ e ―bn‖ são obtidos como no primeiro caso. 
 52 
Para obter β1 e β2: 
Exemplo 01: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: 
 
a) 
 2
s 1
F(s)
s s s 1


 
 
 
A F(s) pode ser expandida da seguinte forma: 
 
 
31 2
2
bss 1 s 1
F(s)
s 0s s s 1 1 3j 1 3j 1 3j 1 3j
s s s - s s -
2 2 2 2 2 2 2 2
   
   
        
                   
       
 
 
31 2
2
bss 1
F(s)
s 0s s s 1 1 3j 1 3j
s s -
2 2 2 2
  
  
    
        
   
 (2.4) 
 
 
 
Multiplica-se ambos os lados da eq.(2.4) por 
1 3j 1 3j
s s -
2 2 2 2
   
        
   
 e impõe 
1 3j
s - -
2 2
 obtendo: 
 
1
1
1 2 1 2s p
s p
B(s)
s (s p )(s p )
A(s)

 
         
 
 
1 3j1 2 s -
2 2
s 1
s
1 3j
s s
2 2


     
 
   
 
1 3j
s -
2 2
 
  
 
1 3j
s
2 2
 
   
 
1 3j
s -
2 2
 
  
 
1 3j
s -
2 2

 
 
 
 
 
 
  
 
 
1 3j1 2 s - 1 3j
2 2 s -
2 2
s 1
s
s 
 
       
 
 
 
1 2
1 3j 1 3j
- 1 -
2 2 2 21 3j
-
2 2 1 3j 1 3j
- -
2 2 2 2
   
            
            
       
   
 (multiplica-se pelo conjugado) 
 
1 1 2
1 3j 1 3j 1 3j 3j 3-
2 2 2 21 3j 4 4 4 4x
2 2 1 3j 1 3j 1 3j
- -
2 2 2 2 4 4
   
           
   
       
   
         
   
3j
4

1 3j
2 23
4
 

 
 53 
Para obter b3: 
Logo: 
1 2 1
1 3j 1 3j
2 2 2 2
        
 
Igualando as partes reais e imaginarias de ambos os lados desta equação, respectivamente 
obtemos: 
 
1 2
1
1 1
2 2
3j 3j
2 2

    


   

 
 
Resolvendo o sistema de equações, resulta: 
 
1 1  
 
2 0  
 
 
 
 
Multiplica-se ambos os lados da eq.(2.4) por s e faz s = 0 , obtêm: 
 
3
s 1
b
s


2
s
(s s 1)  2 2S 0S 0
s 1 (0) 1 1
1
1s s 1 (0) (0) 1
     
       
       
 
 
3b 1 
 
Portanto: 
 
  22
s 1 s 1
F(s)
ss s 1s s s 1
 
  
  
 
 
A equação: 2s s 1  pode ser reescrita da seguinte forma: (s+R)2+I2, onde R é a parte re-
al e I é a parte imaginaria das raízes complexas. Ou seja: 
 
22
2 1 3s s 1 s
2 2
  
            
 
 
Logo: 
 
  2 22 2
s 1 s 1 s 1
F(s)
s ss s 1s s s 1 1 3
s
2 2
  
    
     
         
 
 
2 2 22 2 2
11 1 1ss
1 122 2 2F(s)
s s
1 3 1 3 1 3
s s s
2 2 2 2 2 2
 
     
 
    
          
                              
 
 54 
A Transformada Inversa de Laplace F(s) é então dada por: 
 
 -1f(t) L F(s)    
 -1 -1
2 22 2
1 3 1s 
12 2 2f(t) L F(s) L
s
1 3 3 1 3
s s
2 2 2 2 2
 
      
       
       
                     
 
 
1 1
t t
2 2
3 3 3
f(t) e cos t e sen t 1
2 3 2
    
         
   
 para t 0 
 
DICA: 
A ocorrência de raízes complexas gera a presença de termos oscilatórios na resposta dinâmica e a 
possibilidade de uma formatação genérica para a solução final, usando funções trigonométricas. 
Portanto, o modo mais usual é fazer a expansão na soma de uma função senoidal amortecida e 
uma função cossenoidal amortecida. 
 
 
 
 
t
2 2
L e sen t
s
   
 
   
  
t
2 2
s
L e cos t
s
    
 
   
 
 
 
Exemplo 02: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: 
 
a) 
2
2s 12
F(s)
s 2s 5


 
 
 
A função F(s) pode ser expandida em uma função senoidal amortecida e uma função cosse-
noidal amortecida: 
 
       
2 2 2
2s 12 2s 12 2(s 1) 10
F(s)
s 1 2j s 1 - 2js 2s 5 s 1 2
   
  
     
 
 
               
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2s 12 2(s 1) 10 (s 1) 2
F(s) 2 5
s 2s 5 s 1 2 s 1 2 s 1 2 s 1 2
  
    
         
 
 -1f(t) L F(s)    
 
       
 -1 -1
2 2 2 2
(s 1) 2
f(t) 2L 5L
s 1 2 s 1 2
   
    
         
 
 
   t tf(t) 2 e cos 2t 5 e sen 2t   para t 0 
 55 
Exercícios 
 
01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funções: 
 
a) 
2
s 7
F(s)
(s 2s 5)(s 3)


  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
2
s 2
F(s)
s 3s 4


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56 
2.26. F(S) ENVOLVE PÓLOS MÚLTIPLOS 
 
Considere a F(s) =B(s)/A(s), onde A(s) =0 tem raízes P1 de multiplicidade ―r‖. [As outras 
raízes são supostas distintas]. A(s) pode ser escrita como: 
 
        
r
1 r 12 r 2 nA(s) s p s p s p s p      
 
A expansão em frações parciais de F(s) é: 
 
r jr r 1 1
r r 1 r j
11 1 1
bb b bB(s)
F(s)
A(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p )

 
       
  
 
r 1 r 2 n
r 1 r 2 n
a a a
s p s p s p
 
 
   
  
 (2.5) 
 
Onde br, br-1,...., b1 são dados por: 
 
1
r
r 1
s p
B(s)
b (s p )
A(s)

 
  
 
 
 
1
r
r 1 1
s p
d B(s)
b (s p )
ds A(s)


  
   
  
 
 
 
1
j
r
r j 1j
s p
1 d B(s)
b (s p )
j! A(s)ds


   
   
   
 
 
 
1
r 1
r
1 1r 1
s p
1 d B(s)
b (s p )
(r 1)! A(s)ds



   
   
    
 
 
 Estas relações para os valores de ―b‖ podem ser obtidas: Multiplicando ambos os lados da 
eq.(2.5) por (s+p1)
r e fazer s tender a –p1, temos: 
 
1
r
r 1
s p
B(s)
b (s p )
A(s)

 
  
 
 
 
 Se multiplicarmos ambos os lados da eq.(2.5) por (s+p1)
r e então derivarmos com relação a 
―s‖, 
r r
r 1 1
1 r r 1r r 1
1 1
(s p ) (s p )d B(s) d d
(s p ) b b
ds A(s) ds ds(s p ) (s p )
 
     
      
         
 
r r
1 1
1 r 1r
r 11
(s p ) (s p )d d
b a
ds ds (s p )(s p )


    
     
      
 
r
1
n
n
(s p )d
a
ds (s p )
 
   
  
 
 57 
O primeiro termo do lado direito desta ultima equação é igual a zero. O segundo termo é 
igual a br-1. Cada um dos outros termos contém alguma potência de (s+p1) como fator, resultando 
que quando ―s‖ tende ao valor –p1, estes termos se anulam. Portanto, 
 
1
1
r r
r 1 1 1
s p
s p
d B(s) d B(s)
b lim (s p ) (s p )
ds A(s) ds A(s)



    
       
    
 
 
 Da mesma forma, fazendosucessivas diferenciações com relação a ―s‖ e fazendo ―s‖tender a 
–p1, obtemos equações para os br-j. 
 Note que a Transformada Inversa de Laplace de 1/(s+p1)
n é dada por: 
 
 
1
n 1
p t -1
n
1
1 t
L e
(n 1)!s p


 
  
  
 
 
 As constantesar+1, ar+2, ...., na, na eq. (2.5) são determinadas a partir de: 
 
k
k k
s p
B(s)
a (s p )
A(s)

 
  
 
  k r 1,r 2, ,n   
 
 A Transformada Inverda de Laplace de F(s) é então obtida como visto a seguir: 
 
   
1p t -1 r 1 r 2r r-1
2 1
b b
f(t) L [F(s)] t t b t b e
r 1 ! r 2 !
 
 
      
    
 
r 1 r 2 np t p t p t
r 1 r 2 na e a e a e
   
     (t ≥ 0) 
 
 
 
RESUMO: 
 
r jr r 1 1
r r 1 r j
11 1 1
bb b bB(s)
F(s)
A(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p )

 
      
  
 
 
Onde: r1(s p ) são os pólos múltiplos 
 
 Determinação do coeficiente br ,.., br-1 ,.., br-j ,.., b1: 
 
1
r
r 1
s p
B(s)
b (s p )
A(s)

 
  
 
 
 
1
r
r 1 1
s p
d B(s)
b (s p )
ds A(s)


  
   
  
 
 
1
j
r
r j 1j
s p
1 d B(s)
b (s p )
j! A(s)ds


   
   
   
 
 
1
r 1
r
1 1r 1
s p
1 d B(s)
b (s p )
(r 1)! A(s)ds



   
   
    
 Dica: n 1 at
n
1 1
t e
(n 1)! (s a)
  
 
 
 58 
Exemplo 02: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: 
 
a) 
2
3
s 2s 3
F(s)
(s 1)
 


 
 
 A expansão em frações parciais dessa F(s) envolve três termos: 
 
 3 2 1
3 2 1
b b bB(s)
F(s)
A(s) (s 1) (s 1) (s 1)
   
  
 
 
Onde b3, b2 e b1 são determinados como vistos a seguir: 
 
2
3 3 2
3 3
s 1 s 1
B(s) s 2s 3
b (s 1) (s 1) ( 1) 2( 1) 3 2
A(s) (s 1) 
    
           
    
 
 
2
3 3
2 3
s 1 s 1
d B(s) d s 2s 3
b (s 1) (s 1)
ds A(s) ds (s 1) 
       
         
       
 
 
2
2 s 1
s 1
d
b s 2s 3 2s 2 2(-1) 2 0
ds 
               
 
 
3 1 2 2
3 3
1 3 1 2 3
s 1 s 1
1 d B(s) 1 d s 2s 3
b (s 1) (s 1)
(3 1)! A(s) (2)!ds ds (s 1)


 
          
         
          
 
 
1 s 1
s 1
1 d 1 2
b 2s 2 2 1
2 ds 2 2
 
           
 
 
 
 
 Portanto obtemos: 
 
 1f(t) L F(s)    
 
1 1 1
3 2 1
2 0 1
f(t) L L L
(s 1) (s 1) (s 1)
               
       
 
 
2 t tf(t) t e e    
 
2 tf(t) (t 1)e  para t 0 
 
 
 
 
 59 
Exercícios 
 
01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funções: 
 
a) 
3
4
(s 2s 5)
F(s)
(s 3)
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
2
4
(s 3s 2)
F(s)
(s 7) (s 1)
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60 
2.27. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO 
 
Nesta seção vamos abordar o uso do método da Transformada de Laplace na solução de 
equações diferenciais lineares e invariantes no tempo. 
O método da transformada de Laplace conduz à solução completa (solução complementar e 
solução específica) de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo. Os métodos clássicos 
para a determinação da solução completa de equações diferenciais requerem o cálculo de constan-
tes de integração a partir das condições iniciais. No caso do método da Transformada de Laplace, 
entretanto, esse requisito não é necessário porque as condições iniciais estão incluídas automati-
camente na transformada de Laplace da equação diferencial. 
Se todas as condições iniciais forem nulas, então a transformada de Laplace da equação di-
ferencial será obtida simplesmente substituindo d/dt por s, d2/dt2 por s2 e assim por diante. 
Na solução de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo pelo método da Trans-
formada Laplace, estão envolvidas duas etapas. 
 
1. Aplicar a transformada de Laplace a cada termo de uma dada equação diferencial, conver-
ter a equação diferencial em uma equação algébrica em ―s‖ e obter a expressão da Transformada 
de Laplace da variável dependente, reorganizando a equação algébrica assim obtida. 
2. A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida pela Transformada Inversa 
de Laplace da variável dependente. 
Na discussão a seguir, utilizaremos dois exemplos para ilustrar a solução de equações dife-
renciais lineares invariantes no tempo, por meio do método da Transformada de Laplace. 
 
Exemplo 01: Encontre a solução x(t) da equação diferencial: 
 
x 3x 2x 0   , x(0) a , x(0) b 
 
Onde a e b são constantes. 
Escrevendo a Transformada de Laplace de x(t) como X(s) ou 
 
L[x(t)] X(s) 
 
Obtemos: 
 
L[x(t)] sX(s) x(0)  
2L[x(t)] s X(s) sx(0) x(0)  
 
E, assim, a equação diferencial dada torna-se: 
 
 2s X(s) sx(0) x(0) 3 sX(s) x(0) 2X(s) 0         
 
 
Substituindo as condições iniciais dadas nessa última equação, obtemos: 
 
2s X(s) as b 3 sX(s) a 2X(s) 0         
 
 
 61 
Ou 
 
2s 3s 2 X(s) as b 3a      
 
 
 
Resolvendo em relação a X(s), temos: 
 
 
2
as b 3a as b 3a 2a b a b
X(s)
(s 1)(s 2) (s 1) (s 2)s 3s 2
     
   
    
 
 
A Transformada Inversa de Laplace de X(s) resulta em: 
 
1 1 12a b a bx(t) L X(s) L L
(s 1) (s 2)
              
    
 
 
t 2tx(t) (2a b)e (a b)e     , para t ≥ 0 
 
Que é a solução da equação diferencial dada. Note que as condições iniciais a e b aparecem 
na solução. Assim, x(t) não tem constantes indeterminadas. 
 
Exemplo 01: Encontre a solução da equação diferencial: 
 
x 2x 5x 3   , x(0) 0 , x(0) 0 
 
Observando-se que L[3] 3 / s , x(0) 0 , x(0) 0 , a transformada de Laplace da equação 
diferencial torna-se: 
 
2 3s X(s) 2sX(s) 5X(s)
s
   
 
Resolvendo para X(s), encontramos: 
 
2 2
3 3 1 3 s 2
X(s)
5 s 5s(s 2s 5) s 2s 5

  
   
 
 
2 2 2 2
3 1 3 2 3 s 1
X(s)
5 s 10 5(s 1) 2 (s 1) 2

  
   
 
 
Conseqüentemente, a Transformada Inversa de Laplace torna-se: 
 
1x(t) L X(s)    
 
1 1 1
2 2 2 2
3 1 3 2 3 s 1
x(t) L L L
5 s 10 5(s 1) 2 (s 1) 2
            
        
 
 
t t3 3 3x(t) e sen(2t) e cos(2t)
5 10 5
    , para t ≥ 0 
 
Que é a solução da equação diferencial. 
 62 
Exercícios 
 
01) Qual é a solução das seguintes equações diferenciais ? 
 
a) 2x 7x 3x 0   , x(0) 3 , x(0) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 2n nx 2 x x 0     , x(0) a , x(0) b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 63 
2.28. TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI) 
 
O teorema do valor inicial (TVI) permite que se descubra o valor inicial f(0 ) do sinal f(t) 
cuja Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor inicial estabelece que: 
 
 
t 0 s
f(0 ) lim f(t) lim s F(s)
  
   
 
 
2.29. TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF) 
 
O teorema do valor final (TVF) permite que se descubra o valor final f( ) do sinal f(t) cuja 
Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor final estabelece que: 
 
 
t s 0
f( ) lim f(t) lim s F(s)
 
   
 
 
Restrições de aplicação : 
 
 Os pólos de F(s) B(s) / A(s) , após cancelamento dos termos comuns, têm que estar no 
semi-plano esquerdo (SPE); 
 Só é permitido um único pólo em s=0 (é de esperar f( ) = cte como na função degrau); 
 O valor de f( ) é indefinido se existirem pares de pólos conjugados no eixo j , pois a 
f(t) conterá funções de tempo oscilante. 
 O valor de f( ) é indefinido se existirem pares de pólos conjugados no eixo no semi-
plano esquerdo (SPD), pois a f(t) conterá funções de tempo crescentes exponencialmente. 
 Este teorema não se aplica quando f(t) for uma função senoidal sen(t), pois s F(s) tem 
pólos em s=  j e o 
t
lim f(t)

 não existe. 
 
 
Exemplos: Encontre valor inicial f(0 ) o valor final f( ) dos sinais abaixo: 
a) 
2
12(s 1)
F(s)
s(s 1)



 
 
Valor inicial: 
2s
12(s 1)
f(0 ) lim s 0
s(s 1)