Mecânica dos Fluidos II

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Mec�nica dos Fluidos II/Aulas/01 - Apresenta��o.pdf
Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)
Instituto de Pesquisas Hidráulicas 
Departamento: Hidromecânica e Hidrologia
IPH 01107 – Mecânica dos Fluidos II
Carga horária = 60 horas
2018/1
1
Objetivos
✓ Fornecer aos alunos os conhecimentos básicos sobre 
propriedades dos fluidos, esforços estáticos e 
dinâmicos, leis de conservação de massa, energia e 
quantidade de movimento, camada limite e 
turbulência.
2
Conteúdo
✓ Propriedades dos fluidos
✓ Estática dos fluidos
✓ Cinemática dos fluidos
✓Dinâmica de fluidos na forma integral
✓ Análise dimensional e semelhança
✓ Turbulência
✓ Equações diferenciais da dinâmica de fluidos
✓ Escoamento Potencial
✓ Camada Limite e Força sobre corpos submersos
3
Metodologia
✓Aulas expositivas, teórico-práticas;
✓Práticas de laboratório;
✓Trabalhos práticos em grupo.
4
Experiências de Aprendizagem
✓Atividades discentes:
• Participar ativamente das aulas e levar a disciplina 
em dia;
• Realizar os trabalhos de pesquisa solicitados;
• Participar das aulas de laboratório de forma ativa.
5
Avaliações - critérios
✓ Serão realizadas três provas parciais durante o semestre – NA1, NA2, NA3.
✓ A escala de pontuação de cada prova é de 0,0 (zero) a 10,0 (dez).
✓ Considerar-se-á aprovado o aluno para o qual:
• SOMA (NA1, NA2, NA3) >= 18,0
• obtiver nota mínima de 4,0 pontos em cada uma das três provas 
parciais.
• cumprir a exigência de um mínimo de 75% de presenças nas aulas 
ministradas (cf. Artigo 134 do RGU).
✓ Neste caso, o conceito atribuído será:
• A se 27,0 <= SOMA <= 30,0;
• B se 22,5 <= SOMA < 27,0; e
• C se 18,0 <= SOMA < 22,5.
✓ No caso de o docente adotar Trabalhos Práticos, será acordado um peso a 
esta atividade, que não poderá ser superior a 20% da nota de uma das três 
provas (informada pelo docente).
6
Avaliações - recuperação
✓ No caso de o aluno não se encontrar na condição descrita no item 
anterior, mas que tiver cumprido a exigência mínima de 75% de presenças 
nas aulas ministradas (cf. Artigo 134 do RGU), este poderá fazer uma 
avaliação de Recuperação Final (RF). 
✓ Serão consideradas as possíveis situações com realização de uma prova de 
recuperação final (RF):
• a) Para os alunos que, ao final do semestre, obtiverem duas ou mais notas de área (NA) 
inferiores a quatro (4,0), a recuperação final consistirá de uma prova versando sobre 
todo o conteúdo da disciplina. A nota final (NF) será obtida por meio da seguinte 
expressão:
NF = (SOMA/3,0 + 1,2*RF)/2
sendo RF a nota obtida na recuperação final.
7
Avaliações - recuperação
• b) Para os alunos que, ao final do semestre, obtiverem somente uma das 
notas de área (NA) inferior a quatro (4,0), a recuperação final deverá se 
enquadrar em uma das seguintes alternativas:
• b.1. uma prova versando sobre o conteúdo desta área. Nesse caso a nota final (NF) 
será calculada como a média aritmética entre as duas notas de área iguais ou 
superiores a 4,0 e a nota da recuperação final (RF); ou
• b.2. uma prova de recuperação final versando sobre todo o conteúdo da disciplina, 
com a nota final (NF) calculada como descrito em (a).
• c) Para os alunos que, ao final do semestre, obtiverem todas as notas de área 
iguais ou superiores a 4,0, mas com SOMA < 18,0, poderão se enquadrar em 
uma das duas opções anteriores, (a) ou (b).
8
Avaliações - recuperação
✓ Para as situações (b) e (c) o aluno deverá comunicar sua escolha por 
escrito ao docente com, no mínimo, 96 horas de antecedência.
✓ O aluno que obtiver nas provas de recuperação de área ou recuperação 
final nota inferior a 4,0 será considerado reprovado.
✓ Será considerado aprovado o aluno que obtiver um mínimo de 6,0 pontos 
na nota final (NF).
✓ O conceito será atribuído em função dos seguintes limites:
• A se 9,0 ≤ NF ≤ 10,0;
• B se 7,5 ≤ NF < 9,0;
• C se 6,0 ≤ NF < 7,5; e
• D se NF < 6,0.
9
Previsão das Datas das Avaliações
✓ A1 – 19/04/18
✓ A2 – 05/06/18
✓ A3 – 05/07/18
✓ Recuperação – 12/07/18
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Bibliografia
✓ Básica Essencial
✓ ÇENGEL, Y.A., CIMBALA, J.M. - Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações -
Editora Mc Graw-Hill (ISBN: 9788586804588)
✓ Munson, Bruce Roy; Young, Donald F.; Okiishi, T. H. - Fundamentos da mecânica 
dos fluidos - Editora Edgard Blücher (ISBN: 8521201435 (v.1); 8521201427 (v.2))
✓ White, Frank M. - Mecânica dos fluidos - Editora McGraw-Hill (ISBN: 858680424X)
11
Bibliografia
✓ Básica
✓ Brunetti, F. - Mecânica dos Fluidos - Editora Pearson (ISBN: 9788576051284)
✓ Fox, R., McDonald, A. - Introdução à Mecânica dos Fluidos - Editora LTC (ISBN: 
8521614683)
✓ POTTER, M.C., WIGGERT, D.C. - Mecânica dos Fluidos - Editora Thomson (ISBN: 
8522103097)
✓ SHAMES, I. - Mecânica dos Fluidos - Editora Edgar Blucher Ltda
12
Bibliografia
✓ Complementar
✓ DAUGHERTY, R., FRANZINI, J. - Fluid mechanics with engineering applications -
Editora International Student Edition (ISBN: 0.07-015441-4)
✓ Outros
13
Plano de ensino completo no Portal do Aluno 
14
Plano completo 
no portal do 
aluno.
Mec�nica dos Fluidos II/Aulas/02 - Propriedades dos Flu�dos.pdf
Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)
Instituto de Pesquisas Hidráulicas 
Departamento: Hidromecânica e Hidrologia
IPH 01107 – Mecânica dos Fluidos II
1. Conceitos fundamentais e Propriedades dos 
fluidos
2018/1
1
O que devemos saber no final desse capítulo:
• Dimensões e sistemas de unidades associados a grandezas 
de interesse;
• Homogeneidade dimensional;
• O que caracteriza um fluido;
• Principais propriedades dos fluidos e como a temperatura 
e a pressão interferem nessas propriedades;
• Ideia de como avaliar / medir propriedades dos fluidos.
2
Mecânica dos fluidos – breve histórico
 Suprimento de água – uso doméstico e irrigação de plantações – sucesso 
das civilizações na pré-história;
 Aquedutos romanos;
 Cidade helenística de Pergamon, atual Turquia – entre 283 e 133 a.C. –
tubulações pressurizadas, com até 45km de comprimento e pressão maior 
que 1,7MPa (180 m de carga).
 Matemático grego Arquimedes (285 – 212 a.C.) – empuxo, teste para 
avaliar o teor de ouro da coroa do Rei Hiero I.
 Idade Média – desenvolvimento de maquinaria hidráulica – bombas a 
pistão para remover água das minas; moinhos movidos a àgua e a vento 
para moer grãos, forjar metais e outras tarefas.
 Renascimento – desenvolvimento contínuo dos sistemas e máquinas de 
fluido;
 Desenvolvimento do método científico: Stevin (1548-1617), Galileo Galilei 
(1564-1642), Mariotte (1620-1684), Torricelli (1608-1647), Pascal (1623-
1662) – distribuições de pressão hidrostática e vácuo;
3
Mecânica dos fluidos – breve histórico
 Isaac Newton (1643-1727) – inércia e resistência dos fluidos, jatos livres, 
viscosidade;
 Bernoulli (1700-1782) e Euler (1707-1783) – equações de energia e momento;
 Jean d’Alembert (1717-1789) – componentes de velocidade e aceleração, equação 
diferencial para continuidade;
 Inserção da mecânica dos fluidos na escola de engenharia no século XIX na França 
- modelo para o resto do mundo;
 Meados do século XIX:
• Médico Poiseuille (1799-1869) escoamento em tubos capilares de fluidos 
múltiplos;
• Alemanha – Hagen (1797-1884) escoamento laminar e turbulento nas 
tubulações;
• Inglaterra – Osborne
Reynolds (1842-1912) – continuou trabalho de Hagen
• Stokes (1819-1903) continuou o trabalho de Navier e desenvolveu as 
equações gerais do movimento dos fluidos que levam seus nomes;
• Froude (1810-1879) – modelos físicos;
• Americanos Francis (1815-1892) e Pelton (1829-1908) - turbinas
4
Mecânica dos fluidos – breve histórico
 Final do século XIX – ampliação da teoria dos fluidos por cientistas e engenheiros 
irlandeses e ingleses – Reynolds, Stokes, William Thomson, Kelvin, Rayleigh, entre 
outros.
 Século XX – Santos Dumont, irmãos Wright – aeroplano
 Prandtl – camada limite + camada externa;
 Von Kárman (1881-1963), Blasius (1883-1970), Nikuradse (1894-1979) – ampliaram 
a teoria de Prandtl com aplicações em hidráulica e aerodinâmica;
 Meados do século XX – expansão da aeronáutica, química, indústria, hidráulica;
 Final do século XX – uso de informática para resolver problemas grandes – clima 
global, otimização de projeto de uma pá de turbina, etc.
 Futuro???
5
• Mecânica dos fluidos: é a parte da mecânica aplicada
que se dedica à análise do comportamento dos
líquidos e gases tanto em equilíbrio quanto em
movimento.
• Analítica
• Experimental
• Computacional
Mecânica dos fluidos
Combinação de teoria e 
experiência
O que é Mecânica dos fluidos?
 Analítica: 
• formulação de modelos matemáticos para descrever os 
problemas;
• soluções exatas apenas para condições e geometrias 
simplificadas.
 Problemas práticos: uso de relações empíricas –
Mecânica dos Fluidos Experimental
 Computacional
Abordagens em Mecânica dos fluidos?
Mecânica dos fluidos nas Engenharias e outras áreas
Fonte: Çengel e Cimbala
Dimensões e Unidades 
Dimensão – medida de quantidade física;
Unidade – forma de atribuir um número àquela
dimensão;
Dimensões: primárias, básicas ou fundamentais;
 Todas as dimensões não primárias podem ser
formadas por alguma combinação das sete
dimensões primárias.
9
Dimensões Primárias e suas unidades no SI e S. Inglês
10
Dimensão Símbolo Unidades SI Unidade S. inglês
Massa* M kg (kilograma) slug
Comprimento* L m (metro) pé
Tempo* t s (segundo) s (segundo)
Temperatura T K (kelvin) R (rankine)
Corrente elétrica I A (ampére) A (ampére)
Quantidade de luz C cd (candela) cd (candela)
Quantidade de matéria N mol (mol) mol (mol)
Suplementares:
+ Ângulo plano 
+ Ângulo sólido
* Grandezas primárias utilizadas na disciplina
Algumas dimensões secundárias
Fonte: White (2010)
11
Sistemas de Unidades Sistemas de Unidades
12
Sistema M L t F
Internacional kg m s N
Inglês slug ft (pé) s pound (lb) 
CGS g cm s dina
Técnico UTM m s kgf
F = m.a (2ª lei de Newton)
T = F x d 
Sendo F = força e d = deslocamento
 No SI, a unidade de trabalho é o Joule (J), o qual equivale a energia necessária para manter uma 
força de 1 N para um deslocamento de 1 m; logo: 1 J = 1 N x 1 m
P = trabalho realizado / tempo gasto = energia utilizada / tempo gasto
 No SI a unidade de potência é o Watt (W), o qual representa 1 Joule por segundo: 1 W = 1 J / 1 s
p = F / A
Sendo F = força normal a área (A). No SI a unidade de pressão é o Pascal (Pa).
Energia é definida 
como a 
capacidade de 
realizar trabalho.
A consequência de se 
realizar trabalho sobre 
um corpo é fornecer-
lhe energia .
-Energia cinética (movimento)
- Energia potencial gravitacional 
(armazenada)
Força, Trabalho (T), Energia, Potência (P), pressão (p)
13
 Comprimento
1 ft (pé) = 12 in (pol) = 0,305 m
1 in (pol) = 0,0254 m
1 milha = 5280 pés = 1610,4 m = 1,604 km
 Massa
1 slug = 14,6 kg = 32,2 lbm (libra-massa)
1 lbm = 0,454 kg
1 UTM = 9,81 kg
 Força
1 kgf = 9,80665 N
1 lb = 0,4536 kgf = 4,448 N
1 dyn (CGS) = 10-5 N
 Energia, Trabalho e Calor
1 cal = 4,1868 J
1 kcal = 4168,8 J = 1,163 Wh = 3,968 Btu
1 kWh = 3,6 x 106 J
1 Btu = 1054,46 J = 0,252 kcal
1 Btu = 777,25 lb.ft
U
ni
da
de
s
Conversão de unidades
14
 Pressão
1 bar = 105 N/m²
 Potência
1 hp = 550 lb.pé/s = 0,746 kW = 746 W
1 cv = 75 kgf.m/s
 Temperaturas
t (°C) = t (K) – 273,15
t (°C) = 0,56 t (°F) – 17,78
t (°F) = 0,56 t (°R) – 459,67
1 K = 1,8 °R
 1018 = exa (E)
 1015 = peta (P)
 1012 = tera (T)
 109 = giga (G)
 106 = mega (M)
 103 = quilo (k)
 102 = hecto (h)
 10 = deca (da)
 10-1 = deci (d)
 10-2= centi (c)
 10-3 = mili (m)
 10-6 = micro ()
 10-9 = nano (n)
 10-12 = pico (p)
 10-15 = femto (f)
 10-18 = atto (a)
Potências de 10
Homogeneidade dimensional
 Todas as equações teóricas são dimensionalmente homogêneas.
• Eq. homogênea geral
• Eq. homogênea restrita
15
Exemplos:
 1) Uma unidade antiga de viscosidade no Sistema CGS é o “poise” 
ou g/(cm.s). A viscosidade da água, a 293,16 K, é aproximadamente 
igual a  = 10-2 poises. Expresse esse valor nos sistemas: a) 
Internacional; b) Inglês
 2) Transformar 1 kgf/cm² em “psi” (libra força por polegada 
quadrada). Calcule a pressão do ar dos pneus de um carro que você 
conheça, nas duas unidades.
16
Exemplos:
 a. Transformar 9,8 m/s2 a ft/s2
 b. Transformar 400 in3/dia a L/min 
 c. Transformar 101.325 Pa a lbf/in2
 d. Qual é o fator de correção para passar de psi a Pa?
 e. Qual é a relação entre hp e W?
17
 Fluido
 Definição mais elementar: Fluido é uma substância que 
não tem forma própria, assume o formato do recipiente. 
DefiniçõesDefinições
 Espaçamento entre moléculas
 Forças intermoleculares
18
FluidoFluido
19
Sólidos – quando submetidos a ação de uma tensão de cisalhamento, sofrem uma 
deformação reversível até que o seu limite de elasticidade seja alcançado. A partir 
deste limite, o sólido não mais retorna ao formato anterior.
Fluidos – deformação continua; escoam para qualquer tensão de cisalhamento a 
que sejam submetidos.
Hipótese do contínuo
 PARTÍCULA FLUIDA: é uma quantidade de fluido contida num 
volume infinitesimal com as mesmas propriedades do fluido.
 HIPÓTESE DO CONTÍNUO
 Despreza espaçamento e atividade intermolecular do fluido;
 Considerando-o como meio contínuo que pode ser dividido 
infinitas vezes em partículas fluidas entre as quais se supõe 
não haver vazios.
20
Hipótese do contínuo
 NÃO se aplica quando o caminho livre molecular seja de ordem 
de grandeza da menor dimensão.
 Exemplo:
 Cubo de aresta 10-3mm  Volume = 10-9mm³
• gás: condições normais – 2,687.107 moléculas – VÁLIDA HIPÓTESE 
CONTÍNUO
• gás rarefeito – 6 moléculas - NÃO É VÁLIDA HIPÓTESE CONTÍNUO
21
Propriedades dos fluidos
 Propriedades: Característica de uma substância que se 
mantém invariante para um dado estado.
 Qualquer característica de um sistema (de uma substância) 
pode ser chamada de propriedade.
22
Extensivas (dependem da massa do corpo)
Ex.: peso, energia, etc.
Intensivas (não dependem da massa do corpo)
Ex.: viscosidade, densidade, pv, etc.
Propriedades
Propriedades dos fluidos
23
 r: massa específica
 g: peso específico
 d = r/ro: densidade relativa
 C: compressibilidade
 E: módulo de elasticidade volumétrico (E = 1/C)
 pv: pressão de vapor
 s: tensão superficial
 : viscosidade (absoluta, molecular, dinâmica)
 n = /r: viscosidade cinemática
Massa específica (r):
 DIMENSÕES: ML-3 , FL-4T2
 UNIDADES: kg/m³ - g/cm³ - slug/ft³
 Exemplo - água:
ρ = 1000 kg/m³
(4°C) ρ = 958,4 kg/m³ (100°C)
vol
m
volume
massa ==r
Propriedades dos fluidos
24
Fluido r (Kg/m3)
Água destilada a 4 °C 1000
Água destilada a 100 °C 958,4
Água do mar a 15 °C 1022 a 1030
Ar atmosférico à pressão atmosférica 
e 0 °C
1,29
Ar atmosférico à pressão atmosférica 
e 15,6 °C
1,22
Mercúrio 13590 a 13650
Petróleo 880
Pr
op
rie
da
de
s d
os
 F
lu
id
os
Massa específica de alguns fluidos
25
Massa específica da água em função da temperatura
26
 DIMENSÕES: ML-2T-2 , FL-3
 UNIDADES: N/m³ - kgf/m³ - lb/ft³
 Exemplo - água:
 g = 9806 N/m³ = 62,4 lb/ft³ (4°C)
Pr
op
rie
da
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os
 F
lu
id
os
g
vol
gm
volume
peso .. rg ===
Peso específico (g):
27
ref
F
ref
Fd
g
g
r
r ==
É a relação entre a massa específica de uma substância e a de 
outra tomada como referência.
Líquidos: referência água a 4°C  rref = 1000 kg/m³
Gases: referência ar  rref = 1,205 kg/m³
Pr
op
rie
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os
 F
lu
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os
Densidade relativa ou densidade (d):
28
Pr
op
rie
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os
 F
lu
id
os
Densidade relativa ou densidade (d):
De forma aproximada a variação da densidade da 
água doce com a temperatura pode ser obtida 
através da equação:
38265 10728,210242,7)10353,5(9999,0   =d
0.960
0.965
0.970
0.975
0.980
0.985
0.990
0.995
1.000
1.005
0 20 40 60 80 100
 = temperatura expressa em ⁰C e erro máximo de 0,23%.
29
Pr
op
rie
da
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os
 F
lu
id
os
 Fluidos são meios elásƟcos → módulo de elasƟcidade 
volumétrico.
r
rd
dp
Vol
dVol
dpE
i
==
Módulo de elasticidade volumétrico.
E
C 1=
Coeficiente de compressibilidade.
Compressibilidade - Elasticidade
30
E (água a 5°C) = 2060x106 N/m²
IMPORTÂNCIA: Os líquidos são considerados incompressíveis exceto para grandes 
variações de pressão – golpe de aríete.
DIMENSÃO DE E: F.L-2
Viscosidade dinâmica ou absoluta ():
31
Viscosidade é uma medida da resposta do 
fluido a uma força aplicada
Se F movimenta a 
placa e a substância 
independente do 
valor, é um fluido.
 Propriedade dos fluidos responsável pela sua resistência a 
deformação.
y
u

= 
Fluidos Newtonianos
Lei da viscosidade de Newton
 DIMENSÃO: FL-2T , ML-1T-1
 UNIDADE: 
N.s/m² = Pa.s
dina.s/cm² = poise (P)
Pr
op
rie
da
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os
 F
lu
id
os
Viscosidade dinâmica ou absoluta ():
32
Pr
op
rie
da
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os
 F
lu
id
os
Viscosidade dinâmica ou absoluta () x Temperatura :
33
Viscosidade dinâmica varia com 
pressão e temperatura:
-Pressão – aumenta ligeiramente 
com aumento de pressão;
-Temperatura tem forte efeito 
(figura).
 x Temperatura
34
2
00
0 T
T
c
T
T
baln 







=


Para líquidos: Para água: 
T0 = 273,16 K; 
µ0 = 0,001792 kg/(ms)
a = -1,94; 
b = -4,80; 
c = 6,74; 
precisão de ±1%
Para gases:
   
ST
STT/T 0
2/3
0
0 
=


Equação de Sutherland
0 é uma viscosidade conhecida a 
uma T0 (273K)
 x Temperatura
 A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto é, das forças de 
coesão entre moléculas relativamente juntas. Desta maneira, 
enquanto a viscosidade dos gases cresce com o aumento da 
temperatura, nos líquidos ocorre o oposto.
 Segundo Potter e Wiggertt (2004), a viscosidade pode ser imaginada 
como a “aderência” interna de um fluido. 
 Líquidos =f(1/temperatura) 
 A viscosidade para os líquidos diminui com o aumento da 
temperatura, devido a diminuição da coesão que é a causa 
predominante da viscosidade;
 Gases  =f(temperatura) 
 A viscosidade para os gases aumenta com a temperatura, devido ao 
aumento da transferência da quantidade de movimento;
35
36
 Fluido ideal ou perfeito: fluido não-viscoso ( = 0) e 
fluido incompressível
 Fluido Newtoniano:  = constante – não varia com a força 
aplicada
Viscosidade e classificação dos fluidos
Pr
op
rie
da
de
s d
os
 F
lu
id
os
Plástico de Bingham – maionese, pasta de 
dente, suspensões de argila.
Nao dilatantes / pseudoplásticos – a 
viscosidade dinâmica aparente diminui com o 
aumento da taxa de cisalhamento – ex: tinta 
látex no pincel –nao pinga pq a taxa de 
cisalhamento é baixa e a viscosidade é alta. 
No entanto desliza suavemente na parede pq 
a taxa de cisalhamento aumenta e a 
viscosidade diminui.
Dilatantes - ex: suspensões de amido ou água 
com areia. Areia (movediça).- esforço 
necessário para retirar um objeto da areia 
aumenta com o aumento da velocidade37
Efeito do tempo sobre a pressão aplicada
38
Tensão de 
cisalhamento Reopético
Fluidos 
comuns
Tixotrópico
Tempo
Taxa de 
deformação 
constante
 DIMENSÃO: L2T-1
 UNIDADE: 
m²/s
cm²/s = stoke
Pr
op
rie
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s d
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 F
lu
id
os
r
n =
Viscosidade cinemática (n):
39
A viscosidade cinemática da 
água, em função da 
temperatura, pode ser 
estimado através da equação 
deduzida por Poiseuille:
2
6
.000221,0.0337,01
1078,1

n

=

 = temperatura expressa em ⁰C e
n = viscosidade cinemática em m²/s.
40
r=n /
 x Temperatura n x Temperatura
É a resistência ao deslizamento de fluidos ao longo de superfícies
sólidas.
Quando um fluido escoa ao longo de uma superfície sólida, junto
a esta superfície existe uma camada fluida aderente que não se
movimenta, camada esta que causa efeito de freio sobre as
demais camadas.
Em consequência do atrito e principalmente da viscosidade, os
escoamentos de um líquido em uma canalização somente
verifica-se com certa perda de energia.
Pr
op
rie
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s d
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 F
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os
Condição de não-deslizamento
vídeo 41
Interpretações:
• Fazendo um corte de comprimento dL em um superfície interfacial, forças iguais
e opostas de intensidade T.dL estarão presentes normais ao corte e paralelas à
superfície, em que T é o coeficiente de tensão superficial, com unidades no SI de
newtons por metro.
•Um conceito alternativo é abrir o corte a uma área dA; isso requer que se
execute um trabalho de valor T.dA. Assim, o coeficiente T pode ser considerado a
energia da superfície por unidade de área da interface em N.m/m².
Pr
op
rie
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s d
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 F
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Tensão superficial (s)
42
Tensão superficial na interface água limpa - ar
s
(N
/m
)
 Resulta das forças atrativas entre moléculas. Se manifesta em
interfaces, geralmente líquido-gás.
 Essa força segura uma gota de água pendurada em uma barra e
limita o tamanho da gota que ali pode ser segurada.
 DIMENSÃO: FL-1
 UNIDADE: N/m
Pr
op
rie
da
de
s d
os
 F
lu
id
os
Tensão superficial (s)
43
O líquido não 
molha a parede 
sólida.
O líquido molha a 
parede sólida.
Superfície hiper-hidrofóbica
 Coesão
Atração recíproca de moléculas de um mesmo fluido, permitindo que as
partículas de fluido possam resistir a pequenos esforços. Ex: formação de
gotas de água.
 Adesão
É a propriedade que tem os líquidos de se unirem a outros corpos quando a
atração
exercida pelas moléculas de sólidos são maiores que a atração entre
as moléculas do próprio fluido.
Ex: água ‘molha’ vidro → adesão > coesão
mercúrio não ‘molha’ vidro → coesão > adesão
Pr
op
rie
da
de
s d
os
 F
lu
id
os
Coesão e Adesão
44
•É uma consequência da coesão, adesão e tensão superficial.
Capilaridade
Pr
op
rie
da
de
s d
os
 F
lu
id
os
45
RD
h
.
cos..2
.
cos..4
g
s
g
s ==
Capilaridade
Pr
op
rie
da
de
s d
os
 F
lu
id
os
46
RD
h
.
cos..2
.
cos..4
g
s
g
s ==
Pressão de vapor
• É a pressão na qual um 
líquido vaporiza e está em 
equilíbrio com seu próprio 
vapor. 
• Para pressão do líquido > pv, 
a única troca entre líquido e 
vapor é a evaporação na 
interface.
• Para pressão do líquido < pv, 
começam a aparecer bolhas 
de vapor no líquido. Pressão de vapor da água
47
 pressões bastante baixas podem aparecer em certas regiões 
 se a pressão for ≤ pressão de vapor - líquido evapora -
CAVITAÇÃO 
 CAVITAÇÃO é a formação e extinção das bolhas de vapor. 
Afeta o desempenho das bombas e turbinas, pode erodir 
partes metálicas na região em que ocorre, provoca ruídos 
desagradáveis. 
Exemplo: água
pv = 1,70 kPa (15°C)
pv = 101,3 kPa (100°C)
Pr
op
rie
da
de
s d
os
 F
lu
id
os
Pressão de vapor: 
pressão resultante 
de moléculas no 
estado gasoso.
Cavitação: Formam-se 
bolhas no líquido quando 
a pressão local cai abaixo 
da pressão de vapor.
Nas altas elevações, nas quais a 
pressão atmosférica é relativamente 
baixa, resulta que a ebulição ocorre 
a temperaturas menores do que 
100C.
Pressão de vapor
Ebulição: ponto no qual a 
pressão de vapor é igual 
a pressão atmosférica.
48
Pressão de vapor
 Principais efeitos nocivos da cavitação:
– A alteração das características hidrodinâmicas do escoamento;
– A produção de fenômenos de ruído e vibrações;
– A erosão das fronteiras sólidas em contato com o líquido
49
50
Fonte: White
Lei dos gases perfeitos
p = pressão absoluta
r = massa específica
T = temperatura absoluta 
R = constante do gás
Vol = volume
m = massa
n = número de mols
Ru = constante universal = 8,314 kJ/kmol.K
M = massa molar.
51
TRp ..r= TRmvolp ... = TRnvolp u ... =
M
RR u=
Para o ar (300K):
M = 28,97kg/kmol
R = 0,287 kJ/kg.K
Outras propriedades
• Velocidade do som (líquidos): c = (E/r)1/2
• Velocidade do som (gás – isentrópico): c=(k.R.T)1/2
• Constante do gás: Rgás = Ru/peso molecular [Rgás] = m2/(s2 K)
• Ru = cte. universal para gases perfeitos = 8,314 J/(mol K)
• Calor específico a volume constante: cv
• Calor específico a pressão constante: cp
• Energia interna: eu (ou u) 
• Entalpia: h = p/r + eu
• Constante adiabática: k = cp/cv
v
u c
dT
de =
pcdT
dh =
52
R = cp - cv
Gases perfeitos
Condições isotérmicas:
Processos adiabáticos ou isentrópico – p e Tª 
constantes em todo o sistema e sem calor 
transferido.
53
ctep =
r
k
p
p



=
2
1
2
1
r
r
kk
p
p
T
T
/)1(
2
1
2
1




=
1
2
1
2
1




=
k
T
T
r
r
pkE .=
Alguns valores
54
Es
Alguns valores
55
k = cp/cv
R = constante do gás
K = constante adiabática  cp/cv
cv = Calor específico a volume constante
cp = Calor específico a pressão constante
Alguns valores de referência
Água
56
Como quantificar / medir algumas propriedades: 
Picnômetro
Densímetro
Tubo de Hare
57
Viscosímetros
Viscosímetro de queda de 
esfera
Viscosímetro de 
tubo em U
Viscosímetro de 
rotação
Entre outros...
58
Viscosímetros
59
Fonte: Camaño Schettini (2014)
T = torque
R = raio
 = veloc. angular
Encontrar o valor da 
viscosidade  a 
partir do torque (T), 
do raio (R, R0, R1) e 
da velocidade 
angular ().
60
http://www.pce-instruments.com/espanol/instrumento-de-medida/medidor/viscosimetro-endecotts-limited-viscos_metro-zxcon-det_404635.htm
Viscosímetro ZXCON 
Viscosímetro Bostwick ZXCON
viscosimetro Bostwick de acero inoxidable / ideal para el uso móvil /
requiere sólo una pequeña cantidad de prueba / nivel de burbuja incorporado / pie 
de ajuste con tornillos nivelables
El viscosímetro Bostwick ZXCON permite un procedimiento de medición rápido y
sencillo para determinar las propiedades de flujo de sustancias fluidas viscosas. Con el
viscosimetro Bostwick se determina en un proceso de comparación física el recorrido
de flujo en un tiempo determinado de un líquido que se extiende o de un material
pastoso. Este procedimiento de medición empleado con el viscosímetro Bostwick
ZXCON también se conoce como test de Bostwick. El viscosimetro de Bostwick se
compone de una bandeja dividida mediante una corredera vertical en dos cámaras de
tamaño diferente. La cámara más pequeña del viscosímetro Bostwick sirve para la
recepción de una sustancia de muestra. La cámara más grande se encuentra sobre el
suelo y está equipada con un escalamiento de ruta grabado. Una vez llena la muestra y
abierta la corredera con el viscosimetro Bostwick ZXCON se determina la distancia que
la sustancia cubre en un determinado periodo de tiempo en el fondo escalado de la
bandeja. Para alcanzar elevada precisión de repetición y valores comparables, es
absolutamente necesario durante la realización de la prueba una alineación
absolutamente horizontal del viscosímetro Bostwick ZXCON. Por este motivo el
viscosimetro Bostwick ZXCON viene equipado de manera estándar con un nivel así
como pies de nivelación. El viscosimetro Bostwick se emplea especialmente en la
industria alimentaria para caracterizar y comparar consistencia, viscosidad o flujo de
salsas, mermeladas, conservas, sopas o Ketchup. El viscosímetro Bostwick resulta a su
vez de gran ayuda en la clasificación de pinturas o cosméticos.
61http://www.iesmat.com/Productos-MI-Viscosimetros-Cono.htm
VISCOSÍMETRO V88 CONO/PLACA DE
MALVERN INSTRUMENTS
El Viscosímetro V88 en un sencillo y robusto
instrumento que proporciona medidas precisas 
de viscosidad a simples y múltiples velocidades 
de deformación. Su construcción y flexibilidad 
lo hacen apropiado para su uso en una gran 
variedad de aplicaciones desde muy bajas a 
muy altas viscosidades.
Exemplos
 3) A unidade de massa no Sistema Técnico é a UTM. Sabendo que a
massa específica da água a 20⁰C é r = 102 UTM/m³, qual é a
relação entre UTM e kg (SI) e entre UTM e slug (sistema inglês)?
 4) 2 dm³ de um líquido pesam 1640 gf. Calcular o seu peso
específico, a massa específica e a densidade no SI.
 5) Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro,
a pressão de 1000N/m² e volume de 995 cm³ a pressão de
2000N/m². Determine o módulo de elasticidade volumétrica
do líquido.
62
Exemplos
63Fonte: Young et al. (2005)
6)
64
Exemplos
10) Um corpo pesando 90 lb com uma superfície
plana de 2 ft² desliza sobre um plano inclinado
lubrificado que faz um ângulo de 30⁰ com a
horizontal. Para uma viscosidade de 1 poise e
velocidade do corpo de 3 ft/s. Determinar a
espessura da película lubrificante.
R: e=0,00334 in
65
Questões
• Como variam as propriedades físicas da água com a temperatura?
E 
com a pressão?
• A que temperatura a água entre em ebulição a uma pressão de 3 bar?
• Como funciona um densímetro? Como você “construiria” ou 
“estabeleceria” a escala de um densímetro?
• Analise o erro na quantificação de alguma grandeza de interesse, que 
seja função da massa específica da água, ao desprezar a variação de 
temperatura da água.
• Como varia a aceleração gravitacional no globo terrestre? Analise o 
erro na quantificação de alguma grandeza de interesse, por desprezar 
a variação da aceleração gravitacional.
66
Mec�nica dos Fluidos II/Aulas/03 - Est�tica dos Fluidos.pdf
Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)
Instituto de Pesquisas Hidráulicas 
Departamento: Hidromecânica e Hidrologia
IPH 01107 – Mecânica dos Fluidos II
2. Estática dos fluidos
2017/2
1
2. Estática dos Fluidos
 Forças, tensões e pressão;
 Equação fundamental da estática dos fluidos;
 Escalas;
Dispositivos para medir pressão;
 Aplicações.
2
Forças, tensões e pressões
3
Forças
Superficiais
Mássicas ou de campo  Gravidade
Pressão
Viscosas
Tensões
Normais
Tangenciais
DA t1
t2
sn
Pressão Devida a uma força normal 
de compressão
DA
A)n(pFd pressão D

Fonte: Camaño Schettini (2014)
Formulação diferencial: força devido a viscosidade
4
Tensões
Normais
Tangenciais
DA t1
t2
sn

x
z
y
dAy = dx dz
yys
yxt
yzt
Em cada ponto do fluido fica determinado o tensor de tensões viscosas:










stt
tst
tts
s
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
j,i
Fonte: Camaño Schettini (2014)
• A estática dos fluidos envolve o estudo de problemas
para os quais não há movimento relativo entre os
elementos do fluido. Como não há movimento
relativo entre os elementos individuais e, portanto,
não há gradientes de velocidade, não pode existir
tensão de cisalhamento, que seja a viscosidade do
fluido. Ou seja, a viscosidade não influi em
problemas de estática, podemos, portanto, obter
facilmente soluções exatas para tais problemas.
5
Estática
• Um fluido em repouso não admite a existência de esforços tangenciais
entre suas partículas.
• Lei de Pascal :
“Num ponto de um fluido em repouso a pressão é a mesma em qualquer
direção.”
Consideremos um pequeno corpo em forma de cunha de comprimento
unitário, no ponto (x,y) de um fluido em repouso.
6
Pressão em um ponto
ps.Ds
px. D y
py. D x
D y
y

x

Ds
Dx
2
.. yx DD
• Forças atuantes:
• Forças de contato – pressão
• Forças de campo – peso
Demonstração em 
aula.
→ ps = py = px
Equação fundamental da estática
z
x
y
dx
dz
dy
dydxdz
z
pp 






2
dydxdz
z
pp 






2
dzdydx
x
pp 






2
dzdydx
x
pp 






2
dzdxdy
y
pp 





2
dzdxdy
y
pp 





2
W
• Forças atuantes:
• Forças de contato –
pressão
• Forças de campo – peso
 0F












0F
0F
0F
z
y
x
Forças superficiais e de campo atuando num elemento de fluido 
dzdydxgdzdydx
z
pdFz ...... 


dzdydx
x
pdFx ..


dzdydx
y
pdFy ..


O vetor da força elementar é dado por:
kdFzjdFyidFxFd

... 
dzdydxgkdzdydx
z
pk
y
pj
x
piFd ....... 










8
Desenvolvimento em aula  0F












0F
0F
0F
z
y
x
dividindo por dx.dy.dz = dvol e fazendo dvol tender a zero
ponto num volumede unidadepor resultante Força 
0dvol lim ..










 gkp
z
k
y
j
x
i
dvol
Fd 

A expressão entre parênteses é o gradiente indicado por (nabla):
z
k
y
j
x
i







gp  Equação fundamental do equilíbrio estático na forma diferencial.
9

















g
z
p
y
p
x
p

0
0
Na forma de componentes:
0
x
p 


0


y
p g
z
p .


Como p é função apenas de z:
dp = - .dz → Válida para fluidos compressíveis e 
incompressíveis
-Para  (ou ) variável – conhecer a lei de variação de  para 
integrar;
- Para  (ou ) constante – integração direta. 
10
11
C = constante de integração = p0
h = -z = medida vertical para baixo a partir da superfície livre do 
líquido
p = aumento de pressão a partir da superfície livre
p = .h + p0
Para fluidos que possam ser considerados homogêneos e 
incompressíveis ( = constante).
p = -.z + C
x
z
y
g

h
p0
Z0 h = 0
Pressões em líquidos em repouso
Pressão em líquidos em repouso
pa pb pc pd
pA pB pC pD
= = =
= = 
12
• Pressão absoluta -
• Pressão relativa = efetiva = manométrica = gage
• Vácuo = pressão efetiva negativa = depressão = sucção
13
Escalas de pressão
Leitura local do 
barômetro
Zero para a pressão
absoluta
Zero para a pressão
relativa ou para o 
vácuo
pabs = prel + patm local
vácuo = - prel
vácuoabs = - patm local
• Unidades de pressão propriamente dita, baseadas
em p=F/A
• lb/ft2 , lb/pol2 = psi , Kgf/cm² , Kgf/m² , Pa=N/m² , bar (105Pa)
• Unidades de carga de pressão - h
Essas unidades são indicadas por uma unidade de comprimento
seguida da denominação do fluido que produziria a carga de
pressão (ou coluna) correspondente à pressão dada.
• Exemplo: mm.Hg , m.c.a. , cm.c.a. , pol.Hg
hp /
psi = pounds per square inches
14
Unidades de pressão
 1 atmosfera = pressão atmosférica normal
 Valores ao nível do mar:
 1 atmosfera = 14,7 psi (lb/in2) = 2116 lb/ft2 = 29,92 pol.Hg = 33,91 ft H2O = 760 mmHg (Torr)= 
101325 Pa = 10,33 m.c.a.
A que profundidade de um óleo, de densidade relativa 0,75, se
produzirá uma pressão de 2,80kgf/cm²? E se o líquido for água?
15
hp  
mh
mkgf
mkgfh
ph
óleo
30,37
³/100075,0
²/1080,2 4





Óleo:
mh
mkgf
mkgfh
ph
óleo
00,28
³/1000
²/1080,2 4




Água:
A água de um lago localizado numa região montanhosa
apresenta temperatura média igual a 10°C e a profundidade
máxima do lago é 40 m. Se a pressão barométrica local é igual
a 598 mm Hg, determine a pressão absoluta na região mais
profunda do lago.
A pressão na água, em qualquer profundidade h, é dada pela
equação:
hpp atmabsoluta  
onde patm é a pressão na superfície do lago. Como queremos
conhecer a pressão absoluta, a patm será a pressão barométrica
local ou pressão atmosférica. Deste modo:
²/5,79
598,0³/133
mkNp
mmkNp
hp
atm
atm
Hgatm


 
Assim:
kPap
mmkNmkNp
absoluta
absoluta
472
40³/804,9²/5,79


Peso específico da água, 10°C:
água,4°C = 9,804kN/m³
16
Pressão na atmosfera
 Desenvolvimento em aula.
17
Categorias de medição de pressão
Pressão absoluta 
Pressão efetiva
Pressão
diferencial
Pressão média
Pressão instantânea
Pressão total
Pressão estática
Pressão dinâmica
Coluna líquida
Outros dispositivos
Barômetro - Patm
pvapor
 0 
Barômetro Aneróide
Barômetro Metálico
Barômetro digital
Micro elemento de silício que sofre 
ressonância a uma frequência 
proporcional a pressão aplicada
Barógrafo
Geralmente pvapor = desprezível
vaporatm php   hpatm  
Piezômetros - para pequenas pressões efetivas
Pressões 
positivas
Pressões 
negativas
patm
m
pm = patm +  x h
pm =  x h
patm = 0 (pressão relativa)
Manômetros abertos – para pressões efetivas maiores 
Pressões 
negativas
Pressões 
positivas
patm
m
z
h
1
2

1 p1 = pm +  x z
p2 = patm + 1 x h
p1 = p2
pm +  x z = patm + 1 x h
pm = patm + 1 x h -  x z 
patm = 0 d1 = 1/ 
pm =  (d1 x h – z) 
Manômetros diferenciais
p1 = pA + 1 x hA
p2 = pB + 3 x hB + 2 x h 
p1 = p2 (superfície de nível)
1
2
A
hA h
1 2
B
hB
3
pA - pB = 3 x hB + 2 x h - 1 x hA
• Determinar a diferença das pressões a montante e a 
jusante da peça inserida no conduto forçado:
Aplicação
1 2
3
A B
z
0,6
Hg
água
pA = p1 +  . z 
pB = p3 +0,6 .  +  . z 
p1 = pA -  . z 
p3 = pB -0,6 .  -  . z 
p2 = p3 +0,6 . Hg
p2 = pB -0,6 .  -  . z +0,6 . Hg
p1 = p2
pA -  . z = pB -0,6 .  -  . z +0,6 . Hg
pA - pB = -0,6 .  + 0,6 . Hg = 0,6 (Hg - )
(pA – pB)/  = 0,6 (13,6 - 1)
(pA – pB)/  = 7,56 m.c.a.
Outros manômetros de coluna líquida
Manômetro de tubo inclinado
O manômetro de tubo inclinado é utilizado para 
medir pequenas diferenças de pressão em sistemas 
que contém gases. Nestes casos:
Micromanômetro



 



 D
A
a
A
aHpp  11221
A = área maior do tubo (onde está o 
fluido de peso específico 1);
a = área da seção reta do tubo em “U”.
Outros dispositivos
Manômetro de Bourdon
Tipo C Espiral Helicoidal
Outros dispositivos
(a) Manômetro do tipo diafragma; (b) efeito da 
pressão na deformação do diafragma
Tubo de Hare
 Para comparar as densidades de líquidos 
miscíveis pode-se adotar o tubo de HARE , 
conforme o esquema. 
 Aspiram-se os líquidos pelo tubo T , que se 
pinça em seguida. 
 A mistura de ar e vapores que permanece 
na parte superior do aparelho exerce 
pressões iguais nas duas colunas. 
 A massa específica  do álcool resulta da 
proporção:
 /1000 = 27/30 portanto  = 900 kg/m3
27
Sequência para a resolução de problemas de manômetros de 
colune líquida
1. Começar numa extremidade (ou menisco) escrevendo a 
pressão numa unidade.
2. Somar a pressão a sua variação até o próximo menisco com 
sinal positivo se o menisco estiver mais baixo e com sinal 
negativo se estiver mais alto.
3. Continuar desta forma até alcançar a outra extremidade do 
manômetro e igualar a expressão à pressão neste ponto, seja 
a mesma conhecida ou não.
28
Empuxo (Buoyancy)
• A força de empuxo E sobre um corpo submerso é igual ao
peso do volume de fluido deslocado, com direção vertical
e com sentido contrário ao da gravidade g.
• Exemplo de aplicação: densímetro
Despreze o ar deslocado aqui em cima.
(Volume deslocado) X ( do fluido) = peso do corpo
Se o corpo estiver em equilíbrio: E = W
E > W ? E < W ?
30
Exemplo:
Pode boiar na superfície ou quando o nível do mar sobe, a bóia fica 
completamente submersa.
Qual a força que tensiona o cabo na condição da figura?
Em equilibrio:
água mar = 10,1kN/m³
31
Forças em superfícies planas
Ay
Iyy xP 

Ay
I
xx xyP 

AhF  
Visto em detalhes em 
Hidráulica II
F
dAsenydAhdApdF  
horizontaldAelemento 
 
A
dAsenyF 
 
A
dAysenF 
AysenF  
AhF  
A intensidade da força de 
pressão que age numa superfície 
plana é igual ao produto da 
pressão no CG pela área.
Direção – perpendicular a superfície
Sentido – contra a superfície se a pressão é +
32
Intensidade da força de pressão.
Forças hidrostáticas em superfícies planas 
Ponto de aplicação = no CG 
do prisma de pressões
Para superfícies com áreas não 
retangulares ou quadradas, há 
outro método de cálculo.
Visto em detalhes em 
Hidráulica II
Exercícios
 Na figura, a pressão efetiva em A é de 1,5kPa. Os fluidos se 
encontram a 20⁰C. Determine as elevações z, em metros, das 
elevações dos líquidos nos tubos B e C.
34
Exercícios
 A pressão efetiva em B é utilizada para avaliar a pressão em 
um ponto A em um escoamento de água. Se a pressão em B é 
87kPa, estime a pressão em A, em kPa. Assuma todos os 
fluidos a 20⁰C.
35
Exercícios
O sistema da figura está a 20⁰C. Avalie a pressão 
absoluta em A em lbf/ft².
36
Exercícios
 Na figura ambos fluidos encontram-se a 20⁰C. Se efeitos da 
tensão superficial podem ser desprezados, qual a massa 
específica do óleo, em kg/m³?
37
Exercícios
 Os compartimentos B e C da figura estão fechados e cheios de 
ar. O barômetro indica 14,7 psi, quando os manômetros A e D 
indicam os valores assinalados, qual será o valor de x no 
manômetro E ? ( líquido manométrico = mercúrio - d = 13,6)
38
R: 5,92 ft
Exercícios
 Na figura abaixo, A contém água e o fluido manométrico tem 
densidade 2,94. Quando o menisco à esquerda coincide com 
o zero da escala pA = 90 mm de água. Determinar a leitura do 
menisco da direita quando pA = 8 KPa sem nenhum ajuste do 
tubo em U ou da escala. 
 R: 0,383 m
39
O eixo da comporta retangular de 6 ft de largura 
romperá quando sujeito a um momento de 
100000 lb.ft . Determinar o nível H máximo de 
líquido.(=64 lb/ft³). R: H= 10,54 ft
40
Visto em detalhes em 
Hidráulica II
Exercícios
 O tubo A contém óleo (d = 0,8) e o tubo B, água. Calcular as 
pressões efetivas e absolutas em A e B, para as indicações do 
manômetro. ( pressão atmosférica = 10330 Kgf/m² -
densidade do mercúrio = 13,6 )
41
Respostas:
pA (abs) =14170 kgf/m²; 
pA (efet) = 3840 kgf/m²; 
pB (abs) = 4470 kgf/m²; 
pB (efet) = -5860 kgf/m²
Exercícios
 Supondo que Ø1 é o dobro de Ø2, h1=2cm e h2=1cm.
 Determine pA. 
 Dobrando-se o valor de pA, determine Δk e Δw. 
42
 Determine as pressões efetiva e absoluta no ponto A, no 
interior de um líquido de densidade 1,25. A pressão 
atmosférica é de 10 m.c.a.
43R: P abs = 60,47kPa / Pefet = -37,5kPa 
Exercícios
 O ponto mais profundo conhecido nos oceanos é 11034
metros no Pacífico. Nessa profundidade o peso específico da
água do mar é aproximadamente de 10520 N/m³. Na
superfície,  = 10050 N/m³. Calcule a pressão relativa (efetiva)
nessa profundidade (no fundo do mar), considerando a
variação linear do peso específico. Qual a diferença
percentual em relação ao cálculo sem considerar a variação
do peso específico com a profundidade.
44R: Pefet = 113,5MPa 
Exercícios
Mec�nica dos Fluidos II/Aulas/04 - Cinem�tica dos Fluidos.pdf
Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)
Instituto de Pesquisas Hidráulicas 
Departamento: Hidromecânica e Hidrologia
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3. Cinemática dos fluidos
2017/2
1
3. Cinemática dos Fluidos
 Objetivos: 
• Estudar o movimento de fluidos em escoamento – descrição e 
visualização;
• Determinar: posição, velocidade e aceleração.
** Não se preocupa com as forças que produzem o movimento
 Itens abordados
• Classificação dos escoamentos;
• Campos de velocidade;
• Aceleração de uma partícula fluida;
• Vazões: volumétrica, mássica e ponderal;
• Velocidade média;
• Eq. da continuidade
• Aplicações.
 Próximos capítulos - consideraremos as forças necessárias para 
produzir o escoamento – dinâmica do movimento.
2
 Leonardo da Vinci  500 anos atrás.
 Trata-se da primeira visualização registrada do 
fenômeno da turbulência. Esse desenho abaixo 
retrata o enchimento de uma piscina por um jato de 
água produzido por uma seção quadrada.
3
4
Leonardo da Vinci
Sanagiotto (2003)
Simulação numérica via CFD, 
Arantes e Porto (2005)
Simões et al. (2010)
5
Fonte:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_fluidos
Campo de velocidade
 Escoamento do fluido – movimento das partículas
fluidas (velocidade e aceleração) e não o movimento
das moléculas isoladamente.
Num dado instante, a descrição de qualquer
propriedade do fluido (, pressão, velocidade e
aceleração) pode ser formulada em função da
posição da partícula.
6
Velocidades próximas à 
superfície do nariz de um trem 
de alta velocidade (TGV)
Fonte: Camaño Schettini (2014)
Campo de velocidade
 Campo de escoamento – representação dos 
parâmetros do fluido em função das coordenadas 
espaciais. Pode ser diferente a cada instante.
Campo de velocidades:
Onde Vx, Vy e Vz são as componentes do vetor 
velocidade nas direções x, y e z.
7
ktzyxVjtzyxVitzyxVV zyx ˆ),,,(ˆ),,,(ˆ),,,( 

8
Métodos da cinemática dos fluidos
Método Euleriano
- Conceito de campo
- O movimento do fluido é descrito pela especificação 
completa dos parâmetros necessários (pressão, massa 
específica e velocidade) em função das coordenadas 
espaciais e do tempo.
- Informações do escoamento em função do que 
acontece em pontos fixos do espaço enquanto o fluido 
escoa por estes pontos.
Geralmente é mais fácil utilizar o método Euleriano
para descrever o escoamento.
9
Métodos da cinemática dos fluidos
Método Lagrangiano 
- análise de partículas fluidas e determinação da 
variação das propriedades da partícula em função do 
tempo. 
- são avaliadas as propriedades da partícula durante o 
movimento.
10
Exemplos
Euleriano:
- instalar um medidor de vazão em uma 
seção de um conduto;
- medir a variação da temperatura ao longo 
do tempo em um ponto na saída de uma 
chaminé;
- avaliar a quantidade de pássaros (“vazão” 
de pássaros) que passa em um certo local 
ao longo do ano; entre outros.
Lagrangeano:
- uso de traçadores no sangue para verificar 
o escoamento nas artérias;
- rotular alguns pássaros (peixes) com rádios 
transmissores para seguir o seu movimento 
ao longo da rota de migração; entre outros.
11
Classificação de escoamentos
Permanente x transiente
Uniforme x variado
Laminar x turbulento
Uni, bi, tridimensional
Compressível x incompressível
 Ideal x real
Lento, crítico ou rápido
Outras classificações
12
 Escoamento permanente: as características do escoamento 
em um dado ponto não variam com o tempo, do ponto de 
vista estatístico.
 Escoamento transiente ou transitório: - O escoamento 
transitório pode ser:
- não periódico – fechamento de uma válvula. Para 
fechamentos bruscos – golpe de Ariete.
- periódico – injeção periódica da mistura ar-gasolina nos 
cilindros de um motor automotivo.
- aleatório – rajadas de vento; escoamento através de 
torneiras.
0 tV

, 
0 tp
13
Quanto à permanência no tempo - Permanente e transiente 
Vídeo 4.3.
Escoamento permanente e transiente
14
• Permanente (estacionário)
• Transiente (não-permanente)
0 t
0 t
Nível variável
Reservatórios de 
grandes 
dimensões
Vídeo
Quanto à permanência no espaço - uniforme e variado 
 Escoamento uniforme: -Em um instante, a velocidade 
(módulo, direção e sentido) é constante em todos os pontos. 
(propriedades se mantém constantes – pressão, velocidade, 
etc).
 Escoamento variado
15
0 sV

0 sV

Experimento de Osborne Reynolds - 1883
16
Vídeo
Regimes laminar e turbulento
 Osborne Reynolds (1842 – 1912) – primeiro a distinguir a 
diferença entre escoamento laminar e turbulento.
Experiência de Reynolds (1883)
17
Esquema da experiência de Reynolds. Fonte: Brunetti (2005).
18
Número de Reynolds
 Número de Reynolds (Re) – permite classificar o escoamento em 
laminar ou turbulento.
Para escoamentos em condutos forçados:
- escoamento laminar – Re < 2000 (2300)
- escoamento de transição – 2000 < Re < 4000
- escoamento turbulento – Re > 4000
19



lVlV  .Re
Onde: 
V = velocidade média do escoamento,
L = comprimento característico do escoamento (para conduto 
forçado = diâmetro),
 = viscosidade cinemática do fluido.
Outros escoamentos:
- Outros comprimentos 
característicos;
- Outros limites.
Quanto à dimensionalidade: Uni, bi ou tridimensional
 É classificado em uni, bi ou tridimensional de acordo com o 
número de coordenadas espaciais necessárias para especificar 
seu 
 Muitas vezes adotam-se simplificações para facilitar a análise, mas 
sem sacrificar muito a precisão dos resultados.
20
Vídeo
Vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=1y7IsJyfjUA
u = u (r,x)  2D u = u (r)  1D
Quanto à compressibilidade
 Incompressível  = cte
• Líquidos  maioria das situações
• Gás perfeito  Ma <0,3 (Ma = V/c)
• Ex: ar, T = 15⁰C, c = (k.R.T)1/2 = 332 m/s
• V=c.Ma  V = 332 . 0,3 = 99,5 m/s – ainda pode ser considerado 
incompressível
• Geralmente para mudanças no volume de até 3%, pode-se 
considerar incompressível. 
 Compressível    cte
 Mudanças no volume de 4% ou mais.
 As variações de massa específica podem ser devidas a:
• variações do campo de pressão;
• variações do campo de temperatura;
• mistura de fluidos de diferentes densidades.
21
Hidráulica  maioria das 
situações escoamento 
incompressível.
Ideal x Real 
• Ideal = não viscoso = perfeito  = 0 
sem perdas
• Real ou viscoso
Escoamento lento, crítico e rápido
23
hg
VFr .

gravidadedeondaumadepropagaçãodeVelocidade
fluxodoVelocidade
hg
V 
.
Fr < 1  lento, fluvial ou subcrítico
Fr = 1  crítico
Fr > 1  rápido, torrencial ou supercrítico
Escoamento lento, crítico e rápido
 Subcrítico – ondas podem se propagar para montante;
 Supercrítico – ondas não podem se mover para montante.
24
Outras classificações
Escoamentos internos 
Escoamentos externos
Em líquidos:
• Sob pressão
• Superfície livre
25
Formas de representação do escoamento
 Trajetória
 Linhas de corrente
 Linhas de emissão
 Tubo de corrente
26
Trajetória
 Trajetória – é uma linha traçada por uma dada partícula que 
escoa de um ponto para outro. Pode-se obter a trajetória de 
uma partícula fluida, marcando-a e tirando uma fotografia de 
longa exposição do seu movimento.
27X
y
z
Partícula no instante t1
Partícula no instante t2
Partícula no instante t3
Trajetória
Vídeo 4.6.
28
Linha de corrente
Linha de corrente – é a linha contínua que é 
sempre tangente ao campo de velocidade. 
29
X y
z
Partícula 1
no instante t
Partícula 2
no instante t
Partícula 3
no instante tv1
v2
v3
linha de corrente
Vídeo 4.5.
30
Equações das Linhas de Corrente
LC – todos os pontos são tangentes a 
31
V

0Vdl 
Vz
dz
Vy
dy
Vx
dx 
Equação diferencial para linha de corrente
Uma equação que expressa o fato de que o vetor de velocidade é tangente a linha 
de corrente é:
Linha de emissão
 Linha de emissão – consiste de todas as partículas do 
escoamento que passaram por um determinado ponto. Uso 
de traçadores para identificar as linhas de emissão.
32
Fonte: White
Olhar:
http://pt.wikibooks.org/wiki/Ficheiro:Streaklines_and_pathlines_animation.gif
Tubo de corrente
 Tubo de corrente - é a superfície de forma tubular formada 
pelas linhas de corrente que se apoia numa linha geométrica 
fechada qualquer. A superfície lateral funciona como uma 
superfície impermeável.
33
- Fluido se move sempre ao longo das linhas de corrente e nunca 
transversalmente a elas.
- No mesmo instante duas linhas de corrente não podem se cruzar e 
nem devem apresentar descontinuidade. 
Regime permanente:
– nada muda com o tempo num ponto fixo. 
– linha de emissão = linha de corrente = trajetória
Regime transitório:
– as L. C. podem variar com o tempo.
– linha de emissão não coincide necessariamente com a linha de 
corrente que passa pelo ponto de injeção neste ou em qualquer 
outro instante e nem com a trajetória.
34
Observações
Aceleração de uma partícula fluida
35
z
Vw
y
Vv
x
Vu
t
V
Dt
VDa










Em coordenadas cartesianas:

































z
ww
y
wv
x
wu
t
w
Dt
Dwa
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
Dt
Dva
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
Dt
Dua
z
y
x
aceleração
local
aceleração
convectiva
Velocidade média e vazão
36
Vazão volumétrica ou descarga
Vazão mássica
Velocidade média
AVdAnVQ
A
  

Qm  
A
QV 
37
Vazão ou descarga:   A dAnVQ

Vn é o vetor normal a área dA. V

Perfis de velocidade
• Escoamento sob pressão • Escoamento superfície livre
Exemplo: Medição de vazão em rio
Distância da margem (m) 0 0.5 1.5 3.5 5.5 7.5 9.5 10.5 11.5 12
Profundidade (m) 0 0.5 1.2 2.3 3 3.1 2.8 2 0.5 0
Largura de influência (m) 1 1.5 2 2 2 1.5 1 1
Área (m²) 0.5 1.8 4.6 6 6.2 4.2 2 0.5
Velocidade a 0,2 m (m/s) 0.07 0.1 0.18 0.33 0.4 0.35 0.26 0.1
Velocidade a 0,8 m (m/s) 0.02 0.06 0.1 0.19 0.23 0.19 0.09 0.07
V média (m/s) 0.045 0.08 0.14 0.26 0.32 0.27 0.18 0.09
Q seção (m³/s) 0.023 0.144 0.644 1.560 1.953 1.134 0.350 0.043
SOMA 5.850
0
0.5
1.2
2.3
3 3.1 2.8
2
0.5
00
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pr
of
un
di
da
de
 (m
)
Largura (m)
Exemplos: escoamentos em condutos forçados
• Perfis típicos de escoamento desenvolvido:
Laminar: Turbulento:
max
2
.
2
. uRQ 
2
maxuV VU 0
max
2..
120
98 uRQ 
max120
98 uV 
AVdAnVQ
A
  

Eq. da continuidade
Em aula.
41
 BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos.
 CAMAÑO SCHETTINI, B. Notas de aula. 2014.
 FOX, R., McDONALD, A., PRITCHARD, P. Introdução à mecânica 
dos fluidos. 6ª Ed. 
 GASTALINI, M. C. C. Notas de aula de Mecânica dos Fluidos.
 MUNSON, B., YOUNG, D., OKIISHI, T. Uma introdução concisa 
à mecânica dos fluidos.
 SILVA, Benedito. Notas de aula.
 WHITE, F. M. Fluid Mechanics. 5th Ed. Mc. Graw Hill, 2003.
42
Referências
Exercícios:
 1) Dada a distribuição de velocidades bidimensional, 
de um escoamento permanente:
Vx = Kx Vy = -Ky Vz=0
Onde K é uma constante positiva, calcule e plote as 
linhas de corrente do escoamento, incluindo direções 
e dando algumas possíveis interpretações do padrão.
43
44
Exercício
 2) O campo de velocidade de um escoamento é dado 
por:
Onde V0 e l são constantes.
Determine o local no campo de escoamento onde a 
velocidade é igual a V0 e construa um esboço do 
campo de velocidade no primeiro quadrante (x ≥ 0, y 
≥ 0)
45
  jyixlVV   0
46
Exercício
3) Determine as linhas de corrente para o 
escoamento bidimensional em regime 
permanente apresentado no exercício anterior, 
onde:
47
  jyixlVV   0
48
Exercício
 4) Sendo dados:
a) Calcular a velocidade no ponto P1 (3, 1, 2) e 
tempo t = 10
b) Obter as linhas de corrente no instante t = 3/2 e 
ponto P1
c) Obter as trajetórias para A (1,1,2) e t=0 
49
ktjyixV

463 
Exercícios
 5) Para os campos de velocidade dados a seguir, determinar:
A) se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por 
quê.
B) se o escoamento é permanente ou transiente, e por quê.
(as quantidades a e b são constantes.)
50
ieaxV bt ] [ 2 
jbyiaxV 
kcjbxiaxV  2
kczjbxziaxV  2
jbxiaeV bx 2] [  
jbyztiaxyV 
kzyxaV )/1()( 32/122 
jbyitaxV 2)( 
6) A velocidade do fluido ao longo do eixo x 
mostrado na figura muda linearmente de 6 m/s, 
no ponto A, para 18 m/s, no ponto B. Determine 
as acelerações nos pontos A, B e C. Admita que o 
regime do escoamento é permanente.

51
 7) Quando um fluido escoa no tubo mostrado na figura abaixo, os 
efeitos viscosos podem provocar uma alteração no perfil de 
velocidades do escoamento – de um perfil uniforme ( ) na 
seção de alimentação do tubo, para um perfil parabólico 
, na seção de descarga do tubo (x = L). A figura 
mostra alguns perfis de velocidade deste escoamento. Utilize estes 
perfis para mostrar que uma partícula que se move pela linha de 
centro apresenta uma aceleração e que uma partícula próxima à 
parede do tubo apresenta uma desaceleração. Uma partícula 
localizada em r = 0,5R apresenta aceleração, desaceleração ou 
ambas? Explique.
52
iVV 0


  iR/r1V2V 20  
53
8) Óleo de densidade 0,9 é misturado com água, 
conforme mostra a figura que segue. A entrada 
de água ocorre a 2 m³/s. A mistura água + óleo 
apresenta densidade 0,93. Qual a vazão, em m³/s, 
de entrada de óleo no sistema?
54
9) Um escoamento permanente de ar, em 
condições aproximadamente unidimensionais, 
flui através de um convergente cônico. Se a 
velocidade do som no ar é de 340 m/s, qual é a 
máxima relação de diâmetros, DE/DS, para a qual 
podem ser desprezados os efeitos de 
compressibilidade? Considere VE = 10 m/s.
55
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4. Dinâmica dos fluidos
2017/2
1
4. Dinâmica dos Fluidos
✓Dinâmica de Fluidos na forma integral;
✓ Análise diferencial e integral;
✓ Sistema e volume de controle;
✓ Teorema do Transporte de Reynolds;
✓ Equação Integral da Continuidade, da Quantidade de 
Movimento e da Energia;
✓ Aplicações.
2
Método integral e Método diferencial
✓ As leis podem ser formuladas de forma integral ou diferencial.
3
Análise integral:
Usada quando é necessária uma análise 
global do problema, procurando 
resultados totalizadores.
Ex.: cálculo da força de arrasto e 
sustentação de uma asa, pá ou ponte.
Análise diferencial:
Usada quando é necessária uma análise 
detalhada, procurando resultados ponto a 
ponto no domínio.
Ex.: cálculo do campo de pressões sobre uma 
asa, pá ou ponte.
Análise Integral
✓ As leis que modelam o movimento dos fluidos são formuladas, 
basicamente, para a abordagem dos sistemas.
✓ Assim, precisa-se transformar as equações adequadas a sistemas para 
que as mesmas possam ser utilizadas em volumes de controle. 
✓ Esta transformação será vista no teorema de transporte de Reynolds.
✓ Lei da conservação de massa – Equação da continuidade
✓ Lei de Newton do movimento – Equação da quantidade de movimento
✓ Lei da conservação da energia – Equação da energia
4
Sistema e Volume de controle
✓ Sistema: É uma certa quantidade de material com identidade fixa 
(composto sempre pelas mesmas partículas do fluido) que pode se mover, 
escoar e interagir com o meio. A massa é constante.
✓ Volume de controle: É um volume no espaço (uma entidade geométrica e 
independente da massa) através do qual o fluido pode escoar. Um volume 
de controle pode ser móvel e deformável (ou fixo e não deformável). 
5
VC deformávelVC deformável
Volume de controle
Propriedades intensivas e extensivas
✓ Todas as leis da física são formuladas em função de 
vários parâmetros físicos. Seja N um parâmetro físico 
e  a quantidade deste parâmetro por unidade de 
massa:
6
mN 
dm
dN

N = propriedade extensiva - diretamente proporcional a quantidade 
de massa. Ex: peso, massa, energia, quantidade de movimento.
 = propriedade intensiva = propriedade extensiva por unidade de 
massa
Teorema de transporte de Reynolds
✓ Teorema de transporte de Reynolds – permite a 
transformação entre as representações de sistema e 
volume de controle.
✓Objetivo: relacionar a taxa de variação de qualquer 
propriedade extensiva arbitrária, N, do sistema, com 
quantidades associadas com o volume de controle.
7
Teorema de transporte de Reynolds
8
Na figura acima podem ser identificadas 3 regiões:
I e II – formam o volume de controle;
Sistema: ocupa os volume I e II no instante t
ocupa os volumes II e III no instante t + t
O volume de controle e o sistema coincidem no instante t
✓A taxa de variação de Nsistema é dada por:
9
t
NN
dt
dN ttt
t
sistema 



 
 0
lim
Da figura:
   
ttIIIIVCttIIIIItt
NNNNNN


 
tVCt
NN 
Substituindo:
   
t
NNNN
dt
dN tVCttIIIIVC
t
sistema 



 
 0
lim
Eq. (1)
Eq. (2)
Eq. (3)
Eq. (4)
10
Como o limite da soma é igual a soma dos limites:
       
)3()2()1(
limlimlim
000 t
N
t
N
t
NN
dt
dN ttI
t
ttIII
t
tVCttVC
t
sistema 







 





Agora vamos analisar cada um dos termos da equação 
anterior.
Termo 1:
   









 VC
VCtVCttVC
t
dvol
tt
N
t
NN 
0
lim
Eq. (5)
Eq. (6)
11
Analisando uma sub-região da região III:
Termo 2:
    ttttIII dvolNd   Temos: tVl  .

tAdVAdl
dAldvol


...
cos..


  tAdVNd
ttIII


..

Eq. (8)
Eq. (7)
✓Assim podemos integrar sobre toda a região III e 
obter, para o termo 2:
12
   








 



 III
IIIIII
SC
SC
t
SC tt
III
t
ttIII
t
AdV
t
tAdV
t
Nd
t
N 

.
..
limlimlim
000

 Podemos desenvolver uma análise similar para a sub-
região 1 da região I, e obter, para o termo 3:
 


 ISC
ttI
t
AdV
t
N 
.lim
0

Explicação do sinal negativo na equação acima:
- o termo 3 da equação (5) é uma medida da quantidade de propriedade extensiva N que estava
na região I – deve ser um valor positivo;
- para a sub-região I, o vetor velocidade age para dentro do VC e a normal à área, por
convenção, aponta para fora requer um sinal negativo para um resultante positivo.
Eq. (9)
Eq. (10)
✓Assim, podemos utilizar as equações 6, 9 e 10 na 
equação 5:
13
 




IIII SCSCVC
sistema
AdVAdVdvol
tdt
dN 
.. 
As duas últimas integrais podem ser combinadas, já que SCI
e SCIII constituem a SC inteira:
 




SCVC
sistema
AdVdvol
tdt
dN 
.
A equação acima é o Teorema de Transporte de Reynolds que 
representa a relação fundamental entre a taxa de variação de 
qualquer propriedade extensiva arbitrária (N), de um sistema e 
as variações dessa propriedade associadas com um volume de 
controle.
Eq. (11)
Eq. (12)
✓Termos da equação (13):
14
 




SCVC
sistema
AdVdvol
tdt
dN 
.
sistemadt
dN



é a taxa de variação de qualquer propriedade 
extensiva arbitrária do sistema.


VC
dvol
t

é a taxa de variação com o tempo da propriedade 
extensiva arbitrária N dentro do volume de controle.
SC AdV

.
é a taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva 
N através da superfície de controle.
Eq. (13)
Equação da continuidade
15
0


sistemadt
dm
  )()( sistemavolsistemamsistema dvoldmm N = m
1
dm
dN

0. 


 SCVC AdVdvolt


Equação da Continuidade para VC
A taxa de variação da massa no volume de controle é igual a taxa líquida 
de fluxo de massa através da superfície de controle.
Substituindo no Teorema de Transporte de Reynolds:
Eq. (14)
✓Na equação 14 cuidar com a avaliação do 
produto escalar 
16
cos. VdAAdV 
+ escoamento para fora ( < /2)
- escoamento para dentro ( > /2)
Zero - ( = /2)
Casos especiais da equação da continuidade
17
✓ Fluidos incompressíveis -  = cte
Eq. (15)
0. 


SC AdVt
vol 
Eq. (16)
✓ Se o VC é não-deformável vol = cte. Para o escoamento 
incompressível (permanente ou não) através de um VC fixo:
0. SC AdV

Eq. (17)
✓ Escoamento permanente, compressível:
0. SC AdV


18
✓ 1. A figura abaixo mostra um escoamento de ar num trecho longo e reto de uma 
tubulação que apresenta diâmetro interno igual a 102 mm. O ar escoa em regime 
permanente e as distribuições de temperatura e pressão são uniformes em todas 
as seções transversais do escoamen\\to. Calcule a velocidade média do ar na 
seção (1) sabendo que a velocidade média do ar (distribuição não uniforme de 
velocidade) na seção (2) é 300 m/s.
Resposta: 66 m/s
R: 0,0251 m³/s
2. O jato é alimentado por uma 
bomba. Qual a vazão da bomba? 
Volume
de controle indeformável e móvel
✓ Ex: turbinas de avião, chaminés de navios, tanques de 
combustível de automóveis em movimento.
✓ - Velocidade relativa – velocidade do fluido vista por um 
observador solidário ao volume de controle.
✓ - Velocidade do volume de controle - velocidade do VC 
detectada por um observador solidário a um sistema de 
coordenadas fixo.
✓ - Velocidade absoluta do fluido – velocidade detectada 
por um observador imóvel solidário ao sistema de 
coordenadas fixo.
19
RV
VCV
V
VCR VVV 
Volume de controle indeformável e móvel
✓O teorema de transporte de Reynolds fica:
✓A eq. da continuidade:
20
 




SC
R
VC
sistema
AdVdvol
tdt
dN 
.
0. 


 SC RVC AdVdvolt


Eq. (19)
Eq. (18)
✓ 3) Um avião se move a uma velocidade de 971 km/h conforme figura. A 
área frontal da turbina é 0,80m² e a densidade de entrada do ar é 0,736 
kg/m³. Um observador estacionário determina, que em relação a Terra, a 
turbina libera gases que se deslocam a uma velocidade de 1050km/h. A 
área de exaustão é 0,558 m² e a densidade do gás é de 0,515 kg/m³. 
Estime a vazão em massa de combustível de entrada no motor em kg/h.
21
Resposta: 9049,97 kg/h
✓ 4) A vazão de água no irrigador rotativo de jardim mostrado na 
figura é 1000 ml/s. Se a área da seção de descarga de cada um dos 
bocais do irrigador é igual a 30mm², determine a velocidade da 
água que deixa o irrigador em relação ao bocal se (a) a cabeça do 
irrigador está imóvel, (b) a cabeça do irrigador apresenta rotação de 
600 rpm, (c) a cabeça do irrigador acelera de 0 a 600rpm.
22
Resposta: 16,7 m/s
Equação da Quantidade de Movimento Linear
23
sistema
dt
Pd
F 






  )()( ... sistemavolsistemamsistema dvolVdmVP 

PN


V
dm
dN 

Segunda lei de Newton:
Onde a quantidade de movimento linear do sistema é dada por:
Substituindo no Teorema de Transporte de Reynolds:
 


SCVC
AdVVdvolV
t
F

.
A soma de todas as forças atuando sobre um VC não submetido à aceleração é igual à 
soma da taxa de variação da quantidade de movimento no interior do VC com a taxa 
líquida do fluxo de quantidade de movimento saindo da superfície de controle.
Eq. (20)
24
A eq. (20) é uma equação vetorial, sendo assim, pode ser 
escrita na forma de três equações componentes escalares, 
conforme apresentado a seguir.  


SC
x
VC
xBxSxx AdVVdV
t
FFF

.  


SC
y
VC
yBySyy AdVVdV
t
FFF

.  


SC
z
VC
zBzSzz AdVVdV
t
FFF

.
Eq. (21)
Forças de superfície
Forças de campo
25
Para escoamento permanente e unidimensional:
eexessxs
eeexesssxs
QVQV
AVVAVV





 coscos
 


SC
x
VC
xx AdVVdV
t
F

.
=0
eexessxsx QVQVF   
Mesmo desenvolvimento 
para as direções y e z.Eq. (22)
Para um tubo de corrente e esc. permanente:
 xexsx VVQF  
Eq. (23)
Coeficiente de quantidade de movimento 
✓ Quando na seção transversal da superfície de controle a 
velocidade variar:
✓ Inserimos um coeficiente de correção (β), que é o coeficiente 
de quantidade de movimento:
26
AVdAv
A
22  
AVdAv
A
22  
 






A
dA
V
v
A
2
1

β ≥ 1Eq. (24)
Assim, corrigindo a equação da quantidade de movimento, para 
escoamento permanente: eexeessxssx QVQVF   
Eq. (25)
27
Resposta: 2,25kN 
✓ 5. A água sai de um bocal estacionário e atinge uma placa 
plana, conforme mostrado. A água deixa o bocal a 15 m/s; a 
área do bocal é 0,01 m². Admitindo que a água é dirigida 
normal à placa e que escoa totalmente ao longo da placa, 
determine a força horizontal sobre o suporte.
28
Resposta: Leitura = 143 lbf
✓ 6. Um recipiente de metal, com 2 pés de altura e seção reta interna de 
1 ft², pesa 5 lbf quando vazio. O recipiente é colocado sobre uma balança 
e a água escoa para o interior do recipiente através de uma abertura no 
topo e para fora através de duas aberturas iguais nas laterais do 
recipiente, conforme mostrado no diagrama. Sob condições de 
escoamento permanente, a altura da água no tanque é 1,9 ft. O seu 
superior quer que a balança leia o peso do volume de água no tanque 
mais o peso do tanque, isto é, que o problema seja tratado como um 
simples problema de estática. Você discorda, dizendo que uma análise do 
escoamento do fluido é necessária. Quem está certo, e que leitura a 
balança indica?
Dados:
A1 = 0,1 ft²
V1 = -10 j ft/s
A2 = A3 = 0,1 ft²
✓ 7. Água escoa em regime permanente através do cotovelo 
redutor de 90° mostrado no diagrama. Na entrada do 
cotovelo, a pressão absoluta é 220 kPa e a área da seção 
transversal é 0,01 m². Na saída, a área da seção transversal é 
0,0025 m² e a velocidade média é 16 m/s. O cotovelo 
descarrega para a atmosfera. Determine a força necessária 
para manter o cotovelo estático.
29
Resposta: Em x: 1,35kN 
Em y: 640N -W
✓ 8. Água de um canal aberto escoa sob uma comporta. 
Compare a força horizontal de água sobre a comporta (a) 
quando a comporta está fechada e (b) quando a comporta 
está aberta (considerando escoamento permanente, 
conforme mostrado). Admita que o escoamento nas seções 
(1) e (2) seja incompressível e uniforme e que (levando em 
conta que as linhas de corrente ali são retilíneas) as 
distribuições de pressão são hidrostáticas.
30
Resposta: b) 25,2 KN/m 
✓ 9. A Fig. 3 mostra um cotovelo convergente que está instalado na 
vertical. O volume interno do cotovelo, delimitado pelas seções 
(1) e (2), é 0,2 m³ e a vazão em volume no cotovelo é 0,4 m³/s 
quando as pressões nas seções (1) e (2) são respectivamente 
iguais a 150 kPa e 90 kPa. A massa do cotovelo é igual a 12 kg. 
Calcule as componentes nas direções x e y da força necessária 
para imobilizar este cotovelo. Considere: Fluido= água a 15C e 
= 1,10.
31
Equação da Energia
32
sistemadt
dE
WQ 


 
1ª Lei da termodinâmica – Conservação de energia
É a taxa de transferência de calor que é positiva quando 
é adicionado ao sistema pela sua vizinhança.
t
Q
Q



t
W
W



É a taxa de trabalho que é positivo quando o trabalho é 
realizado pelo sistema sobre sua vizinhança.
gz
V
ue
dm
dN

2
2
UmgzmVEN  2
2
1
energia cinética
energia potencial
energia interna
Aplicando o Teorema de transporte de Reynolds:
 


SCVC
AdVede
tdt
dE
WQ

 .
gz
V
ue 
2
2
variação com o tempo 
da energia armazenada 
no Volume de Controle
fluxo líquido de energia 
através da Superfície de 
Controle
Eq. (26)
33
Análise da taxa de trabalho
W
+ trabalho realizado pelo VC sobre o meio que o envolve.
- trabalho realizado sobre VC pelo meio que o envolve.
outrospS wwwwW   
A taxa de trabalho realizado pelo VC pode ser subdividida em:
- Trabalho do eixo (+ turbina / - bombas / - compressor);
Sw
pw
- Trabalho realizado por tensões normais na superfície de controle – pressão;
w
- Trabalho realizado por tensões de cisalhamento na superfície de controle.
Eq. (27)
outrosw
- Energia elétrica, energia eletromagnética