Mecânica Estrutural I

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Mec�nica Estrutural I/Aulas/01 - Introdu��o.pdf
Mecânica Estrutural I
Introdução
jean.marie@ufrgs.br
Disponível no moodle institucional
Mecânica Estrutural I
Apresentação da disciplina
DISCIPLINA: ENG01201 – MECÂNICA ESTRUTURAL I
Professores: Jean Marie Désir
 PLANO DE ENSINO
 Isostática  Continuação de Mecânica Vetorial
 Resistência dos materiais  Tensões e deformações (Parte Nova)
AVAIALÇÃO [Sujeito a modificação] 
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 AVAIALÇÃO [Sujeito a modificação] 
 Primeira Avaliação (Ver cronograma)
 Segunda Avaliação (Ver cronograma)
 Terceira Avaliação (Ver cronograma)
 Recuperação/Exame (Ver cronograma)
 Histórico de aprovação 60 a 70%
 Grau de dificuldade (8/10, responsabilidade?)
Mecânica Estrutural I
Apresentação da disciplina
DISCIPLINA: ENG01201 – MECÂNICA ESTRUTURAL I
Professores: Jean Marie Désir
 BIBLIOGRAFIA
Curso de análise estrutural (vol. I) - Estruturas isostáticas. J.C. Sussekink. 1 área
** Exercícios de isostática. S.C. Gomes. Editora da Unisinos – 1 área
** Introdução à análise estrutural. J.R. Masuero e J.G. Creus Ed. UFRGS 1, 2 e 3 áreas
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** Introdução à análise estrutural. J.R. Masuero e J.G. Creus Ed. UFRGS 1, 2 e 3 áreas
Resistência dos materiais. E.P. Popov. Editora Guanabara 2 e 3 áreas
** Resistência dos materiais. S.C. Gomes. Editora da Unisinos 2 e 3 áreas
Resistência dos materiais. W.Nash. McGraw-Hill 2 e 3 áreas
Resistência dos materiais. F.P. Beer e E.R. Johnston Jr. McGraw Hill 2 e 3 áreas
Hibeller, R.C. Resistência dos materiais. Editora Campos 2 e 3 áreas
Mecânica Estrutural I
Apresentação da disciplina
 Moodle Institucional
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Mecânica Estrutural I
Apresentação da disciplina
 Moodle Institucional
jean.marie@ufrgs.br
Mecânica Estrutural I
Revisão de conceitos de Mecânica
 Este material contem algumas diretrizes para uma revisão 
sobre os conceitos essenciais de Mecânica Vetorial para a 
disciplina de Mecânica Estrutural I 
 O aluno deve usar o material para nortear a busca de 
material de estudo
 Se o aluno tiver dificuldade para assimilar algum conceito, 
deve solicitar esclarecimentos 
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deve solicitar esclarecimentos 
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Análise Estrutural e de tensões
Organização do curso:
 Análise dos esforços internos nas estruturas estáticamente 
determinadas
 Análise de tensões e deformações nas estruturas estaticamente 
determinadas
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 Análise de sistemas complexos de tensões e deformações 
produzidos pela aplicação de carregamentos de tipos diferentes 
aplicados simultaneamente.
O conhecimento adquirido nesta disciplina é fundamental para uma
boa compreensão dos resultados obtidos em análise realizadas com
programas computacionais. É importante para um bom desempenho
em disciplinas como Concreto Armado e Protendido, Aço e Maderia,
Alvenaria Estrutural, entre outras.
Mecânica Estrutural I
Hipótese para a análise
São hipoteses gerais relativas aos materiais utilizados, à forma dos 
sólidos e aos tipos de ação mecânica aplicada.
Hipóteses sobre os materiais: 
Continuidade do material: o material é contínuo, homogêneo e isótropo
Características mecânicas dos materiais: são determinadas 
experimentalmente com ensaios normalizados que permitem qualificar e 
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experimentalmente com ensaios normalizados que permitem qualificar e 
mensurar os parâmetros de comportamento. Por exemplo: o ensaio de 
tração ou de compressão simples;
Hipóteses sobre as ações externas:
Toda ação mecânica é representada por um tençor en um ponto. As 
ações podem ser concentradas ou distribuidas, exercidas à distância ou 
em contato.
Mecânica Estrutural I
Unidades de medidas
Sistema Internacional:
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Prefixo de Unidades:
Mecânica Estrutural I
Elementos Estruturais
Análise estrutural: é a parte da mecânica que estuda as estruturas
através da determinação dos esforços e das deformações que elas
sofrem quando estão submetidas a ação de agentes externos
(carregamentos, variações de temperatura, movimentos dos apoios,
etc).
Estrutura: é um conjunto de elementos estruturais simples ligados
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Estrutura: é um conjunto de elementos estruturais simples ligados
entre si e ao meio externo, que é capaz de receber solicitações
externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até os seus apoios.
Uma estrutura pode ser constituída por um único tipo de elementos ou
por uma combinação de vários tipos de elementos.
Projetar uma estrutura significa prever a associação de seus
diferentes elementos e componentes, de modo a atingir objetivos de
ordem estrutural, funcional, econômica e estética.
Mecânica Estrutural I
Principais Elementos Estruturais
barras: Uma dimensão predominante (unidimensionais);
representadas pelo eixo que passa pelo centroíde das seções;
Exemplos de barras: vigas, pilares, arcos, tirantes, escoras.
A dimensão maior (longitudinal) é o comprimento. As duas dimensões
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A dimensão maior (longitudinal) é o comprimento. As duas dimensões
menores definem a seção transversal
Mecânica Estrutural I
Principais Elementos Estruturais
placas e cascas: uma dimensão pequena com relação às outras duas; 
podem ser consideradas bi-dimensionais, sendo representadas por sua 
superfície média. 
A dimensão menor é a espessura. As outras definem a superfície média.
Exemplos de placas (superfície plana): lajes, paredes;
Exemplos de cascas (superfícies curvas): coberturas, silos, 
reservatórios cilíndricos.
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reservatórios cilíndricos.
blocos: três dimensões equivalentes; são elementos tridimensionais. 
Exemplos: blocos de fundações, bases de equipamentos, barragens.
Mecânica Estrutural I
Modelos Estruturais
Estruturas de barras e reticulados planos: estruturas formadas por 
uma ou mais barras que se encontram no plano de ação das cargas 
aplicadas.
Viga: formada por barras alinhadas;
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Pórtico: formado por barras não alinhadas;
Arco: formada com barras alinhadas com curvatura única;
Treliça: formada por barras dispostas de forma a criar uma rede de 
triângulos;
Cabo: barra flexível sem resistência à flexão nem compressão
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Vigas
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Pórticos ou quadros
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Treliças
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Arco
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Grelhas
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Estruturas Espaciais
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Idealização de estruturas
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Idealização de cargas
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Carga concentrada
Carga distribuida
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Equilíbrio das Estruturas
Forca: É uma ação representada por um vetor deslizante (pode se 
deslocar livremente sobre uma linha de ação). 
Unidades: kgf, N, kN, tf
Ponto de aplicação
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Resultante de forças
Para um sistema de forças concorrentes denomina-se força 
resultante aquela força que pode substituir o conjunto de forças, 
gerando o mesmo efeito.
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Mecânica Estrutural I
Lei de adição de forças
Lei do paralelogramo
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Para mais de duas forças
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Decomposição de força
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Módulo:?
Componentes?
Direção?
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Forças-momento
É provocado por uma força, representa a tendência de rotação em 
torno de um ponto. 
Unidade: kgf.m, N.m, kN.m, tf.m
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Módulo:?
Sentido?
Direção?
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Condições de equilíbrio:
Assim, a condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em 
equilíbrio, quando submetida a ação de um sistema de forças é que as 
forças satisfazem as seguintes equações :
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Graus de liberdade 
Conforme foi visto, no caso tridimensional tem-se 6 equações de 
equilíbrio que estão relacionadas com as três componentes de forças e 
as três componentes de momentos, que por sua vez estão 
relacionados com as três translações possíveis e as três rotações 
possíveis. Isto define os 6 graus de liberdade do corpo no espaço, que 
são os 6 movimentos possíveis que ele pode ter
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Espaço Plano
Mecânica Estrutural I
Vinculação
Vínculo é todo elemento de ligação entre as partes de uma estrutura 
ou entre a própria estrutura e o meio exterior. A função dos vínculos é 
a de restringir os graus de liberdades estruturais. Os vínculos 
introduzem as forças reativas ou reações quando há movimento 
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introduzem as forças reativas ou reações quando há movimento 
impedido. Assim os vínculos tem como finalidade: 
- transmitir forças estáticas;
- estabelecer uma ligação (física).
Mecânica Estrutural I
Classificação dos vínculos no plano
Apoio móvel: vínculo de primeira clase
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Mecânica Estrutural I
Classificação dos vínculos no plano
Apoio móvel: vínculo de segunda clase
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Mecânica Estrutural I
Classificação dos vínculos no plano
Engaste: vínculo de terceira classe
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Mecânica Estrutural I
Grau de Estaticidade e Estabilidade
- Estruturas estaticamente determinada
- Estruturas cinematicamente indeterminada
Cada corpo tem 3 
graus de liberdade no 
plano
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- Estruturas cinematicamente indeterminada
- Estruturas estaticamente indeterminada
Se r é o número de 
restrição
g = 3 – r define o grau 
de estaticidade
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Grau de Estaticidade e Estabilidade
Estruturas com várias partes
Elementos de ligação Reações na de ligação
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- Cada corpo permite escrever 3 equações de equilíbrio  3.n equações
- Considerando r (reações de apoios) e v (reações entre partes)
- A estrutura é determinada se: r + v =3n
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Estaticidade e estabilidade:
Estruturas com várias partes: analisar a estaticidade nos casos 
seguintes:
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Reações
Para a resolução de um problema de resistência dos materiais, é 
necessário primeiro resolver o problema de equilíbrio estático e depois 
um problema de dimensionamento.
Portanto deve-se calcular primeiro as reações necessárias para manter a 
estrutura em equilíbrio. Para isso é necessário identificar todas as forças 
aplicadas e substituir os vínculos por forças reativas correspondentes, 
definindo assim o Diagrama de Corpo Livre da Estrutura.
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De posse do D.C.L aplicam-se as equações de equilíbrio para determinar 
as incógnitas.
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Reações: Exemplos
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Reações: Exemplo 1
HA = 9,2kN;
VA = 6,9 kN;
VB = 7,9kN
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VB = 7,9kN
Mecânica Estrutural I
Reações: Exemplo 2
VA = 65 kN; 
MA = 400 kN.m
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Mecânica Estrutural I
Reações: Exemplo 3
HA = 20kN; 
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VA = 22,5 kN; 
VB = 12,5 kN
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Reações: Exemplo 4
VA = 41,8 kN ; 
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VB = 54,2 kN
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Reações: Exemplo 5
HA = 9,4 kN ; 
VA = 1,8 kN ; 
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VA = 1,8 kN ; 
VB = -0,7 kN
Mec�nica Estrutural I/Aulas/02 - An�lise das Tens�es de Flex�o.pdf
Mecânica Estrutural I
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Análise das tensões de flexão
Disponível no moodle institucional
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Tensões de cisalhamento na flexão
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Hipótese para a análise
Ver Livro do 
Prof. Masuero
p. 204
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Expressão da tensão de cisalhamento
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Expressão da tensão de cisalhamento
Escrever a equação da distribuição do cisalhamento na seção 
transversal para um esforço cortante T
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Caso de uma seção retangular tubular
Calcular as tensões nos pontos indicados para Q = 80 kN
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Seções com duas ou mais materiais
Secção homogeneizada Secção homogeneizada
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Deformação de flexão
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Seções com duas ou mais materiais
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Exemplo
Dada a viga da figura, calcular a máxima tensão no aço 
e na madeira. Considerar um momento de 50kN.m na 
seção e módulo de elasticidade de 210 GPa para o aço 
e 17,5 GPa para a madeira.
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Momento plástico: rótula plástica
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Rótula plastica
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Momento plástico: rótula plástica
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Exemplo
Qual a relação entre os momentos plástico e elástico 
de uma seção retangular de base b e altura d?
Mec�nica Estrutural I/Aulas/03 - An�lise das Tens�es de Tor��o.pdf
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Análise das tensões de Torção
Disponível no moodle institucional
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Deformação por torção
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� Hipótese para a análise
� Deformação de eixo circular;
� Ângulo de torção para seção não uniforme ou torque 
diferente;
� Torção em elementos estaticamente indeterminados;
� Arvores de transmissão;
� Torção em elementos de parede fina
� Círculo de Mohr para torção;
Efeito dos esforços torcionais
Vamos ver:
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Hipótese para a análise
Momento torçor ou torque: Momento que tende a torcer o 
elemento estrutural em torno do seu eixo longitudinal
Exemplo: eixo de acionamento de máquinas
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Hipótese para a análise
� Os círculos permanecem 
circulares e planas;
� A retas radiais continuam retas;
� As retas longitudinais aparecem 
torcidas;
� O comprimento do eixo como o 
raio de sua seção transversal 
não se alteram;
� A lei de Hooke é aplicável τ = Gγ
Noções válidas para pequenas deformações
e 
materiais homogêneos no regime elástico linear
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Hipótese para a análise
L
T
∝
∝
φ
φ
• quando submetido à torção, cada seção 
transversal de um eixo circular permanece 
plana e indeformada.
• ângulo de torção (φ) da barra é proporcional 
ao torque aplicado e ao comprimento da barra.
barras circulares
cheias ou vazadas barras não circulares
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• Cilindro da barra de raio (Fig (b)) ρρρρ
• A deformação de cisalhamento é igual ao 
ângulo entre as linhas BA e BA’.
ρφρφρφρφγ ρφ γγ ρφ γγ ρφ γγ ρφ γ= = == = == = == = =
•
Deformação de cisalhamento (γγγγ)
proporcional ao
ângulo de torção (φφφφ) e ao raio (ρρρρ) .
max maxφ ρφ ρφ ρφ ργ γ γγ γ γγ γ γγ γ γ= == == == =
( )a
( )b
( )c
• Elemento no interior do cilindro.
Quadrado � Losango.
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Deformação de eixo circular;
Distribuição linear 
ao longo do raio
Considerando:
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Deformação de eixo circular
Distribuição linear a partir do centro
Momento de 
inércia polar 
da seção
ρρρρ
τ ττ ττ ττ τ==== max
( )∫ ∫== dAdFMt τρρ
  
=  
  
∫ ∫
2max max
max
τ τρ= ρ τ dA ρ dA= J
r r r
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Ângulo de torção total
Para parâmetros T, G, J constantes sobre um comprimento L
Para T, G, J constantes por trecho Li do comprimento 
Para T, G, J variando sobre o comprimento L 
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Convenção de sinais
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Deformação de eixo circular
Seções usuais na engenharia civil
Momento de Inércia polar
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Exemplo 1-a
Na figura onde a barra AB é torcida sob a ação do momento Mt no ponto 
B, uma linha longitudinal sofre uma distorção angular de 0,0005 radiano. 
Se o módulo de elasticidade transversal é 800000 kgf/cm2, determinar:
- Os ângulos de torção unitário e total?
- A tensão de torção máxima no ponto B?
- O momento correspondente?
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Exemplo 1-b
O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três 
torques. Determine a tensão de cisalhamento 
desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a–a
do eixo.
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Exemplo 2
O conjunto composto por duas se ões de tubo de a o galvanizado 
interligadas por uma redu ão em B. O tubo menor tem diâmetro externo 
de 18,75mm e interno de 17mm, enquanto o tubo maior tem diâmetro
externo de 25mm e diâmetro interno de 21,5mm. Se o tubo estiver 
firmemente preso parede em C, determine a tensão de cisalhamento 
m xima desenvolvida em cada se ão do tubo quanto o 
conjugado mostrado na figura for aplicado ao cabo 
chave.
Resposta: τAB=62,55 MPa
τBC=18,89 MPa
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Exemplo 3
A arvore sólida mostrada na figura está submetida a dois torques 
concentrados em A e B. O diâmetro da arvore muda de 1 m para 0,5
m em B. Qual é o ângulo total de torção em A e B e qual a tensão 
cisalhante máxima na arvore. Considerar um módulo de elasticidade 
longitudinal de 200 GPa e um coeficiente de Poisson de 0,25.
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Exemplo 4
Para o eixo esquematizado 
pede-se determinar: 
a)a máxima tensão tangencial; 
b) o ângulo de torção entre as 
seções A e D. 
Obs.: Os trechos BC e CD são 
maciços. O trecho AB é vazado. 
Gaço = 80 GPa; GLatao = 39 
GPa.
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Arvore de transmissão
Transmissão de potências Potência: trabalho/tempo
Trabalho: Momento x ângulo de rotação
Se :
f: frequência em Hertz
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Arvore de transmissão
f: 
Potência: 
Torque: N.m
Unidades
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Arvore de transmissão
Projeto de eixo
P e f conhecidas implica:
Considerando: 
Parâmetro geométrico do eixo:
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Exemplo 5
O eixo maciço AB deve ser usado para transmitir 2750 pés.lb/s do 
motor M ao qual está acoplado. Supondo que o eixo gire com 175 
rev/min e que o eixo tenha diâmetro de ½ pol, determinar a tensão de 
cisalhamento máxima nele desenvolvida.
Qual seria o diâmetro necessário para um aço com tensão de 
cisalhamento admissível de 14500lb/pol2
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Exemplo 6
Um motor gira uma arvore com uma velocidade angular de 630 rpm. 
Ele entrega uma potência de 20 kW a uma máquina a direita e 60 kW a 
outra a esquerda. Se a tensão admissível da arvore é 37 MPa, 
determinar o diâmetro mínimo que deve ter a arvore.
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Problema estaticamente indeterminado
Indeterminação pelas condições de vinculação
Substituindo
Sendo portanto:
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Exemplo 6
Uma barra de 4 m de comprimento tem uma seção transversal coroa-
circular com um diâmetro externo de 50 mm e está engastada em suas 
extremidades. Está submetida a dois torques de 0,9 e 1,5 kN no meio e 
a ¾ do comprimento. Se os torques tem o mesmo sentido e a tensão 
máxima de cisalhamento é limitada a 100 MPa, calcular o diâmetro 
interno máximo permitido para esta barra.
Problema estaticamente indeterminado
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Problemas estaticamente indeterminados
� Indeterminação devido aos materiais da seção 
transfersal
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Problemas estaticamente indeterminados
� Indeterminação devido aos materiais da seção 
transfersal
� Por equilíbrio
� Tem o mesmo ângulo de torção
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Problemas estaticamente indeterminados
Combinando as duas equações
As tensões máximas se escrevem:
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Círculo de Mohr para tensão
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Exemplo 7 
Exercício 2 – lista 08 – Professor Segovia
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Torção em paredes fechadas de seção fina
Para um comprimento ds, com espessura e1 e e2 nas 
extremidades, assumindo as tensões cisalhantes com 
distribuição uniforme sobre a espessura
Fluxo de cisalhamento
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Torção em paredes fechadas de seção fina
Considerando a área hachurada
Ω: Área encerrada pela linha média Lm
Ângulo de 
torção
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Torção em seções de outras formas 
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Exemplo 8
Mec�nica Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 1/Diagrama prova A 2014-2.pdf
PROVA A 
 
 
 
 NORMAL 
 
 
CORTANTE 
 
 
MOMENTO 
Mec�nica Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 1/Diagrama prova B 2014-2.pdf
PROVA B 
 
 
 
NORMAL 
 
CORTANTE 
 
MOMENTO 
Mec�nica Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 1/Gr�fico Prova A 2015-1.pdf
Mec�nica Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 1/Gr�fico Prova B 2015-1.pdf
Mec�nica
Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 1/Prova A 2014-2.pdf
Mec�nica Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 1/Prova A 2015-1.pdf
Gabarito Prova 1 A - 2015/1
Questão 2
Apresentar os diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores para a
viga da figura. Fazer a = 1,5 m e q0 = 10 kN/m
 a 1.5m:= q0 10 kN
m
:=
Equilibrando o trecho AG1
VA
q0 2⋅ a⋅
2
:= VA 15 kN⋅= VG1e VA:=
Equilibrando G1BG2 com uma força VG1d=VA VG1d VA:=
VB
VG1d 2⋅ a⋅ q0 a⋅ 1.5 a⋅( )⋅+
a
:= VB 52.5 kN⋅=
VG2e VG1d q0 a⋅+ VB−:= VG2e 22.5− kN⋅=
No trecho G2C
VC VG2e:= VC 22.5− kN⋅=
MC VG2e− a⋅:= MC 33.75 kN m⋅⋅=
 
 
Gabarito Prova 1 A - 2015/1
A estrutura suporta uma carga distribuida uniforme q0 = 50kN/m. Apresentar os
diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor sabendo que
M0=2*q0*a2. Fazer a = 2m
a 2m:=
q0 50 kN
m
:=
M0 2 q0⋅ a2⋅:=
h a2 4 a2⋅+:=
co
2 a⋅
h
:=
se
a
h
:=
M0 400 kN m⋅⋅=Considerando S como barra de duas forças:
Momento em A:
FS
q0 2⋅ a 4 a⋅ 4 a
3
⋅+




⋅ M0−
co 4⋅ a⋅
:= FS 242.241 kN⋅=
HA FS se⋅:= HA 108.333 kN⋅=
VA q0 2⋅ a⋅ FS co⋅−:= VA 16.667− kN⋅=
MBd q0− 2⋅ a 4 a⋅
3






⋅:= MBd 533.333− kN m⋅⋅=
Gabarito Prova 1 A - 2015/1
 
 
 
Gabarito Prova 1 A - 2015/1
A estrutura da figura é composta por uma viga AGB rótulada em G e 5 barras.
Determinar os esforços nas 5 barras lembrando que os nós A e B não
satisfazem o método dos nós. Fazer q0 = 15 kN/m e a = 1 m 
 q0 15 kN
m
:=
a 1m:=
h4 9 16+ a⋅:=
cos4
4a
h4
:= sen4
3a
h4
:=
h4 5 m=
Calcular a reação em B fazendo momento em A:
cos4 0.8=
sen4 0.6=VB q0 6⋅ a⋅ 3⋅
12
:= VB 22.5 kN⋅=
Fazendo um corte vertical no ponto G e tomando momento em G:
F5 VB 6⋅ a
3a
:= F5 45 kN⋅=
Aplicar o método dos nós no encontro das barras 3, 4 e 5.
Somatório em x
F4
F5
cos4
:= F4 56.25 kN⋅= F1 F4 56.25 kN⋅=:=
F3 F4 sen4⋅:= F3 33.75 kN⋅= F2 F3 33.75 kN⋅=:=
Gabarito Prova 1 A - 2015/1
Para a grelha da figura, apresentar os diagramas de solicitação.
Momento em relação a AB
VC
20kN 2.5⋅ m 10 kN
m
2.5⋅ m 1.25⋅ m+ 10kN m⋅−
5m
:= VC 14.25 kN⋅=
Momento em relação a AC
VB
20− kN m⋅ 20kN 3⋅ m+
5m
:= VB 8 kN⋅=
VA 10 kN
m
2.5⋅ m 20kN+ VC− VB−:= VA 22.75 kN⋅=
Mec�nica Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 1/Prova B 2014-2.pdf
Mec�nica Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 1/Prova B 2015- 1.pdf
Gabarito prova 1B -2015/1
Questão 2
Apresentar os diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores para a
viga da figura. Fazer a = 2,0 m e q0 = 15 kN/m
 a 2m:= q0 15 kN
m
:=
Equilibrando o trecho AG1
VA
q0 2⋅ a⋅
2
:= VA 30 kN⋅= VG1e VA:=
Equilibrando G1BG2 com uma força VG1d=VA VG1d VA:=
VB
VG1d 2⋅ a⋅ q0 a⋅ 1.5 a⋅( )⋅+
a
:= VB 105 kN⋅=
VG2e VG1d q0 a⋅+ VB−:= VG2e 45− kN⋅=
No trecho G2C
VC VG2e:= VC 45− kN⋅=
MC VG2e− a⋅:= MC 90 kN m⋅⋅=
 
 
Gabarito prova 1B -2015/1
A estrutura suporta uma carga distribuida uniforme q0 = 50kN/m. Apresentar os
diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor sabendo que
M0=2*q0*a2. Fazer a = 2m
a 2m:=
q0 50 kN
m
:=
M0 2 q0⋅ a2⋅:=
h a2 4 a2⋅+:=
co
2 a⋅
h
:=
se
a
h
:=
M0 400 kN m⋅⋅=Considerando S como barra de duas forças:
Momento em A:
FS
q0 2⋅ a 4 a⋅ 2 4⋅ a
3
⋅+




⋅ M0−
co 4⋅ a⋅
:= FS 316.776 kN⋅=
HA FS se⋅:= HA 141.667 kN⋅=
VA q0 2⋅ a⋅ FS co⋅−:= VA 83.333− kN⋅=
MBd q0− 2⋅ a 2⋅ 4 a⋅
3






⋅:= MBd 1.067− 103× kN m⋅⋅=
Gabarito prova 1B -2015/1
 
 
 
Gabarito prova 1B -2015/1
A estrutura da figura é composta por uma viga AGB rótulada em G e 5 barras.
Determinar os esforços nas 5 barras lembrando que os nós A e B não
satisfazem o método dos nós. Fazer q0 = 10 kN/m e a = 1,5 m 
 q0 10 kN
m
:=
a 1.5m:=
h4 9 16+ a⋅:=
cos4
4a
h4
:= sen4
3a
h4
:=
Calcular a reação em B fazendo momento em A:
VB
q0 6⋅ a⋅ 3⋅
12
:= VB 22.5 kN⋅=
Fazendo um corte vertical no ponto G e tomando momento em G:
F5 VB 6⋅ a
3a
:= F5 45 kN⋅=
Aplicar o método dos nós no encontro das barras 3, 4 e 5.
Somatório em x
F4
F5
cos4
:= F4 56.25 kN⋅= F1 F4 56.25 kN⋅=:=
F3 F4 sen4⋅:= F3 33.75 kN⋅= F2 F3 33.75 kN⋅=:=
Gabarito prova 1B -2015/1
Para a grelha da figura, apresentar os diagramas de solicitação.
Momento em relação a AB
VC
30 kN
m
3⋅ m 2.5⋅ m 30kN 1⋅ m−
4m
:= VC 48.75 kN⋅=
Momento em relação a BC
VA
80kN m⋅ 30kN 2.5⋅ m−
1.5m
:= VA 3.333 kN⋅=
VB 30kN 30 kN
m
3⋅ m+ VA− VC−:= VB 67.917 kN⋅=
Mec�nica Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 1/Q1 A e B 2015-1.pdf
Mec�nica Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 2/Prova 16-1.pdf
Gab-p2_16_1A-MEST 
25052016.doc.xmcd
O enunciado das perguntas está no arquivo ESTR I questão area 2 - Com resposta disponível
no moodle.
Procurar a codificação do exercício
Questão téorica Q1A-2016-2-PR1 
Questão Q2A-2016-1-PR2 
σx 50MPa τ 65MPa σy 90 MPa υ 0.3
σz υ σx σy( ) σz 12 MPa
Direções dos planos principais
tg2α 2 τ
σx σy( ) αp
atan tg2α( )
2
αp1 αp αp1 180
π
 21.439
αp2 αp1 π2 αp2
180
π
 111.439
Valores das tensões principais
σαp1 σx cos αp1( )( )2 σy sin αp1( )( )2 τ sin 2 αp1( ) σαp1 75.525 MPa
σαp2 σx cos αp2( )( )2 σy sin αp2( )( )2 τ sin 2 αp2( ) σαp2 115.525 MPa
Ordenando as tensões principais:
σ1 σαp1 σ2 σz σ3 σαp2
σ1 75.525 MPa σ2 12 MPa σ3 115.525 MPa
Tensão cisalhante máxima:
τmax σ1 σ32 τmax 95.525 MPa
Fazer aqui o círculo de Mohr das tensões 
Gab-p2_16_1A-MEST 
25052016.doc.xmcd
Deformações E 210000MPa
εx 1E σx υ σy σz( )[ ] εx 3.838 10
4
εy 1E σy υ σx σz( )[ ] εy 4.829 10
4
εz 0
Variação de comprimentos:
Lx 50mm Ly 60mm
Δlx εx Lx Δly εy Ly
Δlx 0.019 mm Δly 0.029 mm
Deformações nas direções principais
ε1 1E σ1 υ σ2 σ3( )[ ] ε1 5.418 10
4
ε2 0
ε3 1E σ3 υ σ1 σ2( )[ ] ε3 6.409 10
4
Máxima deformação específica < = > teoria de Saint-Venant
σT 220MPa σC 300 MPa
St σT
σ1 υ σ2 σ3( )[ ] St 1.934
Sc σC
σ3 υ σ2 σ1( )[ ] Sc 2.229
Gab-p2_16_1A-MEST 
25052016.doc.xmcd
Questão Q3A-2016-1-PR2 :
dAB 50mm dBC 32mm LAB 1.3m LBC 1m
AreaAB π4 dAB
2 AreaBC π4 dBC
2
VA AreaABAreaBC 28 kN
LBC
LAB VA 52.584 kN
P VA 28kN P 80.584 kN
Tensões 
σAB VAAreaAB σAB 26.781 MPa
σBC P VAAreaBC σBC 34.815 MPa
Deslocamento do ponto B: Ea 70000MPa
δB VA LABEa AreaAB δB 0.497 mm
δc P VA( ) LBCAreaBC Ea δc 0.497 mm
Gab-p2_16_1A-MEST 
25052016.doc.xmcd
Questão Q4A-2016-1-PR2
d 1.59cm Q 250kN S 1.2
ec 1.5cm lc 150mm Ar π d
2
4
τL 125MPa σt 220MPa σc 200MPa
O esquema mostra corte de seção duplo resistente. Precisamos de nr rebites com seção
individual Ar. Assim, escrevendo a equação de dimensionamento podemos isolar o nr: 
caso considerar o τL
lc
d 9.434nr Q S2Ar τL nr 6.044
Se considerar a tensão
de tração
nr 2Q S2Ar σt nr 6.868
Com 7 rebites atendemos as duas considerações
Considerando as restrições de furo:
3 d 47.7 mm
1.5 d 23.85 mm
Considerando as distâncias entre eixos precisamos de três linhas de rebites. A cobrejunta terá
comprimento mínimo de 18d
Fazer aqui um esquema de distribuição dos parafusos
Gab-p2_16_1A-MEST 
25052016.doc.xmcd
Mec�nica Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 3/Mathcad - gabarito 3-A - quest�es 4 e 5.pdf
GABARITO PROVA A - Questões 
4 e 5
Questão 4
A viga mostrada abaixo tem a seção transversal detalhada ao lado.
Considerando o esquema de carregamento dado calcular: (3,0 pontos)
a) A tendência do diagrama de momento fletor indicando os valores nos pontos
de descontinuidade;
b) A tensão normal no topo e na base do furo para a seção do meio do vão;
c) Os valores máximos de tensão normal e de tensão de cisalhamento para a
mesma seção;
d) A distribuição de tensão normal e de cisalhamento na mesma seção
transversal
Dos diagramas de solicitações
Ms 25.0kN m⋅:=
Qs 21.7kN:=
Posição do eixo neutro em relação a base
yc
280mm 160⋅ mm 140⋅ mm 80mm 100⋅ mm 190⋅ mm−
280mm 160⋅ mm 100mm 80⋅ mm−
:= yc 129.13 mm⋅=
Irec
160mm 280mm( )3⋅
12
160mm 280⋅ mm yc 140mm−( )2⋅+:= Irec 2.98 108× mm4⋅=
Ifuro
80mm 100mm( )3⋅
12
80mm 100⋅ mm yc 190mm−( )2⋅+:= Ifuro 3.631 107× mm4⋅=
Ixx Irec Ifuro−:= Ixx 2.617 10 4−× m4=
GABARITO PROVA A - Questões 
4 e 5
Tensões normais no topo e na base do furo
yt 240mm yc−( )−:= yt 110.87− mm⋅=
yb 140mm yc−( )−:= yb 10.87− mm⋅=
σtopo
Ms
Ixx
yt⋅:= σtopo 10.592− MPa⋅=
σbase Ms
Ixx
yb⋅:= σbase 1.038− MPa⋅=
Tensão normal máxima: fibra mais afastada, então fibra superior
ymax 280mm yc−( )−:= ymax 0.151− m=
σmax
Ms
Ixx
ymax⋅:= σmax 14.414− MPa⋅=
σinf
σmax yc⋅
280mm yc−( ):= σinf 12.337 MPa⋅=
Tensão máxima cisalhante: no eixo neutro. Calculamos o momento estático considerando a
parte de baixo
bmax 160mm:= bmin 80mm:=
Smax yc bmax⋅ yc
2
⋅:= Smax 1.334 106× mm3⋅=
τmax
Qs Smax⋅
Ixx bmax⋅
:=
τmax 0.691 MPa⋅=
GABARITO PROVA A - Questões 
4 e 5
Distribuição na seção transversal:
Para o momento, fazer uma reta ligando a tensão máxima com zero no eixo neutro
Para o cisalhamento
τborda 0:=
Para o topo do furo:
Stopo 40mm 160⋅ mm 280mm 20mm− yc−( )⋅:= Stopo 8.376 105× mm3⋅=
τtopo1
Qs Stopo⋅
Ixx bmax⋅
:= τtopo1 0.434 MPa⋅=
τtopo2
Qs Stopo⋅
Ixx bmin⋅
:= τtopo2 0.868 MPa⋅=
Para a base do furo:
Sbase Stopo 2 40⋅ mm 100⋅ mm 190mm yc−( )⋅+:= Sbase 1.325 106× mm3⋅=
τbase1 Qs Sbase⋅
Ixx bmin⋅
:= τbase1 1.373 MPa⋅=
τbase2 Qs Sbase⋅
Ixx bmax⋅
:= τbase2 0.686 MPa⋅=
GABARITO PROVA A - Questões 
4 e 5
Questão 5
Uma árvore de aço de seção coroa circular com diâmetro interno d= 20,32
cm e diâmetro exterior D = 30,48 cm, deve ser substituída por uma árvore
circular sólida feita de uma liga. Se a tensão máxima de cisalhamento tem
o mesmo valor nas duas árvores, calcular o diâmetro da árvore sólida e a
relação entre as rigidezes torcionais GJ. Considerar Gaço = 2,4 Gliga.
Qual situação terá maior ângulo de torção?
Como a tensão máxima de cisalhamento é o mesmo para as duas configurações de seção
deve ser: ra/Ja = rl/Jl
Para o aço D 30.48cm:= R D
2
:= ra R:=
d 20.32cm:= r d
2
:=
Ja
pi
2
R4 r4−( )⋅:= Ja 6.8 104× cm4⋅=
Para a liga:
Combinando as expressões, lembrando que ra = R:
rl
3 2 Ja⋅
pi ra⋅
:= rl 14.162 cm⋅= dl 2 rl⋅:= dl 28.324 cm⋅=
Considerando os dados:
Ga/Gl = 2,4 
Ja/Jl = ra/rl 
Rel_GJ 2.4 ra
rl
⋅:= Rel_GJ 2.583=
A árvore em aço tem maior rigidez torcional. A árvore com liga tem maior ângulo de torção.
Mec�nica Estrutural I/Avalia��es Anteriores/�rea 3/Mathcad - gabarito 3-B - quest�es 4 e 5.pdf
GABARITO PROVA B - Questões 
4 e 5
Questão 4
A viga mostrada abaixo tem a seção transversal detalhada ao lado.
Considerando o esquema de carregamento dado calcular: (3,0 pontos)
a) A tendência do diagrama de momento fletor indicando os valores nos pontos
de descontinuidade;
b) A tensão normal no topo e na base do furo para a seção do meio do vão;
c) Os valores máximos de tensão normal e de tensão de cisalhamento para a
mesma seção;
d) A distribuição de tensão normal e de cisalhamento na mesma seção
transversal
Dos diagramas de solicitações
Ms 35kN m⋅:=
Qs 11.7kN:=
Posição do eixo neutro em relação a base
yc
280mm 160⋅ mm 140⋅ mm 80mm 100⋅ mm 190⋅ mm−
280mm 160⋅ mm 100mm 80⋅ mm−
:= yc 129.13 mm⋅=
Irec
160mm 280mm( )3⋅
12
160mm 280⋅ mm yc 140mm−( )2⋅+:= Irec 2.98 108× mm4⋅=
Ifuro
80mm 100mm( )3⋅
12
80mm 100⋅ mm yc 190mm−( )2⋅+:= Ifuro 3.631 107× mm4⋅=
Ixx Irec Ifuro−:= Ixx 2.617 10 4−× m4=
GABARITO PROVA B - Questões 
4 e 5
Tensões normais no topo e na base do furo
yt 240mm yc−( )−:= yt 110.87− mm⋅=
yb 140mm yc−( )−:= yb 10.87− mm⋅=
σtopo
Ms
Ixx
yt⋅:= σtopo 14.829− MPa⋅=
σbase Ms
Ixx
yb⋅:= σbase 1.454− MPa⋅=
Tensão normal máxima: fibra mais afastada, então fibra superior
ymax 280mm yc−( )−:= ymax 0.151− m=
σmax
Ms
Ixx
ymax⋅:= σmax 20.179− MPa⋅=
σinf
σmax yc⋅
280mm yc−( ):= σinf 17.271 MPa⋅=
Tensão máxima cisalhante: no eixo neutro. Calculamos o momento estático considerando a
parte de baixo
bmax 160mm:= bmin 80mm:=
Smax yc bmax⋅ yc
2
⋅:= Smax 1.334 106× mm3⋅=
τmax
Qs Smax⋅
Ixx bmax⋅
:=
τmax 0.373 MPa⋅=
GABARITO PROVA B - Questões 
4 e 5
Distribuição na seção transversal:
Para o momento, fazer uma reta ligando a tensão máxima com zero no eixo neutro
Para o cisalhamento
τborda 0:=
Para o topo do furo:
Stopo 40mm 160⋅ mm 280mm 20mm− yc−( )⋅:= Stopo 8.376 105× mm3⋅=
τtopo1
Qs Stopo⋅
Ixx bmax⋅
:= τtopo1 0.234 MPa⋅=
τtopo2
Qs Stopo⋅
Ixx bmin⋅
:= τtopo2 0.468 MPa⋅=
Para a base do furo:
Sbase Stopo 2 40⋅ mm 100⋅ mm 190mm yc−( )⋅+:= Sbase 1.325 106× mm3⋅=
τbase1 Qs Sbase⋅
Ixx bmin⋅
:= τbase1 0.74 MPa⋅=
τbase2 Qs Sbase⋅
Ixx bmax⋅
:= τbase2 0.37 MPa⋅=
GABARITO PROVA B - Questões 
4 e 5
Questão 5
Uma árvore de aço de seção coroa circular com diâmetro interno d= 20,32
cm e diâmetro exterior D = 30,48 cm, deve ser substituída por uma árvore
circular sólida feita de uma liga. Se a tensão máxima de cisalhamento tem
o mesmo valor nas duas árvores, calcular o diâmetro da árvore sólida e a
relação entre as rigidezes torcionais GJ. Considerar Gaço = 2,4 Gliga.
Qual situação terá maior ângulo de torção?
Como a tensão máxima de cisalhamento é o mesmo para as duas configurações de seção
deve ser: ra/Ja = rl/Jl
Para o aço D 30.48cm:= R D
2
:= ra R:=
d 20.32cm:= r d
2
:=
Ja
pi
2
R4 r4−( )⋅:= Ja 6.8 104× cm4⋅=
Para a liga:
Combinando as expressões, lembrando que ra = R:
rl
3 2 Ja⋅
pi ra⋅
:= rl 14.162 cm⋅= dl 2 rl⋅:= dl 28.324 cm⋅=
Considerando os dados:
Ga/Gl = 2,4 
Ja/Jl = ra/rl 
Rel_GJ 2.4 ra
rl
⋅:= Rel_GJ 2.583=
A árvore em aço tem maior rigidez torcional. A árvore com liga tem maior ângulo de torção.
Mec�nica Estrutural I/Exerc�cios/Exerc�cio Flex�o em 2 Materiais - �rea 3.pdf
Q2B-2016-1-PR3 - Verificar com que nível de segurança está trabalhando a seção
transversal da figura quando está submetida a um momento fletor de 35 kN.m. A viga de
madeira de 300mmx200mm é reforçada com uma placa de aço na base. Os dois materiais
estão colados e atuam solidariamente. As tensões normais limites da madeira e do aço são
respectivamente, 8,3 MPa e 140MPa. (Eaço= 200 GPa, Emad=8,3
GPa)
Ea 200000MPa:=
Em 8300MPa:=
na
Em
Ea
:=
nm
Ea
Em
:=
Homogeneizando como madeira:
bm 200mm:= ba 150mm:= bah nm 150⋅ mm:=
hm 300mm:= ha 10mm:=
di ha
2
:= ht ha hm+:=dm ha hm
2
+:=
Posição do centróide considerando uma largura do aço transformada
Yg
bah ha⋅ di⋅ bm hm⋅ dm( )⋅+
ha bah⋅ hm bm⋅+( ):= Yg 101.729 mm⋅=
Cálculo das inércias em relação ao eixo que passa pelo centróide
Ima
bm hm3⋅
12
bm hm⋅ Yg dm−( )2⋅+:= Ima 6.537 108× mm4⋅=
Iah
bah ha3⋅
12
ha bah⋅ Yg di−( )2⋅+:= Iah 3.385 108× mm4⋅=
Ihm Iah Ima+:= Ihm 9.922 104× cm4⋅=
Verificação da segurança: M 35kN m⋅:=
σLm 8.3− MPa:= σLa 140MPa:=
A madeira sendo o materia de referência 
Nas fibras inferiores
σinf
M
Ihm
Yg ha−( )⋅:= σinf 3.236 MPa⋅= σinfaco nm M
Ihm
⋅ Yg( )⋅:=
Nas fibras superiores
σsup
M
Ihm
Yg ht−( )⋅:= σsup 7.347− MPa⋅= σinfaco 86.469 MPa⋅=
Sm σLm
σsup
:= Sm 1.13= Sa σLa
σinfaco
:= Sa 1.619=
caso considerarmos as inércias das seções originais (para a mesma posição do centróide):
Voltando a largura do aço
Inércia da madeira
Im
bm hm3⋅
12
bm hm⋅ Yg dm−( )2⋅+:= Im 6.537 108× mm4⋅=
Inércia do aço
Ia
ba ha3⋅
12
ha ba⋅ Yg di−( )2⋅+:= Ia 1.405 107× mm4⋅=
Se a madeira é a referência
Ihm2 Ia
Ea
Em
⋅ Im+:= Ihm2 9.922 108× mm4⋅=
Se o aço é a referência
Iha Ia na Im⋅+:= Iha 4.118 107× mm4⋅=
Depois calculariamos as tensões com as expressões de sempre. A conversão de tensão no
nível de uma mesma fibra é feita com a relação dos módulos.
Mec�nica Estrutural I/Exerc�cios/Exerc�cios de Aplica��o 01.pdf
Exercícios de aplicação – Aula 1 – Cálculo de reações 
(Estes problemas foram extraídos do material de aula de Mecânica Vetorial do Prof. Inácio 
Benvegnu Morsch) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exemplo 1 - A viga AC da figura está rebitada em C e ligada a um cabo em B. Sabendo que a 
força no cabo vale 195 kN determine : a) as reações em C b). Para que valor de força no cabo o 
momento em C vale zero ? 
 
 
 
 
Exemplo 2 - Determine para a estrutura representada na figura as reações na rótula A. Considere 
a polia B como sendo uma polia ideal (sem atrito). 
 
 
 
Exercícios de aplicação – Aula 1 – Cálculo de reações 
(Estes problemas foram extraídos do material de aula de Mecânica Vetorial do Prof. Inácio 
Benvegnu Morsch) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exemplo 3 - Dois cabos estão ligados por um perfil como ilustrado na figura. Determine a maior 
força que pode ser aplicada pelo cabo AB no perfil se o maior valor permitido para a reação em C 
é de 2000 N. 
 
 
 
Exemplo 4 - Para a treliça ilustrada na figura determine as reações nos apoios A e B, bem como 
as forças que atuam nas barras 1 e 2. 
 
 
 
Exercícios de aplicação – Aula 1 – Cálculo de reações 
(Estes problemas foram extraídos do material de aula de Mecânica Vetorial do Prof. Inácio 
Benvegnu Morsch) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exemplo 5 - Para calcular as reações nos vínculos A e B da estrutura representada na figura pode-
se considerar a força de 1000 N atuando no ponto F ou aplicando-se a transmissibilidade pode-se 
deslizar a força sobre a reta pontilhada e considerar a mesma aplicada no ponto D. Esta 
afirmativa é correta? Justifique. Aplicando um conjunto de equações de equilíbrio alternativo, 
determine as reações nos vínculos A e B. 
 
 
 
Exemplo 6 - Para a estrutura indicada na figura indique quais dos conjuntos de equações abaixo 
geram um sistema de equações linearmente independentes. 
 
Exercícios de aplicação – Aula 1 – Cálculo de reações 
(Estes problemas foram extraídos do material de aula de Mecânica Vetorial do Prof. Inácio 
Benvegnu Morsch) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
As respostas devem ser justificadas. Escolher um dos conjuntos de equações linearmente 
independentes. e resolver o problema. 
 
 
 
Exemplo 7 - Calcular as reações que atuam nos vínculos A, B e C do pórtico ilustrado na figura. 
Determine também as forces que atuam nas rótulas D e E. 
 
 
 
 
Mec�nica Estrutural I/Exerc�cios/Exerc�cios �rea 1.pdf
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
1) Calcular a s reações de apoio s da estrutura da figura para P1 = 15 kN, P2 = 10 
kN; P3 = 2*P1 e q = 5kN/m 
 
 
 
Resp.: 
HA = 30 kN; 
VA = 31,25 kN; 
 VB= 3,5 kN 
 
2) A prancha de Madeira apoiada entre dois prédios suporta um menino de 50 kg. 
A distribuição de carga na s extremidade s é con siderada triangular com 
inten sidade s máxima wA e wB. Determine wA e wB quando o menino fica a 3m de 
uma da s extremidades como mo stra a figura. Despreze a ma s s a da prancha. 
 
 Resp.: WA =1,44 kN/m; WB =1,11 kN/m 
 
3) Uma viga enga stada, com comprimento livre de 3m, está sujeita a uma força de 
500 N em sua extremidade. Admitindo que a parede re sis te a e sta carga 
através de um carregamento distribuído linear atuante sobre 0,15 m da viga 
que se estende no interior da parede, determine a s inten sidade s w1 e w2 para 
garantir o equilíbrio. 
 
Resp.: w1= 413 kN/m ; w2 = 407 kN/m 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
4) Indique na s viga s o esquema de carregamento que provoca o diagrama de 
e sforço cisalhante (cortante) mo strado o e squema de carregamento e o s 
valore s da s carga s. 
2m 1m2m
2kN1kN
-1kN
 Resp.: 
 
 
Resp.: 
 
5) As figura s mo stram e strutura s com um diagrama de esforço cortante. 
Con siderando L = 3 m apre sentar: a) um diagrama de corpo livre com toda s a s 
forças externa s (ações e reações) da estrutura com os valore s de sta s forças; b) 
o s diagrama s de e sforços normais e de momento s fletore s 
 
 
Cortante D.C.L. Esforço Normal Momento s 
fletore s 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
 
 
 
Cortante D.C.L. Esforço Normal Momento s 
fletore s 
 
6) Indique na viga o es quema de carregamento que provoca e s te diagrama de 
momento fletor mo strado o esquema de carga; o s valore s das reações e da s 
carga s. 
3m 3m3m
4,5kNm
3kNm
Resp.: 
7) Apresente o s diagrama s de esforço cortante e momento fletor para a viga bi-
apoiada sujeita ao carregamento dado. 
 
 
Cortante Momento fletor 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
8) Apresente os diagrama s de esforço cortante e momento fletor para a viga 
de s contínua sujeita ao carregamento dado. 
 
Resp.: 
 
9) Apresente os diagrama s de esforço cortante e momento fletor para a viga 
de s contínua sujeita ao carregamento dado. 
 
Resp.: 
 
10) Apresente os diagrama s de esforço cortante e momento fletor para a viga 
de s contínua sujeita ao carregamento dado. Indicar o valor do e sforço no s 
ponto s de de s continuidade. 
 
 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
11) Identifique as seções de momento máximo e calcule os seu s valore s. As 
reações da e strutura s são; VA= 900 kgf, VB= 2400 kgf, Hb= 0 kgf. 
 
 
Resp.: x = 1,8 m de A Mmax = 810 kgf.m; ponto B Mmin = -1000 kgf.m 
 
12) Para a e strutura da figura: a) Calcule as reações b) Trace os diagrama s de 
e sforço normal e de esforço cisalhante. (ver lista prof. Segovia)
Resp.: HÁ = 7,07 t ; VA = 1,82 t; VB = 7,71 t ; VD = 3,54 t 
 
13) Identifique, para a viga da figura, a po sição da s s eções de momento s extremo s 
e calcule o s s eu s valore s. 
 
Resp.: x = 2,34 m Mmax = 1368,9 kgf.m ; ponto B Mmin = 1000 kgf.m 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
14) Para a viga da figura identifique o ponto de momento fletor máximo e calcule o 
s eu valor naquele ponto. Fazer M = 70 kN.m e q = 10 kN/m. O momento M está 
aplicado a 3m do apoio A. 
 
 
Resp.: 
x = 5,417 m de A 
Mmax = 216,7 kN.m 
15) Apresente o diagrama de e sforço cortante e e sforço normal para o pórtico 
s ujeito ao carregamento dado. 
3
3m
3m
6kNm
Resp.: 
 
16) Apresente o diagrama de e sforço cortante e de momento fletor para o pórtico 
s ujeito ao carregamento dado. Indicar o valor do e sforço no s ponto s de 
de s continuidade. 
 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
17) Apresente o diagrama de e sforço cortante e e sforço normal para o pórtico 
s ujeito ao carregamento dado (P=30 kN; H=20 kN; q=10 kN/m). 
3
PqH
 
Resp.: 
 
 
18) Apresente os diagrama s de corpo livre, de esforço cortante e e sforço normal 
para o pórtico quando sujeito ao carregamento dado (H=20 kN; q=10 kN/m). 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
 
 
D.C.L. Normal Cortante 
 
19) Apresente os diagrama s de e sforço cortante e momento fletor para a e strutura 
da figura quando sujeita ao carregamento dado (P = 150kN) 
 
 
Normal Cortante Momento fletor 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
20) Con struir o s diagrama s de e sforços normais, cisalhante s e de momento s 
fletore s para o pórtico dado. Indique o s valore s do s e sforços no s ponto s de 
de s continuidade. 
 
 
 
Normal Cortante Momento fletor 
 
 
21) Calcule os e sforços axiais na s barra s A, B e C da treliça plana sujeita ao 
carregamento dado. 
 
Resp.: VA = 8,2 kN; VB = 2,8 kN; FA = -2,8 kN; FB = 3,2 kN; FC = 1,4 kN 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
22) Determinar a s forças atuante s na s barra s CE, DE e EF e indique se e s te s 
elemento s e stão sob tração ou compre s são. 
 
 
Resp.: CE = 180 lb (C); DE = 120 lb (C); EF = 300 lb (lb) 
 
23) Para a treliça ilustrada na figura determine as reações no s vínculo s A e B, bem 
como a força que atua em cada uma da s barra s que formam a treliça indicando 
s e é uma compre s são (C) ou tração (T). 
 
 
 
24) As barra s da treliça abaixo e stão conectada s por pino s, inclu sive no s apoio s 
exteriore s. Para uma força (P = 10 kN) determine a s forças nas barra s que se 
encontram no nó B. 
 
 
Resp.: F1 = F4 = 16,667 kN; F3 = 26,667 kN 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
25) As barra s da treliça abaixo e stão conectada s por pino s, inclu sive no s apoio s 
exteriore s. Para uma força (P = 10 kN) determine a s forças nas barra s que se 
encontram no nó B. 
 
 
 
Resp.: F1 = 16,7 kN; F2 = 10,0 kN; F4 = 33,3 kN; F3 = 40,0 kN 
 
26) Para a treliça ilustrada na figura determine forças na s barras GB, GC e GH 
indicando se é uma compre s são (C) ou tração (T). Fazer P1 = 75 kN e P2 = 45 kN 
 
Resp.: GB = -85 kN; GH = 48,8 kN; GC = 12,5 kN 
 
27) Calcular os e sforços nas barra s I, J e K e indicar se são de tração ou de 
compre s são. 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
VA = 1,8 kN ; HA = 9,4 kN; VB = - 0,7 kN 
FI = 4,2 kN (T); FJ = 8,2 kN (C); FK = 6,3 kN 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
Q1A-2014-2-PR1 - Apre s entar o s e squema s estruturai s (e strutura + vinculação + 
carregamento) corres pondente s ao s diagrama s de momento s da figura. 
 
 
Q2A-2014-2-PR1 - Para a viga ilu strada na figura, a s reações já foram calculada s e 
valem VA = 170 N e VF = 290 N. 
a) Escrever a s equações da s solicitações nos trecho s CD e DE? 
b) Traçar na folha de prova (usar eixo debaixo da figura), o diagrama do 
e sforço ci salhante indicando o s valore s importante s ? 
c) Determinar a po sição da seção de momento máximo e calcular o valor do 
momento ne s s a seção. 
 
 
 
Q3A-2014-2-PR1 – Determinar a s solicitaçõe s na s barra s 1 a 7 da treliça da figura. 
Con siderar a = 1m e F = 10kN 
 
 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
Q4A-2014-2-PR1 – Para a e strutura da figura, apre s entar o s D. C. L. para o cálculo 
da s reações; e o s diagrama s de solicitação do pórtico da figura. A barra S é de 
dua s forças. Con siderar a = 2m, q = 10kN/m e F = 10kN 
 
Q5A-2014-2-PR1 - Para a e strutura da figura, apre s entar o s diagrama s de 
s olicitação para a grelha da figura. 
 
 
 
Q6A-2014-2-PR1 - Para a e strutura da figura: a) apre sentar a s expre s sõe s para o 
e sforço normal e momento fletor em uma s eção genérica; b) determinar a po sição 
e o valor do momento máximo. Con siderar r = 5m, qo = 10kN/m 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
Q1B-2014-2-PR1 - Apre s entar o e squema es trutural (e strutura + vinculação + 
carregamento) corres pondente ao s diagrama s de e sforço cortante da figura. 
 
Q2B-2014-2-PR1 - Para a viga ilu strada na figura, a s reações já foram calculada s e 
valem VA = 85 N e VF = 375 N. 
d) Escrever a s equações da s solicitações nos trecho s CD e DE. 
e) Traçar na folha de prova (usar eixo debaixo da figura), o diagrama do 
momento fletor indicando o s valore s importante s. 
f) Determinar a po sição da seção de momento máximo e calcular o valor do 
momento ne s s a seção. 
 
 
 
Q3B-2014-2-PR1 - Determinar a s solicitaçõe s na s barra s 1 a 7 da treliça da figura. 
Con siderar a = 1m e F = 15kN 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
Q4B-2014-2-PR1 - Para a e strutura da figura, apre s entar o s D. C. L. para o cálculo 
da s reações; e o s diagrama s de solicitação do pórtico da figura. A barra S é de 
dua s forças. Con siderar a = 2m, q = 10kN/m e F = 15kN 
 
Q5B-2014-2-PR1 - Para a e strutura da figura, apre s entar o s diagrama s de 
s olicitação para a grelha da figura. 
 
Q6B-2014-2-PR1 - Para a e strutura da figura: a) apre sentar a s expre s sõe s para o 
e sforço normal e momento fletor em uma s eção genérica; b) a po sição e o valor do 
momento máximo. Con siderar r = 5m, qo = 10kN/m 
 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
Q1C-2014-2-PR1 - Escrever a s equações das solicitações do s trecho s BC, CD e DE. 
 
 
Q2C-2014-2-PR1 - Esboçar o s diagrama s de solicitações do pórtico abaixo, indicar 
o s valore s máximo s. 
 
 
 
Q3C-2014-2-PR1 - Desenhar a s solicitações da grelha da figura. 
 
3m
2m
2m
2m
A
B
C
D
E
F
G
20 KNm
40 KNm 30 KNm
20 KN
40 KN
20 KN/m
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
Q4C-2014-2-PR1 - Encontrar o s e sforços na barra s: SU, TU, QR, DE, KL e KN. 
Aplicar um corte de Ritter. 
 
 
Q1A-2015-1-PR1 - A viga tem um carregamento com variação linear. Calcular a posição 
e o valor do momento fletor máximo se q1 = 3 q0. 
 
 
Q2A-2015-1-PR1 - Apresentar os diagramas de esforços cortantes e de momentos 
fletores para a viga da figura. Fazer a = 1,5 m e q0 = 10 kN/m 
 
Q3A-2015-1-PR1 - A estrutura suporta uma carga distribuída uniforme q0 = 50kN/m. 
Apresentar os diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor sabendo 
que M0 = 2*q0*a2. Fazer a = 2m
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
Q3B-2015-1-PR1 - A viga suporta uma carga distribuída uniforme q0 = 50kN/m. 
Apresentar os diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor sabendo 
que M0 = 2*q0*a2. Fazer a = 2m 
 
Q4A-2015-1-PR1 - A estrutura da figura é composta por uma viga AGB rotulada em G e 
5 barras. Determinar os esforços nas 5 barras lembrando que os nós A e B não 
satisfazem o método dos nós. Fazer q0 = 15 kN/m e a = 1 m 
 
 
Q5A-2015-1-PR1 - Para a estrutura da figura, apresentar os diagramas de solicitação 
para a grelha da figura. 
 
 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
Q5B-2015-1-PR1 - Para a grelha da figura, apresentar os diagramas de solicitação. 
 
 
Q1R-2015-1-PR1 - Desenhar os diagramas de força cortante e momento da viga de 
madeira e determinar a força cortante e o momento em toda a viga em função de x. 
 
 
 
 
Q2R-2015-1-PR1 - Calcular as reações e apresentar os diagramas de 
esforços normal, cortante e de flexão. (3,5 pts) 
 
 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
Q1R-2014-2-PR1 - O diagrama de e sforço cortante sobre um segmento de viga é 
mo strado na figura. Qual da s s eguinte s afirmações não é correta: (0,5 pt) 
 
Diagrama Cortante (Q) 
a) Uma carga concentrada é aplicada em um ponto; 
b) Uma carga di stribuida é aplicada; 
c) Um momento concen trado deve ser aplicado; 
d) Uma carga triangular distribuída é aplicada; 
e) Não tem momento concentrado aplicado; 
 
Q2R-2014-2-PR1 - A viga mo strada na figura está rotulada com a parede em A. Um 
braço vertical BD é fixado rigidamente a viga no ponto B e um cabo ED está 
rotulado com a parede em E e com o braço BD em D. Considerando o s 
carregamento s indicado s: (2,0 pt s) 
a) Apresentar o diagrama de corpo livre da e s trutura; (0,25 pt) 
b) Graficar em e scala os diagrama s de e sforço cortante e de momento fletor 
da viga ABC. (2,25pt s ) 
 
Q3R-2014-2-PR1 - Para a treliça ilustrada na figura determine a s forças que atuam 
na s barra s (2,0 pt s) 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
Q4R-2014-2-PR1 - A figura mo stra 
uma e strutura com um diagrama de 
momento fletor. Considerando 
L = 3 m apre s entar: 
 
a) o diagrama de corpo livre com 
toda s a s forças externa s (açõe s 
e reações) da estrutura com o s 
valore s de sta s forças ; (1,0 pt) 
b) o s diagrama s de esforço s 
normais e de esforços cortante s 
(1,0 pt) 
 
 
 
Q5R-2014-2-PR1 - Des enhar a s solicitações da grelha da figura. (3,0 pt s) 
3m
2m
2m
2m
A
B
C
D
E
F
G
20 KNm
40 KNm 30 KNm
20 KN
40 KN
20 KN/m
 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
Q1A-2015-2-PR1 - Para a viga da figura pede-se: a) Calcular o valor da carga q para 
que a reação em B seja igual a 93,4 kN; b) Escrever as equações das solicitações do 
trecho BC; c) Apresentar o diagrama dos momentos fletores. 
 
 
 
Q1BA-2015-2-PR1 - Para a viga da figura pede-se: a) Calcular o valor da carga q para 
que a reação em D seja igual a 100 kN; b) Escrever as equações das solicitações do 
trecho BC; c) Apresentar o diagrama dos momentos fletores. 
 
 
 
Q2B-2015-2-PR1 - Esboçar os diagramas de solicitações do pórtico abaixo, indicar os 
valores máximos. 
 
 
Q5A-2015-2-PR1 - Para a grelha da figura, apresentar os diagramas de solicitação. 
 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
 
Q4B-2015-2-PR1 - Para a grelha da figura, apresentar os diagramas de solicitação. 
 
 
 
Q1R-2015-2-PR1 - Para o esquema de carregamento s indicado: a) determinar 
po sição e o valor do momento fletor máximo; b) apre sentar o diagrama de esforço 
cortante; 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
 
Q2R-2015-2-PR1 - Traçar o s diagrama s de Esforço normal e momento fletor da 
e s trutura para o carregamento indicado. Indicar o s valore s no s ponto s 
característico s. 
 
 
Q3R-2015-2-PR1 - Calcular o s e sforços na s barra s que concorrem ao nó C. (2,0 
pt s) 
 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
Q1A-2016-1-PR1 – Para o esquema de carregamento s indicado: a) determinar 
po sição e o valor do momento fletor máximo; b) apre sentar o diagrama de esforço 
cortante; 
 
 
 
 
Q2A-2016-1-PR1 – Traçar o s diagramas de solicitações da e strutura para o 
carregamento indicado. Indicar o s valores no s ponto s característico s. As reaçõe s 
são dada s 
 
 
 
Q3A-2016-1-PR1 - Calcular o s e sforços nas barra s 1 a 6. Utilizar pelo meno s uma 
vez o método da s s eções. (2,0 pt s) 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
 
Q4A-2016-1-PR1 - Des enhar a s solicitações da grelha da figura. (2,0 pt s) 
 
 
Q4B-2016-1-PR1 - Des enhar a s solicitações da grelha da figura. (2,0 pt s) 
 
 
 
Exercícios MECANICA ESTRUTURAL I - Área 1 
 
 
Mec�nica Estrutural I/Exerc�cios/Exerc�cios �rea 2.pdf
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
 
1) Os suportes apóiam a vigota uniformemente; supõe-se que os quatro pregos em cada suporte 
transmitem uma intensidade igual de carga. Determine o menor diâmetro dos pregos em A e 
B se a tensão de cisalhamento admissível para os pregos for 4000lb/pol2. 
 
 
 
2) A amostra de madeira está submetida a uma tração de 10 kN em uma máquina de teste de 
tração. Supondo que a tensão normal admissível da madeira seja adm = 12 MPa e a tensão de 
cisalhamento adm = 1,2 MPa. Determinar as dimensões b e t necessárias para atingir estas 
tensões simultaneamente. A amostra tem 25 mm de largura. 
 
b = 33,333 mm ; t = 166,667 mm 
 
 
3) Qual propriedade de um material reproduz a lei de Hooke? Escrever a expressão que traduz a 
lei. 
 
 
 
4) Um cilindro de 90,0 cm de comprimento (figura) está submetido a uma força de tração de 120 
kN. Uma parte deste cilindro, de comprimento L1, é de aço (E1=210000 MPa) e a outra parte, 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
de comprimento L2, é de alumínio (E2=70000 Mpa). Determinar o diâmetro do cilindro e os 
comprimentos L1 e L2 de tal forma que os dois materiais apresentem o mesmo alongamento e 
um alongamento total de 0,050 cm. 
 
Resp.: L1 = 67,5 cm L2 = 22,5 cm diâmetro = 4,43 cm 
 
5) Se para a figura 2 o valor de x = -10 MPa e as tensões principais -16 MPa e 12 MPa, 
determine os valores de y e o valor de . 
 
Resp.: 
y = 6 MPa 
xy = 11,489 MPa 
 
6) De acordo com a figura, a força P tende a fazer com que a peça superior (1) deslize sobre a 
inferior (2). Sendo P = 4.000 Kgf, qual a tensão desenvolvida no plano de contato entre as 
duas peças? 
 
 
 
7) O aço de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistência ao cisalhamento 
de 31 kN/cm2 . Pede-se a força P necessária para se fazer um furo de 2.5 cm de diâmetro, em 
uma chapa deste aço com 3/8" de espessura. 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
 
P = 231,9 kN 
 
8) Considere-se o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular 2.5 x 5 cm,usado 
para testar a resistência a tração da madeira. Sendo para a peroba de 1,3 kN/cm2 a tensão de 
ruptura ao cisalhamento, pede-se determinar comprimento mínimo "a" indicado, para que a 
ruptura se de por tração e não por cisalhamento nos encaixes do corpo de prova. Sabe-se que 
a carga de ruptura do corpo por tração é de 10,4 kN. 
 
a> 0,8 cm 
 
 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
 
9) Construir esquematicamente o círculo de Mohr para
os três estados de tensões da figura 3. 
Quantos valem as tensões principais em cada caso. 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
Resp.: 
 
 
10) A figura 1 mostra a união de uma chapa com outras duas mediante dois parafusos. Para as 
forças atuantes: 
a) Determinar o diâmetro dos parafusos para garantir um coeficiente de segurança igual a 3. O 
material dos parafusos é dúctil e apresenta tensão de cisalhamento limite igual a 550 kgf/cm2. 
b) Faça um círculo de Mohr mostrando as tensões principais para um diâmetro = 10 mm. 
 
a) dp = 13,306mm ; b) 
 
 
 
11) Três cilindros de 10 cm de diâmetro cada um (ver figura) são colocados equidistantemente 
sobre uma placa rígida. Sobre eles é apoiada outra placa rígida que recebe uma carga 
uniformemente distribuída de resultante P igual a 5000 kgf. Os cilindros laterais são de um 
material com módulo de elasticidade igual a 20000 kgf/cm2 e o cilindro central de um 
material com módulo de elasticidade igual a 300000 kgf/cm2 e tensão limite de compressão 
igual a 250 kgf/cm2. Determinar o coeficiente de segurança para o cilindro central. 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
 
Resp.: 
C.S. = 4,45 
12) Uma coluna de seção tubular com diâmetro externo de 3,50 mm e diâmetro interno de 
300mm e módulo de elasticidade de 200000N/mm2 está submetida a uma carga de 2000kN. 
Determine a tensão que atua na coluna assim como o seu encurtamento sabendo que a coluna 
tem uma altura inicial de 5 m. 
 ; 
 
13) Os parafusos de 20 mm de diâmetro tem tensão de cisalhamento máxima de 220 MPa. 
Determine a força máxima que pode ser aplicada com um coeficiente de segurança C.S. = 
1,25 segundo a teoria de Guest 
 
F = 331,752 kN 
 
14) A distância entre os pontos A e B é 3,00 m. Se os cabos 1 e 2 tem diâmetros de 15mm e 
18mm respectivamente, determine a posição de uma força F de 100 kN em relação ao ponto 
A para os dois cabos terem a mesma tensão normal 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
 
Distância = 1,77 m 
 
 
15) A placa da Figura tem espessura de 100 mm, é feita de aço e está submetida às cargas 
mostradas. Determine o estado de tensões no entorno de um ponto interno à placa (“quadrado 
infinitesimal”) e trace o círculo de Mohr correspondente. 
 
 
 
 
 
 
16) Considerando para a placa do exercício anterior um material com E = 210 GPa; ν = 0,3; 
σt = 300 MPa e σt = -300 MPa, determine o coeficiente de segurança pela teoria de Rankine. 
Resp.: 
 
 
 
17) Determine o diâmetro do cabo da estrutura da Figura de forma que uma tensão admissível de 
500 MPa não seja ultrapassada. 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
 
Resp.: 
 
Diâmetro = 7,14 mm 
 
18) A barra ABC está suportada por uma articulação em A e dois cabos BD e CE (ambos de h m 
de comprimento, áreas das seções transversais iguais e de materiais de módulos de 
elasticidade iguais), e está submetida a uma carga de 80 kN, como mostra a figura. 
Desprezando a deformação por flexão e considerando a barra ABC como sendo rígida, 
determinar as forças nos cabos e a reação na articulação A. Considerar h= 1m. 
 
FBD = 24 kN ; FCE = 48 kN ; VA = 8 kN 
 
19) Determinar o coeficiente de segurança do pino utilizado na rótula da estrutura mostrada na 
figura, pela teoria de Saint Venant. Considerar tensão limite de tração igual a 150 kgf/cm2, 
tensão limite de compressão igual a –250 kgf/cm2, coeficiente de Poisson igual a 0,2 e 
diâmetro do pino igual a 2 cm. O pino trabalha com duas seções resistentes 
 
S = 2,12 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
 
20) Dado o sólido da figura, calcular o alongamento em y. Se o material do sólido tem uma 
tensão de escoamento de 100 MPa, calcular o coeficiente de segurança por Guest e Saint-
Venant. 
 
Resp.: 
Dy = 0,028 mm 
 
C.S.Guest = 1,667 
 
C.S. Saint-Venant = 3,636 
 
21) 
 
 
Resp.: 
x = -4,08*10-3 
Dz = 5,64*10-3 cm 
 
22) Em um ensaio de tração de um corpo de prova de metal de 20 mm por 10 mm de seção a 
falha ocorreu para uma carga de 70000 N. Uma placa feita deste metal apresenta em um 
determinado ponto tensões x=259 MPa e y= -70 MPa e uma tensão cisalhante xy. 
Determinar o valor máximo admissível desta tensão cisalhante para atender o critério de 
Tresca (Guest). 
Resp.: xy = 59,706 MPa 
 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
23) Determinar, para o estado tensional da figura, as tensões principais, as direções dos planos 
principais e a tensão de cisalhamento máxima. 
 
 
Resp.: 
1 = 54,72 MPa 2 = 34,72 MPa 
p1 = -13,283o p2 = p1 ± 90o 
max = 44,72 MPa 
 
c1 = 31,78o 
 
 
 
24) Determine as tensões normal e cisalhante no plano AB mostrado na figura quando α=120o. 
 
 
Resp.: 
 
 
 
 
 
25) O estado de tensão em um ponto de um elemento estrutural está definido por uma tensão de 
tração de 140 N/mm2 na direção x, uma tensão de compressão de 50 N/mm2 na direção y e 
uma tensão de cisalhamento positivo de 60 N/mm2 no plano xy. Se o material tem uma tensão 
de escoamento de 225 N/mm2, determine se ocorre a falha do elemento em relação ao critério 
de Tresca (Guest). 
Resp.: Não, porque (1-3) < 225N/mm2 
 
26) Uma coluna de seção tubular com diâmetros externo de 350 mm e diâmetro interno de 300 
mm e modulo de elasticidade de 200000 N/mm2 está submetida a uma carga de 2000 kN. 
Determine a tensão que atua na coluna assim como seu encurtamento sabendo que a coluna 
tem uma altura inicial de 5 m. 
Resp.:  = -78,4 MPa  = 1,95mm 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
 
27) O sólido da figura está confinado entre dois suportes indeslocáveis e após a sua montagem 
nos suportes sofre uma variação de temperatura de 40oC. Calcular as deformações, tensões e 
variações de comprimentos nas direções x, y, z. O Material possui um módulo de elasticidade 
de 200 GPa, um coeficiente de Poisson igual a 0,35 e um coeficiente de dilatação de 
0,00005oC-1 
 
 
 
28) O prisma mostrado na figura foi retirado do entorno de um ponto do interior de um elemento 
estrutural submetido a cargas externas. a) Determinar a tensão normal e cisalhante no plano 
de direção n (n é perpendicular a linha inclinada). b) Determinar as tensões principais máxima 
e mínima e a orientação dos planos onde elas atuam; c) as tensões tangenciais máxima e 
mínima e a tensão normal nos planos onde elas atuam. 
 
Resp.: 
1 = 5,18 MPa 2 = 5,67 MPa 
p1 = 37,98o p2 = p1 ± 90o 
max = ±20,616 MPa 
 
med = 25 MPa 
 
29) Uma tensão normal de tração de 160 MPa e uma tensão de compressão de 120 MPa são 
aplicada em um determinado ponto de um material em duas direções perpendiculares entre si. 
Utilize o procedimento gráfico de Mohr para calcular a tensão cisalhante que atua nos planos 
considerando que a tensão principal máxima no material é 200 MPa. 
Resp.: xy = 113,137 MPa 
 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
30) Uma viga de seção retangular (12mmx60mm) é submetida a uma força axial de 60000N. Se o 
material tem uma tensão de escoamento de 150 N/mm2, determine a tensão cisalhante 
máxima que pode ser aplicada na seção utilizando o critério de Tresca. 
Resp.: xy = 62,361 MPa 
 
31) Em um círculo de Mohr, as tensões principais valem 1=23 MPa e 3=-13 MPa. Se a direção 
principal 1 faz um ângulo p1=-16,8o, determine os valores de x, y e xy. 
Resp.: x = 20 MPa ; y = -10 MPa ; xy = 10 MPa 
 
32) Uma
das direções principais correspondentes a um estado tensional é um ângulo de 20,71o . 
Se as tensões principais para o estado mencionado são 50,67 MPa e 5,33 MPa, pede-se: a) 
Marcar as tensões principais e a direção principal informada em um círculo de Mohr; b) 
Apresentar em um elemento infinitesimal o estado tensional (valores de x, y e xy) ao qual 
corresponde a situação do item a; c) Indicar neste circulo a posição do plano que faz um 
ângulo de -10o com o plano de referência. 
Resp.: 
 
x = 45 MPa ; 
y = 11 MPa ; 
xy = 15 MPa 
 
 
33) A barra da figura tem largura constante de 35 mm e espessura de 10mm. Determinar a tensão 
normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado. Determinar a 
variação de comprimento do trecho BC se tiver um comprimento de 2m um módulo de 
elasticidade de 210 GPa. 
 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
Q1A-2016-1-PR1 - Um corpo de prova de um dado material foi submetido a um ensaio de 
tração, conduzindo a curva Tensão-Deformação mostrada na figura abaixo: 
 
a) Como classifica o material: frágil ou dútil? Justifique? 
b) Para as medições apresentadas, até qual valor de tensão é possível aplicar a lei de Hooke? 
Justifique? 
c) Qual o módulo de elasticidade do material? 
d) O material apresenta patamar de escoamento definido? Se apresenta patamar, qual a 
tensão de escoamento? 
e) Qual o valor da tensão normal quando a deformação específica longitudinal é igual a 
0,05? Mostre no gráfico qual seria a deformação residual se o ensaio tivesse finalizado 
neste instante com retirada da máquina de ensaio? 
f) Quais são os valores das tensões limites do material? 
 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
Q2A-2016-1-PR2 – O prisma da figura está submetido a um Estado Plano de Deformações. 
Considerar um módulo de elasticidade longitudinal de 210000 MPa e coeficiente de Poisson de 
0,3: 
a) Encontrar as tensões e direções principais, a tensão de cisalhamento máxima no plano XY 
e sua direção e a maior tensão de cisalhamento no entorno de P; 
b) Representar estas grandezas através dos círculos das tensões principais; 
c) Encontrar as deformações específicas e as variações de comprimentos nas direções X, Y 
e Z; 
d) Se o estado de tensão atua em um ponto de um material que tem tensão limite de tração de 
220 MPa e tensão limite de compressão de 300 MPa, verifique com qual nível de 
segurança está trabalhando de acordo com a teoria de máxima deformação específica. 
 
 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
Q3A-2016-1-PR2 – A barra ABC mostrada na figura é feita de aluminio com módulo de 
elasticidade igual a 70000 MPa e suporta uma carga de 28 kN aplicada na extremidade C. 
Sabendo que o trecho AB tem 50 mm de diâmetro e que o trecho BC tem 32 mm de diâmetro, 
determinar: 
a) o valor da carga P aplicada em B tal que o deslocamento em C seja zero; 
b) qual o deslocamento do ponto B 
 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
Q4A-2016-1-PR2– Projetar a ligação com duplo cobrejuntas, esquematizada na figura. Serão 
utilizados rebites de diâmetro 5/8” (1,59cm). A ligação deve suportar uma carga P = 250 kN com 
um coeficiente de segurança de 1,2, usando a teoria de máxima tensão cisalhante. As medidas da 
figura estão em mm. Todas as chapas tem 15 mm de espessura. O material dos elementos da 
ligação tem tensão limite de cisalhamento de 125 MPa, tensão limite de tração de 220 MPa e 
tensão limite de compressão de 200 MPa. Para o esquema de distribuição dos rebites: deve ter 
uma distância mínima de 3d entre rebites e de 1,5d das bordas das chapas. 
 
 
 
 
 
Q1R-2016-1-PR2 - Sabendo que  = 0,20 definir se a combinação de estados tensionais está 
correta. Justifique 
 
 
 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
Q2R-2016-1-PR2 - O prisma da figura foi retirado do entorno de um ponto P de uma estrutura 
carregada. Sabe-se que o material com que foi construída tem tensão de escoamento de 40 MPa e 
tensão de ruptura de 70 MPa, além de coeficiente de Poisson de 0,3. Pede-se: 
a) Desenhar um círculo de Mohr com as tensões principais; 
b) Explique se a peça irá romper ou não? Caso não rompa, irá escoar? 
OBS: na figura foram dadas as forças atuantes num estado plano de deformações. 
 
 
 
 
 
Q3R-2016-1-PR2 - As barras CE de 1,3 cm de diâmetro e 60 cm de comprimento e DF de 2,2 
cm de diâmetro e 78 cm de comprimento, estão ligadas à barra rígida ABCD como mostra a 
figura. Sabendo que as barras são feitas de um material com módulo de elasticidade longitudinal 
igual a 8000 kN/cm2 determinar a força provocada em cada barra pela carga de 45 kN aplicada 
em A como mostra a figura e o deslocamento correspondente do ponto A 
 
 
 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
Q4R-2016-1-PR2 - Cinco barras (CD, ED, FD, GD, HD) concorrem ao nó D de uma treliça. Tais 
elementos foram calculados com seções retangulares de madeira. A união deve ser realizada com 
parafusos de aço de tensão de escoamento 370MPa s de 1 cm de diâmetro. A união deverá ser 
realizada com duas cobrejuntas (conforme mostra a figura). Qual será o número de parafusos 
necessário para garantir a união das barras ED e FD, para que, usando a teoria de Von Mises se 
obtenha um coeficiente de segurança igual a 1,5. 
 
 
 
Q1A-2016-2-PR2 - Construir esquematicamente o círculo de Mohr para os três estados de 
tensões da figura indicando quanto valem as tensões principais e a tensão de cisalhamento 
máxima em cada caso. 
 
 
 
 
 
Q2A-2016-2-PR2 - O estado de tensão em um ponto de um elemento estrutural está definido por 
uma tensão de tração de 140 N/mm2 na direção x, uma tensão de compressão de 50 N/mm2 na 
direção y e uma tensão de cisalhamento positivo de 60 N/mm2 no plano xy: 
1) Qual a tensão cisalhante máxima; 
2) Em que plano ocorre; 
3) Se o material tem uma tensão de escoamento de 225 N/mm2, determine se ocorre a falha 
do elemento em relação ao critério de Tresca (Guest). 
 
Q3A-2016-2-PR2 - A barra ABC está suportada por uma articulação em A e dois cabos BD e CE 
(ambos de 1,5 m de comprimento, áreas das seções transversais iguais e de materiais de módulos 
de elasticidade iguais), e está submetida a uma carga F =150 kN, como mostra a figura. 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
Desprezando a deformação por flexão e considerando a barra ABC como sendo rígida, 
determinar as forças nos cabos e a reação na articulação A. Considerar a = 1,5m e (b = 2m – a). 
Verifique a segurança se os cabos BD e CE de 2 cm de diâmetro são de um material com tensão 
de escoamento igual 300 MPa. 
 
 
Q4A-2016-2-PR2 - Determinar o coeficiente de segurança do pino utilizado na rótula da 
estrutura mostrada na figura, pela teoria de Saint Venant. Considerar tensão limite de tração igual 
a 150 kgf/cm2, tensão limite de compressão igual a 250 kgf/cm2, coeficiente de Poisson igual a 
0,2 e diâmetro do pino igual a 1,5 cm. Considerar Fv = 150 kgf e Fh = 200 kgf e (b = 2,12m – 
a). O pino trabalha com duas seções resistentes. Fazer a =1,20 m. 
 
 
 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
Q1D-2016-2-PR2 
 
 
Q2D-2016-2-PR2 
 
- Verificar a segurança dos cabos de acordo com a teoria de Saint-Venant sabendo que a tensão 
de escoamento é 300 MPa 
Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2 
Q3D-2016-2-PR2 
 
 
Q1A-2017-1-PR2 - O prisma da figura foi 
retirada do entorno de um ponto P de uma 
estrutura carregada, Sabe-se que o material 
com que foi construída tem tensão de 
escoamento de 40 MPa e tensão de ruptura 
de 70 MPa, além de um coeficiente de