Introdução aos Vetores em Física

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INFORMAÇÕES GERAIS 
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR 
UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS 
DISCIPLINA: FÍSICA I 
Prof. Bruno Farias 
Conteúdo Programático 
• Arquivo em anexo 
Bibliografia 
• HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. 
Fundamentos de Física: Mecânica. Livros Técnicos e 
Científicos. v. 1, ed. 8. 2009. 
 
 
• SEARS, F. W., ZEMANSKY, M. W., Física I - Mecânica, 
12 ª ed., Addison Wesley. São Paulo/SP, 2008. 
 
 
• TIPLER, P. A., MOSCA, G., Mecânica, Oscilações e 
Ondas, Termodinâmica, vol. 1, 5ª ed., LTC, Rio de 
Janeiro/RJ, 2006. 
 
• Serão realizadas ao longo do período 03 avaliações. 
 
• A nota final do discente será obtida através da média 
aritmética das 03 avaliações. 
 
•Terá direito a uma prova de reposição o aluno que não 
comparecer a uma das provas previstas ou que não atingir a 
média requerida para aprovação. 
Avaliação 
• O aluno que atingir média maior ou igual a 7,0 será 
considerado aprovado por média. 
 
• O aluno que tiver média maior ou inferior a 4,0 e inferior a 
7,0 estará apto a fazer à prova final. 
 
• O aluno que não conseguir uma média superior a 4,0 será 
considerado reprovado por média, exceto os casos de 
desistências, que será considerado reprovado por falta. 
Avaliação 
Atendimento ao Aluno 
• O Atendimento aos alunos ocorrerá na sala 11 do bloco de 
sala dos professores, todas as quartas feiras das 14:00 h às 
17:00 h. 
 
• Também haverá atendimento disponibilizado pelo monitor da 
disciplina em horários a definir. 
 
VETORES 
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR 
UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS 
DISCIPLINA: MECÂNICA E TERMODINÂMICA 
Prof. Bruno Farias 
Introdução 
• A Física lida com um grande número de grandezas que 
possuem amplitude e orientação, e para isso precisa de uma 
linguagem matemática especial, a linguagem dos vetores, para 
descrever essas grandezas. 
Vetores e Escalares 
• Quando uma grandeza física é descrita por um único 
número com uma unidade, ela é denominada de grandeza 
escalar. Exemplo: tempo, temperatura, massa e carga 
elétrica. 
 
• Porém, algumas grandezas físicas não podem ser 
descritas apenas por um único número com uma unidade 
de medida. Essas grandezas são chamadas de grandezas 
vetoriais. 
• Grandezas Vetoriais são aquelas que para ficarem bem 
representadas necessitam de: Módulo, Direção e Sentido. 
 
• Para representarmos as grandezas vetoriais precisamos 
usar um ente matemático denominado vetor. 
 
Vetor é um segmento de reta orientado, caracterizado por 
três elementos: Módulo, Direção e Sentido. 
Exemplos: 
a
 b

Módulo: É representado graficamente através do tamanho 
do vetor ou através de um valor numérico acompanhado de 
unidade. 
Direção: É a reta que dá suporte ao vetor e pode ser 
informada através de palavras como: horizontal, vertical, etc. 
Sentido: É a orientação do vetor dada pela seta e também 
pode ser informada através de palavras como: para 
esquerda, para direita, do ponto A para o ponto B, para 
baixo, etc. 
Exemplo 1: 
Módulo: 3 cm 
3 cm Direção: Vertical 
Sentido: Para cima 
a

Exemplo 2: 
Módulo: 5,5 cm 
Direção: Horizontal 
Sentido: Para esquerda 
b

Vetores Iguais: É necessário que estes possuam as mesmas 
características (módulo, direção e sentido) para que sejam 
ditos IGUAIS. 
Exemplo: 
O vetor a é igual ao vetor c. 
a

c

15 
Vetores Diferentes: São aqueles que possuem uma ou mais 
diferenças em suas características. 
Nesse caso, o vetor a e o Vetor 
b possuem módulos diferentes. 
Nesse caso, o vetor a e o Vetor 
b possuem direções e sentidos 
diferentes. 
Nesse caso, o vetor a e o Vetor 
b possuem sentidos diferentes. 
a

b

a

b

a

b

V F 
d 
Exemplos de grandezas representadas por vetores: 
Vetor 
deslocamento 
Vetor força 
Vetor 
velocidade 
Soma de Vetores 
Representamos a soma de dois vetores e por 
a

b

baR


Onde é o vetor soma ou vetor resultante. 
R

Para efetuarmos somas e subtrações vetoriais podemos 
utilizar duas regras, a do polígono e a do paralelogramo. 
A regra do polígono é muito útil quando precisamos somar 
três ou mais vetores. Nessa regra somamos dois vetores 
desenhando a extremidade de um no início do outro. 
a

b

R


A regra do paralelogramo deve ser aplicada apenas na 
soma de dois vetores. Nessa regra soma-se os vetores 
construindo-se um paralelogramo. 
Em ambas as regras o módulo do vetor soma é dado pela 
equação: 
cos222  babaR
a

b

R


Casos particulares 
a) A soma de dois vetores paralelos (θ = 0o) 
a

b

R

baR 
Módulo 
a

b

R

b) A soma de dois vetores anti-paralelos (θ = 180o) 
 
baR 
Módulo 
c) A soma de dois vetores ortogonais (θ = 90o) 
a

b

R

222 baR 
Módulo 
Exemplo 
Exercício 
Vetores Opostos: Dois vetores são opostos quando 
eles possuem mesmo módulo, mesma direção, 
porém sentidos opostos.. 
Exemplo: 
a
 a


Nesse caso: é o vetor oposto de . 
a

 a

Subtração de Vetores 
 baba


a

b
Definimos a subtração de dois vetores e como 
sendo a soma vetorial de com o vetor oposto , assim 
 
ba


a

b


a
 b

Para subtrair os vetores abaixo 
Tomamos o vetor oposto de b 
b


b


a

ba


b


Em seguida realizamos a soma vetorial de a e - b 
Exemplo 
Para os vetores A e B indicados na Figura abaixo determine 
a diferença vetorial A – B. 
Componentes de Vetores 
• Uma componente de um vetor é a projeção do 
vetor em um eixo. 
• O processo de obter as componentes de um 
vetor é chamado de decomposição do vetor. 
Componente y 
do vetor 
a

Componente x 
do vetor 
a

Podemos determinar geometricamente as componentes de 
a partir do triângulo retângulo mostrado abaixo 
 asenaeaa yx  cos
Lembrando que 
Se conhecermos um vetor na notação das componentes 
(ax e ay) podemos especificá-lo na notação módulo-ângulo (a 
e θ) através das equações: 
a

x
y
yx
a
a
eaaa  tan22
Exemplo 
Exercício 
Vetores Unitários 
Vetor unitário é um vetor que tem módulo igual a 
1 a aponta em uma certa direção. 
Os vetores unitários que indicam os sentidos 
positivos dos eixos x, y e z são representados como 
i, j e k, respectivamente. 
Podemos especificar qualquer vetor através dos vetores 
unitários, por exemplo: 
jaiaa yx
ˆˆ

jbibb yx
ˆˆ

As grandezas e são vetores conhecidos como 
componentes vetoriais de . As grandezas ax e ay são 
escalares conhecidos como componentes escalares de . 
iay
ˆiay
ˆ
a

a

Soma de Vetores através de Suas 
Componentes 
Podemos somar vetores combinando suas 
componentes eixo por eixo. Considerando a 
equação: 
baR


Isso significa que cada componente de R deve ser 
igual à componente corresponde de a + b: 
xxx baR 
yyy baR 
zzz baR 
Finalmente temos que: 
     kbajbaibaR zzyyxx ˆˆˆ 

Obs: Este procedimento para somar vetores 
através de suas componentes também se aplica à 
subtração. 
Exemplo 
Exercício 
Multiplicação de Vetores 
Existem três formas de multiplicar vetores: 
• Multiplicação de um vetor por umescalar; 
• Multiplicação de um vetor por um vetor através do 
produto escalar; 
• Multiplicação de um vetor por um vetor através do 
produto vetorial 
Multiplicação de um vetor por um escalar 
Quando multiplicamos um vetor por um escalar s 
obtemos outro vetor com as seguintes 
características: 
• Módulo: Produto do módulo de pelo valor 
absoluto de s. 
• Direção: A mesma do vetor . 
• Sentido: O mesmo sentido de se s > 0, e o 
sentido oposto, se s < 0. 
a

a

a

a

Tomemos como exemplo um vetor : 
Se desejamos obter o vetor , teremos: 
Comprove: 
a

a

a

3
a

a

a

a

3
Produto Escalar 
O produto escalar de dois vetores e é 
designado por e definido pela equação 
a

b

ba


 coscos baabba  
Embora e sejam vetores, a grandeza é 
escalar. 
ba

a

b

A propriedade comutativa se aplica ao produto escalar, ou 
seja: 
abba


Quando os dois vetores são escritos em termos dos vetores 
unitários, o produto escalar assume a forma 
   kbjbibkajaiaba zyxzyx ˆˆˆˆˆˆ 

Calculando os produtos escalares das componentes vetoriais 
ficamos com 
zzyyxx babababa 

Exemplo 
Exemplo 
Exercício 
Dados os vetores e . a) Ache o produto 
escalar dos dois vetores . b) Ache o ângulo entre estes 
dois vetores. 
Produto Vetorial 
O produto vetorial de e é escrito como , e resulta 
em um terceiro vetor, , cujo módulo é 
ba

a

b

c

,senabc 
Onde ϕ é o menor dos dois ângulos entre e . 
a

b

A direção de é perpendicular ao plano definido por e . 
a

c

b

O sentido de é determinado pela regra da mão direita. 
c

Regra da mão direita: Superponha as origens de e sem 
mudar suas orientações e imagine uma reta perpendicular ao 
plano definido pelos dois vetores, passando pela origem 
comum. Envolva essa linha com a mão direita de modo que 
seus dedos empurrem em direção a ao longo do menor 
ângulo entre os vetores. O polegar estendido aponta o 
sentido de . 
a

b

a

b

c

A propriedade comutativa não se aplica ao produto vetorial, 
pois: 
 baab


Em termos dos vetores unitários, podemos escrever o 
produto vetorial na forma: 
   kbjbibkajaiaba zyxzyx ˆˆˆˆˆˆ 

Considerando que 
0ˆˆˆˆˆˆ  kkjjii
kijji ˆˆˆˆˆ 
ijkkj ˆˆˆˆˆ 
jkiik ˆˆˆˆˆ 
É possível mostrar que: 
     kabbajabbaiabbaba yxyxxzxzzyzy ˆˆˆ 

O produto vetorial também pode ser expresso sob forma de 
um determinante do seguinte modo: 
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
ˆˆˆ


Exemplo 
Dois vetores, e , estão no plano xy. Seus módulos são 4,5 
unidades e 7,3 unidades, respectivamente, e eles estão 
orientados a 320º e 85º, respectivamente, no sentido anti-
horário em relação ao semi-eixo x positivo. Quais são os 
valores de a) e b) ? 
sr


r

s

c

sr


Exemplo 
Dois vetores são dados por e . Determine 
a) e b) . 
jia ˆ5ˆ3 

jib ˆ4ˆ2 

ba

 ba


Exercício 
Exercício 
Para os vetores e desenhados na Figura abaixo, a) ache 
o produto escalar , b) determine o produto vetorial . 
BA

 BA


A

B
